Temel geometrik yapılara ilişkin bilgi, her durum için en rasyonel teknikleri seçerek doğru ve hızlı çizim yapmayı mümkün kılar.

2.1. Bir parçayı eşit parçalara bölmek

Bir orta refüj oluşturarak bir pusula kullanarak segmenti ikiye bölebilirsiniz (Şekil 18, a). Bunu yapmak için, parçanın uzunluğunun yarısından fazlasını ölçen bir yarıçap alın ve her iki taraftaki uçlarından birbirleriyle kesişene kadar dairesel yaylar çizin. Yayların kesişme noktalarına dik bir medyan çiziyoruz.

Herhangi bir sayıda eşit parçaya bölmek için Fa teoremini kullanırız

iskele: açının bir tarafına eşit bölümler yerleştirilirse ve uçlarından paralel düz çizgiler çizilirse, açının diğer tarafına da eşit bölümler döşenecektir (Şekil 18, b). Pro altında

AB parçasına keyfi bir açıyla bir yardımcı ışın AC çizelim; bunun üzerine, bu parçanın bölünmesi gereken parça sayısı kadar keyfi uzunlukta bir parça yerleştirelim. Son parçanın ucunu B noktasına bağlayıp geri kalan parçaların uçlarından BC'ye paralel düz çizgiler çiziyoruz.

2.2. Bir daireyi rastgele sayıda eşit parçaya bölmek

Düzenli çokgenler oluşturmak için bir daireyi eşit parçalara bölme yeteneği gereklidir. Önce bir daireyi bölmeye yönelik belirli teknikleri ele alalım.

Üç parçaya bölünme (Şek. 19)

Pusulanın ayağını dairenin karşılıklı dik çaplarının uçlarından birine yerleştiriyoruz. Dairenin yarıçapına eşit bir pusula çözümü kullanarak çapın bu ucunun her iki yanında çentikler açıyoruz. Normal bir üçgenin iki köşesini elde ediyoruz. Üçüncü köşe çapın karşı ucudur.

Dört parçaya bölme (Şek. 20)

Karşılıklı olarak dik olan iki çap, daireyi dört eşit parçaya böler. Dairenin merkezinden eksenlere 45ᵒ açıyla düz çizgiler çizilirse, daireyi de dört eşit parçaya bölerler. Yazılı karenin kenarları dairenin eksenlerine paralel olacaktır. Bu iki kare birlikte daireyi sekiz eşit parçaya böldü.

Beş parçaya bölünmüştür (Şek. 21)

● 1 ). Yarıçapına eşit bir pusula açıklığı kullanarak daire üzerinde bir çentik açıyoruz. 2.noktayı alıyoruz.

● 2. noktadan itibaren çentiğin oluşturulduğu uçtan çapa dik olanı indiriyoruz. 3. noktayı alıyoruz.

● Pusulanın ayağını noktaya yerleştiriyoruz 3. 3 noktasından dikey çapın ucuna (4 noktası) kadar olan mesafeye eşit bir yarıçap alın ve yatay çapla kesişene kadar bir yay çizin. 5. noktayı alıyoruz.

● 4 ve 5 numaralı noktaları bağlayın. Akor 4-5 dairenin 1/5'i olacaktır.

● Akorun uzunluğunu pusula ile ölçüyoruz 4–5 ve çapın uçlarından birinden bırakmaya başlayın (beşgenin eksenlere göre nasıl yönlendirilmesi gerektiğine bağlı olarak). Bir parçayı yerleştirmeye başladığımız uçtan itibaren çap, şeklin simetri ekseni olacaktır.

Parçaların her iki tarafa aynı anda döşenmesi tavsiye edilir. Kalan bölüm simetri eksenine dik olmalıdır. Uzunluğu kalan bölümlerin uzunluğuna eşit değilse, bu, yapının yanlış yapıldığı veya 4-5 akorunun yanlış ölçüldüğü anlamına gelir. Parçanın uzunluğunu ayarlamalı ve daireyi bölmeyi tekrar tekrarlamalısınız.

Altı parçaya bölme (Şek. 22)

Dairenin yarıçapına eşit bir pusula açıklığı kullanarak, her iki uçtan da aynı çapta çentikler açıyoruz. Düzenli bir altıgenin dört köşesini elde ediyoruz. Diğer iki köşe, seriflerin yapıldığı çapın uçlarıdır.

Yedi parçaya bölünme (Şek. 23)

● Pusulanın ayağını çapın uçlarından birine yerleştiriyoruz (nokta 1). Dairenin yarıçapına eşit bir pusula çözümü kullanarak üzerine bir çentik açıyoruz. 2.noktayı alıyoruz.

● 2. noktadan itibaren çentiğin oluşturulduğu uçtan çapa dik olanı indiriyoruz. 3. noktayı alıyoruz. 2-3 arasındaki segment dairenin 1/7'sidir.

● Segmentin uzunluğunu bir kumpasla ölçüyoruz 2 -3 ve her iki tarafta aynı anda çapın her iki ucundan sırayla bir kenara koyun. Son bölüm, bölümlerin döşenmeye başladığı uçtan itibaren çapa dik olmalıdır. Bu çap yazılı yedigenin simetrisi olacaktır.

On parçaya bölme (Şek. 24)

● Şekil 2'de gösterildiği gibi daireyi 5 parçaya bölün. 21. Düzenli bir beşgen elde ediyoruz.

● Beşgenin her köşesinden karşıt kenarlara dik açılar indiriyoruz. Hepsi dairenin merkezinden geçecek ve kenarı ve onu çevreleyen yayı ikiye bölecek. 5 köşe daha elde ediyoruz.

On iki parçaya bölünme (Şekil 25)

Dairenin yarıçapına eşit bir pusula açıklığı kullanarak her iki çapın uçlarından her iki tarafta çentikler açıyoruz.

Bir daireyi herhangi bir sayıda parçaya bölmenin genel bir tekniği de vardır. Bunu normal bir altıgen oluşturma örneğini kullanarak düşünelim (Şekil 27).

● Birbirine dik iki çap (yatay ve dikey) çiziyoruz.

● Şeklin simetri ekseni olmasını istediğimiz çapı, daireyi bölmemiz gereken sayıda parçaya bölüyoruz. İncirde. 27 çap AB 9 parçaya bölünmüştür. Ortaya çıkan bölme noktalarını numaralandırıyoruz.

● Pusulanın ayağını noktaya yerleştiriyoruz Ve dairenin çapına eşit bir yarıçapla, dikey çapın devamı ile kesişene kadar bir yay çizin. C noktasını alıyoruz.

● C noktasını çapı bölen noktalarla birleştirerek çemberin karşı yayı ile I, II, III, IV noktalarında kesişene kadar devam ediyoruz. Dokuzgenin köşelerinden birinin A noktası olması gerekiyorsa, ışınları çapın tüm eşit bölümlerinden geçirin (Şekil 27, a). B noktasının köşelerden biri olması gerekiyorsa, ışınlar çapın tüm tek bölümleri boyunca çekilmelidir (Şekil 27, b).

● Oluşturulan noktaları yatay çapa göre simetrik olarak görüntüleriz. Şeklin kalan köşelerini alıyoruz.

2.2.1. Görev No.4. Bir daireyi bölme

Amaç: Bir daireyi eşit parçalara bölme tekniklerini incelemek.

A3 formatında, ilk sıraya 60 mm çapında daireler halinde yazılmış normal çokgenler (üç, dört, beş, altı, yedi ve dokuzgen) çizin. Yardımcı çizgiler olarak daireler ince olmalıdır. Çokgenlerin ana hatlarını kalın çizgilerle çizin.

ÜÇGENLER.

§ 28. PUSULA VE CETVEL İLE YAPILAR.

Şimdiye kadar inşaat problemlerini çözerken pergel, cetvel, üçgen çizimi ve iletki kullanıyorduk.

Şimdi bir takım inşaat problemlerini yalnızca iki alet (pergel ve cetvel) kullanarak çözelim.

Görev 1. Bu segmenti ikiye bölün.

Bir AB segmenti verildiğinde, onu ikiye bölmeniz gerekir.

Çözüm. AB segmentinin yarısından daha büyük bir yarıçapla, merkezlerden olduğu gibi A ve B noktalarından kesişen yayları tanımlarız (Şekil 161). Bu yayların kesişme noktalarından AB parçasını K noktasında kesecek ve onu bu noktayla ikiye bölecek bir CD düz çizgisi çiziyoruz: AK = KV.

Hadi kanıtlayalım. A ve B noktalarını C ve D noktalarına bağlayalım. /\ CAD = /\ SVD, yapısı itibariyle AC = CB, AD = BD, CD ortak taraf olduğundan.

Bu üçgenlerin eşitliğinden şu sonuç çıkar: / ACK = / VSK, yani SK, ikizkenar üçgen ASV'nin tepe noktasındaki açının ortaydır. Ve bir ikizkenar üçgenin tepe noktasındaki açının ortancası da onun medyanıdır, yani. CD düz çizgisi AB parçasını ikiye böler.

Görev 2. Belirli bir AB çizgisine, bu çizgi üzerinde bulunan O noktasından geçen bir dik çizin.

Bir AB doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan bir O noktası veriliyor. O noktasından geçen AB doğrusuna dik bir çizgi çizilmesi gerekmektedir.

Çözüm. O noktasından itibaren AB doğrusu üzerinde OM ve ON olmak üzere iki eşit parça çizelim.
(Çizim 162). M ve N noktalarından, merkezlerden olduğu gibi, aynı yarıçapa sahip, OM'den daha büyük iki yay tanımlayacağız. Kesişme noktasını K ile O noktasıyla birleştiriyoruz. KO, ikizkenar üçgen MKN'deki ortancadır, dolayısıyla KO_|_A B (§ 18).

Görev 3. Belirli bir AB çizgisine, bu çizginin dışında bulunan bir C noktasından geçen bir dik çizin.

Bir AB doğrusu ve bu doğrunun dışında bir C noktası verildiğinde, AB doğrusuna C noktasından geçen bir dikme gereklidir.

Çözüm. C noktasından, merkezden olduğu gibi, AB düz çizgisiyle, örneğin M ve N noktalarında kesişecek şekilde diuslu bir yay tanımlarız (Şekil 163). M ve N noktalarından, merkezlerden olduğu gibi, aynı yarıçapa sahip, MN'nin yarısından büyük yayları tanımlayacağız. E kesişme noktalarını C noktasına ve M ve N noktalarına bağlarız. CME ve CNE üçgenlerinin üç tarafı eşittir. Araç, / 1 = / 2 ve CE, ikizkenar üçgen MCN'deki C açısının açıortayıdır ve bu nedenle AB düz çizgisine diktir (§ 18).

Tüm görüntülerin konturları çeşitli çizgilerle oluşturulmuştur. Ana çizgiler düz bir çizgi, bir daire ve bir dizi eğridir. Görüntülerin dış hatlarını çizerken geometrik yapılar ve çekimler kullanılır.

“Tanımlayıcı Geometri ve Mühendislik Grafikleri” disiplinini incelerken öğrenciler, geometrik yapılar ve bağlantılar gerçekleştirmenin kurallarını ve sırasını öğrenmelidir.

Bu bakımdan inşaat becerilerini kazanmanın en iyi yolu, karmaşık parçaların konturlarını çizme görevleridir.

Test görevine başlamadan önce, metodolojik kılavuza göre geometrik yapılar ve bağlantılar gerçekleştirme tekniğini incelemeniz gerekir.

1. Segmentlerin ve açıların bölünmesi

1.1. Bir segmenti ikiye bölmek

Verilen AB parçasını ikiye bölün.

AB segmentinin uçlarından, merkezlerden olduğu gibi, boyutu AB segmentinin yarısından biraz daha büyük olması gereken R yarıçaplı daire yayları çiziyoruz (Şekil 1). Bu yaylar M ve N noktalarında kesişecek, AB ve MN düz çizgilerinin kesiştiği C noktasını bulalım. C noktası AB parçasını iki eşit parçaya bölecektir.

Not. Gerekli tüm yapılar yalnızca bir pusula ve bir cetvel (bölünmeler olmadan) yardımıyla yapılmalıdır ve yapılabilir.

1.2. Bir parçayı n eşit parçaya bölme

Belirli bir parçayı n eşit parçaya bölün.

Segmentin ucundan - A noktasından, isteğe bağlı bir α açısında bir yardımcı ışın çizeceğiz (Şekil 2 a) Bu ışının üzerine isteğe bağlı uzunlukta 4 eşit bölüm yerleştireceğiz (Şekil 2b). Son dördüncü parçanın sonu (nokta 4) B noktasına bağlanır. Daha sonra, önceki tüm 1...3 noktalarından, AB parçasıyla 1", 2 noktalarında kesişene kadar B4 parçasına paralel parçalar çizeriz. ", 3" Bu şekilde elde edilen noktalar, parçayı eşit dört parçaya böldü.

1.3. Bir açıyı ikiye bölmek

Verilen BAC açısını ikiye bölün.

A açısının tepe noktasından, B ve C noktalarında açının yanlarıyla kesişene kadar isteğe bağlı yarıçaplı bir yay çizeriz (Şekil 3 a). Daha sonra B ve C noktalarından, D noktasında kesişene kadar BC mesafesinin yarısından daha büyük bir yarıçapa sahip iki yay çizeriz (Şekil 3 b). A ve D noktalarını düz bir çizgiyle birleştirerek, verilen açıyı ikiye bölen açının açıortayını elde ederiz (Şekil 3 c)

a) b) c)

2. Bir daireyi eşit parçalara bölmek ve düzgün çokgenler oluşturmak

2.1. Bir daireyi üç eşit parçaya bölmek

Çapın ucundan, örneğin A noktasından (Şekil 4), verilen dairenin yarıçapına eşit R yarıçaplı bir yay çizin. Birinci ve ikinci bölümler elde edilir - 1 ve 2. noktalar. Üçüncü bölüm olan 3. nokta, aynı çapın karşı ucunda bulunur. 1,2,3 noktalarını akorlarla bağlayarak düzenli bir yazılı üçgen elde edersiniz.

2.2. Bir daireyi altı eşit parçaya bölmek

Herhangi bir çapın uçlarından, örneğin AB'den (Şekil 5), R yarıçaplı yaylar tanımlanır. A, 1,3,B,4,2 noktaları çemberi altı eşit parçaya böler. Bunları akorlarla bağlayarak düzenli bir yazılı altıgen elde edilir.

Not. Yardımcı yaylar tamamen çizilmemeli, daire üzerinde çentikler yapılması yeterlidir.

2.3. Bir daireyi beş eşit parçaya bölmek

AB ve CD'ye birbirine dik iki çap çizilmiştir (Şekil 6). O 1 noktasındaki OS yarıçapı ikiye bölünür.
O1 noktasından, merkezden itibaren, E noktasında CD çapıyla kesişene kadar O1A yarıçaplı bir yay çizin.
AE segmenti, düzgün yazılı bir beşgenin kenarına eşittir ve OE segmenti, düzgün yazılı bir ongenin kenarına eşittir.
A noktasını merkez alarak, R1 = AE yarıçaplı bir yay, çember üzerindeki 1 ve 4 noktalarını işaretler. Merkezlerden itibaren, aynı R1 yarıçaplı yaylar, 3 ve 2 noktalarını işaretler. 2, 3, 4 daireyi beş eşit parçaya böler.

2.4. Bir daireyi yedi eşit parçaya bölmek

Örneğin, çapın ucundan A noktası, dairenin yarıçapına eşit R yarıçaplı bir yay çizer (Şekil 7). Akor CD'si normal yazılı üçgenin kenarına eşittir. Akor CD'sinin yarısı, yeterli bir yaklaşımla, düzgün yazılı yedigenin kenarına eşittir; daireyi yedi eşit parçaya böler.

Pirinç. 7

Edebiyat

Bogolyubov S.K. Mühendislik grafikleri: Ortaöğretim uzman eğitim kurumları için ders kitabı. – 3. baskı, rev. Ve ek - M.: Makine Mühendisliği, 2006. – s. 392: hasta.
Kuprikov M.Yu. Mühendislik grafikleri: orta öğretim kurumları için ders kitabı - M.: Bustard, 2010 - 495 s.: hasta.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Makine mühendisliği çizim el kitabı L.: Makine mühendisliği. 1976. 336 s.

bilmek; Üçgenlerin her iki tarafının eşit olması ve aralarındaki açının eşit olması nedeniyle bu parçayı pergel ve cetvel kullanarak iki eşit parçaya bölebiliriz.

Örneğin bir segmenti ikiye bölmeniz gerekiyorsa AB(Şek. 69), ardından pusulanın ucunu noktalara yerleştirin. A, B veÇevrelerinde sanki merkezlerin yakınındaymış gibi eşit yarıçaplı iki kesişen yay tanımlarlar (Şekil 70). Bunların kesişim noktaları İLE Ve D düz bir çizgiyle birbirine bağlanan AB yarısında: JSC= doğum günü.

Segmentlerin olduğundan emin olmak için JSC Ve doğum günü eşit olmalı, noktaları birleştir C Ve D uçları ile A Ve İÇİNDE segment (Şek. 71). İki üçgen elde edeceksiniz AKD Ve BCDüç tarafı sırasıyla eşit olan: AC= Güneş; reklam= BD; CD – ortak, yani her iki üçgene de ait. Bu, bu üçgenlerin tam eşitliğini ve dolayısıyla tüm açıların eşitliğini ima eder. Yani bu arada açılar eşit AKD Ve BCD. Şimdi üçgenleri karşılaştırıyorum ASO Ve VSO onların da bir tarafı olduğunu görüyoruz İŞLETİM SİSTEMİ - genel, AC.= CB ve aralarındaki açı ASO = ug. VSO. Üçgenler iki kenar boyunca ve aralarındaki açı boyunca eşittir; bu nedenle kenarlar eşittir JSC Ve doğum günü yani nokta HAKKINDA bir orta nokta var AB.

§ 22. Bir kenar ve iki açı kullanılarak üçgen nasıl oluşturulur

Son olarak, çözümü bir kenar ve iki açı kullanılarak bir üçgenin oluşturulmasına yol açan bir problem düşünün:

Nehrin diğer tarafında (Şek. 72) bir kilometre taşı görülmektedir A. Nehri geçmeden kilometre taşına olan mesafeyi bulmak gerekir. İÇİNDE bu kıyıda.

Bunu yapalım. Noktadan ölçelim İÇİNDE düz bir çizgide herhangi bir mesafe Güneş ve onun sonlarında İÇİNDE Ve İLE 1 ve 2 numaralı açıları ölçelim (Şek. 73). Şimdi mesafeyi uygun bir alanda ölçersek DE, eşit Güneş ve uçlarında açılar oluşturun A Ve B(Şekil 74), 1 ve 2 açılarına eşit, sonra yanlarının kesişme noktasında üçüncü tepe noktasını elde ederiz Füçgen DEF.Üçgenin olduğunu doğrulamak kolaydır DEF bir üçgene eşit ABC; gerçekten de üçgenin olduğunu hayal edersek DEF dayatılan ABC yani o taraf Almanya eşit tarafıyla çakıştı Güneş, sonra ug. A açı 1 ile çakışacak, açı B - açı 2 ve yan DF yan tarafa gidecek VA ve yan EF yanda SA.İki doğru yalnızca bir noktada kesişebileceğine göre köşe noktası Füst kısımla örtüşmeli A. Yani mesafe DF gerekli mesafeye eşit VA.

Gördüğümüz gibi sorunun tek bir çözümü var. Genel olarak bir kenar ve bu kenara bitişik iki açı kullanılarak yalnızca bir üçgen oluşturulabilir; Kenarları aynı ve ona komşu iki açıları aynı olan başka üçgenler aynı yerde olamaz. Bir özdeş kenara ve ona aynı yerlerde bitişik iki özdeş açıya sahip olan tüm üçgenler, süperpozisyon yoluyla tamamen çakışabilir. Bu, bunun üçgenlerin tam eşitliğinin sağlanabileceği bir işaret olduğu anlamına gelir.

Daha önce belirlenen üçgenlerin eşitlik işaretleriyle birlikte artık aşağıdaki üçünü biliyoruz:

Üçgenler:

üç tarafta;

iki tarafta ve ikisinin arasındaki köşede;

yanda ve iki tarafta.

Kısalık adına, üçgenlerin eşitliğinin bu üç durumunu da şu şekilde göstereceğiz:

üç tarafta: SSS;

iki tarafta ve aralarındaki açı: SUS;

yan ve iki köşe boyunca: USU.

Uygulamalar

14. Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için A nehrin diğer tarafında bu noktadan İÇİNDE bu kıyıda (Şekil 5), düz bir çizgide bir çizgi ölçün güneş, sonra noktada İÇİNDE eşit bir açı oluşturun ABC, diğer tarafta Güneş ve bu noktada İLE- aynı şekilde, eşit bir açı DIA Nokta mesafesi D noktaya kadar olan açıların her iki tarafının kesişimi İÇİNDE gerekli mesafeye eşit AB. Neden?

Çözüm: Üçgenler ABC Ve BDC bir tarafta eşit ( Güneş) ve iki açı (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Buradan, AB= ВD, kenarlar eşit açılara karşı eşit üçgenler halinde uzanıyor.

§ 23. Paralelkenarlar

Üçgenlerden dörtgenlere, yani 4 kenarla sınırlı şekillere geçiyoruz. Dörtgen örneği bir karedir; tüm kenarları eşit ve tüm açıları dik olan bir dörtgen (Şekil 76). Sıklıkla bulunan başka bir dörtgen türü de dikdörtgendir:

Bu, 4 dik açılı herhangi bir dörtgenin adıdır (Şekil 77 ve 78). Kare de bir dikdörtgendir ancak kenarları eşittir.

Bir dikdörtgenin (ve karenin) özelliği, karşıt kenarlarının her iki çiftinin de paralel olmasıdır. Bir dikdörtgen içinde ABCD,örneğin (Şek. 78), AB paralel DC, A reklam paralel Güneş. Bu, her iki karşı tarafın da aynı çizgiye dik olması gerçeğinden kaynaklanır ve bir çizgiye iki dik çizginin birbirine paralel olduğunu biliyoruz (§ 16).

Her dikdörtgenin bir diğer özelliği de karşılıklı kenarlarının birbirine eşit olmasıdır. Dikdörtgenin zıt köşelerini düz bir çizgiyle bağlarsanız, yani içine bir köşegen çizerseniz bunu doğrulayabilirsiniz. Bağlanarak Aİle İLE(Çizim 79) iki üçgen elde ediyoruz ABC Ve ADC. Bu üçgenlerin birbirine eşit olduğunu göstermek kolaydır: kenar AC - toplam, ug. 1 = açı 2, çünkü bunlar paralel olan çapraz açılardır AB Ve CD aynı sebepten dolayı 3 ve 4 numaralı açılar aynı taraftadır ve iki açı üçgendir. ABC Ve AKD eşit; dolayısıyla yan AB= yan DC, ve yan reklam= yan Güneş.

Dikdörtgenler gibi karşılıklı kenarların paralel olduğu bu tür dörtgenlere paralelkenar denir. Siktir et. Şekil 80 bir paralelkenar örneğini göstermektedir: AB paralel DC, A reklam paralel M.Ö. Lanet olsun.80

Dikdörtgen paralelkenarlardan biridir, yani tüm açıları dik olandır. Her paralelkenarın aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu doğrulamak kolaydır:

ZIT AÇILAR PARALEL GRAMER EŞİT; KARŞI YANLAR

P a r l l e log r a m a vys

Bunu doğrulamak için bir paralelkenar çizelim ABCD(Şek. 81) düz VA(çapraz) ve üçgenleri karşılaştırın ABD Ve VDC. Bu üçgenler eştir (durum USU): BD– ortak taraf; ug. 1 = açı 2, köşe 3 = açı 4 (neden?). Daha önce listelenen özellikler bundan kaynaklanmaktadır.

Dört kenarı eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Soruları tekrarla

Hangi şekle kare denir? Dikdörtgen? – Köşegen neye denir? – Hangi şekle paralelkenar denir? Elmas? – Herhangi bir paralelkenarın açılarının ve kenarlarının özelliklerini belirtin. – Hangi dikdörtgene kare denir? – Hangi paralelkenara dikdörtgen denir? – Kare ile eşkenar dörtgen arasındaki benzerlikler ve farklılıklar nelerdir?

bilmek; Üçgenlerin her iki tarafının eşit olması ve aralarındaki açının eşit olması nedeniyle bu parçayı pergel ve cetvel kullanarak iki eşit parçaya bölebiliriz.

Segmentlerin olduğundan emin olmak için JSC Ve doğum günü eşit olmalı, noktaları birleştir C Ve D uçları ile A Ve İÇİNDE segment (Şek. 71). İki üçgen elde edeceksiniz AKD Ve BCDüç tarafı sırasıyla eşit olan: AC= Güneş; reklam = BD; CD – ortak, yani her iki üçgene de ait. Bu, bu üçgenlerin tam eşitliğini ve dolayısıyla tüm açıların eşitliğini ima eder. Yani bu arada açılar eşit AKD Ve BCD. Şimdi üçgenleri karşılaştırıyorum ASO Ve VSO onların da bir tarafı olduğunu görüyoruz İŞLETİM SİSTEMİ - genel, AC. = CB ve aralarındaki açı ASO = ug. VSO. Üçgenler iki kenar boyunca ve aralarındaki açı boyunca eşittir; bu nedenle kenarlar eşittir JSC Ve doğum günü yani nokta HAKKINDA bir orta nokta var AB.

Bir kenar ve iki açı kullanarak üçgen nasıl oluşturulur?

Son olarak, çözümü bir kenar ve iki açı kullanılarak bir üçgenin oluşturulmasına yol açan bir problem düşünün:

Nehrin diğer tarafında (Şek. 72) bir kilometre taşı görülmektedir A. Nehri geçmeden kilometre taşına olan mesafeyi bulmak gerekir. İÇİNDE bu kıyıda.

Bunu yapalım. Noktadan ölçelim İÇİNDE düz bir çizgide herhangi bir mesafe Güneş ve onun sonlarında İÇİNDE Ve İLE 1 ve 2 numaralı açıları ölçelim (Şek. 73). Şimdi mesafeyi uygun bir alanda ölçersek DE, eşit Güneş ve uçlarında açılar oluşturun A Ve B(Şekil 74), 1 ve 2 açılarına eşit, sonra yanlarının kesişme noktasında üçüncü tepe noktasını elde ederiz Füçgen DEF.Üçgenin olduğunu doğrulamak kolaydır DEF bir üçgene eşit ABC; gerçekten de üçgenin olduğunu hayal edersek DEFüzerine bindirilmiş ABC yani o taraf Almanya eşit tarafıyla çakıştı Güneş, sonra ug. A açı 1 ile çakışacak, açı B - açı 2 ve yan DF yan tarafa gidecek VA ve yan EF yanda SA.İki doğru yalnızca bir noktada kesişebileceğine göre köşe noktası Füst kısımla örtüşmeli A. Yani mesafe DF gerekli mesafeye eşit VA.

Daha önce belirlenen üçgenlerin eşitlik işaretleriyle birlikte artık aşağıdaki üçünü biliyoruz:

Üçgenler:

üç tarafta;

iki tarafta ve ikisinin arasındaki köşede;

yanda ve iki tarafta.

Kısalık adına, üçgenlerin eşitliğinin bu üç durumunu da şu şekilde göstereceğiz:

üç tarafta: SSS;

iki tarafta ve aralarındaki açı: SUS;

yan ve iki köşe boyunca: USU.

Uygulamalar

Paralelkenarlar

Bu, 4 dik açılı herhangi bir dörtgenin adıdır (Şekil 77 ve 78). Kare de bir dikdörtgendir ancak kenarları eşittir.

Dikdörtgen paralelkenarlardan biridir, yani tüm açıları dik olandır. Her paralelkenarın aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu doğrulamak kolaydır:

ZIT AÇILAR PARALEL GRAMER EŞİT; KARŞI YANLAR

P a r l l e log r a m a vys

Dört kenarı eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Soruları tekrarla

Uygulamalar

15. Şu şekilde bir kare çizilir: Bir kenarını ayırdıktan sonra uçlarından ona dik çizgiler çizin, üzerlerine aynı uzunlukları koyun ve uçlarını düz bir çizgiyle birleştirin (Çizim 82). Çizilmiş bir dörtgenin dördüncü kenarının diğer üç kenarına eşit olduğundan ve tüm açılarının dik açı olduğundan nasıl emin olabilirsiniz?

Çözüm: Formasyon yana doğru gerçekleştirilmişse. AB noktalarda A Ve İÇİNDEüzerine yerleştirilen dikmeler çizildi: AC = AB Ve DВ= AB, o zaman geriye açıların olduğunu kanıtlamak kalıyor İLE Ve D düz ve ne CD eşittir AB. Bunu yapmak için bir köşegen çizelim (Şek. 83) MS. Ah. CAD = A.D.B. karşılık gelen (hangi paralel olanlar için?); AC= D.B. ve dolayısıyla üçgenler CAD Ve KÖTÜ eşit (tabanlı) SUS). Bundan şunu çıkarıyoruz CD = AB ve ug. C = dik açı İÇİNDE. Dördüncü açının nasıl kanıtlanacağı CDB o da düz mü?

16. Dikdörtgen nasıl çizilir? Çizilen bir şekle neden dikdörtgen denilebilir? (Çizilen şeklin tüm açılarının doğru olduğunu gösteriniz.)

Çözüm, önceki sorunun çözümüne benzer.

17. Dikdörtgenin her iki köşegeninin eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 84) üçgenlerin eşitliğinden kaynaklanmaktadır ABC Ve ABD(dayalı SUS).

18. Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığı kanıtlayın.

Çözüm: Üçgenlerin karşılaştırılması (Şekil 85) ASG Ve DCO, eşit olduklarından emin oluruz (temel olarak USU). Buradan JSC= İşletim Sistemi, 0V= OD.

19. İki paralel doğru arasındaki ortak dikmenin uzunluğuna aralarındaki mesafe denir. Paraleller arasındaki mesafenin her yerde aynı olduğunu kanıtlayın.

İpucu: Aralarında iki dik çizgi bulunan paralel doğrulardan hangi şekil oluşur?

IV. ALAN ÖLÇÜMÜ

Kare ölçüler. Palet

Şekillerde çoğu zaman sadece çizgilerin uzunluğunu ve aralarındaki açıları değil aynı zamanda kapladıkları alanın, yani alanlarının boyutunu da ölçmek gerekir. Alan hangi birimlerle ölçülür? Uzunluk ölçüsü olarak belli bir uzunluk (metre, santimetre), açı ölçüsü olarak da belli bir açı (1°) alınır; alan ölçüsü olarak belirli bir alan alınır, yani kenarı 1 metre, 1 cm vb. olan bir karenin alanı. Böyle bir kareye “metrekare”, “santimetre kare” vb. denir. Bir alanı ölçmek, o alanda kaç birim kare bulunduğunu bulmak anlamına gelir.

Ölçülen alan büyük değilse (bir kağıda sığmıyorsa), aşağıdaki gibi ölçülebilir. Şeffaf kağıt santimetre kareler halinde kesilerek ölçülen şeklin üzerine yerleştirilir. O zaman şeklin sınırları içinde kaç santimetre karenin bulunduğunu doğrudan saymak zor değildir. Bu durumda, sınıra yakın tamamlanmamış kareler (gözle) yarım kare, çeyrek kare vb. olarak alınır veya bunları zihinsel olarak bir kerede birkaçını tam karelere bağlar. Bu şekilde grafiği çizilen şeffaf kağıda palet adı verilir. Bu yöntem genellikle bir plandaki düzensiz alanların alanlarını ölçmek için kullanılır.

Ancak ölçülen şekle bir kareler ağı empoze etmek her zaman mümkün veya uygun değildir. Örneğin bir zeminin veya bir arsanın alanını bu şekilde ölçmek imkansızdır. Bu gibi durumlarda, alanı doğrudan ölçmek yerine, yalnızca bazı doğrusal şekillerin uzunluğunu ölçmek ve ortaya çıkan sayılar üzerinde belirli eylemler gerçekleştirmekten oluşan hoş olmayan bir yönteme başvurulur. Daha sonra bunun nasıl yapıldığını göstereceğiz.

Soruları tekrarla

Şekillerin alanını belirlemek için hangi önlemler kullanılır? – Palet nedir ve nasıl kullanılır?

Dikdörtgenin alanı

Örneğin, bir dikdörtgenin alanını belirlemeniz gerektiğini varsayalım. ABDC(çizim 86). Doğrusal bir birim ile ölçülmüştür; metre, bu bölümün uzunluğu. Sayacın 5 kat uzunlukta yerleştirildiğini varsayalım. Alanı, Şekil 2'de gösterildiği gibi bir metre genişliğinde enine şeritlere bölelim. 87. Tabii ki bu şekilde 5 tane şerit olacak. Şimdi alanın genişliğini metreyle ölçelim; 3 metre olsun. Alanı, Şekil 2'de gösterildiği gibi 1 metre genişliğinde uzunlamasına şeritlere böleceğiz. 88; tabii ki 3 tane olacak. Beş enine şeridin her biri 3 metrekareye kesilecek ve arsanın tamamı 1 metre kenarlı 5 x 3 = 15 kareye bölünecek: arsanın olduğunu öğrendik. 15 metrekare içerir. metre. Ancak aynı 15 sayısını, alanın grafiğini çizmeden, yalnızca uzunluğunu genişliğiyle çarparak elde edebilirdik. Yani bir dikdörtgenin kaç metrekare olduğunu bulmak için uzunluğunu, genişliğini ölçmeniz ve her iki sayıyı da çarpmanız gerekir.

Ele alınan örnekte, uzunluk birimi - metre - dikdörtgenin her iki tarafına da tamsayı sayıda yerleştirildi. Ayrıntılı matematik ders kitapları, şimdi oluşturulan kuralın, dikdörtgenin kenarlarının tam sayı uzunluk birimi içermediği durumlarda da doğru olduğunu kanıtlıyor. Her durumda:

Dikdörtgen alanın alanı

uzunluğun genişliğe çarpımı,

veya dedikleri gibi geometride,

"taban" "yükseklik" üzerine kuruludur.

Bir dikdörtgenin taban uzunluğu harfle belirtiliyorsa A ve yüksekliğin uzunluğu harftir B, o zaman onun alanı S eşittir

S = a? B,

ya da sadece S = abÇünkü harflerin arasına çarpım işareti konulmaz.

Bir karenin alanını belirlemek için kenar uzunluğunu kendisiyle çarpmanız, yani "kareyle yükseltmeniz" gerektiğini anlamak kolaydır. Başka bir deyişle:

Bir karenin alanı karenin kenarına eşittir. Bir karenin kenar uzunluğu ise A, o zaman onun alanı S eşittir

S= A? A = A 2.

Bunu bilerek çeşitli kareler arasındaki ilişkiyi kurmak mümkündür. Örneğin, bir metrekare, 10 X 10 kare desimetre içerir, yani. 100 ve santimetre kare 100 X 100, yani. 10.000 - çünkü doğrusal bir santimetre, bir desimetre karenin kenarına 10 kez ve bir metrekare - 100 kez sığar.

Arazi parsellerini ölçmek için özel bir ölçü kullanılır - 10.000 metrekare içeren hektar. Kenarı 100 metre olan kare parselin alanı 1 hektardır; tabanı 200 metre, yüksekliği 150 metre olan dikdörtgen bir arsanın alanı 200 x 150 yani 30.000 metrekaredir. m veya 3 hektar. İlçeler ve mahalleler gibi geniş alanlar ölçülür

KİLOMETREKARE.

Kare ölçülerin kısaltılmış tanımı:

kare metre………………………………. metrekare m veya m2

kare desimetre…………………………. metrekare dm veya dm2

kare santimetre ………………………… metrekare. cm veya cm2

kare milimetre ……………………….. metrekare. mm veya mm2

hektar …………………………………….. ha

Soruları tekrarla

Dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır? Kare? - Kaç metrekare? cm ila metrekare M? Kaç metrekare? mm cinsinden metrekare M? – Hektar nedir? – Bir meydan kaç hektar? km? Kare ölçülerin kısaltması nedir?

Uygulamalar

20. Çizimde gösterilen odanın iç kısmının boyanması gerekmektedir. 6. Boyutlar metre cinsinden belirtilmiştir. Bir metrekarenin boyanacağı biliniyorsa bunun için ne kadar malzeme ve işçiliğe ihtiyaç duyulur? iki kişilik, önceden boyanmış çatlaklar ve dallardan oluşan macunlu metrelerce ahşap zemin gereklidir (Çizelgeye göre):

Malyarov…………………………………….. 0,044

Kurutucu yağlar, kilogram…………………….… 0,18

Açık toprak boyası, kg…………………………… 0;099

Macunlar, kg…………………………………0,00225

Pomza, kg…………………………………….. 0,0009.

Çözüm: Taban alanı 8 mi? 12 = 96 metrekare M.

Malzeme ve işçilik tüketimi aşağıdaki gibidir

Malyarov...... 0.044? 96 = 4,2

Kurutma yağları...... 0,18? 96= 17 kilo

Koyu sarı...... 0,099? 96 – 9,9 kilo

Macunlar......0.00225? 96 = 0,22 kg

Ponza......0.0009? 96 = 0,09 kg.

21. Önceki odayı duvar kağıdıyla kaplamak için gereken işçilik ve malzeme tüketimini belirtin. görevler. Duvarları bordürlü basit duvar kağıdıyla kaplamak için metrekare başına (yerel düzenlemelere göre) gereklidir. metre:

Boyacılar veya döşemeciler………………………… 0,044

Duvar kağıdı (44 cm genişliğinde) parçaları……………………… 0,264

Bordür (hesaplamaya göre)

Nişasta gramı………………………………. 90.

Çözüm - önceki problemde belirtilen örneğe göre. Sadece gerekli duvar kağıdı miktarını hesaplarken, pratikte duvar açıklıklarının alanlarından çıkarılmadığını not edelim (çünkü bitişik panellere figürler yerleştirirken duvar kağıdının bir kısmı kaybolur).

Bir üçgenin alanı

Öncelikle dik üçgenin alanının nasıl hesaplandığına bakalım. Diyelim ki bir üçgenin alanını belirlememiz gerekiyor ABC(Şekil 89), burada açı İÇİNDE- dümdüz. Hadi sizi zirvelerden geçirelim A Ve İLE zıt kenarlara paralel düz çizgiler. Bir dikdörtgen elde ediyoruz (Şekil 90) ABCD(bu şekil neden bir dikdörtgen?), köşegenle bölünmüş AC iki eşit üçgene bölünür (neden?). Bu dikdörtgenin alanı Ah;üçgenimizin alanı dikdörtgenin alanının yarısıdır, yani. 1/2'ye eşit Ah. Yani herhangi bir dik üçgenin alanı, dik açıyı çevreleyen kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

Şimdi, örneğin eğik (yani dikdörtgen olmayan) bir üçgenin alanını belirlemeniz gerektiğini varsayalım. ABC(Çizim 91). Köşelerinden birinden karşı tarafa dik bir çizgi çiziyoruz; böyle bir dikine bu üçgenin yüksekliği denir ve çizildiği taraf üçgenin tabanıdır. Yüksekliğini şu şekilde gösterelim: H ve tabanı böldüğü bölümler şunlardır: P Ve Q. Dik üçgenin alanı ABD, zaten bildiğimiz gibi 1/2'ye eşittir ph; kare VDC = 1/2 hhh. Kare Süçgen ABC bu alanların toplamına eşittir: S= 1/2 ph + 1/2 hhh = 1/2 H (R+ Q). Ancak R+ q = a; buradan S = 1/2 Ah.

Bu akıl yürütme, geniş açılı bir üçgene doğrudan uygulanamaz (Şekil 92), çünkü dik CD tabanla buluşmaz. AB ve onun devamı. Bu durumda farklı düşünmemiz gerekiyor. Segmenti belirtelim reklam başından sonuna kadar p, BD- başından sonuna kadar, Q yani temel Aüçgen eşittir P – Q. Üçgenimizin alanı ABC iki üçgenin alanları farkına eşit ADC – BDC = 1/2 ph – 1/2 hhh = 1/2 H (P – Q) = 1/2 Ah.

Yani, her durumda, bir üçgenin alanı, herhangi bir tabanının ve buna karşılık gelen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Buradan, tabanları ve yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının eşit olduğu veya dedikleri gibi,

eşittir.

Genel olarak, eşit alanlara sahip şekillere, rakamların kendileri eşit olmasa bile (yani üst üste bindirildiğinde çakışmasalar) eşit boyutlu denir.

Soruları tekrarla

Bir üçgenin yüksekliğine ne denir? Üçgenin tabanı mı? – Bir üçgende kaç yükseklik çizilebilir? – Geniş açılı bir üçgen çizin ve içindeki tüm yükseklikleri çizin. – Üçgenin alanı nasıl hesaplanır? Bu kural bir formülde nasıl ifade edilir? – Hangi şekillere eşit büyüklükte denir?

Uygulamalar

22. Sebze bahçesi, tabanı 13,4 m ve yüksekliği 37,2 m olan üçgen şeklindedir... Lahana dikmek için metrekare başına kaç tohum (ağırlıkça) gerekir? m 0,5 gram tohum mudur?

Çözüm: Sebze bahçesinin alanı 13,4 mü? 37,2 = 498 metrekare M.

250 gr tohuma ihtiyacınız olacak.

23. Paralelkenar köşegenlerle 4 üçgen parçaya bölünmüştür. Hangisi en geniş alana sahiptir?

Çözüm: Tabanları ve yükseklikleri eşit olduğundan 4 üçgenin boyutları da eşittir.

Paralelkenarın alanı

Bir paralelkenarın alanını hesaplama kuralı, onu bir köşegenle iki üçgene bölerseniz çok basit bir şekilde oluşturulur. Örneğin paralelkenarın alanı ABCD(Şekil 93), köşegenle bölündüğü iki eşit üçgenin her birinin alanının iki katına eşittir AC.Üçgenin tabanını işaretleme ADC başından sonuna kadar A ve içinden geçen yükseklik H, alanı alıyoruz S paralelkenar

Dik H“paralelkenar yüksekliği” denir ve kenar A,çizildiği yer - “paralelkenarın tabanı”. Dolayısıyla şimdi oluşturulan kural şu şekilde ifade edilebilir:

Paralelkenarın alanı herhangi bir yeni yüksekliğin çarpımına eşittir.

Soruları tekrarla

Paralelkenarın tabanı ve yüksekliği nedir? Paralelkenarın alanı nasıl hesaplanır? – Bu kuralı bir formülle ifade edin. – Bir paralelkenarın alanı, tabanı ve yüksekliği aynı olan bir üçgenin alanından kaç kat daha büyüktür? – Eşit yükseklikler ve tabanlar göz önüne alındığında, hangi şekil en büyük alana sahiptir: dikdörtgen mi yoksa paralelkenar mı?

Başvuru

24. Bir kenar uzunluğu 12,4 cm olan bir karenin boyutu, yüksekliği 8,8 cm olan bir paralelkenarın boyutuna eşittir. Paralelkenarın tabanını bulun.

Çözüm. Bu karenin ve dolayısıyla paralelkenarın alanı 12,42 = 154 metrekaredir. cm Gerekli taban 154: 8,8 = 18 cm'dir.

Yamuk alanı

Paralelkenarlara ek olarak, başka bir tür dörtgeni, yani yalnızca bir çift paralel kenara sahip olanları ele alalım (Şekil 94). Bu tür şekillere yamuk denir. Bir yamuğun paralel kenarlarına tabanları, paralel olmayan kenarlarına ise kenarları denir.

Saçmalık. 94 Lanet olsun. 95

Yamuğun alanını hesaplamak için bir kural oluşturalım. Bir yamuğun alanını hesaplamamız gerektiğini varsayalım ABCD(Şek. 95), tabanların uzunluğu A Ve B. Haydi bir köşegen çizelim AC, bir yamuğu iki üçgene bölen AKD Ve ABC. Biz biliyoruz ki

alan AKD = 1/2 Ah

alan ABC = 1/2 dostum.

alan ABCD= 1/2 Ah+ 1/2 dostum= 1/2 (A+ B) H.

Mesafeden beri H bir yamuğun tabanları arasına yüksekliği denir, o zaman yamuğun alanını hesaplama kuralı şu şekilde ifade edilebilir:

Yamuk alanı, toplamın yarısına eşittir ve içinizde yaklaşık t ile çarpılır.

Soruları tekrarla

Hangi şekle yamuk denir? Yamuğun tabanlarına, kenarlarına ve yüksekliğine ne ad verilir? – Yamuğun alanı nasıl hesaplanır?

Uygulamalar

25. Caddenin bir bölümü, tabanları 180 m ve 170 m ve yüksekliği 8,5 m olan yamuk şeklindedir, döşenmesi için metrekare başına kaç ahşap blok gerekli olacaktır. 48 dama mı var?

Çözüm: Parselin alanı 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 m2'dir. m.Dama sayısı = 72.000.

26. Çatı eğimi yamuk şeklinde olup tabanları 23,6 m ve 19,8 m, yüksekliği ise 8,2 m'dir. gerekli:

Demir saclar...... 1.23

Çatı kaplama çivileri kg.... 0,032

Kurutma yağları kg......0.036

Çatı ustaları...... 0,45.

Çözüm: Eğimin alanı 8,2'ye eşit mi? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 metrekare m Geriye tabletteki tüm sayıları 178 ile çarpmak kalıyor.