Grafiklerin konumu. Ders "Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli düzenlenmesi"

Malzemenin açıklaması: Sizlere 7. sınıf öğrencileri için “Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreli düzenlenmesi” konulu bir matematik dersinin özetini sunuyorum. Bu materyal orta seviye matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır. Derste grup çalışması hakimdir.

Matematik ders notları, 7. sınıf.

Ders konusu: Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin bağıl düzenlenmesi.

Ders türü: yeni bir konu öğrenme dersi.

Dersin amacı: Doğrusal fonksiyonların grafiklerinde göreceli konum kavramının oluşturulması ve fonksiyonların görünümüne göre göreceli konumlarının belirlenebilmesi.

Görevler:

1. Eğitimsel: doğrusal bir fonksiyonun özelliklerine ilişkin bilginin pekiştirilmesi, derinleştirilmesi ve genişletilmesi;

2. Gelişimsel: genelleme yapma, neden-sonuç ilişkileri kurma, mantıksal akıl yürütme ve sonuç çıkarma yeteneği;

3. Eğitim: Öğrenmeye karşı sorumlu bir tutumun oluşturulması, öğrencilerin öğrenme ve bilgi motivasyonuna dayalı olarak kişisel gelişim ve kendi kendine eğitime hazır olma ve yeteneği; akranlarıyla işbirliği.

Ekipman: Öğrencilerin bireysel çalışmaları için kartlar, multimedya projektörlü bilgisayar, ekran.

Ders yapısı ve akışı

BEN. Eğitim faaliyetleri için kendi kaderini tayin etme

Önceki derslerde hangi ciddi konu üzerinde çalışmaya başladık?

Şu ana kadar ne öğrendik?

(Her öğrencinin masasında bir öz değerlendirme sayfası ve bir kartta da bireysel ödevlerin bir versiyonu vardır).

Arkadaşlar, dersin farklı aşamalarında kendinizi değerlendirmeyi ve boş dakikanız varsa bireysel karttaki görevleri tamamlamayı unutmayın.

II. Bilgiyi güncelleme ve kaydetme zorlukları.

Sınıf iki gruba ayrılır. Birinci grup öğretmenle sözlü olarak çalışır, diğeri ise bireysel kartlarla çalışır.

Sözlü çalışma.

Görev 1. Bul: y(-1), y(0), y(-1,2), eğer y=5x+6 ise

Görev 2. Argümanın hangi değerinde y=3x-4 fonksiyonunun değeri 5'e eşit olur?

Görev 3. Şekilde hangi fonksiyonun grafiği gösterilmektedir?

Görev 3. y=-5x fonksiyonunun grafiği hangi doğru?

Görev 4. Fonksiyon artıyor mu azalıyor mu?

[ -2;1] üzerinde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini belirtin

Fonksiyon hangi x değerlerinde pozitif (negatif) değerler alır?

Birinci grubun “öğrencileri” kendilerini bir öz-kontrol tablosu üzerinde değerlendirirler.

İkinci grup bireysel kartlar kullanarak çalışır.

Kart 1. y=0.5x+2.75 fonksiyonunun grafiğine ait apsis ve ordinatları zıt sayılar olan bir nokta bulun.

Kart 2. Grafiği orijinden ve M(-2.5, 4) noktasından geçen doğrusal bir fonksiyonu tanımlamak için formülü kullanın. Bu grafiğin 3x-2y-16=0 düz çizgisiyle kesişme noktasını bulun.

Öğretmen sonucu değerlendirir.

III. Yeni materyal öğrenme.

Sınıf 6 gruba ayrılır. Her grup şu görevi alır: bir koordinat sisteminde doğrusal fonksiyonların grafiklerini oluşturmak ve grafiklerin konumunun k ve m katsayılarına bağımlılığını belirlemek.

1) y=2x; y=2x-4; y=2x+3;

2) y=-3x; y=-3x+2; y=-3x-1;

3) y=7x-3; y=½·14x-3; y=7x-1,5·2;

4) y=x+3; y=2x-1; y=-2x-2;

5) y=2x+3; y=x+3; y=-x+3;

6) y=0,5x+8; y=½ x+8;y=0,5x+3,2:0,4.

Her gruptan bir temsilci tahtaya gelir ve hazırlanan 6 koordinat düzleminden biri üzerinde fonksiyonların grafiklerini çizer. Grup tarafından türetilen bir kuralı formüle eder. Bir tartışma yapılır ve ortaya çıkan modelin bir tablosu derlenir. Bu aşamada işin değerlendirilmesi.

Doğrusal fonksiyonlar y=k1x+m1 y=k2x+m2

IV. Birincil konsolidasyon.

Çözüm No. 10.4(a,b), 10.6(a,b), 10.8(a,b), 10.16(a,b), A.G. Mordkovich'in ders kitabına göre.

Görev gruplar halinde gerçekleştirilir.

Bu fonksiyonların grafikleri a parametresinin hangi değerlerindedir:

1) 1, 2, 3, 6 grubun kesişmesini gerçekleştirin

a) y=2ax+3, y=5x-2;

b) y=(2a-1)x, y=(4a+3)x+2a;

2) 3, 4, 5, 6 grubu paralel olarak gerçekleştirin

a) y=3ax+5, y=6x-2;

b) y=(3-a)x+1, y=(a-1)x+5;

3) 1, 2, 4, 5 grup maçı yapın

a) y=2ax+7, y=4x+7;

b) y=(5a-3)x+2a-1, y=2ax+5-4a.

Çalışmayı tamamladıktan sonra öğrenciler cevaplarını kontrol eder, hataları düzeltir ve bunların oluşma nedenlerini analiz eder. İş değerlendirmesi.

V. Dersteki etkinliklerin yansıması.

Derste yeni ne öğrendiniz?

Hedefimize ulaşıldı mı?

Sınıftaki ödevleri tamamlarken hangi bilgiler bizim için yararlı oldu?

Çalışmanızı nasıl değerlendirebilirsiniz?

"Elips Sinyalleri"ni kullanarak derse karşı tutumunuzu aktarın. Kendinizden, grubunuzdan ve yapılan işin genel içeriğinden memnuniyet derecenizi, uygun noktaları üç eksende on puanlık bir sisteme yerleştirerek değerlendirin.

V. Ödev § 10, No. 10.2

Gruplarda yaratıcı görev.

Doğrusal bir ilişki nerede oluşur?

a) biyoloji (grup 1 ve 2);

b) literatür (grup 6 ve 3);

c) fizik (grup 4 ve 5)?

Edebiyat: Cebir. 7. sınıf. Saat 2'de Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı ve problem kitabı / A.G. Mordkovich - 13. baskı, revize edilmiş - M.: Mnemosyne, 2009.

Derste farklı öğretim yöntemleri kullanılır:

Kısmen arama;

Örnek kontrolü;

Kısmen araştırma;

Kısmen sorunlu.

Bu nedenle birçok kişinin benim materyalimi derslerinin temeli olarak alabileceğini düşünüyorum.

Belge içeriğini görüntüle
““Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli düzenlenmesi” konulu açık ders cebir 7. sınıf özeti”

PLAN – DERS ÖZETİ

DERS YAPISI:

Organizasyon anı (1 dk).

Temel bilgilerin güncellenmesi (6 dk)

Tema formülasyonu. Öğrenme hedeflerini belirleme (1 dk)

Yeni materyal öğrenme (15 dk)

Beden eğitimi dakikası (2 dk)

Birincil konsolidasyon (10 dk)

Yansıma (2 dk)

Ödev (1 dk)

Ders özeti (2 dk)

Gerekli teknik ekipman: dizüstü bilgisayar, multimedya projektörü, öğrenci bilgisayarları

Ders yapısı ve akışı:

Uygulama #1:

Ek No.2:

Dersin amacı: Bu derste, doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreli konumlarının çeşitli durumlarına aşina olacak ve bunları tanımayı öğreneceksiniz.

Doğrusal fonksiyonların grafikleri nasıl düzenlenebilir?

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğunu zaten biliyorsunuz.

Bir düzlemde iki düz çizginin konumu ne olabilir?

• Kesişebilirler, yani tek bir ortak noktaya sahip olabilirler.
• Paralel olabilirler, yani ortak noktaları olmayabilir.
• Çakışabilirler, yani sonsuz sayıda ortak noktaya sahip olabilirler.

Bu durumların her biri için koşulları tanımlayalım.

Son durumla başlayalım: iki doğrusal fonksiyonun grafikleri çakışıyor. Açıkçası, doğrusal fonksiyonun denklem tarafından verildiği durumda y = kx + b, bu fonksiyonların grafiklerinin çakışmasının bariz koşulu, katsayıların çakışması olacaktır. k Ve B.

Her iki fonksiyonun denklemleri bu formda yazılırsa grafiklerinin çakışmasını kurmanın kolay olacağı açıktır. Ancak fonksiyonlardan birinin veya her fonksiyonun farklı yazılması durumunda ifadelerin dönüştürülmesi gerekmektedir.

Örneklere bakalım.

Örnek 1.

Üç işlev verilmiştir:

(1) sen = 2X + 3 – 5(X + 2)
(2) sen = 3X 2 – 3(X + 2)(X – 3) – 25
(3) sen = 2X 2 + 3X – 2X(X+ 2)

Hangilerinin aynı programa sahip olduğunu öğrenin.

Çözüm:

1. Öncelikle her fonksiyonun tanımının kapsamını bulalım.

Fonksiyonların hiçbiri paydası değişken içeren kesirler içermediğinden her birinin tanım kümesi herhangi bir sayıdır.

2. Fonksiyonların her birini dönüştürelim.

(1) sen = 2X + 3 – 5(X + 2) = 2X + 3 – 5X – 10 = –3X –7
(2) sen = 3X 2 – 3(X – 2)(X+ 3) – 25 = 3x 2 – 3( X 2 – 2X + 3X – 6) = 3X 2 – 3X 2 – 3X + 18 – 25 = –3X –7
(3) sen = 2X 2 + 3X – 2X(X + 2) = 2X 2 + 3X – 2X 2 – 4X = –X

Dönüşümler sonucunda birinci ve ikinci fonksiyona ait ifadelerin çakıştığını elde ettik. Bu, (1) ve (2) fonksiyonlarının grafiklerinin çakıştığı anlamına gelir.

Şimdi doğrusal fonksiyonların grafiklerinin paralellik durumunu düşünün.

Bunu yapmak için bir örneğe bakalım.

Örnek 2.

Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli konumunu öğrenin sen = –2X+3 ve sen = –2X – 1.

Argümanın karşılık gelen değerleri için bu fonksiyonların grafiklerine ait birkaç nokta çifti bulalım ve bu noktaları tabloya girelim:

Görüldüğü gibi her noktada fonksiyonun değeri sen = –2X– 1, fonksiyon değerinden 4 birim küçüktür sen = –2X+ 3. Bu, fonksiyonun grafiğindeki her noktanın sen = –2X+ 3 koordinatlarla ( x 0; y 0) koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir ( x 0; y 0– 4) fonksiyon grafikleri sen = –2X– 1 yani düz çizginin tamamı 4 birim aşağı kaydırılır. Böylece fonksiyonun grafiği sen = –2X– 1 düzdür, paralel fonksiyon grafiği sen = –2X+ 3 (bkz. Şekil 1.).

Dolayısıyla fonksiyon grafiklerinin paralellik koşulu:

y = k 1 x + b 1 Ve y = k 2 x + b 2şu: k1 =k2 Ve b 1 ≠ b 2.

Çizgilerin paralelliği konusunu daha detaylı incelemek için video eğitimleriyle çalışın.

"Paralel Doğrunun Denklemi"

"Paralel çizgiler."

Aşağıdaki durumlarda k 1 ≠ k 2 doğrusal fonksiyon grafikleri y = k 1 x + b 1 Ve y = k 2 x + b 2 paralel değildir ve çakışmaz. Tek bir noktada kesişirler.

Artık elektronik eğitim kaynaklarından (EER) materyallerle çalışın "" (teorik materyal) ve "" (pratik görevler).

Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin kesişiminin özel bir durumunu (dikliklerini) ele alalım ve fonksiyonların grafikleri için hangi koşulun karşılanması gerektiğini bulalım. y = k 1 x + b 1 Ve y = k 2 x + b 2 dikti.

Doğruların diklik koşulu aşağıdaki koşulun yerine getirilmesidir: k 1 ∙ k 2 = –1 yani çizgilerin açısal katsayıları zıt işaretli ters sayılar olmalıdır.

Bu gerçeğin kanıtını daha sonra 9. sınıfta öğreneceğinizi unutmayın.

Video derslerindeki materyallerle çalışarak çizgilerin dikliği ile ilgili problem çözme örneklerini düşünün.

"Dikey çizgiler."

"Dikey çizgiler 2."

Sorun çözme

Sorunları çözmeye geçmeden önce video eğitimlerini inceleyin.

"Paralel çizgiler 2".

"Paralel çizgiler 3".

Örnek 1.

Fonksiyon grafiklerinin ortak noktalarının koordinatlarını bulun.

A) sen = 2X – 3(X+2) ve sen = 5X + 6

Çözüm:

Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğini öğrenelim. Bunu yapmak için ilk fonksiyonu dönüştürüyoruz:

sen = 2X – 3(X + 2) = 2X – 3X – 6 = –X – 6

Fonksiyonlarımız var sen = –X– 6 ve sen = 5X+ 6. Bu fonksiyonların açısal katsayıları eşit sayı olmadığından fonksiyonların grafikleri tek bir noktada kesişir ( x 0; y 0).

Ortak bir nokta bulmak için böyle bir sayı çifti bulmanız gerekir ( x 0; y 0), hem birinci hem de ikinci denklemlere yerleştirildiğinde doğru sayısal eşitlikler elde edilecektir. Veya farklı bir mantıkla, grafiklerin koordinatları eşit apsis değerleri ile aynı olmalıdır.

Yani denklemi çözmeniz gerekir: – x 0 – 6 = 5x 0+ 6 ve ardından ordinat değerini bulmak için bulunan değeri denklemlerden birinde değiştirin.

Denklemi çözerek şunu elde ederiz: –12 = 6 x 0 veya –2 = x 0 Daha sonra sen 0 = –4. Böylece fonksiyon grafiklerinin kesişme noktasının koordinatları sen = –X– 6 ve sen = 5X+6 (–2; –4) noktasıdır.

Şekil 2'de grafiksel bir gösterim gösterilmektedir.

B) sen = –2X + 3(X– 4) + 8 ve sen = 5X – 4(X – 1)

Çözüm:

Bu fonksiyonları dönüştürelim:

sen = –2X + 3(X – 4) + 8 = –2X + 3X – 12 + 8 = X – 4
sen = 5X – 4(X – 1) = 5X – 4X + 4 = X + 4

Bu fonksiyonların açısal katsayıları çakıştığı ve serbest katsayıları farklı olduğu için fonksiyonların grafikleri paralel olacaktır yani grafiklerin ortak noktaları yoktur.

Şekil 3'te grafiksel bir gösterim gösterilmektedir.

V) sen = –2X – 3(X– 1) ve sen = –5X + 3

Çözüm:

İlk fonksiyonu dönüştürelim:

sen = –2X – 3(X – 1) = –2X – 3X + 3 = –5X + 3

Bu durumda fonksiyonların denklemleri aynıdır, yani fonksiyonların grafikleri çakışır. Dolayısıyla bu grafiklerin sonsuz sayıda ortak noktası vardır.

Örnek 2.

Fonksiyonun grafiğinin (1) olduğunu kanıtlayın sen = 6X + 3(1 – 3X) her zaman fonksiyon (2) grafiğinin üzerinde bulunur sen = –X – 2(X + 2).

Çözüm:

Bu fonksiyonları dönüştürelim.

Bu derste doğrusal fonksiyonlar hakkında öğrendiğimiz her şeyi hatırlayacağız ve bunların grafiklerini düzenlemek için çeşitli seçenekleri ele alacağız, parametrelerin özelliklerini hatırlayacağız ve bunların fonksiyonun grafiği üzerindeki etkilerini ele alacağız.

Ders:Doğrusal fonksiyon

Ders:Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin bağıl düzenlenmesi

Formun bir fonksiyonuna doğrusal dendiğini hatırlayın:

x - bağımsız değişken, argüman;

y - bağımlı değişken, fonksiyon;

k ve m bazı sayılardır, parametrelerdir; aynı anda sıfıra eşit olamazlar.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

K ve m parametrelerinin anlamını ve neyi etkilediklerini anlamak önemlidir.

Bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonların grafiklerini oluşturalım. Her biri. Birinci, ikinci, üçüncü. K ve m parametrelerinin doğrusal bir denklemin standart formundan belirlendiğini hatırlayın; parametre, çizginin y ekseniyle kesişme noktasının ordinatıdır. Ek olarak, katsayının, düz çizginin x ekseninin pozitif yönüne eğim açısından sorumlu olduğunu unutmayın; ayrıca pozitifse fonksiyon artacak, negatifse azalacaktır. Katsayıya eğim denir.

İkinci fonksiyona ait tablo;

Üçüncü fonksiyona ait tablo;

Açıkçası, tüm inşa edilmiş çizgiler paraleldir çünkü açısal katsayıları aynıdır. Fonksiyonlar yalnızca m değerinde farklılık gösterir.

Bir sonuç çıkaralım. İki keyfi doğrusal fonksiyon verilsin:

Ve

Eğer ancak o zaman verilen çizgiler paraleldir.

Eğer ve sonra verilen çizgiler çakışıyorsa.

Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin göreceli konumunun ve parametrelerinin özelliklerinin incelenmesi, doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesinin temelini oluşturur. Doğruların paralel olması durumunda sistemin çözümünün olmayacağını, doğruların çakışması durumunda sistemin sonsuz sayıda çözümü olacağını unutmamalıyız.

Görevleri düşünelim.

Örnek 2 - fonksiyonun belirli bir grafiğinden k ve m parametrelerinin işaretlerini belirleyin:

Düz çizgi y eksenini pozitif ışınında keser, bu da m'nin artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir, düz çizgi ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı dardır, fonksiyon artar, bu da k işaretinin de olduğu anlamına gelir artı.

Düz çizgi y eksenini pozitif ışınında keser, bu da m'nin artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir, düz çizgi ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı geniştir, fonksiyon azalır, bu da k işaretinin eksi olduğu anlamına gelir .

Düz çizgi y eksenini negatif ışınında keser, bu da m'nin eksi işaretine sahip olduğu anlamına gelir, düz çizgi ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı dardır, fonksiyon artar, yani k işareti artıdır .

Düz çizgi y eksenini negatif ışınında keser, bu da m'nin eksi işaretine sahip olduğu anlamına gelir, düz çizgi ile x ekseninin pozitif yönü arasındaki açı geniştir, fonksiyon azalır, bu da k'nin işareti anlamına gelir ayrıca eksi.

Açısal katsayıların eşit olmadığı durumu ele alalım. Bir örneğe bakalım:

Örnek 3 - çizgilerin kesişme noktasını grafiksel olarak bulun:

Her iki fonksiyonun da bir grafiği vardır - düz bir çizgi.

Birinci fonksiyonun yani ikinci fonksiyonun açısal katsayısı, doğruların paralel olmadığı ve çakışmadığı anlamına gelir, yani bunların bir kesişme noktası ve benzersiz bir noktası vardır.

Çizim için tablolar oluşturalım:

İkinci fonksiyona ait tablo;

Doğruların (2; 1) noktasında kesiştiği açıktır.

Elde edilen koordinatları her fonksiyonun yerine koyarak sonucu kontrol edelim.

§ 1 Doğrusal fonksiyonların grafiklerinin karşılıklı düzenlenmesi

Geometri dersinden, bir düzlemdeki 2 düz çizginin çakışabileceğini biliyoruz; sonsuz sayıda ortak noktaya sahip; kesişir, yani tek bir ortak noktası vardır veya kesişmez, yani tek bir ortak noktası yoktur. Bu tür çizgilere paralel denir.

Doğrusal fonksiyon y = khx + m formundaki bir eşitlikle verilir. k katsayısına eğim denir. Düz çizginin x ekseninin pozitif yönüne göre eğim açısından "sorumludur". Eğer k > 0 ise eğim açısı dardır (Şekil 1'deki gibi), eğer k ise< 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

Şimdi Şekil 3'e bakalım. y = k1 + m1 ve y = k2 + m2 denklemleriyle tanımlanan 2 düz çizgiyi göstermektedir. k1 = k2 olduğunu varsayalım. Bu, düz çizginin eğim açılarının aynı olduğu anlamına gelir. Bunlar karşılık gelen açılardır, yani paralel doğrular kriterine göre bize verilen doğrular paraleldir.

Dolayısıyla, eğer 2 doğrusal fonksiyon aynı eğime sahipse grafikleri paralel olacaktır. Açı katsayıları eşit değilse grafikler kesişir.

Örneğin y = 2x - 1 ve y = 2x + 3 formülleriyle tanımlanan doğrusal fonksiyonlar verilmiştir. Grafikleri birbirine göre düzlemde nasıl konumlandırılacaktır? Birinci fonksiyonun eğimi k1 = 2, ikinci fonksiyonun eğimi ise k2 = 2 olduğundan grafikler paralel olacaktır.

Veya başka bir çift: y = x - 3 ve y = 2x + 3. İlk fonksiyonun katsayısı k1 = 1, ikinci fonksiyonun katsayısı k2 = 2'dir. Bunlar eşit olmayan katsayılardır, dolayısıyla bu fonksiyonların grafikleri kesişecektir. Peki hangi durumda düz çizgiler çakışacak?

Cevaplamak için önce başka bir soruyu cevaplamalısınız: m katsayısı neden “sorumludur”? Üç fonksiyonun grafiğini gösteren şekle bakalım:

y = x, y = x + 3 ve y = x - 2.

Her üç fonksiyonun da açısal katsayısı k= 1'dir, yani grafikler paraleldir. Ancak dikkat edin: y = x fonksiyonunun grafiği orijinden geçer, burada m = 0. y = x + 3 fonksiyonunun grafiği, şekilde gösterildiği gibi y = x grafiğinin 3 birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilir. katsayı m = 3.

y = x - 2 fonksiyonunun grafiği, m = -2 katsayısı ile gösterildiği gibi y = x grafiğinin 2 birim aşağı kaydırılmasıyla elde edilir. Başka bir deyişle m katsayısı, y = kx grafiğinin orijine göre y ekseni boyunca m birim paralel ötelenmesinden sorumludur.

Artık sorulan soruya cevap verebiliriz. 2 düz çizgi aynı açısal katsayılara sahipse ve m1 katsayısı m2 katsayısına eşitse çakışacaktır.

§ 2 Ders konusunun kısa özeti

Bir düzlemde doğrusal fonksiyonların birbirine göre grafikleri, k1 ve k2 açısal katsayıları eşit, m1 ve m2 katsayıları farklı ise paralel olabilir. Açısal katsayılar k1 ve k2'nin eşit olmaması durumunda kesişebilirler. Ayrıca k1 ve k2 açısal katsayıları eşitse ve m1 ve m2 katsayıları da eşitse çakışabilirler. y = khx fonksiyonunun grafiği, m = 0 katsayısı olduğundan koordinatların kökeninden geçer ve y = khx + m fonksiyonunun grafiği (0; m) noktasından geçer.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 1, Genel eğitim kurumları için ders kitabı / A.G. Mordkoviç. – 10. baskı, gözden geçirilmiş – Moskova, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Cebir 7. sınıf 2 bölüm halinde, Bölüm 2, Eğitim kurumları için problem kitabı / [A.G. Mordkovich ve diğerleri]; A.G. tarafından düzenlendi. Mordkovich - 10. baskı, revize edilmiş - Moskova, “Mnemosyne”, 2007
3. O. Tulchinskaya, Cebir 7. sınıf. Blitz araştırması: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bir el kitabı, 4. baskı, gözden geçirilmiş ve genişletilmiş, Moskova, “Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Cebir 7. sınıf. A.G. tarafından düzenlenen, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için yeni bir formda tematik test kağıtları. Mordkovich, Moskova, “Mnemosyne”, 2011
5. Alexandrova L.A. Cebir 7. sınıf. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için bağımsız çalışmalar, A.G. Mordkovich - 6. baskı, basmakalıp, Moskova, “Mnemosyne”, 2010