Parçalara göre entegrasyon nedir? Bu tür entegrasyonda ustalaşmak için öncelikle bir çarpımın türevini hatırlayalım:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Şu soru ortaya çıkıyor: İntegrallerin bununla ne ilgisi var? Şimdi bu denklemin her iki tarafını da entegre edelim. O halde bunu yazalım:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Peki felçin terstürevi nedir? Bu sadece konturun içindeki fonksiyonun kendisidir. O halde bunu yazalım:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Bu denklemde terimi ifade etmeyi öneriyorum. Sahibiz:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

işte bu parça formülüne göre entegrasyon. Yani aslında türev ile fonksiyonun yerini değiştirmiş oluyoruz. Başlangıçta bir vuruşun integralinin bir şeyle çarpımı varsa, o zaman yeni bir şeyin bir vuruşla çarpımının integralini elde ederiz. Bütün kural bu. İlk bakışta bu formül karmaşık ve anlamsız görünebilir ancak aslında hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırabilir. Şimdi görelim.

İntegral hesaplama örnekleri

Problem 1. Hesaplayın:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Logaritmanın önüne 1 ekleyerek ifadeyi yeniden yazalım:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Bunu yapmaya hakkımız var çünkü ne sayı ne de fonksiyon değişmeyecek. Şimdi bu ifadeyi formülde yazılanlarla karşılaştıralım. $(f)"$'ın rolü 1'dir, dolayısıyla şunu yazıyoruz:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(align)$

Tüm bu işlevler tablolarda bulunmaktadır. Artık ifademizde yer alan tüm elemanları tanımladığımıza göre, bu integrali parçalara göre integral alma formülünü kullanarak yeniden yazacağız:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ bitiş(hizalama)\]

İşte bu, integral bulundu.

Problem 2. Hesaplayın:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Şimdi terstürevini bulmamız gereken $x$'ı türev olarak alırsak, $((x)^(2))$ elde ederiz ve son ifade $((x)^(2)'yi içerir. )( (\text(e))^(-x))$.

Açıkçası problem basitleştirilmedi, bu yüzden integral işaretinin altındaki faktörleri değiştiriyoruz:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Şimdi gösterimi tanıtalım:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

$((\text(e))^(-x))$'ın türevini alalım:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ sol(-x \sağ))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Başka bir deyişle, önce eksi eklenir, sonra her iki taraf da entegre edilir:

\[\begin(align)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\Rightarrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(align)\]

Şimdi $g$ fonksiyonuna bakalım:

$g=x\Sağ ok (g)"=1$

İntegrali hesaplıyoruz:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \right)+C \\\end(align)$

Böylece ikinci entegrasyonu parçalara göre gerçekleştirdik.

Problem 3. Hesaplayın:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Bu durumda, $(f)"$ için ne almalıyız ve $g$ için ne almalıyız? Eğer $x$ bir türev görevi görüyorsa, entegrasyon sırasında $\frac(((x)^(2)) elde ederiz. )(2 )$ ve ilk çarpan hiçbir yerde kaybolmayacaktır - $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ olacaktır. Bu nedenle, çarpanları tekrar yer değiştirelim:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ bitiş(hizalama)$

Orijinal ifademizi yeniden yazıyoruz ve entegrasyon formülüne göre parçalar halinde genişletiyoruz:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(hizalama)\]

İşte bu, üçüncü sorun çözüldü.

Sonuç olarak, bir kez daha bakalım parça formülüne göre entegrasyon. Hangi faktörün türev, hangisinin gerçek fonksiyon olacağını nasıl seçeceğiz? Burada tek bir kriter var: Farklılaştıracağımız unsurun ya “güzel” bir ifade vermesi ve bu ifadenin daha sonra azalması ya da farklılaşma sırasında tamamen ortadan kalkması gerekiyor. Bu, dersi sonlandırıyor.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugün dersimizde parçalara göre nasıl integral alacağımızı öğreneceğiz. Parçalara göre entegrasyon yöntemi, integral hesabının temel taşlarından biridir. Testler veya sınavlar sırasında öğrencilerden neredeyse her zaman aşağıdaki integral türlerini çözmeleri istenir: en basit integral (makaleye bakınız) veya bir değişkeni değiştirerek bir integral (makaleye bakınız) veya integral tam açık parça yöntemiyle entegrasyon.

Her zaman olduğu gibi elinizin altında olması gerekenler: İntegral tablosu Ve Türev tablosu. Hala bunlara sahip değilseniz lütfen web sitemin depolama odasını ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar. Tekrar etmekten yorulmayacağım; her şeyi yazdırmak daha iyi. Tüm materyali tutarlı, basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım; parçaların entegrasyonunda özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi hangi sorunu çözer? Parçalara göre entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer; tabloda olmayan bazı fonksiyonları entegre etmenize olanak tanır, iş fonksiyonlar ve bazı durumlarda bölümler bile. Hatırladığımız gibi uygun bir formül yok: . Ama şu var: – Şahsen parçalara göre entegrasyon formülü. Biliyorum, biliyorum, tek kişi sensin - ders boyunca onunla çalışacağız (şimdi daha kolay).

Ve liste hemen stüdyoya gönderilir. Aşağıdaki türlerin integralleri parçalara göre alınır:

1) , , – logaritma, logaritmanın bir polinomla çarpılması.

2) ,bir polinomla çarpılan üstel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda bir üstel fonksiyonun bir polinomla çarpımı gibi integralleri de içerir, ancak pratikte bu yüzde 97'dir, integralin altında güzel bir "e" harfi vardır. ... makale biraz lirik çıkıyor, ah evet ... bahar geldi.

3) , , trigonometrik fonksiyonların bir polinomla çarpımıdır.

4) , – ters trigonometrik fonksiyonlar (“kemerler”), “kemerler”in bir polinomla çarpımı.

Bazı kesirler de parçalar halinde alınmıştır; ilgili örnekleri de ayrıntılı olarak ele alacağız.

Logaritmanın integralleri

Örnek 1

Klasik. Zaman zaman bu integral tablolarda bulunabilir ancak hazır bir cevabın kullanılması tavsiye edilmez çünkü öğretmenin bahar vitamini eksikliği vardır ve ağır bir şekilde küfredecektir. Çünkü söz konusu integral hiçbir şekilde tablo şeklinde değildir - parçalar halinde alınır. Biz karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözüme ara veriyoruz.

Parçalara göre entegrasyon formülünü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: . Açıkçası, bizim örneğimizde (ve dikkate alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin olarak ve bir şeyin de olarak belirtilmesi gerekiyor.

Söz konusu türdeki integrallerde logaritma her zaman gösterilir.

Teknik olarak çözümün tasarımı şu şekilde uygulanıyor;

Yani logaritmayı şu şekilde gösterdik ve geri kalanı integral ifadesi.

Sonraki aşama: farkı bulun:

Diferansiyel, türevle hemen hemen aynıdır; onu nasıl bulacağımızı önceki derslerde zaten tartışmıştık.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Entegre etmeniz gereken işlevi bulmak için sağ taraf düşük eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz: .
Bu arada, bazı notlarla birlikte son çözümün bir örneğini burada bulabilirsiniz:

Çalışmadaki tek nokta, faktörü logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için hemen ve'yi değiştirmiş olmamdır.

Gördüğünüz gibi parçalara göre entegrasyon formülünü uygulamak, çözümümüzü esasen iki basit integrale indirgedi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra Formülün uygulanmasıyla, kalan integrale göre mutlaka bir basitleştirme yapılması gerekir - söz konusu örnekte, integrali "x" e indirdik.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani integral doğru çözülmüştür.

Test sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: . Ve bu bir tesadüf değil.

Parçalara göre entegrasyon formülü ve formül – bunlar birbirinin tersi olan iki kuraldır.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İntegral bir logaritmanın ve bir polinomun ürünüdür.
Karar verelim.

Kuralın uygulanma prosedürünü bir kez daha detaylı olarak anlatacağım; ileride örnekler daha kısa olarak sunulacaktır, eğer kendi başınıza çözmekte zorluk çekiyorsanız dersin ilk iki örneğine geri dönmeniz gerekir. .

Daha önce de belirttiğimiz gibi logaritmayı belirtmek gerekir (kuvvet olması önemli değildir). ile belirtiyoruz geri kalanı integral ifadesi.

Sütuna şunu yazıyoruz:

İlk önce diferansiyeli buluyoruz:

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz . Konunun ilk dersinde tesadüf değil Belirsiz integral. Çözüm örnekleriİntegrallerde uzmanlaşmak için türevleri "elinize almanız" gerektiği gerçeğine odaklandım. Türevlerle birden fazla kez uğraşmak zorunda kalacaksınız.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz, bunun için entegre ediyoruz sağ taraf düşük eşitlik:

Entegrasyon için en basit tablo formülünü kullandık

Artık formülü uygulamaya her şey hazır . Yıldız işaretiyle açın ve çözümü sağ tarafa göre “oluşturun”:

İntegralin altında yine logaritma için bir polinomumuz var! Bu nedenle çözüm tekrar kesintiye uğrar ve parçalara göre integral alma kuralı ikinci kez uygulanır. Benzer durumlarda logaritmanın her zaman gösterildiğini unutmayın.

Şimdiye kadar en basit integralleri ve türevleri sözlü olarak nasıl bulacağınızı bilseydiniz iyi olurdu.

(1) İşaretler konusunda kafanız karışmasın! Çoğu zaman eksi burada kaybolur; ayrıca eksinin şu anlama geldiğini de unutmayın: herkese braket ve bu parantezlerin doğru şekilde genişletilmesi gerekiyor.

(2) Braketleri açın. Son integrali basitleştiriyoruz.

(3) Son integrali alıyoruz.

(4) Cevabı “Taramak”.

Parçalara göre entegrasyon kuralını iki kez (hatta üç kez) uygulama ihtiyacı çok nadir ortaya çıkmaz.

Ve şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek:

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek, değişkeni değiştirerek (veya onu diferansiyel işaretin altına koyarak) çözülür! Neden olmasın - onu parçalara ayırmayı deneyebilirsiniz, komik bir şeye dönüşecektir.

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Ancak bu integral parçalarla (vaat edilen kesir) integre edilir.

Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örnekler, ders sonundaki çözümler ve cevaplardır.

Örnek 3 ve 4'te integrallerin benzer olduğu ancak çözüm yöntemlerinin farklı olduğu görülmektedir! İntegrallerde uzmanlaşmanın ana zorluğu budur - eğer bir integrali çözmek için yanlış yöntemi seçerseniz, gerçek bir bulmaca gibi saatlerce onunla uğraşabilirsiniz. Bu nedenle çeşitli integralleri ne kadar çok çözerseniz test ve sınav o kadar kolay olur. Ayrıca ikinci yılda diferansiyel denklemler olacak ve integral ve türevleri çözme konusunda deneyim olmadan orada yapacak bir şey yok.

Logaritma açısından bu muhtemelen fazlasıyla yeterlidir. Bu arada, mühendislik öğrencilerinin kadın göğüslerini =) logaritma kullanarak adlandırdıklarını da hatırlıyorum. Bu arada, temel temel fonksiyonların grafiklerini ezbere bilmek faydalıdır: sinüs, kosinüs, arktanjant, üs, üçüncü, dördüncü derece polinomlar, vb. Hayır, elbette, dünya üzerinde bir prezervatif
Uzatmayacağım ama şimdi bölümden çok şey hatırlayacaksınız Grafikler ve işlevler =).

Bir üstel sayının bir polinomla çarpılmasının integralleri

Genel kural:

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre oluyoruz:

İntegral konusunda zorluk yaşıyorsanız makaleye geri dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı değiştirmek:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek onu cevap olarak bırakmaktır. hatta

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş sayılır. Bu bir hata olmayacaktır; öğretmenin sizden cevabı basitleştirmenizi isteyebileceği başka bir konudur.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu integral iki kez parça parça integre edilir. İşaretlere özellikle dikkat edilmelidir - bunların arasında kafa karıştırmak kolaydır, bunun karmaşık bir işlev olduğunu da hatırlıyoruz.

Katılımcı hakkında söylenecek başka bir şey yok. Sadece üstel ve doğal logaritmanın karşılıklı ters fonksiyonlar olduğunu ekleyebilirim, yüksek matematiğin eğlenceli grafikleri konusunda ben buyum =) Dur, dur, endişelenme, hoca ayık.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: çünkü her zaman bir polinomu belirtir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parçalara göre integral alalım:

Hmmm...ve yorum yapacak bir şey yok.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözmeniz için bir örnek

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun

Kesirli başka bir örnek. Önceki iki örnekte olduğu gibi, for bir polinomu belirtir.

Parçalara göre integral alalım:

İntegrali bulma konusunda herhangi bir zorluk veya yanlış anlama yaşıyorsanız derse katılmanızı tavsiye ederim. Trigonometrik fonksiyonların integralleri.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

İpucu: Parçalara göre integral yöntemini kullanmadan önce, iki trigonometrik fonksiyonun çarpımını tek bir fonksiyona dönüştüren bazı trigonometrik formülleri kullanmalısınız. Formül, parçalara göre entegrasyon yöntemini uygularken hangisi sizin için daha uygunsa, aynı zamanda kullanılabilir.

Muhtemelen bu paragrafta hepsi bu. Nedense fizik ve matematik ilahisindeki bir satırı hatırladım: “Ve sinüs grafiği apsis ekseni boyunca dalga dalga ilerler”….

Ters trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Ters trigonometrik fonksiyonların integrallerinin bir polinomla çarpımı

Genel kural: her zaman ters trigonometrik fonksiyonu belirtir.

Ters trigonometrik fonksiyonların arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant içerdiğini hatırlatmama izin verin. Kaydın kısa olması adına onlara "kemerler" diyeceğim.

Belirli integral. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bu dersimizde belirli integral gibi harika bir şeyi detaylı olarak inceleyeceğiz. Bu sefer tanıtım kısa olacak. Tüm. Çünkü pencerenin dışında kar fırtınası var.

Belirli integralleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için yapmanız gerekenler:

1) Yapabilmek bulmak belirsiz integraller.

2) Yapabilmek hesaplamak belirli integral.

Gördüğünüz gibi belirli bir integralde uzmanlaşmak için "sıradan" belirsiz integraller hakkında oldukça iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. Bu nedenle, integral hesabına yeni dalmaya başlıyorsanız ve su ısıtıcısı henüz hiç kaynamamışsa, o zaman dersle başlamak daha iyidir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri. Ayrıca pdf kursları da mevcut. ultra hızlı hazırlık- Kelimenin tam anlamıyla bir gününüz varsa, yarım gününüz kaldı.

Genel formda belirli integral şu ​​şekilde yazılır:

Belirsiz integrale ne eklenir? Daha entegrasyonun sınırları.

Entegrasyonun alt sınırı
Entegrasyonun üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon bölümü.

Pratik örneklere geçmeden önce belirli integral hakkında kısa bir SSS.

Belirli bir integrali çözmek ne anlama gelir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayıyı bulmak anlamına gelir.

Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan aşina olduğunuz Newton-Leibniz formülünü kullanarak:

Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir; ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.

Belirli bir integrali çözme adımları aşağıdaki gibidir:

1) İlk önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluyoruz. Belirli integraldeki sabitin eklenmedi. Tanım tamamen tekniktir ve dikey çubuğun herhangi bir matematiksel anlamı yoktur, aslında sadece bir işarettir; Kaydın kendisine neden ihtiyaç duyuluyor? Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlık.

2) Üst limitin değerini ters türev fonksiyonunda değiştirin: .

3) Alt limitin değerini terstürev fonksiyonunda değiştirin: .

4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.

Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır, her zaman değil.

Örneğin integral mevcut değildir çünkü entegrasyon segmenti integralin alanına dahil değildir (karekökün altındaki değerler negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Doğru parçasının noktalarında teğet olmadığından böyle bir integral de mevcut değildir. Bu arada, öğretim materyalini henüz kim okumadı? Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri– şimdi bunu yapmanın zamanı geldi. Yüksek matematik dersleri boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.

Bunun için Belirli bir integralin var olması için, integralin integral aralığında sürekli olması yeterlidir..

Yukarıdakilerden ilk önemli öneri şu şekildedir: HERHANGİ bir belirli integrali çözmeye başlamadan önce, integral fonksiyonunun olduğundan emin olmanız gerekir. entegrasyon aralığında süreklidir. Öğrenciliğimde, zor bir antiderivatif bulmakta uzun süre uğraştığımda defalarca bir olay yaşadım ve sonunda bulduğumda başka bir soru üzerine kafamı karıştırdım: “Ne tür bir saçmalık olduğu ortaya çıktı” ?” Basitleştirilmiş bir versiyonda durum şuna benzer:

???? Negatif sayıları kökün altına koyamazsınız! Bu da ne böyle? İlk dikkatsizlik.

Çözüm için (bir testte, testte, sınavda) size gibi var olmayan bir integral teklif edilirse, o zaman integralin var olmadığına dair bir cevap vermeniz ve nedenini gerekçelendirmeniz gerekir.

Belirli bir integral negatif bir sayıya eşit olabilir mi? Belki. Ve negatif bir sayı. Ve sıfır. Hatta sonsuzluğa bile dönüşebilir, ama zaten öyle olacak uygunsuz integral Bunlara ayrı bir ders verilmektedir.

Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de bu durum aslında pratikte ortaya çıkıyor.

– integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir.

Yüksek matematik vazgeçilmez olan nedir? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle belirli integralin bazı özelliklerini ele alalım.

Belirli bir integralde işareti değiştirerek üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz.:

Örneğin, belirli bir integralde, entegrasyondan önce, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya göre değiştirilmesi tavsiye edilir:

– bu formda entegre edilmesi çok daha uygundur.

– bu yalnızca iki işlev için değil aynı zamanda herhangi bir sayıda işlev için de geçerlidir.

Belirli bir integralde şu gerçekleştirilebilir: entegrasyon değişkeninin değiştirilmesi ancak belirsiz integralle karşılaştırıldığında bunun kendine has özellikleri vardır ve bunları daha sonra konuşacağız.

Belirli bir integral için aşağıdakiler doğrudur: parça formülüne göre entegrasyon:

Örnek 1

Çözüm:

(1) İntegral işaretinden sabiti çıkarıyoruz.

(2) En popüler formülü kullanarak tablo üzerinden entegrasyon yapın . Ortaya çıkan sabitin ayrılıp braketin dışına konulması tavsiye edilir. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak tavsiye edilir - neden ekstra hesaplamalar yapmalısınız?

. Önce üst limiti, sonra alt limiti değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.

Örnek 2

Belirli integrali hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Görevi biraz karmaşıklaştıralım:

Örnek 3

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm:

(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.

(2) Tüm sabitleri çıkarırken tabloya göre integral alıyoruz - bunlar üst ve alt sınırların ikamesine katılmayacaklar.

(3) Üç terimin her biri için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz:

Belirli integraldeki ZAYIF BAĞLANTI, hesaplama hataları ve İŞARETLERDE yaygın olarak görülen KARIŞIKLIKTIR. Dikkat olmak! Üçüncü döneme özellikle dikkat ediyorum: – dikkatsizlikten kaynaklanan hataların sıralamasında ilk sırada yer alır, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar (özellikle üst ve alt sınırların değiştirilmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar ayrıntılı olarak yazılmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.

Belirli bir integrali çözmek için dikkate alınan yöntemin tek yöntem olmadığı unutulmamalıdır. Biraz tecrübe ile çözüm önemli ölçüde azaltılabilir. Örneğin ben kendim bu tür integralleri çözmeye alışkınım:

Burada sözlü olarak doğrusallık kurallarını kullandım ve tabloyu kullanarak sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırların işaretlendiği tek bir parantezle karşılaştım: (ilk yöntemdeki üç parantezden farklı olarak). Ve “tam” terstürev fonksiyonuna önce 4'ü, sonra -2'yi koyarak yine aklımdaki tüm eylemleri gerçekleştirdim.

Kısa çözümün dezavantajları nelerdir? Hesaplamaların rasyonelliği açısından buradaki her şey pek iyi değil, ama şahsen umurumda değil - sıradan kesirleri bir hesap makinesinde hesaplıyorum.
Ayrıca hesaplamalarda hata yapma riski de yüksektir, bu nedenle çay öğrencisinin ilk yöntemi kullanması daha iyidir; “benim” çözme yöntemiyle işaret kesinlikle bir yerlerde kaybolacaktır.

Ancak ikinci yöntemin şüphesiz avantajları, çözüm hızı, notasyonun kompaktlığı ve antiderivatifin tek parantez içinde olmasıdır.

Tavsiye: Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce şunu kontrol etmekte fayda var: antiderivatifin kendisi doğru bulundu mu?

Dolayısıyla, ele alınan örnekle ilgili olarak: üst ve alt limitleri ters türev fonksiyonuna koymadan önce, taslakta belirsiz integralin doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmeniz önerilir. Ayırt edelim:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani belirsiz integral doğru olarak bulunmuştur. Artık Newton-Leibniz formülünü uygulayabiliriz.

Belirli bir integral hesaplanırken böyle bir kontrol gereksiz olmayacaktır..

Örnek 4

Belirli integrali hesaplayın

Bu sizin kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kısa ve detaylı bir şekilde çözmeye çalışın.

Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme

Belirli bir integral için, belirsiz integral için olduğu gibi her türlü ikame geçerlidir. Bu nedenle, oyuncu değişikliği konusunda pek iyi değilseniz dersi dikkatlice okumalısınız. Belirsiz integralde ikame yöntemi.

Bu paragrafta korkutucu veya zor hiçbir şey yok. Yenilik soruda yatıyor Değiştirirken entegrasyon sınırlarının nasıl değiştirileceği.

Örneklerde sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan yedek türlerini vermeye çalışacağım.

Örnek 5

Belirli integrali hesaplayın

Buradaki asıl soru belirli integral değil, değiştirmenin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğidir. Hadi bakalım integral tablosu ve integrand fonksiyonumuzun en çok neye benzediğini bulalım mı? Açıkçası, uzun logaritma için: . Ancak kökün altındaki integral tablosunda ve bizimkilerde - "x" in dördüncü kuvveti arasında bir tutarsızlık var. Değiştirme fikri de akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır - dördüncü gücümüzü bir şekilde kareye dönüştürmek güzel olurdu. Bu gerçek.

Öncelikle integralimizi değiştirmeye hazırlıyoruz:

Yukarıdaki değerlendirmelerden, oldukça doğal olarak bir değiştirme ortaya çıkar:
Böylece paydada her şey yolunda olacak: .
İntegralin geri kalan kısmının neye dönüşeceğini buluyoruz, bunun için diferansiyeli buluyoruz:

Belirsiz integralde yer değiştirmeyle karşılaştırıldığında ek bir adım ekliyoruz.

Entegrasyonun yeni sınırlarını bulma.

Oldukça basit. Yer değiştirmemize ve eski entegrasyon sınırlarına bakalım.

İlk olarak, yerine koyma ifadesinde integralin alt sınırını, yani sıfırı yerine koyarız:

Daha sonra integralin üst sınırını yerine koyma ifadesine, yani üçün köküne koyarız:

Hazır. Ve sadece...

Çözüme devam edelim.

(1) Değiştirmeye göre yeni integral limitleri olan yeni bir integral yazın.

(2) Bu en basit tablo integralidir, tablo üzerinden integral alıyoruz. Sabiti parantezlerin dışında bırakmak daha iyidir (bunu yapmak zorunda değilsiniz), böylece daha sonraki hesaplamalara engel olmaz. Sağda entegrasyonun yeni sınırlarını gösteren bir çizgi çiziyoruz - bu Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlıktır.

(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz .

Cevabı mümkün olan en kısa biçimde yazmaya çalışıyoruz; burada logaritmanın özelliklerini kullandım.

Belirsiz integralin diğer bir farkı da, ikameyi yaptıktan sonra, herhangi bir ters değişiklik yapılmasına gerek yoktur.

Ve şimdi kendiniz karar vermeniz için birkaç örnek. Hangi değişiklikleri yapmanız gerekir - kendi başınıza tahmin etmeye çalışın.

Örnek 6

Belirli integrali hesaplayın

Örnek 7

Belirli integrali hesaplayın

Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örneklerdir. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Ve paragrafın sonunda, analizi site ziyaretçileri sayesinde ortaya çıkan birkaç önemli nokta var. İlki endişe verici değiştirmenin yasallığı. Bazı durumlarda bu yapılamaz! Böylece, Örnek 6, öyle görünüyor ki, kullanılarak çözülebilir. evrensel trigonometrik ikame ancak entegrasyonun üst sınırı ("pi") dahil değil tanım alanı bu teğet ve dolayısıyla bu ikame yasa dışıdır! Böylece, “değiştirme” işlevi sürekli olmalıdır hepsinde entegrasyon segmentinin noktaları.

Başka bir e-postada şu soru geldi: "Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına aldığımızda integralin sınırlarını değiştirmemiz gerekiyor mu?" İlk başta "saçmalığı bir kenara bırakın" ve otomatik olarak "tabii ki hayır" cevabını vermek istedim ama sonra böyle bir sorunun nedenini düşündüm ve aniden hiçbir bilgi olmadığını keşfettim. yeterli değil. Ancak her ne kadar açık olsa da çok önemlidir:

Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alırsak, integralin sınırlarını değiştirmeye gerek yoktur.! Neden? Çünkü bu durumda yeni değişkene gerçek bir geçiş yok. Örneğin:

Ve burada özetleme, entegrasyonun yeni sınırlarının daha sonra "resmi" ile akademik olarak değiştirilmesinden çok daha uygundur. Böylece, Belirli integral çok karmaşık değilse, fonksiyonu her zaman diferansiyel işaretin altına koymaya çalışın.! Daha hızlıdır, daha kompakttır ve sıradandır; onlarca kez göreceğiniz gibi!

Mektuplarınız için çok teşekkür ederim!

Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi

Burada daha da az yenilik var. Makalenin tüm hesaplamaları Belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon belirli integral için tamamen geçerlidir.
Artı olan tek bir detay var; parçalı integral alma formülüne, integralin sınırları ekleniyor:

Newton-Leibniz formülünü burada iki kez uygulamak gerekir: çarpım için ve integrali aldıktan sonra.

Örnek olarak yine sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan integral türünü seçtim. Örnek en basit değil ama çok bilgilendirici.

Örnek 8

Belirli integrali hesaplayın

Karar verelim.

Parçalara göre integral alalım:

İntegral konusunda zorluk yaşayanlar derse bir göz atsın Trigonometrik fonksiyonların integralleri orada ayrıntılı olarak tartışılıyor.

(1) Çözümü parçalı integral formülüne göre yazıyoruz.

(2) Ürün için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz. Geri kalan integral için onu iki integrale bölerek doğrusallık özelliklerini kullanırız. İşaretlere aldanmayın!

(4) Bulunan iki antiderivatif için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz.

Dürüst olmak gerekirse formülü sevmiyorum. ve mümkünse ... onsuz da yaparım! İkinci çözümü ele alalım; benim açımdan o daha akılcıdır.

Belirli integrali hesaplayın

İlk aşamada belirsiz integrali buluyorum:

Parçalara göre integral alalım:

Antiderivatif fonksiyon bulunmuştur. Bu durumda sabit eklemenin bir anlamı yok.

Böyle bir yürüyüşün avantajı nedir? Entegrasyonun sınırlarını “taşımaya” gerek yok; aslında entegrasyonun sınırlarının küçük sembollerini onlarca kez yazmak yorucu olabilir;

İkinci aşamada kontrol ediyorum(genellikle taslakta).

Ayrıca mantıklı. Antiderivatif fonksiyonu yanlış bulursam belirli integrali de yanlış çözerim. Hemen öğrenmek daha iyi, cevabı farklılaştıralım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani antiderivatif fonksiyon doğru olarak bulunmuştur.

Üçüncü aşama Newton-Leibniz formülünün uygulanmasıdır.:

Ve burada önemli bir fayda var! “Benim” çözüm yönteminde, yerine koymalarda ve hesaplamalarda kafa karışıklığı riski çok daha düşüktür; Newton-Leibniz formülü yalnızca bir kez uygulanır. Çaydanlık benzer bir integrali aşağıdaki formülü kullanarak çözerse (ilk olarak), o zaman mutlaka bir yerde hata yapacaktır.

Ele alınan çözüm algoritması herhangi bir belirli integral için uygulanabilir..

Sevgili öğrenci, yazdırın ve kaydedin:

Size karmaşık görünen veya nasıl çözüleceği hemen belli olmayan belirli bir integral verilirse ne yapmalısınız?

1) İlk önce belirsiz integrali (antitürev fonksiyonu) buluyoruz. İlk aşamada bir serseri varsa, Newton ve Leibniz'le tekneyi daha fazla sallamanın bir anlamı yok. Tek bir yol var - çözme konusundaki bilgi ve becerilerinizi arttırmak belirsiz integraller.

2) Bulunan antiderivatif fonksiyonu türev alarak kontrol ederiz. Yanlış bulunursa üçüncü adım zaman kaybı olacaktır.

3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Tüm hesaplamaları SON DERECE DİKKATLİ bir şekilde yapıyoruz - bu, görevin en zayıf halkasıdır.

Ve atıştırmalık olarak bağımsız çözüm için bir tamamlayıcı.

Örnek 9

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm ve cevap yakınlarda bir yerde.

Konuyla ilgili bir sonraki önerilen ders Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?
Parçalara göre integral alalım:

Bunları çözdüğünüzden ve aynı yanıtları aldığınızdan emin misiniz? ;-) Ve yaşlı bir kadın için porno var.

Daha önce, belirli bir fonksiyon verildiğinde, çeşitli formüller ve kuralların rehberliğinde onun türevini buluyorduk. Türevin çok sayıda kullanımı vardır: hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); fonksiyonun grafiğine teğetin açısal katsayısı; türevi kullanarak bir fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ancak bilinen bir hareket kanununa göre hızı bulma probleminin yanı sıra, ters bir problem de vardır; hareket kanununu bilinen bir hıza göre geri getirme problemi. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder, t zamanındaki hareketinin hızı v=gt formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.
Çözüm. İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = v(t) olduğu bilinmektedir. Bu, problemi çözmek için türevi gt'ye eşit olan bir s = s(t) fonksiyonunu seçmeniz gerektiği anlamına gelir. Tahmin etmek zor değil. bu \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Cevap: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) elde ettik. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü vardır: C'nin keyfi bir sabit olduğu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ biçimindeki herhangi bir fonksiyon, bir denklem yasası olarak hizmet edebilir. hareket, çünkü \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Sorunu daha spesifik hale getirmek için başlangıç ​​durumunu düzeltmemiz gerekiyordu: Hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t = 0'da. Eğer s(0) = s 0 ise, o zaman eşitlik s(t) = (gt 2)/2 + C şunu elde ederiz: s(0) = 0 + C, yani C = s 0. Artık hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikte, karşılıklı ters işlemlere farklı isimler verilir, özel gösterimler icat edilir, örneğin: kare alma (x 2) ve karekök (\(\sqrt(x)\)), sinüs (sin x) ve arksinüs (arcsin x) vb. Belirli bir fonksiyonun türevini bulma sürecine denir farklılaşma ve ters işlem, yani belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci, entegrasyon.

"Türev" teriminin kendisi "gündelik terimlerle" haklı gösterilebilir: y = f(x) fonksiyonu yeni bir y" = f"(x) fonksiyonunu "doğurur". y = f(x) fonksiyonu sanki bir “ana” gibi davranır, ancak matematikçiler doğal olarak onu “ana” veya “üretici” olarak adlandırmazlar; y" fonksiyonuyla ilişkili olarak öyle olduğunu söylerler. f"(x) , birincil görüntü veya ilkel.

Tanım. Eğer F"(x) = f(x) eşitliği \(x \in X\) için geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

Örnekler verelim.
1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur
2) y = x 3 fonksiyonu y = 3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur
3) y = sin(x) fonksiyonu, y = cos(x) fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (sin(x))" = cos(x) eşitliği doğrudur

Türevlerin yanı sıra antiderivatifleri bulurken sadece formüller değil aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Eğer F(x), f(x)'in ters türevi ise, o zaman kF(x), kf(x)'in ters türevidir.

Teorem 1. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(kx + m) fonksiyonunun ters türevi \(y=\frac(1)(k)F fonksiyonudur) (kx+m) \)

Teorem 2. Eğer y = F(x), X aralığında y = f(x) fonksiyonunun bir ters türevi ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve bunların hepsi y = F(x) biçimindedir. + C.

Entegrasyon yöntemleri

Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)

İkame yoluyla entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani ikame) getirilmesini içerir. Bu durumda verilen integral tablo halindeki veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Yer değiştirmeleri seçmek için genel bir yöntem yoktur. Oyuncu değişikliğini doğru şekilde belirleme yeteneği uygulama yoluyla kazanılır.
İntegrali \(\textstyle \int F(x)dx \) hesaplamak gerekli olsun. \(x= \varphi(t) \) ikamesini yapalım; burada \(\varphi(t) \) sürekli türevi olan bir fonksiyondur.
O halde \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ve belirsiz integral için integral formülünün değişmezlik özelliğine dayanarak, yerine koyma yoluyla integral formülünü elde ederiz:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) biçimindeki ifadelerin entegrasyonu

Eğer m tek ise, m > 0 ise, sin x = t yerine koyma işlemi yapmak daha uygundur.
Eğer n tek ise, n > 0, o zaman yerine cos x = t koymak daha uygundur.
Eğer n ve m çift ise, o zaman tg x = t değişimini yapmak daha uygundur.

Parçalara göre entegrasyon

Parçalara göre entegrasyon - entegrasyon için aşağıdaki formülün uygulanması:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
veya:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (antitürevleri) tablosu

Parçalara göre entegrasyon- İntegrallerden birinin kolayca integrallenebildiği ve diğerinin türevlenebildiği belirli ve belirsiz integralleri çözmek için kullanılan bir yöntem. Hem belirsiz hem de belirli integralleri bulmak için oldukça yaygın bir yöntem. Kullanmanız gerektiğinde ana işaret, doğrudan entegre edilemeyen iki fonksiyonun çarpımından oluşan belirli bir fonksiyondur.

Formül

Bu yöntemi başarılı bir şekilde kullanabilmek için formülleri anlayıp öğrenmeniz gerekmektedir.

Belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon formülü:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon formülü:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

Çözüm örnekleri

Testler sırasında öğretmenler tarafından sıklıkla önerilen, parçalara göre entegrasyon çözümlerinin pratik örneklerini ele alalım. Lütfen integral sembolünün altında iki fonksiyonun çarpımının bulunduğunu unutmayın. Bu da bu yöntemin çözüme uygun olduğunun göstergesidir.