İstatistiklerdeki çeşitliliğin ana genelleştirici göstergeleri dağılımlar ve standart sapmalardır.
Dağılım bu aritmetik ortalama her bir karakteristik değerin genel ortalamadan sapmalarının karesi. Varyans genellikle sapmaların ortalama karesi olarak adlandırılır ve 2 ile gösterilir. Kaynak verilere bağlı olarak varyans, basit veya ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılarak hesaplanabilir:
ağırlıklandırılmamış (basit) varyans;
varyans ağırlıklı.
Standart sapma bu mutlak boyutların genelleştirici bir özelliğidir varyasyonlar toplu olarak işaretler. Nitelik ile aynı ölçü birimleriyle (metre, ton, yüzde, hektar vb.) ifade edilir.
Standart sapma, varyansın kareköküdür ve ile gösterilir:
standart sapma ağırlıklandırılmamış;
ağırlıklı standart sapma.
Standart sapma ortalamanın güvenilirliğinin bir ölçüsüdür. Standart sapma ne kadar küçük olursa, aritmetik ortalama temsil edilen popülasyonun tamamını o kadar iyi yansıtır.
Standart sapmanın hesaplanmasından önce varyansın hesaplanması gerekir.
Ağırlıklı varyansın hesaplanmasına ilişkin prosedür aşağıdaki gibidir:
1) ağırlıklı aritmetik ortalamayı belirleyin:
2) seçeneklerin ortalamadan sapmalarını hesaplayın:
3) her seçeneğin ortalamadan sapmasının karesi:
4) sapmaların karelerini ağırlıklarla (frekanslar) çarpın:
5) ortaya çıkan ürünleri özetleyin:
6) Ortaya çıkan miktar, ağırlıkların toplamına bölünür:
Örnek 2.1
Ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplayalım:
Ortalamadan sapmaların değerleri ve kareleri tabloda sunulmaktadır. Varyansı tanımlayalım:
Standart sapma şuna eşit olacaktır:
Kaynak veriler aralık şeklinde sunuluyorsa dağıtım serisi , daha sonra önce özelliğin ayrık değerini belirlemeniz ve ardından açıklanan yöntemi uygulamanız gerekir.
Örnek 2.2
Kolektif bir çiftliğin ekili alanının buğday verimine göre dağılımına ilişkin verileri kullanarak aralık serisi için varyans hesaplamasını gösterelim.
Aritmetik ortalama:
Varyansı hesaplayalım:
6.3. Bireysel verilere dayalı bir formül kullanarak varyansın hesaplanması
Hesaplama tekniği farklılıklar karmaşıktır ve büyük seçenek ve frekans değerleriyle hantal olabilir. Hesaplamalar dağılım özellikleri kullanılarak basitleştirilebilir.
Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir.
1. Değişen bir özelliğin ağırlıklarının (frekanslarının) belirli sayıda azaltılması veya arttırılması, dağılımı değiştirmez.
2. Bir özelliğin her değerini aynı sabit miktarda azaltın veya artırın A dağılımını değiştirmez.
3. Bir özelliğin her değerini belirli sayıda azaltın veya artırın k varyansı sırasıyla azaltır veya artırır. k 2 kez standart sapma içinde k bir kere.
4. Bir özelliğin rastgele bir değere göre dağılımı, ortalama ve isteğe bağlı değerler arasındaki farkın kare başına aritmetik ortalamasına göre dağılımdan her zaman daha büyüktür:
Eğer A 0 ise aşağıdaki eşitliğe ulaşırız:
yani, özelliğin varyansı, karakteristik değerlerin ortalama karesi ile ortalamanın karesi arasındaki farka eşittir.
Varyans hesaplanırken her özellik bağımsız olarak veya diğerleriyle birlikte kullanılabilir.
Varyansı hesaplama prosedürü basittir:
1) belirlemek aritmetik ortalama :
2) aritmetik ortalamanın karesi:
3) serinin her bir varyantının sapmasının karesi:
X Ben 2 .
4) seçeneklerin karelerinin toplamını bulun:
5) seçeneklerin karelerinin toplamını sayılarına bölün, yani. ortalama kareyi belirleyin:
6) Karakteristiğin ortalama karesi ile ortalamanın karesi arasındaki farkı belirleyin:
Örnek 3.1İşçi verimliliğine ilişkin aşağıdaki veriler mevcuttur:
Aşağıdaki hesaplamaları yapalım:
Bir önceki bölümde, argümanların dağılım yasaları bilindiğinde fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmamızı sağlayan bir dizi formül sunmuştuk. Ancak çoğu durumda, fonksiyonların sayısal özelliklerini bulmak için argümanların dağılım yasalarını bilmek bile gerekli değildir, yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmek yeterlidir; aynı zamanda genellikle herhangi bir dağıtım kanunu olmadan da bunu yaparız. Argümanların verilen sayısal özelliklerinden fonksiyonların sayısal özelliklerini belirlemek olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılır ve bir dizi problemin çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilir. Bu basitleştirilmiş yöntemlerin çoğu doğrusal fonksiyonlarla ilgilidir; ancak bazı temel doğrusal olmayan fonksiyonlar da benzer bir yaklaşıma izin verir.
Şu anda, fonksiyonların sayısal özellikleri üzerine, bu özelliklerin hesaplanması için çok çeşitli koşullara uygulanabilen çok basit bir cihazı temsil eden bir dizi teorem sunacağız.
1. Rastgele olmayan bir değerin matematiksel beklentisi
Formüle edilen özellik oldukça açıktır; rastgele olmayan bir değişkenin özel bir rastgele türü olarak ele alınmasıyla kanıtlanabilir; olası bir değeri bir olasılıkla; daha sonra matematiksel beklentinin genel formülüne göre:
.
2. Rastgele olmayan bir değişkenin dağılımı
Rastgele olmayan bir değerse, o zaman
3. Matematiksel beklenti işaretinin yerine rastgele olmayan bir değer koymak
, (10.2.1)
yani rastgele olmayan bir değer matematiksel beklentinin işareti olarak alınabilir.
Kanıt.
a) Süreksiz miktarlar için
b) Sürekli miktarlar için
.
4. Dağılım ve standart sapma işaretinden rastgele olmayan bir değerin çıkarılması
Rastgele olmayan bir miktarsa ve rastgele ise, o zaman
, (10.2.2)
yani dağılımın işaretinin karesi alınarak rastgele olmayan bir değer çıkarılabilir.
Kanıt. Varyansın tanımı gereği
Sonuçlar
,
yani standart sapmanın işaretinden mutlak değeri kadar rastgele olmayan bir değer çıkarılabilir. Kanıtı (10.2.2) formülünden karekök alarak ve r.s.o.'yu hesaba katarak elde ederiz. - önemli ölçüde pozitif bir değer.
5. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi
Herhangi iki rastgele değişken için bunu kanıtlayalım ve
yani iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bu özellik matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremi olarak bilinir.
Kanıt.
a) Süreksiz rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. İki bağımsız değişkenli bir fonksiyonun matematiksel beklentisi için genel formülü (10.1.6) rastgele değişkenlerin toplamına uygulayalım:
.
Ho, miktarın şu değeri alacağı toplam olasılıktan başka bir şeyi temsil etmez:
;
buradan,
.
Benzer şekilde bunu kanıtlayacağız
,
ve teorem kanıtlanmıştır.
b) Sürekli rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem olsun. Formül (10.1.7)'ye göre
. (10.2.4)
İntegrallerden (10.2.4) ilkini dönüştürelim:
;
benzer şekilde
,
ve teorem kanıtlanmıştır.
Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teoremin hem bağımlı hem de bağımsız herhangi bir rastgele değişken için geçerli olduğuna özellikle dikkat edilmelidir.
Matematiksel beklentilerin eklenmesine ilişkin teorem, rastgele sayıda terime genelleştirilmiştir:
, (10.2.5)
yani, birkaç rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.
Bunu kanıtlamak için tam tümevarım yöntemini kullanmak yeterlidir.
6. Doğrusal bir fonksiyonun matematiksel beklentisi
Birkaç rastgele argümanın doğrusal bir fonksiyonunu düşünün:
rastgele olmayan katsayılar nerede. Hadi bunu kanıtlayalım
, (10.2.6)
yani doğrusal bir fonksiyonun matematiksel beklentisi, argümanların matematiksel beklentilerinin aynı doğrusal fonksiyonuna eşittir.
Kanıt. M.o.'nun toplama teoremini kullanarak. ve m.o. işaretinin dışına rastgele olmayan bir miktar yerleştirme kuralını elde ederiz:
.
7. Gösterimepbu rastgele değişkenlerin toplamı
İki rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamı artı korelasyon momentinin iki katına eşittir:
Kanıt. Haydi belirtelim
Matematiksel beklentilerin eklenmesi teoremine göre
Rastgele değişkenlerden karşılık gelen merkezli değişkenlere geçelim. Eşitlik (10.2.9) terimini eşitlikten (10.2.8) terim terim çıkararak şunu elde ederiz:
Varyansın tanımı gereği
Q.E.D.
Toplamın varyansına ilişkin formül (10.2.7), herhangi bir sayıda terime genelleştirilebilir:
,
(10.2.10)
miktarların korelasyon momenti nerede, toplamın altındaki işaret, toplamın rastgele değişkenlerin tüm olası ikili kombinasyonlarına kadar uzandığı anlamına gelir 
.
Kanıt öncekine benzer ve bir polinomun karesi formülünden gelir.
Formül (10.2.10) başka bir biçimde yazılabilir:
, (10.2.11)
çift toplamın miktarlar sisteminin korelasyon matrisinin tüm elemanlarına uzandığı yer , hem korelasyon momentlerini hem de varyansları içerir.
Eğer tüm rastgele değişkenler Sisteme dahil olan , korelasyonsuzsa (yani , olduğunda), formül (10.2.10) şu şekli alır:
, (10.2.12)
yani ilişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir.
Bu pozisyon varyansların toplamı teoremi olarak bilinir.
8. Doğrusal bir fonksiyonun varyansı
Birkaç rastgele değişkenin doğrusal bir fonksiyonunu ele alalım.
rastgele olmayan miktarlar nerede.
Bu doğrusal fonksiyonun dağılımının formülle ifade edildiğini kanıtlayalım.
, (10.2.13)
büyüklüklerin korelasyon momenti nerede , .
Kanıt. Gösterimi tanıtalım:
. (10.2.14)
Toplamın ifadenin (10.2.14) sağ tarafına dağılımı için formül (10.2.10)'u uygulayarak ve bunu dikkate alarak şunu elde ederiz:
büyüklüklerin korelasyon momenti nerede:
.
Bu anı hesaplayalım. Sahibiz:
;
benzer şekilde
Bu ifadeyi (10.2.15)'te yerine koyarsak (10.2.13) formülüne ulaşırız.
Tüm miktarların olduğu özel durumda korelasyonsuzsa formül (10.2.13) şu şekli alır:
, (10.2.16)
yani, ilişkisiz rastgele değişkenlerin doğrusal bir fonksiyonunun varyansı, katsayıların karelerinin ve karşılık gelen argümanların varyanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.
9. Rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi
İki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentileri artı korelasyon momentinin çarpımına eşittir:
Kanıt. Korelasyon momentinin tanımından devam edeceğiz:
Bu ifadeyi matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak dönüştürelim:
bu açıkça formül (10.2.17)'ye eşdeğerdir.
Rastgele değişkenler korelasyonsuzsa formül (10.2.17) şu formu alır:
yani, ilişkisiz iki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu konum matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi olarak bilinir.
Formül (10.2.17), sistemin ikinci karma başlangıç momenti ve matematiksel beklentileri aracılığıyla ikinci karma merkezi momentinin ifadesinden başka bir şey değildir:
. (10.2.19)
Bu ifade, pratikte korelasyon momentini hesaplarken, bir rastgele değişken için varyansın çoğunlukla ikinci başlangıç momenti ve matematiksel beklenti yoluyla hesaplanmasıyla aynı şekilde kullanılır.
Matematiksel beklentilerin çarpımı teoremi, keyfi sayıda faktöre genelleştirilir, ancak bu durumda, uygulaması için, miktarların korelasyonsuz olması yeterli değildir, ancak sayısı bağlı olan bazı daha yüksek karışık momentlerin olması gerekir. çarpımdaki terimlerin sayısına bağlı olarak kaybolur. Çarpımdaki rastgele değişkenlerin bağımsız olması durumunda bu koşullar kesinlikle karşılanır. Bu durumda
, (10.2.20)
yani bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, onların matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.
Bu önerme tam tümevarımla kolayca kanıtlanabilir.
10. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı
Bağımsız nicelikler için bunu kanıtlayalım.
Kanıt. belirtelim. Varyansın tanımı gereği
Büyüklükler bağımsız olduğundan ve
Bağımsız olduklarında miktarlar da bağımsızdır; buradan,
,
Ancak büyüklüğün ikinci başlangıç anından başka bir şey yoktur ve bu nedenle dağılım yoluyla ifade edilir:
;
benzer şekilde
.
Bu ifadeleri (10.2.22) formülünde yerine koyup benzer terimleri bir araya getirerek (10.2.21) formülüne ulaşırız.
Merkezi rastgele değişkenlerin (matematiksel beklentileri sıfıra eşit olan değişkenler) çarpılması durumunda formül (10.2.21) şu şekli alır:
, (10.2.23)
yani bağımsız merkezli rastgele değişkenlerin çarpımının varyansı, varyanslarının çarpımına eşittir.
11. Rastgele değişkenlerin toplamının daha yüksek momentleri
Bazı durumlarda bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının en yüksek momentlerini hesaplamak gerekir. İlgili bazı ilişkileri kanıtlayalım.
1) Büyüklükler bağımsız ise, o zaman
Kanıt.
matematiksel beklentilerin çarpımı teoremine göre
Ancak herhangi bir nicelik için ilk merkezi moment sıfırdır; ortadaki iki terim kaybolur ve formül (10.2.24) kanıtlanır.
İlişki (10.2.24), tümevarım yoluyla keyfi sayıda bağımsız terime kolayca genelleştirilir:
. (10.2.25)
2) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının dördüncü merkezi momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:
miktarların varyansları nerede ve .
Kanıt öncekine tamamen benzer.
Tam tümevarım yöntemini kullanarak, formül (10.2.26)'nın keyfi sayıda bağımsız terime genellenmesini kanıtlamak kolaydır.
Popülasyon incelenen özelliğe göre gruplara ayrılırsa, bu popülasyon için aşağıdaki varyans türleri hesaplanabilir: toplam, grup (grup içi), grup ortalaması (grup içi ortalama), gruplar arası.
Başlangıçta, incelenen özelliğin toplam varyasyonunun ne kadarının gruplar arası varyasyon olduğunu gösteren belirleme katsayısını hesaplar; gruplandırma özelliğinden dolayı:
Ampirik korelasyon ilişkisi, gruplama (faktöriyel) ile performans özellikleri arasındaki bağlantının yakınlığını karakterize eder.
Ampirik korelasyon oranı 0'dan 1'e kadar değerler alabilir.
Ampirik korelasyon oranına dayalı olarak bağlantının yakınlığını değerlendirmek için Chaddock ilişkilerini kullanabilirsiniz:
Örnek 4.Çeşitli mülkiyet biçimlerine sahip tasarım ve araştırma kuruluşlarının iş performansına ilişkin aşağıdaki veriler mevcuttur:
Tanımlamak:
1) toplam varyans;
2) grup farklılıkları;
3) grup varyanslarının ortalaması;
4) gruplar arası varyans;
5) varyansların eklenmesi kuralına dayalı toplam varyans;
6) belirleme katsayısı ve ampirik korelasyon oranı.
Sonuca varmak.
Çözüm:
1. İki tür mülkiyete sahip işletmelerin gerçekleştirdiği ortalama iş hacmini belirleyelim:
Toplam varyansı hesaplayalım:
2. Grup ortalamalarını belirleyin:
milyon ruble;
milyon ruble
Grup farklılıkları:
;
3. Grup varyanslarının ortalamasını hesaplayın:
4. Gruplar arası varyansı belirleyelim:
5. Varyans ekleme kuralına göre toplam varyansı hesaplayın:
6. Belirleme katsayısını belirleyelim:
.
Böylece tasarım ve etüt kuruluşlarının gerçekleştirdiği iş hacmi %22 oranında işletmelerin mülkiyet şekline bağlıdır.
Ampirik korelasyon oranı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır
.
Hesaplanan göstergenin değeri, iş hacminin işletmenin mülkiyet biçimine bağımlılığının küçük olduğunu gösterir.
Örnek 5.Üretim alanlarının teknolojik disiplini üzerine yapılan araştırma sonucunda aşağıdaki veriler elde edildi:
Belirleme katsayısını belirleyin
Bu sayfada varyans bulmanın standart bir örneği açıklanmaktadır; bunu bulmak için diğer problemlere de bakabilirsiniz.
Örnek 1. Grup, grup ortalaması, gruplar arası ve toplam varyansın belirlenmesi
Örnek 2. Gruplandırma tablosunda varyansı ve varyasyon katsayısını bulma
Örnek 3. Ayrık bir seride varyansın bulunması
Örnek 4. Aşağıdaki veriler 20 yazışma öğrencisinden oluşan bir grup için mevcuttur. Karakteristiğin dağılımına ilişkin bir aralık serisi oluşturmak, özelliğin ortalama değerini hesaplamak ve dağılımını incelemek gerekir.
Bir aralık gruplaması oluşturalım. Aşağıdaki formülü kullanarak aralığın aralığını belirleyelim:
burada Xmax, gruplandırma karakteristiğinin maksimum değeridir;
X min – gruplandırma karakteristiğinin minimum değeri;
n – aralık sayısı:
n=5 kabul ediyoruz. Adım: h = (192 - 159)/ 5 = 6,6
Bir aralık gruplaması oluşturalım
Daha fazla hesaplama için yardımcı bir tablo oluşturacağız:
X"i – aralığın ortası. (örneğin, 159 – 165,6 = 162,3 aralığının ortası)
Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak öğrencilerin ortalama boyunu belirleriz:
Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı belirleyelim:
Formül şu şekilde dönüştürülebilir:
Bu formülden şu sonuç çıkıyor varyans eşittir seçeneklerin karelerinin ortalaması ile kare ve ortalama arasındaki fark.
Varyasyon serisindeki dağılım Momentler yöntemini kullanarak eşit aralıklarla, ikinci dağılım özelliği kullanılarak (tüm seçeneklerin aralığın değerine bölünmesiyle) aşağıdaki şekilde hesaplanabilir. Varyansın belirlenmesi Momentler yöntemi kullanılarak hesaplanan aşağıdaki formülü kullanmak daha az zahmetlidir:
burada i aralığın değeridir;
A, aralığın ortasını en yüksek frekansla kullanmanın uygun olduğu geleneksel bir sıfırdır;
m1 birinci dereceden momentin karesidir;
m2 - ikinci derecenin anı
Alternatif özellik varyansı (istatistiksel bir popülasyonda bir özellik yalnızca iki birbirini dışlayan seçenek olacak şekilde değişirse, bu tür değişkenliğe alternatif denir) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Bu dağılım formülünde q = 1-p'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:
Varyans türleri
Toplam varyans Bir özelliğin, bu varyasyona neden olan tüm faktörlerin etkisi altında popülasyonun tamamındaki değişimini bir bütün olarak ölçer. Bir x karakteristiğinin bireysel değerlerinin, x'in genel ortalama değerinden sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit varyans veya ağırlıklı varyans olarak tanımlanabilir.
Grup içi varyans rastgele değişimi karakterize eder, yani Değişimin hesaba katılmayan faktörlerin etkisinden kaynaklanan ve grubun temelini oluşturan faktör özelliğine bağlı olmayan kısmı. Bu tür bir dağılım, X grubu içindeki özelliğin bireysel değerlerinin grubun aritmetik ortalamasından sapmalarının ortalama karesine eşittir ve basit dağılım veya ağırlıklı dağılım olarak hesaplanabilir.
Böylece, grup içi varyans ölçümleri Bir grup içindeki bir özelliğin varyasyonu aşağıdaki formülle belirlenir:
burada xi grup ortalamasıdır;
ni gruptaki birimlerin sayısıdır.
Örneğin, bir atölyede işçilerin niteliklerinin işgücü üretkenliği düzeyi üzerindeki etkisini inceleme görevinde belirlenmesi gereken grup içi farklılıklar, her gruptaki çıktıda tüm olası faktörlerin (ekipmanın teknik durumu, ekipmanın mevcudiyeti) neden olduğu değişiklikleri gösterir. araç ve gereçler, işçilerin yaşı, emek yoğunluğu vb.), nitelik kategorisindeki farklılıklar hariç (bir grup içindeki tüm işçiler aynı niteliklere sahiptir).
İstatistiklerde genellikle bir olguyu veya süreci analiz ederken, yalnızca incelenen göstergelerin ortalama seviyeleri hakkındaki bilgileri değil, aynı zamanda bireysel birimlerin değerlerinde dağılım veya değişiklik Bu, incelenen popülasyonun önemli bir özelliğidir.
En çok değişime maruz kalanlar hisse senedi fiyatları, arz ve talep ile farklı zaman dilimlerinde ve farklı yerlerdeki faiz oranlarıdır.
Değişimi karakterize eden ana göstergeler aralık, dağılım, standart sapma ve değişim katsayısıdır.
Varyasyon aralığı özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder: R = Xmaks – Xmin. Bu göstergenin dezavantajı, bir özelliğin yalnızca varyasyonunun sınırlarını değerlendirmesi ve bu sınırlar içindeki değişkenliğini yansıtmamasıdır.
Dağılım bu eksiklikten yoksundur. Karakteristik değerlerin ortalama değerlerinden sapmalarının ortalama karesi olarak hesaplanır:
Varyansı hesaplamanın basitleştirilmiş bir yolu aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir (basit ve ağırlıklı):
Bu formüllerin uygulama örnekleri görev 1 ve 2'de sunulmaktadır.
Uygulamada yaygın olarak kullanılan bir gösterge standart sapma :
Standart sapma, varyansın karekökü olarak tanımlanır ve incelenen karakteristikle aynı boyuta sahiptir.
Dikkate alınan göstergeler, varyasyonun mutlak değerini elde etmemizi sağlar; incelenen özelliğin ölçüm birimlerinde değerlendirin. Onlardan farklı olarak varyasyon katsayısı değişkenliği göreceli terimlerle (birçok durumda tercih edilen ortalama seviyeye göre) ölçer.
Değişim katsayısının hesaplanmasına yönelik formül.
“İstatistiklerdeki varyasyon göstergeleri” konusundaki problemlerin çözümüne örnekler
Sorun 1 . Bölgedeki bankaların aylık ortalama mevduat büyüklüğüne reklamların etkisi araştırılırken 2 banka incelendi. Aşağıdaki sonuçlar elde edildi:
Tanımlamak:
1) her banka için: a) aylık ortalama mevduat; b) katkı dağılımı;
2) iki bankanın toplam aylık ortalama mevduatı;
3) Reklama bağlı olarak 2 banka için mevduat farkı;
4) Reklam dışındaki tüm faktörlere bağlı olarak 2 banka için mevduat farkı;
5) Toplama kuralını kullanarak toplam varyans;
6) Belirleme katsayısı;
7) Korelasyon ilişkisi.
Çözüm
1) Reklamlı bir banka için hesaplama tablosu oluşturalım . Ortalama aylık depozitoyu belirlemek için aralıkların orta noktalarını bulacağız. Bu durumda, açık aralığın değeri (birincisi) koşullu olarak ona bitişik aralığın (ikincisi) değerine eşitlenir.
Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak ortalama mevduat boyutunu bulacağız:
29.000/50 = 580 ovmak.
Aşağıdaki formülü kullanarak katkının varyansını buluruz:
23 400/50 = 468
Benzer eylemleri gerçekleştireceğiz reklamsız bir banka için :
2) İki bankanın ortalama mevduat büyüklüğünü birlikte bulalım. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 ovma.
3) İki banka için mevduatın varyansını reklama bağlı olarak şu formülü kullanarak bulacağız: σ 2 =pq (alternatif bir özelliğin varyansı için formül). Burada p=0,5 reklama bağlı faktörlerin oranıdır; q=1-0,5, sonra σ 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Diğer faktörlerin payı 0,5 olduğundan, reklam dışındaki tüm faktörlere bağlı olarak mevduatın iki banka için varyansı da 0,25 olur.
5) Toplama kuralını kullanarak toplam varyansı belirleyin.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
σ 2 = σ 2 gerçek + σ 2 geri kalan = 552,08+345,96 = 898,04
6) Belirleme katsayısı η 2 = σ 2 gerçek / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = %39 - katkının büyüklüğü %39 oranında reklama bağlıdır.
7) Ampirik korelasyon oranı η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – ilişki oldukça yakındır.
Sorun 2 . Pazarlanabilir ürünlerin büyüklüğüne göre işletmelerin bir gruplaması vardır:
Aşağıdakileri belirleyin: 1) pazarlanabilir ürünlerin değerinin dağılımı; 2) standart sapma; 3) varyasyon katsayısı.
Çözüm
1) Koşula göre bir aralık dağılım serisi sunulur. Ayrık olarak ifade edilmelidir, yani aralığın ortasını bulun (x"). Kapalı aralık gruplarında ortayı basit aritmetik ortalama kullanarak buluruz. Üst sınırı olan gruplarda - bu üst sınır arasındaki fark olarak ve sonraki aralığın yarısı boyutunda (200-(400 -200):2=100).
Alt sınırı olan gruplarda - bu alt sınırın toplamı ve önceki aralığın yarısı kadardır (800+(800-600):2=900).
Pazarlanabilir ürünlerin ortalama değerini aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz:
Хср = k×((Σ((x"-a):k)×f):Σf)+a. Burada a=500 seçeneğin en yüksek frekanstaki boyutu, k=600-400=200 ise seçeneğin boyutudur. En yüksek frekanstaki aralığın boyutunu tabloya koyalım:
Dolayısıyla, incelenen dönem için ticari çıktının ortalama değeri genellikle Хср = (-5:37)×200+500=472,97 bin rubleye eşittir.
2) Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı buluyoruz:
σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35,675,67-730,62 = 34,945,05
3) standart sapma: σ = ±√σ 2 = ±√34.945,05 ≈ ±186,94 bin ruble.
4) Değişim katsayısı: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = %39,52
