Bir üçgen oluşur. Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

Okulda incelenen en basit çokgen bir üçgendir. Öğrenciler için daha anlaşılır ve daha az zorlukla karşılaşılır. Özel özelliklere sahip farklı üçgen türleri olmasına rağmen.

Hangi şekle üçgen denir?

Üç nokta ve parçadan oluşur. Birincisine köşeler, ikincisine kenarlar denir. Ayrıca, üç bölümün de aralarında açı oluşacak şekilde bağlanması gerekir. Dolayısıyla “üçgen” figürünün adı.

Köşelerdeki adlardaki farklılıklar

Dar, geniş ve düz olabildikleri için üçgenlerin türleri bu isimlerle belirlenir. Buna göre bu tür figürlerin üç grubu vardır.

Birinci. Bir üçgenin tüm açıları dar ise buna dar denir. Her şey mantıklı.

Saniye. Açılardan biri geniş, yani üçgen geniş. Daha basit olamazdı.

Üçüncü. 90 dereceye eşit bir açı vardır ve buna dik açı denir. Üçgen dikdörtgen olur.

Yanlardaki isim farklılıkları

Kenarların özelliklerine bağlı olarak aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

genel durum, tüm kenarların keyfi uzunlukta olduğu eşkenar dörtgendir;

iki tarafı aynı sayısal değerlere sahip olan ikizkenarlar;

eşkenar dörtgen olduğundan tüm kenarlarının uzunlukları aynıdır.

Sorun belirli bir üçgen türünü belirtmiyorsa, keyfi bir tane çizmeniz gerekir. Tüm köşelerin keskin olduğu ve kenarların farklı uzunluklarda olduğu.

Tüm üçgenlerde ortak olan özellikler

Bir üçgenin tüm açılarını toplarsanız 180 dereceye eşit bir sayı elde edersiniz. Ve ne tür olduğu önemli değil. Bu kural her zaman geçerlidir.
Bir üçgenin herhangi bir kenarının sayısal değeri diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Üstelik aralarındaki farktan daha büyük.
Her dış açının, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplanmasıyla elde edilen bir değeri vardır. Üstelik her zaman yanındaki iç mekandan daha büyüktür.
En küçük açı her zaman üçgenin küçük tarafının karşısındadır. Ve tam tersi, eğer kenar büyükse, açı en büyük olacaktır.

Problemlerde ne tür üçgenler dikkate alınırsa alınsın bu özellikler her zaman geçerlidir. Geri kalan her şey belirli özelliklerden kaynaklanır.

İkizkenar üçgenin özellikleri

Tabana bitişik açılar eşittir.
Tabana çizilen yükseklik aynı zamanda ortanca ve açıortaydır.
Üçgenin yan kenarlarına inşa edilen yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar sırasıyla birbirine eşittir.

Eşkenar üçgenin özellikleri

Böyle bir rakam varsa, yukarıda biraz anlatılan tüm özellikler doğru olacaktır. Çünkü eşkenar her zaman ikizkenar olacaktır. Ancak bunun tersi geçerli değildir; ikizkenar üçgenin mutlaka eşkenar olması gerekmez.

Bütün açıları birbirine eşit olup değeri 60°'dir.
Eşkenar üçgenin herhangi bir medyanı onun yüksekliği ve açıortayıdır. Üstelik hepsi birbirine eşittir. Değerlerini belirlemek için, tarafın çarpımı ve 3'ün karekökünün 2'ye bölünmesinden oluşan bir formül vardır.

Dik üçgenin özellikleri

İki dar açının toplamı 90°'ye eşittir.
Hipotenüsün uzunluğu her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyüktür.
Hipotenüse çizilen medyanın sayısal değeri yarısına eşittir.
Bacak 30°'lik bir açının karşısında yer alırsa aynı değere eşittir.
Tepe noktasından 90° değeriyle çizilen yüksekliğin bacaklara belirli bir matematiksel bağımlılığı vardır: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Burada: a, b - bacaklar, n - yükseklik.

Farklı üçgen türleriyle ilgili problemler

1 numara. Bir ikizkenar üçgen verildiğinde. Çevresi biliniyor ve 90 cm'ye eşit. Kenarlarını bulmamız gerekiyor. Ek bir koşul olarak: yan taraf tabandan 1,2 kat daha küçüktür.

Çevrenin değeri doğrudan bulunması gereken miktarlara bağlıdır. Üç tarafın toplamı 90 cm verecektir. Şimdi ikizkenar olan üçgenin işaretini hatırlamanız gerekiyor. Yani iki taraf eşittir. İki bilinmeyenli bir denklem oluşturabilirsiniz: 2a + b = 90. Burada a kenar, b ise tabandır.

Şimdi sıra ek bir şarta geldi. Bunu takiben ikinci denklem elde edilir: b = 1.2a. Bu ifadeyi ilkinin yerine koyabilirsiniz. Görünüşe göre: 2a + 1,2a = 90. Dönüşümlerden sonra: 3,2a = 90. Dolayısıyla a = 28,125 (cm). Artık temelini bulmak çok kolay. Bu en iyi şekilde ikinci koşuldan yapılır: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Kontrol etmek için üç değer ekleyebilirsiniz: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Bu doğru.

Cevap: Üçgenin kenarları 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm'dir.

2 numara. Eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu 12 cm'dir. Yüksekliğini hesaplamanız gerekir.

Çözüm. Cevabı bulmak için üçgenin özelliklerinin anlatıldığı ana dönmek yeterli. Bu, bir eşkenar üçgenin yüksekliğini, kenarortayını ve açıortayını bulma formülüdür.

n = a * √3 / 2, burada n yükseklik ve a kenardır.

Değiştirme ve hesaplama şu sonucu verir: n = 6 √3 (cm).

Bu formülü ezberlemenize gerek yok. Yüksekliğin üçgeni iki dikdörtgene böldüğünü hatırlamak yeterlidir. Üstelik bir bacak olduğu ortaya çıkıyor ve içindeki hipotenüs orijinalinin kenarı, ikinci bacak ise bilinen tarafın yarısı. Şimdi Pisagor teoremini yazmanız ve yükseklik için bir formül türetmeniz gerekiyor.

Cevap: Yükseklik 6 √3 cm'dir.

3 numara. MKR, K açısının 90 derece olduğu bir üçgen olduğu için MR ve KR kenarları sırasıyla 30 ve 15 cm'ye eşittir.

Çözüm. Çizim yaparsanız MR'ın hipotenüs olduğu anlaşılır. Üstelik KR'nin yan tarafından iki kat daha büyük. Yine özelliklere dönmeniz gerekiyor. Bunlardan biri açılarla ilgilidir. Buradan KMR açısının 30° olduğu açıktır. Bu, istenen açı P'nin 60°'ye eşit olacağı anlamına gelir. Bu, iki dar açının toplamının 90 dereceye eşit olması gerektiğini belirten başka bir özellikten kaynaklanmaktadır.

Cevap: P açısı 60°'dir.

4 numara. Bir ikizkenar üçgenin tüm açılarını bulmamız gerekiyor. Tabandaki açıdan dış açının 110° olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Yalnızca dış açı verildiği için kullanmanız gereken şey budur. İç kısımla açılmamış bir açı oluşturur. Bu toplamda 180 derece verecekleri anlamına geliyor. Yani üçgenin tabanındaki açı 70 dereceye eşit olacaktır. İkizkenar olduğundan ikinci açının değeri aynıdır. Geriye üçüncü açıyı hesaplamak kalıyor. Tüm üçgenlerde ortak olan bir özelliğe göre açıların toplamı 180°'dir. Bu da üçüncünün 180° - 70° - 70° = 40° olarak tanımlanacağı anlamına gelir.

Cevap: Açılar 70°, 70°, 40°'dir.

5 numara. İkizkenar üçgende tabanın karşısındaki açının 90° olduğu bilinmektedir. Tabanda işaretlenmiş bir nokta var. Onu dik açıya bağlayan parça onu 1'e 4 oranında böler. Küçük üçgenin tüm açılarını bulmanız gerekir.

Çözüm. Açılardan biri hemen belirlenebilir. Üçgen dik açılı ve ikizkenar olduğundan tabanındakilerin her biri 45° yani 90°/2 olacaktır.

İkincisi, durumda bilinen ilişkiyi bulmanıza yardımcı olacaktır. 1'e 4'e eşit olduğundan bölündüğü kısımlar sadece 5'tir. Bu, bir üçgenin daha küçük açısını bulmak için 90°/5 = 18°'ye ihtiyacınız olduğu anlamına gelir. Üçüncüyü bulmaya devam ediyor. Bunu yapmak için 180°'den (üçgenin tüm açılarının toplamı) 45° ve 18°'yi çıkarmanız gerekir. Hesaplamalar basittir ve şunu elde edersiniz: 117°.

Öğrenciler matematik çalışırken farklı geometrik şekil türlerine aşina olmaya başlarlar. Bugün farklı üçgen türlerinden bahsedeceğiz.

Tanım

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan oluşan geometrik şekillere üçgen denir.

Noktaları birleştiren parçalara kenarlar, noktalara ise köşeler adı verilir. Köşeler büyük harflerle belirtilir, örneğin: A, B, C.

Kenarlar, oluştukları iki noktanın adlarıyla belirtilir - AB, BC, AC. Kesişen kenarlar açı oluşturur. Alt taraf şeklin tabanı olarak kabul edilir.

Pirinç. 1. ABC Üçgeni.

Üçgen türleri

Üçgenler açılara ve kenarlara göre sınıflandırılır. Her üçgen tipinin kendine has özellikleri vardır.

Köşelerde üç tür üçgen vardır:

dar açılı;
dikdörtgen;
geniş açılı.

Tüm açılar dar açılıüçgenler dar açılıdır, yani her birinin derece ölçüsü 90 0'dan fazla değildir.

Dikdörtgenüçgen bir dik açı içerir. Diğer iki açı her zaman dar açı olacaktır, aksi takdirde üçgenin açılarının toplamı 180 dereceyi aşacaktır ve bu imkansızdır. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer ikisine ise bacaklar denir. Hipotenüs her zaman bacaktan daha büyüktür.

Genişüçgen geniş bir açı içerir. Yani 90 dereceden büyük bir açıdır. Böyle bir üçgendeki diğer iki açı dar olacaktır.

Pirinç. 2. Köşelerdeki üçgen çeşitleri.

Pisagor üçgeni, kenarları 3, 4, 5 olan bir dikdörtgendir.

Ayrıca büyük olan taraf hipotenüstür.

Bu tür üçgenler genellikle geometrideki basit problemleri oluşturmak için kullanılır. Bu nedenle şunu unutmayın: Bir üçgenin iki tarafı 3'e eşitse, üçüncüsü kesinlikle 5 olacaktır. Bu, hesaplamaları basitleştirecektir.

Yanlardaki üçgen türleri:

eşkenar;
ikizkenar;
çok yönlü.

EşkenarÜçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Böyle bir üçgenin tüm açıları 60 0'a eşittir, yani her zaman dardır.

İkizkenarüçgen - yalnızca iki tarafı eşit olan bir üçgen. Bu taraflara yan, üçüncü tarafa ise taban denir. Ayrıca ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşit ve daima dardır.

Çok yönlü veya rastgele bir üçgen, tüm uzunlukların ve tüm açıların birbirine eşit olmadığı bir üçgendir.

Sorun şekille ilgili herhangi bir açıklama içermiyorsa, genel olarak keyfi bir üçgenden bahsettiğimiz kabul edilir.

Pirinç. 3. Yanlardaki üçgen çeşitleri.

Bir üçgenin türü ne olursa olsun tüm açılarının toplamı 1800'dür.

Büyük açının karşısında daha büyük kenar bulunur. Ayrıca herhangi bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Bu özellikler üçgen eşitsizliği teoremi ile doğrulanır.

Altın üçgen diye bir kavram var. Bu, iki tarafın tabanla orantılı ve belirli bir sayıya eşit olduğu bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir şekilde açılar 2:2:1 oranıyla orantılıdır.

Görev:

Kenarları 6 cm, 3 cm, 4 cm olan bir üçgen var mı?

Çözüm:

Bu görevi çözmek için eşitsizliği kullanmanız gerekir.

Ne öğrendik?

5. sınıf matematik dersindeki bu materyalden üçgenlerin kenarlarına ve açılarının boyutlarına göre sınıflandırıldığını öğrendik. Üçgenlerin problemleri çözmek için kullanılabilecek belirli özellikleri vardır.

Üçgenüç tarafı (veya üç açısı) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle küçük harflerle (a, b, c) gösterilir; bu harfler, zıt köşeleri (A, B, C) gösteren büyük harflere karşılık gelir.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise o zaman dar üçgen.

Bir üçgenin açılarından biri dik ise dik üçgen. Dik açıyı oluşturan kenarlara denir bacaklar. Dik açının karşısındaki kenara denir hipotenüs.

Bir üçgenin açılarından biri geniş ise geniş üçgen.

İkizkenar üçgen, eğer iki tarafı eşitse; bu eşit kenarlara yanal, üçüncü kenara ise üçgenin tabanı denir.

Eşkenar üçgen eğer bütün kenarları eşitse.

Üçgenlerin temel özellikleri

Herhangi bir üçgende:

1. Büyük tarafın karşısında daha büyük açı bulunur ve bunun tersi de geçerlidir.

2. Eşit açılar eşit kenarların karşısında yer alır ve bunun tersi de geçerlidir.
Özellikle eşkenar üçgenin tüm açıları eşittir.

3. Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir.
Son iki özellikten eşkenardaki her açının olduğu sonucu çıkar.
üçgen 60°'dir.

4. Üçgenin kenarlarından birine devam ederek dış tarafı elde ederiz.
köşe. Üçgenin dış açısı iç açılarının toplamına eşittir,
yanında değil.

5. Üçgenin herhangi bir kenarı diğer iki kenarın toplamından küçük ve büyüktür
onların farklılıkları.

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Üçgenler sırasıyla eşitse eştir:

A) iki taraf ve aralarındaki açı;
b) iki köşe ve onlara bitişik olan taraf;
c) üç taraf.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri.

Aşağıdaki koşullardan biri doğruysa iki dik üçgen eştir:

1) bacakları eşittir;
2) bir üçgenin kenarı ve hipotenüsü diğerinin kenarı ve hipotenüsüne eşittir;
3) bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı diğerinin hipotenüsüne ve dar açısına eşittir;
4) bir üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı diğerinin bacağına ve bitişik dar açısına eşittir;
5) Bir üçgenin bacağı ve karşı dar açısı diğerinin bacağına ve karşı dar açısına eşittir.

Üçgen yüksekliği herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa (veya onun devamına) dik bir düşüştür. Bu tarafa üçgenin tabanı denir. Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman adı verilen bir noktada kesişir. üçgenin diklik merkezi. Dar bir üçgenin diklik merkezi üçgenin içinde bulunur ve geniş bir üçgenin diklik merkezi dışarıdadır; Bir dik üçgenin diklik merkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.

Medyan Bir üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın ortasıyla birleştiren doğru parçasıdır. Bir üçgenin üç kenarortayı her zaman üçgenin içinde yer alan bir noktada kesişir ve bu nokta ağırlık merkezi. Bu nokta her medyanı tepe noktasından itibaren sayarak 2:1 oranında böler.

Bir ikizkenar üçgenin medyanının özelliği. Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen kenarortay açıortay ve yüksekliği verir.

Açıortay- bu, tepe noktasından karşı tarafla kesişme noktasına kadar olan açının açıortay segmentidir. Bir üçgenin üç açıortayı her zaman üçgenin içinde yer alan bir noktada kesişir ve yazılı dairenin merkezi. Açıortay, karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Ortanca dik bir doğru parçasının (kenar) orta noktasından çizilen bir diktir. Bir üçgenin birbirine dik üç kenarortayı bir noktada kesişir; bu çevrelenmiş dairenin merkezi. Dar bir üçgende bu nokta üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - dışarıda; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında. Diklik merkezi, ağırlık merkezi, çevre merkezi ve yazılı daire yalnızca bir eşkenar üçgende çakışır.

Üçgenin orta çizgisi iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği. Verilen iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve onun yarısına eşittir.

Pisagor teoremi. Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. c2 = a2 + b2 .

Pisagor teoreminin kanıtları görebilirsin Burada.

Sinüs teoremi. Üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır .

Kosinüs teoremi. Bir üçgenin herhangi bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına, bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsü olmadan eşittir. .

Sinüs teoreminin ve kosinüs teoreminin kanıtları görebilirsin Burada.

Bir üçgende açıların toplamı ile ilgili teorem.Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.

Üçgen Dış Açı Teoremi. Bir üçgenin bir dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Geometrik şekilleri düşünün ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan bir şekildir.

Noktalara denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Bir üçgenin temel özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse dar açılı üçgen olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, üçüncü şahıs - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşit çeşit üçgen, üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgendir (Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamlayın. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakın.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Görev için örnek resim

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Referanslar

Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri: Matematik. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
“Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
Sİ. Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.