Talimatlar

Partiler ve açılar temel unsurlar olarak kabul edilir A. Bir üçgen tamamen aşağıdaki temel unsurlardan herhangi biriyle tanımlanır: ya üç kenar, ya bir kenar ve iki açı, ya da iki kenar ve bunların arasındaki bir açı. Varoluş için üçgen a, b, c üç tarafıyla verildiğinde eşitsizlik adı verilen eşitsizlikleri sağlamak gerekli ve yeterlidir üçgen:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

İnşaat için üçgen a, b, c'nin üç tarafında, CB = a segmentinin C noktasından bir pusula kullanarak b yarıçaplı bir daire çizmek gerekir. Daha sonra aynı şekilde B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Bunların kesişme noktası A, istenen noktanın üçüncü köşesidir. üçgen ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - kenarlar üçgen. Eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa problem vardır. üçgen 1. adımda belirtildi.

Alan S bu şekilde inşa edildi üçgen Tarafları bilinen a, b, c olan ABC, Heron formülü kullanılarak hesaplanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))
burada a, b, c kenarlardır üçgen, p – yarı çevre.
p = (a+b+c)/2

Bir üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a=b=c).Alan üçgen formülle hesaplanır:
S=(a^2 v3)/4

Üçgen dik açılı ise, yani açılarından biri 90° ise ve onu oluşturan kenarlar dik ise üçüncü kenar hipotenüstür. Bu durumda kare bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S=ab/2

Bulmak kare üçgen birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak bir formül seçin.

İhtiyacın olacak

Bir üçgenin alanını bulmak için formüller bilgisi

Talimatlar

Kenarlardan birinin boyutunu ve bu tarafa indirilen yüksekliğin karşı taraftaki açının değerini biliyorsanız, aşağıdaki formülü kullanarak alanı bulabilirsiniz: S = a*h/2, burada S alandır Üçgenin a'sı, üçgenin kenarlarından biridir ve h - a tarafının yüksekliğidir.

Üç tarafı biliniyorsa üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yöntemi vardır. Bu Heron'un formülüdür. Kaydedilmesini kolaylaştırmak için bir ara değer eklenir - yarı çevre: p = (a+b+c)/2, burada a, b, c - . O halde Heron'un formülü şu şekildedir: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ üssü.

Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a tarafının karşısındaki açıdır ve α ve γ, tarafa bitişik açılardır.

Konuyla ilgili video

Not

Tüm durumlar için uygun olan en genel formül Heron formülüdür.

Kaynaklar:

İpucu 3: Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Bir üçgenin alanını bulmak okul planimetrisinde en sık karşılaşılan sorunlardan biridir. Bir üçgenin üç kenarını bilmek herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Eşkenar üçgenlerin özel durumlarında sırasıyla iki ve bir kenarın uzunluklarını bilmek yeterlidir.

İhtiyacın olacak

üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimatlar

Heron'un üçgenin alanı formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Yarı çevre p'yi yazarsak şunu elde ederiz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Örneğin kosinüs teoremini uygulayarak bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs teoremine göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Sunulan gösterimler kullanılarak bunlar şu şekilde de yazılabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı da iki kenar ve aralarındaki açı kullanılarak S = a*c*sin(ABC)/2 formülüyle bulunur. ABC açısının sinüsü, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade edilebilir: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Alan formülünde sinüsü yerine koyarak ve bunu yazarak ABC üçgeninin alan formülüne ulaşabilirsiniz.

Konuyla ilgili video

Onarım işini gerçekleştirmek için ölçüm yapılması gerekebilir. kare duvarlar Bu, gerekli boya veya duvar kağıdı miktarını hesaplamayı kolaylaştırır. Ölçümler için bir mezura veya ölçüm bandı kullanmak en iyisidir. Ölçümler daha sonra yapılmalıdır. duvarlar tesviye edildi.

İhtiyacın olacak

-rulet;
-merdiven.

Talimatlar

Saymak kare duvarlar, tavanların tam yüksekliğini bilmeniz ve ayrıca zemin boyunca uzunluğu ölçmeniz gerekir. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın ve süpürgeliğin üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle onu köşeye sabitleyin ve ardından maksimum uzunluğa kadar açın. Bu noktada kalemle bir işaret koyun, elde edilen sonucu yazın ve son ölçüm noktasından başlayarak aynı şekilde başka ölçümler yapın.

Standart tavanlar eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetredir. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. Eğer hesaplıyorsan kare onarım çalışmaları için küçük bir tedarik zarar görmez - standarda göre düşünün. Hala gerçek yüksekliği bilmeniz gerekiyorsa ölçüm yapın. Prensip uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir seyyar merdivene ihtiyacınız olacak.

Ortaya çıkan göstergeleri çarpın - bu kare senin duvarlar. Doğru, resim yaparken veya boyamak için çıkarmak gerekir kare kapı ve pencere açıklıkları. Bunu yapmak için açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Daha sonra değiştireceğiniz bir kapıdan bahsediyorsak, yalnızca dikkate alarak kapı çerçevesini sökerek devam edin. kare doğrudan açıklığın kendisine. Pencerenin alanı çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında kare hesaplanan pencere ve kapı aralığı, sonucu odanın toplam alanından çıkarın.

Odanın uzunluğunu ve genişliğini ölçmenin iki kişi tarafından yapıldığını lütfen unutmayın; bu, bir santimetre veya şerit metreyi sabitlemeyi ve dolayısıyla daha doğru bir sonuç almayı kolaylaştırır. Aldığınız sayıların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.

Konuyla ilgili video

Bir üçgenin hacmini bulmak gerçekten önemsiz olmayan bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, bu da hacminin olmadığı anlamına gelir. Olmayan bir şeyi elbette bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Şu varsayımı kabul edebiliriz: İki boyutlu bir şeklin hacmi onun alanıdır. Üçgenin alanını arayacağız.

İhtiyacın olacak

kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi

Talimatlar

Bir cetvel ve kalem kullanarak bir kağıt parçası üzerine çizim yapın. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlem üzerine çizildiği için gerçekte bir üçgenin olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.

Üçgenin herhangi bir kenarını cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, ölçülen tarafa dik olanı karşısındaki tepe noktasından geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, "h" dikmesi "A" köşesinden "c" kenarına geri getirilir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçüm sonucunu yazın.

Tam dikliği geri getirmeniz zor olabilir. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, kenarların elde edilen uzunluklarını toplayıp toplamlarını ikiye bölerek “p” üçgeninin yarı çevresini hesaplayın. Yarı çevrenin değeri elinizin altında olduğundan Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için aşağıdakilerin karekökünü almanız gerekir: p(p-a)(p-b)(p-c).

Üçgenin gerekli alanını elde ettiniz. Üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi ancak yukarıda da belirtildiği gibi hacim çözülmedi. Üç boyutlu dünyada aslında üçgen olan bir hacim bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun elde ettiğimiz üçgenin alanıyla çarpımı olacaktır.

Not

Ne kadar dikkatli ölçerseniz hesaplamalarınız o kadar doğru olur.

Kaynaklar:

Hesap Makinesi “Her şeyden her şeye” - referans değerleri için bir portal
2019'daki üçgen hacmi

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz şekilde tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bu düz şeklin, çevresi ile sınırlı olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. kare. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimatlar

Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalarınıza ile başlayın. Her bir tarafın uzunluğu, koordinat eksenleri üzerindeki çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenar uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) ekleyin. Bunun tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olması gerçeğinden yola çıkarak: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

İnternette bir üçgenin alanını hesaplamak için 10'dan fazla formül bulabilirsiniz. Bunların çoğu üçgenin kenarları ve açıları bilinen problemlerde kullanılır. Bununla birlikte, atamanın koşullarına göre, bir üçgenin yalnızca bir tarafının ve açılarının veya çevrelenmiş veya çevrelenmiş bir dairenin yarıçapının ve bir başka özelliğin bilindiği çok sayıda karmaşık örnek vardır. Bu gibi durumlarda basit bir formül uygulanamaz.

Aşağıda verilen formüller, üçgenin alanını bulmanız gereken problemlerin yüzde 95'ini çözmenize olanak sağlayacaktır.
Ortak alan formüllerini ele almaya devam edelim.
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgeni düşünün

Şekilde ve aşağıdaki formüllerde tüm özelliklerinin klasik tanımları tanıtılmıştır.
a,b,c – üçgenin kenarları,
R - çevrelenen dairenin yarıçapı,
r – yazılı dairenin yarıçapı,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c kenarlarına göre çizilen yükseklikler.
alfa, beta, hamma – köşelere yakın açılar.

Bir üçgenin alanı için temel formüller

1. Alan, üçgenin kenarı ile bu kenara indirilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir. Formül dilinde bu tanım şu şekilde yazılabilir:

Yani kenar ve yükseklik biliniyorsa her öğrenci alanı bulacaktır.
Bu arada, bu formülden yükseklikler arasında yararlı bir ilişki elde edilebilir.

2. Bir üçgenin komşu kenardan yüksekliğinin bağımlılıkla ifade edildiğini dikkate alırsak

Daha sonra ilk alan formülünü aynı türdeki ikinci formül takip eder.

Formüllere dikkatlice bakın - iş iki tarafı ve aralarındaki açıyı içerdiğinden hatırlanması kolaydır. Üçgenin kenarlarını ve açılarını doğru belirlersek (yukarıdaki şekilde olduğu gibi), a, b olmak üzere iki kenar elde ederiz. ve açı üçüncüye bağlanır(hamma) ile.

3. Üçgenin açıları için ilişki doğrudur

Bağımlılık, hesaplamalarda bir üçgenin alanı için aşağıdaki formülleri kullanmanızı sağlar:

Bu bağımlılığın örnekleri son derece nadirdir ancak böyle bir formülün olduğunu unutmamalısınız.

4. Kenar ve komşu iki açı biliniyorsa alan formülle bulunur.

5. Komşu açıların kenar ve kotanjant cinsinden alan formülü aşağıdaki gibidir

Endeksleri yeniden düzenleyerek diğer taraflara bağımlılıklar elde edebilirsiniz.

6. Aşağıdaki alan formülü, bir üçgenin köşelerinin düzlemde koordinatlarla belirtildiği problemlerde kullanılır. Bu durumda alan, modülo olarak alınan determinantın yarısına eşittir.

7. Heron'un formülü Bir üçgenin kenarları bilinen örneklerde kullanılır.
Öncelikle üçgenin yarı çevresini bulun

Daha sonra formülü kullanarak alanı belirleyin

veya

Hesap makinesi programlarının kodlarında oldukça sık kullanılır.

8. Üçgenin tüm yükseklikleri biliniyorsa alan formülle belirlenir.

Hesap makinesinde hesaplamak zordur ancak MathCad, Mathematica, Maple paketlerinde alan “ikinci zaman”dır.

9. Aşağıdaki formüller, yazılı ve sınırlı dairelerin bilinen yarıçaplarını kullanır.

Özellikle üçgenin yarıçapı ve kenarları veya çevresi biliniyorsa alan aşağıdaki formüle göre hesaplanır.

10. Çevreleyen dairenin kenarlarının ve yarıçapının veya çapının verildiği örneklerde alan aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

11. Aşağıdaki formül, üçgenin alanını üçgenin kenar ve açılarına göre belirler.

Ve son olarak özel durumlar:
Dik üçgenin alanı a ve b ayakları ile çarpımlarının yarısına eşittir

Eşkenar (normal) üçgenin alanı için formül=

= bir kenarın karesi ile üçün kökünün çarpımının dörtte biri.

Üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun herhangi bir üçgenin alanını bulmaya uygundur. Formüller, uygulanmalarına ilişkin açıklamalar veya doğruluklarının gerekçeleri ile birlikte bir resim şeklinde sunulur. Ayrıca ayrı bir şekil, formüllerdeki harf sembolleri ile çizimdeki grafik sembolleri arasındaki yazışmayı gösterir.

Not . Üçgenin özel özellikleri varsa (ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra yalnızca bu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan ek özel formülleri de kullanabilirsiniz:

"Eşkenar üçgenin alanı formülü"

Üçgen alan formülleri

Formüllere ilişkin açıklamalar:
a, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenar uzunlukları
R- üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı
R- üçgenin etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarı çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a kenarının karşısındaki açı
β - üçgenin b kenarının karşısındaki açı
γ - üçgenin c kenarının karşısındaki açı
H A, H B , H C- a, b, c kenarlarına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen gösterimlerin yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın; böylece gerçek bir geometri problemini çözerken, doğru değerleri formülde doğru yerlere yerleştirmeniz görsel olarak daha kolay olacaktır.

Üçgenin alanı Üçgenin yüksekliği ile bu yüksekliğin alçaltıldığı kenar uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana indirilen yükseklik, rastgele bir üçgeni iki dikdörtgen parçaya bölecektir. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgen haline getirirseniz, o zaman açıkçası bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam yarısına eşit olacaktır (Spr = bh)
Üçgenin alanı iki kenarın çarpımının yarısı ve aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problemi çözme örneğine bakın). Her ne kadar öncekinden farklı gibi görünse de rahatlıkla ona dönüşebiliyor. Yüksekliği B açısından b kenarına indirirsek, dik üçgendeki sinüsün özelliklerine göre a tarafı ile γ açısının sinüsünün çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar. , bu bize önceki formülü verir
Keyfi bir üçgenin alanı bulunabilir başından sonuna kadar iş içine yazılan dairenin yarıçapının yarısı, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı kadardır(Formül 3), basitçe söylemek gerekirse, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapıyla çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
İsteğe bağlı bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımının, etrafını çevreleyen dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 4)
Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmaktır (tüm kenarların toplamının yarısı)
Heron'un formülü(6) aynı formülün yarı çevre kavramı kullanılmadan, yalnızca kenarların uzunlukları boyunca gösterimidir
Keyfi bir üçgenin alanı, üçgenin kenarının karesinin çarpımına ve bu kenara bitişik açıların sinüslerinin bu tarafın karşısındaki açının çift sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 7)
Rastgele bir üçgenin alanı, her bir açısının sinüsleri tarafından çevrelenen dairenin iki karesinin çarpımı olarak bulunabilir. (Formül 8)
Bir tarafın uzunluğu ve bitişik iki açının değerleri biliniyorsa, üçgenin alanı bu tarafın karesinin bu açıların kotanjantlarının çift toplamına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
Formül 11 hesaplamanıza olanak tanır köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için (x;y) değerleri olarak belirtilir. Bireysel (veya hatta tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler bölgesinde olabileceğinden, elde edilen değerin modülo olarak alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not. Aşağıda bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleri verilmiştir. Buraya benzer olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Çözümlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılabilir; burada sqrt karekök sembolüdür ve radikal ifade parantez içinde gösterilir.Bazen basit radikal ifadeler için sembol kullanılabilir. √

Görev. İki kenar verilen alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm olup aralarındaki açı 60 derecedir. Üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmındaki iki numaralı formülü kullanıyoruz.
Bir üçgenin alanı iki kenarın uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü ile bulunabilir ve şuna eşit olacaktır:
S=1/2 abs sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuzdan (formüle göre), yalnızca problem koşullarındaki değerleri formüle koyabiliriz:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60

Trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosunda sinüs 60 derecenin değerini bulup ifadeye koyacağız. Üç çarpı ikinin köküne eşit olacak.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7,5 √3 (öğretmenin isteğine bağlı olarak muhtemelen 15 √3/2 bırakabilirsiniz)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Bir kenarı 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulun.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c olduğundan eşkenar üçgenin alanı formülü şu şekli alır:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanda değişiklik

Kenarları 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutları bizim tarafımızdan bilinmediğinden, sorunu çözmek için kenarların uzunluklarının sırasıyla a, b, c keyfi sayılarına eşit olduğunu varsayacağız. Daha sonra problemin sorusunu cevaplamak için verilen üçgenin alanını bulacağız, ardından kenarları dört kat daha büyük olan üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize problemin cevabını verecektir.

Aşağıda sorunun çözümünün metinsel açıklamasını adım adım sunuyoruz. Ancak en sonunda aynı çözüm daha uygun bir grafiksel formda sunulmaktadır. İlgilenenler hemen çözümlere inebilirler.

Çözmek için Heron formülünü kullanıyoruz (yukarıdaki dersin teorik kısmına bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin ilk satırına bakın)

Herhangi bir üçgenin kenarlarının uzunlukları a, b, c değişkenleriyle belirtilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 kare((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimde ikinci satıra bakınız)

Gördüğünüz gibi 4, matematiğin genel kurallarına göre dört ifadeden de parantez dışına alınabilecek ortak bir faktördür.
Daha sonra

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - resmin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - dördüncü satır

256 sayısının karekökü mükemmel bir şekilde çıkarıldı, o yüzden onu kökün altından çıkaralım
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 metrekare((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(aşağıdaki resmin beşinci satırına bakınız)

Problemde sorulan soruyu cevaplamak için ortaya çıkan üçgenin alanını orijinal üçgenin alanına bölmemiz yeterli.
İfadeleri birbirine bölüp elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyelim.

Okul geometri müfredatından hatırlayacağınız gibi üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın birbirine bağladığı üç parçadan oluşan bir şekildir. Bir üçgen üç açı oluşturur, dolayısıyla şeklin adı budur. Tanım farklı olabilir. Bir üçgene üç açılı çokgen de denilebilir, cevap da doğru olacaktır. Şekillerde üçgenler eşit kenar sayısına ve açıların büyüklüğüne göre bölünmüştür. Böylece üçgenler sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar üçgenlerin yanı sıra dikdörtgen, dar ve geniş olarak da ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını seçin; Hangi formülü kullanacağınız size kalmış. Ancak bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan gösterimlerden yalnızca bazılarına dikkat çekmeye değer. Hatırla:

S üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersinizi tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonları burada bulabilirsiniz. Aşağıda bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler bulunmaktadır. Zor değildir ve hem evinizin ihtiyaçları için hem de çocuklarınıza yardım etmek için faydalı olacaktır. Bir üçgenin alanının mümkün olduğunca kolay nasıl hesaplanacağını hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Alanın santimetre kare (sqcm) cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Dik üçgen, bir açının 90 dereceye eşit olduğu (bu nedenle dik olarak adlandırılır) bir üçgendir. Dik açı iki dik çizgiden oluşur (üçgen durumunda iki dik bölüm). Bir dik üçgende yalnızca bir dik açı olabilir çünkü... Herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Diğer 2 açının kalan 90 dereceyi, örneğin 70 ve 20, 45 ve 45 vb. paylaşması gerektiği ortaya çıktı. Yani asıl meseleyi hatırlıyorsunuz, geriye kalan tek şey dik üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmak. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve S alanını bulmamız gerektiğini hayal edelim.

1. Dik üçgenin alanını belirlemenin en basit yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda dik üçgenin alanı: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Prensip olarak üçgenin alanını başka yollarla doğrulamaya artık gerek yok çünkü Yalnızca bu faydalı olacak ve günlük yaşamda yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüsler, sinüsler ve teğetlerden oluşan bir tablonuz olmalıdır. Kendinize hakim olun, işte hala kullanılabilecek bir dik üçgenin alanını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü kullanmaya karar verdik ve bazı küçük lekelerle (bunu bir deftere çizdik ve eski bir cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Şu sonuçları elde ettik: 3,6=3,7, ancak hücrelerin değişimini hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama göreviyle karşı karşıya kalırsanız, en kolay yol, ana ve üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilen şeyi kullanmaktır.

Ama önce ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce bunun nasıl bir şekil olduğunu bulalım. İkizkenar üçgen, iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu bir üçgendir. Bu iki tarafa yan, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın; üç tarafı eşit olan düzgün bir üçgen. Böyle bir üçgende açılara veya daha doğrusu boyutlarına ilişkin özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz; ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüllerde özel gösterim kullanılmaktadır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
γ a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolayca tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpıp bölmeniz gerekir. 4.