Terim dizisi. Dizilerdeki işlemler

Doğal sayı, değişmeyen bir kümenin niceliksel bir özelliğidir, ancak pratikte nesnelerin sayısı, örneğin belirli bir çiftlikteki hayvan sayısı gibi sürekli değişmektedir. Üstelik en basit ama aynı zamanda en önemli dizi, sayma işleminde hemen ortaya çıkar - bu, doğal sayıların dizisidir: 1, 2, 3, ....

Belirli bir popülasyondaki nesnelerin sayısındaki bir değişiklik, belirli bir doğal sayılar dizisi (dizinin üyeleri) biçiminde sabitlenirse, hemen doğal olarak başka bir dizi ortaya çıkar - örneğin bir sayı dizisi.

Bu bağlamda bir dizinin elemanlarının isimlendirilmesi sorunu ortaya çıkmaktadır. Her üyenin özel bir harfle belirlenmesi aşağıdaki nedenlerden dolayı son derece sakıncalıdır. Birincisi, dizi çok büyük, hatta sonsuz sayıda terim içerebilir. İkincisi, farklı harfler, eleman sayısını değiştirse de dizi üyelerinin aynı popülasyona ait olduğu gerçeğini gizler. Son olarak bu durumda dizideki üye numaraları yansıtılmayacaktır.

Bu nedenler bizi dizinin üyelerini tek harfle isimlendirmeye ve onları indeksle ayırmaya zorluyor. Örneğin on terimden oluşan bir dizi harfle gösterilebilir. A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. Dizinin sonsuz olduğu gerçeği, sanki bu diziyi süresiz olarak uzatıyormuşçasına üç noktayla ifade edilir: A 1 , A 2 , A 3, ... Bazen dizi sıfırdan numaralandırılmaya başlar: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …

Dizi üyelerinin oluşum yasası bilinmediğinden veya hatta mevcut olmadığından bazı diziler rastgele sayı kümeleri olarak algılanabilir. Ancak böyle bir yasanın bilindiği dizilere özel dikkat gösterilmektedir.

Dizi üyelerinin oluşum yasasını belirtmek için en sık iki yöntem kullanılır. Bunlardan ilki aşağıdaki gibidir. İlk terim belirlenir ve daha sonra, zaten bilinen son terim kullanılarak bir sonrakinin elde edilmesine göre yöntem belirlenir. Bir yasa yazmak için belirtilmemiş bir numaraya sahip bir dizi üyesi kullanılır, örneğin, ve k ve bir sonraki üye ve k +1, ardından bunları bağlayan formül yazılır.

En ünlü ve önemli örnekler aritmetik ve geometrik ilerlemelerdir. Aritmetik ilerleme formülle tanımlanır ve k +1 = ve k + r(veya ve k +1 = ve k – r). Aritmetik ilerlemenin terimleri ya düzgün bir şekilde artar (bir merdiven gibi) ya da düzgün bir şekilde azalır (bir merdiven gibi). Büyüklük R ilerleme farkı denir çünkü ve k +1 – ve k = r. Doğal terimlerle aritmetik ilerleme örnekleri

a) doğal sayılar ( 1 = 1 ;ve k +1 = ve k + 1);

b) sonsuz bir dizi 1, 3, 5, 7,… ( 1 = 1 ;ve k +1 = ve k + 2);

c) son sıra 15, 12, 9, 6, 3 ( 1 = 15 ;ve k +1 = ve k–3 ).

Geometrik ilerleme formülle verilir b k +1 = b k ∙q. Büyüklük Q geometrik ilerlemenin paydası denir çünkü b k +1:b k = q. Doğal terimlere sahip ve paydası birden büyük olan geometrik ilerlemeler çığ gibi hızla büyür ve büyür. Doğal terimlerle geometrik ilerleme örnekleri

a) sonsuz bir dizi 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) sonsuz dizi 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Bir dizinin terimlerini belirleme yasasını belirtmenin ikinci yolu, belirtilmemiş bir sayıya (ortak terim) sahip bir dizi üyesini hesaplamanıza izin veren bir formül belirtmektir, örneğin, ve k, numarayı kullanarak k.

Aritmetik ve geometrik ilerleme terimleri de bu şekilde hesaplanabilir. Aritmetik ilerleme formülle tanımlandığından ve k +1 = ve k + r, üyenin nasıl ifade edildiğini anlamak kolaydır ve k numarayı kullanma k:

1– keyfi olarak belirlenir;

2 = a 1 + r= a 1 + 1∙r;

3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

ve k = a 1 + (k–1)∙r– son formül.

Geometrik ilerleme için genel terimin formülü benzer şekilde türetilir: bk = b 1 ∙ q k –1 .

Aritmetik ve geometrik ilerlemelerin yanı sıra, özel değişim karakterine sahip diğer diziler de aynı şekilde belirlenebilir. Örnek olarak doğal sayıların kareleri dizisini veriyoruz: sk = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Dizi oluşturmanın daha karmaşık yolları vardır; örneğin biri diğerinin yardımıyla oluşturulur. Aritmetik için özellikle önemli olan parametreler tarafından belirlenen geometrik ilerlemedir. b 1 = 1, Q= 10 yani on'un kuvvetleri dizisi: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Konumsal sayılarda doğal sayıları temsil etmek için kullanılır sistem. Ayrıca her doğal sayı için N verilen sayının yazıldığı sayılardan oluşan bir dizi belirir: bir n bir n – 1 ... bir 2 bir 1 bir 0. Sayı ve k 10 tipinde kaç terimin olduğunu gösterir k bir sayı içerir N.

Dizi kavramı matematiğin en önemli nicelik ve fonksiyon kavramlarına yol açar. Nicelik, bir nesnenin veya olgunun değişen sayısal özelliğidir. Değişimi bir sayı dizisi olarak algılanıyor. Terimlerin kendileri ile sayıları arasında bir ilişkinin varlığı ve bunun formüllerle ifade edilmesi, fonksiyon kavramına yakından yol açmaktadır.

Oldukça gelişmiş bir toplumun hemen hemen her üyesi tarafından kullanılan en önemli matematiksel keşif konumsal sayı sistemidir. Saymanın temel sorununu, yani giderek daha fazla yeni sayıyı adlandırma becerisini, yalnızca ilk birkaç sayı için notasyonlar (rakamlar) kullanarak çözmeyi mümkün kıldı.

Konumsal sayı sistemi geleneksel olarak on sayısıyla ilişkilendirilir, ancak ikili sistem gibi diğer sistemler de aynı prensipler üzerine inşa edilebilir. Ondalık konumsal bir sayı sistemi oluştururken on Arap rakamı tanıtılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Onların yardımıyla nesnelerin sayısını ifade eden bir sayı yazılabilir. herhangi bir sonlu küme. Bu amaçla, özel bir algoritma, yani açıkça tanımlanmış bir temel eylem dizisi kullanılır.

Sayılan öğeler onlu gruplar halinde birleştirilir; bu, on'a kalanla bölünmeye karşılık gelir. Sonuç olarak, birler ve onlar olmak üzere iki set oluşur. Onlar yine onlarca, yüzler halinde gruplandırılır. Onlarca sayısının olduğu açıktır (bunu şununla belirtiriz) 1) zorunlu olarak ondan küçüktür ve bu nedenle, 1 bir sayı ile belirtilebilir. Daha sonra yüzlerce öğe binler halinde, binlerceler on binler halinde vb. tüm öğeler gruplandırılıncaya kadar gruplandırılır. Ortaya çıkan sayıların soldan sağa büyük indekslerden küçüğe yazılmasıyla sayının yapımı tamamlanır. Dijital ve k 10'luk nesne gruplarının sayısına karşılık gelir k. Bir sayının son kaydı sonlu bir rakam dizisinden oluşur bir n bir n – 1 ... bir 2 bir 1 bir 0. Karşılık gelen sayı ifadeye eşittir

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

Sayı sistemi adındaki “konumsal” sözcüğü, bir sayının sayı notasyonundaki konumuna bağlı olarak anlamını değiştirmesinden kaynaklanmaktadır. Son rakam birim sayısını, sondan bir önceki rakam ise onlarca sayısını vb. belirtir.

Herhangi bir tabana sahip bir sayı sisteminde sayıların kaydını elde etmeye yönelik algoritmanın N: Nesnelerin sıralı olarak gruplandırılmasından oluşur. Nşeyler. Sayıları yazarken kullanmanız gerekir N sayılar

Her n doğal sayısı bir x n gerçel sayısıyla ilişkiliyse, o zaman verilen sayının şöyle olduğunu söyleriz: sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

Sayı X 1'e dizinin bir üyesi denir 1 numara ile veya dizinin ilk terimi, sayı X 2 - dizinin üyesi 2 numara ile veya dizinin ikinci üyesi vb. xn sayısına denir numaralı dizinin üyesi N.

Sayı dizilerini belirtmenin iki yolu vardır - ile ve ile tekrarlanan formül.

Sıra kullanımı bir dizinin genel terimi için formüller– bu bir sıralı görevdir

X 1 , X 2 , … xn , …

xn teriminin n sayısına bağımlılığını ifade eden bir formül kullanarak.

Örnek 1. Numara dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

ortak terim formülü kullanılarak verilir

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, …

Bir dizi üyesi x n'yi önceki sayıları içeren dizi üyeleri aracılığıyla ifade eden bir formül kullanarak bir dizi belirtmeye, kullanarak bir dizi belirtme adı verilir. tekrarlanan formül.

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde artan sırayla, Dahaönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N

X N + 1 >X N

Örnek 3. Doğal sayılar dizisi

1, 2, 3, … N, …

öyle artan dizi.

Tanım 2. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde azalan dizi eğer bu dizinin her bir üyesi azönceki üye

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

X N + 1 < X N

Örnek 4. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle azalan dizi.

Örnek 5. Numara dizisi

1, - 1, 1, - 1, …

formül tarafından verilen

xn = (- 1) N , N = 1, 2, 3, …

değil ne artıyor ne de azalıyor sekans.

Tanım 3. Artan ve azalan sayı dizilerine denir monoton diziler.

Sınırlı ve Sınırsız Diziler

Tanım 4. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde yukarıdan sınırlı, eğer bu dizinin her bir üyesini sağlayacak bir M sayısı varsa az sayılar M.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 5. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

isminde aşağıda sınırlı eğer bu dizinin her bir üyesini öyle bir m sayısı varsa Daha sayılar m.

Başka bir deyişle herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Tanım 6. Sayı dizisi

X 1 , X 2 , … xn , …

eğer sınırlıysa denir hem üstü hem de altı sınırlıdır.

Başka bir deyişle, M ve m sayıları vardır, öyle ki herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

M< x n < M

Tanım 7. Sayısal diziler sınırlı değil, isminde sınırsız diziler.

Örnek 6. Numara dizisi

1, 4, 9, … N 2 , …

formül tarafından verilen

xn = N 2 , N = 1, 2, 3, … ,

aşağıda sınırlı, örneğin 0 sayısı. Ancak bu dizi yukarıdan sınırsız.

Örnek 7. Alt sıra

formül tarafından verilen

öyle sınırlı dizi, çünkü herkes için N= 1, 2, 3, … eşitsizlik sağlanır

Web sitemizde ayrıca Resolventa eğitim merkezi öğretmenleri tarafından Birleşik Devlet Sınavı ve matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için geliştirilen eğitim materyallerini de öğrenebilirsiniz.

İyi hazırlanmak ve başarılı olmak isteyen okul çocukları için Matematik veya Rus dilinde Birleşik Devlet Sınavı yüksek puan için Resolventa eğitim merkezi

Giriş………………………………………………………………………………3

1. Teorik kısım……………………………………………………………….4

Temel kavramlar ve terimler……………………………………………………………….4

1.1 Dizi türleri…………………………………………………………………6

1.1.1.Sınırlı ve sınırsız sayı dizileri…..6

1.1.2.Dizilerin monotonluğu…………………………………6

1.1.3.Sonsuz derecede büyük ve sonsuz küçük diziler…….7

1.1.4.Sonsuz küçük dizilerin özellikleri…………………8

1.1.5.Yakınsak ve ıraksak diziler ve özellikleri.....9

1.2 Sıra sınırı………………………………………………….11

1.2.1.Dizilerin limitlerine ilişkin teoremler……………………………15

1.3 Aritmetik ilerleme………………………………………………17.

1.3.1. Aritmetik ilerlemenin özellikleri…………………………………..17

1.4Geometrik ilerleme……………………………………………………………..19

1.4.1. Geometrik ilerlemenin özellikleri……………………………………….19

1.5. Fibonacci sayıları……………………………………………………………..21

1.5.1 Fibonacci sayılarının diğer bilgi alanlarıyla bağlantısı………………….22

1.5.2. Canlı ve cansız doğayı tanımlamak için Fibonacci sayı serisinin kullanılması……………………………………………………………………………………………….23

2. Kendi araştırmanız…………………………………………………….28

Sonuç………………………………………………………………………………….30

Referans listesi……………………………………………………………….31

Giriiş.

Sayı dizileri çok ilginç ve eğitici bir konudur. Bu konu, didaktik materyallerin yazarları tarafından öğrencilere sunulan artan karmaşıklıktaki görevlerde, matematik olimpiyatları problemlerinde, Yüksek Öğretim Kurumlarına giriş sınavlarında ve Birleşik Devlet Sınavında bulunur. Matematiksel dizilerin diğer bilgi alanlarıyla nasıl ilişkili olduğunu öğrenmekle ilgileniyorum.

Araştırma çalışmasının amacı: Sayı dizisi hakkındaki bilgiyi genişletmek.

1. Sırayı düşünün;

2. Özelliklerini göz önünde bulundurun;

3. Dizinin analitik görevini düşünün;

4. Diğer bilgi alanlarının geliştirilmesindeki rolünü gösterin.

5. Canlı ve cansız doğayı tanımlamak için Fibonacci sayı serisinin kullanımını gösterin.

1. Teorik kısım.

Temel kavram ve terimler.

Tanım. Sayısal bir dizi, y = f(x), x О N biçiminde bir fonksiyondur; burada N, y = f(n) veya y1, y2 olarak gösterilen doğal sayılar kümesidir (veya doğal bir argümanın fonksiyonudur), …, yn,…. y1, y2, y3,... değerlerine sırasıyla dizinin birinci, ikinci, üçüncü,... üyeleri denir.

Rastgele önceden belirlenmiş keyfi küçük bir pozitif sayı ε için tüm n>N eşitsizliği için |x n - a| eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir N doğal sayısı varsa, a sayısına x = (x n) dizisinin limiti denir.< ε.

Eğer a sayısı x = (x n ) dizisinin limiti ise, o zaman x n'nin a'ya eğilimli olduğunu söylerler ve şunu yazarlar:

Bir (yn) dizisinin her bir üyesi (birinci hariç) bir öncekinden büyükse artan olduğu söylenir:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Her bir üye (birinci hariç) bir öncekinden küçükse, bir diziye (yn) azalan dizi adı verilir:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Artan ve azalan diziler ortak terim olan monotonik diziler altında birleştirilir.

Bir n'den başlayarak yn = yn+T eşitliğini sağlayan bir T doğal sayısı varsa bu diziye periyodik denir. T sayısına periyot uzunluğu denir.

Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her bir terimin önceki terimin toplamına eşit olduğu ve aynı d sayısına aritmetik ilerleme adı verilen ve d sayısına bir fark olan bir dizidir (an). aritmetik ilerleme.

Dolayısıyla, bir aritmetik ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan bir sayısal dizidir (an).

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrik ilerleme, tüm terimlerin sıfırdan farklı olduğu ve ikinciden başlayarak her terimin bir önceki terimden aynı q sayısıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir dizidir.

Dolayısıyla geometrik bir ilerleme, ilişkilerle tekrar tekrar tanımlanan sayısal bir dizidir (bn).

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Dizi türleri.

1.1.1 Sınırlandırılmış ve kısıtlanmamış diziler.

Herhangi bir n sayısı için bn≤ M eşitsizliğinin geçerli olduğu bir M sayısı varsa, bir (bn) dizisinin yukarıda sınırlı olduğu söylenir;

Herhangi bir n sayısı için bn≥ M eşitsizliğinin geçerli olduğu bir M sayısı varsa, bir (bn) dizisine aşağıda sınırlı dizi denir;

Örneğin:

1.1.2 Dizilerin monotonluğu.

Herhangi bir n sayısı için bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) eşitsizliği doğruysa, bir (bn) dizisine artmayan (azalan olmayan) denir;

Herhangi bir n sayısı için bn> bn+1 (bn) eşitsizliği varsa, bir (bn) dizisine azalan (artan) denir.

Azalan ve artan dizilere tam anlamıyla monotonik, artmayan dizilere ise geniş anlamda monotonik denir.

Hem üstten hem de alttan sınırlı olan dizilere sınırlı denir.

Tüm bu türlerin dizisine monotonik denir.

1.1.3 Sonsuz büyük ve küçük diziler.

Sonsuz küçük bir dizi, sıfıra yaklaşan sayısal bir fonksiyon veya dizidir.

Bir an dizisinin sonsuz küçük olduğu söylenir, eğer

ℓimx→x0 f(x)=0 ise, x0 noktasının komşuluğundaki bir fonksiyona sonsuz küçük fonksiyon denir.

ℓimx→.+∞ f(x)=0 veya ℓimx→-∞ f(x)=0 ise, bir fonksiyona sonsuzda sonsuz küçük denir.

Ayrıca sonsuz küçük, bir fonksiyon ile limiti arasındaki fark olan bir fonksiyondur, yani eğer ℓimx→.+∞ f(x)=a ise f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Sonsuz büyük bir dizi, sonsuza uzanan sayısal bir fonksiyon veya dizidir.

Bir an dizisinin sonsuz büyük olduğu söylenir, eğer

ℓimn→0 an=∞.

Eğer ℓimx→x0 f(x)= ∞ ise, bir fonksiyonun x0 noktasının komşuluğunda sonsuz büyük olduğu söylenir.

Bir fonksiyona sonsuzda sonsuz büyük denirse

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ veya ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Sonsuz küçük dizilerin özellikleri.

İki sonsuz küçük dizinin toplamı da sonsuz küçük bir dizidir.

İki sonsuz küçük dizinin farkının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin cebirsel toplamının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir.

Sınırlı bir dizi ile sonsuz küçük bir dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonsuz küçük dizi sınırlıdır.

Durağan bir dizi sonsuz küçükse, belirli bir noktadan başlayarak tüm elemanları sıfıra eşittir.

Sonsuz küçük dizinin tamamı aynı öğelerden oluşuyorsa, bu öğeler sıfırdır.

Eğer (xn) sıfır terim içermeyen sonsuz büyük bir dizi ise, o zaman sonsuz küçük bir dizi (1/xn) vardır. Bununla birlikte, eğer (xn) sıfır eleman içeriyorsa, o zaman (1/xn) dizisi yine de bir n sayısından başlayarak tanımlanabilir ve yine de sonsuz küçük olacaktır.

Eğer (an) sıfır terim içermeyen sonsuz küçük bir dizi ise, o zaman sonsuz büyüklükte bir (1/an) dizisi vardır. Eğer (an) yine de sıfır eleman içeriyorsa, o zaman (1/an) dizisi hala bir n sayısından başlayarak tanımlanabilir ve yine de sonsuz büyüklükte olacaktır.

1.1.5 Yakınsak ve ıraksak diziler ve özellikleri.

Yakınsak dizi, bir X kümesinin bu kümede bir limiti olan elemanlarının dizisidir.

Iraksak bir dizi, yakınsak olmayan bir dizidir.

Her sonsuz küçük dizi yakınsaktır. Limiti sıfırdır.

Sonsuz bir diziden sonlu sayıda elemanın çıkarılması, o dizinin ne yakınsamasını ne de limitini etkiler.

Herhangi bir yakınsak dizi sınırlıdır. Ancak her sınırlı dizi yakınsak değildir.

Eğer (xn) dizisi yakınsak ama sonsuz küçük değilse, belirli bir sayıdan başlayarak sınırlı olan bir (1/xn) dizisi tanımlanır.

Yakınsak dizilerin toplamı da yakınsak bir dizidir.

Yakınsak dizilerin farkı da yakınsak bir dizidir.

Yakınsak dizilerin çarpımı da yakınsak bir dizidir.

İki yakınsak dizinin bölümü, ikinci dizi sonsuz küçük olmadığı sürece, bir elemandan başlayarak tanımlanır. İki yakınsak dizinin bölümü tanımlanırsa, bu yakınsak bir dizidir.

Yakınsak bir dizi aşağıdan sınırlıysa, bu durumda onun son değerlerinden hiçbiri onun sınırını aşmaz.

Yakınsak bir dizi yukarıdan sınırlıysa, limiti herhangi bir üst sınırını aşmaz.

Herhangi bir sayı için bir yakınsak dizinin terimleri başka bir yakınsak dizinin terimlerini aşmıyorsa, o zaman birinci dizinin limiti de ikincinin limitini aşmaz.

Bir dizi doğal sayıyı düşünün: 1, 2, 3, , N – 1, N,  .

Her doğal sayıyı değiştirirsek N bu seride belli bir sayıya göre A N bazı kanunları takip ederek yeni bir sayı dizisi elde ederiz:

A 1 , A 2 , A 3, , A N –1 , A N , ,

kısaca belirlenmiş ve çağrılmış sayısal dizi. Büyüklük A N sayı dizisinin ortak üyesi denir. Genellikle sayı dizisi bazı formüllerle verilir A N = F(N) dizinin herhangi bir üyesini numarasına göre bulmanızı sağlar N; bu formüle genel terim formülü denir. Genel terim formülü kullanarak bir sayısal diziyi tanımlamanın her zaman mümkün olmadığını unutmayın; bazen bir dizi, üyelerini tanımlayarak belirtilir.

Tanım gereği, bir dizi her zaman sonsuz sayıda öğe içerir: Herhangi iki farklı öğe, en azından sayıları açısından farklılık gösterir ve bunların sonsuz sayıda sayısı vardır.

Sayı dizisi, bir fonksiyonun özel bir durumudur. Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan ve gerçek sayılar kümesinde değer alan bir fonksiyondur, yani. formun bir fonksiyonu F : N  R.

Alt sıra
isminde artan(azalan), eğer varsa N  N
Bu tür dizilere denir Kesinlikle monoton.

Bazen doğal sayıların tamamını sayı olarak değil, yalnızca bazılarını (örneğin, bazı doğal sayılardan başlayan doğal sayılar) kullanmak daha uygun olur. N 0). Numaralandırma için yalnızca doğal sayıları değil aynı zamanda diğer sayıları da kullanmak mümkündür; örneğin, N= 0, 1, 2,  (burada doğal sayılar kümesine başka bir sayı olarak sıfır eklenir). Bu gibi durumlarda sırayı belirtirken sayıların hangi değerleri aldığını belirtin N.

Herhangi biri için bir sırayla ise N  N
daha sonra dizi çağrılır azalmayan(artmayan). Bu tür dizilere denir monoton.

Örnek 1 . 1, 2, 3, 4, 5, ... sayı dizisi bir doğal sayılar dizisidir ve ortak bir terime sahiptir. A N = N.

Örnek 2 . 2, 4, 6, 8, 10, ... sayı dizisi çift sayılardan oluşan bir dizidir ve ortak bir terime sahiptir A N = 2N.

Örnek 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – artan doğrulukla yaklaşık değerlerin sayısal dizisi.

Son örnekte dizinin genel terimi için bir formül vermek mümkün değildir.

Örnek 4 . Bir sayı dizisinin ilk 5 terimini ortak terimini kullanarak yazın
. Hesaplamak A Genel terim formülünde 1 gereklidir A N yerine N hesaplamak için 1 yerine A 2 − 2, vb. O halde elimizde:

Test 6 . 1, 2, 6, 24, 120,  dizisinin ortak elemanı:

1)

2)

3)

4)

Test 7 .
şu:

1)

2)

3)

4)

Test 8 . Dizinin ortak üyesi
şu:

1)

2)

3)

4)

Numara dizisi sınırı

Ortak terimi belirli bir sayıya yaklaşan bir sayı dizisi düşünün A seri numarası arttığında N. Bu durumda sayı dizisinin bir limiti olduğu söylenir. Bu kavramın daha katı bir tanımı var.

Sayı A sayı dizisinin limiti denir
:

(1)

eğer herhangi bir  > 0 için böyle bir sayı varsa N 0 = N 0 (), 'ye bağlı olarak
en N > N 0 .

Bu tanım şu anlama gelir A ortak terimi sınırsız yaklaşıyorsa sayı dizisinin bir sınırı vardır A artan ile N. Geometrik olarak bu, herhangi bir  > 0 için böyle bir sayının bulunabileceği anlamına gelir N 0 , hangisinden başlayarak N > N 0, dizinin tüm üyeleri aralığın içinde yer alır ( A – , A+ ). Limiti olan diziye denir yakınsak; aksi takdirde - farklı.

Bir sayı dizisi, belirli bir işaretin yalnızca bir limitine (sonlu veya sonsuz) sahip olabilir.

Örnek 5 . Harmonik dizi 0 limit numarasına sahiptir. Aslında herhangi bir aralık için (–; +) sayı olarak N 0'dan büyük herhangi bir tamsayı olabilir. O zaman herkes için N > N 0 >elimizde

Örnek 6 . 2, 5, 2, 5,  dizisi ıraksaktır. Gerçekten de, örneğin birden daha kısa hiçbir aralık, belirli bir sayıdan başlayarak dizinin tüm üyelerini içeremez.

Sıra denir sınırlı eğer böyle bir sayı varsa M, Ne
herkes için N. Her yakınsak dizi sınırlıdır. Her monotonik ve sınırlı dizinin bir sınırı vardır. Her yakınsak dizinin benzersiz bir sınırı vardır.

Örnek 7 . Alt sıra
giderek artıyor ve sınırlanıyor. Onun bir sınırı var
=e.

Sayı e isminde Euler numarası ve yaklaşık olarak 2,718 28'e eşittir.

Test 9 . 1, 4, 9, 16,  dizisi şöyledir:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

Test 10 . Alt sıra
şu:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

4) aritmetik ilerleme;

5) geometrik ilerleme.

Test 11 . Alt sıra değil:

1) yakınsak;

2) farklı;

3) sınırlı;

4) harmonik.

Test 12 . Ortak bir terimle verilen bir dizinin limiti
eşit.

1 Tanım

2 Örnekler

3 Dizilerdeki işlemler

4 Alt diziler

• 4.1 Örnekler

  4.2 Özellikler

5 Sıra sınır noktası

6 Sıra sınırı

7 Bazı dizi türleri

• 7.1 Sınırlı ve Sınırsız Diziler

  • 7.1.1 Sayısal bir dizinin sınırlılığı için kriter

    7.1.2 Sınırlı dizilerin özellikleri

7.2 Sonsuz büyük ve sonsuz küçük diziler

• 7.2.1 Sonsuz küçük dizilerin özellikleri

7.3 Yakınsak ve ıraksak diziler

• 7.3.1 Yakınsak dizilerin özellikleri

7.4 Monoton diziler

7.5 Temel Diziler

Numara dizisi- Bu alt dizi sayı uzayının elemanları.

Sayı dizileri eğitimde dikkate alınan ana nesnelerden biridir. matematiksel analiz.

Tanım

Bırakın set X ya gerçek sayılar kümesidir ya da karmaşık sayılar kümesidir. Daha sonra kümenin elemanlarının sırası X isminde sayısal dizi.

Örnekler

Dizilerdeki işlemler

Açık birçok kümenin elemanlarının tüm dizileri X belirlenebilir aritmetik ve diğerleri operasyonlar eğer kümede tanımlanmışlarsa X. Bu tür işlemler genellikle doğal bir şekilde, yani öğe öğe olarak tanımlanır.

Örneğin sayı dizileri için aritmetik işlemler bu şekilde tanımlanır.

Miktar X N) Ve ( sen Nz N) öyle ki z N = X N + sen N .

Farkına göre sayı dizileri ( X N) Ve ( sen N) sayı dizisi olarak adlandırılır ( z N) öyle ki z N = X N − sen N .

iş sayı dizileri X N Ve sen N sayı dizisi denir ( z N) öyle ki.

Özel sayı dizisi X N ve sayı dizisi sen N tüm unsurları birbirinden farklı olan sıfır, sayı dizisi denir . Sırayla ise sen N konum hala sıfır elemana sahipse, bu durumda böyle bir diziye bölünmenin sonucu yine dizi olarak tanımlanabilir. .

Elbette, aritmetik işlemler yalnızca bir dizi sayısal dizi üzerinde değil, aynı zamanda üzerinde aritmetik işlemlerin tanımlandığı kümelerin elemanlarının herhangi bir dizisi üzerinde de tanımlanabilir. alanlar hatta yüzükler.

Alt diziler

Alt sıra diziler ( X N) dizidir, burada ( k N) doğal sayılar kümesinin artan elemanları dizisidir.

Başka bir deyişle, bir diziden sonlu veya sayılabilir sayıda öğe çıkarılarak bir alt dizi elde edilir.

Örnekler

Alt sıra asal sayılar doğal sayılar dizisinin bir alt dizisidir.

Doğal sayılar dizisi, katları 12 , dizinin bir alt dizisidir eşit doğal sayılar.

Özellikler

Her dizi kendisinin bir alt dizisidir.

Yakınsak bir dizinin bir alt dizisi, orijinal diziyle aynı limite yakınsar.

Bir orijinal dizinin tüm alt dizileri yakınsaksa limitleri eşittir.

Sonsuz büyük bir dizinin herhangi bir alt dizisi de sonsuz büyüktür.

Herhangi bir sınırsız sayı dizisinden, tüm elemanları belirli bir işarete sahip olan sonsuz büyüklükte bir alt dizi seçilebilir.

Herhangi bir sayısal diziden, tümü belirli bir işarete sahip olan yakınsak bir alt dizi veya sonsuz büyük bir alt dizi seçilebilir.

Sıra sınır noktası

Ana makale: Sınır noktası

Sıra sınır noktası herhangi bir komşulukta bu dizinin sonsuz sayıda elemanının bulunduğu bir noktadır. Yakınsak sayı dizileri için sınır noktası şuna denk gelir: sınır.

Sıra sınırı

Ana makale: Sıra sınırı

Sıra sınırı - bu, sayı arttıkça dizi üyelerinin yaklaştığı bir nesnedir. Yani bedava topolojik uzay bir dizinin limiti herhangi bir dizideki bir elemandır komşu bazılarından başlayarak dizinin tüm terimlerini içerir. Özellikle sayı dizileri için limit, belirli bir noktadan başlayarak dizinin tüm üyelerinin bulunduğu herhangi bir komşuluktaki bir sayıdır.

Kısmi dizi sınırı alt dizilerinden birinin limitidir. Yakınsak sayı dizileri için her zaman olağan sınırla çakışır.

Üst dizi sınırı bu dizinin en büyük sınır noktasıdır.

Alt dizi sınırı bu dizinin en küçük sınır noktasıdır.

Bazı dizi türleri

Sabit dizi bir noktadan başlayarak tüm üyeleri eşit olan bir dizidir.

(X N) sabit

Sınırlı ve Sınırsız Diziler

Varsayarak doğrusal sıra setleri X Bir dizinin elemanlarını kullanarak sınırlı ve sınırsız dizi kavramlarını tanıtabiliriz.

Üst sınırlı dizi X, tüm üyeleri bu kümedeki bazı öğeleri aşmayan. Bu elemente denir üst kenar bu sıra.

(X N) yukarıda sınırlanmış

Sıra aşağıda sınırlandırılmıştır bir kümenin elemanlarının dizisidir X, bu kümede tüm üyelerini aşmayan bir öğenin bulunduğu. Bu elemente denir alt kenar bu sıra.

(X N) aşağıda sınırlı

Sınırlı dizi (dizi her iki tarafta sınırlı ) hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlı bir dizidir.

(X N) sınırlı

Sınırsız dizi sınırlı olmayan bir dizidir.

(X N) sınırsız

Sayısal bir dizinin sınırlılığı için kriter

Bir sayı dizisi ancak ve ancak öyle bir sayı varsa sınırlandırılır: modüller Dizinin tüm üyelerinin sayısı bunu aşmaz.

(X N) sınırlı

Sınırlı dizilerin özellikleri

Sonsuz büyük ve sonsuz küçük diziler

Sonsuz küçük dizi bir dizidir sınır hangisi eşittir sıfır.

Sonsuz büyük dizi limiti olan bir dizidir sonsuzluk.

Sonsuz küçük dizilerin özellikleri

Sonsuz küçük diziler, aktif olarak kullanılan bir dizi dikkat çekici özellik ile ayırt edilir. matematiksel analiz, yanı sıra ilgili ve daha genel disiplinlerde.

İki sonsuz küçük dizinin toplamı da sonsuz küçük bir dizidir.

İki sonsuz küçük dizinin farkının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin cebirsel toplamının kendisi de sonsuz küçük bir dizidir.

Sınırlı bir dizi ile sonsuz küçük bir dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin çarpımı sonsuz küçük bir dizidir.

Herhangi bir sonsuz küçük dizi sınırlıdır.

Durağan bir dizi sonsuz küçükse, belirli bir noktadan başlayarak tüm elemanları sıfıra eşittir.

Sonsuz küçük dizinin tamamı aynı öğelerden oluşuyorsa, bu öğeler sıfırdır.

Eğer ( X N) sıfır terim içermeyen sonsuz büyük bir diziyse, o zaman bir dizi vardır (1 / X N), ki bu sonsuz küçüktür. X N Eğer ( X N N) hala sıfır eleman içeriyorsa, dizi (1 /

ve yine de sonsuz küçük olacaktır. N Eğer (α N) sıfır terim içermeyen sonsuz küçük bir diziyse, o zaman bir dizi vardır (1 / α N), sonsuz büyüklüktedir. N Eğer (α N) hala sıfır eleman içeriyorsa, bu durumda (1 / α) dizisi

Yakınsak ve ıraksak diziler

Yakınsak dizi bir kümenin elemanlarının dizisidir X, sahip sınır bu kalabalığın içinde.

Iraksak dizi yakınsak olmayan bir dizidir.

Yakınsak dizilerin özellikleri

Her sonsuz küçük dizi yakınsaktır. Onun sınırı sıfır.

Sonsuz bir diziden sonlu sayıda elemanın çıkarılması, o dizinin ne yakınsamasını ne de limitini etkiler.

Herhangi bir yakınsak eleman dizisi Hausdorff uzayı tek sınırı vardır.

Herhangi bir yakınsak dizi sınırlıdır. Ancak her sınırlı dizi yakınsak değildir.

Bir dizi ancak ve ancak sınırlıysa yakınsar ve ayrıca üst ve alt limitler kibrit.

Eğer sıra ( X N) yakınsar, ancak sonsuz küçük değildir, o zaman belirli bir sayıdan başlayarak (1 / X N), sınırlıdır.

Yakınsak dizilerin toplamı da yakınsak bir dizidir.

Yakınsak dizilerin farkı da yakınsak bir dizidir.

Yakınsak dizilerin çarpımı da yakınsak bir dizidir.

İki yakınsak dizinin bölümü, ikinci dizi sonsuz küçük olmadığı sürece, bir elemandan başlayarak tanımlanır. İki yakınsak dizinin bölümü tanımlanırsa, bu yakınsak bir dizidir.

Yakınsak bir dizi aşağıdan sınırlıysa, bu durumda onun son değerlerinden hiçbiri onun sınırını aşmaz.

Yakınsak bir dizi yukarıdan sınırlıysa, limiti herhangi bir üst sınırını aşmaz.

Herhangi bir sayı için bir yakınsak dizinin terimleri başka bir yakınsak dizinin terimlerini aşmıyorsa, o zaman birinci dizinin limiti de ikincinin limitini aşmaz.

Belirli bir sayıdan başlayarak belirli bir dizinin tüm elemanları, aynı limite yakınsayan diğer iki dizinin karşılık gelen elemanları arasındaki segment üzerinde yer alıyorsa, bu dizi de aynı limite yakınsar.

Herhangi bir yakınsak dizi ( X N) şu şekilde temsil edilebilir ( X N) = (A + α N), Nerede A- sıra sınırı ( X N) ve α N- sonsuz küçük bir dizi.

Her yakınsak dizi esas.

Bu durumda, temel sayı dizisi her zaman yakınsar (tam uzayın elemanlarının herhangi bir temel dizisi gibi).

Ana makale:

Monoton diziler Monotonik dizi artmayan veya azalmayan bir dizidir. Bu durumda dizinin elemanlarının alındığı kümede,.

sıra ilişkisi

Ana makale:

Temel Diziler (Temel Sıra , yakınsak dizi Cauchy dizisi ) bir element dizisidir metrik uzay

önceden belirlenmiş herhangi bir mesafe için, kendisini takip eden elemanlardan herhangi birine olan mesafenin belirtilen mesafeyi aşmayacağı şekilde bir elemanın bulunduğu. Sayı dizileri için temel ve yakınsak dizi kavramları eşdeğerdir ancak genel olarak durum böyle değildir. Sıra Numarası serisi

Özet >> Matematik Va yakınsak seri Sayısal alt dizi satır - sonsuz alt dizi işaretlerle birbirine bağlanan sayılar... olayların akışı olayların akışı- rastgele meydana gelen olaylar... -va: 1. F(x) baştan sona tanımlıdır sayısal