Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse, kesişen açılar eşittir. ve A B = 2 s'de
İspat: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel olsun ve MN sekant olsun. 1 ve 2 numaralı çapraz açıların birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım. 1 ile 2'nin eşit olmadığını varsayalım. O noktasından geçen bir KF düz çizgisi çizelim. O zaman O noktasında çapraz uzanan ve 2'ye eşit olan KON'u inşa etmek mümkündür. Ancak KON = 2 ise, KF düz çizgisi CD'ye paralel olacaktır. O noktasından geçen AB ve KF düz çizgilerinin CD düz çizgisine paralel çizildiğini bulduk. Ama bu olamaz. 1 ile 2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye vardık. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır ve 1'in 2'ye eşit olması gerekir, yani çapraz açılar eşittir. F
Teorem: İki paralel doğru bir çapraz çizgiyle kesişirse karşılık gelen açılar eşittir. ve A B = 2'de
Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse tek taraflı açıların toplamı 180° olur. ve A B = 180°'de
Kanıt: Paralel a ve b çizgileri AB sekantıyla kesişirse, karşılık gelen 1 ve 2 eşit olacak, 2 ve 3 bitişik olacak, dolayısıyla = 180°. 1 = 2 ve = 180° eşitliklerinden = 180° sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı. 2 a, AB'de 3 1
Çözüm: 1. X 2 olsun, sonra 1 = (X+70°) olsun, çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı bitişik olduklarından dolayı = 180°'dir. Bir denklem kuralım: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Açı 2) 2. 1'i bulun. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, çünkü dikeydirler. 3 = 5 çünkü çapraz yatıyorlar. 125° 5 = 7, çünkü dikeydirler. 2 = 4 çünkü dikeydirler. 4 = 6 çünkü çapraz yatıyorlar. 55° 6 = 8, çünkü dikeydirler. Problem 1: A B Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B çizgisi bir C kesisiyle kesiştiğinde oluşan tüm açıları bulun.
Çözüm: 1. 1= 2 çünkü dikeydirler, yani 2= 45° 2'ye komşudur, yani 3+ 2=180° ve bundan 3= 180° - 45°= 135° = 180° sonucu çıkar, çünkü onlar tek taraflıdır. 4 = 45°. Cevap: 4=45°; 3=135°. Problem 3: A B 2 Koşul: iki paralel çizgi A ve B bir sekant C ile kesişiyor. 1=45° ise 4 ve 3'ün neye eşit olacağını bulun
§ 1 Converse teoremi
Bu derste hangi teoremlere ters denildiğini öğreneceğiz, ters teorem örnekleri vereceğiz, iki paralel doğru ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler formüle edeceğiz ve çelişki yoluyla ispat yöntemini tanıyacağız.
Çeşitli geometrik şekiller incelenirken genellikle tanımlar formüle edilir, teoremler kanıtlanır ve teoremlerden elde edilen sonuçlar dikkate alınır. Her teoremin iki kısmı vardır: koşul ve sonuç.
Teoremin koşulu verilendir, sonuç ise kanıtlanması gerekendir. Çoğunlukla bir teoremin koşulu "eğer" kelimesiyle başlar ve sonuç "o zaman" kelimesiyle başlar. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin bir teorem şu şekilde formüle edilebilir: "Üçgen ikizkenar ise tabandaki açılar eşittir." Teoremin ilk kısmı “Üçgen ikizkenar ise” teoremin koşuludur, teoremin ikinci kısmı “o zaman tabandaki açılar eşittir” teoremin sonucudur.
Koşul ve sonucun yer değiştirdiği teoreme ters teorem denir. Bir ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin teoremin ters teoremi şu şekilde olacaktır: "Bir üçgendeki iki açı eşitse, o zaman böyle bir üçgen ikizkenardır."
Her birini kısaca yazalım:
Şart ve sonucun yer değiştirdiğini görüyoruz.
Bu ifadelerin her biri doğrudur.
Şu soru ortaya çıkıyor: Koşulun sonuçla birlikte değiştiği bir ifade her zaman doğru mudur?
Bir örneğe bakalım.
Açılar dikey ise eşittir. Bu doğru bir ifadedir ve kanıtları vardır. Tersi ifadeyi formüle edelim: eğer açılar eşitse, o zaman dikeydirler. Bu ifade yanlıştır, çürütücü bir örnek vererek bunu doğrulamak kolaydır: İki dik açı alalım (şekle bakınız), eşittirler, ancak dikey değillerdir.
Bu nedenle, zaten kanıtlanmış ifadeler (teoremler) ile ilgili zıt ifadeler (teoremler) her zaman kanıt gerektirir.
§ 2 İki paralel çizgi ve bir enine çizginin oluşturduğu açılara ilişkin teoremler
Şimdi iki düz çizginin paralelliğinin işaretlerini ifade eden kanıtlanmış ifadeleri - teoremleri hatırlayalım, bunların tersi teoremleri formüle edelim ve kanıt sağlayarak geçerliliğini doğrulayalım.
Paralel çizgilerin ilk işareti.
İki doğru çapraz olarak kesiştiğinde açılar eşitse çizgiler paraleldir.
Converse teoremi:
İki paralel doğru bir enine çizgiyle kesişirse, kesişen açılar eşittir.
Bu ifadeyi kanıtlayalım.
Verilen: a ve b paralel çizgileri AB sekantıyla kesişiyor.
Kanıtlayın: 1 ve 2 numaralı çapraz açılar eşittir. (resmi görmek)
Kanıt:
1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım.
AB ışınından CAB açısını 2 açısına eşit olarak ayıralım, böylece CAB açısı ve 2 açısı CA ve b düz çizgilerinin AB sekantıyla kesiştiği noktada çapraz uzanan açılardır.
Yapı itibarıyla bu çapraz açılar eşittir; bu, CA çizgisinin b çizgisine paralel olduğu anlamına gelir.
A ve CA doğrularının A noktasından b doğrusuna paralel geçtiğini bulduk. Bu, paralel çizgiler aksiyomuyla çelişir: Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir çizgi geçer.
Bu, varsayımımızın yanlış olduğu, 1 ve 2 açılarının eşit olduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
§ 3 Çelişki yoluyla ispat yöntemi
Bu teoremi ispatlarken çelişki yoluyla ispat yöntemi adı verilen bir akıl yürütme yöntemini kullandık. İspatlara başladığımızda ispatlamak istediğimiz şeyin tam tersini varsaydık. Bu varsayımın doğru olduğunu düşünerek akıl yürütme yoluyla paralel doğrular aksiyomuyla çelişkiye düştük. Bundan varsayımımızın doğru olmadığı ancak teoremin ifadesinin doğru olduğu sonucuna vardık. Bu tür ispat matematikte sıklıkla kullanılır.
Kanıtlanmış teoremin sonucunu ele alalım.
Sonuçlar:
Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.
A doğrusu b doğrusuna paralel olsun, c doğrusu a doğrusuna dik olsun, yani. açı 1 = 90°.
C doğrusu a doğrusuyla kesişiyor, yani c doğrusu b doğrusuyla da kesişiyor.
Paralel çizgiler bir enine çizgiyle kesiştiğinde çapraz açılar eşittir, yani açı 1 = açı 2.
Açı 1 = 90° olduğuna göre açı 2 = 90° olur, bu da c çizgisinin b doğrusuna dik olduğu anlamına gelir.
Soruşturma kanıtlandı.
Doğruların paralelliğine ilişkin ikinci kriterin ters teoremi:
İki paralel doğru bir çapraz çizgiyle kesişirse karşılık gelen açılar eşittir.
Doğruların paralelliğine ilişkin üçüncü kriterin ters teoremi:
İki paralel doğru bir enine çizgiyle kesişirse, tek taraflı açıların toplamı 180° olur.
Böylece bu derste hangi teoremlere ters denildiğini öğrendik, iki paralel doğru ve bir çaprazın oluşturduğu açılarla ilgili teoremleri formüle edip inceledik ve ayrıca çelişki yoluyla ispat yöntemini öğrendik.
Kullanılan literatürün listesi:
- Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Eğitim, 2013. - 383 s.: hasta.
- Gavrilova N.F. Geometri 7. sınıf ders gelişmeleri. - M.: “VAKO”, 2004, 288 s. - (Okul öğretmenine yardım etmek için).
- Belitskaya O.V. Geometri. 7. sınıf. Bölüm 1. Testler. – Saratov: Lyceum, 2014. – 64 s.
İki paralel doğru arasındaki açılar ve bunların çaprazları hakkındaki teoremlerle ilgili bir video dersi, teoremin yapısal özelliklerini, ters teoremlerin oluşum ve kanıt örneklerini ve bunlardan elde edilen sonuçları sunan materyali içerir. Bu video dersinin amacı, bir teorem kavramını derinleştirmek, onu bileşenlerine ayırmak, ters teorem kavramını göz önünde bulundurarak, belirli bir teoremin tersi olan bir teoremi, teoremin sonuçlarını oluşturma yeteneğini geliştirmek ve İfadeleri kanıtlama yeteneğini geliştirmek.
Video dersinin biçimi, materyali gösterirken başarılı bir şekilde vurgulamanıza olanak tanır, materyali anlamayı ve hatırlamayı kolaylaştırır. Bu video dersinin konusu karmaşık ve önemlidir, bu nedenle görsel bir yardımın kullanılması sadece tavsiye edilmekle kalmaz, aynı zamanda arzu edilir. Öğrenim kalitesini arttırma fırsatı sağlar. Animasyon efektleri, eğitim materyalinin sunumunu iyileştirir, öğrenme sürecini geleneksel olana yaklaştırır ve video kullanımı, öğretmenin bireysel çalışmasını derinleştirmesini sağlar.
Video dersi konusunun duyurulması ile başlar. Dersin başında, teoremin yapısının ve ilerideki araştırma olanaklarının daha iyi anlaşılması için teoremin bileşenlerine ayrıştırılması ele alınır. Ekranda teoremin koşullarından ve sonuçlarından oluştuğunu gösteren bir diyagram gösterilir. Koşul ve sonuç kavramı, paralel doğruların işareti örneği kullanılarak açıklanır; ifadenin bir kısmının teoremin koşulu, sonucun ise sonuç olduğu dikkate alınır.
Teoremin yapısı hakkında edinilen bilgiyi derinleştirerek öğrencilere verilen teoremin tersi olan bir teorem kavramı verilir. Değiştirmenin bir sonucu olarak oluşur - koşul sonuç, sonuç - koşul haline gelir. Öğrencilerin verilere ters teoremler oluşturma ve bunları kanıtlama yeteneğini geliştirmek için, Ders 25'te paralel doğruların işaretleriyle ilgili tartışılan teoremlerin tersi teoremler dikkate alınır.
Ekranda paralel çizgilerin işaretini tanımlayan birinci teoremin tersi olan teorem görüntülenir. Koşulu ve sonucu değiştirerek, herhangi bir paralel doğrunun bir enine çizgiyle kesişmesi durumunda, bu durumda oluşan çapraz açıların eşit olacağı ifadesini elde ederiz. Kanıt, a, b doğrularını ve bu doğrulardan M ve N noktalarında geçen bir enine kesiti gösteren şekilde gösterilmektedir. Enine açılar ∠1 ve ∠2 resimde işaretlenmiştir. Eşitliklerini kanıtlamak gerekir. İlk olarak ispat bu açıların eşit olmadığı varsayımını yapar. Bunu yapmak için, M noktasından geçen belirli bir P düz çizgisi çizilir. MN'ye göre ∠2 açısıyla çapraz uzanan bir `∠PMN açısı oluşturulur. `∠PMN ve ∠2 açıları yapısal olarak eşittir, dolayısıyla MP║b. Sonuç - b'den bir noktaya paralel iki çizgi çizilir. Ancak bu imkansızdır çünkü paralel çizgiler aksiyomuna uymamaktadır. Yapılan varsayımın yanlış olduğu ortaya çıkıyor ve orijinal ifadenin geçerliliği kanıtlanıyor. Teorem kanıtlandı.
Daha sonra öğrencilerin dikkati akıl yürütme sırasında kullanılan ispat yöntemine çekilir. Kanıtlanmakta olan iddianın yanlış olduğu kabul edilen ispata geometride çelişki yoluyla ispat denir. Bu yöntem genellikle çeşitli geometrik ifadeleri kanıtlamak için kullanılır. Bu durumda, çapraz açıların eşitsizliği varsayıldığında, akıl yürütme sırasında böyle bir çelişkinin geçerliliğini reddeden bir çelişki ortaya çıktı.
Öğrencilere daha önce ispatlarda benzer bir yöntemin kullanıldığı hatırlatılır. Bunun bir örneği, 12. dersteki üçte bire dik iki doğrunun kesişmediği teoreminin ispatı ve 28. derste paralel doğrular aksiyomundan elde edilen sonuçların ispatıdır.
Kanıtlanabilir başka bir sonuç, bir doğrunun paralel çizgilerden birine dik olması durumunda her iki paralel çizgiye de dik olduğunu belirtir. Şekilde a ve b düz çizgileri ve bunlara dik olan bir c düz çizgisi gösterilmektedir. C düz çizgisinin a'ya dik olması, onunla oluşan açının 90°'ye eşit olduğu anlamına gelir. A ve b'nin paralelliği ve bunların c doğrusu ile kesişmesi, c doğrusu ile b'nin kesiştiği anlamına gelir. b doğrusu ile oluşturulan ∠2 açısı ∠1 açısının çaprazıdır. Ve duruma göre çizgiler paralel olduğundan bu açılar eşittir. Buna göre ∠2 açısı da 90°'ye eşit olacaktır. Bu, c çizgisinin b çizgisine dik olduğu anlamına gelir. Söz konusu teorem kanıtlanmıştır.
Daha sonra paralel doğrular için ikinci kriterin tersi olan teoremi kanıtlıyoruz. Ters teorem, eğer iki düz çizgi paralelse, karşılık gelen açıların eşit olacağını belirtir. İspat, bir c keseninin ve paralel a ve b doğrularının oluşturulmasıyla başlar. Bu durumda oluşturulan açılar şekilde işaretlenmiştir. ∠1 ve ∠2 adı verilen bir çift karşılık gelen açı vardır ve ayrıca ∠1 açısıyla çapraz uzanan ∠3 açısıyla işaretlenir. a ve b'nin paralelliği çapraz olarak ∠3=∠1 eşitliği anlamına gelir. ∠3 ve ∠2'nin dikey olduğunu düşünürsek bunlar da eşittir. Bu tür eşitliklerin bir sonucu ∠1=∠2 ifadesidir. Söz konusu teorem kanıtlanmıştır.
Bu derste kanıtlanacak son teorem paralel doğrular için yapılan son testin tersidir. Metni, bir enine paralel doğrulardan geçerse, oluşan tek taraflı açıların toplamının 180°'ye eşit olduğunu belirtir. İspatın ilerleyişi, c kesenini kesen a ve b doğrularını gösteren şekilde gösterilmiştir. Tek taraflı açıların toplamının 180° olacağını yani ∠4+∠1 = 180° olacağını kanıtlamak gerekir. A ve b düz çizgilerinin paralelliğinden karşılık gelen ∠1 ve ∠2 açılarının eşitliği elde edilir. ∠4, ∠2 açılarının komşuluğu, toplamlarının 180° olduğu anlamına gelir. Bu durumda, ∠1= ∠2 açıları - bu, ∠4 açısına eklenen ∠1'in 180° olacağı anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Ters teoremlerin nasıl oluştuğunu ve kanıtlandığını daha iyi anlamak için, bir teoremin kanıtlanmış ve doğru olması, ters teoremin de doğru olacağı anlamına gelmediğini ayrıca belirtmek isteriz. Bunu anlamak için basit bir örnek verilmiştir. Tüm dikey açıların eşit olduğuna dair bir teorem vardır. Tersi teorem, tüm eşit açıların dikey olduğu gibi geliyor, ki bu doğru değil. Sonuçta dikey olmayan iki eşit açı oluşturabilirsiniz. Bu, gösterilen resimde görülebilir.
“İki paralel çizgi ve bir enine tarafından oluşturulan açılarla ilgili teoremler” video dersi, bir öğretmen tarafından geometri dersinde kullanılabilecek ve aynı zamanda ters teoremler ve sonuçlar hakkında başarılı bir fikir oluşturabilen görsel bir yardımcıdır. materyali bağımsız olarak çalışırken kanıtlayabilir ve uzaktan eğitim eğitiminde faydalı olabilir.
