Rastgele deney. p-adik olasılık uzayı

BÖLÜM 1 OLASILIK TEORİSİ

Olasılık deneyi. Olasılık teorisinin konusu ve görevleri.

Herhangi bir deneyin sonuçları, deneyin gerçekleştirildiği S koşulları kümesine bir dereceye kadar bağlıdır. Bu koşullar ya nesnel olarak mevcuttur ya da yapay olarak yaratılmıştır (yani bir deney planlanmıştır).

Bir deneyin sonuçlarının, gerçekleştirildiği koşullara bağımlılık derecesine göre, tüm deneyler iki sınıfa ayrılabilir: deterministik ve olasılıksal.

O Deterministik deneyler Bunlar, belirli bir dizi S koşuluna dayanan doğa bilimleri yasalarına dayanarak sonuçları önceden tahmin edilebilen deneylerdir.

Deterministik bir deneyin bir örneği, bir F kuvvetinin etkisi altında m kütleli bir cisim tarafından alınan ivmenin belirlenmesidir; yani istenen değer, bir dizi deneysel koşul (yani m cismin kütlesi) tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir. ve F kuvveti).

Deterministik, örneğin, bir cismin hareketinin belirli başlangıç ​​koşulları ve cisme etki eden kuvvetler tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiği klasik mekanik yasalarının kullanımına dayanan tüm süreçlerdir.

O Olasılıksal deneyler (stokastik veya rastgele) - Aynı kararlı koşullara tabi olarak keyfi sayıda tekrarlanabilen deneyler, ancak deterministik bir deneyin aksine, olasılıksal bir deneyin sonucu belirsiz ve rastgeledir. Onlar. Bir dizi S koşuluna dayanan olasılıksal bir deneyin sonucunu önceden tahmin etmek imkansızdır. Ancak olasılıksal bir deney aynı koşullar altında birçok kez tekrarlanırsa, bu tür deneylerin sonuçlarının toplamı belirli kalıplara uyar. Olasılık teorisi bu kalıpların (veya daha doğrusu matematiksel modellerinin) incelenmesidir. Gelecekte basitçe deney olarak adlandıracağımız olasılık deneylerine birkaç örnek verelim.

Örnek 1

Deney simetrik bir madeni paranın bir kez atılmasından ibaret olsun. Bu deney birbirini dışlayan sonuçlardan biriyle sonuçlanabilir: armanın veya kafesin (kuyrukların) düşmesi. Öteleme ve dönme hareketinin başlangıç ​​hızlarını ve madalyonun fırlatma anındaki başlangıç ​​konumunu tam olarak biliyorsanız, bu deneyin sonucunu klasik mekanik yasalarına göre tahmin edebilirsiniz. Onlar. deterministik olacaktır. Ancak deneyin başlangıç ​​verileri sabitlenemiyor ve sürekli değişiyor. Bu nedenle deneyin sonucunun belirsiz olduğunu söylüyorlar, rastgele. Bununla birlikte, aynı simetrik parayı yeterince uzun bir yörünge boyunca tekrar tekrar atarsak; mümkünse deneyin belirli koşullarını sabit tutarsak, sonuçlarının toplam sayısı belirli kalıplara tabi olur: armaların düşme sıklığı, atış sıklığı (n atış sayısıdır, m) 1, düşen armanın sayısı, m2 ise kuyruktur).

Örnek 2

Bir spor loto kartı doldurduğumuzu varsayalım. Kazanan çekilişten önce kaç sayının doğru tahmin edileceğini tahmin etmek imkansızdır. Bununla birlikte, spor loto çekilişleri yapma deneyimi, m (1≤m≤6) rakamını tahmin eden oyuncuların ortalama yüzdesinin belirli bir sabit değer etrafında dalgalandığını göstermektedir. Bu "örüntüler" (belirli sayıda sayıyı doğru tahmin etmenin ortalama yüzdesi) kazanan fonları hesaplamak için kullanılır.

Olasılıksal deneyler aşağıdaki ortak özelliklere sahiptir: sonucun tahmin edilememesi; aynı koşullar altında birçok kez tekrarlandıklarında belirli niceliksel kalıpların varlığı; birçok olası sonuç.

O Olasılık teorisinin konusu deneysel verilerin statik işlenmesi olarak adlandırılan olasılıksal deneylerin matematiksel modellerinin niceliksel ve niteliksel bir analizidir.

O Olasılık teorisi belirsizlik koşulları altında karar vermeye yönelik matematiksel modellerin analiziyle ilgilenen bilim.

Bunlarla ilgili olaylar ve işlemler.

Bağıl frekanslar ve özellikleri

Olasılık teorisinin diğer kavramlarla tanımlanmayan birincil kavramı, temel sonuçların uzayı Ω'dur. Genellikle bir deneyin mümkün olan tek ayrıştırılamaz sonuçları, temel sonuçların uzayı olarak alınır.

Örnek

1. Simetrik bir paranın atıldığını varsayalım. Sonra (arma ve kuyruklar).

2. Zar .

3. İki madeni para atılıyor.

4. İki zar atılıyor. Temel sonuçların sayısı 36'dır.

5. w sayı eksenine rastgele bir nokta atılıyor.

6. İki puan atılır.

sen

Tanım. Etkinlik temel sonuçlar Ω uzayının keyfi bir alt kümesidir A. A olayını oluşturan temel sonuçlara denir. elverişli olay A.

Deneyin sonucunda w A temel sonucunun ortaya çıkması durumunda, A olayının meydana geldiği söylenir. Olumlu olay A.

Örnek 2'ye bakalım. , – tek sayıda puandan oluşan bir etkinlik; – çift sayıda puanın atılmasından oluşan bir etkinlik.

o Temel sonuçların tüm uzayı Ω, eğer bir olay olarak alınırsa, denir güvenilir olay, çünkü herhangi bir deneyde (her zaman) meydana gelir.

o Boş bir kümeye (yani tek bir temel sonuç içermeyen bir kümeye) denir. imkansız bir olay çünkü asla gerçekleşmez.

Ω ve hariç diğer tüm olaylara denir. rastgele.

Olaylara ilişkin işlemler

0.1 Miktar A ve B olaylarına bu A B kümelerinin birleşimi denir.

– A veya B olaylarından en az birinin meydana gelmesi durumunda meydana gelen bir olay.

0.2 iş A ve B olaylarına A ve B kümelerinin kesişimi denir; A B. AB olarak belirtilmiştir.

AB, A ve B'nin aynı anda meydana geldiği bir olaydır.

0.3 Farkına göre A ve B olaylarına A\B kümelerinin farkı denir.

A\B meydana gelen bir olaydır<=>A olduğunda ve B olmadığında.

o A ve B olayları çağrılır uyumsuz, Eğer . A ve B uyumsuzsa, o zaman şunu göstereceğiz: .

o A olayı, B'nin bir alt kümesi ise, A olayının B olayını gerektirdiği söylenir; (A olduğunda B olur).

o Etkinlik çağrılır zıt A olayına.

Örnek 2. . A gerçekleşmediğinde meydana gelir.

o Olayların Н 1 , Н 2 ,…, Н n olduğunu söylüyorlar. tam bir grup oluşturmak, eğer Н 1 +Н 2 +…+Н n =Ω (yani Н 1 , Н 2 , Н n uyumsuzsa, yani Н i Н j = eğer i≠j ise).

Örneğin A ve tam bir grup oluşturun: .

Sonucu Ω uzayı ile tanımlanan rastgele bir deneyin yapıldığını varsayalım. N deney yapalım. A bir olay () olsun, N(A), A olayının meydana geldiği deneylerin sayısı olsun.

Daha sonra numara aranır A olayının bağıl sıklığı.

Olasılık teorisinin aksiyomları

Ω temel sonuçların uzayı olsun. F'nin Ω'un alt kümelerinin bir sınıfı olduğunu varsayalım.

o Bir olay, Ω'un F sınıfına ait bir alt kümesidir. Her olay, P(A) gerçek sayısıyla ilişkilidir. olasılık A aksiyomlar sağlanır:

Aksiyom 1.

Aksiyom 2.,onlar. Belirli bir olayın olasılığı 1'dir.

Aksiyom 3.(sayılabilir toplamsallık) Eğer Ve , ardından (uyumsuz olaylar için).

Kombinatorik elemanları

Lemma 1. Birinci grubun m elemanı a 1 ,…,a m'den ve ikinci grubun n elemanı b 1 ,…,b n'den, bir eleman içeren (a i , b j ) formunda tam olarak m∙n sıralı çift oluşturmak mümkündür her gruptan.

Kanıt:

Toplamda m∙n çiftimiz var.

Örnek. Destede 4 renk vardır (kupa, maça, sinek, karo), her renkte 9 kart bulunur. Toplam n=4∙9=36.

Lema 2. Birinci grubun n 1 elemanından a 1, a 2,… ve n 1,

n 2 ikinci grubun elemanları b 1, b 2,…, b n 2,

n k'inci grubun 3 elemanı x 1 , x 2 ,…, x nk

formun tam olarak n 1 ∙ n 2 ∙…∙n k farklı sıralı kombinasyonunu oluşturmak mümkündür Her gruptan bir element içeren

1. k=2 için ifade doğrudur (Önlem 1).

2. Önem 2'nin k için geçerli olduğunu varsayalım. k+1 element grubu için ispat yapalım . Kombinasyonu düşünün Nasıl Ve . Varsayım, k elementin kombinasyon sayısını, bunların n 1 n 2 n k'sini hesaplamayı mümkün kılar. Lemma 1'e göre k+1 elemanlarının kombinasyon sayısı n 1 n 2 … n k +1'dir.

Örnek.İki zar atıldığında N=6∙6=36. Üç zar atıldığında N=6∙6∙6=216.

Geometrik olasılıklar

Sayı doğrusunda belli bir doğru parçası olduğunu ve bu doğru parçasına rastgele bir nokta atıldığını varsayalım. Bu noktanın üzerine düşme olasılığını bulun.

-düz bir çizgi üzerinde geometrik olasılık.

Bir düzlem şekli olan g, bir düzlem şekli olan G'nin parçası olsun. G şeklinin üzerine rastgele bir nokta atılıyor. Bir noktanın g şekline girme olasılığı eşitlikle belirlenir:

-Düzlemde geometrik olasılık.

Uzayda V şeklinin bir parçası olan bir v şekli olsun. V şeklinin üzerine rastgele bir nokta atılıyor. Bir noktanın v şekline girme olasılığı eşitlikle belirlenir:

-uzayda geometrik olasılık.

Klasik olasılık tanımının dezavantajı, sonsuz sayıda sonucu olan denemelere uygulanamamasıdır. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için tanıtıyorlar geometrik olasılıklar.

Olasılığın Özellikleri

Mülk 1.İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır, yani. . .

Mülk 2. Güvenilir bir olayın olasılığı 1'dir, yani. , .

Mülk 3. Herhangi bir etkinlik için . , Çünkü , o zaman ve bu nedenle .

Mülk 4. A ve B olayları uyumsuzsa, toplamın olasılığı olasılıkların toplamına eşittir:

Rastgele değişkenler

O Rastgele değişken X R gerçek sayıları kümesindeki Ω temel sonuçlarının uzayını haritalayan bir X(w) fonksiyonudur.

Örnek. Paranın iki kez atılmasına izin verin. Daha sonra .

Rastgele değişken X'i (temel sonuçlar Ω uzayında armanın oluşum sayısı) ele alalım. Rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesi: 2,1,0.

Rastgele bir değişkenin değer kümesi Ω x ile gösterilir. Rastgele değişkenin önemli özelliklerinden biri, rasgele değişkenin dağılım fonksiyonudur.

O Rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu Rastgele değişken X'in bir deney sonucunda belirli bir sabit x sayısından daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen, gerçek bir x değişkeninin F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır.

X'i x ekseni üzerinde rastgele bir nokta olarak düşünürsek, geometrik açıdan F(x), deney sonucunda rastgele bir X noktasının x noktasının soluna düşme olasılığıdır.

En basit olay akışı.

Rastgele zamanlarda meydana gelen olayları ele alalım.

O Olayların akışı rastgele zamanlarda meydana gelen olaylar dizisine denir.

Akış örnekleri şunları içerir: bir telefon santralına, acil tıbbi yardım istasyonuna yapılan çağrıların gelmesi, uçağın havaalanına varması, müşterilerin bir tüketici hizmetleri kuruluşuna varması, elemanların arıza sırası ve daha birçokları.

Akışların sahip olabileceği özellikler arasında durağanlık, sonuçların yokluğu ve sıradanlık özelliklerini öne çıkarıyoruz.

o Olayların akışına denir sabit t süresi boyunca k olayın meydana gelme olasılığı yalnızca k ve t'ye bağlıysa.

Dolayısıyla durağanlık özelliği, herhangi bir zaman aralığında k olaylarının meydana gelme olasılığının yalnızca k sayısına ve aralığın t süresine bağlı olması ve sayımının başlangıcına bağlı olmamasıyla karakterize edilir; bu durumda farklı zaman aralıklarının ayrık olduğu varsayılır. Örneğin k olayın (1, 7), (10, 16), (T, T+6) zaman aralıklarında ve aynı t=6 zaman birimi süresinde gerçekleşme olasılıkları birbirine eşittir.

o Olayların akışına denir sıradan Sonsuz küçük bir zaman diliminde birden fazla olay meydana gelemiyorsa.

Dolayısıyla sıradanlık özelliği, kısa bir süre içinde iki veya daha fazla olayın meydana gelmesinin neredeyse imkansız olmasıyla karakterize edilir. Başka bir deyişle birden fazla olayın aynı anda meydana gelme olasılığı neredeyse sıfırdır.

o Olay akışının özelliğinin olduğu söyleniyor sonuç yokörtüşmeyen zaman aralıklarında bir veya daha fazla olayın meydana gelmesinden karşılıklı bağımsızlık varsa. Dolayısıyla hiçbir sonucun olmaması özelliği, herhangi bir zaman aralığında k olayın meydana gelme olasılığının, söz konusu dönemin başlangıcından önceki zaman noktalarında olayların ortaya çıkıp çıkmamasına bağlı olmadığı gerçeğiyle karakterize edilir. Başka bir deyişle, söz konusu dönemin başlangıcından önce ne olduğuna (yani kaç olayın hangi sırayla ortaya çıktığına) ilişkin keyfi bir varsayım altında hesaplanan, herhangi bir zaman periyodunda k olayın meydana gelmesinin koşullu olasılığı eşittir. koşulsuz olasılığa. Sonuç olarak akışın geçmişi, olayların yakın gelecekte meydana gelme olasılığını etkilemez.

o Olayların akışına denir en basit veya Poisson, eğer durağansa, sıradansa, sonuçsuzsa.

O Akış yoğunluğu λ birim zamanda meydana gelen ortalama olay sayısıdır.

Akışın sabit yoğunluğu biliniyorsa, t süresi boyunca en basit akışın k olayının meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir:

, . Poisson formülü.

Bu formül en basit akışın tüm özelliklerini yansıttığı için en basit akışın matematiksel modeli olarak düşünülebilir.

Örnek. PBX'in dakikada aldığı ortalama çağrı sayısı ikidir. 5 dakika içinde aşağıdakileri alma olasılığınızı bulun: a) iki çağrı; b) ikiden az çağrı; c) en az iki çağrı. Çağrı akışının basit olduğu varsayılmaktadır.

λ=2, t=5, k=2 koşuluna göre. Poisson formülüne göre

A) - bu olay neredeyse imkansızdır.

B) - olay neredeyse imkansızdır çünkü "hiçbir çağrı alınmadı" ve "bir çağrı alındı" olayları uyumsuzdur.

B) - bu olay neredeyse kesindir.

Dispersiyonun özellikleri.

Mülk 1. C sabit değerinin varyansı 0.DC=0'dır.

Mülk 2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

Mülk 3.İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir:

Sonuçlar. Birkaç bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamına eşittir.

Teorem 2. A olayının, her birinde olayın meydana gelme olasılığı p'nin sabit olduğu n bağımsız denemede meydana gelme sayısının varyansı, deneme sayısının meydana gelme olasılığı ve gerçekleşmeme olasılığı ile çarpımına eşittir. olayın bir denemede meydana gelmesi: .

Rastgele değişken X, n bağımsız denemede A olayının meydana gelme sayısıdır. burada Xi, i'inci denemedeki olayların meydana gelme sayısıdır, birbirinden bağımsızdır, çünkü Her denemenin sonucu diğerlerinin sonuçlarından bağımsızdır.

Çünkü MX 1 =p. , O . Açıkçası, geri kalan rastgele değişkenlerin varyansı da pq'ye eşittir, dolayısıyla .

Örnek. Her biri bir olayın meydana gelme olasılığı 0,6 olan 10 bağımsız deneme gerçekleştirilir. X rastgele değişkeninin varyansını, yani olayın bu denemelerde meydana gelme sayısını bulun.

n=10; p=0.6; q=0,4.

O Rastgele değişkenlere göre başlangıç ​​momenti X X k rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi denir:

. Özellikle, .

Bu noktaları kullanarak varyansı hesaplama formülü şu şekilde yazılabilir: .

Rastgele değişken X'in momentlerine ek olarak, X-XM sapma momentlerinin de dikkate alınması tavsiye edilir.

O k mertebesinin merkezi momenti Rastgele değişken X, (X-MX) k değerinin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır.

özellikle

Buradan, .

Merkezi momentin tanımına dayanarak ve matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak aşağıdaki formülleri elde edebiliriz:

Daha yüksek dereceli momentler nadiren kullanılır.

Yorum. Yukarıda tanımlanan anlara denir teorik. Teorik momentlerin aksine, gözlemsel verilerden hesaplanan momentlere denir. ampirik.

Rasgele değişken sistemleri.

o Vektör, burada -rastgele değişkenler n- olarak adlandırılır boyutlu rastgele vektör.

Böylece, rastgele vektör, Ω→IR n temel sonuçlarının uzayını n boyutlu gerçek uzay IR n'ye eşler.

o İşlev

İsminde rastgele vektör dağılım fonksiyonu veya ortak dağıtım fonksiyonu rastgele değişkenler.

Mülk 4.

o Rastgele bir vektör denir ayrık, eğer tüm bileşenleri ayrık rastgele değişkenlerse.

o Rastgele vektör isminde sürekli Negatif olmayan bir fonksiyon varsa, dağılım fonksiyonu olacak şekilde rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu denir. .

Korelasyon özellikleri.

Mülk 1. Korelasyon katsayısının mutlak değeri birliği aşmaz, yani. .

Mülk 2. X ve Y rastgele değişkenlerinin doğrusal bir ilişkiyle ilişkilendirilmesinin gerekli ve yeterli olması için. Onlar. 1 olasılıkla.

Mülk 3. Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyonsuzdurlar, yani. r=0.

X ve Y bağımsız olsun, o zaman matematiksel beklentinin özelliğine göre

o İki rastgele değişken X ve Y olarak adlandırılır. ilişkili Korelasyon katsayıları sıfırdan farklı ise.

O Rastgele değişkenler X ve Y, ilişkisiz olarak adlandırılır Korelasyon katsayısı 0 ise.

Yorum.İki rastgele değişkenin korelasyonu onların bağımlılığını ima eder, ancak bağımlılık henüz korelasyonu ima etmez. İki rastgele değişkenin bağımsızlığından, bunların korelasyonsuz olduğu sonucu çıkar, ancak korelasyonsuzluktan bu değişkenlerin bağımsız olduğu sonucuna varmak hala imkansızdır.

Korelasyon katsayısı rastgele değişkenlerin doğrusal bağımlılığa eğilimini karakterize eder. Korelasyon katsayısının mutlak değeri ne kadar büyük olursa, doğrusal bağımlılığa olan eğilim de o kadar büyük olur.

O Asimetri katsayısı rastgele değişken X sayıdır

Asimetri katsayısının işareti sağ veya sol tarafta asimetriyi gösterir.

o Bir X rastgele değişkeninin basıklığı sayıdır .

Normal dağılım eğrisine göre dağılım eğrisinin düzgünlüğünü karakterize eder.

Fonksiyonlar oluşturuluyor

o Altında tamsayı Rastgele değişken derken, 0,1,2,... değerlerini alabilen ayrık bir rastgele değişkeni kastediyoruz.

Dolayısıyla, eğer bir X rastgele değişkeni bir tamsayı ise, o zaman bir dağılım serisine sahiptir.

Üreten fonksiyona fonksiyon denir

x-kare dağılımı

Xi normal bağımsız rastgele değişkenler olsun ve her birinin matematiksel beklentisi sıfıra ve standart sapma (veya varyans) bire eşit olsun. Daha sonra bu niceliklerin karelerinin toplamı X 2 yasasına göre k=n serbestlik derecesiyle dağıtılır. Eğer bu Xi miktarları örneğin bir doğrusal ilişkiyle ilişkiliyse, o zaman serbestlik derecesi sayısı k=n-1 olur.

Bu dağılımın yoğunluğu , Nerede -gama işlevi; özellikle Г(n+1)=n!

Bu, "x ve kare" dağılımının tek bir parametreyle, k serbestlik derecesi sayısıyla belirlendiğini gösterir. Serbestlik derecesi sayısı arttıkça dağılım yavaş yavaş normale yaklaşır.

Öğrenci dağılımı

Z-normal dağılımlı bir nicelik olsun ve M(Z)=0, G 2 =1 olsun, yani Z~N(0,1) ve V, Z'den bağımsız bir niceliktir ve X 2 yasasına göre k serbestlik derecesi ile dağıtılır. Bu durumda miktar, k serbestlik derecesine sahip, t-dağılımı veya Öğrenci dağılımı (İngiliz istatistikçi W. Gosset'in takma adı) adı verilen bir dağılıma sahiptir. Serbestlik derecesi sayısı arttıkça Öğrenci dağılımı hızla normale yaklaşır.

Rastgele değişken t'nin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: , .

Rastgele değişken t'nin matematiksel beklentisi Mt=0, (k>2)'dir.

Fisher dağıtımı

U ve V, k 1 ve k 2 serbestlik derecelerine sahip X 2 yasasına göre dağıtılan bağımsız rastgele değişkenlerse, bu durumda değer, k 1 ve k 2 serbestlik derecelerine sahip bir Fisher dağılımı F'ye sahiptir. Bu dağılımın yoğunluğu , Nerede

.

Fisher dağılımı F iki parametreyle belirlenir: serbestlik derecesi sayısı.

Karakteristik fonksiyonlar

0. 1 Rastgele değişken; burada i hayali birimdir; ve X ve Y gerçek rastgele değişkenlerdir, denir karmaşık değerli rastgele değişken. (i2 = –1).

0. 2 Karmaşık değerli bir rastgele değişken olan Z'nin matematiksel beklentisine denir. Matematiksel beklentinin tüm özellikleri karmaşık değerli rastgele değişkenler için geçerliliğini korur.

0. 3 Karmaşık değerli rastgele değişkenler Z 1 =X 1 +iY 1 ve Z 2 =X 2 +iY 2 sırasıyla bağımsız ise bağımsız olarak adlandırılır.

Büyük sayılar kanunları

Rastgele Özellikler

O Rastgele işlev t argümanının herhangi bir değeri için değeri rastgele bir değişken olan bir X(t) fonksiyonudur.

Başka bir deyişle, rastgele bir fonksiyon, deney sonucunda şu veya bu belirli formu alabilen, ancak hangisinin önceden bilinmediği bir fonksiyondur.

o Rastgele bir değişkenin deney sonucunda aldığı spesifik forma denir. rastgele bir fonksiyonun uygulanması.

Çünkü pratikte t argümanı çoğunlukla geçicidir, bu durumda rastgele fonksiyon başka şekilde adlandırılır rastgele süreç.

Şekilde rastgele bir sürecin çeşitli uygulamaları gösterilmektedir.

Eğer t argümanının değerini sabitlersek, X(t) rastgele fonksiyonu bir rastgele değişkene dönüşecektir. rastgele bir fonksiyonun kesiti t zamanına karşılık gelir. Kesit dağılımının sürekli olduğunu varsayacağız. Daha sonra belirli bir t için X(t), p(x; t) dağılım yoğunluğu ile belirlenir.

Açıkçası, p(x; t), X(t) rastgele fonksiyonunun kapsamlı bir özelliği değildir, çünkü X(t)'nin farklı t zamanlarındaki bölümleri arasındaki bağımlılığı ifade etmez. Fonksiyon tarafından daha kapsamlı bir açıklama verilmiştir. - rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin ortak dağılım yoğunluğu burada t 1 ve t 2, rastgele fonksiyonun t argümanının keyfi değerleridir. X(t) rastgele fonksiyonunun daha da eksiksiz bir karakterizasyonu, üç rastgele değişkenden oluşan bir sistemin uyumlu dağılım yoğunluğu vb. ile verilecektir.

o Rastgele bir süreç olduğunu söylüyorlar n siparişi var tamamen sürecin n rastgele bölümünün uyumlu dağılımının yoğunluğu ile belirlenmişse, yani; n rastgele değişkenden oluşan sistem; burada X(ti), sürecin ti zaman anına karşılık gelen kesitidir, ancak n'den daha az sayıda kesitin ortak dağılımını belirleyerek belirlenmez.

o Bir prosesin keyfi iki kesitinin ortak dağılımının yoğunluğu onu tamamen belirliyorsa böyle bir prosese denir. Markovsky.

Rastgele bir X(t) fonksiyonu olsun. Görev, onu bir veya daha fazla rastgele olmayan özellik kullanarak tanımlamaktan kaynaklanır. Bunlardan ilki olarak işlevi üstlenmesi doğaldır. Rastgele bir sürecin matematiksel beklentisi. İkincisi ise rastgele sürecin standart sapması olarak alınır.

Bu özellikler t'nin bazı fonksiyonlarıdır. Bunlardan ilki, tüm olası uygulamalar için ortalama yörüngedir. İkincisi, rastgele bir fonksiyonun gerçekleşmelerinin ortalama yörünge etrafındaki olası yayılmasını karakterize eder. Ancak bu özellikler yeterli değildir. X(t 1) ve X(t 2) miktarlarının bağımlılığını bilmek önemlidir. Bu bağımlılık bir korelasyon fonksiyonu veya bir korelasyon momenti kullanılarak karakterize edilebilir.

Şekillerde çeşitli uygulamaları gösterilen iki rastgele süreç olsun.

Bu rastgele süreçler yaklaşık olarak aynı matematiksel beklentilere ve standart sapmalara sahiptir. Ancak bunlar farklı süreçlerdir. Rastgele bir fonksiyon X 1 (t) için herhangi bir uygulama, değerlerini t'deki bir değişiklikle yavaşça değiştirir; bu, X 2 (t) rastgele fonksiyonu hakkında söylenemez. Birinci süreç için, X 1 (t) kesitleri arasındaki bağımlılık, X 2 (t) kesitleri ve ikinci süreç arasındaki bağımlılıktan daha büyük olacaktır, yani. göre daha yavaş azalır , artan Δt ile. İkinci durumda süreç geçmişini daha hızlı “unutur”.

Bir çift rastgele değişkenin korelasyon momentinin özelliklerinden kaynaklanan korelasyon fonksiyonunun özellikleri üzerinde duralım.

Mülk 1. Simetrinin özelliği.

Mülk 2. X(t) rastgele fonksiyonuna rastgele olmayan bir terim eklenirse korelasyon fonksiyonu değişmeyecektir; .

§1. Olasılık teorisi neyi araştırıyor ve ne zaman ortaya çıktı? Rastgele deney kavramı. Temel sonuçların uzayı. Türler ve örnekler. Kombinatorik elemanları. Bir olay kavramı.

Tarihsel bilgi:

Tarihsel olarak olasılık teorisi, bir kumar teorisi (rulet, zar, kart vb.) olarak ortaya çıkmıştır. 17. yüzyılın sonunda. Gelişiminin başlangıcı Pascal, Bernoulli, Moivre, Laplace ve daha sonra (19. yüzyılın başları) Gauss ve Poisson isimleriyle ilişkilidir.

Rusya'da olasılık teorisi üzerine ilk çalışmalar 19. yüzyılın ortalarına kadar uzanıyor ve N.I. gibi seçkin matematikçilerin isimleriyle ilişkilendiriliyor. Lobaçevski, M.V. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky (sigorta ve demografi uygulamalarını içeren bir ders kitabı yayınlayan ilk kişilerden biri).

Olasılık teorisinin daha da gelişmesi (19. yüzyılın sonları ve 20. yüzyılın yirmili yılları) esas olarak Rus bilim adamları Chebyshev, Lyapunov ve Makarov'un isimleriyle ilişkilidir. 20. yüzyılın 30'lu yıllarından bu yana, matematiğin bu dalı, bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında uygulama alanı bulan bir gelişme dönemi yaşamıştır. Şu anda Rus bilim adamları Bernstein, Khinchin ve Kolmogorov olasılık teorisinin gelişimine önemli katkılarda bulundular. Olasılık teorisinin aksiyomatik yapısını öneren ve matematiğin diğer dallarıyla (küme teorisi, ölçü teorisi, fonksiyonel analiz) bağlantısını kuran kişi, 1933'te 30 yaşındayken Kolmogorov'du.

Olasılık teorisi, matematiğin bir dalıdır. rastgele deneylerin matematiksel modelleri, yani Sonuçları deneyin koşulları tarafından açıkça belirlenemeyen deneyler. Deneyin kendisinin (en azından prensipte) değişmeyen koşullar altında herhangi bir sayıda tekrarlanabileceği ve deneyin sonuçlarının istatistiksel olarak kararlı olduğu varsayılmaktadır.

Rastgele deney kavramı

Rastgele deney örnekleri:

1. Bir kez yazı tura atın.

2. Zarları bir kez atın.

3. Tornadan rastgele bir top seçimi.

4. Bir ampulün çalışma süresinin ölçülmesi.

5. Birim zaman başına PBX'e gelen çağrı sayısının ölçülmesi.

Yalnızca ilk deneyin sonucunu tahmin etmek mümkün değilse, bir deney rastgeledir. ama aynı zamanda daha da fazlası. Örneğin sonucu bilinmeyen bir tür kimyasal reaksiyon gerçekleştirilir. Bir kez yapılırsa ve belirli bir sonuç elde edilirse, aynı koşullar altında daha fazla deney yapıldığında rastlantısallık ortadan kalkar.

Bu türden dilediğiniz kadar örnek verebilirsiniz. Rastgele sonuçları olan deneylerin ortak noktası nedir? Yukarıda listelenen deneylerin her birinin sonuçlarını tahmin etmenin imkansız olmasına rağmen, pratikte belirli bir model türünün uzun süredir fark edildiği ortaya çıktı, yani: çok sayıda test gerçekleştirirken gözlemlenen frekanslar her rastgele olayın meydana gelmesi stabilize edilir, onlar. Bir olayın olasılığı adı verilen belirli bir sayıdan giderek daha az farklılaşır.

A olayının () gözlemlenen sıklığı, A olayının () meydana gelme sayısının toplam deneme sayısına (N) oranıdır:

Örneğin, adil bir para atıldığında kesir

en

(
-kartal sayısı, N– toplam atış sayısı)

Frekans kararlılığının bu özelliği, tek bir deneyin sonucunu tahmin edemeden, söz konusu deneyimle ilişkili fenomenin özelliklerini doğru bir şekilde tahmin etmeye olanak tanır. Bu nedenle, modern yaşamdaki olasılık teorisinin yöntemleri, yalnızca doğa bilimlerinde, ekonomide değil, aynı zamanda tarih, dil bilimi vb. gibi beşeri bilimlerde de insan faaliyetinin tüm alanlarına nüfuz etmiştir. Bu yaklaşıma dayanarak olasılığın istatistiksel belirlenmesi.

en
(bir olayın gözlemlenen sıklığı, deney sayısı arttıkça, yani n ile olasılığı artar)
).

Tanım 1.1: Temel bir sonuç (veya temel bir olay) Bir deneyin en basit (yani belirli bir deneyim çerçevesinde bölünemeyen) sonucunu adlandırın. Tüm temel sonuçların kümesini çağıracağız temel sonuçların alanı.

Temel sonuçlardan oluşan bir uzay inşa etmeye bir örnek:

Şu rastgele deneyi ele alalım: Bir zarı bir kez atmak, üst tarafa düşen puanların sayısını gözlemlemek. Bunun için temel sonuçların uzayını inşa edelim:

Tüm seçenekleri içerir, her seçeneğin görünümü diğerlerinin görünümünü hariç tutar, tüm seçenekler bölünemez.

Temel sonuçların alanı (her tür için türler ve örnekler):

Aşağıdaki diyagramı göz önünde bulundurun

Ayrık uzaylar– bunlar bireysel sonuçların ayırt edilebildiği alanlardır . ayrık sonlu numaralarını doğru bir şekilde belirtebilirsiniz.

Temel sonuçların ayrık uzaylarına örnekler

Deney:tek yazı tura atma

, Nerede

E.i.'nin üretimine dahil edilebilir. Bir madalyonun kenarına düşme seçeneği, ancak olası olmadığı için bunu modelin dışında tutuyoruz (her model bir miktar yaklaşımdır)

Madeni para doğruysa, yani. Her yerde aynı yoğunluğa ve yer değiştirmemiş bir ağırlık merkezine sahip olduğundan, “arma” ve “kuyruk” sonuçlarının ortaya çıkma şansı eşit olur. Madeni paranın ağırlık merkezi kaydırılırsa, buna göre sonuçların farklı gerçekleşme şansları olur.

Yorum: Eğer bir problem bir madeni para hakkında hiçbir şey söylemiyorsa, o zaman onun doğru olduğu varsayılır.

Deney:iki madeni paranın tek bir atışıyla.

Not: Madeni paralar aynıysa RG ve GR sonuçları görsel olarak ayırt edilemez. Madeni paralardan birini boyayla işaretleyebilirsiniz, böylece görsel olarak farklı olurlar.

Model farklı şekillerde oluşturulabilir:

veya RG, GR'nin sonuçlarını birbirinden ayırırız ve sonra 4 değişken elde ederiz

, Nerede

Bu durumda, eğer her iki jeton da doğruysa, tüm seçeneklerin görünme şansı eşittir.

ya da RG ve GR seçenekleri arasında ayrım yapmıyoruz ve elimizde 3 seçenek kalıyor.

, Nerede

Bu durumda her iki coin de doğruysa RG seçeneğinin görünme şansı GG ve RR seçeneklerine göre daha yüksektir çünkü iki şekilde uygulanır: ilk madeni parada arma, ikincisinde kuyruk ve bunun tersi.

Deney: 20 öğrenciden oluşan bir gruptan rastgele seçim, 5 bir konferansa seyahat edecek kişi. Deney sonucu: spesifik beş.

Seçim yaparken sadece kompozisyona önem veriyoruz, yani. kimi birinci seçtiğimiz, kimi ikinci seçtiğimiz vb. önemli değil. Aynı zamanda

(20 kişiden farklı kompozisyonda kaç tane “beş” elde edilebilir) (faktöriyel)

(

Bu sorunun cevabı yine kombinatorik bilimi tarafından verilmektedir.

15504 seçeneğin hepsinin görünme şansı eşittir çünkü seçim rastgeledir. Deney: 20 kişiden oluşan bir grup öğrenciden rastgele seçim, 5 kişi değişen miktarlarda ikramiye alır. Deney sonucu

1860480 (: belirli bir sıralı beşli. Seçim yaparken bizim için sadece kompozisyon değil, aynı zamanda seçim sırası da önemlidir, çünkü Bonusun boyutu kişinin nasıl seçildiğine bağlıdır.

20 kişiden kaç tane sıralı farklı “beş” elde edilebilir).

(

Bu sorunun cevabı yine kombinatorik bilimi tarafından verilmektedir. 1860480 Tüm

seçeneklerin ortaya çıkma şansı eşittir, çünkü seçim rastgeledir.

Sırasız olanlardan daha fazla sıralı “beşli” olacağı açıktır, çünkü Aynı kompozisyonda birden fazla sipariş seçeneği olabilir: bu durumda 5 kişilik her kompozisyonda 120 farklı sipariş seçeneği mümkündür.

KOMBİNATÖRLERİN ELEMANLARI

Genelleştirilmiş çarpma kuralı:Taahhüt etmek gerekli olsunM bağımsız eylemler ve ilk eylem gerçekleştirilebilir yollar, ikincisi -Taahhüt etmek gerekli olsunyollar vb. ….
-inci eylem

yollar. Daha sonra tüm eylem dizisi gerçekleştirilebilir

yollar.

PermütasyonNelemanlar bu elemanların sıralı herhangi bir kümesine denir.

-n elemanın permütasyon sayısı

Açıklama: İlk eleman n yolla, ikincisi n-1 yolla vb. seçilebilir. son eleman tek şekilde yapılır ve genelleştirilmiş çarpma kuralına göre çarpılırlar

Yerleşimler.

Yerleştirildi:NİleTaahhüt etmek gerekli olsun herhangi biri denir sıralı set n öğe içeren bir popülasyondan rastgele seçilen m öğenin (m

N elemanın m'ye göre yerleşim sayısı (böyle sıralı bir seçim için seçeneklerin sayısı).

Açıklama: İlk eleman n yolla, ikincisi n-1 yolla vb. seçilebilir. ve genelleştirilmiş çarpma kuralına göre çarpılırlar.

Kombinasyonlar.

Bir kombinasyonNİleTaahhüt etmek gerekli olsun herhangi biri denir sırasız küme n eleman içeren bir popülasyondan rastgele seçilen m eleman.

Kombinasyonlar ve yerleşimler aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

(m elemanın her bileşimi için m! sıralı kümelerimiz var). Böylece,

m'nin n elemanının kombinasyon sayısı (bu tür sırasız bir seçim için seçeneklerin sayısı)

Temel sonuçların sürekli uzayına örnek

Deney: iki kişi saat 12 ile 13 arasında belli bir yere randevu alıyor ve her biri bu saat içerisinde rastgele bir anda gelebiliyor. Geliş anlarını takip ediyoruz. 2 kişinin gelmesi için her seçenek, kenarı 60 olan bir kareden bir puandır (bir saatte 60 dakika olduğundan).

(ilki saat 12 x dakikada, ikincisi saat 12 x y dakikada varabilir). Karedeki tüm noktaların sayılması ve yeniden numaralandırılmasından başka bir şey yapılamaz. Bu onun sürekli yapısıdır ve dolayısıyla bu deneyde temel sonuçların sürekli uzayıdır.

Bunlarla ilgili olaylar ve işlemler:

Tanım 1.2

Herhangi temel sonuçların bir kümesine olay denir. İLE olaylar büyük Latin harfleri A, B, C veya A 1, A 2, A 3 vb. endeksli harflerle gösterilir.

Aşağıdaki terminoloji sıklıkla kullanılır: Eğer deneyimin bir sonucu olarak temel sonuçlardan herhangi biri ortaya çıktıysa, A olayının meydana geldiğini (veya meydana geldiğini) söylerler.
.

Olay örnekleri

Zar atma deneyine dönelim. Aşağıdaki olayları göz önünde bulundurun:

A=(çift sayıda noktayı yuvarlamak)

B=(tek sayıda puan yuvarlanıyor)

C=(3'ün katı olan sayıda noktanın yuvarlanması)

Daha sonra, daha önce tanıtılan gösterime göre,

Tanım 1.3

Tüm temel sonuçları içeren bir olay; Belirli bir deneyimde mutlaka meydana gelen bir olaya denir güvenilir. Belirlendi
aynı zamanda temel sonuçların uzayı.

Güvenilir bir olay örneği: Zar atarken en fazla 6 puan, zar atarken en az bir puan görünecektir.

Tanım 1.4

Tek bir temel sonuç içermeyen bir olay; Belirli bir deneyimde asla gerçekleşmeyen bir olaya imkansız denir. Sembol ile belirtilir  .

İmkansız bir olaya örnek:İki zar atıldığında atılan toplam puan sayısı 20 olacaktır.

Olaylara ilişkin işlemler:

cümlesi, A veya B olaylarından en az birinin meydana gelmesi).

Tanım 1.5 A ve B olaylarına denir uyumsuz, kesişmeleri imkansız bir olaysa, yani. AB=  .

Olaylarla ilgili işlemlere ilişkin bir görev örneği:

Hedefe üç el ateş edilir. Olayları göz önünde bulundurun

(i'inci atışla vur), i=1..3

Küme teorik işlemlerini kullanarak aşağıdaki olayları A i olayları cinsinden ifade edin:

A=(üç vuruş)=

B=(üç kayıp)=

C=(en az bir vuruş)=

D=(en az bir kayıp)=

E=(en az iki isabet)=
+
+
+

F=(birden fazla vuruş yok)=
++
+

G=(hedefi üçüncü atıştan daha erken vurmayın)=

Fikir: daha sonra şu türden görevler olacak: olayların olasılıkları verilmiştir ve bu olasılıklar bilinerek A, B, C, D, E, F, G olaylarının olasılıklarının bulunması gerekmektedir.

§2. OLASILIK KAVRAMI

Olayların meydana gelme şansını niceliksel olarak karşılaştırmak için olasılık kavramı tanıtılır.

Tanım 2.1 Her olaya izin ver A teslim edilmiş uygun olarak sayı P(A). Sayısal fonksiyon P denir olasılık veya olasılık ölçüsü Aşağıdaki aksiyomları karşılıyorsa:

Negatif olmama aksiyomu

Normalleştirme aksiyomu

Toplama aksiyomu (genişletilmiş) bazıları inceleniyor rastgele etkinlik ...

Sonucu kesin olarak tahmin edilemeyen bir durum. Matematiksel model aşağıdaki gereksinimleri karşılamalıdır:

Gözlemlenen sonuç.

- deney uygulamalarının göreceli sıklığı.

Rastgele bir deneyin doğasının doğru bir şekilde tanımlanması, temel sonuçların, rastgele olayların ve bunların olasılıklarının, rastgele değişkenlerin vb. tanımlanmasını gerektirir.

Wikimedia Vakfı.

Diğer sözlüklerde "Rastgele deney" in ne olduğuna bakın:

Bu terimin başka anlamları da vardır; bkz. Deney (anlamlar). Bilgileri kontrol edin. Bu makalede sunulan bilgilerin doğruluğunu ve güvenilirliğini kontrol etmek gerekir. Tartışma sayfasında bir açıklama olmalı... Vikipedi

Erwin Schrödinger Schrödinger'in kedisi (Schrödinger'in kedisi), Erwin Schrödinger'in atom altı sistemlerden makroskobik olanlara geçişte kuantum mekaniğinin eksikliğini göstermek istediği görünüşte paradoksal bir düşünce deneyinin kahramanıdır ... Vikipedi

Deney- (enlem. deneysel deneyim, kanıt) 1) soruşturmacı, bağımsız soruşturma eylemi. Belirli bir olayın durumunu ve diğer koşullarını yeniden oluşturmak ve doğrulamak için gerekli deneysel eylemleri yapmaktan oluşur... ... Adli Ansiklopedi

Sosyal bilimlerde DENEY- nedensel ilişkileri incelemek veya bir hipotezi test etmek için kullanılan ampirik araştırma yöntemlerinden biri. Bu sözde nedensel araştırmanın temelidir. E.'nin tarihi J.S.'nin çalışmalarıyla başlar. Değirmen. Mill buna inanıyordu... Sosyoloji: Ansiklopedi

Belirli bir küme, sonlu veya sonsuz. Herhangi bir rastgele deney, sonsuz bir G. sisteminden bir bireyin rastgele seçilmesi olarak yorumlanabilir. Olasılık dağılım fonksiyonu ile karakterize edilen bir istatistiksel sistemin istatistiksel çalışmasında,... ... Jeolojik ansiklopedi

Rastgele bir olay, rastgele bir deneyin sonuçları kümesinin bir alt kümesidir; Rastgele bir deney birçok kez tekrarlandığında, bir olayın meydana gelme sıklığı, o olayın olasılığının bir tahmini olarak hizmet eder. Hiçbir zaman gerçekleşmeyen rastgele bir olay... ... Vikipedi

Olasılık fonksiyonu ... Vikipedi

Einstein Podolsky Rosen'in paradoksu (EPR paradoksu), bir mikro nesnenin parametrelerinin bunu etkilemeden dolaylı olarak ölçülmesinden oluşan bir düşünce deneyi kullanarak kuantum mekaniğinin eksikliğine işaret etme girişimidir ... ... Vikipedi

GOST 24026-80: Araştırma testleri. Deney planlama. Terimler ve tanımlar- Terminoloji GOST 24026 80: Araştırma testleri. Deney planlama. Terimler ve tanımlar orijinal belge: 34. Matematiksel modelin yeterliliği Modelin yeterliliği Matematiksel modelin deneysel verilere uygunluğu... ...

RDMU 109-77: Yönergeler. Teknolojik süreçlerin kontrollü parametrelerini seçme ve optimize etme metodolojisi- Terminoloji RDMU 109 77: Kılavuzlar. Teknolojik süreçlerin kontrollü parametrelerini seçmek ve optimize etmek için metodoloji: 73. Modelin yeterliliği Modelin, seçilen optimizasyon parametresine ilişkin deneysel verilerle uyumu... ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Tanım 1. Rastgele deney istenildiği kadar tekrarlanabilen, ancak sonucu kesin olarak tahmin edilemeyen, açıkça tanımlanmış bir eylemler dizisidir. Bir deneyin sonucunu doğru bir şekilde tahmin edememe, kontrolümüz dışındaki çok sayıda faktörden kaynaklanır. Tüm deneysel sonuçlar harfle belirtilmiştir.

Tanım 2. Rastgele olay rastgele bir deneyin tüm olası sonuçlarının herhangi bir alt kümesidir.

Örnek(rastgele deney):

1. Deneyin sonucu olarak RAO UES hisseleri gibi likit bir hissenin en son fiyat teklifini öğrenmek için borsa terminalinin ekranına bakın.
2. Zarları atın ve deneyin sonucuna bakın - atılan puanların sayısı.

Örnek(rastgele olay):

1. Rastgele olay A = - borsa monitörünün ekranına bakarak, RAO UES hissesinin bu aralıktaki kotasyonunu görün.
2. Rastgele olay B = (2, 3) - düşen zara bakarak bu sayılardan birini görün.

Değişim Okulu tarafından sağlanan FCSM problem kitabının orijinal numaralandırması korunmuştur. Herhangi bir önem verilmemelidir; menkul kıymetler mesleki sınavına girmeye hazırlanan kişilere kolaylık sağlamak amacıyla saklanmaktadır.

1.4.1.11 Olasılık teorisinde rastgele bir olay, aşağıdaki özelliklerle karakterize edilen belirli bir gerçek olarak anlaşılır:
Bir kez gözlemledim
II Tekrar tekrar gözlemlenebilir
III Bunun tekrar olup olmayacağını kesin olarak söylemek mümkün değil
IV Deney koşullarının kontrolüne bağlı olarak gerçekleşip gerçekleşmeyeceği tam bir kesinlikle ifade edilebilir.

A) Sadece I ve IV doğrudur
*B) Yalnızca II ve III doğrudur
C) Yalnızca II, III veya IV doğrudur
D) Sadece III doğrudur

Çözüm. Tanım 1, 2'den yalnızca II ve III'ün doğru ifadeler olduğu açıktır; doğru cevap B'dir.

Tanım 3. Deneyin tüm sonuçları, keyfi nitelikteki belirli bir dizi noktadır. güvenilir olay , Çünkü Rastgele bir deney yürütürken, deneyin bazı sonuçlarının ortaya çıkması zorunludur.

Tanım 4. İmkansız olay - bu, deneyin hiçbir sonucunun olmadığı ve dolayısıyla deney sırasında ortaya çıkamayan sonuçtur.

Eğitim amaçlı olarak güvenilir bir olayı bir daire içinde tasvir ediyoruz.

Tanım 5. O halde A rastgele olayı onun alt etki alanının bir kısmıdır ve ek olay (veya A'ya negatif ) A olayına denir “A değil” kümesi – bunların hepsi A'ya dahil olmayan noktalardır (yani A ve "A değil" kesişmez, ancak birlikte her şeyi oluşturur).

Tanım 6."Toplam" veya “birleşme” veya olay “A veya B” – her iki setin tüm noktalarını ve yalnızca onları içeren set

Tanım 7."İş" veya "kavşak" veya olay “A ve B” - yalnızca hem A kümesinde hem de B kümesinde bulunan noktaları içeren küme. Eğer böyle ortak noktalar yoksa, yani A ve B olaylarının çarpımı imkansız bir olaysa, A ve B olayları denir uyumsuz.

Yorum.Özellikle A ve “A değil” olaylarının çarpımının imkansız bir olay olduğu açıktır, çünkü bu kümelerin tanım gereği hiçbir ortak noktası yoktur.

1.4.1.15.1 Rastgele bir olayın ve bu etkinliğe ek bir olayın ürünü ne olacak?

A) Güvenilir bir olay
*B) İmkansız olay
B) Olayın kendisi

Çözüm. Tanım 7'ye ilişkin açıklamadan doğru cevabın B olduğu anlaşılmaktadır.

1.4.1.15.2 Rastgele bir olay ile bu etkinliğe ek bir olayın toplamı ne olur?

*A) Güvenilir bir olay
B) İmkansız bir olay
B) Ek olay

Çözüm. Tanım 5'ten doğru cevabın A olduğu anlaşılmaktadır.

1.4.1.13.1 A olayı, yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatının 25 rubleden düşük olmayacağı ise ve B olayı, hisse senedi fiyatındaki nispi değişimin bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyeceği ise o zaman ne olacak? A ve B olaylarının çarpımına eşit bir olay olabilir mi?

A) Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 25 rubleden düşük olmayacak. VEYA hisse senedi fiyatındaki nispi değişim, bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyecektir
*B) Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 25 rubleden düşük olmayacak. Ve hisse senedi fiyatındaki nispi değişim, bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyecek

Çözüm. Tanım 7'den, "A ve B olaylarının ürünü" demek "A ve B olayı" demekle aynı şeydir, yani. doğru cevap B'dir.

1.4.1.13.2 A olayı, yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatının 25 rubleden düşük olmayacağı ise ve B olayı, hisse senedi fiyatındaki nispi değişimin bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyeceği ise o zaman ne olacak? A olayı A ve B olaylarının toplamına eşit olabilir mi?

*A) Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 25 rubleden düşük olmayacak. VEYA hisse senedi fiyatındaki nispi değişim, bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyecektir
B) Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 25 rubleden düşük olmayacak. Ve hisse senedi fiyatındaki nispi değişim, bir önceki günün hisse senedi fiyatına göre %3'ü geçmeyecek

Çözüm. Tanım 6'dan, "A ve B olaylarının toplamı" demenin "A veya B olayı" demekle aynı olduğu sonucu çıkar; Doğru cevap A'dır.

1.4.1.13.3 Rastgele olay A, yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatının 25 rubleden düşük olmayacağıdır. Aşağıdakilerden rastgele olay A'ya ek olarak rastgele olayları belirtin
I Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 26 ruble olacak.
II Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 26 rubleyi geçmeyecek.
III Yarınki işlemde şirketin hisse senedi fiyatı 26 rubleyi aşacak.

A) Sadece ben
B) Yalnızca II
B) Yalnız I ve III
*D) Yukarıdakilerin hiçbiri

Çözüm. Doğru cevabı kendiniz yazmak ve ardından doğru cevabın hangi harfin altında verildiğini görmek genellikle daha kolaydır.

Okul matematiğinin sembollerinde olayımız A = (yarınki müzayedede hisse senedi fiyatı 25 rubleden düşük olmayacak) =

Bu B, C, D olaylarından hiçbirinin olayla örtüşmediği açıktır” A değil” = }