Uzayın simetrisi. Fizikte simetri

Slayt 6

Merkezi simetri, uzayın kendi üzerine haritalanmasıdır; burada herhangi bir M noktası, belirli bir O merkezine göre kendisine simetrik olan bir M1 noktasına gider.

Slayt 7

Slayt 8

Slayt 9

Merkezi simetriye sahip şekiller

Slayt 10

Sanat. Sokol metro istasyonu

Slayt 11

Sanat. Rimskaya metro istasyonu

Slayt 12

Pavyon Kültürü, Tüm Rusya Sergi Merkezi

Slayt 13

.HAKKINDA

Slayt 14

Eksenel simetri

Slayt 15

A ekseni ile eksenel simetri, herhangi bir M noktasının a eksenine göre simetrik bir M1 noktasına gittiği uzayın kendi üzerine eşlenmesidir. Eksenel simetri harekettir. a Eksenel simetri M M1

Slayt 16

Х y Z О M(x;y;z) M1(x1;y1;z1) Eksenel simetrinin bir hareket olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, Oz ekseni simetri ekseniyle çakışacak şekilde Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini tanıtıyoruz ve iki M(x;y;z) ve M1(x1;y1 ;z1) noktasının koordinatları arasında bir bağlantı kuruyoruz. Oz eksenine göre simetrik. M noktası Oz ekseninde yer almıyorsa, Oz ekseni: 1) MM1 segmentinin ortasından geçer ve 2) ona diktir. İlk koşuldan, parçanın ortasının koordinat formüllerini kullanarak (x+x1)/2=0 ve (y+y1)/2=0 elde ederiz, dolayısıyla x1=-x ve y1=-z . İkinci koşul, M ve M1 noktalarının uygulamalarının eşit olduğu anlamına gelir: z1=z. Kanıt

Slayt 17

Kanıt

Şimdi herhangi iki A(x1;y1;z1) ve B(x2;y2;z2) noktasını ele alalım ve onlara simetrik olan A1 ve B1 noktaları arasındaki mesafenin AB'ye eşit olduğunu kanıtlayalım. A1 ve B1 noktaları A1(-x1;-y1;-z1) ve B1(-x1;-y1;-z1) koordinatlarına sahiptir. İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak şunu buluruz: AB=\/(x2-x1) ²+(y2 -y1)²+(z2-z1), A1B1=\/(-x2+x1)²+(-y2+y1)²+(-z2+z1). Bu ilişkilerden, kanıtlanması gereken AB = A1B1 olduğu açıktır.

Slayt 18

Başvuru

Eksenel simetri çok yaygındır. Hem doğada görülebilir: bitkilerin veya çiçeklerin yapraklarında, hayvanların, böceklerin ve hatta insanların vücudunda, hem de insanın yaratılışında: binalar, arabalar, ekipmanlar ve çok daha fazlası.

Slayt 19

Slayt 20

Eksenel simetrinin hayatta uygulanması

Mimari yapılar

Slayt 21

Kar taneleri ve insan vücudu

Slayt 22

Eyfel Kulesi baykuş

Slayt 23

Elime ya da kulağıma onların aynadaki yansımasından daha çok benzeyen ne olabilir? Ama yine de aynada gördüğüm el, gerçek elin yerini tutamaz. Emmanuel Kant Ayna simetrisi.

Slayt 24

Noktalarının her birinin belirli bir düzleme göre kendisine simetrik olan bir noktaya karşılık geldiği hacimsel bir şeklin gösterimine hacimsel bir şeklin bu düzlemdeki yansıması (veya ayna simetrisi) denir.

Slayt 25

Teorem 1. Bir düzlemdeki yansıma mesafeleri korur ve bu nedenle bir harekettir. Teorem 2. Belirli bir düzlemdeki tüm noktaların hareketsiz olduğu bir hareket, bu düzlemdeki bir yansımadır veya bir ayna simetrisi, birinin belirtilmesiyle tanımlanır. simetri düzleminde yer almayan karşılık gelen nokta çifti: simetri düzlemi, bu noktaları kendisine dik olarak bağlayan parçanın ortasından geçer.

Slayt 26

Ayna simetrisinin hareket olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, Oxy düzleminin simetri düzlemiyle çakışmasını sağlayacak şekilde Oxyz dikdörtgen koordinat sistemini tanıtıyoruz ve iki M(x; y; z) noktasının koordinatları arasında bir bağlantı kuruyoruz. ve M1(x1; y1; z1), Oksi düzlemine göre simetriktir.

Slayt 27

M noktası Oksi düzleminde değilse, bu düzlem: 1) MM1 segmentinin ortasından geçer ve 2) ona diktir. İlk koşuldan, parçanın ortasının koordinatları formülünü kullanarak (z+z1)/2=0 elde ederiz, dolayısıyla z1=-z. İkinci koşul, MM1 segmentinin Oz eksenine paralel olduğu anlamına gelir ve. dolayısıyla x1=x, y1=y. M, Oksi düzleminde yer alır. Şimdi iki A (x1;y1;z1) ve B (x2;y2;z2) noktasını ele alalım ve bunların simetrik noktaları A1(x1;y1;-z1) ve B (x2;y2;-z2) arasındaki uzaklığın olduğunu kanıtlayalım. ). İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak şunu buluruz: AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2'nin karekökü, A1B1=(x2-x1)2+'nin karekökü (y2-y1 )2+(-z2-z1)2. Bu ilişkilerden neyin kanıtlanması gerektiği açıktır.

Slayt 28

Uzayın bir düzlemine (ayna simetrisi) göre simetri, harekettir, yani hareketin tüm özelliklerine sahiptir: düz bir çizgiyi düz bir çizgiye, bir düzlemi bir düzleme dönüştürür. Ayrıca bu, uzayın tersiyle örtüşen bir dönüşümüdür: Aynı düzleme göre iki simetrinin bileşimi özdeş bir dönüşümdür. Bir düzleme göre simetride, bu düzlemin tüm noktaları ve yalnızca onlar yerinde kalır (sabit dönüşüm noktaları). Simetri düzleminde uzanan ve ona dik olan düz çizgiler kendilerine dönüşür. Simetri düzlemine dik olan düzlemler de kendilerine dönüşür. Bir düzleme göre simetri ikinci türden bir harekettir (tetrahedronun yönünü değiştirir).

Slayt 29

Top, merkezinden geçen herhangi bir eksene göre simetriktir.

Slayt 30

Dik dairesel bir silindir, ekseninden geçen herhangi bir düzleme göre simetriktir.

Slayt 31

Çift n için düzenli bir n-gonal piramit, yüksekliğinden ve tabanın en büyük köşegeninden geçen herhangi bir düzleme göre simetriktir.

Slayt 32

Genellikle aynada görülen çiftin, nesnenin tam bir kopyası olduğuna inanılır. Gerçekte bu tamamen doğru değildir. Ayna sadece nesneyi kopyalamaz, aynı zamanda nesnenin ön ve arka kısımlarını aynaya göre değiştirir (yeniden düzenler). Nesnenin kendisiyle karşılaştırıldığında, ayna ikilisi, ayna düzlemine dik yönde "tersine çevrilmiş" görünmektedir. Bu etki bir resimde açıkça görülebilirken diğerinde neredeyse görünmez.

Slayt 33

Nesnenin bir yarısının diğer yarısına göre ayna ikizi olduğunu varsayalım. Böyle bir nesneye ayna simetrik denir. Karşılık gelen ayna düzleminde yansıtıldığında kendine dönüşür. Bu düzleme simetri düzlemi denir.

Yüzyıllar boyunca simetri, filozofların, astronomların, matematikçilerin, sanatçıların, mimarların ve fizikçilerin ilgisini çeken bir konu olarak kaldı. Antik Yunanlılar bu konuya tamamen takıntılıydı ve bugün bile mobilya düzenlemesinden saç kesimine kadar her şeyde simetriyle karşılaşma eğilimindeyiz.

Bunu bir kez anladığınızda, muhtemelen gördüğünüz her şeyde simetri aramak için karşı konulmaz bir istek hissedeceğinizi unutmayın.

(Toplam 10 fotoğraf)

Gönderi sponsoru: VKontakte'de müzik indirme programı: “İletişimde Yakala” programının yeni sürümü, kullanıcılar tarafından en ünlü sosyal ağ vkontakte.ru sayfalarından gönderilen müzik ve videoları kolay ve hızlı bir şekilde indirme olanağı sağlar.

1. Brokoli Romanesco

Belki mağazada Romanesco brokoli gördünüz ve bunun genetiği değiştirilmiş ürünün bir başka örneği olduğunu düşündünüz. Ama aslında bu, doğanın fraktal simetrisinin bir başka örneğidir. Her brokoli çiçeği logaritmik bir spiral desene sahiptir. Romanesco, görünüm olarak brokoli'ye, tat ve kıvam olarak ise karnabahara benzer. Karotenoidlerin yanı sıra C ve K vitaminleri açısından da zengindir, bu da onu sadece güzel değil aynı zamanda sağlıklı bir besin haline getirir.

Binlerce yıldır insanlar, peteklerin mükemmel altıgen şekline hayran kalmış ve arıların, insanların yalnızca bir pusula ve cetvelle üretebilecekleri bir şekli içgüdüsel olarak nasıl yaratabildiklerini kendilerine sormuşlardır. Arıların altıgen yaratma tutkusu nasıl ve neden vardır? Matematikçiler bunun, minimum miktarda balmumu kullanarak mümkün olan maksimum miktarda bal depolamalarına olanak tanıyan ideal bir şekil olduğuna inanıyor. Her iki durumda da, bunların hepsi doğanın bir ürünü ve son derece etkileyici.

3. Ayçiçekleri

Ayçiçekleri radyal simetriye ve Fibonacci dizisi olarak bilinen ilginç bir simetri türüne sahiptir. Fibonacci dizisi: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, vb. (her sayı önceki iki sayının toplamı ile belirlenir). Acele edip bir ayçiçeğindeki tohum sayısını sayarsak, spiral sayısının Fibonacci dizisinin prensiplerine göre arttığını görürüz. Doğada yaprakları, tohumları ve yaprakları bu diziye karşılık gelen pek çok bitki (Romanesco brokoli dahil) vardır, bu nedenle dört yapraklı bir yonca bulmak bu kadar zordur.

Peki ayçiçeği ve diğer bitkiler neden matematik kurallarına uyuyor? Bir kovandaki altıgenler gibi, her şey bir verimlilik meselesidir.

4. Nautilus Kabuğu

Bitkilere ek olarak Nautilus gibi bazı hayvanlar da Fibonacci dizisini takip eder. Nautilus'un kabuğu bir Fibonacci spiraline dönüşüyor. Kabuk, aynı orantılı şekli korumaya çalışır ve bu da onu yaşamı boyunca sürdürmesine olanak tanır (yaşam boyunca orantıları değiştiren insanlardan farklı olarak). Tüm Nautilus'ların Fibonacci kabuğu yoktur, ancak hepsi logaritmik bir spiral izler.

Matematik istiridyelerini kıskanmadan önce, onların bunu bilerek yapmadıklarını, sadece bu formun onlar için en akılcı form olduğunu unutmayın.

5. Hayvanlar

Çoğu hayvanın iki taraflı simetrisi vardır, bu da onların iki özdeş yarıya bölünebileceği anlamına gelir. İnsanlarda bile iki taraflı simetri vardır ve bazı bilim adamları, kişinin simetrisinin güzellik algımızı etkileyen en önemli faktör olduğuna inanmaktadır. Başka bir deyişle, eğer tek taraflı bir yüzünüz varsa, bunun yalnızca diğer iyi niteliklerle telafi edilmesini umabilirsiniz.

Bazıları, örneğin tavus kuşu gibi, eşini etkileme çabasıyla simetriyi tamamlamaya çalışır. Darwin kuştan oldukça rahatsız olmuş ve bir mektubunda şöyle yazmıştı: "Tavus kuşunun kuyruk tüylerine ne zaman baksam midem bulanıyor!" Darwin'e göre kuyruk hantal görünüyordu ve "en güçlü olanın hayatta kalması" teorisine uymadığı için evrimsel bir anlam ifade etmiyordu. Hayvanların çiftleşme şanslarını artırmak için belirli özellikleri geliştirdiğini belirten cinsel seçilim teorisini ortaya atana kadar çok öfkeliydi. Bu nedenle tavus kuşlarının bir partneri etkilemek için çeşitli uyarlamaları vardır.

Yaklaşık 5.000 örümcek türü vardır ve bunların hepsi, neredeyse eşit mesafelerde radyal destek iplikleri ve avı yakalamak için spiral ağlar ile neredeyse mükemmel bir dairesel ağ oluşturur. Bilim adamları örümceklerin geometriyi neden bu kadar sevdiklerinden emin değiller çünkü testler yuvarlak bir ağın yiyecekleri düzensiz şekilli bir ağdan daha iyi çekmeyeceğini gösterdi. Bilim insanları, av ağa yakalandığında radyal simetrinin darbe kuvvetini eşit şekilde dağıttığını ve bunun da daha az kopmaya neden olduğunu öne sürüyor.

Birkaç düzenbaza bir tahta, çim biçme makinesi ve karanlığın güvenliğini verin; insanların da simetrik şekiller yarattığını göreceksiniz. Ekin çemberlerinin tasarımının karmaşıklığı ve inanılmaz simetrisi nedeniyle, çemberlerin yaratıcıları yeteneklerini itiraf edip gösterdikten sonra bile, birçok insan hala bunların uzaylılar tarafından yapıldığına inanıyor.

Çemberler karmaşıklaştıkça yapay kökenleri de giderek daha belirgin hale geliyor. Biz ilk mesajları bile çözemezken, uzaylıların mesajlarını giderek zorlaştıracağını varsaymak mantıksız.

Nasıl oluştuklarına bakılmaksızın, ekin çemberlerine bakmak bir zevktir, çünkü geometrileri etkileyicidir.

Çoğu kar tanesi altıgen simetriye sahip olduğundan, kar taneleri gibi küçük oluşumlar bile simetri yasalarına tabidir. Bu kısmen su moleküllerinin katılaştığında (kristalleştiğinde) sıraya girme şekli nedeniyle oluşur. Su molekülleri zayıf hidrojen bağları oluşturarak katılaşır, çekme ve itme kuvvetlerini dengeleyen düzenli bir düzende dizilerek kar tanesinin altıgen şeklini oluşturur. Ancak aynı zamanda her kar tanesi simetriktir ancak hiçbir kar tanesi diğerine benzemez. Bunun nedeni, gökten düşen her kar tanesinin, kristallerinin belirli bir şekilde düzenlenmesine neden olan benzersiz atmosferik koşulları deneyimlemesidir.

9. Samanyolu Galaksisi

Daha önce de gördüğümüz gibi simetri ve matematiksel modeller hemen hemen her yerde mevcut ama bu doğa kanunları sadece gezegenimizle mi sınırlı? Açıkçası hayır. Yakın zamanda Samanyolu Galaksisinin kenarında yeni bir bölüm keşfedildi ve gökbilimciler galaksinin kendisinin neredeyse mükemmel bir ayna görüntüsü olduğuna inanıyorlar.

10. Güneş-Ay Simetrisi

Güneş'in 1,4 milyon km, Ay'ın ise 3.474 km çapında olduğu göz önüne alındığında, Ay'ın güneş ışığını bloke etmesi ve bize her iki yılda bir yaklaşık beş güneş tutulması sağlaması neredeyse imkansız görünüyor. Bu nasıl çalışır? Tesadüfen Güneş, Ay'dan yaklaşık 400 kat daha geniş olmasına rağmen, aynı zamanda 400 kat daha uzaktadır. Simetri, Güneş ve Ay'ın Dünya'dan bakıldığında aynı boyutta olmasını sağlar, böylece Ay, Güneş'i gizleyebilir. Elbette Dünya'dan Güneş'e olan mesafe artabilir, bu yüzden bazen halkalı ve parçalı tutulmalar görüyoruz. Ancak her bir ila iki yılda bir kesin bir hizalanma meydana gelir ve tam güneş tutulması olarak bilinen muhteşem bir olaya tanık oluruz. Gökbilimciler bu simetrinin diğer gezegenler arasında ne kadar yaygın olduğunu bilmiyorlar ancak oldukça nadir olduğunu düşünüyorlar. Ancak tamamen şans meselesi olduğundan özel olduğumuzu varsaymamalıyız. Örneğin Ay her yıl Dünya'dan yaklaşık 4 cm uzaklaşıyor, bu da milyarlarca yıl önce her güneş tutulmasının tam tutulma olacağı anlamına geliyor. Eğer işler böyle devam ederse, eninde sonunda tam tutulmalar ortadan kalkacak ve buna halkalı tutulmaların da ortadan kalkması eşlik edecek. Bu fenomeni görmek için doğru zamanda doğru yerde olduğumuz ortaya çıktı.

§ 1 Simetri nedir

Bu dersten alıntı, sibernetiğin yaratıcısı ünlü bilim adamı Norbert Wiener'in bugün tartışılacak her şeyi çok doğru bir şekilde ifade eden bir açıklaması olacak.

“Matematiğin en yüksek amacı bizi çevreleyen kaosun içinde güzelliği, uyumu ve düzeni bulmaktır.”

Simetri, evrenin uyumunu sağlayan yasalardan biridir, bugün bundan bahsedeceğiz ve planimetri derslerinde tanıtılan kavramları biraz daha açacağız.

Günlük dilde simetri kelimesi iki anlamda kullanılmaktadır. Bir anlamda simetrik, iyi oranlanmış, dengeli bir şey anlamına gelir ve simetri, tek tek parçaların onları tek bir bütün halinde birleştiren bir tür tutarlılığını ifade eder. Güzellik simetriyle yakından ilgilidir. Bu konu, örneğin, heykellerine eski çağların uyumlu mükemmelliği nedeniyle hayranlık duyduğu heykeltıraş Polykleitos'un oranlar üzerine yazdığı kitabında tartışılıyor. Ölçeklerin görüntüsü, zamanımızda kullanılan simetri kelimesinin ikinci anlamına yol açan doğal bir bağlantıdır: ayna simetrisi - sol ve sağın simetrisi, daha yüksek hayvanlarda ve insanlarda vücut yapısında çok fark edilir.

Ayna simetrisi, yansıma veya döndürme gibi işlemlerle ilgili olarak geometrik simetri kavramının özel bir durumu olarak işlev görür.

Pisagorcular düzlemdeki en mükemmel geometrik şekillerin daire olduğunu ve uzayda ise tam dönme simetrisi nedeniyle küreyi düşünüyorlardı.

Simetri, geniş ya da dar anlamda, insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir. Böylece uzay ve zamanın özellikleri simetriye, doğadaki uyumun bir tezahürü olarak düzenliliğe yol açar.

§ 2 Bir noktaya göre simetri

Planimetride, bir noktaya ve düz bir çizgiye göre simetrik olan şekilleri dikkate aldık. Stereometride bir noktaya, doğruya ve düzleme göre simetri dikkate alınır.

Eğer O, AA1 doğru parçasının ortası ise, A ve A1 noktalarına O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik denir. O noktası kendisine simetrik kabul edilir. Merkezi simetriye bir örnek bir çiçek veya desen olabilir

§ 3 Düz bir çizgiye göre simetri

A düz çizgisi AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu doğru parçasına dikse, A ve A1 noktalarına a düz çizgisine (simetri ekseni) göre simetrik denir. Bir a çizgisinin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir.

Böyle bir simetrinin bir örneği sadece güzel kelebeklerde değil, aynı zamanda tüm binalarda bile görülebilir.

Moskova Devlet Üniversitesi'nin adını taşıyan binası. Lomonosov,

Kurtarıcı İsa Katedrali,

türbe-cami Tac Mahal.

§ 4 Düzlemle ilgili simetri

Uzamsal geometride düzleme göre simetri ekleyelim.

A düzlemi AA1 parçasının ortasından geçiyorsa ve bu parçaya dikse, A ve A1 noktalarına α düzlemine (simetri düzlemi) göre simetrik denir. α düzleminin her noktasının kendine simetrik olduğu kabul edilir.

Stereometri çalışırken, bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi hakkında da konuşabiliriz.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir merkezi (eksen, simetri düzlemi) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Resimlerde artık dikdörtgen bir paralel borunun yanı sıra simetri merkezini, simetri eksenini, simetri düzlemini görebilirsiniz.

Dikdörtgen olmayan ancak düz bir prizma olan paralel yüzlü bir düzlem (veya tabanı eşkenar dörtgen ise düzlemler), bir eksen ve bir simetri merkezine sahiptir.

§ 5 Asimetri

Bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (eksenleri, simetri düzlemleri) olabilir. Örneğin, bir küpün yalnızca bir simetri merkezi ve birkaç simetri ekseni ve düzlemi vardır. Sonsuz sayıda merkeze, eksene veya simetri düzlemine sahip şekiller vardır. Bu şekillerin en basitleri düz çizgi ve düzlemdir. Bunun tersine, merkezleri, eksenleri veya simetri düzlemleri olmayan şekiller de vardır. Bu durumda asimetri yani simetrinin yokluğu anlamına gelen başka bir matematiksel kavramdan bahsediyoruz. Günümüzde biyologlar ve psikologlar, kimyagerler ve doktorlar simetrinin gizemlerini çözmek ve sol ile sağın gizemlerini çözmek için birlikte çalışmaya çalışıyorlar. Her gün aynaya bakıyoruz, ancak yansımada sağ elin sola döndüğü gerçeğini nadiren düşünüyoruz. Doğa neden yarımkürelerin, kolların, bacakların, gözlerin bazı işlevlerini yaratıp çoğalttı da insanın tek ağzı var? Şaşırtıcı bir şekilde, tüm simetrimize rağmen asimetrikiz. Modern bilgisayar teknolojileri, bir kişinin nasıl olacağını yüzün yalnızca sol yarısından veya sağından görmeyi mümkün kılar. Sonuç, ortaya çıkan portreleri görenlerin çoğunu şaşkına çeviriyor. Sağ ve sol yarıküredeki bireylerin birbirinden farklı olduğu ortaya çıkar. Etrafınıza bakın, belki etrafınızda simetri ve asimetriyi görüp hayran kalacaksınız.

1. Geometri. 10 – 11. sınıflar: genel eğitim için ders kitabı. kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ve diğerleri]. – 22. baskı. – M.: Eğitim, 2013. – 255 s. : hasta. – (MSU - okulda)
2. Okul öğretmenlerine yardımcı olacak eğitimsel ve metodolojik kılavuz Yarovenko V.A. tarafından derlenmiştir. L. S. Atanasyan ve arkadaşlarının (M.: Prosveshcheniye) 10. sınıf eğitim seti için geometri dersi gelişmeleri.
3. Rabinovich E. M. Hazır çizimlerle ilgili görevler ve alıştırmalar. 10 – 11 sınıflar. Geometri. – M.: Ilexa, 2006. – 80 sn.
4. M. Ya Vygodsky İlköğretim matematik el kitabı M.: AST Astrel, 2006. - 509 s.
5. Avanta+. Çocuklar için ansiklopedi. Cilt 11. Matematik 2. baskı, revize edildi. - M .: World of Avanta+ ansiklopedileri: Astrel 2007. - 621 s. Ed. yönetim kurulu: M. Aksenova, V. Volodin, M. Samsonov