Trigonometrik daire. Nihai Kılavuz (2019)

Sayı çemberi noktaları belirli reel sayılara karşılık gelen birim çemberdir.

Birim çember yarıçapı 1 olan bir çemberdir.

Sayı çemberinin genel görünümü.

1) Yarıçapı bir ölçü birimi olarak alınır.

2) Yatay ve dikey çaplar sayı çemberini dört parçaya böler. Bunlar sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrek olarak adlandırılır.

3) Yatay çap AC ile gösterilir; A en uç noktadır Sağ nokta.
Dikey çap BD olarak gösterilir ve B en yüksek noktadır.
Sırasıyla:

ilk çeyrek AB yayı

ikinci çeyrek - yay BC

üçüncü çeyrek - yay CD'si

dördüncü çeyrek - yay DA

4) Sayı çemberinin başlangıç ​​noktası A noktasıdır.

Sayı çemberi boyunca sayma saat yönünde veya saat yönünün tersine yapılabilir.

A noktasından itibaren sayma aykırı saat yönü denir olumlu yön.

A noktasından itibaren sayma İle saat yönünde çağrıldı negatif yön.

Koordinat düzlemindeki sayı çemberi.

Sayı çemberinin yarıçapının merkezi orijine (0 sayısı) karşılık gelir.

Yatay çap eksene karşılık gelir X, dikey eksen sen.

Başlangıç ​​noktası A sayı çemberitee eksendeXve koordinatları vardır (1; 0).

Sayı çemberindeki ana noktaların adları ve konumları:

Sayı çemberi adları nasıl hatırlanır?

Sayı çemberinin temel adlarını kolayca hatırlamanıza yardımcı olacak birkaç basit kalıp vardır.

Başlamadan önce şunu hatırlatalım: Sayma pozitif yönde yani A noktasından (2π) saat yönünün tersine yapılıyor.

1) Koordinat eksenleri üzerindeki uç noktalarla başlayalım.

Başlangıç ​​noktası 2π'dir (eksenin en sağdaki noktası) X, 1'e eşit).

Bildiğiniz gibi 2π dairenin çevresidir. Bu, yarım dairenin 1π veya π olduğu anlamına gelir. Eksen X daireyi tam olarak ikiye böler. Buna göre eksenin en sol noktası X-1'e eşit olana π denir.

Eksen üzerindeki en yüksek nokta en 1'e eşit, üst yarım daireyi ikiye böler. Bu, eğer bir yarım daire π ise yarım dairenin yarısı π/2 olur anlamına gelir.

Aynı zamanda π/2 de dairenin çeyreğidir. Birinciden üçüncüye kadar bu üç çeyreği sayalım - ve eksendeki en alt noktaya geleceğiz en, -1'e eşittir. Ancak dörtte üçü içeriyorsa adı 3π/2'dir.

2) Şimdi kalan noktalara geçelim. Lütfen unutmayın: tüm zıt noktalar aynı paydaya sahiptir ve bunlar eksene göre zıt noktalardır en, hem eksenlerin merkezine göre hem de eksene göre X. Bu, onları sıkıştırmadan puan değerlerini bilmemize yardımcı olacaktır.

Yalnızca ilk çeyreğin noktalarının anlamını hatırlamanız gerekir: π/6, π/4 ve π/3. Ve sonra bazı kalıpları “göreceğiz”:

- Eksene göre en ikinci çeyreğin noktalarında, birinci çeyreğin noktalarının tersi olarak paylardaki sayılar paydaların büyüklüğünden 1 eksiktir. Örneğin π/6 noktasını alın. Eksene göre karşısındaki nokta en paydasında 6, payında 5 (1 eksik) bulunur. Yani bu noktanın adı: 5π/6. π/4'ün karşısındaki noktanın da paydası 4, payı ise 3'tür (1 4'ten küçük) - yani 3π/4 noktasıdır.
π/3'ün karşısındaki noktanın paydasında 3, payında ise 1 eksiği vardır: 2π/3.

- Koordinat eksenlerinin merkezine göre her şey tam tersidir: Zıt noktaların paylarındaki sayılar (üçüncü çeyrekte) paydaların değerinden 1 büyüktür. Tekrar π/6 noktasını ele alalım. Merkeze göre karşısındaki noktanın paydasında da 6 bulunur ve payda sayı 1 daha fazladır - yani 7π/6'dır.
π/4 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 4 var, payda ise 1 sayı daha var: 5π/4.
π/3 noktasının karşısındaki noktanın da paydasında 3 var, payda ise 1 sayı daha var: 4π/3.

- Eksene göre X(dördüncü çeyrek) mesele daha karmaşıktır. Burada paydanın değerine 1 eksik bir sayı eklemeniz gerekir - bu toplam, karşı noktanın payının sayısal kısmına eşit olacaktır. Tekrar π/6 ile başlayalım. 6'ya eşit olan payda değerine bu sayıdan 1 eksik olan bir sayı yani 5 ekleyelim. Elde ederiz: 6 + 5 = 11. Bu, eksenin tersi olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 6 ve payında 11 olacaktır - yani 11π/6.

π/4 noktası. Paydanın değerine 1 eksiğini ekliyoruz: 4 + 3 = 7. Bu, eksene göre tam tersi olduğu anlamına gelir X noktanın paydasında 4 ve payında 7 vardır - yani 7π/4.
π/3 noktası. Payda 3'tür. 3'e daha küçük bir sayı ekleriz - yani 2. 5 elde ederiz. Bu, karşısındaki noktanın payda 5 olduğu anlamına gelir - ve bu 5π/3 noktasıdır.

3) Çeyreklerin orta noktalarının noktaları için başka bir model. Paydalarının 4 olduğu açıktır. Paylara dikkat edelim. İlk çeyreğin ortasının payı 1π'dir (ancak 1 yazmak alışılmış bir şey değildir). İkinci çeyreğin ortasının payı 3π'dir. Üçüncü çeyreğin ortasının payı 5π'dir. Dördüncü çeyreğin ortasının payı 7π'dir. Orta çeyreklerin paylarının artan sırada ilk dört tek sayıyı içerdiği ortaya çıktı:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Bu aynı zamanda çok basittir. Tüm çeyreklerin orta noktalarının paydası 4 olduğundan, tam adlarını zaten biliyoruz: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Sayı çemberinin özellikleri. Sayı doğrusuyla karşılaştırma.

Bildiğiniz gibi sayı doğrusunda her nokta tek bir sayıya karşılık gelir. Örneğin bir doğru üzerindeki A noktası 3'e eşitse artık başka hiçbir sayıya eşit olamaz.

Sayı çemberinde farklıdır çünkü bu bir çemberdir. Örneğin bir çemberin A noktasından M noktasına gelmek için bunu sanki düz bir çizgi üzerindeymiş gibi (sadece bir yay geçiyormuş gibi) yapabilirsiniz ya da tüm çemberin etrafından dolaşıp M noktasına gelebilirsiniz. Çözüm:

M noktası bir t sayısına eşit olsun. Bildiğimiz gibi dairenin çevresi 2π'dir. Bu, bir t çemberi üzerine bir noktayı iki şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir: t veya t + 2π. Bunlar eşdeğer değerlerdir.
Yani t = t + 2π. Tek fark, ilk durumda daire çizmeden hemen M noktasına geldiniz, ikinci durumda ise daire yaptınız ama aynı M noktasına ulaştınız. İki, üç veya iki yüz tane yapabilirsiniz. daireler. Daire sayısını harfle belirtirsek N sonra yeni bir ifade elde ederiz:
t = t + 2π N.

Dolayısıyla formül:

Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 1

KHMAO-Yugra

Ders geliştirme

10. sınıfta

cebir ve analiz ilkeleri üzerine

Nadejda Mihaylovna

matematik öğretmeni

Sovyet

Konu: TRİGONOMETRİ

Trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik denklemler

Trigonometrik dönüşümler

Sayı çemberi açık

koordinat düzlemi

Konu blok modüler teknoloji kullanılarak öğretilir.

Bu ders yeni materyal öğrenmeye yönelik derslerden biridir. Bu nedenle dersin ana zamanı yeni materyaller öğrenmeye ayrılmıştır ve öğrenciler bu işin çoğunu bağımsız olarak yaparlar.

Dersteki öğrenci aktivite türleri: ön, bağımsız ve bireysel çalışma.

Derste çok fazla çalışma yapılması ve öğrenci etkinliklerinin sonuçlarının takip edilmesi gerektiğinden bilgilerin güncellenmesi ve yeni materyallerin öğrenilmesi aşamalarında etkileşimli tahta kullanılmaktadır. Sayı çemberinin koordinat düzlemindeki yerleşiminin daha görsel bir temsili ve eğitim oturumu sonunda eğitim materyalinin içeriğinin yansıtılması için Power Point sunumları da kullanılır.

eğitici

Bağımsız olarak bilgi edinmeyi öğrenin

besleyici

Soğukkanlılığı, sorumluluğu ve çalışkanlığı geliştirin

gelişen

Analiz etmeyi, karşılaştırmayı ve analojiler oluşturmayı öğrenin

Ders planı:

1) Örgütsel an, konu, ders 2'nin amacı dk.

2) Bilginin güncellenmesi 4 dk..

3) Yeni materyal öğrenmek 30 dk..

4) Yansıma 3 dk.

5) Ders 1 Özeti dk.

Organizasyon anı

Sayı çemberi

koordinat düzlemi

koordinat düzlemindeki sayı dairesini düşünün; birlikte iki noktanın koordinatlarını bulun; daha sonra dairenin diğer ana noktalarının koordinat değerleri tablolarını bağımsız olarak derleyin;

Bir sayı çemberindeki noktaların koordinatlarını bulma yeteneğinizi test edin.

Bilgiyi güncelleme

9.sınıf geometri dersinde aşağıdaki konuları inceledik:

malzeme:

Birim yarım daire üzerinde (R = 1) koordinatları olan bir M noktası düşündük X Ve en

Geometri ders kitabından alıntılar

Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmayı öğrendikten sonra,

Kolayca diğer isimlerine geçelim: sinüs ve kosinüs, yani.

ana konuya dön - TRİGONOMETRİ

İlk görev interaktif beyaz tahtada verilir; burada öğrenciler noktaları ve bunlara karşılık gelen sayıları tahta üzerinde parmaklarıyla sürükleyerek sayı çemberi üzerindeki yerlere yerleştirmeleri gerekir.

Görev 1

Sonucu aldık:

İkinci görev interaktif tahtada verilir. Cevaplar bir “perde” ile kapatılıyor ve çözüldükçe ortaya çıkıyor.

Görev 2

Görevin sonucu:

Yeni materyal öğrenme

Bir koordinat sistemi alalım ve üzerine merkezleri çakışacak ve dairenin yatay yarıçapı OX ekseninin pozitif yönüne denk gelecek şekilde bir sayı çemberi koyalım (Power Point sunumu)

Sonuç olarak hem sayı çemberine hem de koordinat düzlemine ait noktalarımız var. Bu noktalardan birini ele alalım örneğin M noktası (Power Point sunumu)

M(T)

Bu noktanın koordinatlarını çizelim

Daha önce paydaları 4, 3, 6 ve payı π olan birim çember üzerinde ilgilendiğimiz noktaların koordinatlarını bulalım.

Birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen noktanın koordinatlarını ve buna göre açıyı bulun

Görev 3

(Power Point sunumu)

Noktanın yarıçapını ve koordinatlarını gösterelim

Pisagor teoremine göre elimizde X 2+ x 2 = 12

Ancak üçgenin açıları π/4 = 45° , Bu, üçgenin ikizkenar olduğu anlamına gelir ve x = y

Birim çember üzerindeki sayılara (açılara) karşılık gelen bir noktanın koordinatlarını bulun

Görev 4

(Power Point sunumu)

Araç en= 1/2

Pisagor teoremine göre

Üçgenlerin hipotenüsü eşittir

ve dar bir açı, yani bacakları eşit

Bir önceki derste öğrencilere sayı çemberlerinden oluşan boşluklar ve çeşitli tablolar içeren sayfalar verildi.

İlk tabloyu doldurun.

Görev 5

(etkileşimli beyaz tahta)

Öncelikle çemberin 2 ve 4'ün katı olan noktalarını tabloya giriniz.

Sonucun kontrol edilmesi:

(etkileşimli beyaz tahta)

Noktaların koordinatları için yukarıda elde edilen bölümlerin uzunluklarını kullanarak, noktanın hangi çeyrekte bulunduğuna bağlı olarak koordinat işaretlerini dikkate alarak bu noktaların koordinatlarını ve apsislerini tabloya kendiniz doldurun.

Görev 6

Öğrencilerden biri elde edilen sonuçları adlandırır, geri kalanı cevaplarını kontrol eder, ardından sonuçları başarıyla düzeltmek için (bu tablolar daha sonra çalışmada becerileri geliştirmek ve konuyla ilgili bilgiyi derinleştirmek için kullanılacağından), doğru şekilde doldurulmuş bir tablo gösterilir. interaktif tahtada.

Sonucun kontrol edilmesi:

(etkileşimli beyaz tahta)

İkinci tabloyu doldurun.

Görev 7

(etkileşimli beyaz tahta)

Öncelikle çemberin 3 ve 6'nın katı olan noktalarını tabloya giriniz.

Sonucun kontrol edilmesi:

(etkileşimli beyaz tahta)

Bu noktaların koordinatlarını ve apsislerini tabloya kendiniz girin

Görev 8

Sonucun kontrol edilmesi:

(etkileşimli beyaz tahta)

(Power Point sunumu)

Kısa bir matematiksel dikte ve ardından öz kontrolü gerçekleştirelim.

1) Birim çemberin noktalarının koordinatlarını bulun:

Seçenek 2

1 seçenek

2) Birim çemberin noktalarının apsisini bulun:

1) Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarını bulun

Seçenek 2

1 seçenek

2) Birim çember üzerindeki noktaların apsisini bulun

Kendinizi test edin

3) Birim çemberin noktalarının koordinatlarını bulun:

Kendiniz için tamamlanmış 4 örnek için “5” işaretleyebilirsiniz,

3 örnek için “4” ve 2 örnek için “3” işaretleyin

Dersi özetlemek

1) İleride noktaların ve açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini bulmak için tamamlanmış tablolardan ilk çeyreğe ait noktaların koordinat değerlerini öğrenmek gerekir çünkü ayrıca diğer tüm noktaların koordinat değerlerini ilk çeyreğin noktalarının değerleri aracılığıyla ifade etmeyi öğreneceğiz;

2) Test için teorik sorular hazırlayın.

Ev ödevi:

Ders Özeti

Not, derste en aktif çalışan öğrencilere verilir. Hatalar ders sırasında anında düzeltildiği için tüm öğrencilerin çalışmaları notlandırılmaz. Dikte öz-denetim amacıyla yapılmıştır; değerlendirme için yeterli ses yoktur.

Analitik geometri, geometrik problemlerin çözümü için tek tip teknikler sağlar. Bunun için verilen ve aranan tüm noktalar ve çizgiler tek bir koordinat sistemine atanır.

Bir koordinat sisteminde, her nokta kendi koordinatlarıyla ve her çizgi, grafiği bu çizginin olduğu iki bilinmeyenli bir denklemle karakterize edilebilir. Böylece geometrik problem, tüm hesaplama yöntemlerinin iyi geliştirildiği cebirsel bir probleme indirgenir.

Bir daire, belirli bir özelliğe sahip noktaların geometrik bir yeridir (daire üzerindeki her nokta, merkez adı verilen bir noktadan eşit uzaklıktadır). Bir dairenin denklemi bu özelliği yansıtmalı ve bu koşulu sağlamalıdır.

Bir daire denkleminin geometrik yorumu bir daire çizgisidir.

Bir koordinat sistemine bir daire yerleştirirseniz, daire üzerindeki tüm noktalar bir koşulu karşılar - onlardan dairenin merkezine olan mesafe aynı ve daireye eşit olmalıdır.

Merkezi bir noktada olan daire A ve yarıçap R koordinat düzlemine yerleştirin.

Merkez koordinatları ise (a;b) ve çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (x;y) , o zaman dairenin denklemi şu şekildedir:

Bir dairenin yarıçapının karesi, daire üzerindeki herhangi bir noktanın karşılık gelen koordinatları ile merkezi arasındaki farkların karelerinin toplamına eşitse, bu denklem, bir düzlem koordinat sistemindeki bir dairenin denklemidir.

Çemberin merkezi orijin ile çakışıyorsa, çemberin yarıçapının karesi, çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının karelerinin toplamına eşittir. Bu durumda dairenin denklemi şu şekli alır:

Çember denklemiyle ilgili problem çözme örnekleri

Görev. Belirli bir daire için bir denklem yazın

Çözüm.
Çember denkleminin formülüne dönelim:
R2 = (x-a)2 + (y-b)2

Değerleri formülde yerine koyalım.
Daire yarıçapı R = 4
Daire merkezinin koordinatları (duruma göre)
bir = 2
b = -3

Şunu elde ederiz:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
veya
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Görev. Bir nokta çember denklemine ait midir?

Çözüm.
Bir nokta bir daireye aitse, o zaman koordinatları dairenin denklemini karşılar.
Koordinatları verilen bir noktanın bir daireye ait olup olmadığını kontrol etmek için, noktanın koordinatlarını verilen dairenin denkleminde yerine koyarız.

Denklemde ( X - 2) 2 + (sen + 3) 2 = 16
Koşula göre A(2;3) noktasının koordinatlarını yerine koyalım, yani
x = 2
y=3

Ortaya çıkan eşitliğin doğruluğunu kontrol edelim
(X - 2) 2 + (sen + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 eşitlik yanlıştır

Yani verilen nokta ait değil bir dairenin denklemi verilmiştir.

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Koordinat düzlemindeki sayı çemberi

Tekrarlayalım: Birim çember, yarıçapı 1 olan bir sayı çemberidir. R=1 C=2 π + - y x

Sayı çemberinin M noktası t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman aynı zamanda t+2 π k formundaki bir sayıya da karşılık gelir; burada k herhangi bir tam sayıdır (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), burada k ϵ Z

Temel düzenler Birinci düzen 0 π y x İkinci düzen y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

M noktasının bu noktaya karşılık gelen koordinatlarını bulalım. 1) 2) x y MP 45° O A

İlk yerleşimin ana noktalarının koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Bu noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulalım. 1) 2) 30°

M P Noktaya karşılık gelen M noktasının koordinatlarını bulun. 1) 2) 30° x y O A B

Simetri özelliğini kullanarak y x'in katları olan noktaların koordinatlarını buluruz

İkinci düzenin ana noktalarının koordinatları x y x y y x

Örnek Sayı çemberindeki bir noktanın koordinatlarını bulun. Çözüm: P y x

Örnek Sayı çemberinde ordinatı olan noktaları bulun Çözüm: y x ​​​​x y x y

Alıştırmalar: Sayı çemberi üzerindeki noktaların koordinatlarını bulun: a) , b) . Sayı çemberi üzerinde apsisli noktaları bulun.

Ana noktaların koordinatları 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 İlk yerleşimin ana noktalarının koordinatları x y x y Ana yerleşimin koordinatları ikinci düzenin noktaları

Konuyla ilgili: metodolojik gelişmeler, sunumlar ve notlar

Cebir üzerine didaktik materyal ve 10. sınıfta analizin başlangıcı (profil seviyesi) "Koordinat düzleminde sayı çemberi"

Seçenek 1.1. Sayı çemberi üzerindeki noktayı bulun: A) -2∏/3B) 72. Sayı çemberinin hangi çeyreği 16.3 noktasını bulur?

Birim numarası çemberini koordinat düzlemine yerleştirirseniz noktalarının koordinatlarını bulabilirsiniz. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.

Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir

• çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
• orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinat düzleminde, birim çemberin yukarıdaki konumu ile çemberin bu noktalarına karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.

Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.

İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).

İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).

Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunu yapmak için bir dik üçgen oluşturun. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Daire birim olduğundan hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.

Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.

Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.

Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.

Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. 30°'lik bir açının karşısında uzanan bacağın hipotenüsün yarısına eşit olduğu bilinmektedir. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.

Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), y eksenine dik bir eksen çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)