x aradı

1.2.3. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanma

Örnek. Faktör x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Bir polinomun köklerini kullanarak çarpanlara ayrılması

Teorem. P x polinomunun kökü x 1 olsun. O zaman bu polinom şu şekilde çarpanlara ayrılabilir: P x x x 1 S x , burada S x derecesi bir eksik olan bir polinomdur

Değerleri dönüşümlü olarak P x ifadesine dönüştürerek x 2'yi elde ederiz.

ifade 0'a dönecek, yani P 2 0, bu da x 2'nin bir çoklu sayının kökü olduğu anlamına gelir.

üye. P x polinomunu x 2'ye bölün.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10x	x2 x12
	24 10x

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Tam bir kare seçme

Tam bir kareyi seçme yöntemi şu formüllerin kullanımına dayanır: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Tam bir kareyi izole etmek, belirli bir üç terimlinin, iki terimlinin karesinin toplamı veya farkı ve bazı sayısal veya alfabetik ifadeler olarak temsil edildiği bir kimlik dönüşümüdür.

Bir değişkene göre bir kare trinomial, formun bir ifadesini verir

ax 2 bx c , burada a , b ve c'ye sayılar verilmiştir ve a 0 .

İkinci dereceden trinomial ax 2 bx c'yi aşağıdaki gibi dönüştürelim.

x2:

katsayı

Daha sonra b x ifadesini 2b x (çarpımın iki katı) olarak temsil ederiz.

x):birx

Parantez içindeki ifadeye sayıyı ekleyip çıkarıyoruz

bu bir sayının karesidir

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Şimdi fark ediyorum ki

Aldık

4a 2

Örnek. Tam bir kare seçin.

2x12

2x2 4x5 2x2 2x5

2x2 2x1 15

2x12 7.

4 ve 2,

1.4. Çeşitli değişkenlerde polinomlar

Tek değişkenli polinomlar gibi çeşitli değişkenlerdeki polinomlar da toplanabilir, çarpılabilir ve doğal kuvvete yükseltilebilir.

Bir polinomun çeşitli değişkenlerde önemli bir kimlik dönüşümü çarpanlara ayırmadır. Burada ortak çarpanı parantez dışına çıkarmak, gruplandırmak, kısaltılmış çarpma özdeşliklerini kullanmak, tam kareyi ayırmak, yardımcı değişkenleri tanıtmak gibi çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 polinomunu çarpanlarına ayırın.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz'yi çarpanlara ayırın. Gruplama yöntemini uygulayalım

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. P x ,y x 4 4y 4'ü çarpanlara ayırın. Tam bir kare seçelim:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Herhangi bir rasyonel üssü olan bir derecenin özellikleri

Herhangi bir rasyonel üssü olan bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. Ab 1 ar 1 br 1,
	bir r 1	saat 1


		br 1

burada a 0;b 0;r 1;r 2 keyfi rasyonel sayılardır.

1. 8'i çarpın

x 3 12x 7.

24x23.

8x3 12x7x8x12x8 12x24

2. Çarpanlara Ayırma

2x3

1.6. Kendi başınıza yapabileceğiniz egzersizler

1. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak eylemler gerçekleştirin. 1) bir 52;

2) 3a 72;

3) a nb n2 .

4) 1x3;

	3 ve 3;

7) 8a 2 8a2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Kısaltılmış çarpma kimliklerini kullanarak hesaplayın:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Kimlikleri kanıtlayın:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırın:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5a 4b 2 64a2;

9) 121n23n2t2;

10) 4 t 2 20 tn 25n 2 36;

11) p46p2k9k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6x3 36x2 72x48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5p2nqn15p5nq2n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7x24y2223x28y22;

19) 1000 ton 3 27 ton 6 .

5. En basit şekilde hesaplayın:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Bir polinomun bölümünü ve kalanını bulma P x polinomlaQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Qxx3 2x2x; 3) P x x6 1; Qxx4 4x2 .

7. Polinomun olduğunu kanıtlayın x 2 2x 2'nin gerçek kökü yoktur.

8. Polinomun köklerini bulun:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktör:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2 x 32 4 x 3 3 x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Tam bir kareyi izole ederek denklemleri çözün:

1)x22x30;

2) x 2 13x 30 0 .

11. İfadelerin anlamlarını bulun:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hesaplayın:

16 0,25

Cevrimici hesap makinesi.
Bir binomun karesini yalnız bırakmak ve bir kare trinomiyi çarpanlara ayırmak.

Bu matematik programı kare binomluyu kare üçlüden ayırır, yani şöyle bir dönüşüm yapar:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ ve ikinci dereceden bir trinomial'ı çarpanlara ayırır: $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

Onlar. problemler $p, q$ ve $n, m$ sayılarını bulmaktan ibarettir

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de gösteriyor.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

İkinci dereceden bir trinomiye girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: $x, y, z, a, b, c, o, p, q$, vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin ondalık sayıları şu şekilde girebilirsiniz: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Sonuç: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2$

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, çözerken tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ayrıntılı çözüm örneği

Bir binomun karesini ayırma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasyon.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Cevap:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Karar vermek

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuyu yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Bir binomun karesini bir kare trinomiyalden ayırma

Eğer kare trinomial ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q olarak temsil ediliyorsa, burada p ve q gerçel sayılardır, o zaman şunu söyleriz: kare trinomial, binomun karesi vurgulanır.

Üç terimli 2x 2 +12x+14'ten binomun karesini çıkarıyoruz.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Bunu yapmak için, 6x'in 2*3*x'in çarpımı olduğunu hayal edin ve ardından 3 2'yi ekleyip çıkarın. Şunu elde ederiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

O. Biz kare binomunu kare trinomiyalden çıkarmak ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Eğer kare trinomiyal ax 2 +bx+c, n ve m'nin gerçel sayılar olduğu a(x+n)(x+m) formunda temsil ediliyorsa, bu durumda işlemin gerçekleştirildiği söylenir. ikinci dereceden bir üç terimlinin çarpanlara ayrılması.

Bu dönüşümün nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

İkinci dereceden trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlarına ayıralım.

a katsayısını parantezlerin dışına alalım; 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Parantez içindeki ifadeyi dönüştürelim.
Bunu yapmak için 2x'i 3x-1x farkı ve -3'ü -1*3 farkı olarak hayal edin. Şunu elde ederiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

O. Biz İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırdı ve şunu gösterdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın yalnızca bu üç terimliye karşılık gelen ikinci dereceden denklemin kökleri olması durumunda mümkün olduğunu unutmayın.
Onlar. bizim durumumuzda, ikinci dereceden 2x 2 +4x-6 =0 denkleminin kökleri varsa, trinomial 2x 2 +4x-6'yı çarpanlara ayırmak mümkündür. Çarpanlara ayırma sürecinde 2x 2 + 4x-6 = 0 denkleminin 1 ve -3 olmak üzere iki kökü olduğunu tespit ettik, çünkü bu değerlerle 2(x-1)(x+3)=0 denklemi gerçek eşitliğe dönüşür.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve Çevrimiçi Birleşik Devlet Sınavı testleri Oyunlar, bulmacalar İşlev grafikleri çizme Rus dilinin yazım sözlüğü Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Liste görevlerin

Daha önce de belirttiğim gibi, integral hesabında bir kesrin integralini almak için uygun bir formül yoktur. Ve bu nedenle üzücü bir eğilim var: Kesir ne kadar karmaşıksa, integralini bulmak da o kadar zor olur. Bu bağlamda, şimdi size anlatacağım çeşitli püf noktalarına başvurmanız gerekiyor. Hazırlıklı okuyucular hemen yararlanabilirler içindekiler:

Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi

Yapay pay dönüştürme yöntemi

örnek 1

Bu arada, dikkate alınan integral, değişken yönteminin değiştirilmesiyle de çözülebilir, ancak çözümü yazmak çok daha uzun sürecektir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Değişken değiştirme yönteminin artık burada işe yaramayacağını belirtmekte fayda var.

Dikkat, önemli! 1, 2 numaralı örnekler tipiktir ve sıklıkla meydana gelir. Özellikle, bu tür integraller sıklıkla diğer integrallerin çözümü sırasında, özellikle de irrasyonel fonksiyonların (köklerin) integrali alınırken ortaya çıkar.

Dikkate alınan teknik bu durumda da işe yarar. payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden büyükse.

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Payı seçmeye başlıyoruz.

Payı seçme algoritması şuna benzer:

1) Payda düzenlemem gerekiyor ama orada. Ne yapalım? Parantez içine alıp şununla çarpıyorum: .

2) Şimdi bu parantezleri açmaya çalışıyorum, ne oluyor? . Hmm... bu daha iyi, ama başlangıçta payda iki yok. Ne yapalım? Şununla çarpmanız gerekir:

3) Parantezleri tekrar açıyorum: . Ve işte ilk başarı! Doğru çıktı! Ancak sorun şu ki fazladan bir terim ortaya çıktı. Ne yapalım? İfadenin değişmesini önlemek için aynısını yapımıma eklemeliyim:
. Hayat kolaylaştı. Payda tekrar düzenleme yapmak mümkün mü?

4) Mümkün. Hadi deneyelim: . İkinci terimin parantezlerini açın:
. Üzgünüm ama önceki adımda aslında , yoktu. Ne yapalım? İkinci terimi şu şekilde çarpmanız gerekir:

5) Yine kontrol etmek için ikinci dönemde parantezleri açıyorum:
. Artık bu normaldir: 3. noktanın son yapısından türetilmiştir! Ama yine küçük bir "ama" var, fazladan bir terim ortaya çıktı, bu da ifademe eklemem gerektiği anlamına geliyor:

Her şey doğru yapılırsa, tüm parantezleri açtığımızda integrandın orijinal payını almamız gerekir. Kontrol ediyoruz:
Kapüşon.

Böylece:

Hazır. Son dönemde bir fonksiyonu diferansiyel altına alma yöntemini kullandım.

Cevabın türevini bulursak ve ifadeyi ortak bir paydaya indirgersek, o zaman tam olarak orijinal integrand fonksiyonunu elde ederiz. Bir toplama ayırmanın dikkate alınan yöntemi, bir ifadeyi ortak bir paydaya getirmenin ters eyleminden başka bir şey değildir.

Bu tür örneklerde payı seçmeye yönelik algoritmanın en iyi şekilde bir taslakta yapılması sağlanır. Bazı becerilerle zihinsel olarak çalışacaktır. 11. kuvvet için seçim yaparken rekor kıran bir vakayı hatırlıyorum ve payın genişletilmesi neredeyse iki Verd satırı gerektiriyordu.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Basit kesirler için diferansiyel işareti alma yöntemi

Sonraki kesir türlerini ele almaya devam edelim.
, , , (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).

Aslında derste arksinüs ve arktanjant ile ilgili birkaç durumdan bahsetmiştik. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi. Bu tür örnekler, fonksiyonun diferansiyel işaret altına alınması ve bir tablo kullanılarak daha da entegre edilmesiyle çözülür. Uzun ve yüksek logaritmalara sahip daha tipik örnekler:

Örnek 5

Örnek 6

Burada bir integral tablosu almanız ve hangi formüllerin ve Nasıl dönüşüm gerçekleşir. Not, nasıl ve neden Bu örneklerdeki kareler vurgulanmıştır. Özellikle Örnek 6'da öncelikle paydayı şu şekilde temsil etmemiz gerekir: , ardından diferansiyel işaretinin altına getirin. Ve standart tablo formülünü kullanmak için tüm bunların yapılması gerekiyor .

Neden bakın, özellikle oldukça kısa oldukları için 7 ve 8 numaralı örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:

Örnek 7

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun:

Bu örnekleri de kontrol etmeyi başarırsanız, büyük saygı duyarım; farklılaştırma becerileriniz mükemmeldir.

Tam kare seçim yöntemi

Formun integralleri (katsayılar ve sıfıra eşit değildir) çözülür tam kare çıkarma yöntemi zaten derste görünen Grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Aslında bu tür integraller az önce baktığımız dört tablo integralinden birine indirgenebilir. Ve bu, tanıdık kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak elde edilir:

Formüller tam olarak bu yönde uygulanıyor, yani yöntemin fikri, ifadeleri paydada yapay olarak düzenlemek ve daha sonra ikisinden birine uygun şekilde dönüştürmektir.

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Bu en basit örnek terim – birim katsayısı ile(bir sayı veya eksi değil).

Paydaya bakalım, burada iş açıkça şansa dönüyor. Paydayı dönüştürmeye başlayalım:

Açıkçası, 4 eklemeniz gerekiyor. Ve ifadenin değişmemesi için aynı dördü çıkarın:

Artık formülü uygulayabilirsiniz:

Dönüşüm tamamlandıktan sonra HER ZAMAN Ters hareketin yapılması tavsiye edilir: her şey yolunda, hata yok.

Söz konusu örneğin son tasarımı şöyle görünmelidir:

Hazır. "Serbest" bir karmaşık fonksiyonu diferansiyel işaret altına alırsak: prensipte ihmal edilebilir

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun:

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, cevabı dersin sonundadır.

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun:

Önünde bir eksi olduğunda ne yapmalı? Bu durumda eksiyi parantezlerden çıkarmamız ve terimleri ihtiyacımız olan sıraya göre düzenlememiz gerekir: . Devamlı(bu durumda “iki”) Dokunma!

Şimdi parantez içine bir tane ekliyoruz. İfadeyi analiz ettiğimizde parantezlerin dışına bir tane eklememiz gerektiği sonucuna varıyoruz:

İşte formülü alıyoruz, uygulayın:

HER ZAMAN Taslağı kontrol ediyoruz:
, kontrol edilmesi gereken şey buydu.

Temiz örnek şuna benzer:

Görevi daha da zorlaştırmak

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun:

Burada terim artık birim katsayı değil, “beş”tir.

(1) Eğer bir sabit varsa, o zaman onu hemen parantezlerden çıkarırız.

(2) Genel olarak, bu sabiti integralin dışına taşımak, böylece yolunuza çıkmaması her zaman daha iyidir.

(3) Açıkçası her şey formüle inecek. Terimi anlamamız gerekiyor, yani “iki”yi elde etmemiz gerekiyor

(4) Evet, . Bu, ifadeye aynı kesiri eklediğimiz ve çıkardığımız anlamına gelir.

(5) Şimdi tam bir kare seçin. Genel durumda hesaplamamız da gerekir, ancak burada uzun logaritma formülümüz var. ve eylemi gerçekleştirmenin bir anlamı yok; neden aşağıda açıklığa kavuşacak.

(6) Aslında formülü uygulayabiliriz , yalnızca "X" yerine elimizde var, bu da tablo integralinin geçerliliğini ortadan kaldırmaz. Açıkça söylemek gerekirse, bir adım atlandı; entegrasyondan önce fonksiyonun diferansiyel işaret altında toplanması gerekirdi: ancak defalarca belirttiğim gibi bu genellikle ihmal ediliyor.

(7) Kökün altındaki cevapta tüm parantezlerin geriye doğru genişletilmesi tavsiye edilir:

Zor? İntegral hesabının en zor kısmı bu değil. Bununla birlikte, ele alınan örnekler iyi hesaplama teknikleri gerektirdiğinden çok karmaşık değildir.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun:

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Cevap dersin sonundadır.

Paydada kökleri olan ve bir ikame kullanılarak dikkate alınan türden integrallere indirgenen integraller vardır; bunları makalede okuyabilirsiniz; Karmaşık integraller ancak çok hazırlıklı öğrenciler için tasarlanmıştır.