ve x = b en basit üstel denklemdir. İçinde A sıfırdan büyük ve A bire eşit değildir.
Üstel denklemleri çözme
Üstel fonksiyonun özelliklerinden, değer aralığının pozitif gerçek sayılarla sınırlı olduğunu biliyoruz. O halde b = 0 ise denklemin çözümü yoktur. Aynı durum b denkleminde de ortaya çıkar.
Şimdi b>0 olduğunu varsayalım. Üstel fonksiyonda taban A birden büyükse, fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A aşağıdaki koşul karşılanır 0 Buna dayanarak ve kök teoremini uygulayarak, a x = b denkleminin b>0 ve pozitif için tek bir kökü olduğunu buluruz. A bire eşit değil. Bunu bulmak için b'yi b = a c olarak temsil etmeniz gerekir. Şu örneği inceleyin: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 denklemini çözün. 25'i 5 2 olarak düşünelim, şunu elde ederiz: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Veya eşdeğeri nedir: x 2 - 2*x - 1 = 2. Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözüyoruz. x = 3 ve x = -1 olmak üzere iki kök elde ederiz. Cevap: 3;-1. 4 x - 5*2 x + 4 = 0 denklemini çözelim. t=2 x yerine koyalım ve aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde edelim: t 2 - 5*t + 4 = 0. Şimdi 2 x = 1 ve 2 x = 4 denklemlerini çözüyoruz. Cevap: 0;2. En basit üstel eşitsizliklerin çözümü de artan ve azalan fonksiyonların özelliklerine dayanmaktadır. Üstel bir fonksiyonda a tabanı birden büyükse, bu durumda fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artıyor olacaktır. Taban için üstel fonksiyonda ise A aşağıdaki koşul karşılanıyor 0 Bir örnek düşünün: eşitsizliği çözün (0,5) (7 - 3*x)< 4. 4 = (0,5)2 olduğuna dikkat edin. O zaman eşitsizlik (0,5)(7 - 3*x) formunu alacaktır.< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. Şunu elde ederiz: 7 - 3*x>-2. Dolayısıyla: x<3. Cevap: x<3. Eşitsizliğin tabanı birden büyük olsaydı tabandan kurtulurken eşitsizliğin işaretini değiştirmeye gerek kalmazdı. Ek malzemeler 11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler Tanım. Şu formdaki denklemlere: $a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır. "Üstel Fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem ortaya koyabiliriz: B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) Orijinal denklem şu denklemin eşdeğeridir: $x^2-6x=-3x+18$. Örnek. Örnek. Üstel denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir hatırlatma yapalım: Örnek. Teorem. Eğer $a>1$ ise, bu durumda $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir. Örnek. B) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde taban, derecenin ne zaman olduğudur. 1'den küçükse, bir eşitsizliği eşdeğeriyle değiştirirken işareti değiştirmek gerekir. C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
O zaman açıktır ki İle a x = a c denkleminin bir çözümü olacaktır.
Bu denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözüyoruz. Kökleri elde ederiz t1 = 1 t2 = 4Üstel eşitsizlikleri çözme
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üstel denklemler ve üstel eşitsizlikler"
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
9-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Trigonometri"
10-11. Sınıflar için etkileşimli el kitabı "Logarithms"Üstel Denklemlerin Tanımı
Arkadaşlar, üstel fonksiyonları inceledik, özelliklerini öğrendik ve grafikler oluşturduk, üstel fonksiyonların bulunduğu denklem örneklerini analiz ettik. Bugün üstel denklemleri ve eşitsizlikleri inceleyeceğiz.
Teorem. $a^(f(x))=a^(g(x))$ üstel denklemi, burada $a>0$, $a≠1$ $f(x)=g(x) denklemine eşdeğerdir $.Üstel denklem örnekleri
Örnek.
Denklemleri çözün:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Çözüm.
a) $27=3^3$ olduğunu iyi biliyoruz.
Denklemimizi yeniden yazalım: $3^(3x-3)=3^3$.
Yukarıdaki teoremi kullanarak denklemimizin $3x-3=3$ denklemine indirgendiğini buluyoruz; bu denklemi çözerek $x=2$ elde ediyoruz.
Cevap: $x=2$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3))))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Yanıt: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Denklemi çözün: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Çözüm:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştirelim ve denklemimizin her iki tarafını da aynı tabanlara getirelim.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Çözüm:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni değişkenlerde denklem şu şekli alacaktır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenlerin ters değişimini gerçekleştirelim: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Geçen derste üstel ifadelerin yalnızca pozitif değerler alabileceğini öğrendik, grafiği hatırlayın. Bu, ilk denklemin hiçbir çözümü olmadığı, ikinci denklemin tek çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki tarafını da fonksiyonlar şeklinde temsil edip grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi geçen derste kullanmıştık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi. Prensip, aynı tabanlara sahip iki ifadenin ancak ve ancak bu tabanların derecelerinin (üslerinin) eşit olması durumunda eşit olması gerçeğine dayanmaktadır. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişken değiştirme yöntemi. Bu yöntem, değişkenleri değiştirirken denklem formunu basitleştiriyorsa ve çözülmesi çok daha kolaysa kullanılmalıdır.
Denklem sistemini çözün: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (durumlar)$.
Çözüm.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı ele alalım:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
İlk değişkenlere geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. O halde başlangıçtaki denklem sistemimiz şu sisteme eşdeğerdir: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
İkinciyi birinci denklemden çıkardığımızda şunu elde ederiz: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (durumlar)$.
$\begin (durumlar) y=-1, \\ x=3. \end (durumlar)$.
Cevap: $(3;-1)$.Üstel eşitsizlikler
Gelelim eşitsizliklere. Eşitsizlikleri çözerken derece esasına dikkat etmek gerekir. Eşitsizliklerin çözümünde olayların gelişimi için iki olası senaryo vardır.
0$ ise
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4))))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Çözüm.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşdeğerdir:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Aralıklı çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $(-∞;-5]U)
