Bir cisim, üzerine etki eden tüm kuvvetlerin vektör toplamı sıfıra eşitse, hareketsizdir (veya düzgün ve doğrusal olarak hareket eder). Kuvvetlerin birbirini dengelediğini söylüyorlar. Belirli bir geometrik şekle sahip bir cisimle uğraştığımızda, bileşke kuvveti hesaplarken tüm kuvvetler cismin kütle merkezine uygulanabilir.
Vücutların denge koşulu
Dönmeyen bir cismin dengede olabilmesi için üzerine etki eden tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olması gerekir.
F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .
Yukarıdaki şekil katı bir cismin dengesini göstermektedir. Blok, üzerine etki eden üç kuvvetin etkisi altında denge halindedir. F 1 → ve F 2 → kuvvetlerinin etki çizgileri O noktasında kesişiyor. Yer çekiminin uygulama noktası C cismin kütle merkezidir. Bu noktalar aynı düz çizgi üzerinde bulunur ve bileşke kuvvet hesaplanırken F 1 →, F 2 → ve m g → C noktasına getirilir.
Cisim belirli bir eksen etrafında dönebiliyorsa, tüm kuvvetlerin bileşkesinin sıfıra eşit olması yeterli değildir.
Kuvvet kolu d, kuvvetin etki çizgisinden uygulandığı noktaya çizilen dikmenin uzunluğudur. M kuvvetinin momenti, kuvvet kolunun ve modülünün çarpımıdır.
Kuvvet momenti, vücudu kendi ekseni etrafında döndürme eğilimindedir. Vücudu saat yönünün tersine çeviren anlar olumlu kabul edilir. Uluslararası SI sisteminde kuvvet momentinin ölçüm birimi 1 Newtonmetredir.
Tanım. Anların Kuralı
Sabit bir dönme eksenine göre bir cisme uygulanan tüm momentlerin cebirsel toplamı sıfıra eşitse, cisim denge durumundadır.
M1 + M2 + . . +Mn=0
Önemli!
Genel durumda, cisimlerin dengede olması için iki koşulun karşılanması gerekir: Ortaya çıkan kuvvetin sıfıra eşit olması ve momentler kuralına uyulması gerekir.
Mekanikte farklı denge türleri vardır. Böylece, istikrarlı ve kararsız ile kayıtsız denge arasında bir ayrım yapılır.
Kayıtsız dengenin tipik bir örneği, herhangi bir noktada durdurulduğunda denge durumunda olacak olan yuvarlanan bir tekerlektir (veya toptur).
Kararlı denge, küçük sapmalarla birlikte, vücudu denge durumuna döndürme eğiliminde olan kuvvetler veya kuvvet anları ortaya çıktığında, vücudun böyle bir dengesidir.
Kararsız denge, kuvvetlerin ve kuvvet momentlerinin vücudun dengesini daha da fazla bozma eğiliminde olduğu küçük bir sapmanın olduğu bir denge durumudur.
Yukarıdaki şekilde topun konumu (1) - kayıtsız denge, (2) - kararsız denge, (3) - kararlı dengedir.
Sabit bir dönme eksenine sahip bir cisim, açıklanan denge konumlarından herhangi birinde olabilir. Dönme ekseni kütle merkezinden geçerse kayıtsızlık dengesi oluşur. Kararlı ve kararsız dengede kütle merkezi, dönme ekseninden geçen dikey bir düz çizgi üzerinde bulunur. Kütle merkezi dönme ekseninin altında olduğunda denge stabildir. Aksi takdirde durum tam tersi olur.
Dengenin özel bir durumu, bir vücudun bir destek üzerindeki dengesidir. Bu durumda elastik kuvvet tek bir noktadan geçmek yerine gövde tabanının tamamına dağıtılır. Kütle merkezinden geçen dikey bir çizgi destek alanıyla kesiştiğinde vücut dengededir. Aksi takdirde kütle merkezinden gelen çizgi, destek noktalarını birleştiren çizgilerin oluşturduğu konturun içine düşmezse gövde devrilir.
Bir destek üzerindeki vücut dengesine bir örnek ünlü Pisa Kulesi'dir. Efsaneye göre Galileo Galilei, cisimlerin serbest düşüşünü incelemek için yaptığı deneylerde topları oradan düşürdü.
Kulenin kütle merkezinden çizilen bir çizgi, kulenin merkezinden yaklaşık 2,3 m uzakta tabanla kesişmektedir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
TANIM
Kararlı denge- Bu, denge konumundan çıkarılıp kendi haline bırakılan bir cismin önceki konumuna döndüğü bir dengedir.
Bu, gövdenin orijinal konumundan herhangi bir yönde hafif bir yer değiştirmesi durumunda, gövdeye etki eden kuvvetlerin sonucu sıfırdan farklı hale gelirse ve denge konumuna doğru yönlendirilirse meydana gelir. Örneğin, küresel bir çöküntünün dibinde yatan bir top (Şekil 1 a).
TANIM
Kararsız denge- bu, denge konumundan çıkarılıp kendi haline bırakılan bir cismin denge konumundan daha da fazla sapacağı bir dengedir.
Bu durumda, vücudun denge konumundan hafif bir yer değiştirmesi ile kendisine uygulanan kuvvetlerin sonucu sıfır değildir ve denge konumundan yönlendirilir. Bir örnek, dışbükey küresel bir yüzeyin üst noktasında bulunan bir toptur (Şekil 1b).
TANIM
Kayıtsız Denge- bu, denge konumundan çıkarılan ve kendi haline bırakılan bir cismin konumunu (durumunu) değiştirmediği bir dengedir.
Bu durumda, gövdenin orijinal konumundan küçük yer değiştirmeleri durumunda, gövdeye uygulanan kuvvetlerin sonucu sıfıra eşit kalır. Örneğin düz bir yüzey üzerinde duran bir top (Şekil 1c).
Şekil 1. Bir destek üzerinde farklı vücut dengesi türleri: a) istikrarlı denge; b) kararsız denge; c) kayıtsız denge.
Vücutların statik ve dinamik dengesi
Kuvvetlerin etkisi sonucunda vücut ivmelenmezse, hareketsiz kalabilir veya düz bir çizgide eşit şekilde hareket edebilir. Dolayısıyla statik ve dinamik dengeden söz edebiliriz.
TANIM
Statik denge- Bu, uygulanan kuvvetlerin etkisi altında vücudun hareketsiz olduğu bir dengedir.
Dinamik denge- bu, kuvvetlerin etkisi nedeniyle vücudun hareketini değiştirmediği bir dengedir.
Kablolara asılan bir fener veya herhangi bir bina yapısı statik denge halindedir. Dinamik dengeye bir örnek olarak, sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda düz bir yüzey üzerinde dönen bir tekerleği düşünün.
« Fizik - 10. sınıf"
Bir anlık kuvvetin ne olduğunu hatırlayın.
Vücut hangi koşullar altında dinlenir?
Eğer bir cisim seçilen referans çerçevesine göre hareketsizse, o zaman bu cismin dengede olduğu söylenir. Binalar, köprüler, destekli kirişler, makine parçaları, masa üzerindeki bir kitap ve diğer birçok cisim, diğer cisimlerden onlara kuvvet uygulanmasına rağmen hareketsizdir. Cisimlerin denge koşullarını inceleme görevi makine mühendisliği, inşaat, alet yapımı ve diğer teknoloji alanları için büyük pratik öneme sahiptir. Tüm gerçek cisimler, kendilerine uygulanan kuvvetlerin etkisi altında şekil ve boyutlarını değiştirir veya dedikleri gibi deforme olur.
Pratikte karşılaşılan birçok durumda, cisimlerin denge halindeyken deformasyonları önemsizdir. Bu durumlarda deformasyonlar ihmal edilebilir ve gövde dikkate alınarak hesaplamalar yapılabilir. kesinlikle zor.
Kısaca söylemek gerekirse, kesinlikle katı bir cisim diyeceğiz katı gövde ya da sadece vücut. Katı bir cismin denge koşullarını inceledikten sonra, deformasyonlarının göz ardı edilebildiği durumlarda gerçek cisimlerin denge koşullarını bulacağız.
Kesinlikle katı bir cismin tanımını hatırlayın.
Mutlak katı cisimlerin denge koşullarının incelendiği mekaniğin dalına ne ad verilir? statik.
Statikte cisimlerin boyutu ve şekli dikkate alınır; bu durumda sadece kuvvetlerin değeri değil, aynı zamanda uygulanma noktalarının konumu da önemlidir.
Öncelikle Newton yasalarını kullanarak herhangi bir cismin hangi koşullar altında dengede olacağını bulalım. Bu amaçla tüm bedeni zihinsel olarak her biri maddi bir nokta sayılabilecek çok sayıda küçük öğeye bölelim. Her zamanki gibi, diğer cisimlerden vücuda etki eden kuvvetleri dış, vücudun elemanlarının etkileşime girdiği kuvvetleri ise iç olarak adlandıracağız (Şekil 7.1). Yani, 1,2'lik bir kuvvet, 2. elementten 1. elemente etki eden bir kuvvettir. 2.1'lik bir kuvvet, 1. elementten, 2. elemente etki eder. Bunlar iç kuvvetlerdir; bunlar aynı zamanda 1.3 ve 3.1, 2.3 ve 3.2 kuvvetlerini de içerir. Newton'un üçüncü yasasına göre iç kuvvetlerin geometrik toplamının sıfıra eşit olduğu açıktır.
12 = - 21, 23 = - 32, 31 = - 13, vb.
Statik, dinamiğin özel bir durumudur, çünkü cisimlerin geri kalanı, kuvvetler üzerlerine etki ettiğinde, hareketin özel bir durumudur ( = 0).
Genel olarak her bir elemana birden fazla dış kuvvet etki edebilir. 1, 2, 3 vb. ile sırasıyla 1, 2, 3, ... elemanlarına uygulanan tüm dış kuvvetleri anlayacağız. Aynı şekilde, "1, "2, "3 vb. aracılığıyla sırasıyla 2, 2, 3, ... elemanlarına uygulanan iç kuvvetlerin geometrik toplamını belirtiriz (bu kuvvetler şekilde gösterilmemiştir), yani.
" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... vb.
Eğer cisim hareketsizse her elemanın ivmesi sıfırdır. Dolayısıyla Newton'un ikinci yasasına göre herhangi bir elemente etki eden kuvvetlerin geometrik toplamı da sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle şunu yazabiliriz:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Bu üç denklemin her biri katı cisim elemanının denge durumunu ifade eder.
Katı bir cismin dengesi için ilk koşul.
Katı bir cismin dengede olması için ona uygulanan dış kuvvetlerin hangi koşulları sağlaması gerektiğini bulalım. Bunu yapmak için denklemler (7.1) ekliyoruz:
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
Bu eşitliğin ilk parantezinde, cisme uygulanan tüm dış kuvvetlerin vektör toplamı, ikincisinde ise bu cismin elemanlarına etki eden tüm iç kuvvetlerin vektör toplamı yazılır. Ancak bilindiği gibi sistemin tüm iç kuvvetlerinin vektör toplamı sıfıra eşittir, çünkü Newton'un üçüncü yasasına göre herhangi bir iç kuvvet, kendisine eşit büyüklükte ve zıt yönde bir kuvvete karşılık gelir. Dolayısıyla son eşitliğin sol tarafında yalnızca cisme uygulanan dış kuvvetlerin geometrik toplamı kalacaktır:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
Tamamen katı bir cisim olması durumunda (7.2) koşuluna denir. Dengenin ilk koşulu.
Gereklidir ancak yeterli değildir.
Yani katı bir cisim dengede ise ona uygulanan dış kuvvetlerin geometrik toplamı sıfıra eşittir.
Dış kuvvetlerin toplamı sıfırsa, bu kuvvetlerin koordinat eksenlerine izdüşümlerinin toplamı da sıfırdır. Özellikle dış kuvvetlerin OX ekseni üzerindeki izdüşümleri için şunu yazabiliriz:
F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7,3)
Aynı denklemler OY ve OZ eksenlerindeki kuvvetlerin izdüşümleri için de yazılabilir.
Katı bir cismin dengesi için ikinci koşul.
Katı bir cismin dengesi için (7.2) koşulunun gerekli olduğundan ancak yeterli olmadığından emin olalım. Şekil 7.2'de gösterildiği gibi masanın üzerinde bulunan tahtaya farklı noktalarda eşit büyüklükte ve zıt yönlü iki kuvvet uygulayalım. Bu kuvvetlerin toplamı sıfırdır:
+ (-) = 0. Ancak tahta yine de dönecektir. Aynı şekilde, eşit büyüklükte ve zıt yönlerde iki kuvvet, bir bisikletin veya arabanın direksiyon simidini döndürür (Şekil 7.3).
Katı bir cismin dengede olması için dış kuvvetlerin toplamlarının sıfıra eşit olmasının yanı sıra başka hangi koşulun sağlanması gerekir? Kinetik enerjideki değişimle ilgili teoremi kullanalım.
Örneğin O noktasında yatay eksene mafsallı bir çubuğun denge koşulunu bulalım (Şekil 7.4). Bu basit cihaz, temel okul fizik dersinden bildiğiniz gibi, birinci türden bir kaldıraçtır.
Çubuğa dik olan kaldıraca 1 ve 2 numaralı kuvvetler uygulansın.
Kuvvet 1 ve 2'ye ek olarak, manivela, manivela ekseninin yanından dikey olarak yukarıya doğru normal bir tepki kuvveti (3) tarafından etkilenmektedir. Kaldıraç dengede olduğunda üç kuvvetin toplamı sıfırdır: 1 + 2 + 3 = 0.
Kolu çok küçük bir α açısıyla döndürürken dış kuvvetlerin yaptığı işi hesaplayalım. 1 ve 2 kuvvetlerinin uygulama noktaları s 1 = BB 1 ve s 2 = CC 1 yolları boyunca ilerleyecektir (küçük α açılarındaki BB 1 ve CC 1 yayları düz parçalar olarak kabul edilebilir). Kuvvet 1'in A 1 = F 1 s 1 işi pozitiftir, çünkü B noktası kuvvet yönünde hareket eder ve kuvvet 2'nin A 2 = -F 2 s 2 işi negatiftir çünkü C noktası aynı yönde hareket eder 2. kuvvetin yönünün tersidir. Force 3, uygulama noktası hareket etmediğinden herhangi bir iş yapmaz.
Katedilen yollar s 1 ve s 2, radyan cinsinden ölçülen a kolunun dönüş açısı cinsinden ifade edilebilir: s 1 = α|VO| ve s 2 = α|СО|. Bunu dikkate alarak iş ifadelerini şu şekilde yeniden yazalım:
A 1 = F 1 a|BO|, (7.4)
A2 = -F2α|CO|.
1 ve 2 numaralı kuvvetlerin uygulama noktaları tarafından tanımlanan dairesel yayların BO ve СО yarıçapları, bu kuvvetlerin etki hattı üzerindeki dönme ekseninden indirilen dikeylerdir.
Bildiğiniz gibi bir kuvvetin kolu, dönme ekseninden kuvvetin etki çizgisine kadar olan en kısa mesafedir. Kuvvet kolunu d harfiyle göstereceğiz. Sonra |VO| = d 1 - kuvvet kolu 1 ve |СО| = d 2 - kuvvet kolu 2. Bu durumda (7.4) ifadesi şu şekilde olacaktır:
A 1 = F 1 αd 1, A 2 = -F 2 αd 2. (7.5)
Formüllerden (7.5), her bir kuvvetin işinin, kuvvet momentinin ve kolun dönme açısının çarpımına eşit olduğu açıktır. Sonuç olarak, iş için ifadeler (7.5) şu şekilde yeniden yazılabilir:
A 1 = M 1 α, A 2 = M 2 α, (7,6)
ve dış kuvvetlerin toplam işi formülle ifade edilebilir
A = A 1 + A 2 = (M 1 + M 2)a. a, (7.7)
Kuvvet 1 momenti pozitif ve M 1 = F 1 d 1'e eşit olduğundan (bkz. Şekil 7.4) ve kuvvet 2 momenti negatif ve M 2 = -F 2 d 2'ye eşit olduğundan, A işi için biz ifadesini yazabilir
A = (M1 - |M2 |)a.
Bir vücut hareket etmeye başladığında kinetik enerjisi artar. Kinetik enerjiyi arttırmak için dış kuvvetlerin iş yapması gerekir, yani bu durumda A ≠ 0 ve buna göre M 1 + M 2 ≠ 0.
Dış kuvvetlerin işi sıfırsa, vücudun kinetik enerjisi değişmez (sıfıra eşit kalır) ve vücut hareketsiz kalır. Daha sonra
M1 + M2 = 0. (7.8)
Denklem (7 8) katı bir cismin dengesi için ikinci koşul.
Katı bir cisim dengede olduğunda, herhangi bir eksene göre ona etki eden tüm dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfıra eşittir.
Dolayısıyla, keyfi sayıda dış kuvvet durumunda, mutlak katı bir cisim için denge koşulları aşağıdaki gibidir:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M1 + M2 + M3 + ... = 0.
İkinci denge koşulu, katı bir cismin dönme hareketinin dinamiğinin temel denkleminden türetilebilir. Bu denkleme göre M, cisme etki eden kuvvetlerin toplam momentidir, M = M 1 + M 2 + M 3 + ..., ε ise açısal ivmedir. Katı cisim hareketsizse ε = 0 ve dolayısıyla M = 0 olur. Böylece ikinci denge koşulu M = M 1 + M 2 + M 3 + ... = 0 şeklinde olur.
Vücut kesinlikle katı değilse, dış kuvvetlerin toplamı ve herhangi bir eksene göre momentlerinin toplamı sıfıra eşit olmasına rağmen, kendisine uygulanan dış kuvvetlerin etkisi altında dengede kalmayabilir.
Örneğin, bir lastik kordonun uçlarına eşit büyüklükte ve kordon boyunca zıt yönlerde yönlendirilen iki kuvvet uygulayalım. Bu kuvvetlerin etkisi altında, dış kuvvetlerin toplamı sıfıra eşit olmasına ve kordonun herhangi bir noktasından geçen eksene göre momentlerinin toplamı eşit olmasına rağmen kordon dengede olmayacaktır (kordon gerilir). sıfıra.
Bu ders aşağıdaki konuları kapsamaktadır:
1. Mekanik sistemlerin denge koşulları.
2. Dengenin stabilitesi.
3. Denge konumlarını belirleme ve kararlılıklarını inceleme örneği.
Bu konuların incelenmesi, "Makine Parçaları" disiplininde mekanik bir sistemin denge konumuna göre salınım hareketlerini incelemek, "Makine ve Mekanizma Teorisi" ve "Malzemelerin Mukavemeti" disiplinlerindeki problemleri çözmek için gereklidir.
Mekanik sistemlerin hareketinin önemli bir durumu salınım hareketidir. Salınımlar, zaman içinde az çok düzenli olarak meydana gelen, mekanik bir sistemin bazı konumlarına göre tekrarlanan hareketleridir. Ders çalışması, bir mekanik sistemin denge konumuna (göreceli veya mutlak) göre salınım hareketini inceler.
Mekanik bir sistem yeterince uzun bir süre boyunca yalnızca kararlı bir denge konumuna yakın bir yerde salınım yapabilir. Bu nedenle salınım hareketinin denklemlerini oluşturmadan önce denge konumlarını bulmak ve kararlılıklarını incelemek gerekir.
Mekanik sistemler için denge koşulları.
Olası yer değiştirmeler ilkesine (statiğin temel denklemi) göre, ideal, durağan, kısıtlayıcı ve holonomik kısıtlamaların uygulandığı bir mekanik sistemin dengede olması için, bu sistemdeki tüm genelleştirilmiş kuvvetlerin dengede olması gerekli ve yeterlidir. sıfıra eşit olmak:
Nerede - karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet J- ah genelleştirilmiş koordinat;
S- mekanik sistemdeki genelleştirilmiş koordinatların sayısı.
İncelenen sistem için ikinci türden Lagrange denklemleri biçiminde diferansiyel hareket denklemleri derlendiyse, olası denge konumlarını belirlemek için genelleştirilmiş kuvvetleri sıfıra eşitlemek ve ortaya çıkan denklemleri genelleştirilmiş koordinatlara göre çözmek yeterlidir. .
Mekanik sistem potansiyel bir kuvvet alanında dengedeyse, denklem (1)'den aşağıdaki denge koşullarını elde ederiz:
Bu nedenle denge konumunda potansiyel enerji aşırı bir değere sahiptir. Yukarıdaki formüllerle belirlenen her denge pratikte gerçekleştirilemez. Sistemin denge konumundan saptığı andaki davranışına bağlı olarak bu konumun kararlılığı veya kararsızlığından söz edilir.
Denge kararlılığı
Denge pozisyonunun stabilitesi kavramının tanımı 19. yüzyılın sonunda Rus bilim adamı A. M. Lyapunov'un çalışmalarında verilmiştir. Bu tanıma bakalım.
Hesaplamaları basitleştirmek için genelleştirilmiş koordinatlar üzerinde de anlaşacağız. Q 1 , Q 2 ,...,Q S sistemin denge konumundan sayın:
Nerede
Herhangi bir keyfi küçük sayı için denge konumuna kararlı denir.başka bir numara bulabilir misin genelleştirilmiş koordinatların ve hızların başlangıç değerlerinin aşılmaması durumunda:
sistemin daha fazla hareketi sırasında genelleştirilmiş koordinatların ve hızların değerleri aşılmayacaktır .
Başka bir deyişle sistemin denge konumu Q 1 = Q 2 = ...= Q s = 0 denir sürdürülebilir eğer bu kadar küçük başlangıç değerlerini bulmak her zaman mümkünse, sistemin hareketinin olduğu yerdenge konumunun herhangi bir verili, keyfi olarak küçük mahallesini terk etmeyecektir. Bir serbestlik derecesine sahip bir sistem için, sistemin kararlı hareketi faz düzleminde açıkça gösterilebilir (Şekil 1).Kararlı bir denge konumu için temsil eden noktanın bölgeden başlayan hareketi [ ] , gelecekte bölgenin dışına çıkmayacak.
Şekil 1
Denge pozisyonu denir asimptotik olarak kararlı , zamanla sistem denge konumuna yaklaşırsa, yani
Bir denge konumunun kararlılığı için koşulları belirlemek oldukça karmaşık bir iştir, bu nedenle kendimizi en basit durumla sınırlayacağız: muhafazakar sistemlerin dengesinin kararlılığının incelenmesi.
Bu tür sistemler için denge konumlarının kararlılığı için yeterli koşullar belirlenir Lagrange-Dirichlet teoremi : muhafazakar bir mekanik sistemin denge konumu, denge konumunda sistemin potansiyel enerjisinin izole edilmiş bir minimuma sahip olması durumunda kararlıdır .
Mekanik bir sistemin potansiyel enerjisi sabit bir doğrulukla belirlenir. Bu sabiti denge konumunda potansiyel enerjinin sıfıra eşit olacağı şekilde seçelim:
P(0)=0.
O halde, bir serbestlik derecesine sahip bir sistem için, izole edilmiş bir minimumun varlığı için gerekli koşul (2) ile birlikte yeterli koşul, koşul olacaktır.
Denge konumunda potansiyel enerjinin izole bir minimumu vardır ve P(0)=0 , o zaman bu konumun sonlu bir mahallesinde
P(q)=0.
Sabit işareti olan ve yalnızca tüm argümanları sıfır olduğunda sıfıra eşit olan işlevler çağrılır. kesin. Sonuç olarak, bir mekanik sistemin denge konumunun kararlı olabilmesi için, bu konumun yakınında potansiyel enerjinin genelleştirilmiş koordinatların pozitif tanımlı bir fonksiyonu olması gerekli ve yeterlidir.
Doğrusal sistemler ve denge konumundan küçük sapmalar için doğrusal hale getirilebilen sistemler (doğrusallaştırılmış) için potansiyel enerji, genelleştirilmiş koordinatların ikinci dereceden bir formu biçiminde temsil edilebilir.
Nerede - genelleştirilmiş sertlik katsayıları.
Genelleştirilmiş katsayılardoğrudan potansiyel enerjinin seri genişlemesinden veya denge konumundaki genelleştirilmiş koordinatlara göre potansiyel enerjinin ikinci türevlerinin değerlerinden belirlenebilen sabit sayılardır:
Formül (4)'ten genelleştirilmiş sertlik katsayılarının endekslere göre simetrik olduğu sonucu çıkar.
Bunun için Denge konumunun kararlılığı için yeterli koşulların karşılanması amacıyla, potansiyel enerjinin genelleştirilmiş koordinatlarının pozitif tanımlı ikinci dereceden bir formu olması gerekir.
Matematikte var Sylvester kriteri İkinci dereceden formların pozitif kesinliği için gerekli ve yeterli koşulları veren: İkinci dereceden form (3), katsayılarından ve tüm temel köşegen küçüklerinden oluşan determinantın pozitif olması durumunda pozitif tanımlı olacaktır; eğer olasılıklar şartları yerine getirecek
.....
Özellikle, iki serbestlik derecesine sahip doğrusal bir sistem için, potansiyel enerji ve Sylvester kriterinin koşulları şu şekilde olacaktır:
Benzer şekilde, eğer potansiyel enerji yerine indirgenmiş sistemin potansiyel enerjisini hesaba katarsak, göreceli denge konumlarını incelemek mümkündür.
P Denge konumlarını belirleme ve kararlılıklarını inceleme örneği
Şekil 2
Bir tüpten oluşan mekanik bir sistem düşünün ABçubuk olan OO 1 yatay dönme eksenine bağlı ve boru boyunca sürtünmesiz hareket eden ve bir noktaya bağlı bir top A yaylı tüpler (Şek. 2). Sistemin denge konumlarını belirleyelim ve aşağıdaki parametreler altında kararlılıklarını değerlendirelim: boru uzunluğu ben2 = 1 M , çubuk uzunluğu ben 1 = 0,5 M . deforme olmamış yayın uzunluğu ben 0 = 0,6 m yay sertliği C= 100 N/m. Tüp ağırlığı M 2 = 2 kg, çubuk - M 1 = 1 kilo ve top - M 3 = 0,5 kg. Mesafe O.A. eşittir ben 3 = 0,4 m.
Söz konusu sistemin potansiyel enerjisi için bir ifade yazalım. Düzgün bir yerçekimi alanında bulunan üç cismin potansiyel enerjisinden ve deforme olmuş bir yayın potansiyel enerjisinden oluşur.
Bir yerçekimi alanındaki bir cismin potansiyel enerjisi, cismin ağırlığı ile ağırlık merkezinin, potansiyel enerjinin sıfıra eşit olduğu kabul edilen düzlem üzerindeki yüksekliğinin çarpımına eşittir. Çubuğun dönme ekseninden geçen düzlemde potansiyel enerji sıfır olsun O.O. 1, sonra yerçekimi için
Elastik kuvvet için potansiyel enerji deformasyonun büyüklüğüne göre belirlenir.
Sistemin olası denge konumlarını bulalım. Denge konumlarındaki koordinat değerleri aşağıdaki denklem sisteminin kökleridir.
Benzer bir denklem sistemi, iki serbestlik derecesine sahip herhangi bir mekanik sistem için derlenebilir. Bazı durumlarda sistemin kesin çözümünü elde etmek mümkündür. Sistem (5) için böyle bir çözüm mevcut olmadığından köklerin sayısal yöntemler kullanılarak aranması gerekir.
Aşkın denklemler sistemini (5) çözerek iki olası denge konumu elde ederiz:
Elde edilen denge konumlarının kararlılığını değerlendirmek için, genelleştirilmiş koordinatlara göre potansiyel enerjinin tüm ikinci türevlerini bulacağız ve bunlardan genelleştirilmiş katılık katsayılarını belirleyeceğiz.
Cisimlerin denge koşullarının incelendiği mekaniğin dalına statik denir. En kolay yol, kesinlikle katı bir cismin, yani boyutları ve şekli değişmemiş kabul edilebilecek bir cismin denge koşullarını dikkate almaktır. Kesinlikle katı bir cisim kavramı bir soyutlamadır, çünkü kendilerine uygulanan kuvvetlerin etkisi altındaki tüm gerçek cisimler bir dereceye kadar deforme olur, yani şekil ve boyutlarını değiştirirler. Deformasyonların büyüklüğü hem gövdeye uygulanan kuvvetlere hem de gövdenin özelliklerine (şekline ve yapıldığı malzemenin özelliklerine) bağlıdır. Pratik olarak önemli birçok durumda, deformasyonlar küçüktür ve kesinlikle katı bir cisim kavramının kullanımı haklıdır.
Kesinlikle katı bir gövdenin modeli. Ancak deformasyonların küçüklüğü her zaman bir cismin tamamen katı kabul edilmesi için yeterli bir koşul değildir. Bunu açıklamak için aşağıdaki örneği inceleyin. İki destek üzerinde duran bir tahta (Şekil 140a), yerçekiminin etkisi altında hafifçe bükülmesine rağmen kesinlikle katı bir gövde olarak düşünülebilir. Aslında bu durumda mekanik denge koşulları, tahtanın deformasyonu dikkate alınmadan desteklerin reaksiyon kuvvetlerinin belirlenmesini mümkün kılar.
Ancak aynı tahta aynı desteklere dayanıyorsa (Şekil 1406), o zaman kesinlikle katı bir gövde fikri uygulanamaz. Aslında, dış desteklerin aynı yatay çizgide ve ortadakinin biraz daha aşağıda olmasına izin verin. Tahta tamamen sağlamsa, yani hiç eğilmiyorsa orta desteğe hiç baskı uygulamaz. Tahta bükülürse orta desteğe baskı uygular ve deformasyon ne kadar büyük olursa, o kadar güçlüdür. Şartlar
Bu durumda kesinlikle katı bir cismin dengesi, desteklerin reaksiyon kuvvetlerini belirlememize izin vermez, çünkü bunlar üç bilinmeyen miktar için iki denkleme yol açar.
Pirinç. 140. İki (a) ve üç (b) destek üzerinde bulunan bir tahtaya etki eden reaksiyon kuvvetleri
Bu tür sistemlere statik olarak belirsiz denir. Bunları hesaplamak için cisimlerin elastik özelliklerini hesaba katmak gerekir.
Yukarıdaki örnek, mutlak katı bir cisim modelinin statikte uygulanabilirliğinin, cismin kendi özellikleri tarafından değil, içinde bulunduğu koşullar tarafından belirlendiğini göstermektedir. Dolayısıyla, ele alınan örnekte, ince bir saman bile iki destek üzerinde duruyorsa kesinlikle sağlam bir gövde olarak kabul edilebilir. Ancak çok sert bir kiriş bile üç desteğe dayanıyorsa kesinlikle katı bir cisim olarak kabul edilemez.
Denge koşulları. Kesinlikle katı bir cismin denge koşulları, ivme olmadığında dinamik denklemlerin özel bir durumudur; ancak tarihsel olarak statik, dinamikten neredeyse iki bin yıl önce inşaat ekipmanının ihtiyaçlarından doğmuştur. Eylemsiz bir referans çerçevesinde, cisme etki eden tüm dış kuvvetlerin vektör toplamı ve bu kuvvetlerin momentlerinin vektör toplamı sıfıra eşitse katı bir cisim dengededir. İlk koşul karşılandığında cismin kütle merkezinin ivmesi sıfırdır. İkinci koşul karşılandığında dönmenin açısal ivmesi olmaz. Bu nedenle, eğer ilk anda vücut hareketsizse, o zaman daha da hareketsiz kalacaktır.
Gelecekte kendimizi, etki eden tüm kuvvetlerin aynı düzlemde yer aldığı nispeten basit sistemlerin incelenmesiyle sınırlayacağız. Bu durumda vektör koşulu
iki skalere indirgenir:
kuvvetlerin etki düzleminin eksenlerini konumlandırırsak. Denge koşullarında (1) yer alan cisme etki eden dış kuvvetlerin bir kısmı belirtilebilir, yani modülleri ve yönleri bilinmektedir. Vücudun olası hareketini sınırlayan bağlantıların veya desteklerin tepki kuvvetlerine gelince, bunlar kural olarak önceden belirlenmez ve kendileri belirlenmeye tabidir. Sürtünmenin olmadığı durumda reaksiyon kuvvetleri cisimlerin temas yüzeyine diktir.
Pirinç. 141. Tepki kuvvetlerinin yönünü belirlemek
Reaksiyon kuvvetleri. Bazen, örneğin Şekil 2'de olduğu gibi, bağ reaksiyon kuvvetinin yönünün belirlenmesinde şüpheler ortaya çıkar. Şekil 141, bir bardağın pürüzsüz içbükey yüzeyinde A noktasında ve bardağın keskin kenarında B noktasında duran bir çubuğu göstermektedir.
Bu durumda reaksiyon kuvvetlerinin yönünü belirlemek için çubuğu bardakla temasını bozmadan zihinsel olarak hafifçe hareket ettirebilirsiniz. Tepki kuvveti, temas noktasının kaydığı yüzeye dik olarak yönlendirilecektir. Yani A noktasında çubuğa etki eden reaksiyon kuvveti kabın yüzeyine diktir ve B noktasında çubuğa diktir.
Güç anı. Bir noktaya göre kuvvetin M momenti
O, O'dan kuvvetin uygulama noktasına kuvvet vektörü tarafından çizilen yarıçap vektörünün vektör ürünüdür.
Kuvvet momentinin vektörü M vektörlerin bulunduğu düzleme diktir
Moment denklemi. Bir cisme birden fazla kuvvet etki ediyorsa, kuvvetlerin momentleriyle ilişkili ikinci denge koşulu şu şekilde yazılır:
Bu durumda yarıçap vektörlerinin çizildiği O noktası tüm etki eden kuvvetler için ortak olacak şekilde seçilmelidir.
Düzlemsel bir kuvvet sistemi için, eğer momentler aynı düzlemde bulunan bir noktaya göre dikkate alınırsa, tüm kuvvetlerin moment vektörleri, kuvvetlerin bulunduğu düzleme dik olarak yönlendirilir. Bu nedenle, momentler için vektör koşulu (4) bir skaler bire indirgenir: denge konumunda, tüm dış etki eden kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşittir. O noktasına göre kuvvet momentinin modülü modülün çarpımına eşittir
O noktasından kuvvetin etki ettiği çizgiye kadar olan mesafedeki kuvvetler Bu durumda, gövdeyi saat yönünde döndürme eğiliminde olan momentler aynı işaretle, saat yönünün tersine - ters işaretle alınır. Kuvvetlerin momentlerinin dikkate alındığı noktanın seçimi yalnızca kolaylık sağlamak amacıyla yapılır: momentlerin denklemi daha basit olacaktır, daha fazla kuvvetin momentleri sıfıra eşit olacaktır.
Bir denge örneği. Mutlak katı bir cismin denge koşullarının uygulanmasını göstermek için aşağıdaki örneği düşünün. Hafif bir merdiven, üstten menteşeli ve tabandan bir ip ile bağlanan iki özdeş parçadan oluşur (Şek. 142). Halatın çekme kuvvetinin ne olduğunu, merdivenin yarımlarının menteşede hangi kuvvetlerle etkileştiğini ve bunlardan birinin ortasında R ağırlığında bir kişi duruyorsa zemine hangi kuvvetlerle baskı yaptıklarını belirleyelim.
Söz konusu sistem iki katı gövdeden oluşur - merdivenin yarısı ve denge koşulları hem sistemin tamamına hem de parçalarına uygulanabilir. Denge koşulları bir bütün olarak sistemin tamamına uygulandığında zemin reaksiyon kuvvetleri ve (Şekil 142) bulunabilir. Sürtünme olmadığında bu kuvvetler dikey olarak yukarı doğru yönlendirilir ve dış kuvvetlerin vektör toplamının sıfıra (1) eşit olması koşulu şu şekilde olur:
Dış kuvvetlerin A noktasına göre momentleri için denge koşulu şu şekilde yazılır:
merdivenlerin uzunluğu nerede, merdivenlerin zeminle oluşturduğu açı. Denklem (5) ve (6) sistemini çözerek şunu buluruz:
Pirinç. 142. Dış kuvvetlerin vektör toplamı ve dengedeki dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfıra eşittir
Elbette A noktasına göre (6) moment denklemi yerine B noktasına (veya başka herhangi bir noktaya) göre moment denklemi yazılabilir. Bu, kullanılan (5) ve (6) sistemine eşdeğer bir denklem sistemi ile sonuçlanacaktır.
Söz konusu fiziksel sistem için halatın çekme kuvveti ve menteşedeki etkileşim kuvvetleri içseldir ve bu nedenle bir bütün olarak sistemin tamamının denge koşullarından belirlenemez. Bu kuvvetleri belirlemek için sistemin ayrı ayrı parçalarının denge koşullarını dikkate almak gerekir. Aynı zamanda
Kuvvetlerin moment denkleminin derlendiği noktanın başarılı bir şekilde seçilmesiyle cebirsel denklem sisteminin basitleştirilmesi sağlanabilir. Yani örneğin bu sistemde, menteşenin bulunduğu C noktasına göre merdivenin sol yarısına etki eden kuvvetlerin momentlerinin denge durumunu düşünebiliriz.
C noktasının bu seçimiyle, menteşeye etkiyen kuvvetler bu duruma dahil edilmeyecektir ve T ipinin çekme kuvvetini hemen buluruz:
nereden aldığımıza göre
Koşul (7), T bileşke kuvvetinin C noktasından geçtiği, yani merdivenlere doğru yönlendirildiği anlamına gelir. Bu nedenle, merdivenin bu yarısının dengesi ancak menteşeye etki eden kuvvetin de merdiven boyunca yönlendirilmesi durumunda mümkündür (Şekil 143) ve modülü, sonuçta ortaya çıkan T kuvvetlerinin modülüne eşitse ve
Pirinç. 143. Merdivenin sol yarısına etki eden üç kuvvetin etki çizgileri bir noktadan geçiyor
Merdivenin diğer yarısındaki mafsala etki eden kuvvetin Newton'un üçüncü yasasına göre mutlak değeri eşittir ve yönü vektörün yönüne zıttır. Kuvvetin yönü doğrudan Şekil'den belirlenebilir. . 143, bir cisim üç kuvvetin etkisi altında dengede olduğunda, bu kuvvetlerin etki ettiği çizgilerin bir noktada kesiştiğini dikkate alır. Aslında bu üç kuvvetten ikisinin etki çizgilerinin kesişme noktasını ele alalım ve bu noktaya göre bir moment denklemi kuralım. İlk iki kuvvetin bu noktaya göre momentleri sıfıra eşittir; Bu, üçüncü kuvvetin momentinin de sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir; bu, (3)'e göre, ancak etki çizgisinin de bu noktadan geçmesi durumunda mümkündür.
Mekaniğin altın kuralı. Bazen statik problemi denge koşulları hiç dikkate alınmadan çözülebilir, ancak sürtünmesiz mekanizmalara göre enerjinin korunumu yasasını kullanarak çözülebilir: hiçbir mekanizma iş kazancı sağlamaz. Bu yasa
mekaniğin altın kuralı denir. Bu yaklaşımı açıklamak için aşağıdaki örneği düşünün: ağır bir P ağırlığı yükü, üç bağlantıya sahip ağırlıksız bir menteşe üzerinde asılıdır (Şekil 144). İplik bağlantı noktaları A ve B hangi gerilim kuvvetine dayanmalıdır?
Pirinç. 144. P ağırlığını taşıyan üç bağlantılı menteşedeki bir ipliğin gerilim kuvvetini belirlemek için
P yükünü kaldırmak için bu mekanizmayı kullanmayı deneyelim. A noktasındaki ipliği çözdükten sonra, B noktası yavaşça belirli bir mesafeye yükselecek şekilde yukarı çekin. Bu mesafe, T ipliğinin gerginlik kuvvetinin değişmeden kalması gerektiği gerçeğiyle sınırlıdır. hareket sırasında. Bu durumda cevaptan da anlaşılacağı gibi T kuvveti, menteşenin ne kadar sıkıştırıldığına veya gerildiğine hiç bağlı değildir. Yapılan iş. Sonuç olarak, P yükü, geometrik değerlendirmelerden de anlaşılacağı gibi, eşit olan bir yüksekliğe yükselir. Sürtünme olmadığında enerji kaybı meydana gelmediğinden, yükün potansiyel enerjisindeki değişimin belirlendiği ileri sürülebilir. kaldırma sırasında yapılan iş ile. Bu yüzden
Açıkçası, rastgele sayıda özdeş bağlantı içeren bir menteşe için,
İpliğin gerilme kuvvetini bulmak zor değildir ve menteşenin ağırlığının dikkate alınması gerektiğinde, kaldırma sırasında yapılan iş, potansiyel enerjilerdeki değişikliklerin toplamına eşitlenmelidir. yük ve menteşe. Aynı bağlantılardan oluşan bir menteşe için kütle merkezi bu nedenle yükselir
Formüle edilen prensip ("mekaniğin altın kuralı"), hareket süreci sırasında potansiyel enerjide bir değişiklik olmadığında ve mekanizma kuvveti dönüştürmek için kullanıldığında da geçerlidir. Dişli kutuları, şanzımanlar, kapılar, kaldıraç ve blok sistemleri - bu tür sistemlerin tümünde, dönüştürülen kuvvet, dönüştürülen ve uygulanan kuvvetlerin işinin eşitlenmesiyle belirlenebilir. Yani sürtünme olmadığında bu kuvvetlerin oranı sadece cihazın geometrisi tarafından belirlenir.
Yukarıda ele alınan seyyar merdiven örneğini bu açıdan ele alalım. Elbette, bir kaldırma mekanizması olarak bir merdiven kullanmak, yani bir kişiyi merdivenin yarımlarını birbirine yaklaştırarak kaldırmak pek tavsiye edilmez. Ancak bu durum, halatın çekme kuvvetini bulmak için anlatılan yöntemi uygulamamıza engel olamaz. Merdivenin parçaları bir araya geldiğinde yapılan işi merdivendeki kişinin potansiyel enerjisindeki değişimle eşitlemek ve geometrik değerlendirmelerden merdivenin alt ucunun hareketini yükün yüksekliğindeki bir değişiklikle bağlamak (Şekil 145), beklendiği gibi daha önce verilen sonucu elde ederiz:
Daha önce belirtildiği gibi hareket, işlem sırasında etki eden kuvvetin sabit kabul edilebileceği şekilde seçilmelidir. İpliğin gerginlik kuvveti açıya bağlı olmadığından, menteşeli örnekte bu durumun harekete kısıtlama getirmediğini görmek kolaydır (Şekil 144). Aksine, merdiven probleminde halatın çekme kuvveti a açısına bağlı olduğundan yer değiştirme küçük seçilmelidir.
Dengenin kararlılığı. Denge istikrarlı, kararsız ve kayıtsız olabilir. Denge, eğer vücudun denge konumundan küçük hareketleriyle, etki eden kuvvetler onu geri döndürme eğilimindeyse stabildir (Şekil 146a), ve eğer kuvvetler onu denge konumundan daha da ileri götürürse dengesizdir (Şekil 1466).
Pirinç. 145. Merdivenin alt uçlarının hareketleri ve merdivenin yarımları bir araya geldiğinde yükün hareketi
Pirinç. 146. Kararlı (a), kararsız (b) ve kayıtsız (c) dengeler
Küçük yer değiştirmelerde cisme etki eden kuvvetler ve momentleri hala dengedeyse, denge kayıtsızdır (Şekil 146c). Kayıtsız dengede cismin komşu konumları da dengededir.
Dengenin kararlılığını incelemeye ilişkin örnekleri ele alalım.
1. Kararlı denge, vücudun komşu konumlarındaki değerlerine göre vücudun minimum potansiyel enerjisine karşılık gelir. Bu özellik genellikle denge konumunu bulurken ve dengenin doğasını incelerken kullanıma uygundur.
Pirinç. 147. Vücut dengesinin stabilitesi ve ağırlık merkezinin konumu
Dikey bağımsız bir sütun, küçük eğimlerde kütle merkezi yükseldiği için kararlı bir dengededir. Bu, kütle merkezinin dikey izdüşümünün destek alanının ötesine geçmesine, yani dikeyden sapma açısı belirli bir maksimum değeri aşmayana kadar gerçekleşir. Başka bir deyişle, kararlılık bölgesi minimum potansiyel enerjiden (dikey konumda) ona en yakın maksimuma kadar uzanır (Şekil 147). Kütle merkezi destek alanının sınırının tam üzerinde yer aldığında kolon da dengededir ancak kararsızdır. Yatay olarak uzanan bir sütun, çok daha geniş bir stabilite aralığına karşılık gelir.
2. Yarıçaplı iki yuvarlak kalem vardır ve bunlardan biri yatay olarak yerleştirilmiş, diğeri üzerinde kalemlerin eksenleri birbirine dik olacak şekilde yatay konumda dengelenmiştir (Şekil 148a). Yarıçaplar arasındaki hangi oranda denge kararlıdır? Üstteki kalem yataydan hangi maksimum açıda eğilebilir? Kalemlerin birbirine sürtünme katsayısı eşittir
İlk bakışta, üst kalemin kütle merkezi, etrafında dönebileceği eksenin üzerinde yer aldığından, üst kalemin dengesi genel olarak dengesiz gibi görünebilir. Ancak burada dönme ekseninin konumu değişmediğinden bu durum özel çalışma gerektirir. Üstteki kalem yatay konumda dengelendiğinden, kalemlerin kütle merkezleri bu dikey konumda yer alır (Şek. ).
Üstteki kalemi yataydan belli bir açıyla eğerek eğelim. Statik sürtünme olmadığında hemen aşağı doğru kayar. Şimdilik olası kaymayı düşünmemek için sürtünmenin oldukça büyük olduğunu varsayacağız. Bu durumda üst kalem, alt kalemin üzerinde kaymadan "yuvarlanır". A konumundan dayanak noktası yeni bir C konumuna hareket eder ve üst kalemin sapmadan önce alt kalemin üzerinde durduğu nokta
B konumuna gider. Kayma olmadığından yayın uzunluğu doğru parçasının uzunluğuna eşittir
Pirinç. 148. Üst kalem, alt kalem (a) üzerinde yatay olarak dengelenir; denge kararlılığının incelenmesine (b)
Üst kalemin kütle merkezi konumuna doğru hareket eder. Eğer çizilen dikey çizgi yeni dayanak noktası C'nin solundan geçerse, o zaman yerçekimi üstteki kalemi denge konumuna döndürme eğilimi gösterir.
Bu durumu matematiksel olarak ifade edelim. B noktasından geçen dikey bir çizgi çizerek koşulun karşılanması gerektiğini görüyoruz
Koşul (8)'den elde ettiğimiz için
Yer çekimi kuvveti üstteki kalemi ancak 0.000 m'de denge konumuna döndürme eğiliminde olacağından, üstteki kalemin alt kalem üzerindeki kararlı dengesi ancak yarıçapı alt kalemin yarıçapından küçük olduğunda mümkündür.
Sürtünmenin rolü.İkinci soruyu cevaplamak için izin verilen sapma açısını hangi nedenlerin sınırladığını bulmanız gerekir. İlk olarak, büyük sapma açılarında, üst kalemin kütle merkezinden geçen dikey çizgi, dayanak noktası C'nin sağına geçebilir. Koşul (9)'dan, kalemlerin yarıçaplarının belirli bir oranı için açıktır. maksimum sapma açısı
Katı bir cismin denge koşulları reaksiyon kuvvetlerini belirlemek için her zaman yeterli midir?
Sürtünme olmadığında reaksiyon kuvvetlerinin yönü pratik olarak nasıl belirlenebilir?
Denge koşullarını analiz ederken mekaniğin altın kuralını nasıl kullanabilirsiniz?
Şekil 2'de gösterilen menteşede ise 144, A ve B noktalarını bir iplikle değil, A ve C noktalarını birleştirin, o zaman gerilme kuvveti ne olacaktır?
Bir sistemin dengesinin kararlılığı potansiyel enerjisiyle nasıl ilişkilidir?
Dengesini kaybetmemek için bir düzlem üzerinde üç noktada duran bir cismin maksimum sapma açısını hangi koşullar belirler?
