Veri dizisi aralığı. Tanımlayıcı İstatistikler

İzin vermek X 1, X 2 ... X n- bağımsız rastgele değişkenlerin örneği.

Bu değerleri artan şekilde sıralayalım, başka bir deyişle bir varyasyon serisi oluşturalım:

X (1)< Х (2) < ... < X (n) , (*)

Nerede X (1) = min (X 1, X 2 ... X n),

X (n) = maksimum (X 1, X 2 ... X n).

Bir varyasyon serisinin (*) elemanlarına sıralı istatistikler denir.

Miktarlar d (i) = X (i+1) - X (i) sıra istatistikleri arasındaki boşluklar veya mesafeler olarak adlandırılır.

Kapsam dahilinde numuneye miktar denir

R = X(n) - X(1)

Başka bir deyişle aralık, varyasyon serisinin maksimum ve minimum üyeleri arasındaki mesafedir.

Örnek ortalama eşittir: = (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Aritmetik ortalama

Çoğunuz muhtemelen aşağıdakiler gibi önemli tanımlayıcı istatistikleri kullanmışsınızdır: ortalama.

Ortalamaözellikle güven aralığı rapor ediliyorsa, gözlemlenen bir değişkenin "merkezliliğine" ilişkin çok bilgilendirici bir ölçümdür. Araştırmacının, bir bütün olarak nüfus hakkında sonuçlar çıkarmasına olanak tanıyan istatistiklere ihtiyacı var. Böyle bir istatistik ortalamadır.

Güven aralığıçünkü ortalama, belirli bir güven düzeyiyle "gerçek" (bilinmeyen) nüfus ortalamasının bulunduğu tahmin etrafındaki değer aralığını temsil eder.

Örneğin örneklem ortalaması 23 ise ve güven aralığının alt ve üst sınırları seviye ile birlikte P=.95 sırasıyla 19 ve 27 ise, %95 olasılıkla sınırları 19 ve 27 olan aralığın nüfus ortalamasını kapsadığı sonucuna varabiliriz.

Daha yüksek bir güven düzeyi belirlerseniz aralık genişler, dolayısıyla bilinmeyen popülasyon ortalamasını "kapsama" olasılığı artar ve bunun tersi de geçerlidir.

Örneğin, bir hava tahmini ne kadar "belirsiz" olursa (yani güven aralığı ne kadar geniş olursa), doğru olma ihtimalinin de o kadar yüksek olduğu iyi bilinmektedir. Güven aralığının genişliğinin, numunenin hacmine veya boyutuna ve ayrıca verilerin yayılmasına (değişkenliğine) bağlı olduğunu unutmayın. Örneklem boyutunun arttırılması ortalamanın tahminini daha güvenilir hale getirir. Gözlenen değerlerin yayılımının artması tahminin güvenilirliğini azaltır.

Güven aralıklarının hesaplanması, gözlemlenen değerlerin normal olduğu varsayımına dayanır. Bu varsayım karşılanmazsa, özellikle küçük örnekler için tahmin zayıf olabilir.

Örneklem büyüklüğü arttıkça (örneğin 100 veya daha fazla), örneklemin normalliği varsayılmadan tahminin kalitesi artar.

Veriler anlamlı bir şekilde özetlenene kadar sayısal ölçümleri “hissetmek” oldukça zordur. Bir diyagram genellikle başlangıç noktası olarak faydalıdır. Verilerin önemli özelliklerini kullanarak da bilgileri sıkıştırabiliriz. Özellikle temsil edilen miktarın neyden oluştuğunu bilseydik veya gözlemlerin ne kadar geniş bir alana dağıldığını bilseydik, o zaman verinin bir görüntüsünü oluşturabilirdik.

Genellikle basitçe "ortalama" olarak adlandırılan aritmetik ortalama, tüm değerlerin toplanması ve bu toplamın kümedeki değer sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Bu cebirsel bir formül kullanılarak gösterilebilir. Kit N bir değişkenin gözlemleri X olarak tasvir edilebilir X 1, X 2, X 3, ..., X n. Örneğin, X bireyin boyunu (cm) belirtebiliriz, X 1 büyümeyi ifade eder 1 -inci birey ve X ben- yükseklik Ben-inci birey. Gözlemlerin aritmetik ortalamasını belirleme formülü (“Çizgili X” olarak telaffuz edilir):

= (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Bu ifadeyi kısaltabilirsiniz:

burada (Yunanca "sigma" harfi) "toplam" anlamına gelir ve bu harfin altındaki ve üstündeki indeksler, toplamanın aşağıdakilerden yapıldığı anlamına gelir: ben = 1 ile ben = n. Bu ifade genellikle daha da kısaltılır:

Medyan

Verileri en küçük değerden başlayıp en büyüğüne kadar değere göre sıralarsanız, bu durumda medyan aynı zamanda sıralanan veri kümesinin ortalama alma özelliği olacaktır.

Medyan bir dizi sıralı değeri, hem üstünde hem de altında (sayı ekseninde medyanın solunda ve sağında) eşit sayıda olacak şekilde ikiye böler.

Gözlem sayısı fazla ise medyanı hesaplamak kolaydır. N garip. Bu bir gözlem numarası olacak (n+1)/2 sıralı veri setimizde.

Örneğin, eğer sayı=11, o zaman medyan (11 + 1)/2 yani 6. sıralı bir veri setinde gözlem.

Eğer N eşit O halde, kesin olarak konuşursak, medyan yoktur. Bununla birlikte, bunu genellikle sıralı bir veri setindeki (yani gözlem sayısı) iki bitişik gözlem aracının aritmetik ortalaması olarak hesaplarız. (n/2) Ve (n/2 + 1)).

Örneğin, eğer n = 20, bu durumda medyan gözlem sayısının aritmetik ortalamasıdır 20/2 = 10 Ve (20/2 + 1) = 11 sıralı bir veri setinde.

Moda

Moda veri setinde en sık görülen değerdir; eğer veriler sürekli ise, genellikle onu gruplandırırız ve modal grubu hesaplarız.

Bazı veri kümelerinin modu yoktur çünkü her değer yalnızca 1 kez oluşur. Bazen birden fazla mod vardır; bu, 2 veya daha fazla değerin aynı sayıda ortaya çıkması ve bu değerlerin her birinin ortaya çıkışının diğer herhangi bir değerden daha büyük olması durumunda meydana gelir.

Moda nadiren genelleştirici bir özellik olarak kullanılır.

Geometrik ortalama

Veri dağılımı asimetrik ise aritmetik ortalama, dağılımın genel bir göstergesi olmayacaktır.

Veriler sağa çarpıksa logaritmayı (10 tabanı veya tabanı) alarak daha simetrik bir dağılım oluşturabilirsiniz. e) veri kümesindeki her değişken değerinin. Bu logaritmaların değerlerinin aritmetik ortalaması, dönüştürülen verilerin dağılımının bir özelliğidir.

Orijinal gözlemlerle aynı birimlere sahip bir ölçü elde etmek için, verilerin ortalama logaritmasının ters dönüşümünü - kuvvetlendirilmesini (yani antilogaritmasını almak) gerçekleştirmek gerekir; buna miktar diyoruz geometrik ortalama.

Log verilerinin dağılımı yaklaşık olarak simetrikse, geometrik ortalama medyana benzer ve ham verilerin ortalamasından küçüktür.

Ağırlıklı ortalama

Ağırlıklı ortalama ilgilendiğimiz değişkenin bazı değerleri kullanıldığında kullanılır X diğerlerinden daha önemlidir. Ağırlık katıyoruz ben değerlerin her birine x benÖrneğimizde bu önemi hesaba katmak için.

Eğer değerler x 1 , x 2 ... x n uygun ağırlığa sahip olmak w 1, w 2 ... w n ise ağırlıklı aritmetik ortalama şuna benzer:

Örneğin, bir bölgedeki ortalama hastanede kalış süresini belirlemekle ilgilendiğimizi ve her hastanedeki hastaların ortalama iyileşme süresini bildiğimizi varsayalım. Her gözlemin ağırlığı olarak hastanedeki hasta sayısını ilk tahmin olarak alarak bilgi miktarını dikkate alıyoruz.

Her ağırlığın bire eşit olması durumunda ağırlıklı ortalama ve aritmetik ortalama aynıdır.

Aralık (değişim aralığı)

Kapsam veri setindeki değişkenin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farktır; bu iki miktar aralarındaki farkı gösterir. Değerlerden birinin aykırı olması durumunda aralığın yanıltıcı olabileceğini unutmayın (bkz. Bölüm 3).

Yüzdelik dilimlerden türetilen aralık

Yüzdelikler nedir

Verilerimizi değişkenin en küçük değerinden başlayarak sıraladığımızı varsayalım. X ve en büyük değere kadar. Büyüklük X Gözlemlerin %1'ine kadar olan (ve gözlemlerin %99'unun üzerinde olan) denir. ilk yüzdelik dilim.

Büyüklük X Gözlemlerin %2'sinin bulunduğu yere denir 2. yüzdelik dilim, vesaire.

Miktarlar X sıralı bir değer kümesini 10 eşit gruba, yani 10., 20., 30.,..., 90. ve yüzdelik dilimlere bölenlere denir ondalık dilimler. Miktarlar X sıralı değer kümesini 4 eşit gruba ayıran, yani. 25., 50. ve 75. yüzdelikler denir çeyrekler. 50. yüzdelik dilim medyan.

Yüzdelik dilimlerin uygulanması

Uç değerleri ortadan kaldırarak ve kalan gözlemlerin büyüklüğünü belirleyerek, aykırı bir değerden (anormal bir değer) etkilenmeyen bir saçılma tanımlaması elde edebiliriz.

Çeyrekler arası aralık, 1. ve 3. çeyrekler arasındaki farktır, yani. 25. ve 75. yüzdelikler arasında. Gözlemlerin %25'i merkez noktanın altında ve %25'i üstünde olacak şekilde, sıralı bir setteki gözlemlerin merkez %50'sinden oluşur.

Ondalıklar arası aralık, gözlemlerin merkezi %80'ini, yani 10. ve 90. yüzdelikler arasında yer alan gözlemleri içerir.

Genellikle gözlemlerin %95'ini içeren aralığı kullanırız; alttan %2,5 ve üstten %2,5 gözlemleri hariç tutar. Böyle bir aralığın belirtilmesi örneğin bir hastalığın teşhisi için önemlidir. Bu aralığa denir referans aralığı, referans aralığı veya normal aralık.

Dağılım

Veri dağılımını ölçmenin bir yolu, her gözlemin aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını belirlemektir. Açıkçası, sapma ne kadar büyük olursa, gözlemlerin değişkenliği, değişkenliği de o kadar büyük olur.

Ancak bu sapmaların ortalamasını kullanamayız. bir dağılım ölçüsü olarak kullanılır, çünkü pozitif sapmalar negatif sapmaları telafi eder (toplamları sıfırdır). Bu sorunu çözmek için her sapmanın karesini alırız ve sapmaların karelerinin ortalamasını buluruz; bu miktara denir varyasyon, veya dağılım.

Hadi alalım N gözlemlerX 1 , X 2 , x 3 , ..., x n, ortalama hangisi eşittir.

Varyansı hesaplıyoruz:

Eğer genel bir popülasyonla değil de bir örneklemle ilgileniyorsak, o zaman şunu hesaplarız: örnek varyans:

Teorik olarak, bölünmezse daha doğru bir örneklem varyansının elde edileceği gösterilebilir. N ve üzerinde (n-1).

Değişimin ölçüm birimi (boyutu), orijinal gözlem birimlerinin karesidir.

Örneğin ölçümler kilogram cinsinden yapılıyorsa değişimin birimi kilogram kare olacaktır.

Standart sapma, numune standart sapması

Standart sapma'nin pozitif kareköküdür.

Standart Sapma örneklerörneklem varyansının köküdür.

Öğrenci iş yükünü incelerken, 12 yedinci sınıf öğrencisinden oluşan bir grup belirlendi. Belirli bir günde cebir ödevine harcanan zamanı (dakika cinsinden) kaydetmeleri istendi. Şu verileri aldık: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Öğrenci iş yükünü incelerken, 12 yedinci sınıf öğrencisinden oluşan bir grup belirlendi. Belirli bir günde cebir ödevine harcanan zamanı (dakika cinsinden) kaydetmeleri istendi. Şu verileri aldık: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Serinin aritmetik ortalaması. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen bölümdür. Bir sayı serisinin aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen bölümdür.():12=27

Satır aralığı. Bir serinin aralığı bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır. Bir serinin aralığı bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır. En büyük zaman tüketimi 37 dakika, en küçüğü ise 18 dakikadır. Serinin aralığını bulalım: 37 – 18 = 19 (min)

Moda serisi. Bir sayı dizisinin modu, belirli bir dizide diğerlerinden daha sık görülen sayıdır. Bir sayı dizisinin modu, belirli bir dizide diğerlerinden daha sık görülen sayıdır. Serimizin modu - 25 rakamıdır. Serimizin modu - 25 rakamıdır. Bir sayı serisinin birden fazla modu olabilir veya olmayabilir. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – iki mod 47 ve 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73.72 – moda yok.

Aritmetik ortalama, aralık ve mod, doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitlesel olaylar hakkında niceliksel verilerin elde edilmesi, işlenmesi ve analiz edilmesiyle ilgilenen bir bilim olan istatistikte kullanılır. Aritmetik ortalama, aralık ve mod, doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitlesel olaylar hakkında niceliksel verilerin elde edilmesi, işlenmesi ve analiz edilmesiyle ilgilenen bir bilim olan istatistikte kullanılır. İstatistik, bir ülkenin ve bölgelerinin bireysel nüfus gruplarının sayısını, çeşitli türdeki ürünlerin üretimini ve tüketimini, malların ve yolcuların çeşitli ulaşım modlarıyla taşınmasını, doğal kaynakları vb. inceler. İstatistikler, bir ülkedeki bireysel nüfus gruplarının sayısını inceler. ülke ve bölgeleri, çeşitli türdeki ürünlerin üretimi ve tüketimi, çeşitli ulaşım modlarıyla mal ve yolcu taşımacılığı, doğal kaynaklar vb.

1. Bir sayı serisinin aritmetik ortalamasını ve aralığını bulun: a) 24,22,27,20,16,37; b)30,5,23,5,28, Sayı serisinin aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun: a)32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, 3, 8, 15, 30, __, 24 sayı serisinde bir sayı eksikse bulun: a) sayıların aritmetik ortalaması. seri 18'dir; a) Serinin aritmetik ortalaması 18'dir; b) serinin aralığı 40'tır; b) serinin aralığı 40'tır; c) Serinin modu 24'tür. c) Serinin modu 24'tür.

4. Ortaöğretim belgesinde okul mezunu dört arkadaşın notları şu şekildeydi: İlyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4; İlyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semenov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Bu mezunların her biri hangi not ortalamasıyla mezun oldu? Sertifikada her biri için en tipik notu belirtin. Cevaplamak için hangi istatistikleri kullandınız? Bu mezunların her biri hangi not ortalamasıyla mezun oldu? Sertifikada her biri için en tipik notu belirtin. Cevaplamak için hangi istatistikleri kullandınız?

Bağımsız çalışma Seçenek 1. Seçenek Verilen bir sayı dizisi: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Aritmetik ortalamayı, aralığı ve modu bulun. 2. 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 sayı dizisinde bir sayı eksik. bir numara eksik. Şu durumda bulun: Şu durumda bulun: a) aritmetik ortalama a) aritmetik ortalama 19 ise; bazıları 19'a eşittir; b) serinin aralığı – 41. b) serinin aralığı – 41. Seçenek Bir sayı dizisi verildiğinde: 38, 42, 36, 45, 48, 45.45, 42. Aralığın aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun . 2. 5, 10, 17, 32, _, 26 sayı dizisinde bir sayı eksik. Aşağıdaki durumlarda bulun: a) aritmetik ortalama 19 ise; b) Serinin aralığı 41'dir.

Tek sayıda sayı içeren sıralı bir sayı serisinin medyanı, ortada yazılan sayıdır, çift sayıda sayı içeren sıralı bir sayı dizisinin medyanı ise, ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Tek sayıda sayı içeren sıralı bir sayı serisinin medyanı, ortada yazılan sayıdır, çift sayıda sayı içeren sıralı bir sayı dizisinin medyanı ise, ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalamasıdır. Tabloda dokuz daire sakininin Ocak ayı elektrik tüketimi gösteriliyor: Tablo dokuz daire sakininin Ocak ayında elektrik tüketimini gösteriyor: Daire numarası Elektrik tüketimi

Sıralı bir seri yapalım: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 bu serinin medyanıdır. 78 bu serinin medyanıdır. Sıralı bir seri verildiğinde: Sıralı bir seri verildiğinde: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – medyan. ():2 = 80 – medyan.

1. Bir sayı serisinin medyanını bulun: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Bir sayı dizisinin aritmetik ortalamasını ve ortancasını bulun: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31,21,34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; c) 3.8, 7.2, 6.4, 6.8, 7.2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Tablo haftanın farklı günlerinde sergiye gelen ziyaretçi sayısını göstermektedir: Belirtilen veri serisinin medyanını bulunuz. Haftanın hangi günlerinde sergi ziyaretçilerinin sayısı ortalamanın üzerindeydi? Haftanın günleri Pzt Pzt Sal Sal Çrş Çrş Per Per Cuma Cum Cts Paz Pazar Ziyaretçi sayısı

4. Belirli bir bölgedeki şeker sanayi fabrikalarının günlük ortalama şeker işleme miktarı (bin kental olarak): (bin kental olarak) belirli bir bölgedeki şeker sanayi fabrikaları tarafından: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5 , 12.4, 12.2, 13.2, 13.7, 18.0, 18.6, 12.2, 18.5, 12.4, 14, 2, 17 ,8. 14, 2, 17.8. Sunulan seriler için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. Sunulan seriler için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. 5. Kuruluş, ay içerisinde alınan mektupların günlük kayıtlarını tuttu. Sonuç olarak şu veri serilerini aldık: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40 , 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Sunulan seriler için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun. Sunulan seriler için aritmetik ortalamayı, modu, aralığı ve medyanı bulun.

Ev ödevi. Artistik patinaj müsabakalarında sporcunun performansı aşağıdaki puanlarla değerlendirildi: Artistik patinaj müsabakalarında sporcunun performansı aşağıdaki puanlarla değerlendirildi: 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. 5.2; 5.4; 5.5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5.5; 5.3. Ortaya çıkan sayı serisinin aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun. Ortaya çıkan sayı serisinin aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun.

Tarih __________

Ders konusu: Aritmetik ortalama, aralık ve mod.

Ders hedefleri: aritmetik ortalama, aralık ve mod gibi istatistiksel karakteristik kavramlarını tekrarlamak, çeşitli serilerin ortalama istatistiksel özelliklerini bulma yeteneğini geliştirmek; mantıksal düşünmeyi, hafızayı ve dikkati geliştirmek; çocuklara çalışkanlık, disiplin, azim ve doğruluk aşılamak; çocukların matematiğe olan ilgisini geliştirmek.

Ders ilerlemesi

Sınıf organizasyonu

Tekrarlama ( Denklem ve kökleri)

Tek değişkenli bir denklem tanımlayın.

Bir denklemin kökü nedir?

Bir denklemi çözmek ne anlama gelir?

Denklemi çözün:

6x + 5 =23 -3x 2(x - 5) + 3x =11 -2x 3x - (x - 5) =14 -2x

Bilgiyi güncelleme aritmetik ortalama, aralık, mod ve medyan gibi istatistiksel özelliklerin kavramlarını tekrarlayın.

İstatistikler doğada ve toplumda meydana gelen çeşitli kitlesel olaylara ilişkin niceliksel verilerin toplanması, işlenmesi ve analiziyle ilgilenen bir bilimdir.

Aritmetik ortalama - tüm sayıların toplamının kendi sayılarına bölümüdür. (Aritmetik ortalamaya sayı serisinin ortalama değeri denir.)

Sayı aralığı bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Sayı serisinin modu - Bu, belirli bir seride diğerlerinden daha sık görülen sayıdır.

Medyan Terim sayısı tek olan sıralı sayı dizisine ortada yazılan sayı, terim sayısı çift olan sayıya ise ortada yazılan iki sayının aritmetik ortalaması denir.

İstatistik kelimesi Latince statüden çevrilmiştir - durum, durum.

İstatistiksel özellikler: aritmetik ortalama, aralık, mod, medyan.

Yeni materyal öğrenme

Görev No.1: 12 yedinci sınıf öğrencisinden cebir ödevine harcadıkları zamanı (dakika cinsinden) kaydetmeleri istendi. Şu verileri aldık: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Öğrenciler ödevlere ortalama kaç dakika harcadılar?

Çözüm: 1) aritmetik ortalamayı bulun:

2) Serinin aralığını bulun: 37-18=19 (min)

3) moda 25.

Görev No.2: Schaslyve şehrinde her gün saat 18'de ölçüm yapılıyordu 00 hava sıcaklığı (10 gün boyunca Celsius derece cinsinden) bunun sonucunda tablo dolduruldu:

T Çar = 0 İLE,

Aralık = 25-13=12 0 İLE,

Görev No.3: 2, 5, 8, 12, 33 sayılarının aralığını bulun.

Çözüm: Buradaki en büyük sayı 33, en küçüğü 2. Yani aralık: 33 – 2 = 31.

Görev No.4: Dağıtım serisinin modunu bulun:

a) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (mod 23);

b) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (mod: 22 ve 26);

c) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (moda yok).

Görev No.5 : 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8 sayı serisinin aritmetik ortalamasını, aralığını ve modunu bulun.

Çözüm: 1) 7 sayısı bu sayı dizisinde en sık (3 kez) karşımıza çıkar. Belirli bir sayı serisinin modudur.

Egzersizlerin çözümü

A) Bir sayı serisinin aritmetik ortalamasını, medyanını, aralığını ve modunu bulun:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

B) On sayıdan oluşan bir serinin aritmetik ortalaması 15'tir. Bu seriye 37 sayısı eklenmiştir. Yeni sayı serisinin aritmetik ortalaması nedir?

İÇİNDE) 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 numaralı sayı dizisinde bir sayının silindiği ortaya çıktı. Bu sayı serisinin aritmetik ortalamasının 14 olduğunu bilerek onu yeniden oluşturun.

G) Atıcılık yarışmasına katılan 24 katılımcının her biri on el ateş etti. Her defasında hedefin isabet sayısını kaydederek şu veri dizisini aldık: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Bu serinin aralığını ve modunu bulun. Bu göstergelerin her birini karakterize eden nedir?

Özetlemek

Aritmetik ortalama nedir? Moda? Medyan? Kapsam?

Ev ödevi:

№164 (tekrar görevi), s. 36-39 okuma

№167(a,b), Sayı 177, 179

Bir sayı dizisinin aritmetik ortalaması – Bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Aritmetik ortalamaya bir sayı serisinin ortalama değeri denir.

Örnek: 2, 6, 9, 15 sayılarının aritmetik ortalamasını bulun.

Çözüm. Dört sayımız var. Bu, toplamlarının 4'e bölünmesi gerektiği anlamına gelir. Bu, bu sayıların aritmetik ortalaması olacaktır:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Bir sayı dizisinin geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n'inci köküdür.

Örnek: 2, 4, 8 sayılarının geometrik ortalamasını bulun.

Çözüm. Üç sayımız var. Bu, çarpımlarının üçüncü kökünü bulmamız gerektiği anlamına gelir. Bu, bu sayıların geometrik ortalaması olacaktır:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Kapsam Sayı dizisi, bu sayıların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Örnek: 2, 5, 8, 12, 33 sayı aralığını bulun.

Çözüm: Buradaki en büyük sayı 33, en küçük sayı 2'dir. Yani aralık 31'dir:

Moda sayı dizisi, belirli bir dizide diğerlerinden daha sık görünen sayıdır.

Örnek: 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8 sayı serisinin modunu bulun.

Çözüm: 7 sayısı bu sayı dizisinde en sık (3 kez) karşımıza çıkıyor. Belirli bir sayı serisinin modudur.

Medyan.

Sıralı bir sayı dizisinde:

Tek sayıdaki sayıların medyanı ortada yazılan sayıdır.

Örnek: 2, 5, 9, 15, 21 sayı dizisinde ortanca, ortada yer alan 9 sayısıdır.

Çift sayıdaki sayıların medyanı ortadaki iki sayının aritmetik ortalamasıdır.

Örnek: 4, 5, 7, 11, 13, 19 sayılarının ortancasını bulun.

Çözüm: Çift sayıda sayı var (6). Bu nedenle ortada yazılı bir değil iki sayıyı arıyoruz. Bunlar 7 ve 11 sayılarıdır. Bu sayıların aritmetik ortalamasını bulun:

(7 + 11) : 2 = 9.

9 sayısı bu sayı serisinin medyanıdır.

Sırasız bir sayı dizisinde:

Rastgele bir sayı serisinin medyanı karşılık gelen sıralı serinin medyanı denir.

Örnek 1: Rasgele bir 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21 sayı serisinin medyanını bulun.

Çözüm: Sayıları artan sıraya göre sıralıyoruz:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

Ortada 17 sayısı var. Bu sayı serisinin ortancasıdır.

Örnek 2: Rastgele sayı serimize bir sayı daha ekleyelim ki seri çift olsun ve medyanı bulalım:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Çözüm: Tekrar sıralı bir seri oluşturuyoruz:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.