Bir alışveriş merkezinde birbirinin aynısı iki makine kahve satıyor. Makinelerin bakımı akşamları merkez kapandıktan sonra yapılmaktadır. “Akşama doğru ilk makinede kahve biter” olayının olasılığının 0,25 olduğu biliniyor. “Akşama doğru ikinci makinede kahve bitecek” olayının olasılığı aynıdır. Her iki makinede de akşama kadar kahvenin bitme olasılığı 0,15'tir. Akşama kadar her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun.
Çözüm.
Olayları göz önünde bulundurun
A = İlk makinede kahve bitecek,
B = ikinci makinede kahve bitecek.
A·B = kahve her iki makinede de bitecek,
A + B = kahve en az bir makinede bitecek.
P(A) = P(B) = 0,25 koşuluna göre; P(A·B) = 0,15.
A ve B olayları ortaktır, iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir ve bunların çarpımlarının olasılığı azaltılır:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Dolayısıyla ters olayın yani kahvenin her iki makinede de kalma olasılığı 1 − 0,35 = 0,65'tir.
Cevap: 0,65.
Başka bir çözüm verelim.
Kahvenin birinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,25 = 0,75’tir. Kahvenin ikinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,25 = 0,75’tir. Kahvenin birinci veya ikinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,15 = 0,85'tir. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) olduğundan, elimizde: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X Gerekli olasılık nereden geliyor? X = 0,65.
Not.
A ve B olaylarının bağımsız olmadığını unutmayın. Nitekim bağımsız olayların ortaya çıkma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşit olacaktır: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, ancak koşula göre bu olasılık 0,15'e eşittir.
Elena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Ben, doçent, pedagojik bilimler adayı, OKUL ÇOCUKLARINA YÖNELİK BAĞIMLI ETKİNLİKLERE GÖRE GÖREVLER VERMENİN TAMAMEN APTALCA VE SAÇMA Olduğunu düşünüyorum. Öğretmenler bu bölümü BİLMİYOR - Öğretmen yetiştirme kurslarında televizyonda ders vermek üzere davet edildim. Bu bölüm programda yoktur ve olamaz. Gerekçesiz yöntemler icat etmeye GEREK YOKTUR. Bu tür GÖREVLER kolayca ortadan kaldırılabilir. Kendinizi OLASILIKLARIN KLASİK TANIMI ile sınırlayın. Ve o zaman bile, önce okul ders kitaplarını inceleyin ve yazarların bu konuda ne yazdıklarını görün. Zubareva'nın 5. sınıfına bakın. Sembolleri bile bilmiyor ve olasılığı yüzde olarak veriyor. Bu tür ders kitaplarından öğrendikten sonra öğrenciler hâlâ olasılığın yüzde olduğuna inanıyor. Olasılıkların klasik belirlenmesiyle ilgili pek çok ilginç problem vardır. Okul çocuklarının sorması gereken şey bu. Üniversite öğretmenlerinin bu tür görevleri uygulamaya koyma konusundaki aptallığınıza duydukları öfkenin sınırı yok.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına ilişkin olasılık teorisi, hem klasik olasılık tanımına ilişkin basit problemler şeklinde hem de ilgili teoremlerin uygulanmasına ilişkin oldukça karmaşık problemler şeklinde sunulabilir.
Bu bölümde olasılık tanımını kullanmanın yeterli olduğu problemleri ele alacağız. Bazen burada ters olayın olasılığını hesaplamak için de bir formül kullanırız. Burada bu formül olmadan da yapabileceğiniz gibi, aşağıdaki problemleri çözerken yine de ona ihtiyacınız olacak.
Teorik kısım
Rastgele bir olay, bir gözlem veya test sırasında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek (önceden tahmin edilmesi imkansız) bir olaydır.
Bir testi gerçekleştirirken (para veya zar atmak, sınav kartı çekmek vb.) eşit derecede olası sonuçların olmasına izin verin. Örneğin, yazı tura atıldığında tüm sonuçların sayısı 2'dir, çünkü yazı ve tura dışında başka sonuç olamaz. Bir zar atıldığında 6 sonuç mümkündür, çünkü zarın üst yüzünde 1'den 6'ya kadar herhangi bir sayının görünmesi eşit derecede mümkündür. Ayrıca bazı A olayları da sonuçlar tarafından tercih edilsin.
A olayının olasılığı, bu olay için olumlu sonuçların sayısının eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır (bu, olasılığın klasik tanımıdır). Yazıyoruz
Örneğin, A olayının bir zar atıldığında tek sayıda puan alınmasından ibaret olduğunu varsayalım. Toplamda 6 olası sonuç vardır: Küpün üst yüzünde görünen 1, 2, 3, 4, 5, 6 Bu durumda 1, 3, 5'in görünen sonuçları A olayı için uygundur. 
.
Çifte eşitsizliğin her zaman sağlandığına dikkat edin, bu nedenle herhangi bir A olayının olasılığı aralıkta yer alır, yani 
. Cevabınızın olasılığı birden büyükse bir yerde hata yapmışsınız demektir ve çözümün tekrar kontrol edilmesi gerekmektedir.
A ve B olaylarına denir zıt eğer herhangi bir sonuç bunlardan tam olarak biri için uygunsa.
Örneğin, bir zar atıldığında "tek sayı atılması" olayı, "çift sayı atılması" olayının tersidir.
A olayının karşısındaki olay belirlenir. Zıt olayların tanımından şu sonuç çıkıyor 
, Araç, 
.
Bir kümeden nesnelerin seçilmesiyle ilgili problemler
Görev 1. Dünya Şampiyonasına 24 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri altı takımdan oluşan dört gruba ayrılmaları gerekiyor. Kutuda grup numaralarının karışık olduğu kartlar var:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Takım kaptanlarının her biri bir kart çeker. Rus takımının üçüncü grupta yer alma olasılığı nedir?
Toplam sonuç sayısı kart sayısına eşittir - bunlardan 24 tane vardır. 6 olumlu sonuç vardır (altı kartta 3 sayısı yazıldığı için). Gerekli olasılık eşittir 
.
Cevap: 0,25.
Görev 2. Bir torbada 14 kırmızı, 9 sarı ve 7 yeşil top vardır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor. Bu topun sarı olma olasılığı nedir?
Toplam sonuç sayısı top sayısına eşittir: 14 + 9 + 7 = 30. Bu olay için olumlu sonuç sayısı 9'dur. Gerekli olasılık eşittir: 
.
Görev 3. Telefonun tuş takımında 0'dan 9'a kadar 10 sayı vardır. Rastgele basılan bir sayının çift ve 5'ten büyük olma olasılığı nedir?
Buradaki sonuç belirli bir tuşa basmaktır, dolayısıyla toplam 10 eşit olası sonuç vardır. Belirtilen olay, 6 veya 8 tuşuna basmak anlamına gelen sonuçlar tarafından tercih edilir. Böyle iki sonuç vardır. Gerekli olasılık eşittir.
Cevap: 0.2.
Sorun 4. 4'ten 23'e kadar rastgele seçilen bir doğal sayının üçe bölünebilme olasılığı nedir?
4'ten 23'e kadar olan segmentte 23 – 4 + 1 = 20 doğal sayı vardır, bu da toplam 20 olası sonucun olduğu anlamına gelir. Bu segmentte şu sayılar üçün katıdır: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Toplamda bu tür 6 sayı vardır, dolayısıyla söz konusu olay 6 sonuç tarafından tercih edilir. Gerekli olasılık eşittir 
.
Cevap: 0.3.
Görev 5. Sınavda sunulan 20 biletten yalnızca 17'sine cevap verebilmektedir. Öğrencinin rastgele seçilen bilete cevap verememe olasılığı nedir?
1. yöntem.
Bir öğrenci 17 bilete cevap verebildiğinden 3 bilete cevap veremez. Bu biletlerden birini alma olasılığı tanım gereği eşittir.
2. yöntem.
“Öğrencinin bilete cevap verebileceği” olayını A ile gösterelim. Daha sonra . Tersi olayın olasılığı =1 – 0,85 = 0,15'tir.
Cevap: 0,15.
Sorun 6. Ritmik jimnastik şampiyonasına 6'sı Rusya'dan, 5'i Almanya'dan ve geri kalanı Fransa'dan olmak üzere 20 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. Yedinci yarışan sporcunun Fransa'dan olma olasılığını bulun.
Toplamda 20 sporcu var, yedinci olarak yarışmak için herkesin eşit şansı var. Bu nedenle eşit olasılıklı 20 sonuç vardır. Fransa'dan 20 – 6 – 5 = 9 sporcu var, dolayısıyla belirtilen etkinlik için 9 olumlu sonuç var. Gerekli olasılık eşittir.
Cevap: 0,45.
Görev 7. Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 50 rapor planlanıyor; ilk üç günde 12 rapor olacak, geri kalanlar dördüncü ve beşinci günlere eşit olarak dağıtılacak. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör N.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığı nedir?
Öncelikle son gün için kaç raporun planlandığını bulalım. Sunumlar ilk üç gün için planlanmıştır. Hala 50 – 36 = 14 rapor kaldı ve bunlar kalan iki gün arasında eşit olarak dağıtıldı, yani son güne planlanmış raporlar var.
Sonucu Profesör N.'nin raporunun seri numarası olarak kabul edeceğiz. Bu tür eşit derecede olası 50 sonuç var. Belirtilen olayı destekleyen 7 sonuç var (rapor listesindeki son 7 rakam). Gerekli olasılık eşittir.
Cevap: 0.14.
Sorun 8. Uçakta acil çıkışların yanında 10, kabinleri ayıran bölmelerin arkasında ise 15 koltuk bulunmaktadır. Kalan koltuklar uzun boylu yolcular için sakıncalıdır. Yolcu K. uzun boyludur. Check-in sırasında rastgele bir koltuk seçilirse, uçakta toplam 200 koltuk varsa yolcu K'nın rahat bir koltuğa oturma olasılığını bulun.
Bu görevin sonucu yer seçimidir. Toplamda 200 eşit olası sonuç vardır. “Seçilen yerin uygun olması” olayı 15 + 10 = 25 sonuç tarafından tercih edilmektedir. Gerekli olasılık eşittir.
Cevap: 0,125.
Sorun 9. Fabrikada montajı yapılan 1000 kahve öğütücüden 7'si arızalıydı. Bir uzman bu 1000 kahve değirmeni arasından rastgele seçilen bir kahve değirmenini test eder. Test edilen kahve değirmeninin arızalı olma olasılığını bulun.
Rastgele bir kahve değirmeni seçerken 1000 sonuç mümkündür; "seçilen kahve değirmeni arızalı" olayının 7 olumlu sonucu vardır. Olasılığın tanımı gereği.
Cevap: 0,007.
Sorun 10. Tesis buzdolapları üretiyor. Ortalama olarak her 100 yüksek kaliteli buzdolabına karşılık 15 gizli kusurlu buzdolabı bulunmaktadır. Satın alınan buzdolabının yüksek kalitede olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Bu görev bir öncekine benzer. Ancak “100 kaliteli buzdolabına karşılık 15 tanesi kusurludur” formülasyonu bize şunu gösteriyor: 100 kaliteye 15 kusurlu parça dahil değildir. Dolayısıyla toplam sonuç sayısı 100 + 15 = 115 (toplam buzdolabı sayısına eşit), 100 olumlu sonuç var. Bir kesrin yaklaşık değerini hesaplamak için açı bölmesini kullanmak uygundur. 0,869 elde ederiz, yani 0,87.
Cevap: 0,87.
Sorun 11. Tenis şampiyonasının ilk turu başlamadan önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya, aralarında Maxim Zaitsev'in de bulunduğu 7'si Rusya'dan olmak üzere toplam 16 tenisçi katılıyor. Maxim Zaitsev'in ilk turda Rusya'dan herhangi bir tenisçiyle oynama olasılığını bulun.
Önceki görevde olduğu gibi, durumu dikkatlice okumanız ve neyin sonuç, neyin olumlu sonuç olduğunu anlamanız gerekir (örneğin, olasılık formülünün düşüncesiz uygulanması yanlış cevaba yol açar).
Burada sonuç Maxim Zaitsev'in rakibi. Toplamda 16 tenis oyuncusu olduğundan ve Maxim kendine karşı oynayamayacağına göre 16 – 1 = 15 eşit olası sonuç vardır. Olumlu bir sonuç Rusya'dan bir rakiptir. Böyle 7 – 1 = 6 olumlu sonuç var (Maxim'i Rusların sayısından hariç tutuyoruz). Gerekli olasılık eşittir.
Cevap: 0.4.
Sorun 12. Futbol bölümüne aralarında iki erkek kardeş olan Anton ve Dmitry'nin de bulunduğu 33 kişi katılıyor. Bölüme katılanlar rastgele 11'er kişilik üç takıma ayrılıyor. Anton ve Dmitry'nin aynı takımda olma olasılığını bulun.
Anton ve Dmitry'den başlayarak oyuncuları sırayla boş koltuklara yerleştirerek takımlar oluşturacağız. Öncelikle Anton'u 33 boş yerden rastgele seçilmiş bir yere yerleştirelim. Şimdi Dmitry'yi boş bir yere yerleştirelim (onun için yer seçimini sonuç olarak değerlendireceğiz). Toplamda 32 boş yer var (Anton zaten bir tane almış), yani toplamda 32 olası sonuç var. Anton'la aynı takımda 10 boş yer kaldı, dolayısıyla "Anton ve Dmitry aynı takımda" etkinliği 10 sonuçla tercih ediliyor. Bu olayın olasılığı 
.
Cevap: 0,3125.
Sorun 13. On iki saatlik kadranı olan mekanik bir saat bir noktada bozuldu ve çalışmayı bıraktı. Akrebin donup saat 11'e ulaşması ancak saat 2'ye ulaşmaması olasılığını bulun.
Geleneksel olarak kadran, bitişik sayıların işaretleri arasında (12 ile 1, 1 ile 2, 2 ile 3, ..., 11 ile 12 arasında) yer alan 12 sektöre bölünebilir. Sonucu, saatin belirtilen sektörlerden birinde durması olarak değerlendireceğiz. Toplamda 12 eşit olası sonuç vardır. Bu etkinlik üç sonuç tarafından tercih edilmektedir (11 ile 12, 12 ile 1, 1 ve 2 arasındaki sektörler). Gerekli olasılık eşittir 
.
Cevap: 0,25.
Özetleyelim
Olasılık teorisindeki basit problemlerin çözümüne ilişkin materyali inceledikten sonra, üzerinde yayınladığımız bağımsız çözüm görevlerini tamamlamanızı tavsiye ederim. Telegram kanalımız. Ayrıca bilgilerinizi girerek bunların doğru şekilde tamamlanıp tamamlanmadığını kontrol edebilirsiniz. Verilen formdaki cevaplar.
Makaleyi sosyal ağlarda paylaştığınız için teşekkür ederiz.
Kaynak “Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık. Matematik. Olasılık Teorisi. Düzenleyen: F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabuhova
Rastgele olay – bazı deneyimlerin sonucu olarak meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir olay.
Olayın olasılığı R olumlu sonuçların sayısının oranına eşit k olası sonuçların sayısına N yani
p=\frac(k)(n)
Olasılık teorisinin toplanması ve çarpımı için formüller
Olay \bar(A) isminde A olayının tersi, A olayı meydana gelmemişse.
Olasılıkların toplamı Zıt olayların sayısı bire eşittir, yani.
P(\bar(A)) + P(A) =1
- Bir olayın olasılığı 1'den büyük olamaz.
- Bir olayın olasılığı 0 ise o olay gerçekleşmez.
- Bir olayın olasılığı 1 ise o olay gerçekleşecektir.
Olasılık toplama teoremi:
"Birbirleriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir."
P(A+B) = P(A) + P(B)
Olasılık miktarlar iki ortak etkinlik bu olayların ortak oluşumları dikkate alınmaksızın olasılıklarının toplamına eşittir:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Olasılık çarpım teoremi
“İki olayın meydana gelme olasılığı, birincisinin gerçekleşmesi koşuluyla hesaplanan, bunlardan birinin olasılıkları ile diğerinin koşullu olasılığının çarpımına eşittir.”
P(AB)=P(A)*P(B)
Olaylar denir uyumsuz, birinin görünüşü diğerlerinin görünüşünü dışlıyorsa. Yani, yalnızca belirli bir olay veya diğeri gerçekleşebilir.
Olaylar denir eklem yeri, Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa.
İki rastgele olay A ve B denir bağımsız, Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa. Aksi takdirde A ve B olayları bağımlı olaylar olarak adlandırılır.
Olasılık. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinin sorunları.
MBOU “Lyceum No. 4” Ruzaevka'da bir matematik öğretmeni tarafından hazırlanmıştır.
Ovchinnikova T.V.
Olasılığın tanımı
Olasılık A olaylarına sayı oranı denir M toplam sayıya göre bu olay için olumlu sonuçlar N bir test veya gözlem sonucunda meydana gelebilecek eşit derecede olası tüm uyumsuz olaylar:
M
N
İzin vermek k – yazı tura atma sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=2 k .
İzin vermek k – zar atışlarının sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=6 k .
Rastgele bir deneyde simetrik bir para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun.
Çözüm.
Yalnızca 4 seçenek var: O; o o; pp; pp; O .
Uygun 2: O; R Ve P; O .
Olasılık 2/4 = 1/2 = 0,5 .
Cevap: 0,5.
Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Çözüm.
Zarlar 6 tarafı olan küplerdir. İlk zar 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 puan atabilir. Her puanlama seçeneği, ikinci zardaki 6 puanlama seçeneğine karşılık gelir.
Onlar. toplam farklı seçenekler 6×6 = 36.
Seçenekler (deney sonuçları) aşağıdaki gibi olacaktır:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
vesaire. ..................................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
İki zarın puanlarının toplamının 8 olduğu sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Toplamda 5 seçenek var.
Olasılığı bulalım: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Cevap: 0.14.
Biyoloji bilet koleksiyonunda sadece 55 bilet var, 11 tanesi botanikle ilgili bir soru içeriyor. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığını bulun.
Çözüm:
Rastgele seçilen bir sınav biletinde bir öğrencinin botanikle ilgili bir soru alma olasılığı 11/55 = 1/5 = 0,2'dir.
Cevap: 0.2.
Jimnastik şampiyonasına 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den ve geri kalanı Çin'den olmak üzere 20 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Çözüm.
Toplam 20 sporcu katılıyor
bunların 20 – 8 – 7'si = 5'i Çin'den sporcu.
Birinci yarışan sporcunun Çinli olma olasılığı 5/20 = 1/4 = 0,25'tir.
Cevap: 0,25.
Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?
Çözüm:
Konferansın son gününde yapılması planlanan
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 rapor.
Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığı 12/75 = 4/25 = 0,16'dır.
Cevap: 0.16.
Badminton şampiyonasının ilk turunun başlamasından önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya Ruslan Orlov'un da aralarında bulunduğu 10'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 badminton oyuncusu katılıyor. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun mu?
Çözüm:
Ruslan Orlov'un Rusya'dan bir badminton oyuncusuyla oynaması gerektiği dikkate alınmalıdır. Ve Ruslan Orlov'un kendisi de Rusya'dan.
Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığı 9/25 = 36/100 = 0,36.
Cevap: 0,36.
Dasha zarları iki kez atar. Toplamda 8 puan aldı. İlk atışta 2 puan alma olasılığını bulun.
Çözüm.
İki zarda toplam 8 puan görünmelidir. Aşağıdaki kombinasyonlar varsa bu mümkündür:
Toplamda 5 seçenek var. İlk atışta 2 puanın alındığı sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım.
Bu seçenek 1'dir.
Olasılığı bulalım: 1/5 = 0,2.
Cevap: 0.2.
Dünya Şampiyonasına 20 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri dört takımdan oluşan beş gruba ayrılmaları gerekiyor. Kutuda grup numaralarının karışık olduğu kartlar var:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Takım kaptanlarının her biri bir kart çeker. Rus takımının üçüncü grupta yer alma olasılığı nedir?
Çözüm:
Toplamda 20 takım, 5 grup var.
Her grupta 4 takım var.
Yani toplam 20 sonuç var, ihtiyacımız olan 4, yani istenen sonucu alma olasılığı 4/20 = 0,2.
Cevap: 0.2.
İki fabrika araba farları için aynı camları üretiyor. İlk fabrika bu camların %45'ini, ikinci fabrika ise %55'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın %3'ünü, ikinci fabrika ise %1'ini üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığını bulun.
Çözüm:
Camın ilk fabrikadan satın alınmış ve kusurlu olma olasılığı:
R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Camın ikinci bir fabrikadan alınmış ve kusurlu olma olasılığı:
R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Dolayısıyla toplam olasılık formülüne göre bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığı şuna eşittir:
p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Cevap: 0,019.
Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0,52 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır.
Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun.
Çözüm:
Birinci ve ikinci oyunları kazanma olasılıkları birbirinden bağımsızdır. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir:
p = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Cevap: 0,156.
Bir biatloncu hedeflere beş kez ateş eder. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun hedefleri ilk üç seferde vurması ve son ikisinde ıskalama olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Çözüm:
Bir sonraki atışın sonucu öncekilere bağlı değildir. Dolayısıyla “ilk atışta vurmak”, “ikinci atışta vurmak” vb. olaylar. bağımsız.
Her vuruşun olasılığı 0,8'dir. Bu, kaçırma olasılığının 1 – 0,8 = 0,2 olduğu anlamına gelir.
1 atış: 0,8
2 atış: 0,8
3 atış: 0,8
4 atış: 0,2
5 atış: 0,2
Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma formülünü kullanarak istenen olasılığın şuna eşit olduğunu buluruz:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Cevap: 0,02.
Mağazada iki ödeme makinesi var. Her biri diğer makineden bağımsız olarak 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışma olasılığını bulun.
Çözüm:
Her iki makinenin de arızalı olma olasılığını bulalım.
Bu olaylar bağımsızdır, gerçekleşme olasılıkları bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
En az bir makinenin, tam tersinin çalışıyor olmasıyla oluşan olay.
Bu nedenle olasılığı eşittir
1 − 0,0025 = 0,9975.
Cevap: 0,9975.
Kovboy John'un sıfırlanmış bir tabancayı ateşlerse duvardaki sineğe çarpma şansı 0,9'dur. John ateşlenmemiş bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun.
Çözüm:
John'un sıfırlanmış bir tabancayı alması durumunda ıskalama olasılığı:
0,4 (1 - 0,9) = 0,04
Ateşlenmemiş bir tabancayı alırsa John'un ıskalama olasılığı:
0,6 · (1 − 0,2) = 0,48
Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Cevap: 0,52.
Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,4, sonraki her atışta ise 0,6'dır. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,98 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek?
Çözüm:
Bir dizi ardışık hatadan sonra hayatta kalma olasılığını hesaplayarak sorunu "eylem yoluyla" çözebilirsiniz:
P(1) = 0,6;
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.
İkinci olasılık 0,02'den azdır, dolayısıyla hedefe beş atış yeterlidir.
Cevap: 5.
Sınıfta 26 kişi var, aralarında iki ikiz var - Andrey ve Sergey. Sınıf rastgele 13'er kişilik iki gruba ayrılır. Andrey ve Sergey'in aynı grupta olma olasılığını bulun.
Çözüm:
İkizlerden birinin bir grupta olmasına izin verin.
Onunla birlikte grupta kalan 25 sınıf arkadaşından 12 kişi yer alacak.
İkinci ikizin bu 12 kişiden olma olasılığı
P = 12: 25 = 0,48.
Cevap: 0,48.
Resimde bir labirent görülüyor. Örümcek, Giriş noktasında labirentin içine doğru sürünür. Örümcek dönüp geriye doğru sürünemez, bu nedenle her dalda örümcek henüz emeklemediği yollardan birini seçer. Diğer yolun seçiminin tamamen rastgele olduğunu varsayarak, örümceğin D'den hangi olasılıkla çıkacağını belirleyin.
Çözüm:
Örümcek, işaretli dört çatalın her birinde D çıkışına giden yolu veya 0,5 olasılıkla başka bir yolu seçebilir. Bunlar bağımsız olaylardır, bunların gerçekleşme olasılığı (örümceğin D çıkışına ulaşması) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Dolayısıyla D çıkışına varma olasılığı (0,5) 4 = 0,0625.
