Aptallar için matematiğin sınırları: açıklama, teori, çözüm örnekleri. Yöntemi anlayalım

Bayes teoremi ayrı bir makalede ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Harika bir çalışma ama 15.000 kelime uzunluğunda. Makalenin Kalid Azad'dan alınan aynı tercümesi teoremin özünü kısaca açıklamaktadır.

• Araştırma ve testlerin sonuçları olay değildir. Kanseri teşhis etmenin bir yöntemi var ve olayın kendisi var - hastalığın varlığı. Algoritma, mesajın spam içerip içermediğini kontrol eder, ancak olay (spam'ın postaya gerçekten ulaşması), çalışmasının sonucundan ayrı olarak değerlendirilmelidir.
• Test sonuçlarında hatalar var.Çoğu zaman araştırma yöntemlerimiz orada olmayanı ortaya çıkarır (yanlış pozitif) ve olanı tespit etmez (yanlış negatif).
• Testlerin yardımıyla belirli bir sonucun olasılıklarını elde ederiz.Çoğu zaman test sonuçlarına tek başına bakarız ve yöntem hatalarını dikkate almayız.
• Yanlış pozitif sonuçlar resmi bozar.Çok nadir görülen bazı olayları (1.000.000'de 1 vaka) tanımlamaya çalıştığınızı varsayalım. Yönteminiz doğru olsa bile, pozitif sonucunuzun aslında yanlış pozitif olma ihtimali yüksektir.
• Doğal sayılarla çalışmak daha uygundur. Daha doğrusu: 10.000 üzerinden 100, %1 değil. Bu yaklaşımla, özellikle çarpma işleminde daha az hata olacaktır. Diyelim ki bu %1 ile çalışmaya devam etmemiz gerekiyor. Yüzdelerle mantık yürütmek beceriksizdir: "Vakaların %1'inin %80'inde olumlu bir sonuç vardı." Bilginin şu şekilde algılanması çok daha kolaydır: "100 vakanın 80'inde olumlu bir sonuç gözlemlendi."
• Bilimde bile herhangi bir gerçek yalnızca bir yöntemin uygulanmasının sonucudur. Felsefi açıdan bakıldığında, bilimsel bir deney yalnızca hata olasılığı olan bir testtir. Bir kimyasal maddeyi veya bir tür olguyu ortaya çıkaran bir yöntem vardır, bir de olayın kendisi vardır - bu olgunun varlığı. Test yöntemlerimiz yanlış sonuçlar doğurabilir ve tüm ekipmanların doğasında hatalar vardır.

• Bir olayın olasılığını ve yanlış pozitif ve yanlış negatiflerin olasılığını bilirsek, ölçüm hatalarını düzeltebiliriz.
• Teorem, bir olayın olasılığını belirli bir sonucun olasılığıyla ilişkilendirir. Pr(A|X): X sonucu verildiğinde A olayının olasılığı ve Pr(X|A): A olayı verildiğinde X sonucunun olasılığı arasında ilişki kurabiliriz.

Yöntemi anlayalım

• Tüm kadınların %1'i meme kanserine yakalanıyor (ve dolayısıyla %99'u bu hastalığa yakalanmıyor)
• Mamogramların %80'i hastalığı gerçekte varken tespit ediyor (ve buna bağlı olarak %20'si tespit edemiyor)
• Testlerin %9,6'sı kanser olmadığı halde kanseri tespit ediyor (ve buna göre %90,4'ü negatif sonucu doğru şekilde tespit ediyor)

• Kadınların yüzde 1'i meme kanserine yakalanıyor
• hastaya bir hastalık tanısı konulduysa ilk sütuna bakın: yöntemin doğru sonuç verme ihtimali %80, test sonucunun yanlış olma ihtimali ise %20'dir (yanlış negatif)
• hastanın hastalığı tanımlanmamışsa ikinci sütuna bakın. %9,6 olasılıkla çalışmanın olumlu sonucunun yanlış olduğunu, %90,4 olasılıkla hastanın gerçekten sağlıklı olduğunu söyleyebiliriz.

Yöntem ne kadar doğru?

Düşünelim:

• Olumlu bir sonuç var. Tüm olası sonuçlara bakalım: Sonuç ya gerçek pozitif ya da yanlış pozitif olabilir.
• Gerçek pozitif sonuç olasılığı şuna eşittir: Hastalığa yakalanma olasılığı ile testin hastalığı gerçekten tespit etme olasılığı çarpılır. %1 * %80 = 0,008
• Yanlış pozitif sonuç olasılığı şuna eşittir: Hiçbir hastalığın bulunmama olasılığı ile yöntemin hastalığı yanlış tespit etme olasılığı çarpılır. %99 * %9,6 = 0,09504

Bir olayın olasılığı = olayın sonuçları / tüm olası sonuçlar

Gerçek pozitif sonucun olasılığı 0,008'dir. Pozitif sonuç olasılığı, gerçek pozitif sonuç olasılığı + yanlış pozitif olasılığıdır.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Yani test sonucu pozitif olan hastalık olasılığı şu şekilde hesaplanır: 0,008/.10304 = 0,0776. Bu değer yaklaşık %7,8 civarındadır.

Yani, pozitif bir mamogram sonucu, hastalığa yakalanma olasılığının %80 değil, yalnızca %7,8 olduğu anlamına gelir (ikinci değer yalnızca yöntemin tahmini doğruluğudur). Bu sonuç ilk başta anlaşılmaz ve tuhaf görünebilir, ancak dikkate almanız gerekir: yöntem, vakaların %9,6'sında (ki bu oldukça fazla) hatalı pozitif sonuç verir, dolayısıyla numunede çok sayıda hatalı pozitif sonuç olacaktır. Nadir bir hastalık için en olumlu sonuçlar yanlış pozitifler olacaktır.

Tabloya bir göz atalım ve teoremin anlamını sezgisel olarak kavramaya çalışalım. 100 kişi olsak sadece birinde (%1) hastalık var. Bu kişi için yöntemin olumlu sonuç verme ihtimali %80’dir. Geriye kalan %99'un %10'u olumlu sonuçlara sahip olacak, bu da bize kabaca 100 üzerinden 10 hatalı pozitif sonuç verecektir. Tüm olumlu sonuçları dikkate alırsak, o zaman yalnızca 11'de 1'i doğru olacaktır. Yani pozitif sonuç alındığı takdirde hastalık olasılığı 1/11'dir.

Yukarıda bu olasılığın %7,8 olduğunu hesaplamıştık, yani. sayı aslında 1/13'e daha yakın, ancak burada basit bir mantıkla hesap makinesi olmadan kaba bir tahmin bulmayı başardık.

Bayes teoremi

• Pr(A|X) = pozitif sonuç (X) verildiğinde hastalık olasılığı (A). Bizim de tam olarak bilmek istediğimiz şey bu: Bir olayın sonucu olumlu ise gerçekleşme olasılığı nedir? Örneğimizde bu oran %7,8'dir.
• Pr(X|A) = Hastanın gerçekten hasta olması durumunda pozitif sonuç olasılığı (X) (A). Bizim durumumuzda bu gerçek pozitif değerdir - %80
• Pr(A) = hastalanma olasılığı (%1)
• Pr(A değil) = hastalanmama olasılığı (%99)
• Pr(X|not A) = hastalık yoksa çalışmanın olumlu sonuçlanma olasılığı. Bu yanlış pozitiflik oranıdır – %9,6.

Örneğimizde Pr(X) oldukça büyük bir sayıdır çünkü yanlış pozitiflik olasılığı yüksektir.

Pr(X) %7,8'lik bir sonuç üretiyor ve bu ilk bakışta mantığa aykırı görünüyor.

Teoremin anlamı

Spam filtresi

Sahibiz:

• olay A - mektupta spam
• test sonucu - mektuptaki belirli kelimelerin içeriği:

Kara listeye dayalı spam filtresinin dezavantajları vardır; genellikle yanlış pozitif sonuçlar üretir.

Bayes Teoremi spam filtresi dengeli ve akıllı bir yaklaşım kullanır: olasılıklarla çalışır. Bir e-postadaki kelimeleri analiz ettiğimizde, evet/hayır kararları vermek yerine, e-postanın spam olma olasılığını hesaplayabiliriz. Bir mektubun spam içerme olasılığı %99 ise, o zaman mektup gerçekten öyledir.

Zamanla filtre giderek daha büyük bir örnek üzerinde eğitilir ve olasılıkları günceller. Böylece Bayes teoremine göre oluşturulan gelişmiş filtreler arka arkaya birçok kelimeyi kontrol ederek bunları veri olarak kullanır.

Ek kaynaklar:

Etiketler: Etiket ekleyin

Her birimiz gün boyu yanlış anlaşıldığı ya da tam olarak anlaşılmadığı gerçeğiyle karşı karşıya kalırız. En üzücü olan şey ise çoğu durumda suçlunun biz olmamızdır. Ağızları dolu konuşuyorlardı, haritada göstermek yerine yol tariflerini anlatmaya başladılar. Einstein şöyle dedi: " Karmaşık bir şeyi basitçe açıklamak zordur. Kompleksi basitçe açıklamak zordur" Açıklamada biraz çaba harcayarak iletişimin sonucunu on kat artırabiliriz.

Dinlendiğinizden emin olun. Birbirlerini yanlış anlamanın popüler nedenlerinden ilki zayıf işitmedir. Bunun nedenleri: kötü diksiyon, gürültülü ortam veya zayıf telefon bağlantısı. Ve eğer muhatap aynı zamanda makineli tüfek hızında konuşuyorsa, onu anlamak kesinlikle imkansızdır.

Aynı dili konuş. Kullandığınız tüm kelimeleri hem sizin hem de karşınızdakinin aynı şekilde anladığından emin olun. Düşünün ki, bir buçuk bin kilometre uzaktaki akrabalarınızı ziyarete gittiniz ve size “Çırpma teli getirin” diye sordular. Bu süpürge nedir, şarap mı yoksa...? Bu arada anlaşmazlıkların %90'ı tek bir cümleyle söndürülebilir: " Şartlar üzerinde anlaşamadığımız için tartışıyoruz. Onları tartışalım».

Resimler oluşturun. Aynı kelimeleri kullanmak yeterli değil. Her birimizin kafasında aynı görüntüleri yaratmaları gerekiyor. “Akıllı insan” ifadesini duyduğunuzda aklınıza nasıl bir imaj geliyor? Bu muhtemelen düşüncelerinizi kolayca anlayabilen tanıdığınız biridir. Bütün mesele şu ki, akıllı kelimesi, sizin sunduklarınıza karşılık gelen görüntüleri hayal eden kişi anlamına gelir.

Analojiler yapın. Konuşma konusunun ötesine geçmek çoğu zaman faydalıdır. Muhatabınızın deneyiminden benzer bir durumu almak, karmaşık bir konuyu kolaylıkla açıklayabilir. Örneğin, sistem yöneticileri sıklıkla muhasebecilerin bilgisayar ağlarının temellerini anlamadıklarından şikayetçidir. İnsan iletişimi ile bilgisayar etkileşimi arasında bir benzetme yapıldıktan sonra bu sorun ortadan kalkar. Sunucu bankta oturan dedikoducu bir büyükannedir, bilgiler dedikodudur. Artık sunucu gözbebeği gibi el üstünde tutulacak ve yetkililerin incelemesi durumunda gizlenecek.

Çizmek. Hemen hemen her karmaşık şey çizilebilir. Karmaşıklık nesnelerin mantıksal ilişkisinde yatıyorsa, Euler dairelerini kullanabilirsiniz. Eğer mesele o kadar çok bileşen varsa ki kafanız karışıyorsa o zaman zihin haritalamayı kullanabilirsiniz. Hangi faaliyetlere en çok dikkat edilmesi gerektiğini gösteren bir resim örneği:

Açıklayıcı sorular sorun. Açıklamak yeterli değil; doğru anlaşılıp anlaşılmadığınızı da kontrol etmeye değer. Ve ideal olarak bunu yazdılar. "Ne yapmaktan hoşlanırım" ve "Ne yapabilirim" çevrelerinin kesişimine ne dendiğini tahmin ettiniz, ama ne için para alamıyorlar?

Zaman saniye, dakika ve saate dayalıdır.

Bu birimlerin temeli tarih boyunca değişse de köklerinin antik Sümer devletine kadar uzandığı söylenebilir.

Modern uluslararası zaman birimi, sezyum atomunun elektronik geçişiyle belirlenir. Peki nedir bu fiziksel miktar?

Zaman olayların ilerleyişini ölçer

Zaman, olayların ilerleyişinin bir ölçüsüdür. Fizikçiler bu miktarı olayların geçmişten günümüze ve geleceğe doğru ilerlemesi olarak tanımlarlar. Temel olarak eğer sistem değişmezse bu göstergenin dışındadır. Zaman, üç boyutlu uzaydaki olayları tanımlamak için kullanılan gerçekliğin dördüncü boyutu olarak düşünülebilir. Görebildiğimiz, hissedebildiğimiz veya tadabildiğimiz bir şey değil ama geçişini ölçebiliyoruz.

Ok, zamanın geçmişten geleceğe doğru aktığını, tersinin olmadığını gösterir.

Saatin üzerindeki ibre, zamanın ters yönde değil, geçmişten geleceğe doğru ilerlediğini gösterir. Fiziksel denklemler, bir niceliğin geleceğe doğru (pozitif zaman) ya da geçmişe (negatif zaman) doğru gitmesine bakılmaksızın eşit derecede iyi çalışır. Ancak doğal dünyada bu miktarın tek bir yönü vardır. Neden geri döndürülemez olduğu sorusu bilimin çözülmemiş en büyük sorularından biridir.

Açıklamalardan biri, doğal dünyanın termodinamik yasalarına uymasıdır. Termodinamiğin ikinci yasası, kapalı bir sistemde entropinin sabit kaldığını veya arttığını belirtir. Evren kapalı bir sistem olarak kabul edilirse entropisi (düzensizlik derecesi) hiçbir zaman azalamaz. Başka bir deyişle zamanın daha önceki durumuna geri dönmesi mümkün değildir. Bu miktar geriye doğru hareket edemez.

Yavaşlamak veya hızlanmak

Çalışan bir saat zamanı doğru şekilde gösterir. Klasik mekanikte durum her yerde aynıdır. Ancak Einstein'ın özel ve genel görelilik teorilerinden miktarın göreceli bir kavram olduğunu biliyoruz. Gösterge gözlemcinin referans çerçevesine bağlıdır. Bu, olaylar arasındaki sürenin, olaylardan biri ışık hızına yaklaştıkça uzadığı (genişlediği) öznel yavaşlamaya yol açabilir.

Hareketli saatler, sabit saatlere göre daha yavaş çalışır; hareket eden mekanizma ışık hızına yaklaştıkça etki daha belirgin hale gelir. Dünya'nın yörüngesindeki saatler, zamanı yüzeydekilere göre daha yavaş kaydeder, müon parçacıkları düştükçe daha yavaş bozunur ve Michelson-Morley deneyi uzunluğun kısaldığını ve büyüklüğün genişlediğini doğruladı.

Paralel gerçeklik, zamanda yolculuk yaparken zaman paradoksunu önlemeye yardımcı olur

Zaman yolculuğundaki zaman paradoksu, paralel bir gerçekliğe yolculuk yapılarak önlenebilir. Seyahat, tıpkı uzayda farklı noktalar arasında hareket edebildiğiniz gibi, farklı zamanlarda ileri veya geri gitmek anlamına gelir. Zamanda ileri atlamak doğada meydana gelir. Uzay istasyonundaki astronotlar Dünya'ya döndüklerinde hızlanma yaşarlar ve istasyona göre yavaşlarlar.

Mevcut sorunlar

Ancak zamanda yolculuk sorunlar yaratır. Bunlardan biri nedensellik ya da neden-sonuç ilişkisidir. Geriye doğru hareket etmek zaman paradoksunu tetikleyebilir.

Büyükbaba Paradoksu bilimde klasik bir örnektir. Ona göre anneniz veya babanız doğmadan geriye dönüp dedenizi öldürürseniz, kendi doğumunuza engel olabilirsiniz.

Pek çok fizikçi geçmişe zamanda yolculuğun imkansız olduğuna inanıyor ancak paradoksun paralel evrenler veya dallanma noktaları arasında yolculuk gibi çözümleri var.

Fiziksel nicelik algısı

Yaşlanma, zaman algısını etkiliyor ancak bilim insanları bu konuda hemfikir değil. İnsan beyni zamanı takip etme yeteneğine sahiptir. Beynin suprakiazmatik çekirdekleri günlük veya sirkadiyen doğal ritimlerden sorumlu alandır. Nörostimülanlar ve ilaçlar algısını önemli ölçüde etkiler. Nöronları uyaran kimyasallar onların daha hızlı çalışmasına neden olurken, nöron aktivitesinin azalması da zaman algısını yavaşlatıyor.

Temel olarak etrafınızdaki her şey hızlanıyor gibi göründüğünde beyin belirli bir aralıkta daha fazla olay üretir. Bu bakımdan eğlenirken zaman gerçekten uçup gidiyor gibi görünüyor. Ancak acil veya tehlike zamanlarında yavaşlıyor gibi görünüyor.

Houston'daki Baylor Tıp Fakültesi'ndeki bilim insanları, beynin aslında hızlanmadığını ancak amigdala gibi bir bölgenin daha aktif hale geldiğini söylüyor. Amygdala, beynin anıları oluşturmaktan sorumlu kısmıdır. Daha fazla anı oluştukça zaman uzuyor gibi görünüyor.

Aynı olgu, yaşlı insanların zamanı neden genç olduklarına göre daha hızlı algıladıklarını da açıklıyor. Psikologlar beynin tanıdık deneyimlerden çok yeni deneyimlere ilişkin anılar oluşturduğuna inanıyor. Yaşamın ilerleyen dönemlerinde yeni anıların sayısı giderek azaldığı için, yaşlı kişinin algısında zaman daha hızlı geçiyor gibi görünüyor.

Zamanın başlangıcı ve sonu

Giderek daha fazla bilim adamı, Evrenimizin, kütle, zaman ve uzay gibi göstergelerin not edilmediği belirli bir geleneksel noktanın güçlü bir patlaması sonucu doğduğuna inanma eğilimindedir.

Gökbilimci Stephen Hawking ve Cambridge'li meslektaşı Neil Turok, kelimenin doğduğu orijinal bir fikir olduğunu öne sürüyor. Zaman ve mekânı kapsayan bu iki kavramdı.

Zamanın başı mı yoksa sonu mu olduğu bilinmiyor. Evren'e gelince, zaman onun içinde başladı. Başlangıç ​​noktası 13.799 milyar yıl önce Büyük Patlama'nın meydana geldiği zamandı. Bu sürecin kanıtı, uzaydaki kalıntı radyasyon ve geri çekilen galaksilerin konumudur. Şu anda, doğal organizasyonun bir seviyesinden diğerine - çekirdekten atoma ve ardından canlı maddenin ortaya çıktığı moleküle - geçişler gerçekleşmeye başlıyor.

Kozmik arka plan ışınımını Büyük Patlama'dan gelen mikrodalgalar olarak ölçebiliyoruz, ancak daha eski kökenlere sahip hiçbir ışınım gözlemlenmedi.

Zamanın kökenine ilişkin bir argüman, eğer süresiz olarak genişlerse gece gökyüzünün eski yıldızların ışığıyla dolacağıdır.

Zamanın sonu olacak mı?

Bu sorunun cevabı bilinmiyor. Evren sonsuza kadar genişlerse zaman devam edecektir. Yeni bir Büyük Patlama olursa zaman çizelgemiz sona erecek ve yeni bir geri sayım başlayacak. Parçacık fiziği deneylerinde, boşluktan rastgele parçacıklar ortaya çıkıyor, dolayısıyla evrenin durağan ya da zamansız olmayacağı anlaşılıyor. Zaman gösterecek…

Parçacık fiziği nedir?

Paul Sorenson

fizikçi

“Mümkün olan en küçük şeyi elde edene kadar küçük şeyleri daha da küçük parçalara ayırmak için bir araya getiriyoruz. Bu şekilde tüm maddenin neyden yapıldığını bileceğiz.”

Higgs bozonu nedir?

fizikçi

“Çevremizdeki her şey tıpkı Lego gibi küçük parçalardan oluşuyor. Ancak bu küp şeyler kendi başlarına yıldırım gibi inanılmaz hızlı hareket ederler. Böyle bir dünyada yaşayamazdık; bu tam bir delilik olurdu! Böylece bilim insanları her şeyi yavaşlatan bir şeyin olması gerektiğini fark etti. Nesnelerin göz açıp kapayıncaya kadar uçup gitmesini engelleyen yapıştırıcıya benzer bir şey. Lambayı açtığımızda ışığın odaya ne kadar hızlı yayıldığına dikkat edin. Ancak diğer birçok şey bu kadar hızlı ilerleyemez. Ve bu yapıştırıcıyı görmek çok zordur. Bunun için dev makineler ve büyük miktarda enerji kullanıldı. Ancak o zaman onu görebildik ve artık gerçekten var olduğundan emin olduk.”

Higgs mekanizması nedir?

David Miller

fizikçi

“Bir kokteyl partisi hayal edin: Katılımcı politikacılar odaya eşit şekilde dağılmış durumda, herkes en yakın komşularıyla sosyalleşiyor. Eski başbakan odaya giriyor ve en yakın meslektaşları hemen ona doğru koşuyor, etrafında bir kalabalık oluşuyor.<…>Etraftaki sürekli insan kalabalığı nedeniyle normalden daha fazla kütle kazanır, yani oda içinde aynı hızda hareket ederken daha fazla atalete sahiptir. Bir kez hareket etmeye başladığında durması zor olacaktır, bir kez durduğunda ise tekrar hareket etmesi zor olacaktır. Üç boyutlu uzayda ve tüm göreceli karmaşıklıklar hesaba katıldığında, bu Higgs mekanizmasıdır. Temel parçacıklara kütle kazandırmak için, parçacıklar içinden geçerken yerel olarak bozulan ek bir arka plan alanı sunuyoruz. Alanın parçacığın etrafında kümelenmesi olan bu çarpıklık, onun kütlesine yol açıyor.”

Bağışıklık nasıl çalışır?
ve C tipi lektinler nelerdir

Ana Lobato

immünolog

“Vücudumuz misafirleri pek sevmiyor, özellikle de arkadaş gibi görünmeyenleri. Biri içeri girdiğinde hücrelerimiz ona farklı gözlerle “bakar”. Farklı “gözler” farklı şekil ve formları görür, böylece ne tür bir uzaylı olduklarını ve onlarla ne yapacaklarını anlayabilirler. Normal gözler gibi değil, nesnelere dokunan küçük eller gibi davranırlar. Bozulmuş yiyeceklerin üzerinde küf oluşması gibi garip şeyleri "gören" bu "gözlerin" yalnızca bir türünü inceliyorum. Ancak bu "gözler" her şeyi tek başına yapmıyor. Çok sayıda arkadaşları ve yardımcıları var ve ne kadar çok olursa o kadar iyi. Birlikte yabancıya saldırıp onu yerler. Yemek yedikten sonra arta kalanları arkadaşlarına gösterirler, böylece hangi kötü adamlarla savaşmaya değer olduğunu bilirler. Vücudumuz bizi hastalıklardan bu şekilde koruyor.”

Bir kuantum bilgisayar ne kadar güçlü olabilir?

Umesh Vazirani

Kaliforniya Üniversitesi'nde profesör

"Eski bir efsane vardır. Bana göre Babür İmparatoru Ekber'in sarayındaki sadrazam Birbal'la ilgili. İmparator hizmetinden o kadar memnun kaldı ki kendisine teşekkür etmek için ne gibi bir hediye verebileceğini sordu. Bakan pirinç dileyerek karşılık verdi. Satranç tahtasının ilk karesine bir tane, ikinci karesine iki, üçüncü karesine dört tane koymasını istedi. Sayman pirinç tanelerini saymaya başladı ve bunlar satranç tahtasının sonuna varmadan önce tüm ahır toplandı. boş. Aynı şekilde kuantum hesaplama algoritması da güçte üstel bir artış gösteriyor.”

Bir kara delik nasıl görselleştirilir?

Robert Don

uzman
eğitim talimatlarına göre

“Büyük bir streç film parçası alın, elinize uzatın ve ortasına küçük bir top yerleştirin, böylece ağırlığından dolayı bir sapma oluştursun. Çarşafın üzerine birkaç damla su damlatın ve filmi doğrudan topa doğru yuvarlamalarını izleyin. Bu yerçekiminin nasıl çalıştığını gösterecek. Topu çıkarın ve çocuğun filmi parmağıyla hissetmesine ve anlamasına izin verin - ne kadar çok geri çekerseniz (nesne ne kadar ağırsa), huni ne kadar güçlü olursa o kadar güçlü olur. Daha sonra çocuğunuzdan filmin ortasında çok ağır bir nesneyi temsil edecek bir delik açmasını isteyin. Bu delikten su damlaları akacaktır. Kara deliğin uzayı bükecek kadar ağır bir nesne olduğu ortaya çıktı. Bunun içine giren her şey (damlalar gibi) asla geri dönmez."

Banka neden çöktü
Lehman Kardeşler

(2008 küresel ekonomik krizinin başlangıç ​​noktası)?

Nathan Myers

iktisatçı

“Bir adam mağazadan tanesi 1 dolara 10 Snickers aldı ve bunları okulda gün içinde 1,50 dolara sattı. Bu kadar kolay olsaydı ertesi gün 100 çikolata satabileceğini düşündü. 100 Snickers alabilmek için arkadaşlarından 10 dolar borç alması gerekiyordu. Ancak ertesi gün okula geldiğinde koridorda 75 sente çikolata satan bir otomat vardı. Elbette kimse bunları 1,50 dolara almak istemiyordu, o da fiyatı 75 sente düşürmek zorunda kaldı. Sonuçta elde ettiği para arkadaşlarına olan borcunu ödemeye bile yetmedi ve onu dövdüler.”

Tüm modern hayvan grupları birdenbire nasıl ortaya çıktı?

Mark Srur

paleontolog

“545 milyon yıl önce tüm modern hayvan grupları aniden gezegende ortaya çıktı. (daha önce ortaya çıkan süngerler ve denizanası hariç). Kambriyen Patlaması olarak adlandırılan bu olayın birçok faktörle ilişkili olması nedeniyle açıklanması kolay değildir.

İlk olarak, Kriyojen ve Ediakaran dönemlerine ait dünyayı karşılaştırmaya değer. İlkinde kocaman bir kartopuna benziyordu, ikincisinde ise ısınmaya başladı. Sıcak bir iklimde hayvanların gelişmesi daha kolay hale geldi. O zamanlar aralarında rekabet olmadığından en tuhaf biçimlere bürünmeye başladılar. Bazı evrimsel deneyler bize yalnızca fosiller halinde ulaşmıştır. Diğerleri daha başarılıydı ve bu hayvanlar, vücutlarını nasıl daha iyi geliştirebilecekleri konusunda diğerlerine bilgi aktardılar.

Açıklık sağlamak içinbeş aynı tasarımı al
Lego tuğlalarından

Netlik sağlamak için Lego tuğlalarından yapılmış beş özdeş yapıyı ele alalım. Kambriyen döneminin başında bulduğumuz canlıları temsil edecekler. Daha sonra bunlara rastgele ayrıntılar ekleyin. Eklenen her blok başarılı bir evrimsel deneyi temsil edecek. Hatta yapıların her birine üç parça ekledikten sonra türlerinin ne kadar farklılaşmaya başladığını, ne kadar çok küp eklerseniz yapıların birbirine o kadar az benzeyeceğini göreceksiniz.

Bu, gelişimsel genetiğin ve makroevrimsel dinamiklerin bilimsel ormanına girmeden, gelişimsel kanalizasyon dediğimiz şeyin sezgisel bir açıklamasıdır. Lego deneyi, doğal seçilim yoluyla başarılı özelliklerin nasıl sağlamlaştığını ve hayvanların vücut yapısının geri dönülemez biçimde nasıl farklılaşmaya başladığını gösteriyor. Modern biyoçeşitliliğe zemin hazırlayan Kambriyen Patlaması sırasında olan da buydu.”

Fizikçilere göre, eğer gerçekten varlarsa, ek uzaysal boyutlar çökmüştür. Karınca örneğine dönecek olursak, bir kağıt parçasını silindir oluşturacak şekilde bükebiliriz. Bu durumda karınca bir yönde sürünmeye başlarsa, sonunda başladığı noktaya geri dönecektir. Bu sıkıştırılmış boyutun bir örneğidir. Eğer bir karınca bir silindirin uzunluğuna paralel olarak sürünürse, asla başlangıç ​​noktasına geri dönmeyecektir (özellikle de kağıt silindirin sonsuz uzunlukta olduğunu hayal edersek). Bu "düz" ölçümün bir örneğidir. Sicim teorisine göre uzayın tanıdık üç boyutunun “düz” olduğu bir dünyada yaşıyoruz; ancak çok küçük bir yarıçapa bükülmüş ek boyutlar var -30'da 10 cm derece veya daha az."

Limitler tüm matematik öğrencilerine pek çok sorun yaşatır. Bir limiti çözmek için bazen çok sayıda hile kullanmanız ve çeşitli çözüm yöntemleri arasından tam olarak belirli bir örnek için uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını anlamanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu yanıtlamaya çalışacağız: Yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla birlikte limit çözme konusunda birkaç ayrıntılı örnek vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şu: Bu sınır nedir ve neyin sınırı? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey bu. Ama önce limitin en genel tanımı:

Diyelim ki bazı değişken değerler var. Değişim sürecindeki bu değer sınırsız olarak belirli bir sayıya yaklaşıyorsa A , O A – bu değerin sınırı.

Belirli bir aralıkta tanımlanan bir fonksiyon için f(x)=y böyle bir sayıya limit denir A , işlevin ne zaman yöneldiği X belli bir noktaya doğru yönelen A . Nokta A fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal gelebilir ama çok basit bir şekilde yazılmıştır:

Lim- İngilizce'den sınır- sınır.

Limitin belirlenmesine ilişkin geometrik bir açıklama da var ancak konunun teorik yönünden ziyade pratik tarafıyla ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere eğilimlidir; bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz derecede yaklaştığı anlamına gelir.

Spesifik bir örnek verelim. Görev sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3 bir fonksiyona dönüşür. Şunu elde ederiz:

Bu arada, eğer ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

Örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte bir örnek: X sonsuza doğru yönelir:

Sezgisel olarak paydadaki sayı ne kadar büyük olursa fonksiyonun alacağı değer o kadar küçük olur. Yani sınırsız büyümeyle X Anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, çaba göstereceğiniz değeri fonksiyona koymanız yeterlidir. X . Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar açık değildir. Sınırlar dahilinde türde belirsizlikler var 0/0 veya sonsuzluk/sonsuzluk . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hilelere başvur!

İçerideki belirsizlikler

Sonsuzluk/sonsuzluk formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Fonksiyonun yerine sonsuzu koymaya çalışırsak hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmenin belli bir sanat unsurunun olduğunu söylemekte fayda var: işlevi belirsizliği ortadan kaldıracak şekilde nasıl dönüştürebileceğinize dikkat etmeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda pay ve paydayı şuna böleriz: X son sınıfta. Ne olacak?

Yukarıda tartışılan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfıra yöneleceğini biliyoruz. O halde limitin çözümü:

Tür belirsizliklerini çözmek için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna böl: X en yüksek derecede.

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değerleri fonksiyona koymak x=-1 verir 0 pay ve paydada. Biraz daha yakından baktığınızda payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Azaltalım ve elde edelim:

Dolayısıyla, tür belirsizliğiyle karşı karşıya kalırsanız 0/0 – pay ve paydayı çarpanlarına ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo sunuyoruz:

L'Hopital'in kuralı içeride

Her iki belirsizlik türünü de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alın.

L'Hopital kuralı şuna benzer:

Önemli nokta : Pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin bulunması gereken limit.

Ve şimdi - gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alalım:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde çözülür.

Bu bilgiyi pratikte faydalı bir şekilde uygulayabileceğinizi ve "yüksek matematikte limitlerin nasıl çözüleceği" sorusunun cevabını bulabileceğinizi umuyoruz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve bu iş için kesinlikle zamanınız yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için profesyonel bir öğrenci servisiyle iletişime geçin.