Aynı tabana sahip kuvvetlerin özellikleri. Bir güç fonksiyonunun türevi

Bir sayının kuvveti belirlendikten sonra, hakkında konuşmak mantıklıdır. derece özellikleri. Bu yazıda olası tüm üslere değinirken bir sayının kuvvetinin temel özelliklerini vereceğiz. Burada derecelerin tüm özelliklerinin kanıtlarını sunacağız ve ayrıca bu özelliklerin örnekleri çözerken nasıl kullanıldığını göstereceğiz.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü derecelerin özellikleri

Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a n kuvveti, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu tanıma dayanarak ve ayrıca kullanarak reel sayıların çarpımının özellikleri, aşağıdakileri elde edebilir ve gerekçelendirebiliriz doğal üslü derecenin özellikleri:

a m ·a n =a m+n derecesinin temel özelliği, genelleştirilmesi;
aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği a m:a n =a m−n ;
çarpım güç özelliği (a·b) n =a n ·b n, onun uzantısı;
doğal dereceye bölümün özelliği (a:b) n =a n:b n ;
bir dereceyi (a m) n =a m·n kuvvetine yükseltmek, bunun genelleştirilmesi (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
derecenin sıfırla karşılaştırılması:
- a>0 ise herhangi bir n doğal sayısı için a n>0;
- a=0 ise a n =0;
- eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
a ve b pozitif sayılar ise ve a
m ve n m>n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0'da 0 a m >an eşitsizliği doğrudur.

Hemen şunu belirtelim ki tüm yazılı eşitlikler birebir aynı belirtilen şartlara bağlı olarak hem sağ hem de sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin a m ·a n =a m+n kesirinin ana özelliği ifadeleri basitleştirme sıklıkla a m+n =a m ·a n şeklinde kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

Aynı bazlara sahip iki kuvvetin çarpımının özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için a m ·a n =a m+n eşitliği doğrudur.

Derecenin ana özelliğini kanıtlayalım. Doğal üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, a m ·an formundaki aynı tabanlara sahip kuvvetlerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpmanın özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: ve bu çarpım a sayısının doğal üssü m+n olan, yani m+n olan kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara (2) ve doğal kuvvetlere (2 ve 3) sahip dereceleri alalım, derecelerin temel özelliğini kullanarak 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesaplayarak geçerliliğini kontrol edelim. Üs alma işlemini gerçekleştirirken, 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 ve 2 5 =2·2·2·2·2=32, eşit değerler elde edildiğine göre 2 2 ·2 3 =2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin temel özelliği, aynı tabanlara ve doğal üslere sahip üç veya daha fazla kuvvetin çarpımına genelleştirilebilir. Dolayısıyla, n 1, n 2, …, n k doğal sayıların herhangi bir k sayısı için aşağıdaki eşitlik doğrudur: an n 1 ·a n 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Örneğin, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Doğal üslü kuvvetlerin bir sonraki özelliğine geçebiliriz: aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliği: sıfırdan farklı herhangi bir a gerçek sayısı ve m>n koşulunu karşılayan keyfi m ve n doğal sayıları için a m:a n =a m−n eşitliği doğrudur.

Bu özelliğin kanıtını sunmadan önce formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. Sıfıra bölünmeyi önlemek için a≠0 koşulu gereklidir, çünkü 0 n =0'dır ve bölme konusunu öğrendiğimizde sıfıra bölünemeyeceğimiz konusunda anlaştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m>n koşulu getirildi. Aslında, m>n için a m−n üssü bir doğal sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m−n için olur) ya da negatif bir sayı (m için olur) olur.
Kanıt. Bir kesrin temel özelliği eşitliği yazmamızı sağlar a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Ortaya çıkan eşitlikten a m−n ·a n =a m çıkar ve a m−n'nin a m ve a n kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip bölüm kuvvetlerinin özelliğini kanıtlar.

Bir örnek verelim. Aynı π tabanlarına ve doğal üsler 5 ve 2'ye sahip iki derece alalım; π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 eşitliği, derecenin dikkate alınan özelliğine karşılık gelir.

Şimdi düşünelim ürün gücü özelliği: Herhangi iki a ve b reel sayısının çarpımının doğal kuvveti n, a n ve b n kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a·b) n =a n ·b n .

Aslında, doğal üssü olan bir derecenin tanımıyla, . Çarpma özelliklerine göre son çarpım şu şekilde yeniden yazılabilir: , a n · b n'ye eşittir.

İşte bir örnek: .

Bu özellik üç veya daha fazla faktörün çarpımının gücüne kadar uzanır. Yani k faktörün çarpımının doğal derecesi n'nin özelliği şu şekilde yazılır: (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Açıklık sağlamak için bu özelliği bir örnekle göstereceğiz. Üç faktörün 7'nin kuvvetinin çarpımı için elimizde .

Aşağıdaki özellik ayni bir bölümün özelliği: a ve b gerçek sayılarının n doğal kuvvetine bölümü, a n ve b n kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a:b) n =a n:b n.

Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Bu yüzden (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n ve (a:b) n ·b n =a n eşitliğinden (a:b) n'nin a n'nin b n'ye bölümü olduğu sonucu çıkar.

Örnek olarak belirli sayıları kullanarak bu özelliği yazalım: .

Şimdi seslendirelim bir gücü bir güce yükseltme özelliği: Herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir m ve n doğal sayısı için, a m'nin n'ye kuvveti, m·n üssü olan a sayısının kuvvetine eşittir, yani (a m) n =a m·n.

Örneğin, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dereceye göre kuvvet özelliğinin kanıtı aşağıdaki eşitlik zinciridir: .

Dikkate alınan özellik, dereceye, dereceye, vb. genişletilebilir. Örneğin herhangi bir p, q, r ve s doğal sayısı için eşitlik . Daha fazla netlik sağlamak için burada belirli sayıların yer aldığı bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırmanın özellikleri üzerinde durmaya devam ediyoruz.

Sıfır ve kuvveti doğal bir üsle karşılaştırmanın özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

Öncelikle herhangi bir a>0 için a n >0 olduğunu kanıtlayalım.

Çarpmanın tanımından da anlaşılacağı gibi iki pozitif sayının çarpımı pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpımının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını göstermektedir. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının kuvveti, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımıdır. Bu argümanlar, herhangi bir pozitif a tabanı için a n derecesinin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemizi sağlar. Kanıtlanmış özellik nedeniyle 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 ve .

a=0 olan herhangi bir pozitif tamsayı n için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Aslında, 0 n =0·0·…·0=0 . Örneğin, 0 3 =0 ve 0 762 =0.

Negatif derece tabanlarına geçelim.

Üssün çift sayı olduğu durumla başlayalım, m'nin bir doğal sayı olduğu 2·m olarak gösterelim. Daha sonra . a·a formundaki çarpımların her biri, a ve a sayılarının modüllerinin çarpımına eşittir, yani pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla ürün de olumlu olacak ve derece a 2·m. Örnek verelim: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ve .

Son olarak, a tabanı negatif bir sayı ve üssü 2 m−1 tek sayı olduğunda, o zaman . Tüm a·a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve kalan negatif a sayısıyla çarpılması negatif bir sayıyla sonuçlanır. Bu özellik nedeniyle (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Aşağıdaki formülasyona sahip olan kuvvetleri aynı doğal üslerle karşılaştırma özelliğine geçelim: aynı doğal üslere sahip iki kuvvetten, n, tabanı daha küçük olandan küçüktür ve tabanı daha büyük olan daha büyüktür. . Hadi kanıtlayalım.

Eşitsizlik a n eşitsizliklerin özellikleri a n formunun kanıtlanabilir bir eşitsizliği de doğrudur .

Geriye doğal üslü kuvvetlerin listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Formüle edelim. Doğal üsleri ve aynı pozitif tabanları birden küçük olan iki kuvvetten üssü küçük olan daha büyüktür; ve doğal üsleri ve aynı tabanları birden büyük olan iki kuvvetten üssü büyük olan daha büyüktür. Bu özelliğin ispatına geçelim.

m>n ve 0 için bunu kanıtlayalım m>n başlangıç koşulu nedeniyle 0, yani 0'da
Geriye mülkün ikinci kısmını kanıtlamak kalıyor. m>n ve a>1 a m >an için doğru olduğunu kanıtlayalım. Parantezlerden bir n çıkarıldıktan sonra a m −a n farkı a n ·(a m−n −1) formunu alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a>1 için a n derecesi pozitif bir sayıdır ve a m−n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü başlangıç koşulundan dolayı m−n>0 ve a>1 için derece a m−n birden büyüktür. Sonuç olarak, a m −a n >0 ve a m >an , ki bunun kanıtlanması gerekiyordu. Bu özellik 3 7 >3 2 eşitsizliği ile gösterilmektedir.

Tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri
Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü kuvvetlerin tüm özellikleri, önceki paragrafta sıralanan ve kanıtlanmış doğal üslü kuvvetlerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Tamsayı negatif üslü bir derecenin yanı sıra sıfır üslü bir dereceyi, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özellikleri geçerli kalacak şekilde tanımladık. Dolayısıyla tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerli olmakla birlikte, elbette kuvvetlerin tabanları da sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfırdan farklı a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur: tamsayı üslü kuvvetlerin özellikleri:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n;

n pozitif bir tam sayı ise, a ve b pozitif sayılardır ve a b−n;

m ve n tam sayılarsa ve m>n ise 0'da 1 a m >an eşitsizliği geçerlidir.

a=0 olduğunda, a m ve a n kuvvetleri yalnızca hem m hem de n pozitif tamsayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Dolayısıyla biraz önce yazdığımız özellikler a=0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birinin kanıtlanması zor değildir; bunun için doğal ve tam sayı üslü derece tanımlarının yanı sıra gerçek sayılarla işlem özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, kuvvet özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, eğer p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, o zaman (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) eşitliklerini göstermeniz gerekir. ·q, (a p ) −q =a p·(−q) ve (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hadi bunu yapalım.

Pozitif p ve q için (a p) q =a p·q eşitliği önceki paragrafta kanıtlanmıştır. Eğer p=0 ise, o zaman (a 0) q =1 q =1 ve a 0·q =a 0 =1 olur, dolayısıyla (a 0) q =a 0·q olur. Benzer şekilde, eğer q=0 ise, (a p) 0 =1 ve a p·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a p) 0 =a p·0. Hem p=0 hem de q=0 ise, o zaman (a 0) 0 =1 0 =1 ve a 0·0 =a 0 =1, dolayısıyla (a 0) 0 =a 0·0.

Şimdi (a −p) q =a (−p)·q olduğunu kanıtlıyoruz. Negatif tamsayı üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği, o zaman . Sahip olduğumuz güçlere bölümün özelliği ile . 1 p =1·1·…·1=1 olduğundan ve , o zaman . Son ifade, tanımı gereği, a −(p·q) biçiminde bir kuvvettir ve çarpma kurallarına bağlı olarak (−p)·q olarak yazılabilir.

Aynı şekilde .

VE .

Aynı prensibi kullanarak, bir derecenin diğer tüm özelliklerini eşitlik biçiminde yazılmış bir tamsayı üssüyle kanıtlayabilirsiniz.

Kaydedilen özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, a koşulunun karşılandığı herhangi bir negatif tamsayı −n ve herhangi bir pozitif a ve b için geçerli olan a −n >b −n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. . Koşul gereği a 0. a n · b n çarpımı aynı zamanda a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı olarak da pozitiftir. O zaman ortaya çıkan kesir, b n −a n ve a n ·b n pozitif sayılarının bölümü olarak pozitiftir. Bu nedenle a −n >b −n'nin nereden geldiğinin kanıtlanması gerekiyordu.

Tamsayı üslü kuvvetlerin son özelliği, doğal üslü kuvvetlerin benzer bir özelliği ile aynı şekilde kanıtlanır.

Rasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

Tamsayı üssü olan bir derecenin özelliklerini ona genişleterek kesirli üslü bir derece tanımladık. Başka bir deyişle kesirli üslü kuvvetler, tamsayı üslü kuvvetlerle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

Kesirli üslü derecelerin özelliklerinin kanıtı, kesirli üslü bir derecenin tanımına ve tamsayı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. Kanıt sunalım.

Kesirli üssü olan bir kuvvetin tanımı gereği ve , o zaman . Aritmetik kökün özellikleri aşağıdaki eşitlikleri yazmamızı sağlar. Ayrıca, tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla şunu elde ederiz: ve elde edilen derecenin göstergesi şu şekilde dönüştürülebilir: . Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü kuvvetlerin ikinci özelliği tamamen benzer şekilde kanıtlanır:

Geri kalan eşitlikler benzer ilkeler kullanılarak kanıtlanmıştır:

Bir sonraki özelliğin kanıtlanmasına geçelim. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu kanıtlayalım. b . m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere p rasyonel sayısını m/n olarak yazalım. Koşullar<0 и p>0 bu durumda koşullar m<0 и m>buna göre 0. m>0 ve a için
Benzer şekilde m için<0 имеем a m >b m , nereden, yani ve a p >b p .

Listelenen özelliklerin sonuncusunu kanıtlamaya devam ediyor. p ve q rasyonel sayıları için 0'da p>q olduğunu kanıtlayalım. 0 – eşitsizlik a p >a q . m1 ve m2'nin tam sayılar ve n'nin bir doğal sayı olduğu sıradan kesirler ve elde etsek bile, p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya indirgeyebiliriz. Bu durumda, p>q koşulu aşağıdaki m1>m2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra 0'da aynı taban ve doğal üslere sahip kuvvetlerin karşılaştırılması özelliği ile 1 – eşitsizlik a m 1 > a m 2 . Köklerin özelliklerindeki bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve . Ve derecenin rasyonel bir üsle tanımlanması, eşitsizliklere ve buna göre ilerlememize olanak tanır. Buradan nihai sonuca varıyoruz: p>q ve 0 için 0 – eşitsizlik a p >a q .

İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin tanımlanma şeklinden, onun rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Yani herhangi bir a>0, b>0 ve irrasyonel sayılar p ve q için aşağıdakiler doğrudur İrrasyonel üslü kuvvetlerin özellikleri:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q;

herhangi bir pozitif sayı için a ve b, a 0 eşitsizlik a p bp;

irrasyonel sayılar için p ve q, 0'da p>q 0 – eşitsizlik a p >a q .

Bundan, a>0 için herhangi bir p ve q reel üslü kuvvetlerin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Referanslar.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf ders kitabı. eğitim kurumları.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

İfadeler, ifade dönüşümü
Kuvvet ifadeleri (kuvvetli ifadeler) ve dönüşümleri
Bu yazımızda üslü ifadelerin dönüştürülmesinden bahsedeceğiz. Öncelikle parantez açma, benzer terimleri getirme gibi kuvvet ifadeleri de dahil olmak üzere her türlü ifadeyle gerçekleştirilen dönüşümlere odaklanacağız. Daha sonra özellikle dereceli ifadelerin doğasında olan dönüşümleri analiz edeceğiz: taban ve üsle çalışmak, derecelerin özelliklerini kullanmak vb.

Sayfada gezinme.

Güç ifadeleri nelerdir?

"Güç ifadeleri" terimi pratikte okul matematik ders kitaplarında görünmez, ancak özellikle Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavına hazırlık amaçlı problem koleksiyonlarında oldukça sık görülür. Güç ifadeleri ile herhangi bir eylemi gerçekleştirmenin gerekli olduğu görevler analiz edildikten sonra, güç ifadelerinin girişlerinde güç içeren ifadeler olarak anlaşıldığı ortaya çıkar. Bu nedenle aşağıdaki tanımı kendiniz için kabul edebilirsiniz:

Tanım.

Güç ifadeleri güçleri içeren ifadelerdir.

Hadi verelim güç ifadelerine örnekler. Ayrıca doğal üslü bir dereceden reel üslü bir dereceye doğru görüş gelişiminin nasıl gerçekleştiğine göre bunları sunacağız.

Bilindiği gibi ilk olarak doğal üslü bir sayının kuvvetiyle tanışılır; bu aşamada 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) tipindeki ilk basit kuvvet ifadeleri kullanılır. 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 vb.

Biraz sonra, tamsayı üslü bir sayının kuvveti incelenir, bu da aşağıdaki gibi negatif tamsayı kuvvetlerine sahip kuvvet ifadelerinin ortaya çıkmasına yol açar: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Lisede derecelere geri dönerler. Orada, karşılık gelen güç ifadelerinin ortaya çıkmasını gerektiren rasyonel bir üslü bir derece tanıtılır: , , vesaire. Son olarak irrasyonel üslü dereceler ve bunları içeren ifadeler ele alınır: , .

Sorun, listelenen kuvvet ifadeleriyle sınırlı değildir: ayrıca değişken üs içine nüfuz eder ve örneğin aşağıdaki ifadeler ortaya çıkar: 2 x 2 +1 veya . Ve tanıdıktan sonra, kuvvetleri ve logaritmalarıyla ifadeler ortaya çıkmaya başlar, örneğin x 2·lgx −5·x lgx.

Böylece güç ifadelerinin neyi temsil ettiği sorusunu ele aldık. Daha sonra onları dönüştürmeyi öğreneceğiz.

Güç ifadelerinin ana dönüşüm türleri
Güç ifadeleri ile ifadelerin temel kimlik dönüşümlerinden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Örneğin parantez açabilir, sayısal ifadeleri değerleriyle değiştirebilir, benzer terimler ekleyebilirsiniz. Doğal olarak bu durumda eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uymak gerekir. Örnekler verelim.

Örnek.

2 3 ·(4 2 −12) kuvvet ifadesinin değerini hesaplayın.

Çözüm.

Eylemlerin gerçekleştirilme sırasına göre, önce parantez içindeki eylemleri gerçekleştirin. Burada öncelikle 4 2 kuvvetini 16 değeriyle değiştiriyoruz (gerekiyorsa bakın) ve ikinci olarak 16−12=4 farkını hesaplıyoruz. Sahibiz 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Ortaya çıkan ifadede 2 3 kuvvetini 8 değeriyle değiştirip 8·4=32 sonucunu hesaplıyoruz. Bu istenen değerdir.

Bu yüzden, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Cevap:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Örnek.

İfadeleri güçlerle basitleştirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Çözüm.

Açıkçası, bu ifade 3·a 4 ·b −7 ve 2·a 4 ·b −7 gibi benzer terimleri içerir ve bunları şu şekilde sunabiliriz: .

Cevap:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Örnek.

Bir ifadeyi güçlerle birlikte ürün olarak ifade edin.

Çözüm.

9 sayısını 3 2'nin kuvveti olarak temsil ederek ve ardından kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) kullanarak bu görevin üstesinden gelebilirsiniz:

Cevap:

Ayrıca, özellikle güç ifadelerinin doğasında olan bir takım özdeş dönüşümler de vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Taban ve üs ile çalışma

Tabanı ve/veya üssü sadece sayı veya değişken değil, bazı ifadelerden oluşan kuvvetler vardır. Örnek olarak (2+0.3·7) 5−3.7 ve (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlerini veriyoruz.

Bu tür ifadelerle çalışırken, hem derece tabanındaki ifadeyi hem de üs içindeki ifadeyi, değişkenlerinin ODZ'sinde tamamen eşit bir ifadeyle değiştirebilirsiniz. Yani bildiğimiz kurallara göre derecenin tabanını ayrı ayrı, üssünü ayrı ayrı dönüştürebiliriz. Bu dönüşümün sonucunda orijinaline tamamen eşit bir ifadenin elde edileceği açıktır.

Bu tür dönüşümler, ifadeleri güçlerle basitleştirmemize veya ihtiyaç duyduğumuz diğer hedeflere ulaşmamıza olanak tanır. Örneğin yukarıda bahsettiğimiz (2+0.3 7) 5−3.7 kuvvet ifadesinde taban ve üslerdeki sayılar ile işlemler gerçekleştirebilirsiniz, bu da 4.1 1.3 kuvvetine geçmenizi sağlayacaktır. Parantezleri açıp benzer terimleri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) derecesinin tabanına getirdikten sonra, daha basit bir a 2·(x+ formunun kuvvet ifadesini elde ederiz. 1).

Derece Özelliklerini Kullanma

İfadeleri güçlerle dönüştürmenin ana araçlarından biri, yansıtan eşitliklerdir. Başlıcalarını hatırlayalım. Herhangi bir pozitif a ve b sayısı ve keyfi gerçek sayılar r ve s için, kuvvetlerin aşağıdaki özellikleri doğrudur:

a r ·a s =a r+s ;

a r:a s =a r−s ;

(a·b) r =a r ·b r ;

(a:b) r =a r:b r ;

(a r) s =a r·s .

Doğal, tamsayı ve pozitif üsler için a ve b sayılarına ilişkin kısıtlamaların o kadar katı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin, m ve n doğal sayıları için a m ·a n =a m+n eşitliği yalnızca pozitif a için değil, aynı zamanda negatif a ve a=0 için de doğrudur.

Okulda güç ifadelerini dönüştürürken asıl odak noktası, uygun özelliği seçme ve onu doğru şekilde uygulama becerisidir. Bu durumda derece tabanları genellikle pozitiftir ve bu da derece özelliklerinin kısıtlama olmaksızın kullanılmasına olanak tanır. Aynısı, güç tabanlarında değişkenler içeren ifadelerin dönüşümü için de geçerlidir - değişkenlerin izin verilen değerlerinin aralığı genellikle bazların üzerinde yalnızca pozitif değerler alacağı şekildedir, bu da güçlerin özelliklerini özgürce kullanmanıza olanak tanır . Genel olarak, bu durumda herhangi bir derece özelliğini kullanmanın mümkün olup olmadığını sürekli olarak kendinize sormanız gerekir, çünkü özelliklerin yanlış kullanımı eğitim değerinin daralmasına ve diğer sorunlara yol açabilir. Bu noktalar, üslerin özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesi makalesinde ayrıntılı olarak ve örneklerle tartışılmaktadır. Burada kendimizi birkaç basit örneği ele almakla sınırlayacağız.

Örnek.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifadesini a tabanlı bir kuvvet olarak ifade edin.

Çözüm.

İlk olarak, bir kuvveti bir kuvvete yükseltme özelliğini kullanarak ikinci faktör (a 2) −3'ü dönüştürürüz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güç ifadesi a 2,5 ·a −6:a −5,5 formunu alacaktır. Açıkçası, kuvvetlerin çarpımı ve bölünmesi özelliklerini aynı temelde kullanmaya devam ediyoruz, elimizde
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cevap:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Kuvvet ifadelerini dönüştürürken kuvvetlerin özellikleri hem soldan sağa hem de sağdan sola kullanılır.

Örnek.

Kuvvet ifadesinin değerini bulun.

Çözüm.

Sağdan sola uygulanan (a·b) r =a r ·b r eşitliği, orijinal ifadeden formun bir çarpımına ve daha ileriye gitmemize olanak tanır. Ve aynı tabanlarla kuvvetleri çarparken üslerin toplamı şöyle olur: .

Orijinal ifadeyi başka bir şekilde dönüştürmek mümkündü:

Cevap:

.

Örnek.

a 1,5 −a 0,5 −6 kuvvet ifadesi verildiğinde, yeni bir t=a 0,5 değişkeni ekleyin.

Çözüm.

a 1,5'in kuvveti 0,5·3 olarak temsil edilebilir ve daha sonra, sağdan sola uygulanan (a r) s =a r·s kuvvetinin derecesinin özelliğine bağlı olarak, onu (a 0,5) 3 biçimine dönüştürebilirsiniz . Böylece, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Artık yeni bir değişken t=a 0,5 eklemek kolaydır, t 3 −t−6 elde ederiz.

Cevap:

t 3 −t−6 .

Üsleri içeren kesirleri dönüştürme

Kuvvet ifadeleri, kuvvetleri olan kesirleri içerebilir veya temsil edebilir. Herhangi bir türdeki kesirlerin doğasında bulunan kesirlerin temel dönüşümlerinden herhangi biri, bu kesirlere tamamen uygulanabilir. Yani, kuvvetleri içeren kesirler azaltılabilir, yeni bir paydaya indirgenebilir, paylarıyla ayrı ayrı ve paydayla ayrı ayrı çalışılabilir, vb. Bu kelimeleri açıklamak için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Güç ifadesini basitleştirin .

Çözüm.

Bu güç ifadesi bir kesirdir. Pay ve paydasıyla çalışalım. Payda parantezleri açıyoruz ve kuvvetlerin özelliklerini kullanarak elde edilen ifadeyi basitleştiriyoruz ve paydada da benzer terimleri sunuyoruz:

Ayrıca kesrin önüne eksi koyarak paydanın işaretini de değiştirelim: .

Cevap:

.

Üsleri içeren kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesi, rasyonel kesirlerin yeni bir paydaya indirgenmesine benzer şekilde gerçekleştirilir. Bu durumda ek bir faktör daha bulunur ve kesrin pay ve paydası onunla çarpılır. Bu eylemi gerçekleştirirken, yeni bir paydaya indirgemenin VA'nın daralmasına yol açabileceğini hatırlamakta fayda var. Bunun olmasını önlemek için orijinal ifade için ODZ değişkenlerinden değişkenlerin herhangi bir değeri için ek faktörün sıfıra gitmemesi gerekir.

Örnek.

Kesirleri yeni bir paydaya azaltın: a) payda a, b)'ye paydaya.

Çözüm.

a) Bu durumda hangi ek çarpanın istenen sonucu elde etmeye yardımcı olduğunu bulmak oldukça kolaydır. Bu 0,3'ün çarpanıdır, çünkü a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. A değişkeninin izin verilen değerleri aralığında (bu, tüm pozitif gerçek sayıların kümesidir), 0,3'ün kuvvetinin kaybolmadığını, bu nedenle, belirli bir sayının payını ve paydasını çarpma hakkına sahip olduğumuzu unutmayın. bu ek faktöre göre kesir:

b) Paydaya daha yakından bakarsanız şunu bulabilirsiniz:

ve bu ifadeyi ile çarpmak, küplerin toplamını ve yani, verecektir. Ve bu, orijinal kesri azaltmamız gereken yeni paydadır.

Bu şekilde ek bir faktör bulduk. X ve y değişkenlerinin izin verilen değerleri aralığında ifade kaybolmaz, bu nedenle kesrin payını ve paydasını bununla çarpabiliriz:

Cevap:

A) , B) .

Üs içeren kesirlerin azaltılmasında da yeni bir şey yoktur: pay ve payda bir dizi faktör olarak temsil edilir ve pay ve paydanın aynı faktörleri azaltılır.

Örnek.

Kesri azaltın: a) , B) .

Çözüm.

a) Öncelikle pay ve payda, 15'e eşit olan 30 ve 45 sayılarıyla azaltılabilir. Ayrıca x 0,5 +1 oranında ve şu oranda bir azaltmanın gerçekleştirilmesi de açıkça mümkündür: . İşte elimizde olanlar:

b) Bu durumda pay ve paydadaki aynı çarpanlar hemen görülmez. Bunları elde etmek için ön dönüşümler yapmanız gerekecektir. Bu durumda, kareler farkı formülü kullanılarak paydanın çarpanlara ayrılmasından oluşur:

Cevap:

A)

B) .

Kesirleri yeni bir paydaya dönüştürmek ve kesirleri azaltmak esas olarak kesirlerle işlemler yapmak için kullanılır. Eylemler bilinen kurallara göre gerçekleştirilir. Kesirleri eklerken (çıkarırken), ortak bir paydaya indirgenirler, ardından paylar eklenir (çıkarılır), ancak payda aynı kalır. Sonuç, payı payların çarpımı olan ve paydası da paydaların çarpımı olan bir kesirdir. Bir kesirle bölme, onun tersiyle çarpma işlemidir.

Örnek.

Adımları takip edin .

Çözüm.

Öncelikle parantez içindeki kesirleri çıkarıyoruz. Bunu yapmak için onları ortak bir paydada buluşturuyoruz. , bundan sonra payları çıkarıyoruz:

Şimdi kesirleri çarpıyoruz:

Açıkçası, x 1/2'lik bir kuvvetle azaltmak mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: .

Ayrıca kareler farkı formülünü kullanarak paydadaki kuvvet ifadesini basitleştirebilirsiniz: .

Cevap:

Örnek.

Güç İfadesini Basitleştirin .

Çözüm.

Açıkçası, bu kesir (x 2,7 +1) 2 kadar azaltılabilir, bu kesri verir . X'in yetkileriyle başka bir şeyin yapılması gerektiği açıktır. Bunu yapmak için ortaya çıkan fraksiyonu bir ürüne dönüştürüyoruz. Bu bize güçlerin aynı temellerle bölünmesi özelliğinden yararlanma fırsatını verir: . Ve sürecin sonunda son çarpımdan kesire geçiyoruz.

Cevap:

.

Ve şunu da ekleyelim ki, negatif üslü faktörleri paydan paydaya veya paydadan paya, üssün işaretini değiştirerek aktarmanın mümkün olduğunu ve birçok durumda istendiğini de ekleyelim. Bu tür dönüşümler genellikle daha sonraki eylemleri basitleştirir. Örneğin, bir güç ifadesi ile değiştirilebilir.

Kökleri ve kuvvetleri olan ifadeleri dönüştürme

Çoğu zaman bazı dönüşümlerin gerekli olduğu ifadelerde kuvvetlerle birlikte kesirli üslü kökler de bulunur. Böyle bir ifadeyi istenilen forma dönüştürmek için çoğu durumda sadece köklere veya sadece kuvvetlere gitmek yeterlidir. Ancak güçlerle çalışmak daha uygun olduğundan genellikle köklerden güçlere doğru hareket ederler. Bununla birlikte, orijinal ifadeye ilişkin değişkenlerin ODZ'si, modüle başvurmaya veya ODZ'yi birkaç aralığa bölmeye gerek kalmadan kökleri güçlerle değiştirmenize izin verdiğinde böyle bir geçişin gerçekleştirilmesi tavsiye edilir (bunu daha önce ayrıntılı olarak tartıştık). makale köklerden kuvvetlere ve geriye geçiş Rasyonel üslü dereceyle tanıştıktan sonra irrasyonel üslü bir derece tanıtılır, bu da keyfi bir gerçek üslü bir dereceden bahsetmemize olanak tanır. Bu aşamada okul başlar. çalışmak. üstel fonksiyon tabanı bir sayı ve üssü bir değişken olan bir kuvvet tarafından analitik olarak verilir. Böylece kuvvet tabanında sayılar ve üslü ifadelerde değişken içeren kuvvet ifadeleriyle karşı karşıya kalıyoruz ve doğal olarak bu tür ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirme ihtiyacı doğuyor.

Belirtilen türdeki ifadelerin dönüşümünün genellikle çözerken yapılması gerektiği söylenmelidir. üstel denklemler Ve üstel eşitsizlikler ve bu dönüşümler oldukça basittir. Çoğu durumda, derecelerin özelliklerine dayanırlar ve çoğunlukla gelecekte yeni bir değişken getirmeyi amaçlarlar. Denklem onları göstermemize izin verecek 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

İlk olarak, üsleri belirli bir değişkenin (veya değişkenli ifadenin) ve bir sayının toplamı olan üslerin yerini ürünler alır. Bu, sol taraftaki ifadenin ilk ve son terimleri için geçerlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Daha sonra, eşitliğin her iki tarafı, orijinal denklem için x değişkeninin ODZ'sinde yalnızca pozitif değerler alan 7 2 x ifadesine bölünür (bu, bu tür denklemleri çözmek için standart bir tekniktir, biz değiliz) Şimdi bunun hakkında konuşuyoruz, bu yüzden ifadelerin güçlerle sonraki dönüşümlerine odaklanın):

Artık kesirlerin kuvvetlerini iptal edebiliriz, bu da şunu verir: .

Son olarak, aynı üslere sahip kuvvetlerin oranı, ilişkilerin kuvvetleri ile değiştirilir ve denklem elde edilir. , eşdeğerdir . Yapılan dönüşümler, orijinal üstel denklemin çözümünü ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgeyen yeni bir değişken eklememize olanak tanır.
I. V. Boykov, L. D. Romanova Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için görevlerin toplanması. Bölüm 1. Penza 2003.

Üssü olan sayıların da diğer nicelikler gibi toplanabileceği açıktır. , işaretleriyle birlikte birbiri ardına ekleyerek.

Yani a 3 ile b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

Oranlar özdeş değişkenlerin eşit dereceleri eklenebilir veya çıkarılabilir.
Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'ye eşittir.
Ayrıca iki kare a, üç kare a veya beş kare a alırsanız da açıktır.

Ama dereceler çeşitli değişkenler Ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretleriyle birlikte eklenerek oluşturulmalıdır.

Yani 2 ile 3'ün toplamı 2 + a 3'ün toplamıdır.

A'nın karesi ve a'nın küpünün, a'nın karesinin iki katına değil, a'nın küpünün iki katına eşit olduğu açıktır.

a 3 b n ile 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma kuvvetler toplama işlemiyle aynı şekilde gerçekleştirilir, ancak çıkanların işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerekir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 sa 2 b 6 - 4 sa 2 b 6 = - sa 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Çarpan güçler

Üssü olan sayılar da diğer nicelikler gibi, aralarında çarpım işareti olsun ya da olmasın, arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Dolayısıyla a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb olur.

Veya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekli alacaktır: a 5 b 5 y 3.

Birkaç sayıyı (değişkeni) üslerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpıldığında sonucun kuvveti eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. miktar terimlerin dereceleri.

Yani a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = a 5 .

Burada 5, çarpma sonucunun kuvvetidir; terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşittir.

Yani a n .a m = a m+n .

Bir n için a, n'nin kuvveti kadar bir faktör olarak alınır;

Ve a m, m derecesinin eşit olduğu sayıda faktör olarak alınır;

Bu yüzden, tabanları aynı olan kuvvetler, kuvvetlerin üsleri toplanarak çarpılabilir.

Yani a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ile çarpın.

Bu kural üsleri eşit olan sayılar için de geçerlidir. negatif.

1. Yani a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa şeklinde yazılabilir.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Eğer a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olacaktır: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamına veya farkına eşittir.

Yükseltilmiş iki sayının toplamını ve farkını çarparsanız kare sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Derecelerin bölünmesi

Üslü sayılar da diğer sayılar gibi paydan çıkarılarak veya kesirli hale getirilerek bölünebilir.

Böylece a 3 b 2 bölü b 2 eşittir a 3.

Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5'i 3'e bölmek $\frac(a^5)(a^3)$ şeklinde görünür. Ama bu 2'ye eşit. Bir dizi sayı halinde
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs şuna eşit olacaktır: fark bölünebilir sayıların göstergeleri.

Tabanları aynı olan dereceleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ve a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Veya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Kural aynı zamanda sayıları olan sayılar için de geçerlidir. negatif derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Bu tür işlemler cebirde çok yaygın olarak kullanıldığı için çarpma ve kuvvetler bölüşümüne çok iyi hakim olmak gerekir.

Üsleri olan sayıları içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. Üsleri $\frac(5a^4)(3a^2)$ azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Üsleri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.

3. a 2 /a 3 ve a -3 /a -4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 birinci pay -2'dir.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3.a -4 ortak pay olan a -1'dir.
Basitleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
Yanıt: 2a 3 /5a 7 ve 5a 5 /5a 7 veya 2a 3 /5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı Cöyle N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesiyle üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda içine inşa edin N inci kuvveti radikal bir sayıysa, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Ana hedef

Öğrencilere doğal üslü derecelerin özelliklerini tanıtmak ve derecelerle işlemlerin nasıl yapılacağını öğretmek.

Konu “Derece ve özellikleri”üç soru içerir:
Doğal göstergeyle derecenin belirlenmesi.

Kuvvetler çarpması ve bölünmesi.

Çarpım ve derecenin üssü.

Güvenlik soruları

Doğal üssü 1'den büyük olan derecenin tanımını formüle edin. Bir örnek verin.

Derecenin tanımını 1. üsle formüle edin. Bir örnek verin.

Üs içeren bir ifadenin değeri hesaplanırken işlem sırası nedir?

Derecenin ana özelliğini formüle edin.

Bir örnek verin.

Aynı tabanlara sahip kuvvetleri çarpma kuralını formüle edin. Bir örnek verin.

Aynı temellere sahip kuvvetleri bölmek için bir kural oluşturun. Bir örnek verin.

Bir çarpımın üstel alınması kuralını formüle edin. Bir örnek verin. (ab) n = a n b n özdeşliğini kanıtlayın.

Bir gücü bir güce yükseltme kuralını formüle edin. Bir örnek verin. (a m) n = a m n özdeşliğini kanıtlayın.

Derecenin tanımı. A Sayının gücü N doğal göstergeli A 1'den büyük, her biri eşit olan n faktörün çarpımıdır A. Sayının gücü A.

üs 1 ile sayının kendisidir A Tabanlı derece N ve gösterge şu şekilde yazılmıştır: ve n A. Şöyle yazıyor: N bir dereceye kadar A ”.

”; “bir sayının n'inci kuvveti

Derecenin tanımı gereği:

. . . . . . . . . . . .

a 4 = a a a a Bir kuvvetin değerini bulmaya denir .

üs alma yoluyla

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

1. Üs alma örnekleri:

4. İfadelerin anlamlarını bulun:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

Seçenek 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)
2. Sayıyı kare olarak gösterin:
1. Üs alma örnekleri:

3. Sayıları küp olarak sunun:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Güçlerin çarpımı.

Herhangi bir a sayısı ve keyfi m ve n sayıları için aşağıdakiler geçerlidir:

bir m bir n = bir m + n .

Kanıt: : Kural

Üsler aynı tabanlarla çarpıldığında tabanlar aynı kalır ve kuvvetlerin üsleri toplanır.

bir m bir n a k = bir m + n bir k = bir (m + n) + k = bir m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

1. Derece olarak sunun:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4j) 0,3 3 0,09

2. Derece olarak sunun ve değeri tablodan bulun:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Derecelerin bölünmesi.

Herhangi bir a0 sayısı ve m>n olacak şekilde keyfi doğal sayılar m ve n için aşağıdakiler geçerlidir:

bir m bir n = bir m + n .

bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m - n + n = bir m

bölümün tanımı gereği:

a m: a n = a m - n .

Kanıt:: Tabanı aynı olan kuvvetleri bölerken taban aynı kalır ve bölenin üssü bölenin üssünden çıkarılır.

Tanım: Sıfır üssü olmayan, sıfıra eşit olmayan bir a sayısının kuvveti bire eşittir:

Çünkü a n: a n = 1, a0'da.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) 5'ten itibaren:0'dan itibaren = 5:1'den itibaren = 5'ten itibaren

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

V)

G)

D)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Bölümü bir kuvvet olarak gösterin:

2. İfadelerin anlamlarını bulun:

Bir ürünün gücüne ulaşmak.

Herhangi bir a ve b ve keyfi bir doğal sayı n için:

(ab) n = a n b n

Kanıt:

Derecenin tanımı gereği

(ab)n=

A faktörlerini ve b faktörlerini ayrı ayrı gruplandırarak şunu elde ederiz:

=

Bir ürünün gücünün kanıtlanmış özelliği, ürünün üç veya daha fazla faktörün gücüne kadar uzanır.

Örneğin:

(a b c) n = a n b n cn;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Kanıt:: Bir çarpımı bir kuvvete yükseltirken her faktör o kuvvete yükseltilir ve sonuç çarpılır.

1. Bir güce yükseltin:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 =2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. İfadenin değerini bulun:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

D)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Bir güce yükseltin:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. İfadenin değerini bulun:

b) (5 7 20) 2

Bir gücün gücüne yükselmek.

Herhangi bir a sayısı ve keyfi doğal sayılar m ve n için:

(bir m) n = bir m n

Kanıt:

Derecenin tanımı gereği

(bir m) n =

Kural: Bir kuvveti bir kuvvete yükseltirken taban aynı kalır ve üsler çarpılır.

1. Bir güce yükseltin:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. İfadeleri basitleştirin:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

B)

b) -2 4 + (-3) 2 = 7

1. Bir güce yükseltin:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. İfadeleri basitleştirin:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. İfadelerin anlamını bulun:

Başvuru

Bir gücü bir güce yükseltme kuralını formüle edin. Bir örnek verin. (a m) n = a m n özdeşliğini kanıtlayın.

Seçenek 2

1. Ürünü güç olarak yazın:

a) 0,4 0,4 0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

e) (ab) (ab) (ab)
2. Sayıyı kare olarak gösterin:
1. Üs alma örnekleri:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Seçenek 3

1. Ürünü güç olarak yazın:

a) 0,5 0,5 0,5

c) ile ile ile ile ile ile ile ile ile ile ile ile ile ile

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

2. Sayıyı kare olarak gösterin: 100; 0,49; .

2. Sayıyı kare olarak gösterin:
1. Üs alma örnekleri:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Seçenek 4

1. Ürünü güç olarak yazın:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (m.ö.) (m.ö.) (m.ö.) (m.ö.)

e) (ab) (ab) (ab)
2. Sayıyı kare olarak gösterin:
1. Üs alma örnekleri:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

e) 100 - 5 2 4

Seçenek 2

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y s) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5j) 0,2 3 0,04

e) 2 3 2 4j) 0,3 3 0,09

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Seçenek 3

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6j) 0,3 4 0,27

e) 2 3 2 4j) 0,3 3 0,09

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Seçenek 4

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

e) 2 3 2 4j) 0,3 3 0,09

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Seçenek 2

1. Bölümü bir kuvvet olarak gösterin:

2. İfadelerin anlamlarını bulun.