Olasılık. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı profilinin sorunları.
MBOU “Lyceum No. 4” Ruzaevka'da bir matematik öğretmeni tarafından hazırlanmıştır.
Ovchinnikova T.V.
Olasılığın tanımı
Olasılık A olaylarına sayı oranı denir M toplam sayıya göre bu olay için olumlu sonuçlar N bir test veya gözlem sonucunda meydana gelebilecek eşit derecede olası tüm uyumsuz olaylar:
M
N
İzin vermek k – yazı tura atma sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=2 k .
İzin vermek k – zar atışlarının sayısı, ardından olası sonuçların sayısı: n=6 k .
Rastgele bir deneyde simetrik bir para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun.
Çözüm.
Yalnızca 4 seçenek var: O; o o; pp; pp; O .
Uygun 2: O; R Ve P; O .
Olasılık 2/4 = 1/2 = 0,5 .
Cevap: 0,5.
Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Çözüm.
Zarlar 6 tarafı olan küplerdir. İlk zar 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 puan atabilir. Her puanlama seçeneği, ikinci zardaki 6 puanlama seçeneğine karşılık gelir.
Onlar. toplam farklı seçenekler 6×6 = 36.
Seçenekler (deney sonuçları) aşağıdaki gibi olacaktır:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
vesaire. ..................................
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
İki zarın puanlarının toplamının 8 olduğu sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Toplamda 5 seçenek var.
Olasılığı bulalım: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Cevap: 0.14.
Biyoloji bilet koleksiyonunda sadece 55 bilet var, 11 tanesi botanikle ilgili bir soru içeriyor. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığını bulun.
Çözüm:
Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığı 11/55 = 1/5 = 0,2'dir.
Cevap: 0.2.
Jimnastik şampiyonasına 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den ve geri kalanı Çin'den olmak üzere 20 sporcu katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Çözüm.
Toplam 20 sporcu katılıyor
bunların 20 – 8 – 7'si = 5'i Çin'den sporcu.
Birinci yarışan sporcunun Çin'den olma olasılığı 5/20 = 1/4 = 0,25'tir.
Cevap: 0,25.
Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?
Çözüm:
Konferansın son gününde yapılması planlanan
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 rapor.
Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığı 12/75 = 4/25 = 0,16'dır.
Cevap: 0.16.
Badminton şampiyonasının ilk turunun başlamasından önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya Ruslan Orlov'un da aralarında bulunduğu 10'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 badminton oyuncusu katılıyor. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun mu?
Çözüm:
Ruslan Orlov'un Rusya'dan bir badminton oyuncusuyla oynaması gerektiği dikkate alınmalıdır. Ve Ruslan Orlov'un kendisi de Rusya'dan.
Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığı 9/25 = 36/100 = 0,36.
Cevap: 0,36.
Dasha zarları iki kez atar. Toplamda 8 puan aldı. İlk atışta 2 puan alma olasılığını bulun.
Çözüm.
İki zarda toplam 8 puan görünmelidir. Aşağıdaki kombinasyonlar varsa bu mümkündür:
Toplamda 5 seçenek var. İlk atışta 2 puanın alındığı sonuçların (seçeneklerin) sayısını sayalım.
Bu seçenek 1'dir.
Olasılığı bulalım: 1/5 = 0,2.
Cevap: 0.2.
Dünya Şampiyonasına 20 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri dört takımdan oluşan beş gruba ayrılmaları gerekiyor. Kutuda grup numaralarının karışık olduğu kartlar var:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Takım kaptanlarının her biri bir kart çeker. Rus takımının üçüncü grupta yer alma olasılığı nedir?
Çözüm:
Toplamda 20 takım, 5 grup var.
Her grupta 4 takım var.
Yani toplam 20 sonuç var, ihtiyacımız olan 4, yani istenen sonucu elde etme olasılığı 4/20 = 0,2.
Cevap: 0.2.
İki fabrika araba farları için aynı camları üretiyor. İlk fabrika bu camların %45'ini, ikinci fabrika ise %55'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın %3'ünü, ikinci fabrika ise %1'ini üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığını bulun.
Çözüm:
Camın ilk fabrikadan satın alınmış ve kusurlu olma olasılığı:
R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Camın ikinci bir fabrikadan alınmış ve kusurlu olma olasılığı:
R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Dolayısıyla toplam olasılık formülüne göre bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığı şuna eşittir:
p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Cevap: 0,019.
Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0,52 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır.
Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun.
Çözüm:
Birinci ve ikinci oyunları kazanma olasılığı birbirine bağlı değildir. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir:
p = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Cevap: 0,156.
Bir biatloncu hedeflere beş kez ateş eder. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun hedefleri ilk üç seferde vurması ve son ikisinde ıskalama olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Çözüm:
Bir sonraki atışın sonucu öncekilere bağlı değildir. Dolayısıyla “ilk atışta vurmak”, “ikinci atışta vurmak” vb. olaylar. bağımsız.
Her vuruşun olasılığı 0,8'dir. Bu, kaçırma olasılığının 1 – 0,8 = 0,2 olduğu anlamına gelir.
1 atış: 0,8
2 atış: 0,8
3 atış: 0,8
4 atış: 0,2
5 atış: 0,2
Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma formülünü kullanarak istenen olasılığın şuna eşit olduğunu buluruz:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Cevap: 0,02.
Mağazada iki ödeme makinesi var. Her biri diğer makineden bağımsız olarak 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışma olasılığını bulun.
Çözüm:
Her iki makinenin de arızalı olma olasılığını bulalım.
Bu olaylar bağımsızdır, gerçekleşme olasılıkları bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
En az bir makinenin, tam tersinin çalışıyor olmasıyla oluşan olay.
Bu nedenle olasılığı eşittir
1 − 0,0025 = 0,9975.
Cevap: 0,9975.
Kovboy John sıfırlanmış bir tabancayı ateşlerse duvardaki sineği vurma şansı 0,9'dur. John ateşlenmemiş bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun.
Çözüm:
John'un sıfırlanmış bir tabancayı alması durumunda ıskalama olasılığı:
0,4 (1 - 0,9) = 0,04
Ateşlenmemiş bir tabancayı alırsa John'un ıskalama olasılığı:
0,6 · (1 - 0,2) = 0,48
Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Cevap: 0,52.
Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,4, sonraki her atışta ise 0,6'dır. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,98 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek?
Çözüm:
Bir dizi ardışık hatadan sonra hayatta kalma olasılığını hesaplayarak sorunu "eylem yoluyla" çözebilirsiniz:
P(1) = 0,6;
P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;
P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;
P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;
P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.
İkinci olasılık 0,02'den azdır, dolayısıyla hedefe beş atış yeterlidir.
Cevap: 5.
Sınıfta 26 kişi var, aralarında iki ikiz var - Andrey ve Sergey. Sınıf rastgele 13'er kişilik iki gruba ayrılır. Andrey ve Sergey'in aynı grupta olma olasılığını bulun.
Çözüm:
İkizlerden birinin bir grupta olmasına izin verin.
Onunla birlikte grupta kalan 25 sınıf arkadaşından 12 kişi yer alacak.
İkinci ikizin bu 12 kişiden olma olasılığı
P = 12: 25 = 0,48.
Cevap: 0,48.
Resimde bir labirent görülüyor. Örümcek, Giriş noktasında labirentin içine doğru sürünür. Örümcek dönüp geriye doğru sürünemez, bu nedenle her dalda örümcek henüz emeklemediği yollardan birini seçer. Diğer yolun seçiminin tamamen rastgele olduğunu varsayarak, örümceğin D'den hangi olasılıkla çıkacağını belirleyin.
Çözüm:
Örümcek, işaretli dört çatalın her birinde D çıkışına giden yolu veya 0,5 olasılıkla başka bir yolu seçebilir. Bunlar bağımsız olaylardır, bunların gerçekleşme olasılığı (örümceğin D çıkışına ulaşması) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Dolayısıyla D çıkışına varma olasılığı (0,5) 4 = 0,0625.
Tula şehrinin eğitim kurumunda matematik öğretmenleri için “Matematikte Birleşik Devlet Sınavı görevlerini şu bölümlerden çözme: kombinatorik, olasılık teorisi” konulu bir çalıştay planlayın. Öğretim Metodolojisi"
Zaman: 12 00 ; 15 00
Mekan: MBOU "Lyceum No. 1", ofis. 8 numara
BEN. Olasılık problemlerini çözme
1. Olasılığın klasik belirlenmesini içeren problemlerin çözümü
Öğretmenler olarak biz, olasılık teorisinde Birleşik Devlet Sınavındaki ana problem türlerinin klasik olasılık tanımına dayandığını zaten biliyoruz. Bir olayın olasılığı denilen şeyi hatırlayalım mı?
Olayın olasılığı belirli bir olaya ilişkin olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranıdır.
Matematik öğretmenlerinin bilimsel ve metodolojik derneğimiz olasılık problemlerini çözmek için genel bir şema geliştirdi. Dikkatinize sunmak isterim. Bu arada iş deneyimimizi paylaştık ve problem çözmenin ortak tartışılması için dikkatinize sunduğumuz materyallerde bu diyagramı verdik. Ancak şunu dile getirmek istiyorum.
Bize göre bu şema, her şeyi hızlı bir şekilde mantıksal olarak parçalara ayırmaya yardımcı oluyor ve bundan sonra sorun hem öğretmen hem de öğrenciler için çok daha kolay çözülebiliyor.
Bu yüzden aşağıdaki görevi ayrıntılı olarak analiz etmek istiyorum.
Metodolojiyi, çocuklara böyle bir çözümün nasıl aktarılacağını açıklamak için sizinle birlikte konuşmak istedim, bu sırada çocuklar bu tipik sorunu anlayacaklardı ve daha sonra bu sorunları kendilerinin anlayacaklardı.
Bu problemde rastgele deney nedir? Şimdi bu deneyde temel bir olayı izole etmemiz gerekiyor. Bu temel olay nedir? Bunları listeleyelim.
Görevle ilgili sorularınız mı var?
Sevgili meslektaşlarım, elbette siz de zarlarla ilgili olasılık problemlerini dikkate aldınız. Bence bunu analiz etmemiz gerekiyor çünkü kendine has nüansları var. Bu sorunu size önerdiğimiz şemaya göre analiz edelim. Küpün her iki tarafında da 1'den 6'ya kadar sayılar olduğuna göre temel olaylar 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayılarıdır. Temel olayların toplam sayısının 6 olduğunu bulduk. hangi temel olayların olayı desteklediği. Bu olayı destekleyen yalnızca iki olay vardır - 5 ve 6 (çünkü 5 ve 6 puanların düşmesi koşulundan kaynaklanmaktadır).
Tüm temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu açıklayın. Görevle ilgili hangi sorular olacak?
Bir madalyonun simetrik olduğunu nasıl anlarsınız? Şunu açıklığa kavuşturalım, bazen bazı ifadeler yanlış anlaşılmalara sebep olabiliyor. Bu sorunu kavramsal olarak anlayalım. Temel sonuçların ne olabileceğini anlatan deneyde sizinle birlikte bulalım. Yazıların nerede, yazıların nerede olduğu hakkında bir fikriniz var mı? Olası ayrılma seçenekleri nelerdir? Başka olaylar var mı? Toplam etkinlik sayısı nedir? Soruna göre turaların tam olarak bir kez geldiği biliniyor. Bu şu anlama gelir: Bu olaybu dört OR ve RO'daki temel olaylar olumludur; bu iki kez gerçekleşemez. Bir olayın olasılığını hesaplayan formülü kullanırız. Bir hatırlatma olarak, Bölüm B'deki yanıtların ya tam sayı ya da ondalık sayı olması gerekir.
İnteraktif tahtada gösteriyoruz. Sorunu okuduk. Bu deneyimin temel sonucu nedir? Çiftin sıralı olduğunu, yani sayının ilk ve ikinci zarda düştüğünü açıklayın. Herhangi bir problemde, rasyonel yöntemleri, formları seçmeniz ve çözümü tablolar, diyagramlar vb. şeklinde sunmanız gereken anlar vardır. Bu problemde böyle bir tablonun kullanılması uygundur. Size hazır bir çözüm veriyorum ama çözüm sırasında bu problemde tablo şeklinde bir çözüm kullanmanın mantıklı olduğu ortaya çıkıyor. Tablonun ne anlama geldiğini açıklıyoruz. Sütunların neden 1, 2, 3, 4, 5, 6 dediğini anlayabilirsiniz.
Bir kare çizelim. Çizgiler ilk atışın sonuçlarına karşılık gelir - altı tane vardır çünkü zarın altı tarafı vardır. Sütunlar da öyle. Her hücreye çizilen noktaların toplamını yazıyoruz. Tamamlanan tabloyu gösteriyoruz. Toplamın sekize eşit olduğu hücreleri renklendirelim (şart gereği bu).
Öncekileri analiz ettikten sonra bir sonraki sorunun çocuklara kendi başlarına çözmeleri için verilebileceğine inanıyorum.
Aşağıdaki problemlerde tüm temel sonuçları yazmaya gerek yoktur. Sadece sayılarını saymak yeterlidir.
(Çözüm yok) Bu sorunu adamların kendi başlarına çözmeleri için verdim. Sorunu çözmek için algoritma
1. Rastgele bir deneyin nelerden oluştuğunu ve rastgele olayın ne olduğunu tanımlayın.
2. Temel olayların toplam sayısını bulun.
3. Problem ifadesinde belirtilen olaya uygun olay sayısını bulun.
4. Formülü kullanarak bir olayın olasılığını bulun.
Öğrencilere şu soru sorulabilir: Eğer 1000 adet pil satışa çıkarsa ve bunlardan 6'sı arızalı ise seçilen pil nasıl belirlenir? Görevimiz nedir? Daha sonra burada sayı olarak neyin kullanıldığını bulma sorusunu soruyorum.ve onu bulmanı öneririmsayı. Sonra soruyorum, buradaki olay nedir? Bir etkinliği tamamlamaya kaç tane akümülatör yardımcı olur? Daha sonra formülü kullanarak bu olasılığı hesaplıyoruz.
Burada adamlara ikinci bir çözüm önerilebilir. Bu yöntemin ne olabileceğini tartışalım mı?
1. Şimdi hangi olayı ele alabiliriz?
2. Belirli bir olayın olasılığı nasıl bulunur?
Bu formüllerin çocuklara anlatılması gerekiyor. Bunlar aşağıdaki gibidir
Sekizinci problem, altıncı probleme benzediği için çocuklara tek başına sunulabilir. Onlara bağımsız çalışma olarak veya yönetim kurulundaki bir kartla sunulabilir.
Bu sorun şu anda yapılmakta olan Olimpiyatla ilgili olarak çözülebilir. Görevlerde farklı olaylar yer almasına rağmen görevler tipiktir.
2. Olasılıkları hesaplamak için en basit kurallar ve formüller (zıt olaylar, olayların toplamı, olayların çarpımı)
Bu, Birleşik Devlet Sınavı koleksiyonundan bir görevdir. Çözümü tahtada gösteriyoruz. Öğrencilere bu sorunu anlamaları için hangi soruları sormalıyız?
1. Kaç tane makine vardı? Eğer iki makine varsa, o zaman zaten iki olay vardır. Çocuklara bir soru soruyorum; etkinlik nasıl olacak?? İkinci etkinlik ne olacak?
2. bir olayın olasılığıdır. Koşulda verildiği için hesaplamamıza gerek yok. Problemin koşullarına göre “her iki makinede de kahvenin bitmesi” olasılığı 0,12’dir. A olayı vardı, B olayı vardı. Ve yeni bir olay mı ortaya çıktı? Çocuklara bir soru soruyorum - hangisi? Bu, her iki makinede de kahvenin bitmesi olayıdır. Bu durumda olasılık teorisinde bu, A ve B iki olayının kesişimi olarak adlandırılan ve bu şekilde gösterilen yeni bir olaydır.
Olasılık toplama formülünü kullanalım. Formül aşağıdaki gibidir
Bunu size referans materyalinde veriyoruz ve adamlara bu formül verilebilir. Bir dizi olayın olasılığını bulmanızı sağlar. Olasılığı formül kullanılarak bulunan ters olayın olasılığı soruldu.
Problem 13, olasılığını bulma formülü ekte verilen olayların çarpımı kavramını kullanır.
3. Olası seçenekler ağacının kullanımını içeren problemler
Problemin koşullarına bağlı olarak bir diyagram çizmek ve belirtilen olasılıkları bulmak kolaydır.
Öğrencilerin bu tür problemleri çözmelerine yardımcı olmak için hangi teorik materyali kullandınız? Bu tür sorunları çözmek için olası bir ağaç veya başka yöntemler kullandınız mı? Grafik kavramını verdiniz mi? Beşinci veya altıncı sınıfta çocukların bu tür sorunları vardır ve bunların analizi grafik kavramını verir.
Size şunu sormak isterim, siz ve öğrencileriniz olasılık problemlerini çözerken olası seçenekler ağacını kullanmayı düşündünüz mü? Gerçek şu ki, Birleşik Devlet Sınavının sadece bu tür görevleri yoktur, aynı zamanda şimdi çözeceğimiz oldukça karmaşık sorunlar da ortaya çıkmıştır.
Bu tür sorunları çözme metodolojisini sizinle tartışalım - eğer adamlara açıkladığım gibi, benim metodolojimle örtüşüyorsa, o zaman sizinle çalışmak benim için daha kolay olacaktır, değilse, o zaman bu sorunla başa çıkmanıza yardımcı olacağım.
Olayları tartışalım. Problem 17'deki hangi olaylar izole edilebilir?
Düzlemde bir ağaç oluştururken ağacın kökü adı verilen bir nokta belirlenir. Daha sonra olayları değerlendirmeye başlıyoruzVe. Bir segment oluşturacağız (olasılık teorisinde buna dal denir). Koşula göre ilk fabrika bu markanın cep telefonlarının %30'unu üretiyor (hangisini? Üretiyorlar) deniyor, yani şu anda öğrencilere soruyorum ilk fabrikanın çıkma olasılığı nedir? bu markanın telefonlarını mı üretiyorlar, ürettikleri mi? Olay bir telefonun ilk fabrikada piyasaya sürülmesi olduğundan bu olayın gerçekleşme olasılığı %30 yani 0,3'tür. Geri kalan telefonlar ikinci fabrikada üretildi - ikinci segmenti inşa ediyoruz ve bu olayın olasılığı 0,7.
Öğrencilere şu soru sorulur: İlk fabrikada ne tür telefon üretilebilirdi? Kusurlu veya kusursuz. İlk fabrikada üretilen bir telefonun arızalı olma ihtimali nedir? Koşul bunun 0,01'e eşit olduğunu söylüyor. Soru: İlk fabrikada üretilen telefonun arızalı olmama olasılığı nedir? Bu olay verilen olayın tersi olduğundan olasılığı eşittir.
Telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor. İlk fabrikadan da olabilir, ikinciden de olabilir. Daha sonra olasılıkları eklemek için formülü kullanırız ve tüm olasılığın, kusurlu telefonun birinci fabrikadan, kusurlu telefonun ise ikinci fabrikadan olma olasılıklarının toplamı olduğunu buluruz. Ekte verilen olasılıklar çarpımı formülünü kullanarak telefonun arızalı ve ilk fabrikada üretilmiş olma olasılığını bulacağız.
4. Birleşik Devlet Sınavı bankasının olasılık konusundaki en zor sorunlarından biri
Örneğin FIPI Görev Bankası'nın 320199 numaralı numarasına bakalım. Bu B6'daki en zor görevlerden biridir.
"Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibi Z.'nin Birleşik Devlet Sınavında üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve yabancı dil) en az 70 puan alması gerekir. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler) en az 70 puan almanız gerekir.
Başvuru sahibi Z.'nin matematikte en az 70 puan alma olasılığı 0,6, Rusçada - 0,8, yabancı dilde - 0,7 ve sosyal bilgilerde - 0,5'tir.
Z.'nin bahsi geçen iki uzmanlıktan en az birine kaydolma olasılığını bulun.
Dikkat edin sorun, Z. adındaki bir başvuru sahibinin aynı anda hem dil bilimi hem de ticaret okuyup iki diploma alıp alamayacağını sormamaktadır. Burada Z.'nin bu iki uzmanlıktan en az birine kaydolabilmesi yani gerekli puanı alması olasılığını bulmamız gerekiyor.
Z.'nin iki uzmanlık alanından en az birine girebilmesi için matematikten en az 70 puan alması gerekiyor. Ve Rusça. Ve ayrıca - sosyal bilgiler veya yabancı.
Matematikten 70 puan alma olasılığı 0,6'dır.
Matematikte ve Rusçada puan alma olasılığı eşittir.
Yabancı ve sosyal bilgilerle ilgilenelim. Bize uygun olan seçenekler, başvuru sahibinin sosyal bilgilerden, yabancı çalışmalardan veya her ikisinden de puan almasıdır. Dil ya da “toplum” alanında puan alamadığında bu seçenek uygun değildir. Bu, sosyal bilgilerden veya yabancı dilden en az 70 puanla geçme ihtimalinin eşit olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak matematik, Rusça ve sosyal bilgiler veya yabancı dilden geçme olasılığı eşittir
Cevap bu.
II . Kombinatoryal problemleri çözme
1. Kombinasyon ve faktöriyel sayısı
Teorik materyale kısaca göz atalım.
İfadeN ! “en-faktöriyel” olarak okunur ve 1'den başlayarak tüm doğal sayıların çarpımını belirtir.N dahil:N ! = 1 · 2 · 3 · ... ·N .
Ayrıca matematikte tanım gereği 0! = 1. Böyle bir ifade nadirdir ancak yine de olasılık teorisindeki problemlerde ortaya çıkar.
Tanım
Tamamen farklı nesneler seçmek istediğiniz nesneler (kalemler, şekerler vb.) olsun. Daha sonra böyle bir seçim için seçeneklerin sayısına denirkombinasyon sayısı tarafından öğelerden. Bu sayı özel bir formül kullanılarak belirlenir ve hesaplanır.
Tanım
Bu formül bize ne veriyor? Aslında onsuz neredeyse hiçbir ciddi sorun çözülemez.
Daha iyi anlamak için birkaç basit kombinatoryal probleme bakalım:
Görev
Barmenin 6 çeşit yeşil çayı var. Çay seremonisi yapabilmek için tam olarak 3 farklı yeşil çay çeşidi servis etmeniz gerekmektedir. Barmen bir siparişi kaç farklı şekilde karşılayabilir?
Çözüm
Burada her şey basit: varN = 6 çeşit arasından seçim yapılabilirk = 3 çeşit. Kombinasyon sayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Cevap
Formülde yerine koyun. Tüm sorunları çözemeyiz ancak tipik sorunları yazıya dökerek dikkatinize sunduk.
Görev
20 öğrenciden oluşan bir grupta konferansta konuşacak 2 temsilci seçmeniz gerekmektedir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?
Çözüm
Yine elimizdeki tek şey buN = 20 öğrenci, ancak seçim yapmalısınızk = 2 öğrenci. Kombinasyon sayısını bulun:
Lütfen unutmayın: farklı faktöriyellerde yer alan çarpanlar kırmızı renkle işaretlenmiştir. Bu çarpanlar sorunsuz bir şekilde azaltılabilir ve böylece toplam hesaplama miktarı önemli ölçüde azaltılabilir.
Cevap
190
Görev
Normal sunuculara göre 2 kat daha az maliyetli olan depoya çeşitli kusurlara sahip 17 adet sunucu teslim edildi. Yönetmen okul için bu tür 14 sunucu satın aldı ve 200.000 ruble tutarında tasarruf edilen parayı diğer ekipmanları satın almak için kullandı. Yönetici kusurlu sunucuları kaç farklı şekilde seçebilir?
Çözüm
Sorun, kafa karıştırıcı olabilecek pek çok ekstra veri içeriyor. En önemli gerçekler: yalnızcaN = 17 sunucu ve yöneticinin ihtiyacı vark = 14 sunucu. Kombinasyon sayısını sayıyoruz:
Azaltılan çarpanlar yine kırmızıyla gösterilir. Toplamda 680 kombinasyon vardı. Genel olarak yönetmenin seçebileceği çok şey var.
Cevap
680
Bu görev çetrefilli çünkü bu görevde fazladan veri var. Birçok öğrenciyi doğru karar vermekten alıkoyuyorlar. Toplamda 17 sunucu vardı ve yönetmenin 14 tanesini seçmesi gerekiyordu. Formülde yerine koyarsak 680 kombinasyon elde ederiz.
2. Çarpma Yasası
Tanım
Çarpma kanunu kombinatorikte: bağımsız kümelerdeki kombinasyonların (yollar, kombinasyonlar) sayısı çarpılır.
Başka bir deyişle, olsunA bir eylemi gerçekleştirmenin yolları veB başka bir eylemi gerçekleştirmenin yolları. Yol aynı zamanda bu eylemlerin bağımsız olmasıdır, yani. hiçbir şekilde birbiriyle ilişkili değildir. Daha sonra aşağıdaki formülü kullanarak birinci ve ikinci eylemleri gerçekleştirmenin yollarının sayısını bulabilirsiniz:C = A · B .
Görev
Petya'da 4 adet 1 rublelik jeton ve 2 adet 10 rublelik jeton bulunmaktadır. Petya, bakmadan, 11 rubleye bir kalem satın almak için cebinden 1 ruble nominal değeri olan 1 jeton ve nominal değeri 10 ruble olan 1 jeton daha çıkardı. Bu paraları kaç farklı şekilde seçebilir?
Çözüm
Yani ilk önce Petya alırk = 1 jetonN = Nominal değeri 1 ruble olan 4 mevcut jeton. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 4 1 = ... = 4.
Sonra Petya tekrar cebine uzanıp çıkarıyork = 1 jetonN = Nominal değeri 10 ruble olan 2 mevcut jeton. Burada kombinasyon sayısı eşittirC 2 1 = ... = 2.
Bu eylemler bağımsız olduğundan toplam seçenek sayısı eşittirC = 4 · 2 = 8.
Cevap
Görev
Bir sepette 8 beyaz, 12 siyah top vardır. Bu sepetten 2 beyaz ve 2 siyah top kaç farklı şekilde elde edilebilir?
Çözüm
Sepetteki toplamN = Aralarından seçim yapabileceğiniz 8 beyaz topk = 2 top. YapılabilirC 8 2 = ... = 28 farklı yol.
Ayrıca sepette şunlar bulunur:N = Tekrar seçmeniz gereken 12 siyah topk = 2 top. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 12 2 = ... = 66.
Beyaz top seçimi ve siyah top seçimi bağımsız olaylar olduğundan, toplam kombinasyon sayısı çarpma kanununa göre hesaplanır:C = 28 · 66 = 1848. Gördüğünüz gibi oldukça fazla seçenek olabiliyor.
Cevap
1848
Çarpma kanunu, iki veya daha fazla basit eylemden oluşan karmaşık bir eylemin, hepsinin bağımsız olması koşuluyla, kaç şekilde gerçekleştirilebileceğini gösterir.
3. Toplama kanunu
Çarpma kanunu birbirine bağlı olmayan “münferit” olaylarla işliyorsa, toplama kanununda bunun tersi geçerlidir. Hiçbir zaman aynı anda gerçekleşmeyen, birbirini dışlayan olaylarla ilgilenir.
Örneğin, "Petya cebinden 1 jeton çıkardı" ve "Petya cebinden 1 jeton çıkarmadı" birbirini dışlayan olaylardır, çünkü herhangi bir parayı çıkarmadan bir jeton çıkarmak imkansızdır.
Benzer şekilde, "Rastgele top beyazdır" ve "Rastgele top siyahtır" olayları da birbirini dışlayan olaylardır.
Tanım
Toplama kanunu kombinatorikte: birbirini dışlayan iki eylem gerçekleştirilebiliyorsaA VeB yöntemler buna göre belirlenirse bu olaylar birleştirilebilir. Bu, yürütebileceğiniz yeni bir etkinlik yaratacaktırX = A + B yollar.
Başka bir deyişle, birbirini dışlayan eylemleri (olaylar, seçenekler) birleştirirken bunların kombinasyonlarının sayısı artar.
Birbirini dışlayan seçeneklerden herhangi biri tatmin edici olduğunda, kombinatorikte toplama yasasının mantıksal bir "VEYA" olduğunu söyleyebiliriz. Tersine, çarpma yasası, hem birinci hem de ikinci eylemlerin aynı anda yürütülmesiyle ilgilendiğimiz mantıksal bir "VE"dir.
Görev
Bir sepette 9 siyah, 7 kırmızı top vardır. Çocuk aynı renkten 2 top çıkarıyor. Bunu kaç farklı şekilde yapabilir?
Çözüm
Toplar aynı renkteyse, çok az seçenek vardır: ikisi de siyah veya kırmızıdır. Açıkçası, bu seçenekler birbirini dışlar.
İlk durumda çocuğun bir seçim yapması gerekir.k = 2 siyah topN = 9 mevcut. Bunu yapmanın yollarının sayısıC 9 2 = ... = 36.
Benzer şekilde, ikinci durumda seçiyoruzk = 2 kırmızı topN = 7 mümkün. Yol sayısı eşittirC 7 2 = ... = 21.
Toplam yol sayısını bulmak için kalır. Siyah ve kırmızı topların olduğu seçenekler birbirini dışladığı için toplama kanununa göre elimizde:X = 36 + 21 = 57.
Cevap57
Görev
Tezgahta 15 gül ve 18 lale satılıyor. Bir 9. sınıf öğrencisi sınıf arkadaşına 3 çiçek almak istiyor ve çiçeklerin hepsinin aynı olması gerekiyor. Böyle bir buketi kaç farklı şekilde yapabilir?
Çözüm
Şarta göre bütün çiçeklerin aynı olması gerekir. Bu ya 3 gül ya da 3 lale alacağız anlamına geliyor. Her neyse,k = 3.
Gül söz konusu olduğunda seçim yapmanız gerekecekN = 15 seçenek olduğundan kombinasyon sayısıC 15 3 = ... = 455. Laleler içinN = 18 ve kombinasyon sayısıC 18 3 = ... = 816.
Gül ve lale birbirini dışlayan seçenekler olduğundan toplama kanununa göre çalışıyoruz. Toplam seçenek sayısını alıyoruzX = 455 + 816 = 1271. Cevap budur.
Cevap
1271
Ek şartlar ve kısıtlamalar
Çoğu zaman, problemin metni bizi ilgilendiren kombinasyonlara önemli kısıtlamalar getiren ek koşullar içerir. İki cümleyi karşılaştırın:
Farklı renklerde 5 adet kalemden oluşan set bulunmaktadır. Bir çizimin ana hatlarını çizmek için 3 kalemi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?
Farklı renklerde 5 adet kalemden oluşan set bulunmaktadır. Bir çizimin ana hatlarını çizmek için içlerinden birinin kırmızı olması gerekiyorsa 3 kalemi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?
İlk durumda istediğimiz renkleri alma hakkına sahibiz - ek kısıtlama yoktur. İkinci durumda, kırmızı bir kalem seçmemiz gerektiğinden her şey daha karmaşıktır (orijinal sette olduğu varsayılır).
Açıkçası, herhangi bir kısıtlama, nihai seçenek sayısını keskin bir şekilde azaltır. Peki bu durumda kombinasyon sayısını nasıl bulacaksınız? Sadece şu kuralı unutmayın:
Bir dizi olsunN seçilebilecek unsurlark unsurlar. Numaraya ek kısıtlamalar getirirkenN Vek aynı miktarda azalır.
Başka bir deyişle, 5 kalemden 3'ünü seçmeniz gerekiyorsa ve bunlardan biri kırmızıysa, o zaman aralarından seçim yapmanız gerekecektir.N = 5 − 1 = her biri 4 öğek = 3 − 1 = 2 eleman. Yani bunun yerineC 5 3 sayılması gerekirC 4 2 .
Şimdi belirli örnekleri kullanarak bu kuralın nasıl çalıştığını görelim:
Görev
2'si mükemmel öğrenci olmak üzere 20 öğrenciden oluşan bir grupta konferansa katılacak 4 kişiyi seçmeniz gerekir. Mükemmel öğrencilerin konferansa katılması gerekiyorsa bu dördü kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
Yani bir grup varN = 20 öğrenci. Ama sadece seçmen gerekiyork = 4 tanesi. Ek kısıtlama olmasaydı seçenek sayısı kombinasyon sayısına eşit olurduC 20 4 .
Ancak bize ek bir şart daha verildi: Bu dört öğrencinin arasında 2 mükemmel öğrenci olmalı. Yani yukarıdaki kurala göre sayıları azaltıyoruzN Vek 2'ye kadar. Elimizde:
Cevap
153
Görev
Petya'nın cebinde 6'sı ruble, 2'si 10 ruble olmak üzere 8 madeni para var. Petya üç parayı başka bir cebe aktarıyor. Her iki 10 rublelik madeni paranın da diğer cebinde olduğu biliniyorsa Petya bunu kaç farklı şekilde yapabilir?
Çözüm
Yani varN = 8 jeton. Petya vardiyalarık = 3 madeni para, bunlardan 2'si on rublelik madeni para. Transfer edilecek 3 coinden 2'sinin zaten sabit olduğu ortaya çıktı, yani sayılarN Vek 2 oranında azaltılmalıdır. Elimizde:
Cevap
III . Kombinatorik ve olasılık teorisi formüllerini kullanarak birleşik problemleri çözme
Görev
Petya'nın cebinde 4 ruble madeni para ve 2 ruble madeni para vardı. Petya bakmadan üç parayı başka bir cebe aktardı. Her iki iki rublelik madeni paranın da aynı cepte olma olasılığını bulun.
Çözüm
Her iki iki rublelik madeni paranın da aslında aynı cebe düştüğünü varsayalım, o zaman iki olası seçenek var: Ya Petya bunları hiç transfer etmedi ya da ikisini birden transfer etti.
İlk durumda, iki rublelik madeni paralar kaydırılmadığında, 3 rublelik madeni parayı kaydırmanız gerekecek. Toplamda bu tür 4 jeton olduğundan, bunu yapmanın yollarının sayısı 4'e 3'lük kombinasyon sayısına eşittir:C 4 3 .
İkinci durumda, her iki iki rublelik madeni para da aktarıldığında, başka bir rublelik madeni paranın da aktarılması gerekecektir. Mevcut 4 tane arasından seçilmelidir ve bunu yapmanın yollarının sayısı 4'e 1'lik kombinasyon sayısına eşittir:C 4 1 .
Şimdi madeni paraları yeniden düzenlemenin toplam yol sayısını bulalım. Toplamda 4 + 2 = 6 jeton olduğundan ve bunlardan yalnızca 3 tanesini seçmeniz gerektiğinden, toplam seçenek sayısı 6'ya 3'lük kombinasyon sayısına eşittir:C 6 3 .
Olasılığı bulmak için kalır:
Cevap
0,4
İnteraktif beyaz tahtada gösterin. Sorunun koşullarına göre Petya'nın bakmadan bir cebine üç bozuk para koymasına dikkat edin. Bu soruyu cevaplarken aslında bir cepte iki adet iki rublelik madeni paranın kaldığını varsayabiliriz. Olasılıkları eklemek için formüle bakın. Formülü tekrar göster.
Görev
Petya'nın cebinde 2 adet 5 rublelik ve 4 adet 10 rublelik madeni para vardı. Petya bakmadan 3 parayı başka bir cebe aktardı. Beş rublelik madeni paraların şu anda farklı ceplerde olma olasılığını bulun.
Çözüm
Beş rublelik parayı farklı ceplerde tutmak için yalnızca birini hareket ettirmeniz gerekiyor. Bunu yapmanın yollarının sayısı 2'ye 1'lik kombinasyon sayısına eşittir:C 2 1 .
Petya toplamda 3 jeton kaydırdığı için, her biri 10 ruble olan 2 jeton daha kaydırması gerekecek. Petya'da bu tür 4 jeton var, dolayısıyla yol sayısı 4'e 2'lik kombinasyon sayısına eşittir:C 4 2 .
Geriye kalan tek şey, mevcut 6 jetondan 3'ünü aktarmak için kaç seçeneğin bulunduğunu bulmaktır. Bu miktar, önceki problemde olduğu gibi, 6'ya 3'lük kombinasyon sayısına eşittir:C 6 3 .
Olasılığı buluyoruz:
Son adımda, bu olaylar bağımsız olduğundan, iki rublelik madeni para seçme yollarının sayısını ve on rublelik madeni para seçme yollarının sayısını çarptık.
Cevap
0,6
Yani madeni para problemlerinin kendi olasılık formülleri vardır. Bir teorem olarak formüle edilebilecek kadar basit ve önemlidir.
Teorem
Madeni paranın atılmasına izin verN bir kere. O zaman turaların tam olarak yere düşme olasılığık süreleri aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
NeredeC N k - kombinasyon sayısıN tarafından elemanlark aşağıdaki formülle hesaplanır:
Bu nedenle, para problemini çözmek için iki sayıya ihtiyacınız vardır: atış sayısı ve tura sayısı. Çoğu zaman bu sayılar doğrudan sorunun metninde verilir. Üstelik tam olarak neyi saydığınız önemli değil: yazı veya yazı. Cevap aynı olacaktır.
İlk bakışta teorem çok hantal görünüyor. Ancak biraz pratik yaptıktan sonra artık yukarıda açıklanan standart algoritmaya dönmek istemeyeceksiniz.
Para dört kez atılıyor. Tam olarak üç kez tura gelme olasılığını bulun.
Çözüm
Probleme göre toplam atışlarN = 4. Gerekli kartal sayısı:k = 3. YerineN Vek formüle:
Kafa sayısını da kolayca sayabilirsiniz:k = 4 − 3 = 1. Cevap aynı olacaktır.
Cevap
0,25
Görev [Çalışma Kitabı “Matematikte Birleşik Devlet Sınavı 2012. Sorunlar B6"]
Para üç kez atılıyor. Hiçbir zaman tura gelmeme olasılığını bulun.
Çözüm
Rakamları tekrar yazıyorumN Vek . Para 3 kez atıldığına göre;N = 3. Ve tura olmaması gerektiğinden,k = 0. Sayıları değiştirmeye devam ediyorN Vek formüle:
Size şunu hatırlatmama izin verin: 0! = 1 tanım gereği. Bu yüzdenC 3 0 = 1.
Cevap
0,125
Problem [Matematikte Birleşik Devlet Sınavı Denemesi 2012. Irkutsk]
Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para 4 kez atılıyor. Yazıların yazılardan daha fazla gelme olasılığını bulun.
Çözüm
Yazıların yazılardan daha fazla olması için ya 3 kez (o zaman 1 yazı olur) ya da 4 kez (o zaman hiç yazı olmaz) gelmeleri gerekir. Bu olayların her birinin olasılığını bulalım.
İzin vermekP 1 - turaların 3 kez gelme olasılığı. Daha sonraN = 4, k = 3. Elimizde:
Şimdi bulalımP 2 - 4 kez de tura gelme olasılığı. Bu durumdaN = 4, k = 4. Elimizde:
Cevabı bulmak için geriye kalan tek şey olasılıkları toplamaktırP 1 VeP 2 . Unutmayın: yalnızca birbirini dışlayan olaylar için olasılıklar ekleyebilirsiniz. Sahibiz:
P = P 1 + P 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Cevap
0,3125
Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınavına erkeklerle hazırlanırken zamandan tasarruf etmek için, erkeklerle birlikte seçip çözebileceğiniz daha birçok sorunun çözümlerini sunduk.
Devlet Sınav Enstitüsü'nden materyaller, çeşitli yılların Birleşik Devlet Sınavı, ders kitapları ve web siteleri.
IV. Referans materyali
Bir $A$ olayının olasılığı, $A$ için olumlu sonuçların sayısının tüm eşit olası sonuçların sayısına oranıdır.
$P(A)=(m)/(n)$, burada $n$ olası sonuçların toplam sayısıdır ve $m$, $A$ olayı için uygun sonuçların sayısıdır.
Bir olayın olasılığı $$ segmentindeki bir sayıdır
Taksi şirketinin stokunda 50$ değerinde araba var. Bunların 35$'ı siyah, geri kalanı sarı.
Sarı bir arabanın rastgele bir çağrıya yanıt verme olasılığını bulun.
Toplamda 50$ değerinde araba var, yani elli kişiden biri çağrıya cevap verecek. Sarı arabaların fiyatı 15$'dır, dolayısıyla sarı arabanın gelme olasılığı $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$'dır.
Cevap: $0,3$
Zıt olaylar
Belirli bir testte uyumsuz olan ve bunlardan birinin mutlaka gerçekleşmesi durumunda iki olaya zıt denir. Zıt olayların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. $A$ olayının tersi bir olay $((A))↖(-)$ olarak yazılır.
$P(A)+P((A))↖(-)=1$
Bağımsız etkinlikler
$A$ ve $B$ adlı iki olay, her birinin gerçekleşme olasılığı diğer olayın gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde olaylara bağımlı denir.
İki bağımsız $A$ ve $B$ olayının çarpımının olasılığı bu olasılıkların çarpımına eşittir:
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
Ivan Ivanovich iki farklı piyango bileti aldı. İlk piyango biletini kazanma olasılığı 0,15$'dır. İkinci piyango biletinin kazanma olasılığı 0,12$'dır. Ivan Ivanovich her iki çekilişe de katılıyor. Çekilişlerin birbirinden bağımsız olarak yapıldığını varsayarak, her iki çekilişte de İvan İvanoviç'in kazanma olasılığını bulun.
Olasılık $P(A)$ - ilk bilet kazanacak.
Olasılık $P(B)$ - ikinci bilet kazanacak.
$A$ ve $B$ olayları bağımsız olaylardır. Yani her iki olayın da gerçekleşme olasılığını bulmak için olasılıkların çarpımını bulmanız gerekir.
$P(A·B)=P(A)·P(B)$
$Р=0,15·0,12=0,018$
Cevap: $0,018$
Uyumsuz olaylar
Hem $A$ olayını hem de $B$ olayını destekleyen bir sonuç yoksa, $A$ ve $B$ adlı iki olay uyumsuz olarak adlandırılır. (Aynı anda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylar)
İki uyumsuz $A$ ve $B$ olayının toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
Cebir sınavında öğrenciye tüm sınav sorularından bir soru verilir. Bunun İkinci Dereceden Denklemlerle ilgili bir soru olma olasılığı 0,3$'dır. Bunun İrrasyonel Denklemler sorusu olma olasılığı 0,18$'dır. Bu iki konuyu aynı anda ilgilendiren soru bulunmamaktadır. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birinde soru alma olasılığını bulun.
Öğrenciye YA “İkinci Dereceden Denklemler” VEYA “İrrasyonel Denklemler” konusunda bir soru geleceği için bu olaylara uyumsuz denir. Konular aynı anda bulunamaz. İki uyumsuz $A$ ve $B$ olayının toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:
$P(A+B)=P(A)+P(B)$
$P = 0,3+0,18=0,48$
Cevap: $0,48$
Ortak etkinlikler
İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin aynı davada gerçekleşmesini engellemiyorsa ortak olay olarak adlandırılır. Aksi takdirde olaylara uyumsuz denir.
$A$ ve $B$ adlı iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamından bunların çarpımının olasılığının çıkarılmasına eşittir:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$
Sinema salonunda birbirinin aynısı iki makine kahve satıyor. Gün sonunda makinede kahvenin bitme olasılığı 0,6$'dır. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0,32$'dır. Gün sonunda makinelerden en az birinin kahvesinin bitmesi olasılığını bulun.
Olayları sıralayalım:
$A$ = ilk makinede kahve bitecek,
$B$ = kahve ikinci makinede bitecek.
$A·B =$ kahve her iki makinede de bitecek,
$A + B =$ kahve en az bir makinede bitecek.
Koşula göre $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32$.
$A$ ve $B$ olayları ortaktır; iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir, bunların çarpımlarının olasılığı azaltılır:
$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$
V-6-2014 (Birleşik Devlet Sınavı bankasından 56 prototipin tamamı)
En basit matematiksel modelleri oluşturup inceleyebilmek (olasılık teorisi)
1. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın 8 puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Zar atılması sonucunda 8 puanın çıkacağı sonuç sayısı 5'tir: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Her zarda altı olası atış vardır, dolayısıyla toplam sonuç sayısı 6 6 = 36'dır. Dolayısıyla toplam 8 atma olasılığı 5'tir: 36 = 0,138... = 0,14
2. Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para iki kez atılıyor. Yazıların tam olarak bir kez ortaya çıkma olasılığını bulun.Çözüm: Deneyin eşit derecede olası 4 sonucu vardır: tura-tura, tura-yazı, yazı-tura, yazı-yazı. Yazı iki durumda tam olarak bir kez ortaya çıkar: yazı-tura ve yazı-tura. Dolayısıyla turaların tam olarak 1 kez gelme olasılığı 2: 4 = 0,5'tir.
3. Jimnastik şampiyonasına 20 sporcu katılıyor: 8'i Rusya'dan, 7'si ABD'den, geri kalanı Çin'den. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. İlk yarışan sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.Çözüm: Şampiyonaya katılıyorÇin'den sporcular. O halde birinci yarışan sporcunun Çin'den olma olasılığı 5: 20 = 0,25'tir.
4. Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 5'i sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.Çözüm: Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 1000 − 5 = 995'i sızıntı yapmaz. Bu, kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığının 995: 1000 = 0,995 olduğu anlamına gelir.
5. Fabrika çanta üretiyor. Ortalama olarak her 100 kaliteli poşete karşılık sekiz adet gizli kusurlu poşet bulunmaktadır. Satın alınan çantanın yüksek kalitede olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Koşula göre her 100 + 8 = 108 poşete karşılık 100 kalite poşet bulunmaktadır. Bu da satın alınan çantanın kaliteli olma ihtimalinin 100: 108 =0,925925...= 0,93 olduğu anlamına gelir.
6. Gülle atma yarışmasına Finlandiya'dan 4, Danimarka'dan 7, İsveç'ten 9 ve Norveç'ten 5 sporcu katılıyor. Sporcuların yarışacağı sıra kura ile belirlenir. Son yarışan sporcunun İsveçli olma olasılığını bulun. Çözüm: Yarışmaya toplamda 4+7+9+5=25 sporcu katılıyor. Bu da son yarışan sporcunun İsveç'ten olma ihtimalinin 9:25 = 0,36 olduğu anlamına geliyor.
7.Bilimsel konferans 5 gün boyunca yapılır. Toplam 75 rapor planlanıyor; ilk üç gün 17 rapor içeriyor, geri kalanlar dördüncü ve beşinci gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?Çözüm: İlk üç günde 51 rapor okunacak, son iki günde ise 24 rapor planlanacak. Bu nedenle son gün için 12 rapor planlanıyor. Bu, Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününe planlanma olasılığının 12: 75 = 0,16 olduğu anlamına gelir.
8. Sanatçıların yarışması 5 gün boyunca yapılır. Her ülkeden birer tane olmak üzere toplam 80 gösteri duyuruldu. İlk gün 8 gösteri var, geri kalanlar kalan günlere eşit olarak dağıtılıyor. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. Yarışmanın üçüncü gününde Rus temsilcisinin sahneye çıkma olasılığı nedir?Çözüm: Üçüncü gün için planlandıkonuşmalar. Bu, yarışmanın üçüncü gününde Rusya'dan bir temsilcinin performansının planlanma olasılığının 18: 80 = 0,225 olduğu anlamına gelir.
9. Seminere Norveç'ten 3, Rusya'dan 3 ve İspanya'dan 4 bilim insanı geldi. Raporların sırası kura ile belirlenir. Sekizinci raporun Rusya'dan bir bilim adamının raporu olma olasılığını bulun.Çözüm: Seminerde toplamda 3 + 3 + 4 = 10 bilim insanı yer alıyor, bu da sekizinci konuşan bilim insanının Rusya'dan olma ihtimalinin 3:10 = 0,3 olduğu anlamına geliyor.
10. Badminton şampiyonasının ilk turunun başlamasından önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya Ruslan Orlov'un da aralarında bulunduğu 10'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 badminton oyuncusu katılıyor. Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun mu?Çözüm: İlk turda Ruslan Orlov 26 − 1 = 25 badminton oyuncusuyla oynayabilir, bunların 10 − 1 = 9'u Rusya'dandır. Bu, Ruslan Orlov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığının 9: 25 = 0,36 olduğu anlamına geliyor.
11. Biyoloji biletleri koleksiyonunda sadece 55 bilet var, bunların 11'inde botanikle ilgili bir soru var. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde botanikle ilgili bir soru alma olasılığını bulun.Çözüm: 11: 55 = 0,2
12. Dalış şampiyonasında 8'i Rusya'dan, 9'u Paraguay'dan olmak üzere 25 sporcu yarışıyor. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. Paraguaylı bir atlayıcının altıncı olma olasılığını bulun.
13. Araba farları için aynı camı iki fabrika üretiyor. İlk fabrika bu camların %30'unu, ikinci fabrika ise %70'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın% 3'ünü, ikinci fabrika ise% 4'ünü üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu çıkma olasılığını bulun.
Çözüm. %%'yi kesirlere dönüştürün.
Etkinlik A - "İlk fabrikadan cam satın alındı." P(A)=0,3
Olay B - "İkinci fabrikadan cam satın alındı." P(B)=0,7
Olay X - "Arızalı cam".
P(A ve X) = 0,3*0,03=0,009
P(B ve X) = 0,7*0,04=0,028 Toplam olasılık formülüne göre: P = 0,009+0,028 = 0.037
14.Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0.52 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,3 olasılıkla kazanır. Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun. Çözüm: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya ve Lyosha oyuna kimin başlayacağı konusunda kura çekiyor. Petya'nın oyuna başlamak zorunda kalma olasılığını bulun.
Çözüm: Rastgele deney - kura çekimi.
Bu deneyde temel olay, kurayı kazanan katılımcıdır.
Olası temel olayları listeleyelim:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Bunlardan 4 tane olacak, yani. N=4. Kura, tüm temel olayların eşit derecede mümkün olduğunu ima eder.
A= olayı (Petya kurayı kazandı) yalnızca bir temel olay (Petya) tarafından tercih edilir. Bu nedenle N(A)=1.
O halde P(A)=0,25 Cevap: 0,25.
16. Dünya Şampiyonasına 16 takım katılıyor. Kura kullanarak, her biri dört takımdan oluşan dört gruba ayrılmaları gerekiyor. Kutunun içinde grup numaraları karışık olan kartlar vardır: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Takım kaptanları birer kart çeker. Rus takımının ikinci grupta yer alma olasılığı nedir?Çözüm: Toplam sonuçlar - 16. Bunlardan olumlu, yani. 2 sayısı 4 olacaktır. Yani 4: 16=0,25
17. Geometri sınavında öğrenciye sınav soruları listesinden bir soru verilir. Bunun yazılı daire sorusu olma olasılığı 0,2'dir. Bunun “Paralelkenar” konulu bir soru olma olasılığı 0,15'tir. Bu iki konuyu aynı anda ilgilendiren soru bulunmamaktadır. Bir öğrencinin sınavda bu iki konudan birinde soru alma olasılığını bulun.
= (“Yazılı daire” konulu soru),
= (“Paralelkenar” konulu soru).
Olaylar Ve listede bu iki konuyla ilgili sorular aynı anda bulunmadığından uyumsuzdur.
Etkinlik= (bu iki konudan biriyle ilgili soru) bunların birleşimidir:.
Uyumsuz olayların olasılıklarını toplamak için formülü uygulayalım:
.
18.Bir alışveriş merkezinde birbirinin aynısı iki makine kahve satıyor. Gün sonunda makinedeki kahvenin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0,12'dir. Günün sonunda her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun.
Olayları tanımlayalım
= (ilk makinede kahve bitecek),
= (ikinci makinede kahve bitecek).
Sorunun koşullarına göre Ve .
Olasılıkları toplama formülünü kullanarak bir olayın olasılığını buluruz
Ve = (makinelerden en az birinde kahve bitecek):
.
Dolayısıyla ters olayın (kahvenin her iki makinede de kalması) olasılığı şuna eşittir:
.
19. Bir biatloncu hedeflere beş kez atış yapar. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,8'dir. Biatloncunun ilk üç seferde hedefleri vurup son ikisini kaçırma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
Bu problemde bir sonraki atışın sonucunun bir önceki atışa bağlı olmadığı varsayılmaktadır. Dolayısıyla “ilk atışta vurmak”, “ikinci atışta vurmak” vb. olaylar. bağımsız.
Her vuruşun olasılığı eşittir. Bu, her bir kaçırma olasılığının eşit olduğu anlamına gelir. Bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için formülü kullanalım. Sıranın bu olduğunu görüyoruz
= (isabet, isabet, isabet, kaçırılan, kaçırılan) bir olasılığa sahiptir
=
= . Cevap: .
20. Mağazada iki ödeme makinesi bulunmaktadır. Her biri diğer makineden bağımsız olarak 0,05 olasılıkla hatalı olabilir. En az bir makinenin çalışma olasılığını bulun.
Bu problem aynı zamanda otomatların bağımsız olarak çalıştığını da varsaymaktadır.
Ters olayın olasılığını bulalım
= (her iki makine de arızalı).
Bunu yapmak için bağımsız olayların olasılıklarını çarpma formülünü kullanıyoruz:
.
Bu olayın olasılığı anlamına gelir= (en az bir makine çalışıyor) eşittir. Cevap: .
21. Oda iki lambalı bir fenerle aydınlatılmaktadır. Bir lambanın bir yıl içinde yanma olasılığı 0,3'tür. Yıl boyunca en az bir lambanın yanmama olasılığını bulun.Çözüm: İkisi de yanacak (olaylar bağımsızdır ve olasılıkların çarpımı formülünü kullanırız) p1=0,3⋅0,3=0,09 olasılıkla
Karşıt olay(İkisi de yanmaz = en az BİRİ yanmaz)
p=1-p1=1-0.09=0.91 olasılıkla gerçekleşecek
CEVAP: 0.91
22. Yeni bir elektrikli su ısıtıcısının bir yıldan fazla dayanma olasılığı 0,97'dir. İki yıldan fazla sürme olasılığı 0,89'dur. İki yıldan az, bir yıldan fazla sürmesi olasılığını bulun
Çözüm.
A = “su ısıtıcısı bir yıldan fazla ama iki yıldan az dayanacak”, B = “su ısıtıcısı iki yıldan fazla dayanacak”, bu durumda A + B = “su ısıtıcısı bir yıldan fazla dayanacak” olsun.
A ve B olayları ortaktır, toplamlarının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir, bunların meydana gelme olasılığı azaltılır. Su ısıtıcısının tam olarak iki yıl içinde - tam olarak aynı gün, saatte ve saniyede - arızalanması gerçeğinden oluşan bu olayların meydana gelme olasılığı sıfırdır. Daha sonra:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),
buradan, koşuldan elde edilen verileri kullanarak 0,97 = P(A) + 0,89 elde ederiz.
Böylece istenen olasılık için elimizde: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08 bulunur.
23. Bir tarım şirketi iki haneden tavuk yumurtası satın almaktadır. İlk çiftlikteki yumurtaların %40'ı en yüksek kategorideki yumurtalardır ve ikinci çiftlikteki yumurtaların %20'si en yüksek kategorideki yumurtalardır. Toplamda yumurtaların %35'i en yüksek kategoriyi alır. Bu tarım şirketinden satın alınan yumurtanın ilk çiftlikten gelme olasılığını bulunuz.Çözüm: Tarım firması ilk çiftlikten alsın yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar ve ikinci çiftlikte - yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar. Böylece tarımsal formların satın aldığı toplam miktar yumurtalar dahil en yüksek kategorideki yumurtalar. Bu duruma göre yumurtaların %35'i en yüksek kategoriye sahiptir, o zaman:
Dolayısıyla satın alınan yumurtanın ilk çiftlikten olma olasılığı şuna eşittir: =0,75
24. Telefonun tuş takımında 0'dan 9'a kadar 10 rakam vardır. Rastgele basılan rakamın çift sayı olma olasılığı nedir?
25.10'dan 19'a kadar rastgele seçilen bir doğal sayının üçe bölünebilme olasılığı nedir?
26.Kovboy John sıfırlanmış bir tabancadan ateş ederse 0,9 olasılıkla duvardaki sineğe çarpar. John ateşlenmemiş bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun. Çözüm: John Sıfırlanmış bir tabancayı alıp onunla vurursa veya vurulmamış bir tabancayı kapıp onunla vurursa bir sineği vurur. Koşullu olasılık formülüne göre bu olayların olasılıkları sırasıyla 0,4·0,9 = 0,36 ve 0,6·0,2 = 0,12'ye eşittir. Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: 0,36 + 0,12 = 0,48. John'un kaçırdığı olay tam tersidir. Olasılığı 1 − 0,48 = 0,52'dir.
27. Turist grubunda 5 kişi bulunmaktadır. Kura kullanarak yiyecek almak için köye gitmesi gereken iki kişiyi seçerler. Turist A. mağazaya gitmek istiyor ama kurala uyuyor. A.'nın mağazaya gitme olasılığı nedir?Çözüm: Toplamda beş turist var, bunlardan ikisi rastgele seçiliyor. Seçilme olasılığı 2: 5 = 0,4'tür. Cevap: 0.4.
28.Futbol maçı başlamadan önce hakem, topla oyuna hangi takımın başlayacağını belirlemek için yazı tura atar. Fizik takımı farklı takımlarla üç maç oynuyor. Bu oyunlarda "Fizikçi"nin kurayı tam olarak iki kez kazanma olasılığını bulun.Çözüm: Madalyonun “Fizikçi”nin kurayı kazanmasından sorumlu olan yüzünü “1”, diğer yüzünü ise “0” ile gösterelim. Sonra üç uygun kombinasyon var: 110, 101, 011 ve toplamda 2 kombinasyon var 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Dolayısıyla gerekli olasılık şuna eşittir:
29. Zarlar iki kez atılıyor. Deneyin "A = puanların toplamı 5'tir" olayını destekleyen kaç temel sonucu vardır? Çözüm: Dört durumda puanların toplamı 5'e eşit olabilir: “3 + 2”, “2 + 3”, “1 + 4”, “4 + 1”. Cevap: 4.
30. Rastgele bir deneyde simetrik bir madeni para iki kez atılıyor. OP sonucunun gerçekleşme olasılığını bulun (ilk seferde tura, ikinci seferde yazı).Çözüm: Dört olası sonuç vardır: tura-tura, tura-yazı, yazı-tura, yazı-yazı. Bunlardan biri olumlu: yazı ve tura. Dolayısıyla istenilen olasılık 1:4 = 0,25'tir. Cevap: 0,25.
31. Rock festivalinde, beyan edilen ülkelerin her birinden bir grup sahne alıyor. Performans sırası kurayla belirlenir. Danimarka'dan bir grubun İsveç'ten ve Norveç'ten bir gruptan sonra konser verme olasılığı nedir? Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.Çözüm: Festivalde performans sergileyen toplam grup sayısı bu soruyu yanıtlamak için önemli değil. Kaç tane olursa olsun, bu ülkeler için konuşmacılar arasında 6 farklı göreceli konum vardır (D - Danimarka, W - İsveç, K - Norveç):
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...G...D...
Danimarka iki durumda İsveç ve Norveç'in gerisinde yer alıyor. Dolayısıyla grupların bu şekilde rastgele dağılma olasılığı eşittir Cevap: 0,33.
32. Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,4, sonraki her atışta ise 0,6'dır. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,98 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek?Çözüm: Bir dizi ardışık ıskalamanın ardından hayatta kalma olasılığını hesaplayarak sorunu "eylem yoluyla" çözebilirsiniz: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. İkinci olasılık 0,02'den azdır, dolayısıyla hedefe beş atış yeterlidir.
33. Bir futbol takımının bir sonraki tura geçebilmesi için iki maçta en az 4 puan alması gerekir. Takım kazanırsa 3 puan, beraberlik olursa 1 puan, kaybederse 0 puan alır. Takımın yarışmanın bir sonraki turuna geçme olasılığını bulun. Her oyunda kazanma ve kaybetme olasılıklarının aynı ve 0,4'e eşit olduğunu düşünün.. Çözüm : Bir takım iki maçta en az 4 puanı üç şekilde alabilir: 3+1, 1+3, 3+3. Bu olaylar uyumsuzdur; toplamlarının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir. Bu olayların her biri iki bağımsız olayın ürünüdür; birinci ve ikinci oyunun sonucu. Buradan elimizde:
34. Belirli bir şehirde doğan 5.000 bebekten 2.512'si erkektir. Bu ildeki kız çocukların doğum sıklığını bulunuz. Sonucu en yakın binliğe yuvarlayın.Çözüm: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. Uçakta acil çıkışların yanında 12, kabinleri ayıran bölmelerin arkasında ise 18 koltuk bulunmaktadır. Kalan koltuklar uzun boylu yolcular için sakıncalıdır. Yolcu V. uzun boyludur. Uçakta toplam 300 koltuk varsa, check-in sırasında rastgele bir koltuk seçilirse B yolcusunun rahat bir koltuğa oturma olasılığını bulun.Çözüm : Uçakta B yolcusunun rahat edebileceği 12 + 18 = 30 koltuk bulunmaktadır ve uçakta toplam 300 koltuk bulunmaktadır. Buna göre B yolcusunun rahat bir koltuğa oturma olasılığı 30: 300 = 0,1'dir.
36. Bir üniversitedeki olimpiyatlarda katılımcılar üç sınıfta oturuyorlar. İlk ikisinde 120 kişi var, geri kalanlar başka bir binadaki yedek oditoryuma götürülüyor. Sayarken toplamda 250 katılımcının olduğu ortaya çıktı. Rastgele seçilen bir katılımcının yarışmayı boş bir sınıfta yazma olasılığını bulun.Çözüm: Toplamda 250 – 120 – 120 = 10 kişi yedek seyirciye gönderildi. Dolayısıyla rastgele seçilen bir katılımcının Olimpiyatı boş bir sınıfta yazma olasılığı 10: 250 = 0,04'tür. Cevap: 0,04.
37. Sınıfta 26 kişi var, aralarında iki ikiz var - Andrey ve Sergey. Sınıf rastgele 13'er kişilik iki gruba ayrılır. Andrey ve Sergey'in aynı grupta olma olasılığını bulun.Çözüm: İkizlerden birinin bir grupta olmasına izin verin. Onunla birlikte grupta kalan 25 sınıf arkadaşından 12 kişi yer alacak. İkinci ikizin bu 12 kişiden olma olasılığı 12:25=0,48'dir.
38. Bir taksi şirketinin 50 arabası vardır; Bunlardan 27'si siyah ve yanlarında sarı yazılar, geri kalanı ise sarı ve siyah yazılardır. Siyah yazılara sahip sarı bir arabanın rastgele bir çağrıya yanıt verme olasılığını bulun.Çözüm: 23:50=0,46
39.Turist grubunda 30 kişi bulunmaktadır. Her uçuşta 6 kişi olmak üzere birkaç aşamada helikopterle ulaşılması zor bir alana bırakılıyorlar. Helikopterin turistleri taşıma sırası rastgeledir. Turist P.'nin ilk helikopter uçuşunda uçma olasılığını bulun.Çözüm: İlk uçuşta 6 koltuk var, toplamda 30 koltuk var. Bu durumda turist P.'nin ilk helikopter uçuşunda uçma olasılığı: 6:30 = 0,2.
40. Yeni bir DVD oynatıcının bir yıl içinde garanti kapsamında onarılma olasılığı 0,045'tir. Belirli bir şehirde yıl içinde satılan 1.000 DVD oynatıcıdan 51 tanesi garanti atölyesine teslim edildi. Bu şehirdeki “garanti onarımı” olayının sıklığı, olasılığından ne kadar farklı?Çözüm: "Garanti onarımı" olayının sıklığı (bağıl sıklığı) 51: 1000 = 0,051'dir. Tahmin edilen olasılıktan 0,006 farklıdır.
41. 67 mm çapındaki rulmanların imalatında, çapın belirtilenden 0,01 mm'den fazla farklılık gösterme olasılığı 0,965'tir. Rastgele bir yatağın çapının 66,99 mm'den küçük veya 67,01 mm'den büyük olması olasılığını bulun.Çözüm. Koşula göre rulman çapı 0,965 olasılıkla 66,99 ila 67,01 mm aralığında olacaktır. Bu nedenle, ters olayın arzu edilen olasılığı 1 − 0,965 = 0,035'tir.
42. Öğrenci O.'nun bir biyoloji testinde 11'den fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,67'dir. O.'nun 10'dan fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,74'tür. O.'nun tam olarak 11 problemi doğru çözme olasılığını bulun.Çözüm: A = “Öğrenci 11 problem çözecek” ve B = “Öğrenci 11’den fazla problem çözecek” olaylarını düşünün. Toplamları olay A + B = "öğrenci 10'dan fazla problem çözecek." A ve B olayları uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(A + B) = P(A) + P(B). Daha sonra, bu problemleri kullanarak şunu elde ederiz: 0,74 = P(A) + 0,67, dolayısıyla P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.
43. "Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibinin Birleşik Devlet Sınavında üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve yabancı dil) en az 70 puan alması gerekir. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler) en az 70 puan almanız gerekir. Başvuru sahibi Z.'nin matematikten en az 70 puan alma olasılığı 0,6, Rusça'dan - 0,8, yabancı dilde - 0,7 ve sosyal bilgilerden - 0,5'tir. Z.'nin en az birine kaydolabilme olasılığını bulun. Bahsedilen iki uzmanlıktan.Çözüm: Z.'nin herhangi bir yere kayıt olabilmesi için hem Rusça hem de matematik dersinden en az 70 puan alması, buna ek olarak yabancı dil veya sosyal bilgiler dersinden de en az 70 puan alması gerekiyor. İzin vermek A, B, C ve D - bunlar Z.'nin sırasıyla matematik, Rusça, yabancı ve sosyal bilimleri en az 70 puanla geçtiği etkinliklerdir. o zamandan beri
Geliş olasılığı için elimizde:
44. Bir seramik sofra fabrikasında üretilen tabakların %10'u hatalıdır. Ürün kalite kontrolü sırasında kusurlu plakaların %80'i tespit ediliyor. Kalan plakalar satışta. Satın alırken rastgele seçilen bir plakanın hiçbir kusurunun olmaması olasılığını bulun. Cevabınızı en yakın yüzlüğe yuvarlayınız.Çözüm : Fabrika üretsinplakalar. Tüm kaliteli plakalar ve tespit edilemeyen kusurlu plakaların %20'si satışa sunulacak:plakalar. Çünkü kaliteli olanlar, kaliteli bir levha alma olasılığı 0,9p:0,92p=0,978 Cevap: 0,978'dir.
45.Mağazada üç satıcı var. Her biri 0,3 olasılıkla bir müşteriyle meşgul. Rastgele bir anda üç satıcının da aynı anda meşgul olma olasılığını bulun (müşterilerin birbirlerinden bağımsız olarak geldiğini varsayalım).Çözüm : Bağımsız olayların oluşma olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Bu nedenle üç satıcının da meşgul olma olasılığı eşittir
46.Müşteri incelemelerine dayanarak Ivan Ivanovich, iki çevrimiçi mağazanın güvenilirliğini değerlendirdi. İstenilen ürünün A mağazasından teslim edilme olasılığı 0,8'dir. Bu ürünün B mağazasından teslim edilme olasılığı 0,9'dur. Ivan Ivanovich her iki mağazadan da aynı anda mal sipariş etti. Çevrimiçi mağazaların birbirinden bağımsız çalıştığını varsayarak, hiçbir mağazanın ürünü teslim etmeme olasılığını bulun.Çözüm: İlk mağazanın malları teslim etmeme olasılığı 1 - 0,9 = 0,1'dir. İkinci mağazanın malları teslim etmeme olasılığı 1 - 0,8 = 0,2'dir. Bu olaylar bağımsız olduğundan, bunların gerçekleşme olasılığı (her iki mağaza da malı teslim etmeyecektir) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0,1 · 0,2 = 0,02
47.İlçe merkezinden köye her gün otobüs seferi yapılmaktadır. Pazartesi günü otobüste 20'den az yolcu bulunma olasılığı 0,94'tür. Yolcu sayısının 15'ten az olması olasılığı 0,56'dır. Yolcu sayısının 15 ile 19 arasında olma olasılığını bulun.Çözüm: A = "otobüste 15'ten az yolcu var" ve B = "otobüste 15 ila 19 yolcu var" olaylarını düşünün. Toplamları A + B olayı = "otobüste 20'den az yolcu var." A ve B olayları uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(A + B) = P(A) + P(B). Daha sonra, bu problemleri kullanarak şunu elde ederiz: 0,94 = 0,56 + P(B), dolayısıyla P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Cevap: 0,38.
48. Voleybol maçı başlamadan önce, takım kaptanları oyuna hangi takımın topla başlayacağını belirlemek için kura çekerler. “Stator” takımı sırayla “Rotor”, “Motor” ve “Starter” takımlarıyla oynar. Stator'un yalnızca ilk ve son oyunlara başlama olasılığını bulun.Çözüm. Üç olayın gerçekleşme olasılığını bulmanız gerekiyor: “Stator” ilk oyunu başlatıyor, ikinci oyunu başlatmıyor ve üçüncü oyunu başlatıyor. Bağımsız olayların çarpımının olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Her birinin olasılığı 0,5'tir ve buradan şunu buluruz: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Cevap: 0,125.
49. Büyülü Diyar'da iki tür hava vardır: iyi ve mükemmel ve sabah bir kez oluşan hava bütün gün değişmeden kalır. Yarınki havanın bugünkü ile aynı olacağı 0,8 olasılıkla biliniyor. Bugün 3 Temmuz, Büyülü Diyar'da hava güzel. 6 Temmuz'da Periler Diyarı'nda havanın harika olma olasılığını bulun.Çözüm. 4, 5 ve 6 Temmuz hava durumu için 4 seçenek vardır: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (burada X iyidir, O mükemmel havadır). Böyle bir havanın meydana gelme olasılığını bulalım: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Bu olaylar uyumsuzdur, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0.392.
50. Hepatit şüphesi olan tüm hastalara kan testi yapılır. Testte hepatit ortaya çıkarsa test sonucu çağrılır. pozitif . Hepatitli hastalarda test 0,9 olasılıkla pozitif sonuç verir. Hastada hepatit yoksa test 0,01 olasılıkla yanlış pozitif sonuç verebilir. Hepatit şüphesiyle başvuran hastaların %5'inin aslında hepatitli olduğu bilinmektedir. Hepatit şüphesiyle kliniğe başvuran bir hastanın testinin pozitif çıkma olasılığını bulun.Çözüm . Bir hastanın tahlili iki nedenden dolayı pozitif çıkabilir: A) Hastanın hepatiti var, tahlili doğru; B) Hastanın hepatiti yok, analizi yanlış. Bunlar uyumsuz olaylardır, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Elimizde: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.
51. Misha'nın cebinde dört şeker vardı: "Grilyazh", "Sincap", "Korovka" ve "Kırlangıç" ve dairenin anahtarları. Misha, anahtarları çıkarırken yanlışlıkla cebinden bir parça şeker düşürdü. “Izgara” şekerinin kaybolma olasılığını bulun.
52.On iki saatlik kadranı olan mekanik bir saat bir noktada bozuldu ve çalışmayı bıraktı. Akrebin donarak saat 10 konumuna ulaşması ancak saat 1 konumuna ulaşmaması olasılığını bulun. Çözüm: 3: 12=0,25
53. Pilin arızalı olma olasılığı 0,06'dır. Bir mağazadaki alıcı bu pillerden ikisini içeren rastgele bir paket seçiyor. Her iki pilin de iyi durumda olma olasılığını bulun.Çözüm: Pilin iyi olma olasılığı 0,94'tür. Bağımsız olayların meydana gelme olasılığı (her iki pil de iyi olacaktır) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: 0,94·0,94 = 0,8836 Cevap: 0,8836.
54. Otomatik bir hat pil üretiyor. Bitmiş bir pilin arızalı olma olasılığı 0,02'dir. Paketlemeden önce her pil bir kontrol sisteminden geçer. Sistemin arızalı bir pili reddetme olasılığı 0,99'dur. Sistemin yanlışlıkla çalışan bir pili reddetme olasılığı 0,01'dir. Rastgele seçilen bir pilin denetim sistemi tarafından reddedilme olasılığını bulun.Çözüm. Pilin reddedileceği bir durum aşağıdaki olayların sonucunda ortaya çıkabilir: A = pil gerçekten arızalı ve doğru şekilde reddedilmiş veya B = pil çalışıyor ancak yanlışlıkla reddedilmiş. Bunlar uyumsuz olaylardır, toplamlarının olasılığı bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Sahibiz:
55.Resim bir labirenti göstermektedir. Örümcek, Giriş noktasında labirentin içine doğru sürünür. Örümcek dönüp geriye doğru sürünemez, bu nedenle her dalda örümcek henüz emeklemediği yollardan birini seçer. Sonraki yolun seçiminin tamamen rastgele olduğunu varsayarak, örümceğin çıkışa hangi olasılıkla geleceğini belirleyin..
Çözüm.
Örümcek, işaretli dört çatalın her birinde D çıkışına giden yolu veya 0,5 olasılıkla başka bir yolu seçebilir. Bunlar bağımsız olaylardır, bunların gerçekleşme olasılığı (örümceğin D çıkışına ulaşması) bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir. Dolayısıyla D çıkışına varma olasılığı (0,5) 4 = 0,0625.
Başvuru yapacakların dikkatine! Burada çeşitli USE görevleri tartışılmaktadır. Daha ilginç olanı ise ücretsiz videomuzda. İzleyin ve yapın!
Basit problemlerle ve olasılık teorisinin temel kavramlarıyla başlayacağız.
RastgeleÖnceden kesin olarak tahmin edilemeyen olaylara denir. Ya olabilir ya da olmayabilir.
Piyangoyu kazandınız - rastgele bir olay. Kazanmanızı kutlamak için arkadaşlarınızı davet ettiniz ve size doğru giderken asansörde mahsur kaldılar; yine rastgele bir olay. Doğru, ustanın yakında olduğu ortaya çıktı ve on dakika içinde tüm şirketi serbest bıraktı - ve bu aynı zamanda mutlu bir kaza olarak da değerlendirilebilir...
Hayatımız rastgele olaylarla doludur. Her biri hakkında bazılarında olacağını söyleyebiliriz olasılık. Büyük olasılıkla, bu kavrama sezgisel olarak aşinasınız. Şimdi olasılığın matematiksel tanımını vereceğiz.
En basit örnekle başlayalım. Yazı tura atıyorsun. Yazı mı yoksa kuyruk mu?
Çeşitli sonuçlardan birine yol açabilecek böyle bir eyleme olasılık teorisi denir. test.
Yazı ve yazı - iki olası sonuç testler.
Olası iki durumdan birinde kafalar düşecektir. Bunu söylüyorlar olasılık madalyonun tura geleceği anlamına gelir.
Hadi bir zar atalım. Zarın altı yüzü vardır, dolayısıyla altı olası sonuç da vardır.
Örneğin üç noktanın görünmesini dilediniz. Bu altı olası sonuçtan biridir. Olasılık teorisinde buna denir olumlu sonuç.
Üç alma olasılığı eşittir (altı olası sonuçtan biri olumlu).
Dört olasılığı da
Ancak yedinin ortaya çıkma olasılığı sıfırdır. Sonuçta küpün üzerinde yedi noktanın olduğu bir kenar yoktur.
Bir olayın olasılığı, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuçların sayısına oranına eşittir.
Açıkçası olasılık birden büyük olamaz.
İşte başka bir örnek. Bir torbada elmalar var, bir kısmı kırmızı, bir kısmı yeşil. Elmalar şekil ve büyüklük bakımından farklılık göstermez. Elinizi çantanın içine sokuyorsunuz ve içinden rastgele bir elma çıkarıyorsunuz. Kırmızı elma çekme olasılığı eşittir, yeşil elma çekme olasılığı ise eşittir.
Kırmızı veya yeşil elma alma olasılığı eşittir.
Birleşik Devlet Sınavına hazırlık koleksiyonlarında yer alan olasılık teorisindeki sorunları analiz edelim.
. Taksi şirketinin şu anda ücretsiz arabaları var: kırmızı, sarı ve yeşil. Müşteriye en yakın olan arabalardan biri çağrıya yanıt verdi. Ona sarı bir taksinin gelme olasılığını bulun.
Toplam araba var yani on beşte biri müşteriye gelecek. Dokuz sarı var, yani sarı bir arabanın gelme olasılığı eşittir.
. (Demo versiyonu) Tüm biletlerin biyolojisi ile ilgili bilet koleksiyonunda, ikisinde mantarlarla ilgili bir soru var. Sınav sırasında öğrenciye rastgele seçilen bir bilet verilir. Bu biletin mantarlarla ilgili bir soru içermemesi olasılığını bulun.
Açıkçası mantarları sormadan bilet çekme olasılığı eşittir.
. Veli komitesi, okul yılı sonunda çocuklara hediye olarak, aralarında ünlü sanatçıların tabloları ve hayvan resimlerinin de bulunduğu bulmacalar satın aldı. Hediyeler rastgele dağıtılır. Vovochka'nın bir hayvanla bulmaca bulma olasılığını bulun.
Sorun da benzer şekilde çözülüyor.
Cevap: .
. Jimnastik şampiyonasına Rusya'dan, ABD'den ve Çin'den sporcular katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. Yarışmaya katılan son sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Tüm sporcuların aynı anda şapkaya yaklaştığını ve içinden sayıların bulunduğu kağıt parçalarını çıkardığını hayal edelim. Bazıları yirmi numarayı alacak. Çinli bir sporcunun bunu başarma olasılığı eşittir (sporcular Çin'den olduğu için). Cevap: .
. Öğrenciden 'den'e kadar olan sayıyı söylemesi istendi. Beşin katı olan bir sayı söyleme olasılığı nedir?
Her beşte bir bu kümeden bir sayı ile bölünebilir. Bu, olasılığın eşit olduğu anlamına gelir.
Bir zar atılıyor. Tek sayıda puan alma olasılığını bulun.
Tek sayılar; - eşit. Tek sayıda noktanın olasılığı .
Cevap: .
. Para üç kez atılıyor. İki tura ve bir kuyruk gelme olasılığı nedir?
Sorunun farklı şekilde formüle edilebileceğini unutmayın: Aynı anda üç madeni para atıldı. Bu kararı etkilemeyecektir.
Sizce kaç olası sonuç var?
Bir yazı tura atıyoruz. Bu eylemin iki olası sonucu vardır: yazı ve tura.
İki jeton - zaten dört sonuç:
Üç madeni para mı? Bu doğru, sonuçlar, çünkü .
Sekiz seferin üçünde iki tura ve bir kuyruk çıkıyor.
Cevap: .
. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
İlk zarı atıyoruz - altı sonuç. Ve her biri için altı tane daha mümkündür - ikinci zarı attığımızda.
Bu eylemin (iki zar atma) toplam olası sonuçları olduğunu görüyoruz, çünkü .
Ve şimdi - olumlu sonuçlar:
Sekiz puan alma olasılığı .
>. Atıcı hedefi büyük olasılıkla vurur. Hedefi arka arkaya dört kez vurma olasılığını bulun.
Vuruş olasılığı eşitse, ıskalama olasılığı da olur. Önceki problemdekiyle aynı şekilde mantık yürütüyoruz. Art arda iki vuruşun olasılığı eşittir. Ve art arda dört vuruşun olasılığı eşittir.
Olasılık: kaba kuvvet mantığı.
İşte birçok insanın zor bulduğu teşhis çalışmalarından kaynaklanan bir sorun.
Petya'nın cebinde ruble değerinde madeni paralar ve ruble değerinde madeni paralar vardı. Petya bakmadan bir miktar parayı başka bir cebe aktardı. Beş rublelik madeni paraların şu anda farklı ceplerde olma olasılığını bulun.
Bir olayın olasılığının, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşit olduğunu biliyoruz. Peki tüm bu sonuçlar nasıl hesaplanır?
Elbette, beş rublelik madeni paraları sayılarla ve on rublelik madeni paraları sayılarla belirtebilir ve ardından setten üç öğeyi kaç şekilde seçebileceğinizi sayabilirsiniz.
Ancak daha basit bir çözüm var:
Madeni paraları sayılarla kodluyoruz: , (bunlar beş rublelik madeni paralar), (bunlar on rublelik madeni paralar). Sorun durumu artık aşağıdaki gibi formüle edilebilir:
ile arasında sayıların yer aldığı altı adet çip vardır. Üzerinde rakam bulunan çipler bir araya gelmemek üzere iki cebe eşit olarak kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
İlk cebimizde ne varsa onu yazalım.
Bunu yapmak için setten olası tüm kombinasyonları oluşturacağız. Üç çipten oluşan bir set üç basamaklı bir sayı olacaktır. Açıkçası, bizim koşullarımızda ve aynı çip setidir. Hiçbir şeyi kaçırmamak veya kendimizi tekrarlamamak için karşılık gelen üç basamaklı sayıları artan sırada düzenliyoruz:
Tüm! ile başlayan tüm olası kombinasyonları inceledik. Devam edelim:
Toplam olası sonuçlar.
Bir şartımız var - sayıların bulunduğu çipler bir arada olmamalıdır. Bu, örneğin, kombinasyonun bize uymadığı anlamına gelir - bu, her iki çipin de birinci değil ikinci cebe düştüğü anlamına gelir. Bizim için olumlu olan sonuçlar ya sadece ya da sadece olanlardır. İşte bunlar:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – toplam olumlu sonuçlar.
O halde gerekli olasılık eşittir.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavında sizi hangi görevler bekliyor?
Olasılık teorisindeki karmaşık problemlerden birini analiz edelim.
"Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuru sahibi Z.'nin Birleşik Devlet Sınavında üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve yabancı dil) en az 70 puan alması gerekir. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler) en az 70 puan almanız gerekir.
Başvuru sahibi Z.'nin matematikte en az 70 puan alma olasılığı 0,6, Rusçada - 0,8, yabancı dilde - 0,7 ve sosyal bilgilerde - 0,5'tir.
Z.'nin bahsi geçen iki uzmanlıktan en az birine kaydolma olasılığını bulun.
Dikkat edin sorun, Z. adındaki bir başvuru sahibinin aynı anda hem dil bilimi hem de ticaret okuyup iki diploma alıp alamayacağını sormamaktadır. Burada Z.'nin bu iki uzmanlıktan en az birine kaydolabilmesi yani gerekli puanı alması olasılığını bulmamız gerekiyor.
Z.'nin iki uzmanlık alanından en az birine girebilmesi için matematikten en az 70 puan alması gerekiyor. Ve Rusça. Ve ayrıca - sosyal bilgiler veya yabancı.
Matematikten 70 puan alma olasılığı 0,6'dır.
Matematik ve Rusçada puan alma olasılığı 0,6 0,8'dir.
Yabancı ve sosyal bilgilerle ilgilenelim. Bize uygun olan seçenekler, başvuru sahibinin sosyal bilgilerden, yabancı çalışmalardan veya her ikisinden de puan almasıdır. Dil ya da “toplum” alanında puan alamadığında bu seçenek uygun değildir. Bu, sosyal bilgilerden veya yabancı dilden en az 70 puanla geçme ihtimalinin şuna eşit olduğu anlamına gelir:
1 – 0,5 0,3.
Sonuç olarak matematik, Rusça ve sosyal bilgiler veya yabancı dilden geçme olasılığı eşittir
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Cevap bu.
