Karmaşık doğrusal eşitsizlik. Doğrusal eşitsizlikler

Eşitsizliklere doğrusal denir sol ve sağ tarafları bilinmeyen niceliğe göre doğrusal fonksiyonlardır. Bunlar arasında örneğin eşitsizlikler yer alır:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Kesin eşitsizlikler: balta +b>0 veya balta+b<0

2) Kesin olmayan eşitsizlikler: balta +b≤0 veya balta+b≫ 0

Bu görevi analiz edelim. Paralelkenarın bir kenarı 7 cm'dir. Paralelkenarın çevresinin 44 cm'den büyük olması için diğer kenarın uzunluğu ne kadar olmalıdır?

İstenilen taraf olsun X cm Bu durumda paralelkenarın çevresi (14 + 2x) cm ile temsil edilecektir. 14 + 2x > 44 eşitsizliği bir paralelkenarın çevre probleminin matematiksel bir modelidir. Bu eşitsizlikteki değişkeni değiştirirsek Xörneğin 16 sayısı üzerinde doğru sayısal eşitsizlik olan 14 + 32 > 44'ü elde ederiz. Bu durumda 16 sayısının 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümü olduğunu söylerler.

Eşitsizliği çözmek Bir değişkenin değerini gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren değere isim verin.

Dolayısıyla sayıların her biri 15,1; 20;73, 14 + 2x > 44 eşitsizliğinin çözümüdür, ancak örneğin 10 sayısı bunun çözümü değildir.

Eşitsizliği çözün tüm çözümlerini oluşturmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Eşitsizliğin çözümünün formülasyonu denklemin kökünün formülasyonuna benzer. Ancak yine de "eşitsizliğin kökenini" belirlemek alışılmış bir şey değil.

Sayısal eşitliklerin özellikleri denklemleri çözmemize yardımcı oldu. Benzer şekilde sayısal eşitsizliklerin özellikleri de eşitsizliklerin çözümüne yardımcı olacaktır.

Bir denklemi çözerken, onu daha basit, ancak verilene eşdeğer başka bir denklemle değiştiririz. Eşitsizliklerin cevabı da benzer şekilde bulunur. Bir denklemi eşdeğer bir denklemle değiştirirken, terimleri denklemin bir tarafından diğer tarafına aktarmak ve denklemin her iki tarafını sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak ile ilgili teoremi kullanırlar. Bir eşitsizliği çözerken, onunla bir denklem arasında önemli bir fark vardır; bu, bir denklemin herhangi bir çözümünün basitçe orijinal denklemin yerine konulmasıyla doğrulanabileceği gerçeğinde yatmaktadır. Eşitsizliklerde bu yöntem yoktur çünkü sayısız çözümü orijinal eşitsizliğin yerine koymak mümkün değildir. Dolayısıyla önemli bir kavram var, bu oklar<=>eşdeğer veya eşdeğer dönüşümlerin bir işaretidir. Dönüşüm denir eş değer, veya eş değer eğer çözüm kümesini değiştirmezlerse.

Eşitsizliklerin çözümü için benzer kurallar.

Herhangi bir terimi eşitsizliğin bir kısmından diğerine taşırsak, işaretini zıttı ile değiştirirsek, buna eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılırsa (bölülürse) buna eşdeğer bir eşitsizlik elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılırsa (bölülürse), eşitsizlik işaretinin tersi ile değiştirilirse, verilene eşdeğer bir eşitsizlik elde ederiz.

Bunları kullanmak tüzük Aşağıdaki eşitsizlikleri hesaplayalım.

1) Eşitsizliği analiz edelim 2x - 5 > 9.

Bu doğrusal eşitsizlik, çözümünü bulacağız ve temel kavramları tartışacağız.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5, ters işaretle sola kaydırıldı), sonra her şeyi 2'ye böldük ve şunu elde ettik: x > 7. Çözüm kümesini eksen üzerinde çizelim X

Pozitif yönlü bir ışın elde ettik. Çözüm kümesini eşitsizlik biçiminde not ediyoruz x > 7 veya x(7; ∞) aralığı biçimindedir. Bu eşitsizliğin özel çözümü nedir? Örneğin, x = 10 bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür, x = 12- bu aynı zamanda bu eşitsizliğin özel bir çözümüdür.

Pek çok kısmi çözüm var ama bizim görevimiz tüm çözümleri bulmak. Ve genellikle sayısız çözüm vardır.

Hadi halledelim örnek 2:

2) Eşitsizliği çözün 4a - 11 > a + 13.

Hadi çözelim: A onu bir tarafa taşı 11 diğer tarafa kaydırırsak 3a elde ederiz< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 eşitsizlik şu şekildedir A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Ayrıca seti gösterelim A< 8 , ama zaten eksende A.

Cevabı ya eşitsizlik a şeklinde yazarız< 8, либо A(-∞;8), 8 açılmıyor.

Sayısal eşitliklerin özellikleri denklemleri çözmemize, yani denklemin doğru sayısal eşitliğe dönüştüğü değişkenin değerlerini bulmamıza yardımcı oldu. Aynı şekilde, sayısal eşitsizliklerin özellikleri de bir değişkenle eşitsizlikleri çözmemize, yani değişkenin hangi değerlerini bulmamıza yardımcı olacaktır.
değişkenli bir eşitsizlik gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüşür. Bir değişkenin bu tür her değerine genellikle bir değişkenle eşitsizliğin çözümü denir.

Örneğin 2x + 5 eşitsizliğini düşünün< 7.
X'in yerine 0 koyarsak 5 elde ederiz< 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства.

X'in yerine 1 koyarsak 7 elde ederiz< 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. -1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5,
2-2,5 + 5 elde ederiz< 7, т.е. 10 < 7 — неверное неравенство.

Bu, x = 2,5'in eşitsizliğin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Ancak bunun bir çıkmaz sokak olduğunu anlıyorsunuz: tek bir matematikçi eşitsizliği bu şekilde çözemez çünkü tüm sayıları sıralamak imkansızdır! İşte bu noktada sayısal eşitsizliklerin özelliklerini aşağıdaki şekilde akıl yürüterek kullanmanız gerekir.

2x + 5 olan x sayılarıyla ilgileniyoruz< 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5-5<7-5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число - 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

Bu ne anlama geliyor? Bu, eşitsizliğin çözümünün 1'den küçük herhangi bir x sayısı olduğu anlamına gelir. Bu sayılar açık ışını (-oo, 1) doldurur. . Genellikle bu ışının 2x + 5 eşitsizliğinin çözümü olduğunu söylerler.< 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах).

Dolayısıyla bu eşitsizliğe çözüm yazmak için iki seçeneği kullanabilirsiniz: x< 1 или (-oо, 1).

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri, eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki kurallara göre hareket etmemizi sağlar:

Bu kuralları doğrusal eşitsizlikleri, yani ax + b > 0 (veya ax + b) biçimine indirgenebilen eşitsizlikleri çözmek için uygulayalım.< 0), где оиб- любые числа, за одним исключением:
Örnek 1. 3x - 5 >= 7x - 15 eşitsizliğini çözün.
Çözüm. Hem 7x teriminin hem de - 5 teriminin işaretlerini değiştirmeyi unutmadan, 1x terimini eşitsizliğin sol tarafına, - 5 - terimini de sağ tarafına taşıyalım (kural 1'e göre yönlendiriliyoruz) ). Sonra alırız
3x - 7x > = - 15 + 5, yani - 4x >= - 10.
Son eşitsizliğin her iki tarafını da aynı negatif sayı olan 4'e bölelim, zıt anlamın eşitsizliğine geçmeyi unutmayalım (kural 3'ün rehberliğinde).
x'i elde ederiz<=2.5. Это и есть решение заданного неравенства.
Anlaştığımız gibi, çözümü yazmak için sayı doğrusunda karşılık gelen aralığın gösterimini kullanabilirsiniz:
(-oo, 2,5).
CEVAP: x<=2.5, или (-oо, 2,5].
Denklemlerde olduğu gibi eşitsizlikler için de eşdeğerlik kavramı tanıtılır. İki eşitsizlik f(x)< g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).
Genellikle bir eşitsizliği çözerken, bu eşitsizliği daha basit ama ona eşdeğer bir eşitsizlikle değiştirmeye çalışırlar. Böyle bir yer değiştirmeye eşdeğer eşitsizlik dönüşümü denir.

Bu dönüşümler yukarıda formüle edilen 1-3 arasındaki kurallarda kesin olarak belirtilmiştir.

Örnek 2: Eşitsizliği çözün

Çözüm. Eşitsizliğin her iki tarafını da pozitif 15 sayısıyla çarpalım, eşitsizlik işaretini değiştirmeden bırakalım (kural 2). Bu, paydalardan kurtulmamıza, yani verilen eşitsizliğe eşdeğer daha basit bir eşitsizliğe geçmemize olanak tanıyacaktır:

Son eşitsizlik için Kural 1'i kullanarak buna eşdeğer daha basit bir eşitsizlik elde ederiz:

11x - 30x > - 1 + 3, yani -17x>2.

Son olarak, kural 3'ü uygulayarak x elde ederiz<

Cevap: x< , veya (-oo,-2/17).
Sonuç olarak, sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak, elbette bir değişkenle herhangi bir eşitsizliği çözemeyeceğimizi, ancak yalnızca bir dizi basit dönüşümden sonra (örneklerde gerçekleştirilenler gibi) çözebileceğimizi not ediyoruz. bu bölümden) ax > b formunu alır (> işareti yerine belki
elbette, katı veya katı olmayan herhangi bir eşitsizlik işareti olabilir). Bir sonraki paragrafta daha karmaşık olan ikinci dereceden eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amacı: Doğrusal eşitsizlikleri çözme becerilerini geliştirmek.

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Ders hedefleri:

• Eğitici:

1. eşitsizliğin ne olduğunu hatırlayın;
2. sayısal eşitsizliklerin özelliklerini hatırlayın;
3. Öğrencilerle eşitsizliği çözmenin ne anlama geldiğini keşfedin;
4. doğrusal eşitsizlik kavramını tanıtmak;
5. Öğrencilere doğrusal eşitsizlikleri çözmeye yönelik bir algoritmayı tanıtmak.

1. Doğrusal eşitsizlikleri çözmek için bir algoritma kullanarak doğrusal eşitsizlikleri çözme becerilerini uygulama.

1. metni bağımsız olarak analiz etme, bilgi edinme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirmek;
2. bilişsel ilginin gelişimi;
3. öğrencilerin düşünmesinin gelişimi;
4. gruplar halinde iletişim kurma, işbirliği yapma ve birbirlerine öğretme becerilerinin geliştirilmesi;
5. Öğrencilerin doğru konuşmasının gelişimi.

Ders ilerlemesi

Aşama 1. Motivasyonel

Öğretmen sınıfa şöyle hitap ediyor: “Okulda öğrenilen konuların ciddiyeti, yeni bilgileri yaratıcı bir şekilde yeniden düşünmemizi engellemiyor. Bugünkü dersi düşünürken, neredeyse kazara düşüncelerimi kafiyeli hale getiriyordum. Aklıma gelenleri dinleyin ve dersin konusunu belirlemeye çalışın.”

Matematikte sayılar ve ifadeler arasındaki ilişki,
Ayrıca karşılaştırma için işaretler de içerirler: küçük mü, büyük mü, eşit mi?
Size bir ipucu vereceğim, belki oldukça işe yarar.
Dünya eşitlikle birleşmiştir, "değil" parçacığı şunu belirtir:... (eşitsizlik)

Yani dersin konusu “ Eşitsizlikler».

Aşama 2. Yeni materyal öğrenme

Konsept aşaması:(5 dk) (öğrencilerin bilgi edinmesi)

(“Ekle” metin işaretleme tekniğini kullanıyorum - öğrenciler metni okur, derinlemesine inceler, özel notlar alırlar)

Zaten sahip olduklarını “+” olarak işaretleyin bilinen, "-" ne var ne yok, tanıdık değil.

Metin

Eşitsizlik – bunlar işaretlerden biriyle birbirine bağlanan iki sayı veya ifadedir:

• > (daha fazlası),
• < (меньше),
• ≤ (küçük veya eşit),
• ≥ (büyük veya eşittir),
• ≠ (eşit değil).

Doğrusal eşitsizlik formun bir eşitsizliğidir balta +b > 0 (veyabalta +B< 0) , Nerede A Ve B– herhangi bir sayı ve A ≠ 0 .

Eşitsizliği çözmek tek değişkenle, değişkenin değeri çağrılır ve bu da onu gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştürür. Örneğin, x + 5< 17. Onun yerine ikame X Anlam 1 , alıyoruz 1+ 5 < 17, 6 < 17 – Sayısal eşitsizliği düzeltin. Araç, x = 1 – Bu eşitsizliğin çözümü.

Eşitsizliği çözün- bu, tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözümün olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri:

1. a > b ve b > c ise a > c olur.
2. a > b ise a + c > b + c olur.
3. a > b ve m > 0 ise am > bm;
   a > b ve m ise< 0 , то am < bm.
4. a > b ve c > d ise a + c > b + d olur.
5. a > b ve c > d ise ac > bd olur; burada a, b, c, d pozitif sayılardır.
6. a > b, a ve b negatif olmayan sayılarsa aⁿ > bⁿ, n herhangi bir doğal sayıdır.

Doğrusal eşitsizlikleri çözmek için algoritma	Örnek: eşitsizliği çöz 5(x – 3) > 2x – 3
1. Parantezleri açın:	5x – 15 > 2x – 3
2. İşareti ters yönde değiştirerek, x olan tüm terimleri sola ve sayıları sağa taşıyın:	5x – 2x > -3 + 15
3. Benzer terimler verin:	3x > 12
4. Eşitsizliğin her iki tarafını da öndeki sayıya bölün X(Bu sayı pozitifse eşitsizlik işareti değişmez; bu sayı negatifse eşitsizlik işareti ters döner):	3x > 12: 3 x > 4
5. Analitik modelden hareket edin x > 4 geometrik modele göre:
6. Cevabı yazarak bu eşitsizliğin çözüm kümesini belirtin:	Cevap: (4; +∞)

Yansıma aşaması: (sınıfla sorular üzerinde tartışma)

Öğretmen tahtada bir “Küme” oluşturur.

1. Okuduklarınızdan zaten ne biliyordunuz?
2. Yeni bilgi olarak ne okudunuz?
3. Doğrusal eşitsizliği çözme algoritması size neyi hatırlatıyor? (doğrusal bir denklemin çözülmesi, geometrik bir model oluşturulup cevabın yazılması dışında)

Bu diyagrama bakılırsa, eşitsizlikler hakkında zaten çok şey biliyorsunuz ve bugün derste bu bilgiyi genişleteceğiz.

Aşama 3. Yeni malzemenin konsolidasyonu(Doğrusal eşitsizlikleri çözme becerileri üzerinde çalışmak)

Zikzak stratejisi:(5 kişilik bir grupta, 5 grup) doğrusal denklemleri çözme becerilerinin uygulanması: her öğrenci kendi eşitsizliğini alır, doğrusal eşitsizlikleri çözmek için bir algoritma kullanarak çözer, ardından gruplar halinde tartışır ve diğer öğrencilere açıklar.

1. Kendiniz karar vermeye çalışın!!!5 dakika

Egzersiz yapmak: Eşitsizliği çözün ve çözüm kümesini koordinat doğrusu üzerinde çizin.

1 numara. 17 – x > 2∙(5 – 3x)

2 numara. 2∙(32 – 3x) ≥ 1- x

3 numara. 8 + 5x ≤ 3∙(7 + 2x)

4 numara. 2∙(0,1х – 1)< 7 – 0,8х

5 numara. 5x + 2 ≤ 1 – 3∙(x + 2)

2. Bir gruptaki görevin analizi.5 dakika

Aynı göreve sahip uzman gruplarına geçin. Çözümleri tartışırlar, birbirlerine tavsiyelerde bulunurlar ve varsa hatalarını düzeltirler. Herkesin kendi eşitsizliğinin çözümünü anlaması gerekiyor.

Öğretmen danışman olarak görev yapar.

(Öğrencinin kendisi - öğrenci grubu - öğretmen)

3. Akran eğitimi.5-7 dakika Öğrenciler yerlerine dönerler ve eşitsizliklerini çözmedeki ilerlemeyi sırasıyla diğerlerine anlatırlar; eşitsizlikler defterine yazarlar.

Grubun görevi: Herkesin doğrusal eşitsizlikleri çözmeye yönelik algoritmada uzmanlaşması.

Öğrenciler hazır olduktan sonra, birçoğu tahtada olmak üzere çeşitli eşitsizlikleri BİT aracılığıyla kendi kendilerine test ederler.

Tartışma (konuşma): Tüm eşitsizlikleri doğru şekilde çözen kişi (“ birimiz hepimiz için ve hepimiz birimiz için"Elini kaldırır mısın? Hataları kim yaptı? Nerede ve neden?

Zaman izin verirse: Hata yapmamış olanlar için, yaratıcı bir görevi (aralarından birini seçebilecekleri) çözün (veya ev ödevi olarak) ve bundan uygun bir sonuç çıkarın:

1) 2(x + 8) – 5x< 4 – 3х (решения нет)

2)

3) Hangi değerlerde X Binom 5x – 7 pozitif değerler alır mı?

Aşama 4. Özetlemek

Çocuklar! Derste ne yaptık? Ne okudun?

Hatırlayalım: Bir eşitsizliği çözmek ne anlama gelir? Eşitsizliği çözmek için ne kullanacağız? (algoritmaya tekrar dikkat edin)

Çocuklar! Sizce bugün sınıfta kim başarılı oldu? (kendilerini değerlendirin)

Aşama 5. Ev ödevi

P.34 Slayt oluşturma programında Cauchy eşitsizliği hakkında bir sunum yapın.

Size bazı tavsiyeler vermek istiyorum:

"Okulda edinilen matematik bilgisi sayesinde geniş, neredeyse sınırsız çalışma ve keşif alanlarına giden geniş bir yol vardır."

yapay zeka Markusheviç

Ders için herkese teşekkürler! Size başarılar diliyorum!

DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLERİ ÇÖZMEK

Sayısal eşitliklerin özellikleri denklemleri çözmemize, yani denklemin doğru sayısal eşitliğe dönüştüğü değişkenin değerlerini bulmamıza yardımcı oldu. Aynı şekilde, sayısal eşitsizliklerin özellikleri de bir değişkenle eşitsizlikleri çözmemize, yani değişkenle eşitsizliğin gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştüğü değişkenin değerlerini bulmamıza yardımcı olacaktır. Bir değişkenin bu tür her değerine genellikle bir değişkenle eşitsizliğin çözümü denir.

Örneğin eşitsizliği düşünün

2x + 5< 7.

Onun yerine ikame X Anlam 0 , alıyoruz 5 < 7 - gerçek eşitsizlik; Araç, x = 0 X Anlam 1 , alıyoruz 7 < 7 - yanlış eşitsizlik; Bu yüzden x = 1 bu eşitsizliğe bir çözüm değildir. Onun yerine ikame X Anlam -3 , alıyoruz -6 + 5 < 7 yani - 1 < 7 - gerçek eşitsizlik; buradan, x = -3- bu eşitsizliğin çözümü. Onun yerine ikame X Anlam 2,5 , alıyoruz 2 - 2,5 + 5 < 7 yani 10 < 7 - yanlış eşitsizlik. Araç, x = 2,5 eşitsizliğin çözümü değildir.

Ancak bunun bir çıkmaz sokak olduğunu anlıyorsunuz: tek bir matematikçi eşitsizliği bu şekilde çözemez çünkü tüm sayıları sıralamak imkansızdır! İşte bu noktada sayısal eşitsizliklerin özelliklerini aşağıdaki şekilde akıl yürüterek kullanmanız gerekir.

Bu tür sayılarla ilgileniyoruz X, hangisinde 2x + 5< 7 - sayısal eşitsizliği düzeltin. Ama sonra 2x + 5 - 5< 7 - 5 - gerçek eşitsizlik (özellik 2'ye göre: eşitsizliğin her iki tarafına da aynı sayı eklenmiştir) - 5 ). Daha basit bir eşitsizliğimiz var 2x< 2 . Her iki tarafı da pozitif bir sayıya bölmek 2 , (özellik 3'e dayanarak) doğru eşitsizliği elde ederiz X< 1 .

Bu ne anlama geliyor? Bu, eşitsizliğin çözümünün herhangi bir sayı olduğu anlamına gelir X hangisi daha az 1 . Bu sayılar açık kirişi dolduruyor (-∞, 1) . Genellikle bu ışının eşitsizliğin çözümü olduğu söylenir. 2x + 5< 7 (Bir dizi çözümden bahsetmek daha doğru olur, ancak matematikçiler her zaman olduğu gibi sözcüklerde ekonomiktir). Dolayısıyla bu eşitsizliğe çözüm yazmak için iki seçeneği kullanabilirsiniz: X< 1 veya (-∞, 1) .

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri, eşitsizlikleri çözerken aşağıdaki kurallara göre hareket etmemizi sağlar:

Kural 1. Bir eşitsizliğin herhangi bir terimi, eşitsizliğin işaretini değiştirmeden, eşitsizliğin bir kısmından diğerine zıt işaretle aktarılabilir.

Kural 2. Bir eşitsizliğin her iki tarafı, eşitsizliğin işareti değişmeden aynı pozitif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.

Kural 3. Eşitsizliğin işareti ters çevrilerek eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.

Bu kuralları doğrusal eşitsizlikleri, yani forma indirgenebilen eşitsizlikleri çözmek için uygulayalım. balta + b > 0(veya balta + b< 0 ),

Nerede A Ve B- bir istisna dışında herhangi bir sayı: bir ≠ 0.

Örnek 1.

Eşitsizliği çözün Zx - 5 ≥ 7x - 15.

Çözüm.

Üyeyi taşıyalım 7x eşitsizliğin sol tarafında ve terim - 5 - Eşitsizliğin sağ tarafına terimin işaretlerini değiştirmeyi unutmadan 7x ve üye -5 (kural 1'e göre yönlendiriliyoruz). Sonra alırız

3х - 7х ≥ - 15 + 5 yani - 4x ≥ - 10.

Son eşitsizliğin her iki tarafını da aynı negatif sayıya bölelim - 4 , zıt anlamın eşitsizliğine geçmeyi unutmadan (kural 3 rehberliğinde). Aldık X< 2,5 . Verilen eşitsizliğin çözümü budur.

Anlaştığımız gibi, çözümü yazmak için sayı doğrusunda karşılık gelen aralığın gösterimini kullanabilirsiniz: (-∞, 2,5] .

Cevap: X< 2,5 , veya (-∞, 2,5] .

Denklemlerde olduğu gibi eşitsizlikler için de eşdeğerlik kavramı tanıtılır. İki eşitsizlik f(x)< g(x) и r(x) < s(x) isminde eş değer, aynı çözümlere sahiplerse (veya özellikle her iki eşitsizliğin de çözümü yoksa).

Genellikle bir eşitsizliği çözerken, bu eşitsizliği daha basit ama ona eşdeğer bir eşitsizlikle değiştirmeye çalışırlar. Bu değiştirme denir eşitsizliğin eşdeğer dönüşümü. Bu dönüşümler yukarıda formüle edilen 1-3 arasındaki kurallarda kesin olarak belirtilmiştir.

Örnek 2.

Eşitsizliği çözün

Çözüm.

Eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayıyla çarpın 15 eşitsizlik işaretini değiştirmeden bırakarak (kural 2), Bu, paydalardan kurtulmamıza, yani verilen eşitsizliğe eşdeğer daha basit bir eşitsizliğe geçmemize olanak tanır:

Son eşitsizlik için Kural 1'i kullanarak buna eşdeğer daha basit bir eşitsizlik elde ederiz:

Son olarak, kural 3'ü uygulayarak şunu elde ederiz:

CEVAP: veya

Sonuç olarak, sayısal eşitsizliklerin özelliklerini kullanarak, elbette bir değişkenle herhangi bir eşitsizliği çözemeyeceğimizi, ancak yalnızca bir dizi basit dönüşümden sonra (örneklerde gerçekleştirilenler gibi) çözebileceğimizi not ediyoruz. bu bölümden) formunu alır balta > b(> işaretinin yerine elbette katı veya katı olmayan başka bir eşitsizlik işareti olabilir).

Örneğin eşitsizlik \(x>5\) ifadesidir.

Eşitsizlik türleri:

Eğer \(a\) ve \(b\) sayılar veya ise eşitsizliğe denir sayısal. Aslında bu sadece iki sayıyı karşılaştırmaktır. Bu tür eşitsizlikler aşağıdakilere ayrılmıştır: sadık Ve sadakatsiz.

Örneğin:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) yanlış bir sayısal eşitsizliktir, çünkü \(17+3=20\) ve \(20\) \(115\)'ten küçüktür (ve ondan büyük veya ona eşit değildir) .

Eğer \(a\) ve \(b\) bir değişken içeren ifadelerse, o zaman elimizde değişkenli eşitsizlik. Bu tür eşitsizlikler içeriğe bağlı olarak türlere ayrılır:

Eşitsizliğin çözümü nedir?

Bir eşitsizliğin yerine bir değişken yerine bir sayı koyarsanız, eşitsizlik sayısal bir eşitliğe dönüşecektir.

Eğer x için verilen bir değer orijinal eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe çeviriyorsa buna denir. eşitsizliğin çözümü. Aksi takdirde bu değer bir çözüm değildir. Ve böylece eşitsizliği çöz– tüm çözümlerini bulmanız (veya hiçbir çözüm olmadığını göstermeniz) gerekir.

Örneğin,\(7\) sayısını doğrusal eşitsizlik \(x+6>10\) yerine koyarsak, doğru sayısal eşitsizliği elde ederiz: \(13>10\). Ve eğer \(2\) yerine koyarsak, yanlış bir sayısal eşitsizlik \(8>10\) olacaktır. Yani, \(7\) orijinal eşitsizliğin bir çözümüdür, ancak \(2\) değildir.

Ancak \(x+6>10\) eşitsizliğinin başka çözümleri de vardır. Aslında, \(5\), \(12\) ve \(138\)'i yerine koyarken doğru sayısal eşitsizlikleri elde edeceğiz... Peki tüm olası çözümleri nasıl bulabiliriz? Bunun için kullanıyorlar. Bizim durumumuz için elimizde:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Yani dörtten büyük herhangi bir sayı bize uyacaktır. Şimdi cevabı yazmanız gerekiyor. Eşitsizliklerin çözümleri genellikle sayısal olarak yazılır ve ayrıca gölgelendirmeyle sayı ekseninde işaretlenir. Bizim durumumuz için elimizde:

Cevap: \(x\in(4;+\infty)\)

Bir eşitsizliğin işareti ne zaman değişir?

Eşitsizliklerde öğrencilerin düşmeyi gerçekten "sevdiği" büyük bir tuzak var:

Bir eşitsizlik negatif bir sayıyla çarpıldığında (veya bölündüğünde) ters çevrilir ("daha fazla" "daha az", "daha fazla veya eşit" "küçük veya eşit" vb.)

Bu neden oluyor? Bunu anlamak için, \(3>1\) sayısal eşitsizliğinin dönüşümlerine bakalım. Doğrudur, üç gerçekten de birden büyüktür. Öncelikle bunu herhangi bir pozitif sayıyla, örneğin ikiyle çarpmaya çalışalım:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Gördüğümüz gibi çarpma sonrasında eşitsizlik aynı kalıyor. Ve hangi pozitif sayıyla çarparsak çarpalım her zaman doğru eşitsizliği elde ederiz. Şimdi negatif bir sayıyla, örneğin eksi üçle çarpmayı deneyelim:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Sonuç yanlış bir eşitsizliktir çünkü eksi dokuz eksi üçten küçüktür! Yani eşitsizliğin doğru olması için (ve dolayısıyla çarpmanın negatife dönüşümü “yasaldı”), karşılaştırma işaretini şu şekilde tersine çevirmeniz gerekir: \(−9<− 3\).
Bölme işleminde de aynı şekilde çalışacaktır, kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Yukarıda yazılan kural sadece sayısal eşitsizlikler için değil, her türlü eşitsizlik için geçerlidir.

Cevap: \(x\in(-1;\infty)\)

Eşitsizlikler ve engellilik

Eşitsizliklerin de tıpkı denklemler gibi, yani x'in değerleri üzerinde kısıtlamaları olabilir. Buna göre DZ'ye göre kabul edilemez olan değerlerin çözüm aralığının dışında tutulması gerekir.

Örnek: \(\sqrt(x+1) eşitsizliğini çözün<3\)

Çözüm: Sol tarafın \(3\)'ten küçük olması için radikal ifadenin \(9\)'dan küçük olması gerektiği açıktır (sonuçta \(9\)'dan sadece \(3\)). Şunu elde ederiz:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tüm? \(8\)'den küçük herhangi bir x değeri bize uyar mı? HAYIR! Çünkü örneğin gereksinime uygun görünen \(-5\) değerini alırsak, bu bizi negatif bir sayının kökünü hesaplamaya götüreceği için orijinal eşitsizliğin çözümü olmayacaktır.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Bu nedenle, X'in değerine ilişkin kısıtlamaları da dikkate almalıyız - kökün altında negatif bir sayı olacak şekilde olamaz. Böylece x için ikinci şartımız var:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Ve x'in nihai çözüm olabilmesi için, her iki gereksinimi de aynı anda karşılaması gerekir: \(8\)'den küçük (çözüm olması için) ve \(-1\)'den büyük olması gerekir (prensipte kabul edilebilir olması için). Bunu sayı doğrusunda çizersek son cevabı buluruz:

Cevap: \(\sol[-1;8\sağ)\)