Uzayda uçak - gerekli bilgiler. Bu noktalardan geçen bir düzlem

Üç düzlemin tek bir ortak noktası olmayabilir (en az ikisi paralelse ve kesişim çizgileri de paralelse), sonsuz sayıda ortak noktaya sahip olabilir (hepsi bir düz çizgiden geçiyorsa) veya sadece var

tek bir ortak nokta. İlk durumda denklem sistemi

Hiçbir çözümü yok, ikincisinde sayısız çözüm var, üçüncüsünde ise tek bir çözüm var. Araştırma için determinantları kullanmak en uygunudur (§ 183, 190), ancak temel cebir araçlarını kullanarak da yapabilirsiniz.

Örnek 1. Uçaklar

(1) ve (2) düzlemleri paralel olduğundan ortak noktaları yoktur (§ 125). Denklem sistemi tutarsızdır (denklemler (1) ve (2) birbiriyle çelişmektedir).

Örnek 2. Üç düzlemin ortak noktalarının olup olmadığını araştırın

(4)-(6) sistemine çözüm arıyoruz. (4) ve (5)'ten 2'yi çıkarırsak, (4) ve (6)'dan 2'yi çıkarırsak, bu iki denklemin tutarsız olduğunu elde ederiz. Bu, üç düzlemin ortak noktalarının olmadığı anlamına gelir. Aralarında paralel düzlem bulunmadığından, düzlemlerin çiftler halinde kesiştiği üç doğru paraleldir.

Örnek 3. Düzlemlerin ortak noktalarının olup olmadığını araştırın

Örnek 2'deki gibi ilerleyerek her iki zamanı, yani aslında iki değil, bir denklemi elde ederiz. Sayısız çözümü var. Bu üç anlamına geliyor

M5 Aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta ne olursa olsun, bu noktalardan en fazla bir düzlem geçer.

I6 Bir doğrunun iki A ve B noktası a düzleminde yer alıyorsa, o zaman a doğrusunun her noktası a düzleminde yer alır. (Bu durumda a çizgisinin a düzleminde olduğunu veya a düzleminin a doğrusundan geçtiğini söyleyeceğiz.

I7 Eğer a ve b düzlemlerinin ortak bir A noktası varsa, bu durumda en az bir ortak B noktası daha vardır.

M8 Aynı düzlemde yer almayan en az dört nokta vardır.

Zaten bu 8 aksiyomdan, açıkça açık olan ve bu nedenle bir okul geometri dersinde kanıtlanmayan ve hatta bazen mantıksal nedenlerden dolayı şu veya bu okulun aksiyomlarına dahil edilen birkaç temel geometri teoremi çıkarmak mümkündür. kurs

Örneğin:

1. İki doğrunun en fazla bir ortak noktası vardır.

2. İki düzlemin ortak bir noktası varsa, bu iki düzlemin tüm ortak noktalarının üzerinde bulunduğu ortak bir doğru vardır

Kanıt: (gösteriş için):

I 7 $ B'ye göre bu da a ve b'ye aittir, çünkü A,B "a, o zaman I 6 AB "b'ye göre. Bu, AB düz çizgisinin iki düzlemde ortak olduğu anlamına gelir.

3. Bir doğru ve onun üzerinde olmayan bir noktadan, tıpkı kesişen iki doğru gibi, tek ve tek bir düzlem geçer.

4. Her düzlemde aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta vardır.

YORUM: Bu aksiyomları kullanarak birkaç teoremi kanıtlayabilirsiniz ve bunların çoğu çok basittir. Özellikle bu aksiyomlardan geometrik elemanlar kümesinin sonsuz olduğunu kanıtlamak imkansızdır.

GRUP II Düzen aksiyomları.

Düz bir çizgi üzerinde üç nokta verilmişse, bunlardan biri diğer ikisiyle aşağıdaki aksiyomları karşılayan bir “arada kalan” ilişkiyle ilişkilendirilebilir:

II1 Eğer B, A ile C arasında yer alıyorsa, o zaman A, B, C aynı doğrunun farklı noktalarıdır ve B, C ile A arasındadır.

II2 A ve B noktaları ne olursa olsun, AB doğrusu üzerinde A ile C arasında B olacak şekilde en az bir C noktası vardır.

II3 Bir doğru üzerindeki herhangi üç nokta arasında, diğer ikisi arasında en fazla bir nokta vardır

Hilbert'e göre, AB(BA) doğru parçası üzerinden bir çift A ve B noktasını kastediyoruz. A ve B noktalarına doğru parçasının uçları, A ve B noktaları arasında kalan herhangi bir noktaya ise doğru parçasının iç noktası denir. AB(BA).

YORUM: Ancak II 1-II 3'ten henüz her parçanın iç noktalara sahip olduğu sonucu çıkmaz, ancak II 2, Þ'den parçanın dış noktalara sahip olduğu sonucu çıkar.

II4 (Pash aksiyomu) A, B, C aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta olsun ve ABC düzleminde A, B, C noktalarından geçmeyen bir doğru olsun. O zaman, eğer bir doğru a, AB doğru parçası üzerindeki bir noktadan geçiyorsa, aynı zamanda AC ya da BC doğru parçası üzerindeki bir noktadan da geçer.

Sl.1: A ve C noktaları ne olursa olsun, AC doğrusu üzerinde A ile C arasında en az bir D noktası vardır.

Belge: I 3 Þ$ yani AC hattında yatmıyorum

Şimdi iki ifadeyi kanıtlayabiliriz

DC3İfade II 4 aynı zamanda A, B ve C noktalarının aynı düz çizgi üzerinde olması durumunda da geçerlidir.

Ve en ilginç şey.

Seviye 4 . Bir doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasında sonsuz sayıda başka nokta (kendi) vardır.

Ancak bir doğru üzerindeki noktaların kümesinin sayılamayan olduğu kanıtlanamaz. .

Grup I ve II'nin aksiyomları aşağıdaki gibi önemli kavramları tanıtmamıza izin verir: yarı düzlem, ışın, yarı uzay ve açı. İlk önce teoremi kanıtlıyoruz.

Th1. a düzleminde yer alan bir a çizgisi, bu düzlemin a doğrusu üzerinde yer almayan noktaları kümesini boş olmayan iki alt kümeye böler; böylece A ve B noktaları aynı alt kümeye aitse, AB doğru parçasının ortak noktası yoktur. a çizgisine sahip noktalar; eğer bu noktalar farklı alt kümelere aitse, AB doğru parçasının a doğrusu ile ortak bir noktası vardır.

Fikir: bir ilişki tanıtılır, yani A ve B Ï A AB doğru parçasının doğru ile hiçbir ortak noktası yoksa Δ ilişkisi içindedir A veya bu noktalar çakışıyor. Daha sonra Δ ilişkisine göre eşdeğerlik sınıflarının kümeleri dikkate alındı. Basit akıl yürütmeyle bunlardan yalnızca ikisinin olduğu kanıtlanmıştır.

Oda1Önceki teorem tarafından tanımlanan noktaların alt kümelerinin her birine sınırı a olan yarım düzlem denir.

Benzer şekilde ışın ve yarım uzay kavramlarını da tanıtabiliriz.

ışın- H ve düz çizgi de .

Odr2 Açı, aynı O noktasından çıkan ve aynı düz çizgi üzerinde yer almayan h ve k ışınları çiftidir. yani O'ya açının tepe noktası denir ve h ve k ışınları açının kenarlarıdır. Bunu her zamanki gibi ifade ediyoruz: Ðhk.

M noktası ve k ışını sınırla aynı yarı düzlemde yer alıyorsa ve M noktası ile k ışını sınırla aynı yarı düzlemde yer alıyorsa, M noktasına hk açısına sahip bir iç nokta denir. Tüm iç noktaların kümesine bir açının iç bölgesi denir.

Köşenin dış alanı sonsuz bir kümedir çünkü Bir açının farklı taraflarında uçları olan bir doğru parçasının tüm noktaları içtedir. Aşağıdaki özellik genellikle metodolojik nedenlerden dolayı aksiyomlara dahil edilir.

Mülk: Bir ışın bir açının tepesinden geliyorsa ve bu açının en az bir iç noktasından geçiyorsa, açının farklı taraflarında uçları olan herhangi bir parçayla kesişir. (Kendi kendine inşaat)

GRUP III. Uyumluluk aksiyomları (eşitlik)

Bir dizi parça ve açı üzerinde, aksiyomları karşılayan bir uyum veya eşitlik ilişkisi ("=" ile gösterilir) eklenir:

III 1 Bir AB doğru parçası ve A / noktasından çıkan bir ışın verilirse, bu ışına ait $ t.B / olur, böylece AB = A / B / olur.

III 2 A / B / =AB ve A // B // =AB ise A / B / =A // B // .

III 3 A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / ve BC=B / C / olsun, sonra AC=A / C /

Odr3 O/ bir nokta, h/ bu noktadan çıkan ışın ve l/ sınırı olan bir yarım düzlem ise O/,h/ ve l/ nesnelerinin üçlüsüne bayrak (O/,h) denir. /, l /).

III 4 Ðhk ve flag (О / ,h / ,l /) verilsin. O halde l/ yarım düzleminde O/ noktasından Ðhk = Ðh/k/ olacak şekilde çıkan benzersiz bir k/ ışın vardır.

III 5 A, B ve C aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta olsun. Bu durumda AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC ise, o zaman ÐABC = ÐA / B / C / .

1. B/B III 1 noktası bu ışın üzerindeki tek noktadır (kendi)

2. Doğru parçalarının uyum ilişkisi, doğru parçaları kümesi üzerindeki bir denklik ilişkisidir.

3. Bir ikizkenar üçgenin tabanlarındaki açılar eşittir. (III 5'e göre).

4. Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

5. Açı uyum ilişkisi, açılar kümesindeki bir denklik ilişkisidir. (Rapor)

6. Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin kendisine komşu olmayan tüm açılarından büyüktür.

7. Her üçgende büyük açı, büyük kenarın karşısında yer alır.

8. Herhangi bir doğru parçasının tek bir orta noktası vardır

9. Her açının tek bir açıortayı vardır

Aşağıdaki kavramlar tanıtılabilir:

ODR4 Komşu açıya eşit olan açıya dik açı denir.

Dikey açıları, dik ve eğik vb. tanımlayabilirsiniz.

^'nin benzersizliğini kanıtlamak mümkündür. Kavramları tanıtabilirsiniz > ve< для отрезков и углов:

Odr5 AB ve A / B / ve $ t.C segmentleri verilmişse, yani A / -C-B / ve A / C = AB, o zaman A / B / >AB.

Odr6İki Ðhk ve Ðh / k / açısı verilirse ve Ðhk iç bölgesi ve tepe noktası boyunca Ðh / k / = Ðhl olacak şekilde bir l ışını çizilebilirse, o zaman Ðhk > Ðh / k / olur.

Ve en ilginç olanı, I-III gruplarının aksiyomlarının yardımıyla hareket kavramının (süperpozisyon) tanıtılabilmesidir.

Bunun gibi bir şey yapıldı:

p ve p/ noktalarından oluşan iki küme verilsin. Bu kümelerin noktaları arasında bire bir yazışma kurulduğunu varsayalım. p kümesinin her M ve N noktası çifti bir MN parçasını tanımlar. M/ ve N/, p/ kümesinin MN noktalarına karşılık gelen noktaları olsun. MN segmentine karşılık gelen M / N / segmentini çağırmayı kabul edelim.

ODR7 P ve p / arasındaki yazışma, karşılık gelen bölümlerin her zaman karşılıklı olarak uyumlu olduğu ortaya çıkacak şekilde ise, o zaman setleri p ve p /'ye uyumlu denir . Üstelik p ve p / kümelerinin her birinin elde edildiğini de söylüyorlar. hareket diğerinden veya bu kümelerden birinin diğerinin üzerine bindirilebilmesi. P ve p / kümesinin karşılık gelen noktalarına örtüşme denir.

Onay1: Düz bir çizgi üzerinde bulunan noktalar, hareket ederken yine belirli bir düz çizgi üzerinde bulunan noktalara dönüşür.

Utv2 Bir kümenin bir noktasını diğer iki noktaya bağlayan iki parça arasındaki açı, uyumlu bir kümenin karşılık gelen parçaları arasındaki açıya eşittir.

Döndürme, kaydırma, hareketlerin bileşimi vb. kavramlarını tanıtabilirsiniz.

GRUP IV. Aksiyomların sürekliliği Ve.

IV 1 (Arşimed Aksiyomu). AB ve CD bazı doğru parçaları olsun. O zaman AB düz çizgisi üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde sonlu bir A 1, A 2, ..., A n noktaları kümesi vardır:

1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = A 1 A 2 = … = Bir n-1 Bir n = CD

3. A-B-An

IV2 (Cantor Aksiyomu) A1B1, A2B2,... parçalarının sonsuz bir dizisinin keyfi bir a doğrusu üzerinde verilse de, her bir sonraki parça bir öncekinin içinde yer alır ve ayrıca herhangi bir CD parçası için bir doğal sayı vardır. öyle ki AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Cantor'un aksiyomunun koşullarından hemen böyle bir m.M'nin benzersiz olduğu sonucu çıkar, çünkü eğer böyle değilse ve isim. bir t.N daha, ardından MN'yi segmentlere ayırın

I-III ve IV 1 , IV 2 aksiyomlarının Dedekind'in aşağıdaki önermesine eşdeğer olduğu kanıtlanabilir.

aynı doğru üzerinde olmayan noktalar? a) Kesişen; b) hiçbir şey söylenemez; c) kesişmez; d) çakışır; e) Üç ortak noktası vardır.

2. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? a) Bir dairenin iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, dairenin tamamı bu düzlemdedir; b) üçgenin düzleminde uzanan düz bir çizgi iki tarafını keser; c) herhangi iki düzlemin yalnızca bir ortak noktası vardır; d) bir düzlem iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer; e) Bir doğru, üçgenin kenarlarını içeren iki çizgiyi kesiyorsa, belirli bir üçgenin düzleminde yer alır.

3. İki farklı düzlemin yalnızca iki ortak noktası olabilir mi? a) Hiçbir zaman; b) Yapabilirim, ancak ek koşullar altında; c) her zaman var; d) sorunun yanıtlanamaması; d) başka bir cevap.

4. K, L, M noktaları aynı doğru üzerindedir, N noktası onun üzerinde değildir. Her üç noktadan bir düzlem çizilir. Bu kaç farklı düzlemle sonuçlandı? a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; d) sonsuz sayıda.

5. Doğru ifadeyi seçin. a) Bir düzlem herhangi üç noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer; b) bir doğrunun iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, o zaman çizginin tüm noktaları bu düzlemde yer alır; c) iki düzlemin ortak bir noktası varsa kesişmezler; d) bir düzlem ve yalnızca bir tanesi bir çizgiden ve onun üzerinde bulunan bir noktadan geçer; e) Kesişen iki düz çizgiden bir düzlem çizmek imkansızdır.

6. PBM ve MAB düzlemlerinin ortak düz çizgisini adlandırın. a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) belirlenemez.

7. a ve b doğruları M noktasında kesişiyor. M noktasından geçmeyen c doğrusu, a ve b doğrularıyla kesişiyor. A, b ve c doğrularının göreceli konumları hakkında ne söylenebilir? a) Tüm düz çizgiler farklı düzlemlerde bulunur; b) a ve b düz çizgileri aynı düzlemde yer alır; c) tüm düz çizgiler aynı düzlemdedir; d) hiçbir şey söylenemez; e) c satırı şu satırlardan biriyle çakışıyor: a veya b.

8. a ve b doğruları O noktasında kesişiyor. A € a, B € b, Y € AB. Doğru ifadeyi seçin. a) O ve Y noktaları aynı düzlemde değildir; b) OY ve a düz çizgileri paraleldir; c) a, b düz çizgileri ve Y noktası aynı düzlemde yer alır; d) O ve Y noktaları çakışır; e) Y ve A noktaları çakışmaktadır.

1. Aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç ortak noktası olan iki düzlemin göreceli konumu hakkında ne söylenebilir?
a) Kesişen; b) hiçbir şey söylenemez; c) kesişmez; d) çakışır; e) Üç ortak noktası vardır.

2. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
a) Bir dairenin iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, dairenin tamamı bu düzlemdedir; b) üçgenin düzleminde uzanan düz bir çizgi iki tarafını keser; c) herhangi iki düzlemin yalnızca bir ortak noktası vardır; d) bir düzlem iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer; e) Bir doğru, üçgenin kenarlarını içeren iki çizgiyi kesiyorsa, belirli bir üçgenin düzleminde yer alır.

3. İki farklı düzlemin yalnızca iki ortak noktası olabilir mi?
a) Hiçbir zaman; b) Yapabilirim, ancak ek koşullar altında; c) her zaman var; d) sorunun yanıtlanamaması; d) başka bir cevap.

4. K, L, M noktaları aynı doğru üzerindedir, N noktası onun üzerinde değildir. Her üç noktadan bir düzlem çizilir. Bu kaç farklı düzlemle sonuçlandı?
a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; d) sonsuz sayıda.

5. Doğru ifadeyi seçin.
a) Bir düzlem herhangi üç noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer; b) bir doğrunun iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, o zaman çizginin tüm noktaları bu düzlemde yer alır; c) iki düzlemin ortak bir noktası varsa kesişmezler; d) bir düzlem ve yalnızca bir tanesi bir çizgiden ve onun üzerinde bulunan bir noktadan geçer; e) Kesişen iki düz çizgiden bir düzlem çizmek imkansızdır.

6. PBM ve MAB düzlemlerinin ortak düz çizgisini adlandırın.
a) PM; b) AB; c) PB; d) BM; e) belirlenemez.

7. RM düz çizgisi listelenen düzlemlerden hangileriyle kesişiyor (Şekil 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1

8.İki düzlem düz bir çizgide kesişiyor c. M noktası düzlemlerden yalnızca birinde yer almaktadır. M noktası ile c doğrusu arasındaki göreceli konum hakkında ne söylenebilir?
a) Hiçbir sonuca varılamaz; b) c düz çizgisi M noktasından geçer; c) M noktası c doğrusu üzerinde yer alır; d) c düz çizgisi M noktasından geçmiyor; d) başka bir cevap.

9. a ve b doğruları M noktasında kesişiyor. M noktasından geçmeyen c doğrusu, a ve b doğrularıyla kesişiyor. A, b ve c doğrularının göreceli konumları hakkında ne söylenebilir?
a) Tüm düz çizgiler farklı düzlemlerde bulunur; b) a ve b düz çizgileri aynı düzlemde yer alır; c) tüm düz çizgiler aynı düzlemdedir; d) hiçbir şey söylenemez; e) c satırı şu satırlardan biriyle çakışıyor: a veya b.

10. a ve b doğruları O noktasında kesişiyor. A € a, B € b, Y € AB. Doğru ifadeyi seçin.
a) O ve Y noktaları aynı düzlemde değildir; b) OY ve a düz çizgileri paraleldir; c) a, b düz çizgileri ve Y noktası aynı düzlemde yer alır; d) O ve Y noktaları çakışır; e) Y ve A noktaları çakışmaktadır.

AB ve AC ışınları kenarına dik mi? 2. AB ve AC ışınları dihedral açının yüzleri üzerinde bulunuyorsa, BAC doğrusal açısının dihedral açı olduğu doğru mudur? 3. AB ve AC ışınları bu açının kenarına dikse ve E ve C noktaları açının yüzlerinde yer alıyorsa, BAC açısının dihedral açının doğrusal bir açısı olduğu doğru mudur? 4. Dihedral açının doğrusal açısı 80 derecedir. Açının yüzlerinden birinde diğer yüze dik olan düz bir çizgi var mı? 5. ABC açısı, alfa kenarı olan bir dihedral açının doğrusal açısıdır. Düz alfa çizgisi ABC düzlemine dik midir? Belirli bir düzleme dik olan ve belirli bir çizgiyle kesişen tüm çizgilerin aynı düzlemde olduğu doğru mu?

Planimetride düzlem ana figürlerden biridir, bu nedenle onu net bir şekilde anlamak çok önemlidir. Bu makale bu konuyu ele almak için oluşturuldu. Öncelikle düzlem kavramı, grafiksel gösterimi verilmekte ve düzlemlerin tanımları gösterilmektedir. Daha sonra düzlem bir nokta, bir düz çizgi veya başka bir düzlemle birlikte ele alınır ve uzaydaki göreceli konuma göre seçenekler ortaya çıkar. Makalenin ikinci, üçüncü ve dördüncü paragraflarında iki düzlemin, bir düz çizginin ve bir düzlemin, noktaların ve düzlemlerin göreceli konumlarına ilişkin tüm seçenekler analiz edilmiş, temel aksiyomlar ve grafik gösterimler verilmiştir. Sonuç olarak, uzayda bir düzlemi tanımlamanın ana yöntemleri verilmiştir.

Sayfada gezinme.

Düzlem - temel kavramlar, semboller ve resimler.

Üç boyutlu uzaydaki en basit ve en temel geometrik şekiller bir nokta, bir doğru ve bir düzlemdir. Düzlemdeki bir nokta ve doğru hakkında zaten bir fikrimiz var. Üç boyutlu uzayda noktaların ve çizgilerin gösterildiği bir düzlem yerleştirirsek uzayda noktalar ve çizgiler elde ederiz. Uzayda bir düzlem fikri, örneğin bir masanın veya duvarın yüzeyini elde etmemizi sağlar. Ancak bir masanın veya duvarın sonlu boyutları vardır ve düzlem, sınırlarının ötesine geçerek sonsuza kadar uzanır.

Uzaydaki noktalar ve çizgiler, düzlemdekiyle aynı şekilde, sırasıyla büyük ve küçük Latin harfleriyle belirtilir. Örneğin A ve Q noktaları, a ve d doğruları. Bir doğru üzerinde yer alan iki nokta verilirse, doğru bu noktalara karşılık gelen iki harfle gösterilebilir. Örneğin AB veya BA düz çizgisi A ve B noktalarından geçer. Uçaklar genellikle küçük Yunanca harflerle gösterilir, örneğin uçaklar veya.

Problemleri çözerken düzlemleri bir çizimde tasvir etmek gerekli hale gelir. Bir düzlem genellikle bir paralelkenar veya rastgele basit bir kapalı bölge olarak gösterilir.

Bir düzlem genellikle noktalarla, düz çizgilerle veya diğer düzlemlerle birlikte düşünülür ve bunların göreceli konumları için çeşitli seçenekler ortaya çıkar. Açıklamalarına geçelim.

Düzlemin ve noktanın göreceli konumu.

Aksiyomla başlayalım: Her düzlemde noktalar vardır. Buradan düzlemin ve noktanın göreceli konumu için ilk seçenek gelir - nokta düzleme ait olabilir. Başka bir deyişle bir uçak bir noktadan geçebilir. Bir noktanın bir düzleme ait olduğunu belirtmek için “” sembolü kullanılır. Örneğin uçak A noktasından geçiyorsa kısaca yazabilirsiniz.

Uzayda belirli bir düzlemde sonsuz sayıda noktanın olduğu anlaşılmalıdır.

Aşağıdaki aksiyom, belirli bir düzlemi tanımlamak için uzayda kaç noktanın işaretlenmesi gerektiğini gösterir: aynı çizgi üzerinde yer almayan üç noktadan bir düzlem geçer ve yalnızca bir tanesi. Bir düzlemde yer alan üç nokta biliniyorsa, düzlem bu noktalara karşılık gelen üç harfle gösterilebilir. Örneğin bir düzlem A, B ve C noktalarından geçiyorsa ABC olarak adlandırılabilir.

Düzlemin ve noktanın göreceli konumunun ikinci versiyonunu veren başka bir aksiyomu formüle edelim: Aynı düzlemde yer almayan en az dört nokta vardır. Yani uzayda bir nokta düzleme ait olmayabilir. Aslında, önceki aksiyoma göre, bir düzlem uzayda üç noktadan geçer ve dördüncü nokta bu düzlem üzerinde olabilir veya olmayabilir. Kısaca yazarken “ait değildir” ifadesinin karşılığı olan “” sembolünü kullanın.

Örneğin A noktası düzlemde değilse kısa gösterimi kullanın.

Uzayda düz çizgi ve düzlem.

İlk olarak, düz bir çizgi bir düzlemde bulunabilir. Bu durumda bu doğrunun en az iki noktası düzlemde yer alır. Bu aksiyom tarafından belirlenir: Bir doğrunun iki noktası bir düzlemde yer alıyorsa, o zaman bu çizginin tüm noktaları düzlemde yer alır. Belirli bir doğrunun belirli bir düzleme aitliğini kısaca kaydetmek için “” sembolünü kullanın. Örneğin gösterim, a düz çizgisinin düzlemde yer aldığı anlamına gelir.

İkincisi, düz bir çizgi bir düzlemle kesişebilir. Bu durumda düz çizgi ile düzlemin tek bir ortak noktası vardır ve bu noktaya düz çizgi ile düzlemin kesişme noktası denir. Kısaca yazarken kesişimi “” sembolüyle belirtiyorum. Örneğin, gösterim, a düz çizgisinin düzlemi M noktasında kestiği anlamına gelir. Bir düzlem belirli bir düz çizgiyle kesiştiğinde, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı kavramı ortaya çıkar.

Ayrı olarak, düzlemle kesişen ve bu düzlemde bulunan herhangi bir düz çizgiye dik olan düz bir çizgiye odaklanmaya değer. Böyle bir çizgiye düzleme dik denir. Dikliği kısaca kaydetmek için “” sembolünü kullanın. Malzemenin daha derinlemesine incelenmesi için düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliği makalesine başvurabilirsiniz.

Düzlemle ilgili problemleri çözerken özellikle önemli olan, düzlemin normal vektörüdür. Bir düzlemin normal vektörü, bu düzleme dik bir çizgi üzerinde yer alan sıfırdan farklı herhangi bir vektördür.

Üçüncüsü, düz bir çizgi düzleme paralel olabilir, yani ortak noktaları olmayabilir. Eşzamanlılığı kısaca yazarken “” sembolünü kullanın. Örneğin a doğrusu düzleme paralel ise yazabiliriz. Doğru ve düzlemin paralelliği makalesine başvurarak bu durumu daha ayrıntılı incelemenizi öneririz.

Bir düzlemde uzanan düz bir çizginin bu düzlemi iki yarım düzleme böldüğü söylenmelidir. Bu durumda düz çizgiye yarım düzlemlerin sınırı denir. Aynı yarı düzlemin herhangi iki noktası bir çizginin aynı tarafında bulunur ve farklı yarı düzlemlerin iki noktası sınır çizgisinin karşıt taraflarında bulunur.

Uçakların karşılıklı düzenlenmesi.

Uzayda iki düzlem çakışabilir. Bu durumda en az üç ortak noktaları vardır.

Uzayda iki düzlem kesişebilir. İki düzlemin kesişimi, aksiyom tarafından belirlenen düz bir çizgidir: iki düzlemin ortak bir noktası varsa, o zaman bu düzlemlerin tüm ortak noktalarının üzerinde bulunduğu ortak bir düz çizgiye sahiptirler.

Bu durumda kesişen düzlemler arasındaki açı kavramı ortaya çıkar. Düzlemler arasındaki açının doksan derece olduğu durum özellikle ilgi çekicidir. Bu tür düzlemlere dik denir. Düzlemlerin dikliği makalemizde bunlardan bahsetmiştik.

Son olarak, uzaydaki iki düzlem paralel olabilir, yani ortak noktaları olmayabilir. Düzlemlerin göreceli düzenlenmesine yönelik bu seçeneği tam olarak anlamak için düzlemlerin paralelliği makalesini okumanızı öneririz.

Düzlemi tanımlama yöntemleri.

Şimdi uzayda belirli bir düzlemi tanımlamanın ana yollarını listeleyeceğiz.

İlk olarak, uzayda aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktanın sabitlenmesiyle bir düzlem tanımlanabilir. Bu yöntem şu aksiyoma dayanmaktadır: Aynı doğru üzerinde yer almayan herhangi üç noktadan tek bir düzlem geçer.

Bir düzlem üç boyutlu uzayda sabitlenmiş ve aynı doğru üzerinde yer almayan üç farklı noktasının koordinatları belirtilerek belirtilmişse, verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazabiliriz.

Bir düzlemi tanımlamanın sonraki iki yöntemi öncekinin sonucudur. Üç noktadan geçen bir düzlem hakkındaki aksiyomun sonuçlarına dayanmaktadırlar:

• bir düzlem bir çizgiden ve onun üzerinde olmayan ve yalnızca bir noktadan geçer (aynı zamanda bir çizgi ve bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi makalesine bakın);
• Kesişen iki çizgiden geçen yalnızca bir düzlem vardır (makaledeki materyali okumanızı öneririz: kesişen iki çizgiden geçen bir düzlemin denklemi).

Uzayda bir düzlemi tanımlamanın dördüncü yolu paralel çizgileri tanımlamaktır. Uzaydaki iki çizginin aynı düzlemde yer alması ve kesişmemesi durumunda paralel olarak adlandırıldığını hatırlayın. Böylece uzayda iki paralel çizgiyi göstererek bu çizgilerin yer aldığı tek düzlemi belirlemiş olacağız.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sistemine göre belirtilen şekilde bir düzlem verilirse, iki paralel çizgiden geçen bir düzlem için denklem oluşturabiliriz.

Lise geometri derslerinde şu teorem kanıtlanmıştır: Uzaydaki sabit bir noktadan, belirli bir doğruya dik olan tek bir düzlem geçer. Dolayısıyla bir düzlemin içinden geçtiği noktayı ve ona dik bir doğruyu belirtirsek onu tanımlayabiliriz.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi üç boyutlu uzayda sabitlenmişse ve belirtilen şekilde bir düzlem belirtilmişse, belirli bir düz çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmak mümkündür.

Düzleme dik bir çizgi yerine bu düzlemin normal vektörlerinden birini belirleyebilirsiniz. Bu durumda yazmak mümkündür.