Doğrudan denklem çevrimiçi hesap makinesini çözümle çözün. Düzlemdeki düz bir çizginin genel denklemi

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisi denir.

Bir doğrunun denkleminin parametrik olarak ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü zamana göre oynanır.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A  0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B  0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun (3, -1).

A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1.

Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir
=k denir eğim doğrudan.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörüne sahip bir doğrunun denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de C/A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С 0 ise, o zaman –С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 sayıya bölünürse
buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bu doğru için çeşitli denklemlerin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

Bir doğrunun normal denklemi:

;

cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin şartlarına göre uygun değildir.

Toplam:
veya x + y – 4 = 0.

Örnek. A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Doğrunun denklemi:
, burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Doğrudan çizgiler Ax + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. M(x) noktası verilirse 0 , sen 0 ), bu durumda Ах + Ву + С =0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;

Örnek. = /4.

3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Örnek.Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.
AB tarafının denklemini buluyoruz:

;

4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.
k =
. O zaman y =
.

. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:

dolayısıyla b = 17. Toplam:

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

yön vektörü.

Rastgele bir çizgi ve bir vektör alalım (m, n, p), verilen doğruya paralel. Vektör isminde kılavuz vektör doğrudan.

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M (x, y, z) noktasını alıyoruz.

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: Ve , açıktır ki - =
.

Çünkü vektörler
Ve eşdoğrusal ise ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + T.

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur: bir doğrunun parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde temsil edilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir açı katsayıları doğrudan. Çünkü sıfır olmayan bir vektör ise m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Uzayda düz bir çizgi üzerinde iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını işaretlersek, bu noktaların koordinatları düz çizgi denklemini karşılamalıdır. yukarıda elde edilen:

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör biçimindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle belirtilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - yarıçap, düzlemdeki rastgele bir noktanın vektörüdür.

“Geometrik algoritmalar” serisinden ders

Merhaba sevgili okuyucu!

Bugün geometri ile ilgili algoritmaları öğrenmeye başlayacağız. Gerçek şu ki, bilgisayar bilimlerinde hesaplamalı geometriyle ilgili pek çok Olimpiyat problemi var ve bu tür problemleri çözmek çoğu zaman zorluklara neden oluyor.

Birkaç ders boyunca, hesaplamalı geometrideki çoğu problemin çözümünün dayandığı bir dizi temel alt görevi ele alacağız.

Bu dersimizde bir program oluşturacağız. bir doğrunun denklemini bulma, verilenlerden geçerek iki nokta. Geometrik problemleri çözmek için biraz hesaplamalı geometri bilgisine ihtiyacımız var. Dersin bir kısmını onları tanımaya ayıracağız.

Hesaplamalı Geometriden İçgörüler

Hesaplamalı geometri, geometrik problemleri çözmek için algoritmalar inceleyen bir bilgisayar bilimi dalıdır.

Bu tür problemler için başlangıç verileri, bir düzlem üzerindeki bir dizi nokta, bir dizi parça, bir çokgen (örneğin, saat yönünde köşe noktalarının bir listesiyle belirtilir) vb. olabilir.

Sonuç ya bir sorunun cevabı olabilir (örneğin, bir nokta bir doğru parçasına ait midir, iki doğru parçası kesişiyor mu, ...) ya da bazı geometrik nesneler (örneğin, belirli noktaları birleştiren en küçük dışbükey çokgen, alanı) olabilir. bir çokgen vb.) .

Hesaplamalı geometri problemlerini yalnızca düzlemde ve yalnızca Kartezyen koordinat sisteminde ele alacağız.

Vektörler ve koordinatlar

Hesaplamalı geometri yöntemlerini uygulamak için geometrik görüntüleri sayıların diline çevirmek gerekir. Uçağa, saat yönünün tersine dönme yönünün pozitif olarak adlandırıldığı Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayacağız.

Artık geometrik nesneler analitik bir ifade alıyor. Dolayısıyla, bir noktayı belirtmek için koordinatlarını belirtmek yeterlidir: bir çift sayı (x; y). Bir parça, uçlarının koordinatları belirtilerek belirlenebilir; düz bir çizgi, bir çift noktanın koordinatları belirtilerek belirlenebilir.

Ancak sorunları çözmek için ana aracımız vektörler olacaktır. Bu nedenle onlarla ilgili bazı bilgileri hatırlatmama izin verin.

Segment AB, bunun bir anlamı var A başlangıç (uygulama noktası) olarak kabul edilir ve nokta İÇİNDE– uç, vektör olarak adlandırılır AB ve bunlardan herhangi biri veya kalın küçük harfle gösterilir; örneğin A .

Bir vektörün uzunluğunu (yani karşılık gelen parçanın uzunluğunu) belirtmek için modül sembolünü kullanacağız (örneğin, ).

Rastgele bir vektör, bitiş ve başlangıcının karşılık gelen koordinatları arasındaki farka eşit koordinatlara sahip olacaktır:

işte noktalar A Ve B koordinatları var sırasıyla.

Hesaplamalar için bu kavramı kullanacağız. yönlendirilmiş açı yani vektörlerin göreceli konumunu hesaba katan bir açıdır.

Vektörler arasında yönlendirilmiş açı A Ve B dönüş vektörden geliyorsa pozitif A vektöre B pozitif yönde (saat yönünün tersine) ve diğer durumda negatif yönde gerçekleştirilir. Bkz. Şekil 1a, Şekil 1b. Ayrıca bir çift vektörün olduğu da söylenir. A Ve B olumlu (olumsuz) odaklı.

Dolayısıyla yönlendirilmiş açının değeri, vektörlerin listelenme sırasına bağlıdır ve aralıktaki değerleri alabilir.

Hesaplamalı geometrideki birçok problem, vektörlerin vektör (çarpık veya sözde skaler) çarpımları kavramını kullanır.

a ve b vektörlerinin vektör çarpımı, bu vektörlerin uzunlukları ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımıdır:

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı:

Sağdaki ifade ikinci dereceden bir determinanttır:

Analitik geometride verilen tanımdan farklı olarak skalerdir.

Vektör çarpımının işareti, vektörlerin birbirine göre konumunu belirler:

A Ve B pozitif odaklı.

Değer ise, o zaman bir çift vektör A Ve B olumsuz odaklı.

Sıfır olmayan vektörlerin çapraz çarpımı ancak ve ancak aynı doğrultuda olmaları durumunda sıfırdır ( ). Bu, aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde bulundukları anlamına gelir.

Daha karmaşık sorunları çözerken gerekli olan birkaç basit soruna bakalım.

İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulalım.

Koordinatları belirtilen iki farklı noktadan geçen bir doğrunun denklemi.

Düz bir çizgi üzerinde çakışmayan iki noktanın koordinatları (x1; y1) ve koordinatları (x2; y2) verilsin. Buna göre başlangıcı bir noktada ve sonu bir noktada olan bir vektörün koordinatları (x2-x1, y2-y1)'dir. Eğer P(x, y) doğrumuz üzerinde rastgele bir nokta ise, vektörün koordinatları (x-x1, y – y1)'e eşittir.

Vektör çarpımı kullanılarak, vektörlerin doğrusal olma koşulu şu şekilde yazılabilir:

Onlar. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Son denklemi şu şekilde yeniden yazıyoruz:

balta + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Yani düz çizgi (1) formundaki bir denklemle belirtilebilir.

Problem 1. İki noktanın koordinatları veriliyor. Temsilini ax + by + c = 0 formunda bulun.

Bu derste hesaplamalı geometri hakkında bazı bilgiler öğrendik. İki noktanın koordinatlarından bir doğrunun denklemini bulma problemini çözdük.

Bir sonraki dersimizde denklemlerimizin verdiği iki doğrunun kesişim noktasını bulan bir program oluşturacağız.

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı karşılamalıdır: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Buradan bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılmaktadır.

Eğer x 1 = x 2 ise, M 1 (x 1,y I) ve M 2 (x 2,y 2) noktalarından geçen düz çizgi ordinat eksenine paraleldir. Denklemi x = x 1 .

Eğer y 2 = y I ise doğrunun denklemi y = y 1 şeklinde yazılabilir, M 1 M 2 düz çizgisi apsis eksenine paraleldir.

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a;0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0;b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki bir doğrunun denklemi, çünkü a ve b sayıları koordinat eksenlerinde çizginin hangi bölümleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektör n = (A; B)'ye dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Doğru üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alalım ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü ele alalım (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n= (A; B) vektörüne normal denir bu doğrunun normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C = -Ax o - Vu o serbest terimdir. Denklem (10.9) doğrunun genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Doğrunun kanonik denklemleri

Nerede
- çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden eğriler Daire

Daire, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktada merkezlenmiş
:

Özellikle, kazık merkezi koordinatların orijini ile çakışıyorsa denklem şöyle görünecektir:

Elips

Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların her birinden verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı olan bir dizi noktadır. Ve Odak adı verilen sabit bir miktardır
odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Ox ekseni üzerinde bulunan ve koordinatların orijini odaklar arasında ortada bulunan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A yarı ana eksen uzunluğu; B – yarı küçük eksenin uzunluğu (Şekil 2).

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

çizgiler kesişiyor;

çizgiler paraleldir;

düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç koşulları.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim doğrudan.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı Ah.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca C 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Bu makale düzlemdeki doğrunun denklemi konusuna devam ediyor: Bu tür denklemleri bir doğrunun genel denklemi olarak ele alacağız. Teoremi tanımlayalım ve kanıtını verelim; Bir doğrunun tamamlanmamış bir genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden bir doğrunun diğer denklem türlerine nasıl geçiş yapılacağını bulalım. Teorinin tamamını çizimlerle ve pratik problemlere yönelik çözümlerle güçlendireceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilsin.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 biçiminde olan ve A, B, C'nin bazı gerçek sayılar olduğu (A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) birinci dereceden herhangi bir denklem, düzlemde dikdörtgen koordinat sistemi. Buna karşılık, bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizgi, belirli bir A, B, C değerleri kümesi için A x + B y + C = 0 formundaki bir denklemle belirlenir.

Kanıt

Bu teorem iki noktadan oluşuyor; her birini kanıtlayacağız.

A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde düz bir çizgiyi tanımladığını kanıtlayalım.

Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C = 0 denkleminin sol ve sağ taraflarını çıkarırsak, A (x) gibi görünen yeni bir denklem elde ederiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.

Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x) vektörlerinin dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur. 0, y - y 0 ). Böylece, M (x, y) noktaları kümesi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik olan düz bir çizgiyi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve A (x - eşitliği) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.

Sonuç olarak, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir doğruyu tanımlar ve dolayısıyla A x + B y + C = 0 eşdeğer denklemi aynı çizgi. Teoremin ilk kısmını bu şekilde ispatladık.

Bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin birinci derece A x + B y + C = 0 denklemiyle belirtilebileceğinin kanıtını sunalım.

Bir düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi a tanımlayalım; bu çizginin geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A, B) .

Ayrıca bir doğru üzerinde kayan nokta olan bir M(x, y) noktası olsun. Bu durumda, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımları sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0 olarak tanımlayalım ve sonuç olarak A x + B y + C = denklemini elde edelim. 0.

Böylece teoremin ikinci kısmını ispatlamış olduk ve teoremin tamamını bir bütün olarak ispatlamış olduk.

Tanım 1

Formun bir denklemi bir x + B y + C = 0 - Bu bir doğrunun genel denklemi Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeOksi.

Kanıtlanmış teoreme dayanarak, düz bir çizginin ve onun sabit bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemde tanımlanan genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle orijinal çizgi genel denklemine karşılık gelir; bir çizginin genel denklemi belirli bir çizgiye karşılık gelir.

Teoremin kanıtından ayrıca x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + C = doğrusuna ait genel denklemle verilen normal çizgi vektörünün koordinatları olduğu sonucu çıkar. 0.

Düz bir çizginin genel denkleminin özel bir örneğini ele alalım.

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu doğrunun normal vektörü vektördür n → = (2, 3) . Çizimde verilen düz çizgiyi çizelim.

Şunu da söyleyebiliriz: Çizimde gördüğümüz düz çizgi, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemiyle belirlenir, çünkü belirli bir doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denkleme karşılık gelir.

Doğrunun genel denkleminin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir λ sayısıyla çarparak λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem orijinal genel denklemin eşdeğeridir, bu nedenle düzlemde aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır.

Tanım 2

Bir doğrunun genel denklemini tamamlayın– A, B, C sayılarının sıfırdan farklı olduğu A x + B y + C = 0 düz çizgisinin böyle genel bir denklemi. Aksi takdirde denklem tamamlanmamış.

Bir doğrunun tamamlanmamış genel denkleminin tüm varyasyonlarını analiz edelim.

A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda genel denklem B y + C = 0 formunu alır. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde O x eksenine paralel bir düz çizgiyi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için y değişkeni bu değeri alacaktır. -CB. Başka bir deyişle, A = 0, B ≠ 0 olduğunda, A x + B y + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi, koordinatları aynı sayıya eşit olan (x, y) noktalarının yerini belirtir. -CB.
A = 0, B ≠ 0, C = 0 ise genel denklem y = 0 formunu alır. Bu eksik denklem x eksenini Ox tanımlar.
A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 olduğunda, ordinata paralel bir düz çizgiyi tanımlayan tamamlanmamış bir A x + C = 0 genel denklemi elde ederiz.
A ≠ 0, B = 0, C = 0 olsun, o zaman tamamlanmamış genel denklem x = 0 formunu alacaktır ve bu, O y koordinat çizgisinin denklemidir.
Son olarak A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 için tamamlanmamış genel denklem A x + B y = 0 formunu alır. Ve bu denklem orijinden geçen bir doğruyu tanımlıyor. Aslında (0, 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0.

Düz bir çizginin yukarıdaki tamamlanmamış genel denklem türlerinin tümünü grafiksel olarak gösterelim.

Örnek 1

Verilen düz çizginin ordinat eksenine paralel olduğu ve 2 7, - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Verilen doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Ordinat eksenine paralel bir düz çizgi, A x + C = 0 formundaki bir denklemle verilir, burada A ≠ 0'dır. Koşul aynı zamanda çizginin geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları tamamlanmamış A x + C = 0 genel denkleminin koşullarını karşılar, yani. eşitlik doğrudur:

bir 2 7 + C = 0

Eğer A'ya sıfır olmayan bir değer verirsek, örneğin A = 7'yi kullanarak C'yi belirlemek mümkündür. Bu durumda şunu elde ederiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve gerekli düz çizgi denklemini elde ediyoruz: 7 x - 2 = 0

Cevap: 7 x - 2 = 0

Örnek 2

Çizim düz bir çizgiyi gösteriyor; denklemini yazmanız gerekiyor.

Çözüm

Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Çizimde verilen doğrunun O x eksenine paralel olduğunu ve (0, 3) noktasından geçtiğini görüyoruz.

Apsise paralel olan düz çizgi, tamamlanmamış genel denklem B y + C = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulalım. Verilen doğru bu noktadan geçtiği için (0, 3) noktasının koordinatları B y + C = 0 doğrusu denklemini sağlayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: B · 3 + C = 0. B'yi sıfır dışında bir değere ayarlayalım. Diyelim ki B = 1, bu durumda B · 3 + C = 0 eşitliğinden C: C = - 3'ü bulabiliriz. Bilinen B ve C değerlerini kullanarak düz çizginin gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.

Cevap: y - 3 = 0 .

Düzlemde belirli bir noktadan geçen çizginin genel denklemi

Verilen çizginin M 0 (x 0 , y 0) noktasından geçmesine izin verin, o zaman koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0. Bu denklemin sol ve sağ taraflarını, doğrunun genel tam denkleminin sol ve sağ taraflarından çıkaralım. Şunu elde ederiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu denklem orijinal genel denkleme eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve normaldir. vektör n → = (A, B) .

Elde ettiğimiz sonuç, doğrunun normal vektörünün koordinatları ve bu doğrunun belirli bir noktasının koordinatları bilinen bir doğrunun genel denklemini yazmayı mümkün kılmaktadır.

Örnek 3

İçinden bir çizginin geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu doğrunun normal vektörü verildiğinde n → = (1 , - 2) . Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç koşulları denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Daha sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Düz bir çizginin genel denklemi A x + B y + C = 0'dır. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini elde etmemizi sağlar, o zaman:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Şimdi problemin koşuluna göre belirlenen ve içinden doğrunun geçtiği M 0 (- 3, 4) noktasını kullanarak C’nin değerini bulalım. Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani. - 3 - 2 4 + C = 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu formu alır: x - 2 · y + 11 = 0.

Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .

Örnek 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan bir M 0 noktası veriliyor. Bu noktanın sadece apsisi bilinmektedir ve -3'e eşittir. Belirli bir noktanın koordinatını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 noktasının koordinatlarını x 0 ve y 0 olarak belirleyelim. Kaynak verileri x 0 = - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir çizgiye ait olduğundan koordinatları bu çizginin genel denklemine karşılık gelir. O zaman eşitlik doğru olacaktır:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Y'yi tanımlayın: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cevap: - 5 2

Bir doğrunun genel denkleminden diğer doğru denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Bildiğimiz gibi, bir düzlemdeki aynı doğru için çeşitli denklem türleri vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözmek için daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka türden bir denkleme dönüştürme becerisi burada çok faydalıdır.

İlk olarak, A x + B y + C = 0 formundaki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünelim.

Eğer A ≠ 0 ise B y terimini genel denklemin sağ tarafına taşırız. Sol tarafta parantezlerden A'yı çıkarıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: A x + C A = - B y.

Bu eşitlik orantı olarak yazılabilir: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ise genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakır, diğerlerini sağ tarafa aktarırız ve şunu elde ederiz: A x = - B y - C. – B'yi parantezlerden çıkarırsak: A x = - B y + C B .

Eşitliği orantı şeklinde yeniden yazalım: x - B = y + C B A.

Elbette ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel bir denklemden kanonik bir denkleme geçerken eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.

Örnek 5

3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bunu kanonik bir denkleme dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazalım. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalıyor; ve sağ tarafa - parantezlerden 3 tane koyduk; şunu elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ortaya çıkan eşitliği oran olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece kanonik formda bir denklem elde ettik.

Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.

Bir doğrunun genel denklemini parametrik denklemlere dönüştürmek için önce kanonik forma, ardından bir doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 6

Düz çizgi 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemiyle verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Genel denklemden kanonik denkleme geçiş yapalım:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Şimdi ortaya çıkan kanonik denklemin her iki tarafını da λ'ya eşit alırsak:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Genel denklem, eğimi y = k · x + b olan bir düz çizgi denklemine dönüştürülebilir, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Geçiş için B y terimini sol tarafta bırakıyoruz, geri kalanları sağa aktarıyoruz. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da sıfırdan farklı B'ye bölelim: y = - A B x - C B.

Örnek 7

Doğrunun genel denklemi verilmiştir: 2 x + 7 y = 0. Bu denklemi eğim denklemine dönüştürmeniz gerekiyor.

Çözüm

Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cevap: y = - 2 7 x .

Bir doğrunun genel denkleminden, x a + y b = 1 formundaki bölümlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için C sayısını eşitliğin sağ tarafına taşırız, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da -C'ye böleriz ve son olarak x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarırız:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ Bir x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C Bir + y - C B = 1

Örnek 8

x - 7 y + 1 2 = 0 çizgisinin genel denklemini parçalı doğru denklemine dönüştürmek gerekir.

Çözüm

1 2'yi sağ tarafa taşıyalım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Eşitliğin her iki tarafını da -1/2'ye bölelim: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Genel olarak ters geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel olana.

Parçalar halinde bir doğrunun denklemi ve açısal katsayılı bir denklem, eşitliğin sol tarafındaki tüm terimlerin basitçe toplanmasıyla kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0

Kanonik denklem aşağıdaki şemaya göre genel bir denkleme dönüştürülür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrik olanlardan geçmek için önce kanonik olana, ardından genel olana geçin:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ Bir x + B y + C = 0

Örnek 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusuna ait parametrik denklemler verilmiştir. Bu doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikten genele geçelim:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cevap: y - 4 = 0

Örnek 10

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlerindeki düz bir çizginin denklemi verilmiştir. Denklemin genel formuna geçmek gerekir.

Çözüm:

Denklemi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bir doğrunun genel denklemini çizmek

Yukarıda genel denklemin normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemiyle tanımlanır. Orada ilgili örneği de analiz ettik.

Şimdi önce normal vektörün koordinatlarını belirlememiz gereken daha karmaşık örneklere bakalım.

Örnek 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verilmiş. Verilen doğrunun geçtiği M 0 (4, 1) noktası da bilinmektedir. Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç koşulları bize doğruların paralel olduğunu söylüyor, sonra denklemi yazılması gereken doğrunun normal vektörü olarak n → = (2, - 3) doğrusunun yön vektörünü alıyoruz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Artık doğrunun genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Örnek 12

Verilen doğru orijinden x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak geçmektedir. Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

Belirli bir çizginin normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 çizgisinin yön vektörü olacaktır.

O halde n → = (3, 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani. O noktasından (0, 0). Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturalım:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cevap: 3 x + 5 y = 0.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.