Rastgele değişken fonksiyon tarafından belirtilir. “Rastgele değişkenler” konusundaki problem çözme örnekleri

Olasılık teorisinde, tüm değerleri sıralanamayan rastgele değişkenlerle uğraşmak gerekir. Örneğin, $X$ rastgele değişkeninin tüm değerlerini - saatin servis süresi - almak ve "yinelemek" imkansızdır, çünkü zaman saat, dakika, saniye, milisaniye vb. cinsinden ölçülebilir. Yalnızca rastgele değişkenin değerlerinin yer aldığı belirli bir aralığı belirleyebilirsiniz.

Sürekli rastgele değişken değerleri belirli bir aralığı tamamen dolduran rastgele bir değişkendir.

Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu

Sürekli bir rastgele değişkenin tüm değerlerini numaralandırmak mümkün olmadığından dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - azalmayan.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 1
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrix)\right.$. Bir rastgele değişken $X$'in $\left(0.3;0.7\right)$ aralığına düşme olasılığı, $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki fark olarak bulunabilir. bu aralığın uçları, yani:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Olasılık dağılım yoğunluğu

$f\left(x\right)=(F)"(x)$ fonksiyonuna olasılık dağılım yoğunluğu denir, yani $F\left(x\right dağılım fonksiyonundan alınan birinci dereceden türevdir )$'ın kendisi.

$f\left(x\right)$ fonksiyonunun özellikleri.

1 . $f\sol(x\sağ)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Örnek 2 . Sürekli bir rastgele değişken $X$ aşağıdaki dağıtım fonksiyonuyla tanımlanır: $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrix)\right.$. Daha sonra yoğunluk fonksiyonu $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\end(matrix)\right.$

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Sürekli bir rastgele değişken olan $X$'ın matematiksel beklentisi şu formül kullanılarak hesaplanır:

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeni için $M\left(X\right)$'ı bulalım.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2))).$$

Sürekli bir rastgele değişkenin varyansı

Sürekli rastgele değişken $X$'in varyansı aşağıdaki formülle hesaplanır:

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Örnek 4 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeni için $D\left(X\right)$'ı bulalım.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\fazla (4))=((1)\fazla (3))-((1)\fazla (4))=((1)\fazla(12)).$$

Sürekli bir rastgele değişkenin (diferansiyel dağılım fonksiyonu) olasılık dağılım yoğunluğu, integral dağılım fonksiyonunun birinci türevidir: f(x)=F'(X). Bu tanımdan ve dağıtım fonksiyonunun özelliklerinden şu sonuç çıkar:

Sürekli bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisi sayıdır

Sürekli bir rastgele değişken X'in varyansı eşitlikle belirlenir

Örnek 79. Zaman dağıtım yoğunluğu TÜretim hattında REA montajı

Katsayıyı bul A REA montaj süresinin dağılım fonksiyonu ve montaj süresinin (0,1A) aralığında olma olasılığı.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun özelliğine dayanarak

Parçalara göre iki kez integrasyon yaparsak, şunu elde ederiz:

Dağıtım fonksiyonu eşittir

REA'nın montaj süresinin (0; 1/λ) limitlerini aşmama olasılığı:

Örnek 80. Elektronik ekipman ünitesinin çıkış direncinin nominal değerden sapma olasılık yoğunluğu R 0 2δ tolerans aralığı yasayla tanımlanmaktadır

Direnç sapmasının nominal değerden matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm.

İntegral tek olduğundan ve integralin sınırları orijine göre simetrik olduğundan integral 0'a eşittir.

Buradan, M{R} = 0.

Bir oyuncu değişikliği yaparak R = A günah X, alıyoruz

Örnek 81. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu verilir:

Bul: 1. F(x); 2. M(X); 3.D(X).

Çözüm. 1. F(x)'i bulmak için formülü kullanırız

Eğer
, O

A

Eğer
, O

Eğer
, sonra f(x)=0 ve

3.

Parçalara göre iki kere integrasyon yaparsak şunu elde ederiz:

, Daha sonra

82. 74, 75. problemlerde f(x), M(X), D(X)'i bulun.

83. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu verilmiştir:

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.

84. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu tüm Ox ekseninde eşitlikle verilir
. Sabit C parametresini bulun.

85. (-3, 3) aralığındaki rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu ile verilir.
; bu aralığın dışında

a) X'in varyansını bulun;

b) hangisi daha muhtemel: testin sonucu X olacaktır<1 или X>1?

86. Dağılım fonksiyonu tarafından verilen X rastgele değişkeninin varyansını bulun

87. Bir dağılım fonksiyonu tarafından rastgele bir değişken verilir

X'in beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

§8. Düzgün ve üstel dağılımlar

Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılımına, X'in tüm olası değerlerini içeren (a,b) aralığında yoğunluk sabit kalırsa ve bu aralığın dışında sıfırsa, yani.

Üstel dağılım, yoğunlukla tanımlanan sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılımıdır.

burada λ sabit bir pozitif değerdir. Üstel yasa dağıtım fonksiyonu

Matematiksel beklenti ve varyans sırasıyla eşittir

;
;

Örnek 88. Ampermetre ölçeği bölme değeri 0,10A'dır. Ampermetre okumaları en yakın tam bölüme yuvarlanır. Okuma sırasında 0,02A'yı aşan bir hata yapılma olasılığını bulun.

Çözüm. Yuvarlama hatası, iki tam sayı bölümü arasındaki (0;0.1) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılan bir X rastgele değişkeni olarak düşünülebilir. Buradan,

Daha sonra
.

Örnek 89. Bir elemanın hatasız çalışma süresi üstel bir dağılıma sahiptir. t=100 saatlik bir zaman periyodunda: a) elemanın arızalanması; b) eleman arızalanmayacaktır.

Çözüm. a) Tanım gereği
dolayısıyla t zamanında eleman arızası olasılığını belirler, dolayısıyla

b) “Elemanın arızalanmaması” olayı, dikkate alınanın tersidir, dolayısıyla olasılığı

90. Radyo-elektronik ünite bir üretim hattına monte edilir, montaj döngüsü 2 dakikadır. Bitmiş blok, saat döngüsü içerisinde herhangi bir zamanda izleme ve ayarlama için konveyörden çıkarılır. Bitmiş bloğun konveyör üzerinde bulunduğu sürenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun. Bir bloğun konveyörde harcadığı süre, rastgele değişkenlerin düzgün dağılımı yasasına uyar.

91. Bir REA'nın belirli bir süre içinde arızalanma olasılığı aşağıdaki formülle ifade edilir: . Elektronik ekipmanın arızalanmadan önceki ortalama çalışma süresini belirleyin.

92. Geliştirilmekte olan iletişim uydusunun arızalar arasındaki ortalama süresi 5 yıl olmalıdır. Arızalar arasındaki gerçek zamanın rastgele üstel olarak dağılmış bir değer olduğunu dikkate alarak, bu olasılığı belirleyin.

a) Uydunun 5 yıldan az süreyle görev yapacak olması,

b) Uydunun en az 10 yıl süreyle görev yapması,

c) Uydu 6. yıl içerisinde arızalanacaktır.

93. Bir kiracı, ortalama kullanım ömrü 1000 saat olan dört akkor ampul satın aldı ve bunlardan birini masa lambasının içine yerleştirdi, geri kalanını ise lambanın yanması ihtimaline karşı yedekte sakladı. Tanımlamak:

a) Dört lambanın beklenen toplam hizmet ömrü,

b) Dört lambanın toplam 5000 saat veya daha fazla çalışma olasılığı,

c) tüm lambaların toplam hizmet ömrünün 2000 saati aşmama olasılığı.

94. Bir ölçüm cihazının ölçek bölme değeri 0,2'dir. Cihaz okumaları en yakın tam bölüme yuvarlanır. Sayım sırasında hata yapılma olasılığını bulun: a) 0,04'ten az; b) büyük 0,05.

95. Belirli bir rotadaki otobüsler kesinlikle programa göre çalışır. Hareket aralığı 5 dk. Durağa gelen bir yolcunun bir sonraki otobüsü 3 dakikadan az beklemesi olasılığını bulun.

96. (2, 8) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

97. (2, 8) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılan X rastgele değişkeninin varyansını ve standart sapmasını bulun.

98. Birbirinden bağımsız çalışan iki eleman test edilmiştir. İlk elemanın hatasız çalışma süresi üstel bir dağılıma sahiptir
, ikinci
. t=6 saatlik bir süre boyunca: a) her iki elemanın da arızalanması olasılığını bulun; b) her iki eleman da arızalanmayacak; c) yalnızca bir eleman arızalanacaktır; d) en az bir eleman arızalanacaktır.

İle ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun, bu hesap makinesini kullanmalısınız. Görev 1. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
Bulmak:
a) parametre A;
b) dağılım fonksiyonu F(x);
c) rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı;
d) matematiksel beklenti MX ve varyans DX.
f(x) ve F(x) fonksiyonlarının grafiğini çizin.

Görev 2. İntegral fonksiyonu tarafından verilen X rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Görev 3. Dağılım fonksiyonu verildiğinde X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Görev 4. Bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu şu şekilde verilir: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A katsayısını, F(x) dağılım fonksiyonunu, matematiksel beklentiyi ve varyansı ve ayrıca rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Görev. Bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilmiştir:

a ve b parametrelerini belirleyin, f(x) olasılık yoğunluğu, matematiksel beklenti ve varyans ile rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığı için bir ifade bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Dağılım fonksiyonunun türevi olarak dağılım yoğunluk fonksiyonunu bulalım.

Bunu bilmek

a parametresini bulalım:


veya 3a=1, dolayısıyla a = 1/3
b parametresini aşağıdaki özelliklerden buluyoruz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 dolayısıyla b = -1/3
Bu nedenle dağılım fonksiyonu şu şekildedir: F(x) = (x-1)/3

Örnek No.1. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu f(x) verilmiştir. Gerekli:

1. A katsayısını belirleyin.
2. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.
3. F(x) ve f(x) grafiklerini şematik olarak oluşturun.
4. X'in matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
5. X'in (2;3) aralığından değer alma olasılığını bulun.

Rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f(x) ile belirtilir:

Bölüm 1. Ayrık rastgele değişken

§ 1. Rastgele değişken kavramları.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası.

Tanım : Rastgele, test sonucunda önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir değer kümesinden yalnızca bir değeri alan bir niceliktir.

İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli.

Tanım : X rastgele değişkenine denir ayrık (süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ancak sayılabilirse.

Başka bir deyişle, ayrık bir rastgele değişkenin olası değerleri yeniden numaralandırılabilir.

Rastgele bir değişken, dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir.

Tanım : Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmayı çağırın.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda bunlara karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler, yani

burada р1+ р2+…+ рn=1

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir.

Bir rastgele değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, p1+ p2+…+ pn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, dikdörtgen bir koordinat sisteminde sıralı olarak noktaları (xi; pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla birleştiren kesikli bir çizginin oluşturulduğu grafiksel olarak gösterilebilir. Ortaya çıkan satır denir dağıtım poligonu (Şekil 1).

Organik kimya" href = "/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel = "bookmark">organik kimya sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X - öğrencinin geçeceği sınav sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. İnceleme sonucunda dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu değerlerin olasılığını bulalım. Olayları gösterelim:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width = "259" height = "66 src = ">

Dolayısıyla, X rastgele değişkeninin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmektedir:

Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağıtım fonksiyonu tarafından verilmektedir.

Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu her x değeri için rastgele değişken X'in x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır:

F(x)=P(X<х)

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin sayı doğrusunda x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur;

3) F(x) - sol tarafta x= xi (i=1,2,...n) noktalarında sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli;

4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ayrık bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse:

daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 için 0,

р1 x1'de< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 x2’de< х≤ х3

x> xn için 1.

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir:

§ 3. Ayrık bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Tanım: Matematiksel beklenti M(X) ayrık rastgele değişken X, tüm değerlerinin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen olasılıkların toplamıdır:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir;

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için dağılım kullanılır.

Tanım: Varyans D ( X ) Rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Dispersiyon özellikleri:

1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir;

2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir;

3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) varyansı, karesi alınmış rastgele değişken boyutuna sahiptir ve bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle √D(X) değeri aynı zamanda bir rastgele değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır.

Tanım: Standart sapma σ(X) Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir:

Görev No.2. Ayrık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

P2'yi, F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini ve ayrıca M(X), D(X), σ(X)'i çizin.

Çözüm: X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan, o zaman

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X dağılım fonksiyonunu bulalım.

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele değişkenin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan noktanın temsil ettiği değeri alma olasılığıdır.

Eğer x≤-1 ise F(x)=0 olur, çünkü bu rastgele değişkenin (-∞;x) üzerinde tek bir değeri yoktur;

-1 ise<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ve x2=0 olmak üzere iki değer vardır;

Eğer 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Eğer x>3 ise F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünkü dört değer x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) ve x5=3 aralığına düşer.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0, x≤-1'de,

-1'de 0,1<х≤0,

0,2'de 0<х≤1,

F(x)= 0,5, 1'de<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak temsil edelim (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binom dağılım yasası

ayrık rastgele değişken, Poisson yasası.

Tanım: Binom ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - A olayının n bağımsız tekrarlanan denemede meydana gelme sayısı; her birinde A olayı p olasılığıyla meydana gelebilir veya q = 1-p olasılığıyla gerçekleşmeyebilir. Daha sonra P(X=m) - A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

İkili yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması sırasıyla aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> A olayının olasılığı - her denemede "beş atma" aynı ve 1/6'ya eşittir , yani P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada

- “A alamamak.”

Rastgele değişken X şu değerleri alabilir: 0;1;2;3.

Bernoulli formülünü kullanarak X'in olası değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

O. rastgele değişken X'in dağılım yasası şu şekildedir:

Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Görev No.4. Otomatik bir makine parçaları damgalar. Üretilen bir parçanın arızalı olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:

a) 5 kusurlu;

b) en az biri kusurlu.

Çözüm: n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve söz konusu olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, dolayısıyla Poisson formülü geçerlidir:

Pn(m)= e- λ λm

λ=np=1000 0,002=2'yi bulalım.

a) 5 adet hatalı parçanın olma olasılığını bulun (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) En az bir parçanın arızalı olma olasılığını bulun.

A olayı - "seçilen parçalardan en az biri arızalı" olayı - "seçilen parçaların tümü arızalı değil" olayının tersidir. Bu nedenle, P(A) = 1-P(). Dolayısıyla gerekli olasılık şuna eşittir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1-e-2=1-0,13534≈0,865.

Bağımsız çalışma için görevler.

1.1

1.2. Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

p4'ü, F(X) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin.

1.3. Kutuda 2 tanesi artık yazmayan 9 adet kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 işaretçi alın. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki yazı işaretlerinin sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.4. Bir kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele dizilmiş 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında ciltli ders kitaplarının sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.5. Bilette iki görev var. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0,9, ikincisi ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası çizin, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun.

1.6. Üç atıcı bir hedefe ateş ediyor. Tek atışta hedefi vurma olasılığı birinci atışta 0,5, ikinci atışta 0,8, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların bir kerede tek atış yapması durumunda hedefe isabet eden isabet sayısıdır. Dağıtım yasasını bulun, M(X),D(X).

1.7. Bir basketbolcu, her atışta isabet olasılığı 0,8 olan topu sepete atıyor. Her vuruşta 10 puan alır, kaçırırsa puan verilmez. Bir basketbolcunun 3 atışta aldığı puanların sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağılım kanunu çizin. M(X),D(X)'i ve 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun.

1.8. Kartların üzerine toplam 5 sesli ve 3 sessiz harf olmak üzere harfler yazılmaktadır. Rastgele 3 kart seçilir ve her seferinde alınan kart geri verilir. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki sesli harflerin sayısıdır. Bir dağılım kanunu çizin ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun.

1.9. Ortalama olarak, sözleşmelerin %60'ında sigorta şirketi, sigorta konusu olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşme sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağıtım yasası hazırlayın. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun.

1.10. Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim sağlanana kadar belirli aralıklarla (en fazla dört) çağrı işareti gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken X, gönderilen çağrı işaretlerinin sayısıdır. Bir dağıtım yasası çizin ve F(x)'i bulun.

1.11. 3 anahtar var ve bunlardan sadece biri kilide uyuyor. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, kilidi açmaya yönelik X sayısı rastgele değişkeninin dağılımı için bir yasa hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun.

1.12. Güvenilirlik için üç cihazın ardışık bağımsız testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her cihazın testi geçme olasılığı 0,9'dur. Test edilen cihazların rastgele değişken X sayısı için bir dağıtım kanunu çizin.

1.13 .Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektronik cihaz bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'dir. Elemanlar bağımsız olarak çalışır. T süresi boyunca en fazla iki elemanın arızalanma olasılığını bulun.

1.15. Ders kitabı 50.000 adet basıldı. Ders kitabının yanlış ciltlenme olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın aşağıdakileri içerme olasılığını bulun:

a) Dört kusurlu kitap,

b) ikiden az kusurlu kitap.

1 .16. PBX'e her dakikada gelen çağrıların sayısı Poisson yasasına göre λ=1,5 parametresiyle dağıtılır. Bir dakika içinde aşağıdakilerin gelme olasılığını bulun:

a) iki çağrı;

b) en az bir çağrı.

1.17.

Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

1.18. İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir:

Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

Cevaplar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2'de 0,

-2'de 0,3<х≤0,

0'da F(x)= 0,5<х≤2,

2'de 0,9<х≤5,

1 x>5'te

1.2. p4=0.1; x≤-1'de 0,

-1'de 0,3<х≤0,

0'da 0,4<х≤1,

1'de F(x)= 0,6<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0, x≤0'da,

0,03, 0'da<х≤1,

1'de F(x)= 0,37<х≤2,

x>2 için 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Bölüm 2. Sürekli rastgele değişken

Tanım: Sürekli Tüm olası değerleri sayı doğrusunda sonlu veya sonsuz bir aralığı tamamen dolduran bir miktara denir.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Sürekli bir rastgele değişken, bir dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir.

Tanım: F dağıtım fonksiyonu sürekli bir rastgele değişken X'e, her x değeri için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> değerini belirleyen F(x) fonksiyonu adı verilir. R

Dağıtım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu denir.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Sürekli bir rastgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir.

3) X rastgele değişkeninin (a;b), [a;b], [a;b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F(x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani R(a)<Х

4) Sürekli bir rastgele değişken olan X'in ayrı bir değer alma olasılığı 0'dır.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Bir dağıtım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirlemek tek yol değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağıtım yoğunluğu) kavramını tanıtalım.

Tanım : Olasılık dağılım yoğunluğu F ( X ) sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonunun türevidir, yani:

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası adı verilir.

Olasılık yoğunluk dağılımı f(x) grafiğine denir olasılık dağılım eğrisi .

Olasılık yoğunluk dağılımının özellikleri:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height adresinde ="62 src="> 0, x≤2'de,

2'de f(x)= c(x-2)<х≤6,

x>6 için 0.

Bul: a) c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin; c) P(3≤x<5)

Çözüm:

+ ∞

a) c'nin değerini normalleştirme koşulundan buluyoruz: ∫ f(x)dx=1.

Bu nedenle -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height = "38 src = "> -∞ 2 2 x

eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" genişlik = "14" yükseklik = "62"> 0, x≤2'de,

F(x)= (x-2)2/16, 2'de<х≤6,

x>6 için 1.

F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmektedir.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width = "14" height = "62 src = "> x≤0'da 0,

F(x)= (3 arctan x)/π 0'da<х≤√3,

x>√3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun

Çözüm: f(x)= F’(x) olduğuna göre, o zaman

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Daha önce dağılmış rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Görev No.3. Rastgele değişken X, f(x) diferansiyel fonksiyonu ile belirtilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Bağımsız çözüm için problemler.

2.1. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir:

x≤0'da 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= - çünkü π/6'da 3x<х≤ π/3,

x> π/3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun ve ayrıca

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2'de 0,

f(x)= c x 2'de<х≤4,

x>4 için 0.

2.4. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım yoğunluğuyla belirtilir:

x≤0'da 0,

0'da f(x)= c √x<х≤1,

x>1 için 0.

Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x'te,

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x)'i bulun ve grafiğini oluşturun; b) M(X),D(X), σ(X); c) Dört bağımsız denemede X değerinin (1;4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.6. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

x'te f(x)= 2(x-2),

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız denemede X'in değerinin segmente ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.7. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "38 src = ">.jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" genişlik = "45" yükseklik = "36 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[- π /4 ; π /4].

Bul: a) fonksiyonun bazı rastgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı sabit c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x).

2.9. (3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken X, F(x)= dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil.

2.10. Rastgele değişken X, (-1;4) aralığına yoğunlaşmıştır,

F(x)= dağılım fonksiyonu ile verilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten az değil.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "44 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">.

Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X> M(X))

2.12. Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width = "60" height = "38 src = ">.jpg" width = "16 yükseklik = 15" yükseklik = "15"> .

Bul: a) M(X); b) olasılık P(X≤M(X))

2.13. Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 için.

f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu kanıtlayın.

2.14. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width = "174" height = "136 src = ">(Şek. 4) (Şekil 5)

2.16. Rastgele değişken X, (0;4) aralığında “dik üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5). Tüm sayı doğrusundaki f(x) olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun.

Cevaplar

x≤0'da 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= 3sin 3x, π/6'da<х≤ π/3,

x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve dışarıda 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu belirli bir aralıkta (a;b) düzgün bir dağılım yasasına sahiptir. o, yani

x≤a için 0,

f(x)= a için<х

x≥b için 0.

f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Görev No.1. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini çizin;

b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin;

c) M(X),D(X), σ(X).

Çözüm: Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de,

x>7 için 0

Grafiğini oluşturalım (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14" height = "86 src = "> x≤3'te 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width = "203" height = "119 src = ">Şek. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width = "14" height = "49 src = "> 0, x'te<0,

x≥0 için f(x)= λе-λх.

Üstel yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" genişlik = "191" yükseklik = "126 src = ">fig..jpg" genişlik = "22" yükseklik = "30">, D(X)=, σ (Х)=

Dolayısıyla üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir.

X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

P(bir<Х

Görev No.2. Cihazın ortalama arızasız çalışma süresi 100 saattir. Cihazın arızasız çalışma süresinin üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun:

a) olasılık dağılım yoğunluğu;

b) dağıtım işlevi;

c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma ihtimali.

Çözüm: Koşula göre, x'te M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 matematiksel dağılımı<0,

a) x≥0 için f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1-e -0,01x.

c) İstenilen olasılığı dağılım fonksiyonunu kullanarak buluruz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3.Normal dağıtım kanunu

Tanım: Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu normal dağılım yasası (Gauss yasası), dağıtım yoğunluğu şu şekilde ise:

,

burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normal dağılım eğrisi denir normal veya Gauss eğrisi (Şek.7)

Normal eğri x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma sahiptir, eşittir.

Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, aşağıdaki formüle göre Laplace fonksiyonu Ф (x) aracılığıyla ifade edilir:

,

Laplace fonksiyonu nerede.

Yorum: Ф(x) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)) ayrıca x>5 için Ф(х) ≈1/2 olduğunu varsayabiliriz.

F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" genişlik = "218" yükseklik = "33">

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir δ sayısından küçük olma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Özellikle m=0 için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

"Üç Sigma Kuralı"

Eğer bir X rastgele değişkeni m ve σ parametreleriyle normal bir dağılım yasasına sahipse, bu durumda değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında yer alması neredeyse kesindir, çünkü

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width = "157" height = "57 src = ">a)

b) Formülü kullanalım:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width = "369" height = "38 src = ">

Ф(х) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413'ü buluyoruz.

Yani istenilen olasılık:

P(28

Bağımsız çalışma için görevler

3.1. Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. Bulmak:

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(4)<х<6).

3.2. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(3≤х≤6).

3.3. Otoyolda, yeşil ışığın 2 dakika, sarı ışığın 3 saniye, kırmızı ışığın 30 saniye vb. yandığı otomatik bir trafik ışığı vardır. Bir araba otoyolda rastgele bir anda ilerlemektedir. Bir arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulun.

3.4. Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Bir yolcu platforma rastgele bir zamanda giriyor. Bir yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemek zorunda kalma olasılığı nedir? Rastgele değişken X'in (tren için bekleme süresi) matematiksel beklentisini bulun.

3.5. Dağıtım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0 için 1.-8x.

3.6. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğuyla belirtilir:

x'te f(x)= 0<0,

x≥0'da 0,7 e-0,7x.

a) Söz konusu rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın.

b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun.

3.7. Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından belirlenen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te f(x)= 0<0,

0,4 e-0,4 x, x≥0'da.

Test sonucunda X'in (2.5;5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

3.8. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1.-0,6x

Test sonucunda X'in parçadan değer alma olasılığını bulun.

3.9. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir.

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı.

3.10. Rastgele değişken X, 3,5'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04'lük bir varyansla normal olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in segmentten bir değer alma olasılığı.

3.11. Rastgele değişken X, M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal olarak dağıtılır. |X|≤0,6 veya |X|≥0,6 olaylarından hangisinin olasılığı daha yüksektir?

3.12. X rastgele değişkeni M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal dağılım gösterir. Hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) bir test sırasında değer alma olasılığı daha yüksektir?

3.13. Hisse başına cari fiyat normal dağılım kanunu kullanılarak M(X)=10 den modellenebilir. birimler ve σ(X)=0,3 den. birimler Bulmak:

a) Mevcut hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10,4 güne kadar birimler;

b) “üç sigma kuralını” kullanarak mevcut hisse senedi fiyatının yer alacağı sınırları bulun.

3.14. Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, ortalama kare oranı σ=5g olan normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımda 3r mutlak değerinde hata oluşmama olasılığını bulun.

3.15. Rastgele değişken X, M(X)=12.6 ile normal olarak dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. Standart sapmayı σ bulun.

3.16. X rastgele değişkeni M(X)=12 ve D(X)=36 ile normal dağılım göstermektedir. Test sonucunda X rastgele değişkeninin düşeceği aralığı 0,9973 olasılıkla bulunuz.

3.17. Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin nominal değerden X sapması modulo 2 ölçüm birimini aşarsa hatalı olarak kabul edilir. X rastgele değişkeninin M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile normal dağıldığı varsayılmaktadır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını üretiyor?

3.18. Parçanın X parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklentisi ve 0,014 standart sapması ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değerden sapmasının nominal değerin %1'ini aşmama olasılığını bulun.

Cevaplar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" genişlik = "14" yükseklik = "110 src = ">

b) x≤-3 için 0,

F(x)= sol">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

9. Sürekli rastgele değişken, sayısal özellikleri

Sürekli bir rastgele değişken iki fonksiyon kullanılarak belirtilebilir. Rastgele değişken X'in integral olasılık dağılım fonksiyonu eşitlikle tanımlanan bir fonksiyon denir
.

İntegral fonksiyonu hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenleri belirlemek için genel bir yol sağlar. Sürekli bir rastgele değişken durumunda. Tüm olaylar: bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşit aynı olasılığa sahiptir, yani. Örneğin, örnek 26'da belirtilen ayrık rastgele değişken için elimizde:

Dolayısıyla, söz konusu fonksiyonun integral fonksiyonunun grafiği, iki ışının ve Ox eksenine paralel üç parçanın birleşimidir.

Örnek 27. Sürekli rastgele değişken X, integral olasılık dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir

.

İntegral fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun ve test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında bir değer alma olasılığını bulun.

Çözüm. Aralıkta
grafik y = 0 düz çizgisidir. 0'dan 2'ye kadar olan aralıkta denklemle verilen bir parabol vardır.
. Aralıkta
Grafik y = 1 düz çizgisidir.

Test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında değer alma olasılığı formül kullanılarak bulunur.

Böylece, .

İntegral olasılık dağılım fonksiyonunun özellikleri:

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını başka bir fonksiyon kullanarak belirlemek uygundur: olasılık yoğunluk fonksiyonu
.

Rastgele değişken X tarafından varsayılan değerin aralık dahilinde olma olasılığı
, eşitlikle belirlenir
.

Fonksiyonun grafiği denir dağıtım eğrisi. Geometrik olarak, rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı, dağılım eğrisi, Ox ekseni ve düz çizgilerle sınırlanan karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri:

9.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Beklenti Sürekli bir rastgele değişken X'in (ortalama değeri) eşitlikle belirlenir
.

M(X) şu şekilde gösterilir: A. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, ayrık bir rastgele değişkeninkine benzer özelliklere sahiptir:

Varyans ayrık rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani. . Sürekli bir rastgele değişken için varyans aşağıdaki formülle verilir:
.

Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Son özelliğin sürekli bir rastgele değişkenin varyansını bulmak için kullanılması çok uygundur.

Standart sapma kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır. Süreklinin standart sapması Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir, yani
.

Örnek 28. Sürekli bir rastgele değişken X, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilir
(10;12) aralığında, bu aralığın dışında fonksiyonun değeri 0'dır. Bul 1) parametrenin değeri A, 2) matematiksel beklenti M(X), varyans
, standart sapma, 3) integral fonksiyonu
İntegral ve diferansiyel fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir ve oluşturabilirsiniz.

1). Parametreyi bulmak için A formülü kullan
. Alacağız. Böylece,
.

2). Matematiksel beklentiyi bulmak için şu formülü kullanırız:
.

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı bulacağız:
, yani .

Bunu elde ettiğimiz formülü kullanarak standart sapmayı bulalım:
.

3). İntegral fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir:
. Buradan,
en
, = 0
sen = 1
.

Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. ve Şek. 5.

Şekil 4 Şekil 5.

9.2. Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün olasılık dağılımı

Sürekli rastgele değişken X'in olasılık dağılımı eşit olarak olasılık yoğunluğu bu aralıkta sabitse ve bu aralığın dışında sıfıra eşitse, yani aralıkta; . Bu durumda bunu göstermek kolaydır.
.

Aralık ise
aralığın içinde yer alıyorsa, o zaman
.

Örnek 29. Anlık bir sinyal olayı saat bir ile saat beş arasında gerçekleşmelidir. Sinyal bekleme süresi bir X rastgele değişkenidir. Sinyalin öğleden sonra saat iki ile üç arasında algılanma olasılığını bulun.

Çözüm. X rastgele değişkeni düzgün bir dağılıma sahiptir ve formülü kullanarak sinyalin öğleden sonra saat 2 ile 3 arasında olma olasılığının şuna eşit olduğunu buluruz:
.

Eğitim ve diğer literatürde sıklıkla literatürde şu şekilde ifade edilir:
.

9.3. Sürekli bir rastgele değişkenin normal olasılık dağılımı

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, eğer olasılık dağılım yasası olasılık yoğunluğu ile belirleniyorsa normal olarak adlandırılır.
. Bu miktarlar için A– matematiksel beklenti,
- standart sapma.

Teorem. Normal dağılmış sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı
formülle belirlenir
, Nerede
- Laplace fonksiyonu.

Bu teoremin bir sonucu üç sigma kuralıdır; Normal dağılım gösteren, sürekli bir rasgele değişken olan X'in değerlerini aralıkta alması hemen hemen kesindir.
. Bu kural formülden türetilebilir
formüle edilmiş teoremin özel bir durumudur.

Örnek 30. TV'nin çalışma ömrü, normal dağıtım yasasına tabi olan, garanti süresi 15 yıl ve standart sapması 3 yıl olan rastgele bir X değişkenidir. Televizyonun 10 yıldan 20 yıla kadar dayanma olasılığını bulun.

Çözüm. Problemin koşullarına göre matematiksel beklenti A= 15, standart sapma.

Haydi bulalım . Yani TV'nin 10 ila 20 yıl arasında çalışma olasılığı 0,9'dan fazladır.

9.4 Chebyshev eşitsizliği

Gerçekleşir Chebyshev'in lemması. Rastgele bir değişken X yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa ve matematiksel bir beklentiye sahipse, o zaman herhangi bir pozitif için V
.

Zıt olayların olasılıklarının toplamı olarak şunu elde ederiz:
.

Chebyshev'in teoremi. Rastgele değişken X'in sonlu varyansı varsa
ve matematiksel beklenti M(X), o zaman herhangi bir pozitif için eşitsizlik doğrudur
.

Buradan şu sonuç çıkıyor
.

Örnek 31. Bir parça parça üretildi. Parçaların ortalama uzunluğu 100 cm, standart sapması 0,4 cm'dir. Rastgele alınan bir parçanın uzunluğunun en az 99 cm olma olasılığını aşağıdan tahmin edin. ve 101 cm'den fazla olmamalıdır.

Çözüm. Varyans. Matematiksel beklenti 100'dür. Dolayısıyla söz konusu olayın olasılığının altından tahmin yapmak
Chebyshev eşitsizliğini uygulayalım;
, Daha sonra
.

10. Matematiksel istatistiğin unsurları

İstatistiksel toplam Bir dizi homojen nesne veya olguyu adlandırın. Sayı N Bu kümenin elemanlarına koleksiyonun hacmi denir. Gözlemlenen değerler X özelliğine denir seçenekler. Seçenekler artan sırayla düzenlenirse, o zaman şunu elde ederiz: ayrık varyasyon serisi. Gruplandırma durumunda aralıklara göre seçenek şu şekilde ortaya çıkar: aralık varyasyon serisi. Altında frekans karakteristik değerler, belirli bir değişkene sahip popülasyonun üye sayısını anlar.

İstatistiksel bir popülasyonun sıklığının hacmine oranına denir bağıl frekans imza:
.

Bir varyasyon serisinin varyantları ile bunların frekansları arasındaki ilişkiye denir. numunenin istatistiksel dağılımı. İstatistiksel dağılımın grafiksel bir temsili şu şekilde olabilir: çokgen sıklık

Örnek 32. 25 birinci sınıf öğrencisiyle anket yapılarak yaşlarına ilişkin aşağıdaki veriler elde edildi:
. Öğrencilerin yaşlarına göre istatistiksel dağılımını derleyin, varyasyon aralığını bulun, bir frekans poligonu oluşturun ve bir dizi göreceli frekans dağılımını derleyin.

Çözüm. Anketten elde edilen verileri kullanarak örneklemin istatistiksel dağılımını oluşturacağız.

Varyasyon örneğinin aralığı 23 – 17 = 6'dır. Bir frekans poligonu oluşturmak için koordinatları olan noktalar oluşturun
ve bunları seri olarak bağlayın.

Bağıl frekans dağılım serisi şu şekildedir:

10.1.Varyasyon serisinin sayısal özellikleri

Örnek X özelliğinin bir dizi frekans dağılımıyla verilsin:

Tüm frekansların toplamı eşittir P.

Numunenin aritmetik ortalaması miktarı adlandırın
.

Varyans veya bir X karakteristiğinin değerlerinin aritmetik ortalamasına göre dağılım ölçüsüne değer denir
. Standart sapma, varyansın kareköküdür, yani. .

Yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın numunenin aritmetik ortalamasına oranına denir. varyasyon katsayısı:
.

Ampirik bağıl frekans dağılım fonksiyonu her değer için bir olayın göreceli sıklığını belirleyen bir işlevi çağırın
, yani
, Nerede - seçenek sayısı, daha küçük X, A N– numune boyutu.

Örnek 33.Örnek 32'nin koşulları altında sayısal özellikleri bulun
.

Çözüm. Formülü kullanarak numunenin aritmetik ortalamasını bulalım, sonra .

X özelliğinin varyansı şu formülle bulunur: , yani. Numunenin standart sapması
. Değişim katsayısı
.

10.2. Göreceli frekansa göre olasılık tahmini. Güven aralığı

Gerçekleştirilmesine izin ver N Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı sabit ve eşit olan bağımsız denemeler R. Bu durumda, bağıl frekansın, her denemede A olayının meydana gelme olasılığından mutlak değerde farklı olma olasılığı, Laplace integral fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak iki katına eşit olacaktır:
.

Aralık tahminiİstatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsayan aralığın sonu olan iki sayı ile belirlenen böyle bir tahmini çağırın.

Güven aralığıbelirli bir güven olasılığı ile bir aralıktır istatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsar. Bilinmeyen miktarı değiştirdiğimiz formüle bakıldığında R yaklaşık değerine örnek verilerden elde ettiğimizde şunu elde ederiz:
. Bu formül göreceli sıklığa göre olasılığı tahmin etmek için kullanılır. Sayılar
Ve
sırasıyla alt ve üst olarak adlandırılır güven sınırları, - belirli bir güven olasılığı için maksimum hata
.

Örnek 34. Fabrika atölyesi ampul üretiyor. 625 lamba kontrol edilirken 40 tanesinin arızalı olduğu tespit edildi. Fabrika atölyesinde üretilen kusurlu ampullerin yüzdesinin hangi sınırlar içinde olduğunu 0,95 güven olasılığıyla bulun.

Çözüm. Görevin koşullarına göre. Formülü kullanıyoruz
. Ekteki Tablo 2'yi kullanarak Laplace integral fonksiyonunun değerinin 0,475'e eşit olduğu argümanın değerini buluyoruz. Bunu anlıyoruz
. Böylece, . Dolayısıyla atölyeden kaynaklanan kusurların payının yüksek olduğunu, yani %6,2 ile %6,6 arasında değiştiğini 0,95 olasılıkla söyleyebiliriz.

10.3. İstatistikte Parametre Tahmini

İncelenen tüm popülasyonun (genel popülasyon) niceliksel özelliği X'in normal bir dağılıma sahip olmasına izin verin.

Standart sapma biliniyorsa matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A

, Nerede N– numune büyüklüğü, - örnek aritmetik ortalama, T Laplace integral fonksiyonunun argümanıdır, burada
. Bu durumda sayı
tahmin doğruluğu denir.

Standart sapma bilinmiyorsa, örnek verilerden Öğrenci dağılımına sahip bir rastgele değişken oluşturmak mümkündür. N– Yalnızca bir parametreyle belirlenen 1 serbestlik derecesi N ve bilinmeyenlere bağlı değildir A Ve . Küçük örnekler için bile Öğrenci t dağılımı
oldukça tatmin edici derecelendirmeler veriyor. Daha sonra matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A Bu özelliğin belirli bir güven olasılığı ile koşulundan bulunur

burada S düzeltilmiş ortalama karedir, - Verilerden bulunan öğrenci katsayısı
ekteki tablo 3'ten.

Bu özelliğin standart sapmasını bir güven olasılığıyla kapsayan güven aralığı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: ve , burada
değerler tablosundan bulundu Q verilere göre.

10.4. Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılıkları incelemek için istatistiksel yöntemler

Y'nin X'e korelasyon bağımlılığı, koşullu ortalamanın fonksiyonel bağımlılığıdır itibaren X. Denklem
Y'nin X üzerindeki regresyon denklemini temsil eder ve
- X'in Y üzerindeki regresyon denklemi.

Korelasyon bağımlılığı doğrusal veya eğrisel olabilir. Doğrusal korelasyon bağımlılığı durumunda, düz regresyon çizgisinin denklemi şu şekildedir:
eğim nerede A X üzerindeki Y regresyonunun düz çizgisi, X üzerindeki Y örnek regresyon katsayısı olarak adlandırılır ve gösterilir
.

Küçük numuneler için veriler gruplandırılmaz, parametreler
normal denklemler sisteminden en küçük kareler yöntemi kullanılarak bulunur:

, Nerede N– birbiriyle ilişkili büyüklük çiftlerinin değerlerinin gözlem sayısı.

Örnek doğrusal korelasyon katsayısı Y ve X arasındaki yakın ilişkiyi gösterir. Korelasyon katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:
, Ve
yani:

X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemi şu şekildedir:

.

X ve Y karakteristiklerine ilişkin çok sayıda gözlemle, aynı değere sahip iki girişli bir korelasyon tablosu derlenir X gözlemlendi kez, aynı anlam en gözlemlendi kez, aynı çift
gözlemlendi bir kere.

Örnek 35. X ve Y işaretlerinin gözlem tablosu verilmiştir.

X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemini bulun.

Çözüm. İncelenen özellikler arasındaki ilişki, Y'nin X: üzerinde düz bir regresyon çizgisi denklemi ile ifade edilebilir. Denklemin katsayılarını hesaplamak için bir hesaplama tablosu oluşturalım: