Simetrik çokyüzlüler. Uzayda simetri

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Düzenli çokyüzlüler geometrisinin simetri unsurları. 10. sınıf.

Tetrahedron - (Yunanca tetra - dört ve hedra - yüz) - 4 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlü. Düzenli bir çokyüzlünün tanımından, tetrahedronun tüm kenarlarının eşit uzunluğa ve yüzlerin eşit alana sahip olduğu sonucu çıkar. Bir tetrahedronun simetri elemanları Bir tetrahedronun kesişen kenarların orta noktalarından geçen üç simetri ekseni vardır. Tetrahedron, her biri tetrahedronun kendisiyle kesişen kenara dik olan bir kenarından geçen 6 simetri düzlemine sahiptir.

Oktahedron - (Yunanca okto - sekiz ve hedra - yüz) - 8 eşkenar üçgenden oluşan düzenli bir çokyüzlü. Oktahedronun 6 köşesi ve 12 kenarı vardır. Oktahedronun her köşesi 4 üçgenin tepe noktasıdır, dolayısıyla oktahedronun tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 240°'dir. Oktahedronun simetri elemanları Oktahedronun 9 simetri ekseninden üçü zıt köşelerden, altısı kenarların ortasından geçer. Bir oktahedronun simetri merkezi, simetri eksenlerinin kesişme noktasıdır. Tetrahedronun 9 simetri düzleminden üçü, aynı düzlemde bulunan oktahedronun her 4 köşesinden geçer. Altı simetri düzlemi aynı yüze ait olmayan iki köşeden ve karşıt kenarların orta noktalarından geçer.

Icosahedron - (Yunanca ico - altı ve hedra - yüz kelimesinden gelir) 20 düzenli üçgenden oluşan düzenli bir dışbükey çokyüzlüdür. İkosahedron'un 12 köşesinin her biri, 5 eşkenar üçgenin tepe noktasıdır, dolayısıyla tepe noktasındaki açıların toplamı 300°'dir. Simetrinin unsurları ve kosahedron Normal ikosahedron, her biri karşıt paralel kenarların orta noktalarından geçen 15 simetri eksenine sahiptir. İkosahedronun tüm simetri eksenlerinin kesişme noktası simetri merkezidir. Ayrıca 15 adet simetri düzlemi vardır. Simetri düzlemleri aynı düzlemde yer alan dört köşeden ve karşılıklı paralel kenarların orta noktalarından geçer.

Bir küp veya altı yüzlü (Yunanca altıgen - altı ve hedra - yüzden gelen) 6 kareden oluşur. Küpün 8 köşesinin her biri 3 karenin tepe noktasıdır, dolayısıyla her köşedeki düzlem açılarının toplamı 270 0'dır. Küpün eşit uzunlukta 12 ayrıtı vardır. Bir küpün simetri elemanları Bir küpün simetri ekseni, aynı yüze ait olmayan paralel kenarların orta noktalarından veya karşıt yüzlerin köşegenlerinin kesişme noktasından geçebilir. Bir küpün simetri merkezi köşegenlerinin kesişme noktasıdır. Simetri merkezinden geçen 9 simetri ekseni vardır. Küpün ayrıca 9 simetri düzlemi vardır ve bunlar ya karşıt kenarlardan (böyle 6 tane düzlem vardır) ya da karşıt kenarların ortasından (bunlardan 3 tane vardır) geçerler.

Dodecahedron (Yunanca dodeka - on iki ve hedra - yüz kelimesinden gelir), 12 eşkenar beşgenden oluşan düzenli bir çokyüzlüdür. Dodecahedronun 20 köşesi ve 30 kenarı vardır. Dodecahedronun tepe noktası, üç beşgenin tepe noktasıdır, dolayısıyla her tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 324 0'dır. Dodecahedronun simetri unsurları Dodecahedronun bir simetri merkezi ve 15 simetri ekseni vardır. Eksenlerin her biri karşılıklı paralel kenarların orta noktalarından geçer. Dodecahedronun 15 simetri düzlemi vardır. Simetri düzlemlerinden herhangi biri, her yüzde karşı kenarın üstünden ve ortasından geçer.

Düzenli çokyüzlülerin gelişimi Geliştirme, birkaç kenar boyunca kesimler yaptıktan sonra bir düzlem üzerinde çokyüzlü geliştirmenin bir yoludur. Geliştirme, daha küçük çokgenlerden (orijinal çokyüzlünün yüzleri) oluşan düz bir çokgendir. Aynı çok yüzlünün birkaç farklı gelişimi olabilir.

Dersin metodolojik gerekçesi. Konuyla ilgili bilgilerin sistemleştirilmesini özetlerken geometri dersinde fizik, astronomi, MHC, biyoloji bilgilerini kullanmak: “Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Simetri kavramına giriş ve çeşitleri, düzgün çokyüzlülerin simetri unsurları;

Çevremizdeki dünyadaki simetrinin tezahürlerini incelemek;

Simetrinin insan faaliyetinin çeşitli alanlarında kullanılmasına yönelik beklentiler.

İndirmek:

Önizleme:

Konuyla ilgili bir dersin geliştirilmesi: “Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Dersin metodolojik gerekçesi.

Konuyla ilgili bilgilerin sistemleştirilmesini özetlerken geometri dersinde fizik, astronomi, MHC, biyoloji bilgilerini kullanmak“Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Ders türü: Öğrencilerin bilgi, beceri ve yeteneklerini uygulamaya yönelik ders.

Ders hedefleri:

1. Eğitim: Düzenli çokyüzlüler ve bunların simetri elemanları hakkındaki bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi, simetrinin uzayda uygulanması.
2. Eğitici:

Edebi dili kullanarak düşüncelerini mantıksal olarak ifade etme yeteneğini geliştirmek;

Tartışma becerilerinin geliştirilmesi;

Dinleme becerisinin geliştirilmesi ve dinleme sırasında dikkatin dağıtılması;

Açıklayıcı sorular sorma yeteneğini geliştirmek;

Standart dışı durumlarda edinilen bilgilerin geliştirilmesi;

Ana şeyi vurgulama, karşılaştırma, genelleme yeteneğini geliştirin;

Soyut ve görsel-figüratif düşüncenin gelişimi.

1. Eğitsel: Konuya olan sevgiyi teşvik etmek, bilinçli disiplini teşvik etmek, kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirmek, bir takımdaki bilişsel aktiviteyi geliştirmek ve işbirliği becerilerini geliştirmek, disiplinler arası iletişim. Güzellik duygularını aşılamak, estetik eğitimi.

Öğrenmenin ilkeleri.

Didaktik:

1. Eğitimin sistematikliği ve tutarlılığı.
2. Erişilebilirlik (öğrenci bilgisine güvenme).
3. Eğitimin bireyselleştirilmesi (öğrencilerin materyali algılamasının psikolojik türleri dikkate alınarak, ödevler için didaktik materyalin farklılaştırılması).
4. İlmi.
5. Teori ve pratik arasındaki bağlantı.

Ders ekipmanı (öğretim yardımcıları).

1. Manyetik tahta.
2. Çokyüzlülerin modelleri, düzenli çokyüzlülerin modelleri. Masa.
3. BİT.
4. Görev kartları.
5. Öğrenci masasında: ders kitapları, defterler, kalemler ve kurşun kalemler, cetveller. Destekleyici notlar

Ders yapısı:

1. Organizasyon aşaması.
2. Ev ödevi kontrol aşaması.
3. Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.
4. Dersi özetlemek.
5. Öğrencilere ödev konusunda bilgi verme aşaması, ödevin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimatlar.

Bu dersteki öğrenme aktivitelerini izleme yöntemleri:

1. Sözlü ve yazılı.
2. Ön, grup, bireysel.
3. Son kontrol.

Dersin ilerleyişi.

1. Organizasyon aşaması.

Öğretmen ve öğrenciler arasında karşılıklı selamlaşma.

Dersin konusunun raporlanması, ders için çalışma planı, konuyla ilgili bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Bir hedef belirlemek.

1. Ev ödevi kontrol aşaması. Çokyüzlülerin boş modelleri.
2. Kapsamlı bilgi testi aşaması.

1. Karşılıklı doğrulama ile matematik diktesi (yazılı olarak ve kartlar öğretmene teslim edilir). Ek 1.
2. Ön anket:

1. Planimetride simetri.
2. Simetri türleri.
3. Simetrinin özelliği.
4. Kendilerine simetrik olan şekiller.

1. Ders planı.

Hedefler:

1. Simetri kavramına giriş ve çeşitleri, düzgün çokyüzlülerin simetri unsurları;
2. Çevremizdeki dünyadaki simetrinin tezahürlerini incelemek;
3. Simetrinin insan faaliyetinin çeşitli alanlarında kullanılmasına yönelik beklentiler.

1. Uzayda simetri. Tartışmalı öğretmenin hikayesi.
2. Doğada simetri. Öğrenci performansı. Öğrenci sorularına cevaplar.
3. Sanatta simetri: mimari, heykel, resim. Öğrenci performansı. Öğrenci sorularına cevaplar.
4. Düzenli çokyüzlüler. Hazır modellere dayalı öğrencinin hikayesi.

Sorular öğrencilere önceden verilmektedir.

Sorular ve ödevler.

Genel:

1. Çokyüzlü kavramı.
2. Piramit konsepti. Modeller yapın.
3. Prizma kavramı. Modeller yapın.

Bireysel:

1. Referans literatürden düzenli çokyüzlüler hakkında materyal seçimi yapın.
2. Mesajlar hazırlayın: “Uzayda simetri”, “Doğada simetri”, “Sanatta simetri”.
3. Düzenli çokyüzlülerin modellerini yapın.

Grup:

1. Simetrinin uzayda, doğada ve sanatta kullanımına örnekler verin.
2. Antik Yunan bilim adamı Platon hakkında bilgi hazırlayın.

1. Uzayda simetri.

“Simetri….insanoğlunun yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği açıklamaya ve yaratmaya çalıştığı bir fikirdir.” Bu sözler ünlü matematikçi Hermann Weyl'e aittir.

Planimetride şekillere bir noktaya ve bir çizgiye göre baktık. Stereometride bir noktaya, doğruya ve düzleme göre simetri dikkate alınır.

1. A ve A Noktaları 1 O, AA segmentinin ortası ise, O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik olarak adlandırılır. 1 . O noktasıÇizim.
2. A ve A Noktaları 1 düz çizgiye göre simetrik denir A (simetri ekseni), eğer düz bir çizgi AA segmentinin ortasından geçiyorsa 1 ve bu segmente dik. Her nokta düz A kendine simetrik kabul edilir.Çizim. Bir yaprak, bir kar tanesi, bir kelebek eksenel simetri örnekleridir. Ek 2.
3. Her gün her birimiz günde birkaç kez aynada yansımamızı görüyoruz. O kadar yaygın ki şaşırmıyoruz, soru sormuyoruz, keşif yapmıyoruz. Alman filozof Immanuel Kant aynadaki yansıma hakkında şu şekilde konuştu: “Elimin veya kulağımın aynadaki yansımasından daha benzer ne olabilir? Ama yine de aynada gördüğüm el kalıcı elin yerine konamıyor..."

Bu düzleme göre simetridir.

A ve A Noktaları 1 düzleme göre simetrik olarak adlandırılır(simetri düzlemi), eğer düzlemAA segmentinin ortasından geçer 1 ve bu segmente dik. Uçağın her noktasıkendine simetrik kabul edilir.Çizim.

1. Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramlarını tanıtalım.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir simetri merkezi (eksen, düzlem) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

1. Doğada simetri.

“Bir keresinde kara tahtanın önünde durup üzerine tebeşirle farklı şekiller çizerken birdenbire şu düşünce aklıma geldi: Simetri neden göze hoş geliyor? Simetri nedir? Bu doğuştan gelen bir duygu, diye cevapladım kendi kendime. Neye dayanıyor? Hayatta her şeyde simetri var mı?” - Nikolenka Irtenev, L. Tolstoy'un “Ergenlik”inden sorular sordu.

Simetri neden doğada hüküm sürüyor? Mikroorganizmalardan insanlara kadar yaşayan her şey neden simetriktir?

Doğada simetrinin hakimiyeti, Evrenin her yerine etki eden yerçekimi kuvvetiyle açıklanmaktadır. Yerçekiminin etkisi veya yokluğu, hem Evrende yüzen kozmik cisimlerin hem de suda asılı kalan mikroorganizmaların en yüksek simetri biçimine sahip olmasıyla açıklanır - küresel (şeklin merkezine göre herhangi bir dönüşle çakışır). Bağlı bir halde büyüyen (ağaçlar) veya okyanus tabanında yaşayan (deniz yıldızı) tüm organizmalar; Yerçekimi yönünün belirleyici olduğu organizmalar bir simetri eksenine sahiptir. Suda, havada veya karada hareket edebilen hayvanlar için yerçekimi yönünün yanı sıra hayvanın hareket yönü de önemlidir. Bu tür hayvanların bir simetri düzlemi vardır. Biyologlar bu düzlemi iki taraflı olarak adlandırır ve simetri türüne ayna denir.

Canlı doğadaki simetri örnekleri böcekler, yani dünyanın en güzel yaratıkları - ayna simetrisinin bir örneği olan kelebeklerdir. Ek 2.

Doğadaki kristallerin neredeyse tamamı simetriktir. Ek 3.

1. Sanatta simetri (mimari, heykel, resim, edebiyat , müzik, dans).

Çevresindeki dünyayı gözlemleyen insan, tarihsel olarak onu çeşitli sanat türlerinde az çok gerçekçi bir şekilde tasvir etmeye çalışmıştır, bu nedenle resim, heykel, mimari, edebiyat, müzik ve dansta simetriyi dikkate almak çok ilginçtir.

Zaten ilkel insanların mağara resimlerinde de resimdeki simetriyi görebiliyoruz. Antik çağda, çizim sanatının önemli bir kısmı, sanatçıların ayna simetrisinin özelliklerini kullandığı ikonlardı. Bugün onlara baktığınızda, azizlerin görüntülerindeki şaşırtıcı simetriden etkileniyorsunuz, ancak bazen ilginç bir şey olsa da - asimetrik görüntülerde, sanatçının dış faktörlerin etkisi altında saptığı bir norm olarak simetriyi hissediyoruz.

Binaların genel planlarında simetri unsurları görülmektedir. Ek 4. Heykel ve resim aynı zamanda estetik sorunları çözmek için simetri kullanımına ilişkin birçok çarpıcı örnek sunmaktadır. Örnekler arasında büyük Michelangelo'nun Giuliano de' Medici'nin mezarı, Kiev'deki Ayasofya Katedrali'nin apsis mozaiği yer alır; burada biri ekmekle, diğeri şarapla birliktelik sağlayan iki İsa figürü tasvir edilir.

Mesih figürünün ayna simetrik bölünmesi, Efkaristiya'nın en önemli iki anını aynı anda tasvir etmeyi mümkün kıldı: Mesih'in kanını simgeleyen şarapla birlik. İsa'nın aynaya bölünmesi, Son Akşam Yemeği ikonografisinin en sevilen tekniklerinden biriydi. Ek 5.

Resim ve mimarinin dışına itilen simetri, yavaş yavaş insanların hayatlarının yeni alanlarını - müzik ve dans - işgal etti. Böylece, 15. yüzyılın müziğinde yeni bir yön keşfedildi - bir süslemenin müzikal benzeri olan taklit polifoni; daha sonra fügler, karmaşık bir modelin ses versiyonları ortaya çıktı. Modern şarkı türünde koronun (şarkı metninin) ekseni boyunca en basit figüratif simetrinin bir örneği olduğuna inanıyorum. Sürekli tekrarlanan figür ve adımların kullanıldığı danslarda da simetriyi buluruz, resme bakarız. Ek 6.

Edebiyat da simetriyi göz ardı etmedi. Dolayısıyla edebiyattaki simetriye bir örnek palindromlar olabilir, bunlar metnin ters ve doğrudan harf dizileri çakışan kısımlarıdır. Örneğin, "Ve gül Azor'un pençesine düştü" (A. Fet), "Elimle nadiren sigara izmaritini tutarım." Palindromların özel bir durumu olarak, Rus dilinde pek çok kelimenin ters çevrildiğini biliyoruz: kok, topot, kazak ve daha birçokları. Bilmeceler - bulmacalar - genellikle bu tür kelimelerin kullanımına dayanır.

1. Düzenli çokyüzlüler.

Geometride, bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (ekseni) olabilir. Dışbükey bir çokyüzlü, tüm yüzleri eşit düzenli çokyüzlü ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli olarak adlandırılır. Düzenli çokyüzlünün bir örneği bir küptür.

Yüzleri düzenli altıgen, yedigen ve genel olarak düzgün bir çokyüzlünün olmadığını kanıtlayalım. 6.

Şu tarihte: 6 Her çokgenin açısı 120°'den büyük veya eşittir. Öte yandan, bir çokyüzlünün her köşesinde en az üç düzlem açısı bulunmalıdır. Ama 120

Aynı nedenle, düzgün bir çokyüzlünün her köşesi 3, 4, 5 düzgün üçgenin, 3 karenin veya 3 düzgün beşgenin tepe noktası olabilir. Bu, yalnızca 5 düzenli çokyüzlü olduğu anlamına gelir. Ek 7.

1. Bir tetrahedron bir tetrahedrondur.
2. Altı yüzlü bir altıgendir (küp).
3. Oktahedron bir oktahedrondur.
4. Icosahedron yirmi kenarlı bir yapıdır.
5. Dodecahedron bir dodecahedrondur.

Antik çağlardan beri düzenli çokyüzlüler bilim adamlarının, mimarların ve sanatçıların dikkatini çekmiştir.

Antik Yunan bilim adamı Platon, düzenli çokyüzlülerin özelliklerini ayrıntılı olarak anlattı. Bu yüzden onlara Platonik katılar denir. Öklid'in Elementleri'nin 13. Kitabı düzenli çokyüzlülere adanmıştır. Platon, ateş atomlarının dört yüzlü, dünyanın altı yüzlü, havanın oktahedron, suyun ikosahedron ve tüm evrenin on iki yüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu.

İspanyol ressam S. Dali'nin "Son Akşam Yemeği" tablosunun kahramanları, devasa bir on iki yüzlünün arka planında oturuyor. Ek 5. Sanatçı A. Duder “Melankoli” gravüründe dodecahedronun perspektif bir görüntüsünü vermiştir. Ek 8.

Rönesans döneminde melankolik mizaç yaratıcılıkla özdeşleştirildi. Dürer'in gravüründe Melankoli, mimari ve geometri nitelikleriyle çevrelenmiştir; bu nedenle matematikçiler bu grafik sanatı şaheserini bir matematikçinin yaratıcı ruhunun kişileşmiş hali olarak ve Melankoli'yi de güzellik dünyasında matematiğin bir temsilcisi olarak görmekten hoşlanırlar. .

1. Konsolidasyon ve genelleme aşaması.

Çokyüzlülerin modelleri önerilmektedir: 1) bir açıklama verin; 2) bu çokyüzlüler – Platonik katılar modellerinden birini seçin.

6. Çalışılan konuyla ilgili bilginin test edilmesi aşaması.

Pratik çalışmalar yapın. Grup çalışması. Ek 9.

7. Dersin sonuçlandırılması öğrencilerin kendileri tarafından yapılır.

Peki bugün ne öğrendik? Bugünkü konumuzdan neler hatırlıyorsunuz?

1. Uzayda simetri.
2. Doğada simetri.
3. Sanatta simetri: mimari, heykel, resim.
4. Düzenli çokyüzlüler.

8. Ders özeti.

Bir derse not verirken öğrenciler pratik çalışma formları verirler.

9. Ödev hakkında bilgi.

1) Çizim: Simetri eksenine (merkez) sahip geometrik şekiller, nesneler, canlılar.

2) Dersten iyi ve mükemmel notlar alan öğrenciler için bireysel yaratıcı görev. Konuyla ilgili bir makale yazın: "Gündelik yaşamda, teknolojide ve fizikte simetri."

10. Referans listesi.

1. Çocuk Ansiklopedisi, 3. baskı, "Pedagoji", M., 1973.
2. L. Tarasov, Bu şaşırtıcı derecede simetrik dünya, “Aydınlanma”, M., 1980.
3. I. F. Sharygin, L. N. Erganzhieva. Görsel geometri, "MIROS", 1995.
4. İnternet kaynakları.

Ek 1.

Matematiksel dikte.

1. Planimetriden ne tür simetrilere aşinasınız?
2. Simetrinin hangi özelliklerini biliyorsunuz?
3. Hangi çokgenlerde şunlar bulunur: 1) Simetri merkezi;

1. Simetri ekseni?

1. Hangi çokyüzlüler simetriye sahiptir? Liste.

....... yerine eksik kelimeleri doldurunuz.

5. ...... düzenli ...... olan bir çokyüzlüye düzenli denir.

6. Küp, ..... kareye sahip düzenli bir çokyüzlüdür.

7. Bir tetrahedron, yüzleri …… olan bir düzgün ……'dur.

Ek 2.

Doğada simetri.

Ek 3.

Kristaller.

Ek 4.

Sanatta simetri.

Bölüm 12.1'de, düzgün bir çokyüzlüyü, aynı türdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu bir çokyüzlü olarak tanımladık: yüzler, kenarlar, vb. Ancak düzenli çokyüzlüler, tüm çokyüzlülerin en simetrik olanı olarak tanımlanabilir. Bu şu anlama gelir. Düzenli bir çokyüzlüyü belirli bir A köşesi, ona uygun bir a kenarı ve bu kenara uygun bir yüz ve benzer herhangi bir küme alırsak, o zaman çokyüzlüde böyle bir kendi kendine hizalanma olur,

A köşesini A köşesine, a kenarını a kenarına, a yüzünü a yüzüne götürür.

Hadi kanıtlayalım. Düzgün çokyüzlülerin herhangi iki yüzü eşit olduğundan, birini diğerine dönüştürecek bir hareket vardır. Bu çokyüzlünün tüm dihedral açıları eşit olduğundan, yüzlerin birleştirilmesinin bir sonucu olarak, çokyüzlünün tamamı kendi kendine hizalanacak veya ikinci yüzün düzlemine göre orijinaline simetrik olan bir çokyüzlüye dönüşecektir. İkinci durumda, bu yüzün düzlemine göre simetri, normal çokyüzlünün kendi kendine hizalanma sürecini tamamlayacaktır.

Bunun tersi de doğrudur: Bu özelliğe sahip çokyüzlüler düzenli olacaktır çünkü tüm kenarları, tüm düzlem açıları ve tüm dihedral açıları eşit olacaktır.

Şimdi düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını ele alalım.

Küpün simetri elemanlarıyla başlayalım.

1. Simetrinin merkezi küpün merkezidir.

2. Simetri düzlemleri (Şekil 12.17): 1) merkezlerindeki kaburgalara dik olan üç simetri düzlemi; 2) Zıt kenarlardan geçen altı simetri düzlemi.

3. Simetri eksenleri: 1) karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen 4. dereceden üç simetri ekseni (Şekil 12.18a); 2) zıt kenarların ortasından geçen 2. dereceden altı dönme simetrisi ekseni (Şekil 12.186); 4) küpün dört köşegeni, küpü kendi kendine hizalayan altıncı dereceden ayna dönüşünün eksenleridir (Şekil 12.18c).

Bu, küpün simetrisinin en ilginç ve hemen göze çarpmayan unsurudur. Bir küpün merkezinden köşegenine dik olarak geçen bir düzlemin kesiti düzgün bir altıgeni temsil eder; Küp bir köşegen etrafında 60° açıyla döndürüldüğünde altıgen kendi üzerine yansıtılır, ancak küpün bir bütün olarak yine de altıgen düzleminde yansıtılması gerekir.

Oktahedron küp ile çifttir ve bu nedenle aynı simetri elemanlarına sahiptir; ancak küp için yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen simetri düzlemleri ve eksenler oktahedron için ters yönde geçer: içinden yüzlerin ve köşelerin merkezleri (Şekil 12.19). Yani, 6.nın ayna ekseni

düzen oktahedronun zıt yüzlerinin merkezlerinden geçer.

Düzenli bir tetrahedronun simetri elemanlarına dönelim.

1. Her biri bir kenardan ve karşı kenarın ortasından geçen altı simetri düzlemi (Şekil 12.20a).

2. Karşılarındaki yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen 3. dereceden dört eksen; tetrahedronun yükseklikleri boyunca (Şekil 12.20b).

3. Karşılıklı kaburgaların ortasından geçen, 4. dereceden ayna dönüşünün üç ekseni (Şekil 12.20c).

Tetrahedronun simetri merkezi yoktur.

Bir küpün içine iki normal tetrahedron sığdırabilirsiniz (Şekil 12.16). Küp kendi kendine hizalamalarda, bu tetrahedralar ya kendi kendine hizalanır ya da birbirleriyle eşleştirilir. Tetrahedronların küpün hangi kendi kendine hizalanmalarında kendi kendine hizalandıklarını ve hangilerinde birbirleriyle eşleştiklerini öğrenin.

İlk durumun tetrahedronun tüm kendi kendine hizalanmalarını ürettiğinden emin olun; böylece küp simetri grubu, küp simetri grubunu bir alt grup olarak içerir. (Madde 28.4'e bakınız).

Oniki yüzlü ve ikosahedron'un simetri grupları aynıdır çünkü bu düzenli çokyüzlüler ikilitir

birbirlerine. Bir simetri merkezine, simetri düzlemlerine, dönme simetrisi eksenlerine ve ayna dönme simetrisi eksenlerine sahiptirler. Bu simetri elemanlarının sonuncusu bulunması en zor olanıdır. Bunları nasıl inşa edeceğinizi size göstereceğiz.

İkosahedrondaki (ve ayrıca küpteki) ayna dönme simetrisinin eksenleri, bu çokyüzlünün zıt köşelerini birbirine bağlar (Şekil 12.21) ve dodekahedronda (oktahedronda olduğu gibi) bu eksenler, paralel yüzlerinin merkezlerinden geçer. (Şekil 12.22). Düzenli çokyüzlülerin simetri merkezlerinden geçen ve belirtilen eksenlere dik olan düzlemler, normal çokyüzlüler boyunca düzenli çokyüzlülerle kesişir (Şekil 12.23).

Özellikle oniki yüzlü ve ikosahedronu düzenli ongenler boyunca keserler (Şekil 12.23 d,e). Yukarıdan, ikosahedron ve dodekahedron'un altıncı ve onuncu derecelerin eksenlerine göre ayna dönüşleri ile kendi kendine hizalandığı anlaşılmaktadır.

İkosahedron ve dodekahedronun daha basit simetri unsurlarını - simetri düzlemleri ve dönme simetrisi eksenini - kendi başınıza bulun.

Çalışmanın Amacı 1. Öğrencilere uzayda simetriyi tanıtmak. 2. Öğrencileri yeni bir dışbükey çokyüzlü türü olan düzenli çokyüzlülerle tanıştırın. 3. Felsefi teorilerin ve fantastik hipotezlerin ortaya çıkışında düzenli çokyüzlülerin etkisini gösterin. 4. Geometri ve doğa arasındaki bağlantıyı gösterin. 5. Öğrencilere düzenli çokyüzlülerin simetrisini tanıtın.

Tahmin edilen sonuç 1. Bir noktaya, doğruya, düzleme göre simetrik noktalar kavramını bilin; Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramları. 2.Düzgün dışbükey çokyüzlülerin tanımını bilir. 3. Bu tür cisimlerin yalnızca beş tipinin olduğunu kanıtlayabileceksiniz. 4. Düzenli çokyüzlülerin her tipini karakterize edebilecektir. 5. Düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını karakterize edebilecektir. 6. Düzgün çokyüzlülerin elemanlarını bulma problemlerini çözebilecektir.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir merkezi (eksen, simetri düzlemi) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Şekil 4,5,6 dikdörtgen bir paralelyüzlü O merkezini, a eksenini ve a simetri düzlemini göstermektedir. Dikdörtgen olmayan ancak düz bir prizma olan paralel yüzlü bir düzlem (veya tabanı eşkenar dörtgen ise düzlemler), bir eksen ve bir simetri merkezine sahiptir.

Bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (eksenleri, simetri düzlemleri) olabilir. Örneğin, bir küpün yalnızca bir simetri merkezi ve birkaç simetri ekseni ve düzlemi vardır. Sonsuz sayıda merkeze, eksene veya simetri düzlemine sahip şekiller vardır. Bu şekillerin en basitleri düz çizgi ve düzlemdir. Düzlemdeki herhangi bir nokta simetri merkezidir. Belirli bir düzleme dik olan herhangi bir düz çizgi (düzlem), onun simetri eksenidir (düzlemi). Öte yandan merkezleri, eksenleri veya simetri düzlemleri olmayan şekiller de vardır. Örneğin, düz bir prizma olmayan paralel uçlu bir simetri eksenine sahip değildir, ancak bir simetri merkezine sahiptir.

Doğada, mimaride, teknolojide ve günlük yaşamda simetriye sıklıkla rastlıyoruz. Bu nedenle, birçok bina, örneğin Moskova Devlet Üniversitesi'nin ana binası gibi, düzleme göre simetriktir. Dişliler gibi mekanizmaların birçok parçası simetriktir. Doğada bulunan hemen hemen tüm kristallerin bir merkezi, ekseni veya simetri düzlemi vardır (Şekil 7).

Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir.

Yüzleri düzgün altıgen, yedigen ve genel olarak n 6 için n-gon olan düzgün bir çokgenin olmadığını kanıtlayalım. Düzgün bir çokgenin açısı α n = (180°(n-2) formülüyle hesaplanır. ) : N. Çokyüzlünün her bir köşesinde en az üç düzlem açısı vardır ve bunların toplamı 360°'den az olmalıdır. n=3 olduğunda, çokyüzlünün yüzleri, açısı 60°'ye eşit olan düzgün üçgenlerdir. 60° 3 = 180°

Eğer n = 4 ise α = 90° ise çokyüzlünün yüzleri karedir. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° ve dolayısıyla, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzenli bir çokyüzlü yoktur. Eğer n = 4 ise, o zaman α = 90° ise, çokyüzlü - kareler. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° olur ve bu nedenle, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzgün bir çokyüzlü yoktur.

“Platon'un felsefi dünya resminde düzenli çokyüzlüler” Düzenli çokyüzlülere bazen Platonik katılar da denir, çünkü Antik Yunan'ın büyük düşünürü Platon (M.Ö. 428 - 348) tarafından geliştirilen dünyanın felsefi resminde önemli bir yer tutarlar. ). Platon, dünyanın dört "elementten" (ateş, toprak, hava ve su) inşa edildiğine ve bu "elementlerin" atomlarının dört düzenli çokyüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu. Tetrahedron, tepe noktası yanan bir alev gibi yukarıya doğru baktığı için ateşi temsil ediyordu; ikosahedron - en akıcı su olarak; küp, figürlerin en kararlı olanıdır - dünya ve oktahedron havadır. Günümüzde bu sistem maddenin dört hali ile karşılaştırılabilir: katı, sıvı, gaz ve alev. Beşinci çokyüzlü, dodekahedron, tüm dünyayı simgeliyordu ve en önemlisi olarak kabul ediliyordu. Bu, sistematikleştirme fikrini bilime tanıtmaya yönelik ilk girişimlerden biriydi.

Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar, güneş sistemindeki gezegenlerin - hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimcilerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o dönemde keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir. Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar, güneş sistemindeki gezegenlerin - hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimcilerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o zamana kadar keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir.

Mars'ın yörüngesinin küresinin yakınında tanımlanan tetrahedron da buna uyuyor. On iki yüzlü, Dünya'nın yörüngesinin küresinin uyduğu Mars'ın yörüngesinin küresine uyar. Ve içine Venüs'ün yörüngesinin küresinin yazıldığı ikosahedronun yakınında anlatılıyor. Bu gezegenin küresi, içine Merkür küresinin sığdığı oktahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Güneş sisteminin bu modeline Kepler'in "Kozmik Kupası" adı verildi. Bilim adamı hesaplamalarının sonuçlarını “Evrenin Gizemi” kitabında yayınladı. Evrenin sırrının açığa çıktığına inanıyordu. Yıllar geçtikçe gözlemlerini geliştirdi, meslektaşlarının verilerini tekrar kontrol etti ama sonunda bu cezbedici hipotezi terk edecek gücü buldu. Ancak bunun izleri, Güneş'ten ortalama uzaklığın küplerinden bahseden Kepler'in üçüncü yasasında görülebilir. Bugün gezegenler arasındaki mesafelerin ve bunların sayısının hiçbir şekilde çokyüzlülerle ilişkili olmadığını güvenle söyleyebiliriz. Elbette güneş sisteminin yapısı rastgele değildir, ancak neden bu şekilde yapılandırıldığının ve başka şekilde yapılandırılmadığının gerçek nedenleri hala bilinmemektedir. Kepler'in fikirlerinin hatalı olduğu ortaya çıktı, ancak hipotezler olmadan, bazen en beklenmedik, görünüşte çılgınca olanlar olmadan bilim var olamaz.

Platon ve Kepler'in düzenli çokyüzlülerin çağımızdaki dünyanın uyumlu yapısıyla bağlantısı hakkındaki fikirleri, 80'li yılların başında ortaya çıkan ilginç bir bilimsel hipotezle devam ettirildi. Moskova mühendisleri V. Makarov ve V. Morozov tarafından ifade edildi. Dünyanın çekirdeğinin, gezegende meydana gelen tüm doğal süreçlerin gelişimini etkileyen, büyüyen bir kristalin şekline ve özelliklerine sahip olduğuna inanıyorlar. Bu kristalin ışınları veya daha doğrusu kuvvet alanı, Dünya'nın on iki yüzlü yapısı olan ikosahedron'u belirler. (Şekil 8) Yer kabuğunda, kürenin içine kazınmış düzenli çokyüzlülerin çıkıntılarının ortaya çıkmasıyla kendini gösterir: ikosahedron ve dodekahedron. Birçok maden yatağı on iki yüzlü bir ağ olan ikosahedron boyunca uzanır; Yazarlar tarafından düğümler olarak adlandırılan çokyüzlülerin kenarlarının 62 köşesi ve orta noktaları, bazı anlaşılmaz olayları açıklamayı mümkün kılan bir dizi spesifik özelliğe sahiptir. İşte eski kültür ve medeniyetlerin merkezleri: Peru, Kuzey Moğolistan, Haiti, Ob kültürü ve diğerleri. Bu noktalarda maksimum ve minimum atmosfer basıncı ile Dünya Okyanusu'nun dev girdapları gözlemlenmektedir. Bu düğümler Loch Ness ve Bermuda Şeytan Üçgeni'ni içerir.

Şimdi bilimsel hipotezlerden bilimsel gerçeklere geçelim. Düzenli çokyüzlü Tepe Noktası Yüz Sayısı Kenarlar Dörtyüzlü 446 Küp 6812 Oktahedron 8612 Onikiyüzlü İkosahedron

Yüz ve Köşe Sayısı (g+c) Kenarlar Tetrahedron = 8 6 Küp = Oktahedron = Dodecahedron = Icosahedron = 32 30

Г + В = Р + 2 Bu formül 1640 yılında Descartes tarafından fark edilmiş ve daha sonra Euler (1752) tarafından yeniden keşfedilmiş olup o zamandan bu yana adını almıştır. Euler'in formülü herhangi bir dışbükey çokyüzlü için doğrudur. Heykeltıraşlar, mimarlar ve sanatçılar da düzenli çokyüzlü formlara büyük ilgi gösterdiler. Hepsi çokyüzlülerin mükemmelliği ve uyumu karşısında hayrete düşmüşlerdi. Leonardo da Vinci () çokyüzlüler teorisine düşkündü ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir ediyordu. Salvador Dali, “Son Akşam Yemeği” adlı tablosunda I. İsa'yı öğrencileriyle birlikte devasa şeffaf bir onikiyüzlü fonunda tasvir etti.
42

Canlı doğada düzenli çokyüzlüler bulunur. Örneğin tek hücreli Feodaria organizmasının iskeleti ikosahedron şeklindedir. Feodaria'nın bu doğal geometrisine ne sebep oldu? Görünen o ki, tüm çokyüzlüler aynı sayıda yüze sahip olduğundan, en büyük hacme ve en küçük yüzey alanına sahip olan ikosahedrondur. Bu özellik, deniz organizmasının su sütununun basıncının üstesinden gelmesine yardımcı olur.

Düzenli çokyüzlüler en avantajlı figürlerdir. Ve doğa bundan geniş ölçüde yararlanıyor. Bu, bazı kristallerin şekliyle doğrulanır. Örneğin onsuz yapamayacağımız sofra tuzunu ele alalım. Suda çözünebildiği ve elektrik akımının iletkeni olarak görev yaptığı bilinmektedir. Sofra tuzu kristalleri ise küp şeklindedir. Alüminyum üretiminde, tek kristali düzenli bir oktahedron şeklinde olan alüminyum-potasyum kuvars kullanılır. Sülfürik asit, demir ve özel tip çimento üretimi sülfürlü piritler olmadan yapılamaz. Bu kimyasalın kristalleri on iki yüzlüdür. Bilim adamlarının sentezlediği bir madde olan antimon sodyum sülfat, çeşitli kimyasal reaksiyonlarda kullanılmaktadır. Sodyum antimon sülfat kristali bir tetrahedron şekline sahiptir. İkosahedron bor kristallerinin şeklini taşır. Bir zamanlar birinci nesil yarı iletkenleri oluşturmak için bor kullanıldı.

Test 1. Listelenen geometrik cisimlerden hangisi düzenli bir çokyüzlü değildir? a) düzenli tetrahedron; b) düzenli altı yüzlü; c) doğru prizma; d) düzenli on iki yüzlü; e) düzenli oktahedron. 2. Doğru ifadeyi seçin: a) yüzleri düzgün altıgen olan düzgün bir çokyüzlüye düzgün altı yüzlü denir;

B) düzgün bir on iki yüzlünün tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 324°'dir; c) küpün iki simetri merkezi vardır - her bir tabanda bir tane; d) normal bir tetrahedron 8 normal üçgenden oluşur; e) Toplamda 6 tür düzenli çokyüzlü vardır. 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? a) düzgün bir tetrahedronun ve düzgün bir oktahedronun dihedral açılarının toplamı 180°'dir; b) küpün yüzlerinin merkezleri normal bir oktahedronun köşeleridir;

C) düzenli bir dodekahedron 12 düzenli beşgenden oluşur; d) düzenli bir ikosahedronun her bir köşesindeki düzlem açılarının toplamı 270°'dir; e) bir küp ve bir düzgün altı yüzlü bir ve aynıdır. Özetleyelim. - Bugün hangi yeni geometrik cisimlerle tanıştık? - L. Carroll neden bu çokyüzlülerin önemini bu kadar çok takdir etti? -Ödev: paragraf 35, paragraf 36, s (sözlü olarak)

§ 1 Düzenli çokyüzlü

Bu dersimizde düzenli çokyüzlülere, yani bu tür şekillerin simetrisine bakacağız. Yaratıcılığında kimin normal çokyüzlülerin uyumuna ve güzelliğine yöneldiği hakkında konuşalım.

Düzenli çokyüzlünün tanımını hatırlayalım ve hangi düzenli çokyüzlülerin var olduğunu ve geometride incelendiğini hatırlayalım.

Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Yalnızca beş düzgün çokyüzlü vardır: tetrahedron, hexahedron, oktahedron, dodecahedron, icosahedron.

Uzayda ne tür simetrilerden bahsettiğimizi de hatırlayalım - bunlar merkezi simetri (bir noktaya göre), eksenel simetri (düz bir çizgiye göre) ve bir düzleme göre simetridir.

§ 2 Düzenli bir tetrahedronun simetri unsurları

Düzgün bir tetrahedronun simetri elemanlarını ele alalım. Simetri merkezi yoktur. Ancak karşılıklı iki kenarın ortasından geçen düz çizgi simetri eksenidir.

ABCD düzgün dörtyüzlüsünün AB kenarından karşı CD kenarına dik olarak geçen düzlem bir simetri düzlemidir. Bakın, düzenli bir tetrahedronun üç simetri ekseni ve altı simetri düzlemi vardır.

§ 3 Küpün simetri unsurları

Küpün bir simetri merkezi vardır; köşegenlerinin kesişme noktası. Sırasıyla karşıt yüzlerin merkezlerinden ve aynı yüze ait olmayan iki karşıt kenarın orta noktalarından geçen düz çizgiler a ve b, simetri eksenleridir. Küpün dokuz simetri ekseni vardır. Lütfen tüm simetri eksenlerinin simetri merkezinden geçtiğini unutmayın. Bir küpün simetri düzlemi herhangi iki simetri ekseninden geçen düzlemdir. Küpün dokuz simetri düzlemi vardır. Geriye kalan üç normal çokyüzlü de bir simetri merkezine ve çeşitli eksenlere ve simetri düzlemlerine sahiptir. Sayılarını saymaya çalışın.

§ 4 Sanatta Polyhedra

Çokyüzlülerin incelenmesi birçok yaratıcı insanı büyüledi. Ünlü sanatçı Albrecht Dürer, ünlü “Melankoli” gravüründe ön planda bir dodecahedronu tasvir etti. İşte sanatçı Salvador Dali'nin "Son Akşam Yemeği" tablosunun bir görüntüsü. Bu, sanatçının Leonardo da Vinci ile rekabet etmeye karar verdiği devasa bir tuval. Resmin ön planında gösterilenlere dikkat edin. Mesih ve öğrencileri, devasa şeffaf bir on iki yüzlünün arka planında tasvir edilmiştir. 1989 yılında Leeuwarden'de doğan Hollandalı sanatçı Moritz Cornelis Escher, çok çeşitli matematiksel fikirleri kullanan veya tasvir eden benzersiz ve büyüleyici çalışmalar yarattı. Düzenli geometrik cisimler - çokyüzlüler - Escher için özel bir çekiciliğe sahipti. Pek çok eserinde çokyüzlüler ana figürdür ve hatta daha fazla eserde yardımcı unsur olarak karşımıza çıkarlar. "Dört Beden" adlı gravürde Escher, aynı simetri ekseni üzerinde bulunan ana normal çokyüzlülerin kesişimini tasvir etmiştir; ayrıca çokyüzlüler yarı saydam görünür ve geri kalanı herhangi birinden görülebilir. 20. yüzyılın başında, Fransa'da güzel sanatlarda, özellikle de resimde modernist bir hareket ortaya çıktı - belirgin bir şekilde geometrikleştirilmiş geleneksel formların kullanımıyla karakterize edilen kübizm, gerçek nesneleri stereometrik ilkellere "bölme" arzusu. En ünlü kübist eserler Picasso'nun "Les Demoiselles d'Avignon" ve "Gitar" resimleriydi.

§ 5 Doğada çokyüzlüler

Doğa da aynı derecede şaşırtıcı yaratımlar yaratır. Sofra tuzu küp şeklindeki kristallerden oluşur. Tek hücreli organizma Feodaria'nın iskeleti bir ikosahedrondur. Mineral silvit ayrıca küp şeklinde bir kristal kafeye sahiptir. Pirit kristalleri dodekahedron şeklindedir. Su molekülleri tetrahedron şeklindedir.

Mineral silvit ayrıca küp şeklinde bir kristal kafese sahiptir. Pirit kristalleri dodekahedron şeklindedir. Su molekülleri tetrahedron şeklindedir. Mineral kuprit oktahedron şeklinde kristaller oluşturur. Yalnızca nükleik asit ve proteinden oluşan virüsler, ikosahedron şekline sahiptir. Tüm bunlara her yerde hayran kalabiliriz.

Ve bir kez daha Alman matematikçi, astronom, tamirci, gözlükçü ve astrolog, gezegenlerin hareket yasalarının kaşifi Johannes Kepler'in şu sözlerine dönmek istiyorum: “Matematik dünyanın güzelliğinin prototipidir.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Geometri. 10 – 11. sınıflar: genel eğitim için ders kitabı. kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ve diğerleri]. – 22. baskı. – M.: Eğitim, 2013. – 255 s. : hasta. – (MSU - okulda)
2. Okul öğretmenlerine yardımcı olacak eğitimsel ve metodolojik el kitabı. Yarovenko V.A. tarafından derlenmiştir. L. S. Atanasyan ve arkadaşlarının (M.: Prosveshcheniye) 10. sınıf eğitim seti için geometri dersi gelişmeleri.
3. Rabinovich E. M. Hazır çizimlerle ilgili görevler ve alıştırmalar. 10 – 11 sınıflar. Geometri. – M.: Ilexa, 2006. – 80 sn.
4. M. Ya Vygodsky İlköğretim matematik el kitabı M.: AST Astrel, 2006. - 509 s.
5. Avanta+. Çocuklar için ansiklopedi. Cilt 11. Matematik 2. baskı, gözden geçirilmiş - M.: World of Avanta+ ansiklopedileri: Astrel 2007. - 621 s. Ed. yönetim kurulu: M. Aksyonova, V. Volodin, M. Samsonov.

Kullanılan görseller: