Tanım. Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların geometrik yeridir; her birinin bu düzlemin odak adı verilen iki noktasına olan mesafelerinin toplamı sabit bir değerdir (bu değerin odaklar arasındaki mesafeden büyük olması şartıyla) .
Odakları aralarındaki mesafeyle - ile ve elipsin her noktasından odaklara olan mesafelerin toplamına eşit olan sabit değeri (koşula göre) ile gösteririz.
Odaklar apsis ekseninde olacak ve koordinatların kökeni parçanın ortasıyla çakışacak şekilde bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturalım (Şekil 44). Daha sonra odaklar şu koordinatlara sahip olacaktır: sol odak ve sağ odak. Elipsin denklemini seçtiğimiz koordinat sisteminde türetelim. Bu amaçla elipsin rastgele bir noktasını düşünün. Bir elipsin tanımı gereği, bu noktadan odaklara olan mesafelerin toplamı şuna eşittir:
İki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
Bu denklemi basitleştirmek için şu şekilde yazıyoruz:
Sonra denklemin her iki tarafının karesini alırız:
veya bariz basitleştirmelerden sonra:
Şimdi denklemin her iki tarafının karesini tekrar alırız ve şunu elde ederiz:
veya aynı dönüşümlerden sonra:
Elipsin tanımındaki koşula göre sayı pozitif olduğundan. Gösterimi tanıtalım
O zaman denklem aşağıdaki formu alacaktır:
Bir elipsin tanımı gereği, herhangi bir noktasının koordinatları denklemi (26) karşılar. Ancak denklem (29), denklem (26)'nın bir sonucudur. Sonuç olarak elipsin herhangi bir noktasının koordinatları da sağlanır.
Elips üzerinde yer almayan noktaların koordinatlarının denklemi (29) sağlamadığı gösterilebilir. Dolayısıyla denklem (29) bir elipsin denklemidir. Buna elipsin kanonik denklemi denir.
Kanonik denklemini kullanarak elipsin şeklini belirleyelim.
Öncelikle bu denklemin x ve y'nin sadece çift kuvvetlerini içerdiğine dikkat edelim. Bu, eğer herhangi bir nokta bir elipse aitse, o zaman apsis eksenine göre simetrik bir nokta ve ordinat eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta da içerdiği anlamına gelir. Dolayısıyla elips, seçtiğimiz koordinat sistemimizde koordinat eksenleriyle çakışan, karşılıklı olarak dik iki simetri eksenine sahiptir. Bundan böyle elipsin simetri eksenlerine elipsin eksenleri ve bunların kesişme noktasına elipsin merkezi adını vereceğiz. Elipsin odaklarının bulunduğu eksene (bu durumda apsis ekseni) odak ekseni denir.
Öncelikle elipsin ilk çeyrekteki şeklini belirleyelim. Bunu yapmak için denklem (28)'i y için çözelim:
y sanal değerler aldığı için burada olduğu açıktır. 0'dan a'ya yükseldikçe y, b'den 0'a azalır. Elipsin ilk çeyrekte yer alan kısmı, B (0; b) noktalarıyla sınırlanan ve koordinat eksenleri üzerinde uzanan bir yay olacaktır (Şekil 45). Şimdi elipsin simetrisini kullanarak elipsin Şekil 2'de gösterilen şekle sahip olduğu sonucuna varıyoruz. 45.
Elipsin eksenlerle kesiştiği noktalara elipsin köşeleri denir. Elipsin simetrisinden, elipsin köşelerine ek olarak iki köşesinin daha olduğu sonucu çıkar (bkz. Şekil 45).
Elipsin parçaları ve birleştiren karşıt köşeleri ile bunların uzunluklarına sırasıyla elipsin büyük ve küçük eksenleri denir. a ve b sayılarına sırasıyla elipsin büyük ve küçük yarı eksenleri denir.
Odaklar arasındaki mesafenin yarısının elipsin yarı ana eksenine oranına elipsin dışmerkezliği denir ve genellikle şu harfle gösterilir:
Çünkü elipsin dışmerkezliği birden küçüktür: Dışmerkezlik elipsin şeklini karakterize eder. Aslında, formül (28)'den, elipsin dışmerkezliği ne kadar küçükse, küçük yarı ekseni b'nin ana yarı ekseni a'dan o kadar az farklı olduğu, yani elipsin (odak ekseni boyunca) o kadar az uzatıldığı sonucu çıkar.
Sınırlayıcı durumda sonuç, yarıçapı a: veya olan bir dairedir. Aynı zamanda, elipsin odakları bir noktada, dairenin merkezinde birleşiyor gibi görünüyor. Çemberin dışmerkezliği sıfırdır:
Elips ile daire arasındaki bağlantı başka bir açıdan da kurulabilir. Yarı eksenleri a ve b olan bir elipsin, yarıçapı a olan bir dairenin izdüşümü olarak kabul edilebileceğini gösterelim.
Aralarında böyle bir a açısı oluşturan iki P ve Q düzlemini ele alalım (Şekil 46). P düzleminde bir koordinat sistemi ve Q düzleminde ortak orijini O olan ve ortak apsis ekseni düzlemlerin kesişme çizgisine denk gelen bir Oxy sistemi oluşturalım. P düzleminde bir daire düşünün
merkezi orijinde ve yarıçapı a'ya eşit olan. Çember üzerinde keyfi olarak seçilmiş bir nokta olsun, bu noktanın Q düzlemine izdüşümü olsun ve M noktasının Ox eksenine izdüşümü olsun. Noktanın yarı eksenleri a ve b olan bir elips üzerinde bulunduğunu gösterelim.
Tanım 7.1. Düzlem üzerindeki iki sabit F 1 ve F 2 noktasına olan mesafelerin toplamının belirli bir sabit değer olduğu tüm noktaların kümesine ne ad verilir? elips.
Bir elipsin tanımı, onun geometrik yapısının aşağıdaki yöntemini verir. Düzlemde iki F 1 ve F 2 noktasını sabitliyoruz ve negatif olmayan bir sabit değeri 2a ile gösteriyoruz. F 1 ve F 2 noktaları arasındaki mesafe 2c olsun. Uzunluğu 2a olan uzatılamaz bir ipliğin, örneğin iki iğne kullanılarak F 1 ve F 2 noktalarına sabitlendiğini hayal edelim. Bunun yalnızca ≥ c için mümkün olduğu açıktır. İpliği bir kalemle çektikten sonra elips olacak bir çizgi çizin (Şek. 7.1).
Yani, eğer a ≥ c ise tanımlanan küme boş değildir. a = c olduğunda elips, uçları F 1 ve F 2 olan bir parçadır ve c = 0 olduğunda, yani. Bir elipsin tanımında belirtilen sabit noktalar çakışıyorsa yarıçapı a olan bir dairedir. Bu dejenere durumları bir kenara bırakarak, kural olarak a > c > 0 olduğunu varsayacağız.
Elipsin tanımı 7.1'deki sabit F 1 ve F 2 noktalarına (bkz. Şekil 7.1) denir. elips odakları, aralarındaki mesafe, 2c ile gösterilir, - odak uzaklığı ve elips üzerinde rastgele bir M noktasını odak noktalarına bağlayan F 1 M ve F 2 M parçaları şunlardır: odak yarıçapı.
Elipsin şekli tamamen odak uzaklığı |F 1 F 2 | = 2c ve parametre a ve düzlemdeki konumu - bir çift F 1 ve F 2 noktası.
Bir elipsin tanımından, F 1 ve F 2 odaklarından geçen çizgiye göre ve ayrıca F 1 F 2 parçasını ikiye bölen ve ona dik olan çizgiye göre simetrik olduğu anlaşılmaktadır. (Şekil 7.2, a). Bu satırlara denir elips eksenleri. Bunların kesişimindeki O noktası elipsin simetri merkezidir ve buna denir. elipsin merkezi ve elipsin simetri eksenleriyle kesişme noktaları (Şekil 7.2, a'daki A, B, C ve D noktaları) - elipsin köşeleri.
a numarası çağrılır elipsin yarı büyük ekseni, ve b = √(a 2 - c 2) - onun yan eksen. c > 0 için, yarı ana eksen a'nın elipsin merkezinden elipsin odak noktalarıyla aynı eksende olan köşe noktalarına (A ve B köşeleri) olan mesafeye eşit olduğunu görmek kolaydır. Şekil 7.2, a)'da) ve yarı küçük eksen b, merkez elipsin diğer iki köşesine (Şekil 7.2, a'da C ve D köşeleri) kadar olan mesafeye eşittir.
Elips denklemi. Odakları F 1 ve F 2 noktalarında, ana eksen 2a olan düzlem üzerinde bir elips düşünelim. Odak uzaklığı 2c olsun, 2c = |F 1 F 2 |
Düzlemde orijini elipsin merkeziyle çakışacak ve odakları üzerinde olacak şekilde dikdörtgen bir Oxy koordinat sistemi seçelim. x ekseni(Şekil 7.2, b). Böyle bir koordinat sistemine denir kanonik söz konusu elips için ve karşılık gelen değişkenler kanonik.
Seçilen koordinat sisteminde odaklar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatlarına sahiptir. Noktalar arasındaki mesafe formülünü kullanarak |F 1 M| koşulunu yazıyoruz. + |F 2 M| = 2a koordinatlarda:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Bu denklem iki kare radikal içerdiğinden sakıncalıdır. Öyleyse onu dönüştürelim. Denklemin (7.2) ikinci radikalini sağ tarafa taşıyıp karesini alalım:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra şunu elde ederiz:
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
burada ε = c/a. İkinci radikali kaldırmak için kare alma işlemini tekrarlıyoruz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 veya girilen parametrenin değeri dikkate alınarak ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 olduğundan, o zaman
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Denklem (7.4), elips üzerinde yer alan tüm noktaların koordinatları tarafından sağlanmaktadır. Ancak bu denklem türetilirken, orijinal denklemin (7.2) eşdeğer olmayan dönüşümleri kullanıldı - kare radikalleri çıkaran iki kare. Bir denklemin karesini almak, her iki tarafın da aynı işaretli miktarlara sahip olması durumunda eşdeğer bir dönüşümdür, ancak bunu dönüşümlerimizde kontrol etmedik.
Aşağıdakileri dikkate alırsak dönüşümlerin denkliğini kontrol etmekten kaçınabiliriz. Bir çift F 1 ve F 2, |F 1 F 2 | = 2c, düzlemde odakları bu noktalarda olan bir elips ailesini tanımlar. F 1 F 2 segmentinin noktaları dışındaki düzlemin her noktası, belirtilen ailenin bir elipsine aittir. Bu durumda, odak yarıçaplarının toplamı belirli bir elipsi benzersiz bir şekilde belirlediğinden, iki elips kesişmez. Dolayısıyla, açıklanan kesişimsiz elips ailesi, F 1 F 2 segmentinin noktaları hariç tüm düzlemi kapsar. Koordinatları verilen a parametresi değeriyle denklem (7.4)'ü karşılayan bir dizi noktayı ele alalım. Bu küme birkaç elips arasında dağıtılabilir mi? Kümenin bazı noktaları yarı büyük ekseni a olan bir elipse aittir. Bu kümede yarı büyük ekseni a olan bir elips üzerinde uzanan bir nokta olsun. O zaman bu noktanın koordinatları denkleme uyar
onlar. (7.4) ve (7.5) denklemlerinin ortak çözümleri vardır. Ancak sistemin doğrulandığını doğrulamak kolaydır.
à ≠ a'nın hiçbir çözümü yoktur. Bunu yapmak için, örneğin x'i ilk denklemden hariç tutmak yeterlidir:
dönüşümlerden sonra denkleme yol açan
、 ≠ a için hiçbir çözümü yoktur, çünkü . O halde (7.4), yarı ana ekseni a > 0 ve yarı alt ekseni b =√(a 2 - c 2) > 0 olan bir elipsin denklemidir. Buna denir. kanonik elips denklemi.
Elips görünümü. Yukarıda tartışılan bir elips oluşturmanın geometrik yöntemi, elipsin görünümü hakkında yeterli bir fikir verir. Ancak elipsin şekli onun kanonik denklemi (7.4) kullanılarak da incelenebilir. Örneğin, y ≥ 0 varsayarak y'yi x'e kadar ifade edebilirsiniz: y = b√(1 - x 2 /a 2) ve bu fonksiyonu inceledikten sonra grafiğini oluşturabilirsiniz. Elips oluşturmanın başka bir yolu var. Merkezi elipsin kanonik koordinat sisteminin (7.4) orijininde olan yarıçapı a olan bir daire, x 2 + y 2 = a 2 denklemiyle tanımlanır. Eğer a/b > 1 katsayısı ile sıkıştırılırsa y ekseni, o zaman x 2 + (ya/b) 2 = a 2 denklemiyle tanımlanan bir eğri, yani bir elips elde edersiniz.
Açıklama 7.1. Aynı daire a/b faktörü ile sıkıştırılırsa
Elips eksantrikliği. Bir elipsin odak uzunluğunun ana eksenine oranına denir. elipsin dışmerkezliği ve ε ile gösterilir. Verilen bir elips için
kanonik denklem (7.4), ε = 2c/2a = c/a. (7.4)'te a ve b parametreleri a eşitsizliği ile ilişkiliyse
c = 0 olduğunda, elips daireye dönüştüğünde ve ε = 0 olduğunda. Diğer durumlarda 0
Denklem (7.3) denklem (7.4)'e eşdeğerdir çünkü denklemler (7.4) ve (7.2) eşdeğerdir. Dolayısıyla elipsin denklemi de (7.3) olur. Ek olarak, (7.3) bağıntısı ilginçtir çünkü |F 2 M| uzunluğu için basit, köklü olmayan bir formül verir. elipsin M(x; y) noktasının odak yarıçaplarından biri: |F 2 M| = a + εx.
İkinci odak yarıçapı için benzer bir formül, simetri hususlarından veya kareler denkleminden (7.2) önce, birinci radikalin ikinciye değil sağ tarafa aktarıldığı hesaplamaların tekrarlanmasıyla elde edilebilir. Yani elips üzerindeki herhangi bir M(x; y) noktası için (bkz. Şekil 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
ve bu denklemlerin her biri bir elipsin denklemidir.
Örnek 7.1. Yarı büyük ekseni 5 ve dış merkezliliği 0,8 olan bir elipsin kanonik denklemini bulalım ve oluşturalım.
Elipsin yarı ana eksenini a = 5 ve dışmerkezliğini ε = 0,8 bilerek, yarı küçük ekseni b'yi bulacağız. b = √(a 2 - c 2) ve c = εa = 4 olduğuna göre b = √(5 2 - 4 2) = 3. Dolayısıyla kanonik denklem şu şekildedir: x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Bir elips oluşturmak için, kenarları elipsin simetri eksenlerine paralel ve karşılık gelen eksenlerine eşit olan, merkezi kanonik koordinat sisteminin kökeninde olan bir dikdörtgen çizmek uygundur (Şekil 1). 7.4). Bu dikdörtgen şununla kesişiyor:
elipsin eksenleri A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) ve elipsin kendisi onun içine yazılmıştır. Şek. Şekil 7.4 aynı zamanda elipsin F 1.2 (±4; 0) odaklarını da göstermektedir.
Elipsin geometrik özellikleri.(7.6)'daki ilk denklemi |F 1 M| olarak yeniden yazalım. = (a/ε - x)ε. a > c için a/ε - x değerinin pozitif olduğuna dikkat edin, çünkü F 1 odağı elipse ait değildir. Bu değer, bu çizginin solunda yer alan M(x; y) noktasından d: x = a/ε dikey çizgisine olan mesafeyi temsil eder. Elips denklemi şu şekilde yazılabilir:
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Bu, bu elipsin, F 1 M odak yarıçapının uzunluğunun d düz çizgisine olan uzaklığa oranının ε'ye eşit sabit bir değer olduğu düzlemin M(x; y) noktalarından oluştuğu anlamına gelir (Şekil 1). 7.5).
Düz çizgi d'nin bir "çifti" vardır - elipsin merkezine göre d'ye simetrik olan dikey düz çizgi d, x = -a/ε denklemiyle verilir. d ile ilgili olarak aynı şekilde. Hem d hem de d" çizgileri denir elipsin doğrultmanları. Elipsin doğrultmanları, odaklarının bulunduğu elipsin simetri eksenine diktir ve elipsin merkezinden a/ε = a2/c mesafesi kadar ayrılır (bkz. Şekil 7.5).
Doğrultmandan ona en yakın odağa olan p mesafesine denir elipsin odak parametresi. Bu parametre eşittir
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Elipsin bir başka önemli geometrik özelliği daha vardır: F 1 M ve F 2 M odak yarıçapları, M noktasındaki elipse teğet ile eşit açılar yapar (Şekil 7.6).
Bu özelliğin açık bir fiziksel anlamı vardır. Bir ışık kaynağı F1 odağına yerleştirilirse, elipsten yansıdıktan sonra bu odaktan çıkan ışın ikinci odak yarıçapı boyunca ilerleyecektir, çünkü yansımadan sonra yansımadan önceki eğri ile aynı açıda olacaktır. Böylece, F 1 odağından çıkan tüm ışınlar, ikinci F 2 odağında yoğunlaşacaktır ve bunun tersi de geçerlidir. Bu yoruma dayanarak bu özelliğe denir. elipsin optik özelliği.
Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların geometrik yeridir; her birinden belirli iki F_1 ve F_2 noktasına olan mesafelerin toplamı, bu belirli noktalar arasındaki mesafeden (2c) daha büyük olan sabit bir değerdir (2a). 3.36, a). Bu geometrik tanım ifade eder bir elipsin odak özelliği.
Bir elipsin odak özelliği
F_1 ve F_2 noktaları elipsin odak noktaları olarak adlandırılır, aralarındaki mesafe 2c=F_1F_2 odak uzaklığıdır, F_1F_2 parçasının orta O'su elipsin merkezidir, 2a sayısı elipsin ana ekseninin uzunluğudur elips (buna göre a sayısı elipsin yarı ana eksenidir). Elipsin rastgele bir M noktasını odak noktalarına bağlayan F_1M ve F_2M segmentlerine M noktasının odak yarıçapları denir. Bir elipsin iki noktasını birleştiren doğru parçasına elipsin kirişi denir.
e=\frac(c)(a) oranına elipsin dışmerkezliği denir. (2a>2c) tanımından şu sonuç çıkar: 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Elipsin geometrik tanımı Odak özelliğini ifade eden , analitik tanımına eşdeğerdir - elipsin kanonik denklemi tarafından verilen çizgi:
Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.36c). Elipsin O merkezini koordinat sisteminin orijini olarak alıyoruz; odaklardan (odak ekseni veya elipsin ilk ekseni) geçen düz çizgiyi apsis ekseni olarak alırız (üzerindeki pozitif yön F_1 noktasından F_2 noktasına kadardır); odak eksenine dik olan ve ordinat ekseni olarak elipsin merkezinden (elipsin ikinci ekseni) geçen düz bir çizgiyi alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy sağa olacak şekilde seçilmiştir) .
Odak özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak elips için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odakların koordinatlarını belirliyoruz F_1(-c,0),~F_2(c,0). Elips'e ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Bu eşitliği koordinat biçiminde yazarsak şunu elde ederiz:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
İkinci radikali sağa kaydırıyoruz, denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz ve benzer terimler getiriyoruz:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4'e bölerek denklemin her iki tarafının karesini alırız:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Belirledikten sonra b=\sqrt(a^2-c^2)>0, alıyoruz b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Her iki tarafı da a^2b^2\ne0'a bölerek elipsin kanonik denklemine ulaşırız:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Bu nedenle seçilen koordinat sistemi kanoniktir.
Elipsin odak noktaları çakışırsa a=b olduğundan elips bir dairedir (Şekil 3.36,6). Bu durumda orijini bu noktada olan herhangi bir dikdörtgen koordinat sistemi kanonik olacaktır. O\eşdeğer F_1\eşdeğer F_2 ve x^2+y^2=a^2 denklemi, merkezi O noktasında ve yarıçapı a'ya eşit olan bir dairenin denklemidir.
Akıl yürütmeyi ters sırayla yürüterek, koordinatları (3.49) denklemini sağlayan tüm noktaların ve yalnızca bunların elips adı verilen noktaların odağına ait olduğu gösterilebilir. Başka bir deyişle, bir elipsin analitik tanımı, elipsin odak özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.
Bir elipsin yönsel özelliği
Bir elipsin doğrultmanları, kanonik koordinat sisteminin ordinat eksenine paralel olarak \frac(a^2)(c) uzaklığında uzanan iki düz çizgidir. c=0'da, elips bir daire olduğunda, doğrultmanlar yoktur (doğrultmanların sonsuzda olduğunu varsayabiliriz).
Eksantrikliği 0 olan elips
Aslında, örneğin odak F_2 ve directrix d_2 için (Şekil 3.37,6) koşul \frac(r_2)(\rho_2)=e koordinat formunda yazılabilir:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Mantıksızlıktan kurtulmak ve değiştirmek e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kanonik elips denklemine (3.49) ulaşıyoruz. Odak F_1 ve yönetmen için de benzer bir akıl yürütme yapılabilir. d_1\iki nokta üst üste\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Kutupsal koordinat sisteminde bir elipsin denklemi
F_1r\varphi kutupsal koordinat sistemindeki elipsin denklemi (Şekil 3.37, c ve 3.37 (2)) şu şekildedir:
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
burada p=\frac(b^2)(a) elipsin odak parametresidir.
Aslında elipsin sol odağı F_1'i kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak ve F_1F_2 ışınını kutupsal eksen olarak seçelim (Şekil 3.37, c). Daha sonra, bir elipsin geometrik tanımına (odak özelliği) göre, keyfi bir M(r,\varphi) noktası için r+MF_2=2a elde ederiz. M(r,\varphi) ve F_2(2c,0) noktaları arasındaki mesafeyi ifade ediyoruz (bkz.):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)
Bu nedenle, koordinat biçiminde, F_1M+F_2M=2a elipsinin denklemi şu şekildedir:
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Radikalleri ayırıyoruz, denklemin her iki tarafının karesini alıyoruz, 4'e bölüyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Kutupsal yarıçapı r'yi ifade edin ve değiştirmeyi yapın e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Elips denklemindeki katsayıların geometrik anlamı
Elipsin kesişme noktalarını (bkz. Şekil 3.37a) koordinat eksenleriyle (elipsin köşeleri) bulalım. Denklemde y=0 yerine elipsin apsis ekseniyle (odak ekseniyle) kesişme noktalarını buluruz: x=\pm a. Sonuç olarak, elipsin içindeki odak ekseni bölümünün uzunluğu 2a'ya eşittir. Yukarıda belirtildiği gibi bu parçaya elipsin ana ekseni adı verilir ve a sayısı da elipsin yarı ana eksenidir. X=0'ı yerine koyarsak y=\pm b elde ederiz. Bu nedenle elipsin ikinci ekseninin elipsin içinde yer alan bölümünün uzunluğu 2b'ye eşittir. Bu parçaya elipsin küçük ekseni denir ve b sayısı elipsin yarı küçük eksenidir.
Gerçekten mi, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a ve b=a eşitliği yalnızca elips bir daire olduğunda c=0 durumunda elde edilir. Davranış k=\frac(b)(a)\leqslant1 elips sıkıştırma oranı denir.
Notlar 3.9
1. Düz çizgiler x=\pm a,~y=\pm b, içinde bir elips bulunan koordinat düzlemindeki ana dikdörtgeni sınırlar (bkz. Şekil 3.37, a).
2. Bir elips şu şekilde tanımlanabilir: bir dairenin çapına kadar sıkıştırılmasıyla elde edilen noktaların yeri.
Aslında, Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi x^2+y^2=a^2 biçiminde olsun. 0 katsayısıyla x eksenine sıkıştırıldığında \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Denklemde x=x" ve y=\frac(1)(k)y" dairelerini yerine koyarsak, M(x,y) noktasının M"(x",y") görüntüsünün koordinatları için denklemi elde ederiz ): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} b=k\cdot a olduğundan. Bu elipsin kanonik denklemidir. 3. Koordinat eksenleri (kanonik koordinat sisteminin) elipsin simetri eksenleridir (elipsin ana eksenleri olarak adlandırılır) ve merkezi simetrinin merkezidir. Aslında M(x,y) noktası elipse aitse. bu durumda koordinat eksenlerine göre M noktasına simetrik olan M"(x,-y) ve M""(-x,y) noktaları da aynı elipse aittir. 4. Kutupsal koordinat sistemindeki elipsin denkleminden r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(bkz. Şekil 3.37, c), odak parametresinin geometrik anlamı açıklığa kavuşturulmuştur - bu, odak eksenine dik olarak odağından geçen elipsin akorunun uzunluğunun yarısıdır (r=p'de \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Eksantriklik e, elipsin şeklini, yani elips ile daire arasındaki farkı karakterize eder. e ne kadar büyükse elips o kadar uzundur ve e sıfıra ne kadar yakınsa elips bir daireye o kadar yakındır (Şekil 3.38a). Aslında, e=\frac(c)(a) ve c^2=a^2-b^2 değerlerini hesaba katarsak şunu elde ederiz: e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right) )\^2=1-k^2,
!} burada k elips sıkıştırma faktörüdür, 0 6. Denklem \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 bir 7. Denklem \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b eksenleri koordinat eksenlerine paralel olan, merkezi O"(x_0,y_0) noktasında olan bir elips tanımlar (Şekil 3.38, c). Bu denklem, paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir. a=b=R olduğunda denklem (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 merkezi O"(x_0,y_0) noktasında olan R yarıçaplı bir daireyi tanımlar. Elipsin parametrik denklemi kanonik koordinat sisteminde şu forma sahiptir: \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Aslında, bu ifadeleri (3.49) denkleminde yerine koyarsak, ana trigonometrik özdeşliğe ulaşırız. \cos^2t+\sin^2t=1. Örnek 3.20. Bir elips çizin \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanonik koordinat sistemi Oxy'de. Yarı eksenleri, odak uzaklığını, dışmerkezliği, en-boy oranını, odak parametresini, doğrultman denklemlerini bulun. Çözüm. Verilen denklemi kanonik denklemle karşılaştırarak yarı eksenleri belirleriz: a=2 - yarı ana eksen, b=1 - elipsin yarı küçük ekseni. Kenarları 2a=4,~2b=2 olan ve merkezi orijinde olacak şekilde ana dikdörtgeni oluşturuyoruz (Şekil 3.39). Elipsin simetrisini göz önünde bulundurarak onu ana dikdörtgene sığdırıyoruz. Gerekirse elipsin bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, elipsin denkleminde x=1 yerine koyarsak şunu elde ederiz: \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ dörtlü y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Bu nedenle koordinatları olan noktalar \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- elipse aittir. Sıkıştırma oranının hesaplanması k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); odak uzaklığı 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); tuhaflık e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); odak parametresi p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Direkt denklemleri oluşturuyoruz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Cebir ve geometri üzerine dersler. 1. yarıyıl. Ders 15. Elips. Bölüm 15. Elips. Madde 1. Temel tanımlar. Tanım. Elips bir düzlemin GMT'sidir, düzlemin odak adı verilen iki sabit noktasına olan mesafelerin toplamı sabit bir değerdir. Tanım. Düzlemin rastgele bir M noktasından elipsin odağına kadar olan mesafeye M noktasının odak yarıçapı denir. Tanımlar: Bir elipsin tanımına göre, bir M noktası ancak ve ancak şu şartla bir elipsin noktasıdır: Dikkat Bir elipsin tanımı gereği odak noktaları sabit noktalardır, dolayısıyla aralarındaki mesafe de belirli bir elips için sabit bir değerdir. Tanım. Elipsin odak noktaları arasındaki mesafeye odak uzaklığı denir. Tanım: Bir üçgenden Eşit olan sayıyı b ile gösterelim Tanım. Davranış elipsin dışmerkezliği denir. Bu düzleme elips için kanonik diyeceğimiz bir koordinat sistemi tanıtalım. Tanım. Elipsin odaklarının bulunduğu eksene odak ekseni denir. Elips için kanonik bir PDSC oluşturalım, bkz. Şekil 2. Odak eksenini apsis ekseni olarak seçiyoruz ve ordinat eksenini parçanın ortasından çiziyoruz O halde odakların koordinatları vardır Madde 2. Bir elipsin kanonik denklemi. Teorem. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminde elipsin denklemi şu şekildedir: Kanıt. İspatı iki aşamada gerçekleştiriyoruz. İlk aşamada elipsin üzerinde yer alan herhangi bir noktanın koordinatlarının denklemi (4) karşıladığını kanıtlayacağız. İkinci aşamada denklem (4)'ün herhangi bir çözümünün elipsin üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını verdiğini kanıtlayacağız. Buradan denklem (4)'ün koordinat düzleminin elips üzerinde yer alan noktaları tarafından karşılandığı anlaşılacaktır. Bundan ve bir eğri denkleminin tanımından, denklem (4)'ün bir elipsin denklemi olduğu sonucu çıkacaktır. 1) M(x, y) noktası elipsin bir noktası olsun; odak yarıçaplarının toplamı 2a'dır: Koordinat düzlemindeki iki nokta arasındaki mesafe formülünü kullanalım ve bu formülü belirli bir M noktasının odak yarıçapını bulmak için kullanalım: Bir kökü eşitliğin sağ tarafına taşıyıp karesini alalım: İndirgediğimizde şunu elde ederiz: Benzerlerini sunuyoruz, 4 azaltıyoruz ve radikali kaldırıyoruz: Kare alma Parantezleri açın ve kısaltın nereden alıyoruz: Eşitlik (2)'yi kullanarak şunu elde ederiz: Son eşitliği şuna bölmek: 2) Şimdi bir çift sayının (x, y) denklem (4)'ü sağlamasına izin verin ve M(x, y)'nin Oxy koordinat düzleminde karşılık gelen nokta olmasına izin verin. Daha sonra (4)'ten şu sonuç çıkar: Bu eşitliği M noktasının odak yarıçapı ifadesinde yerine koyarız: Burada (2) ve (3) eşitliğini kullandık. Böylece, Şimdi eşitlikten (4) şu sonucu çıkardığına dikkat edin: Buradan da şu sonuç çıkıyor Eşitliklerden (5) şu sonuç çıkıyor: Teorem kanıtlandı. Tanım. Denklem (4) elipsin kanonik denklemi olarak adlandırılır. Tanım. Bir elipsin kanonik koordinat eksenlerine elipsin asal eksenleri denir. Tanım. Bir elipsin kanonik koordinat sisteminin orijinine elipsin merkezi denir. Madde 3. Elipsin özellikleri. Teorem. (Bir elipsin özellikleri.) 1. Bir elips için kanonik koordinat sisteminde her şey elipsin noktaları dikdörtgenin içindedir 2. Önemli noktalar 3. Elips, kendisine göre simetrik olan bir eğridir. onların ana eksenleri. 4. Elipsin merkezi simetri merkezidir. Kanıt. 1, 2) Elipsin kanonik denkleminden hemen çıkar. 3, 4) M(x, y) elipsin keyfi bir noktası olsun. O zaman koordinatları denklemi (4) karşılar. Ancak noktaların koordinatları da denklem (4)'ü karşılar ve dolayısıyla teoremin ifadelerinin takip ettiği elipsin noktalarıdır. Teorem kanıtlandı. Tanım. 2a miktarına elipsin ana ekseni, a miktarına ise elipsin yarı ana ekseni denir. Tanım. 2b miktarına elipsin küçük ekseni, b miktarına ise elipsin yarı küçük ekseni denir. Tanım. Bir elipsin ana eksenleriyle kesiştiği noktalara elipsin köşeleri denir. Yorum. Bir elips aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Uçakta "odak noktalarına bir çivi çakıyoruz" ve onlara bir iplik uzunluğu tutturuyoruz Eksantrikliğin tanımından şu sonuç çıkıyor: A sayısını sabitleyip c sayısını sıfıra yönlendirelim. sonra Şimdi yönlendirelim Madde 4. Elipsin parametrik denklemleri. Teorem. İzin vermek bir elipsin kanonik koordinat sistemindeki parametrik denklemleridir. Kanıt. Denklem sisteminin (6) denklem (4) ile eşdeğer olduğunu kanıtlamak yeterlidir, yani. aynı çözüm kümesine sahiptirler. 1) (x, y), (6) sistemine keyfi bir çözüm olsun. İlk denklemi a'ya, ikinciyi b'ye bölün, her iki denklemin karesini alın ve şunu ekleyin: Onlar. sistem (6)'nın herhangi bir çözümü (x, y) denklem (4)'ü karşılar. 2) Tersine, (x, y) çiftinin (4) denkleminin bir çözümü olmasına izin verin, yani. Bu eşitlikten koordinatları olan noktanın olduğu sonucu çıkar. Sinüs ve kosinüs tanımından hemen şu sonuç çıkar: Teorem kanıtlandı. Yorum. Yarıçapı a olan bir dairenin apsis eksenine doğru düzgün "sıkıştırılması" sonucunda bir elips elde edilebilir. İzin vermek Bu dönüşümle, daire üzerindeki her nokta, düzlemdeki aynı apsise sahip ancak koordinatı daha küçük olan başka bir noktaya “geçiş yapar”. Bir noktanın eski koordinatını yenisi üzerinden ifade edelim: ve denklemdeki daireleri yerine koyun: Buradan şunu anlıyoruz: Bundan şu sonuç çıkar: "Sıkıştırma" dönüşümünden önce M(x, y) noktası çember üzerinde bulunuyorsa, yani. koordinatları dairenin denklemini karşıladı, ardından "sıkıştırma" dönüşümünden sonra bu nokta noktaya "dönüştü" Madde 5. Bir elipse teğet. Teorem. İzin vermek O zaman bu elipsin noktasındaki teğet denklemi Kanıt. Teğet noktasının koordinat düzleminin birinci veya ikinci çeyreğinde olduğu durumu dikkate almak yeterlidir: Fonksiyonun grafiğine teğet denklemi kullanalım Nerede Türevin bulunan değerini tanjant denkleminde (10) değiştiririz: nereden alıyoruz: Bundan şu sonuç çıkıyor: Bu eşitliği ikiye bölelim Şunu belirtmek gerekir ki Teğet denklemi (8), koordinat düzleminin üçüncü veya dördüncü çeyreğinde yer alan teğet noktasında benzer şekilde kanıtlanır. Ve son olarak, denklem (8)'in noktalardaki teğet denklemini verdiğini kolayca doğrulayabiliriz. Teorem kanıtlandı. Madde 6. Bir elipsin ayna özelliği. Teorem. Elipsin teğeti, teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılara sahiptir. İzin vermek Teorem şunu belirtir: Bu eşitlik, odağından çıkan bir elipsten gelen ışık ışınının geliş ve yansıma açılarının eşitliği olarak yorumlanabilir. Bu özelliğe elipsin ayna özelliği denir: Elipsin odağından çıkan ışık ışını, elipsin aynasından yansıdıktan sonra elipsin başka bir odağından geçer. Teoremin kanıtı. Açıların eşitliğini (11) kanıtlamak için üçgenlerin benzerliğini kanıtlıyoruz İkinci dereceden eğriler Bir düzlem üzerinde değişken koordinatların bulunduğu denklemlerle tanımlanan çizgiler vardır. X Ve sen ikinci derecede yer almaktadır. Bunlara elips, hiperbol ve parabol dahildir. İkinci dereceden eğri denkleminin genel formu aşağıdaki gibidir: Nerede A, B, C, D, E, F- sayılar ve katsayılardan en az biri A, B, C sıfıra eşit değil. İkinci dereceden eğrilerle ilgili problemleri çözerken, elips, hiperbol ve parabolün kanonik denklemleri çoğunlukla dikkate alınır. Genel denklemlerden bunlara geçmek kolaydır; elipslerle ilgili problemlerin 1. örneği buna ayrılacaktır. Bir elipsin tanımı. Bir elips, odak adı verilen noktalara olan mesafelerin toplamının, odaklar arasındaki mesafeden daha büyük sabit bir değer olduğu düzlemin tüm noktalarının kümesidir. Odaklar aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi gösterilmiştir. Bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir: Nerede A Ve B (A > B) - yarı eksenlerin uzunlukları, yani koordinat eksenleri üzerindeki elips tarafından kesilen bölümlerin uzunluklarının yarısı. Elipsin odak noktalarından geçen düz çizgi simetri eksenidir. Elipsin bir başka simetri ekseni, bu parçaya dik bir parçanın ortasından geçen düz bir çizgidir. Nokta HAKKINDA bu çizgilerin kesişimi elipsin simetri merkezi veya basitçe elipsin merkezi görevi görür. Elipsin apsis ekseni noktalarda kesişir ( A, HAKKINDA) Ve (- A, HAKKINDA) ve ordinat ekseni noktalar ( B, HAKKINDA) Ve (- B, HAKKINDA). Bu dört noktaya elipsin köşeleri denir. Elipsin x eksenindeki köşeleri arasındaki bölüme ana eksen ve ordinat ekseninde küçük eksen adı verilir. Elipsin üst kısmından merkezine kadar olan bölümlerine yarı eksenler denir. Eğer A = B, o zaman elipsin denklemi formunu alır. Bu yarıçaplı bir dairenin denklemidir A ve daire elipsin özel bir durumudur. Yarıçaplı bir daireden bir elips elde edilebilir A, eğer onu sıkıştırırsanız A/B eksen boyunca zamanlar oy
. Örnek 1. Genel bir denklemle verilen bir doğrunun olup olmadığını kontrol edin. Çözüm. Genel denklemi dönüştürüyoruz. Serbest terimin sağ tarafa aktarılmasını, denklemin terim terim aynı sayıya bölünmesini ve kesirlerin indirgenmesini kullanırız: Cevap. Dönüşümler sonucunda elde edilen denklem elipsin kanonik denklemidir. Bu nedenle bu çizgi bir elipstir. Örnek 2. Yarı eksenleri sırasıyla 5 ve 4'e eşit olan bir elipsin kanonik denklemini oluşturun. Çözüm. Bir elipsin kanonik denkleminin formülüne bakıyoruz ve yerine şunu koyuyoruz: yarı büyük eksen A= 5, yarı küçük eksen B= 4. Elipsin kanonik denklemini elde ederiz: Ana eksende yeşil renkle gösterilen noktalar ve denir hileler. isminde tuhaflık elips. Davranış B/A elipsin "yassılığını" karakterize eder. Bu oran ne kadar küçük olursa, elips ana eksen boyunca o kadar uzar. Bununla birlikte, bir elipsin uzama derecesi daha çok yukarıda formülü verilen eksantriklik ile ifade edilir. Farklı elipsler için dışmerkezlik 0 ile 1 arasında değişir ve her zaman birlikten küçük kalır. Örnek 3. Odaklar arasındaki mesafe 8 ve ana eksen arasındaki mesafe 10 ise elipsin kanonik denklemini oluşturun. Çözüm. Birkaç basit sonuç çıkaralım: Ana eksen 10'a eşitse yarısı, yani yarı ekseni A = 5
, Odaklar arasındaki mesafe 8 ise sayı C Odak koordinatlarının toplamı 4'e eşittir. Değiştiriyoruz ve hesaplıyoruz: Sonuç elipsin kanonik denklemidir: Örnek 4. Bir elipsin asal ekseni 26 ve dışmerkezliği ise kanonik denklemini oluşturun. Çözüm. Hem ana eksenin boyutundan hem de dışmerkezlik denkleminden takip edildiği gibi, elipsin yarı ana ekseni A= 13. Eksantriklik denkleminden sayıyı ifade ediyoruz C, küçük yarı eksenin uzunluğunu hesaplamak için gerekli: Küçük yarı eksenin uzunluğunun karesini hesaplıyoruz: Elipsin kanonik denklemini oluşturuyoruz: Örnek 5. Kanonik denklemle verilen elipsin odaklarını belirleyin. Çözüm. Numarayı bul C elipsin odaklarının ilk koordinatlarını belirleyen: Elipsin odak noktalarını elde ederiz: Örnek 6. Elipsin odakları eksen üzerinde bulunur Öküz orijine göre simetriktir. Aşağıdaki durumlarda elipsin kanonik denklemini oluşturun: 1) odaklar arasındaki mesafe 30 ve ana eksen 34'tür 2) ikincil eksen 24 ve odak noktalarından biri (-5; 0) noktasındadır 3) dışmerkezlik ve odak noktalarından biri (6; 0) noktasındadır Elipsin rastgele bir noktası (çizimde elipsin sağ üst kısmında yeşil renkle gösterilmiştir) ve bu noktaya odaklardan olan uzaklık ise, uzaklık formülleri aşağıdaki gibidir: Elips'e ait her nokta için odaklara olan uzaklıkların toplamı 2'ye eşit sabit bir değerdir. A. Denklemlerle tanımlanan çizgiler denir müdireler elips (çizimde kenarlar boyunca kırmızı çizgiler vardır). Yukarıdaki iki denklemden elipsin herhangi bir noktası için şu sonucu çıkar: nerede ve bu noktanın yönlere olan uzaklıkları ve . Örnek 7. Bir elips verilmiştir. Direktifleri için bir denklem yazın. Çözüm. Doğrultman denklemine bakıyoruz ve elipsin dışmerkezliğini bulmamız gerektiğini görüyoruz, yani. Bunun için tüm verilere sahibiz. Hesaplıyoruz: Elipsin doğrultmanlarının denklemini elde ederiz: Örnek 8. Odakları noktalar ve doğrultmanları doğru olan bir elipsin kanonik denklemini oluşturun.Elipsin parametrik denklemi
– elipsin odakları, 
– M noktasının odak yarıçapı.
– sabit değer. Bu sabit genellikle 2a ile gösterilir:
.
(1)
.
.
şu şekildedir 
, yani
.
, yani
.
(2)
(3)
odak eksenine dik.
,
.
.
(4)
.
,
, nereden alıyoruz:
.
:
.
eşitliği (4) vb. elde ederiz.
.
.
. Aynı şekilde, 
.
veya 
vesaire. 
, o zaman eşitsizlik şöyle olur:
.
veya 
Ve
,
.
(5)
, yani M(x, y) noktası elipsin bir noktasıdır, vb.
,
.
. Sonra bir kalem alıp ipliği sıkmak için kullanıyoruz. Daha sonra ipliğin gergin olduğundan emin olarak kalem ucunu düzlem boyunca hareket ettiriyoruz.
,
Ve 
. Aldığımız limitte
veya 
– bir dairenin denklemi.
. Daha sonra 
,
ve limitte elipsin düz bir çizgi parçasına dönüştüğünü görüyoruz 
Şekil 3'teki notasyonda.
– keyfi gerçek sayılar. Daha sonra denklem sistemi
,
(6)
.
.
merkezi orijinde olan birim yarıçaplı bir daire üzerinde yer alır, yani. trigonometrik daire üzerinde belirli bir açıya karşılık gelen bir noktadır 
:
,
, Nerede 
buradan (x, y) çiftinin (6) sisteminin bir çözümü olduğu sonucu çıkar.
– Merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi. Bir dairenin apsis eksenine "sıkıştırılması", aşağıdaki kurala göre gerçekleştirilen koordinat düzleminin dönüşümünden başka bir şey değildir. Her M(x, y) noktası için aynı düzlemde bir nokta ilişkilendiririz 
, Nerede 
,
– sıkıştırma oranı.
.
.
(7)
koordinatları elips denklemini (7) karşılayan . Yarı küçük ekseni b olan bir elipsin denklemini elde etmek istiyorsak sıkıştırma faktörünü almamız gerekir.
.
– elipsin isteğe bağlı noktası
.
şu forma sahiptir:
.
(8)
. Üst yarı düzlemdeki elipsin denklemi şu şekildedir:
.
(9)
bu noktada 
:
– belirli bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri 
. İlk çeyrekteki elips, fonksiyonun (8) grafiği olarak düşünülebilir. Teğet noktasındaki türevini ve değerini bulalım:
,
. Burada teğet noktanın olmasından faydalandık. 
elipsin bir noktasıdır ve bu nedenle koordinatları elips denklemini (9) karşılar, yani.
.
,
:
.
, Çünkü nokta 
elipse aittir ve koordinatları denklemini karşılar.
,
:
veya 
, Ve 
veya 
.
– temas noktası, 
,
– teğet noktasının odak yarıçapları, P ve Q – noktada elipse çizilen teğet üzerindeki odakların izdüşümleri 
.
.
(11)
Ve 
Tarafların bulunduğu 
Ve 
benzer olacaktır. Üçgenler dik açılı olduğundan eşitliği kanıtlamak yeterlidir.Kanonik denklem tarafından verilen elips
, elips.
.
.
Elips problemlerini birlikte çözmeye devam edelim
,
.
