Hessian matrisinin açısal küçükleri. Hessian fonksiyonları

Boyut: piksel

Sayfadan göstermeye başlayın:

Deşifre metni

1 Tanım. 0 noktasına, bu komşuluğun tümü için f f 0 olan 0 noktasının fonksiyon komşuluğunun yerel maksimum noktası denir. Tanım. 0 noktasına, fonksiyonun yerel minimum noktası denir, 0 noktasının komşuluğuna, bu komşuluğun tümü için f f 0 denir. f f, eğer varsa, eğer varsa Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine yerel maksimum denir. fonksiyonun minimum noktasındaki değeri bu fonksiyonun yerel minimumudur. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerine yerel ekstremum denir. "Yerel ekstremum" terimi, tanıtılan ekstremum kavramının, fonksiyonun tanım alanındaki belirli bir noktanın komşuluğuyla değil, bu alanın tamamıyla ilişkili olmasından kaynaklanmaktadır. Bir fonksiyonun birden fazla ekstrem noktası olabilir ve bir noktadaki minimum, diğer noktadaki maksimumdan büyük olabilir. Genellikle literatürde “ekstremum”, “maksimum”, “minimum” terimleri kesin bir yerel ekstremumu, kesin bir yerel maksimumu, kesin bir yerel minimumu belirtmek için kullanılır. Tanım. 0 noktasına, bu komşuluktaki herkes için f f 0. f, eğer Tanım mevcutsa, 0 noktasının komşuluğu gibi bir fonksiyonun tam yerel maksimum noktası denir. 0 noktasına, bu komşuluktaki herkes için f f 0 olacak şekilde 0 noktasının komşuluğu gibi bir fonksiyonun kesin yerel minimum noktası denir. Veya 0 noktasına, 0: 0 f f fonksiyonunun kesin yerel minimum noktası denir. 0 0 f eğer f varsa Tanım. Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük (en küçük) değerine global ekstremum denir. Küresel ekstrema yerel ekstremum noktalarında veya parçanın uçlarında ulaşılabilir. Bir fonksiyonun ikinci türevlerinden oluşan bir matrise Hessian matrisi denir: f f n d f T d d f f... n 1 n (Hessian matrisinin determinantını Hessian olarak adlandırmayı kabul edeceğiz; benzer şekilde: birinci türevlerden oluşan bir matris bir fonksiyonun matrisi Jacobian matrisi ve determinantı da Jacobian matrisi olarak adlandırılır. Literatür: 1) Malugin V.A. "Matematiksel analiz, ders dersi (iktisatçılar için matematik)", 005, s 105 (bir fonksiyonun ekstremum kavramı);) Malugin V.A. “Matematiksel analiz, problemler ve alıştırmalar (iktisatçılar için matematik)”, 006, s. 13 (küresel ekstremum; ekstremum için gerekli koşul, ekstremum için 1. ve 1. yeterli koşullar); 3) Yazılı D.T. "Yüksek matematik üzerine ders notları", 005, 0 (tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu); 4) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Örneklerde ve problemlerde doğrusal cebir", 005, 6. 1.

2 Sorunun çözümünün kısa sunumu. Teorem (ekstremum için yeterli koşul). Komşulukta 0, 0 durağan bir noktada bir f fonksiyonu olsun. 0, 0 noktasındaki A f, B f C f'nin değerlerini hesaplayalım. Bunun bazı sürekli kısmi türevleriyle gösterelim. ikinci sıra dahil. A B AC B B C, o zaman: 1) eğer 0 ise f fonksiyonu, minimum noktasında, eğer A 0 ;) ise 0 ise f fonksiyonu, 0 noktasında, 0, 0 durumunda ekstremum araştırma noktasındadır. 0 0'ın bir ekstremumu vardır: A 0 ise maksimum; hiçbir ekstremumu yoktur. belki, belki değil. Ek 1) Ekstrem değerler için z 50 0, 0, z z 0 fonksiyonunu inceleyin Durağan noktaları bulun: z 0 z Bulunan durağan nokta P 5 ;. Belirli bir noktada bir ekstremun varlığı için yeterli koşulların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim. 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 P5 noktasında; : P5 noktasında A 450 B1C; minimum çünkü A 0 0 Cevap: Fonksiyonun minimum z ; değeri vardır. Fonksiyonun bu noktadaki değeri z ;) z fonksiyonunun ekstremumunu bulun 1 z z z z 0 z 0'da çözümün R koordinatlarına sahip noktalar kümesi olduğuna dikkat edin (uzayda 0, O eksenine paralel bir düz çizgidir) . Dolayısıyla 0 olan noktalar arasında durağan nokta bulunmamaktadır. z 0 0'ı dikkate almadığımız noktalar hariç, şunu elde ederiz: P; P ; 4 1 3

4 İki sabit nokta bulundu P 1 01; ve P11; ; Bu noktalarda ekstremum varlığına ilişkin yeterli koşul 4'e uygunluklarını kontrol edelim. A z Bz 43 Cz 6 P 1 01 noktasında; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 0 olduğundan bu noktada ekstremum yoktur. P11 noktasında; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 0 olduğundan bu noktada fonksiyonun maksimumu z 1'dir; Yanıt: Fonksiyonun maksimum z 1 1 değeri vardır; Mathcad 14'te bir örnek yapalım: - bulunan maksimum değer kırmızı nokta ile işaretlenmiştir; siyah düz çizgilerden oluşan düz çizgi P 1 01 ; noktasında meydana gelir. 0 z 0 bordo renkte vurgulanmıştır; kavşak 4

5 3 3) z z z ekstremumunun fonksiyonunu araştırın Durağan noktaları bulun: z 0 z hiperbol ile kesişim noktasındaki daire dört nokta verecektir: Dört durağan nokta P1 bulunur; 1, P1;, P31;, P4; bu noktalarda bir ekstremumun varlığı için yeterli koşulların yerine getirilmesi. A z B z C z 61 6 P noktasında; 1 1: A 1 0 B 6 C 1 A B B C Kontrol edelim 5

6 A maksimum, çünkü 0 - P noktasında; P noktasında; 1: P noktasında A 60 B 1 C 6 A B B C; 1 ekstremum yoktur çünkü 0. P31 noktasında; : P3 1 noktasında A 6 0 B 1 C 6 A B B C; ekstremum yok çünkü 0. P41 noktasında; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - bir noktada; Minimum 0 1, çünkü 0 z Fonksiyonun bu noktadaki değeri; Fonksiyonun bu noktadaki değeri z; Cevap: Fonksiyonun minimum z'si 1'dir; 8 ve maksimum; z Literatür: 1) D.T. "Yüksek matematik üzerine ders notları", 005, sayfa (iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu). Hessian matrisini kullanarak problemi çözme. 4) İki değişkenli fonksiyonun ekstremumunu bulun, 3 z 3 61 z 0 z 0 koşulundan (ekstremun varlığı için gerekli bir koşul) durağan noktaları belirleyin 6

7 z z Noktaları P1 1 ; 1 ve P; sabit noktalar; Bir ekstremun varlığına ilişkin yeterli koşula uygunluk açısından bunları kontrol edelim. Bunu yapmak için, fonksiyonun ikinci türevlerinden Hessian matrisini oluşturuyoruz: z z H z z z 6 z H 6 1 z 1 Hessian matrisinin açısal küçüklerinin analizi yoluyla çözümün devamı Hessian matrisinin davranışını ele alalım. bulunan sabit noktalardaki matris. 6 6 P11; 1: HP1 6 1; açısal küçükler: M1 6 0, M M 0 olduğundan P 1 noktasında ekstremum yoktur. P ; açısal küçükler: M1 6 0, M 4; : HP M1 0 M 0 olduğundan P noktasında fonksiyonun yerel minimumu z vardır;

8 Teorem (bir ekstremum için yeterli koşullar). Bir noktada bir ekstremum için gerekli koşullar karşılanırsa ve mertebeden tüm kısmi türevleri sürekli ise, o zaman bu noktada bir ekstremumun varlığı, ikinci türevlerin matrisinin açısal küçüklerinin değerleri ile belirlenir ( Hessian matrisi): M1 0, M 0 - yerel minimum; M1 0, M 0 - yerel maksimum; M 0 - ekstremum yok. Eğer M1 0 veya M 0 incelenen noktada bir ekstremum olabilir veya olmayabilir, ek araştırma gereklidir. u u, z dikkate alınır Üç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremumunu incelerken, u u u z u u z uz uz u zz matrisi ve onun açısal küçükleri incelenir. Literatür: 1) Malugin V.A. "Doğrusal cebir. Problemler ve alıştırmalar", 006, s. 149 (fonksiyonun yerel ekstremumu);) D.T. "Yüksek matematik üzerine ders notları", 005, sayfa (iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu); 3) Pyatkova V.B., Ruzakov V.Ya., Turova O.E. "Matematik, 3. dönem", Ural Devlet Beşeri Bilimler Üniversitesi'nin (madencilik enstitüsü, Yekaterinburg) eğitim kılavuzu, 005, s. 3 (iki değişkenin ekstrema üzerindeki fonksiyonunu inceleme şeması). Hessian matrisinin özdeğerlerinin analizi ile çözümün devamı Her durağan noktada Hessian matrisinin özdeğerlerini bulalım. 6 6 P11; 1: HP Denklem 0'dan 1'i buluruz. 6 1 Hessian matrisinin özdeğerleri farklı işaretli olduğundan P 1 noktasında ekstremum yoktur. P Denkleminden; : HP buluruz 1, Hessian matrisinin tüm özdeğerleri pozitif olduğundan P noktasında yerel minimum z vardır; 4 3. Durağan noktaların her birinde Hessian matrisinin özdeğerlerini bulun Tüm özdeğerler * pozitifse: i 0, i 1,..., n, o zaman noktada yerel bir minimum vardır; Negatif: i 0, i 1,..., n, sonra negatif olmayan noktada: i 0, i 1,..., n, sonra pozitif olmayan noktada: i 0, i 1,.. ., n, ardından * noktasında yerel maksimum; * işlevler. *yerel bir minimum olabilir; *yerel bir maksimum olabilir; * işaretler farklı ise bu noktada ekstremum yoktur; sıfır: i 0, i 1,..., n, o zaman ek araştırma gereklidir. 8

9 Literatür: 1) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Örnekler ve problemlerde doğrusal cebir", 005, s. 530, s. 531 (örnek 9.8). 5) z fonksiyonunun uç noktalarını bulun İki değişkenli z fonksiyonunun durağan noktalarını z 0 z 0 koşulundan (ekstremun varlığı için gerekli bir koşul) z z üç durağan nokta bulunur P 1 00;, P0; 1 40, P3; bir ekstremun varlığı için yeterli koşula uygunluk; iki değişkenli z z fonksiyonunun yerel ekstremumunu incelerken, fonksiyonun d, d diferansiyellerine göre ikinci dereceden formu Hessian matrisidir z z z z ve her sabit P i noktasında dikkate alınır. Bu ikinci dereceden formun belirli olduğu ortaya çıkarsa, o zaman z z fonksiyonu, ekstremum: a) minimum, ikinci dereceden form pozitif tanımlı ise; b) İkinci dereceden form negatif tanımlı ise maksimum. İkinci dereceden formun belirsiz olduğu ortaya çıkarsa, P i'nin P i olduğu noktada bir matris derlenir ve ekstremum yoktur. İkinci dereceden formun negatif olmayan kesinliği veya pozitif olmayan kesinliği durumunda, ek araştırma gereklidir - bir ekstremum olabilir. 9

10 Hessian matrisi: H z z z z F F F F F F F (80 1 olduğuna dikkat edin). O halde H Sylvester kriterini kullanarak ikinci dereceden formun kesin işaretini oluşturalım. N değişkenli ikinci dereceden bir formun pozitif tanımlı olabilmesi için, A matrisinin tüm açısal küçüklerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir. N değişkenli ikinci dereceden bir formun negatif tanımlı olması için, ikinci dereceden formun A matrisinin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. İkinci dereceden bir formun belirsizliği (alternatif işaret) için, çift sıralı en az bir majör minörün negatif olması veya tek sıralı iki majör minörün farklı işaretlere sahip olması yeterlidir (ikinci dereceden bir formun belirsizliğinin yeterli bir işareti) . Sabit bir P 1 00 noktasında; : H P açısal küçükler: M1 410, 41 1 M 0110, ikinci dereceden form belirsiz işaretlidir, dolayısıyla P 1 noktasında bir ekstremum yoktur. Sabit bir P noktasında; HP: açısal küçükler: M1 410, 41 1 M 0110, ikinci dereceden form belirsiz işaretlidir, dolayısıyla P noktasında bir ekstremum yoktur. 10

11 Durağan bir P noktasında; HP: açısal küçükler: M1 410, M 0 0, ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır, dolayısıyla P3 noktasında fonksiyonun yerel minimum z'si vardır; ,Cevap: Fonksiyonun yerel bir minimumu vardır; z Mathematica 7'de bir fonksiyonun minimumunu bulalım (bunun için çıkık alanını belirtmeniz gerekecek): Referanslar: 1) Aksyonov A.P. "Matematik. Matematiksel analiz", bölüm, 005, s. 193 (örnekler 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Örnekler ve problemlerde doğrusal cebir", 005, s. 530, s. 531 (örnek 9.8); 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Doğrusal cebir ve analitik geometri çalıştayı", 007, sayfa) Malugin V.A. "Lineer Cebir. Dersin İçeriği", 006, s. 157, 164; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Yüksek matematik için pratik bir rehber. Tipik hesaplamalar", 008, s 301 (örnek 10.35). 6) Birinci ve ikinci dereceden türevleri kullanarak, sabit noktaları analiz ederek, F z 4 3 z z fonksiyonunu koşulsuz ekstremumların varlığı açısından inceleyin. Üç değişkenli F, z fonksiyonunun durağan noktalarını F 0 F 0 F 0 z (bir ekstremumun varlığı için gerekli bir koşul) F 8z F 6 Fz z 8z ​​​​z 0 z 0 koşulundan belirleyelim. P000; ; - sabit nokta; Bir ekstremun varlığı için yeterli koşula uygunluğunu kontrol edelim. 11

12 Üç değişkenli u u, z'nin yerel ekstremumunu incelerken, fonksiyonun d, d, dz diferansiyellerine göre ikinci dereceden formu - Hessian matrisi u u u z u u z uz u zz ve her durağan noktada dikkate alınır. bu ikinci dereceden formun tanımlandığı ortaya çıkıyor, o zaman z z, P i fonksiyonu. ekstremum: a) ikinci dereceden form pozitif tanımlı ise minimum; b) İkinci dereceden form negatif tanımlı ise maksimum. İkinci dereceden formun belirsiz olduğu ortaya çıkarsa, o zaman P noktasında bir matris derlenir. ben P'ye sahiptir ve ekstremum yoktur. İkinci dereceden formun negatif olmayan kesinliği veya pozitif olmayan kesinliği durumunda, ek araştırma gereklidir - bir ekstremum olabilir. Hessian matrisini yazalım: F F F z F F F H z F F F z z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z z F F (Dikkat edin, yani, 8 1 H F F z z 1, F z z 0). İkinci dereceden bir formun işaretinin analizi. Sylvester kriteri. Sylvester kriterini kullanarak ikinci dereceden formun kesin işaretini belirleyelim. 1

13 N değişkenli ikinci dereceden bir formun pozitif tanımlı olabilmesi için A matrisinin tüm açısal küçüklerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir. N değişkenli ikinci dereceden bir formun negatif tanımlı olması için, ikinci dereceden formun A matrisinin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. İkinci dereceden bir formun belirsizliği (alternatif işaret) için, çift sıralı en az bir majör minörün negatif olması veya tek sıralı iki majör minörün farklı işaretlere sahip olması yeterlidir (ikinci dereceden bir formun belirsizliğinin yeterli bir işareti) . Bir veya daha fazla açısal minörün sıfıra eşit olması ancak işaret kesinliğinin koşullarından birinin karşılanabilmesi durumunda, ikinci dereceden form, negatif olmayan belirli veya pozitif olmayan belirlidir (bu koşul, resmi tamamlamak için yazılmıştır; kanıt gerektirir). Bulunan sabit noktada: 8 1 P000 ; ; : HP 6 0; 1 0 açısal küçükler: M1 80, 8 M , M M1 0 M 0 M 3 0 olduğundan P noktasında fonksiyonun yerel minimumu F vardır; ; Hessian matrisinin özdeğerleri. Hessian matrisinin özdeğerlerini analiz ederek ikinci dereceden formun kesin işaretini oluşturalım. * Fonksiyonun durağan noktalarının her birinde Hessian matrisinin özdeğerlerini bulun. Tüm özdeğerler pozitifse: i 0, i 1,..., n, o zaman ikinci dereceden form pozitif tanımlıdır; negatif: i 0, i 1,..., n, o zaman ikinci dereceden form negatif tanımlıdır; negatif olmayan: i 0, i 1,..., n, bu durumda ikinci dereceden form negatif olmayan belirlidir; pozitif olmayan: i 0, i 1,..., n, bu durumda ikinci dereceden form pozitif olmayan belirlidir; farklı işaretler varsa ikinci dereceden form belirsizdir; sıfır: i 0, i 1,..., n, o zaman ikinci dereceden form negatif olmayan belirli veya pozitif olmayan belirlidir [, s. 530]. Bulunan durağan noktada Hessian matrisinin özdeğerlerini bulalım. 8 1 P000; ; : HP 6 0;

14 8 1 Denklemden Mathcad'de bir polinomun kökleri olarak 4, 855 9'u buluyoruz: veya Mathcad'de grafiksel olarak: Hessian matrisinin tüm özdeğerleri pozitif olduğundan, P noktasında bir minimum vardır. . İkinci diferansiyel fonksiyon. İkinci dereceden formun kesin işaretini doğrudan belirleyelim. Diferansiyellere göre ikinci dereceden form, fonksiyonun ikinci diferansiyelidir. İşaretinin belirli olduğu gerçeğini açıkça ortaya koymak için fonksiyonun ikinci diferansiyelinin ifadesini dönüştürelim. İkinci dereceden bir formun işaret belirleyiciliğini incelemeye yönelik bu yaklaşım, Sylvester kriteri veya ikinci dereceden bir formun matrisinin özdeğerlerinin analizi sonuç vermediğinde ek bir araştırma yöntemi olarak kullanılabilir. N değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşullar Eğer M,..., n, iki kez diferansiyellenebilir f,..., n 1 fonksiyonunun durağan bir noktasıysa ve bu noktanın bazı komşuluklarında ikinci diferansiyel n f d f M 0 ise M 0did j i, j1 i j aynı anda sıfıra eşit olmayan herhangi bir d i ve d j değeri için işaretini korursa, bu durumda M 0 noktasındaki fonksiyonun bir ekstremumu vardır: d f M0 0'da minimumda maksimum; d f M0 0 . 14

15 Ф fonksiyonunun ikinci diferansiyeli Ф Ф Ф d Ф, d d dd veya üç değişkenli bir fonksiyon durumunda Ф z, Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d dz dd ddz ddz z z z'ye eşittir. ikinci dereceden kısmi türevleri hesaplayın: F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z ve fonksiyonun P 000 noktasındaki ikinci diferansiyelini yazın; ; : d F d d dz F z F F F F F F d d dz d d d dz d dz z z z 8d 6d dz d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz Tam kareleri seçin; Gösterimin kısa olması için d'yi şu şekilde yeniden belirledik: 8 6 z 4 z z z z z z yani. P000 noktasında; ; : d F d dz d d d (d, d, dz aynı anda sıfıra eşit olmadığında) - dolayısıyla P000 noktası; ; minimum noktadır. 15

16 Literatür: 1) Aksyonov A.P. "Matematik. Matematiksel analiz", bölüm, 005, s. 193 (örnekler 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Örnekler ve problemlerde doğrusal cebir", 005, s. 530, s. 531 (örnek 9.8); 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Doğrusal cebir ve analitik geometri çalıştayı", 007, sayfa) Malugin V.A. "Lineer Cebir. Dersin İçeriği", 006, s. 157, 164; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Yüksek matematik için pratik bir rehber. Tipik hesaplamalar", 008, s 301 (örnek 10.35). Bu minimumun varlığını Mathematica 7: 16'da kontrol edelim.

Çok değişkenli fonksiyonlar (FNP). Yerel ekstremum. 1) Yerel bir ekstremum için z z e fonksiyonunu araştırın; a) x değişkenleri b) 3 değişken 3 3 3 u u z z 17 48 z. a) z e e e e 1 1 ze e Bul

DERSLER Ders 1 Bölüm I. OPTİMİZASYON TEORİSİ 1. OPTİMİZASYON SORUNUNUN GENEL FORMÜLASYONU VE TEMEL HÜKÜMLER Minimum fonksiyonları bulma probleminin formülasyonu şunları içerir: amaç fonksiyonu f (x), burada x = (x1,..., x

7 İKİNCİ FORMLAR 7 İKİNCİ DÖNEM FORMUN TANIMI Değişkenlerin ikinci dereceden formu, a katsayılarının (hepsi sıfıra eşit değildir) simetri koşullarını karşıladığı q a, 7 formunun bir ifadesidir.

Doğrusal olmayan optimizasyon problemi. Koltsov S.N. 2014 www.linis.ru Koşulsuz optimizasyon problemi Optimizasyon problemi şu şekilde formüle edilir: X seti (problemin kabul edilebilir seti) ve fonksiyon verilmiştir.

Matematiksel analiz Bölüm: Çeşitli değişkenlerin fonksiyonu Konu: FNP için Taylor formülü. FNP Öğretim Görevlisi Rozhkova S.V.'nin ekstreması 1 18. FNP için Taylor formülü Eğer y = mahallede kere türevlenebilirse

Ders 3 Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir u = f (x, x) fonksiyonu D alanında tanımlansın ve x (x, x) = noktası bu alana ait olsun. u = f ( fonksiyonu x, x) vardır

Ders 9 ÇOK DEĞİŞKENLİ BİR FONKSİYONUN EXTREMUMU Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı İkinci dereceden formlar hakkında bazı bilgiler 3 Bir ekstremum için yeterli koşullar Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum kavramı

Bölüm 1 Sonlu boyutlu problemler 1 Kısıtlamasız sonlu boyutlu düzgün problemler Bu bölüm, bir ve birkaç değişkenli fonksiyonların ekstremumları için gerekli ve yeterli koşulları verir. 1.1 Sorun bildirimi

Matematiksel analiz 2.5 Ders: Çeşitli değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değerleri VMMF Bölümü Doçenti Vladimir Feliksovich Zalmezh D R n tanım kümesinde tanımlanan w = f (x) fonksiyonunu düşünün. x 0 D noktasına denir

Uygulamalı ders 5 Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu 5 Bir ekstremum için tanım ve gerekli koşullar 5 İkinci dereceden formlar hakkında bazı bilgiler 53 Bir ekstremum için yeterli koşullar 5 Tanım ve gerekli

DERS Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Bir ekstremun varlığı için gerekli ve yeterli koşullar Fonksiyonun M, 0) noktasına minimum maksimum noktası denir

RYAZAN DEVLET RADYO TEKNİK ÜNİVERSİTESİ SV Bogatova, KV Bukhensky, IP Karasev, GS Lukyanova MATHCAD ORTAMINDA FONKSİYONLARIN ARAŞTIRILMASI VE GRAFİKLERİN OLUŞTURULMASI Çalıştay Ryazan Önsöz Genel

6 () HP = elde ederiz. Bu nedenle teoremi kullanarak ekstremumla ilgili soruyu cevaplamak imkansızdır. Bu durumda durağan nokta P()'dir; yerel mi- Δz > P O & P noktasıdır: z = z =. δ

1) 6 numaralı segmentte 1 1 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. Segmentteki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için şunları yapmanız gerekir: a) bu segmentte bulunan sabit noktaları bulun,

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kasikov,

DERS 16 KORUYUCU BİR SİSTEMDE DENGE KONUMUNUN KARARLILIĞINA İLİŞKİN SORUN 1. Korunumlu bir sistemin denge konumunun kararlılığı üzerine Lagrange teoremi n serbestlik derecesi olsun. q 1, q 2,

DERS N. Skaler alan. Yönlü türev. Gradyan. Teğet düzlem ve yüzeye normal. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değeri. Koşullu ekstremum. Türev

10 Fonksiyonların incelenmesi ve grafiklerin oluşturulması 10 FONKSİYONLARIN ÇALIŞMASI VE GRAFİKLERİN OLUŞTURULMASI 1 Artan ve azalan fonksiyon 1 x (1 1 TANIM y = f (x) fonksiyonuna artan (azalan olmayan) denir

) 3. dereceden bir matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini belirleyin 6 8 2 5 2 8 3 4 Matris ile doğrusal bir dönüşüm varsa, sıfır olmayan bir vektör p'ye kare matris A'nın özvektörü denir.

"MATEMATİK" DİSİPLİNİNDEKİ ÖĞRENCİLER İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR disiplininin çalışma müfredatına Ek 3. Pratik ders 1 Konu: “Kurulum. Yangın güvenliği ve teknoloji brifingleri

1) İkinci dereceden eğri x 4x y 0 denklemini kanonik forma getirin ve x y 0 düz çizgisiyle kesişme noktalarını bulun. Ortaya çıkan çözümün grafiksel bir gösterimini sağlayın. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

7. Çok değişkenli fonksiyonların ekstremumları 7.. Lokal ekstremumlar f(x,..., xn) fonksiyonunun bir D R n açık kümesi üzerinde tanımlı olmasına izin verin. MD noktasına yerel maksimum noktası denir (yerel

Koşullu ekstremum problemine Lagrange yöntemiyle bir çözümün varlığı için yeterli koşullar VV Kolybasova, NCh Krutitskaya VV Kolybasova, N Ch Krutitskaya Koşullu bir problemin çözümünün varlığı için yeterli koşullar

1 SA Lavrenchenko Ders 9 Ekstrem 1 Tanımlar ve örnekler Tanım 11 Tanım alanından herkes için Değer çağrılırsa, bir fonksiyonun bir noktada mutlak maksimuma sahip olduğunu (veya ulaştığını) söylerler.

Matematik (BkPl-100, BkK-100) M.P. Kharlamov 2009/2010 akademik yılı 2. yarıyıl Ders 5. Türev kullanarak fonksiyonların incelenmesi 1 1. Yüksek mertebeden türev kavramı Def. f(x) fonksiyonu verilsin

17. Koşullu ekstremum 17.1. Koşullu (göreceli de diyorlar) bir ekstremum bulma konusuna dönelim. Koşullu bir ekstremum bulma görevi, yerel maksimum ve minimumları aramaktır.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Federal Devlet Özerk Yüksek Öğrenim Eğitim Kurumu "GÜNEY FEDERAL ÜNİVERSİTESİ" AV Abanin, DA Polyakova YEREL

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Matematiksel analiz Uzaktan teknolojileri kullanarak öğrenim gören yüksek öğrenim öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül 4 Türev uygulamalar Derleyen: Doçent

Oryantasyon dersi için materyaller Soru 10. İkinci dereceden formlar. Atalet yasası. İkinci dereceden formların işaret kesinliği için koşullar. 1 İkinci dereceden bir formun Lagrange yöntemini kullanarak kanonik forma indirgenmesi. Gösterim.

Bölüm İki değişkenli bir fonksiyonun ekstrem değeri İki değişkenli bir fonksiyonun ekstrem değeri Birçok ekonomik problemi çözerken en büyük ve en küçük değerleri hesaplamak gerekir. Örnek olarak problemi düşünün.

6. Örtülü işlevler 6.1 Tanımlar, ön bilgiler Bir değişkenin diğerine (veya diğerlerine) bağımlılığı, aşağıdaki durumlarda açık gösterim adı verilen yöntem kullanılarak mutlaka ifade edilemez.

1 SA Lavrenchenko Ders 10 Türev kullanarak bir fonksiyonun incelenmesi 1 Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonun incelenmesi Aralık derken ya sonlu bir aralığı ya da aşağıdakilerden birini kastedeceğiz

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Yüksek Matematiğin Unsurları Uzaktan teknolojileri kullanarak öğrenim gören orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül Diferansiyel hesap Derleyen:

Lagrange çarpanları yöntemi Eşitlik biçimindeki kısıtlamalarla ilgili ekstrem bir problem düşünün: R: R R: R olduğu denklem sistemi tarafından tanımlanan kabul edilebilir değerler kümesinde) =) koşuluna tabi bir konu bulun

Ders 11. KOŞULLU EXTREMUM 1. Koşullu ekstremum kavramı.. Koşullu ekstremum bulma yöntemleri.. İki değişkenli bir fonksiyonun kapalı alanda en büyük ve en küçük değerleri. 1. Koşulluluk kavramı

TÜREV FONKSİYONUNUN UYGULANMASI Teğet denklemi Aşağıdaki problemi düşünün: Fonksiyonun grafiğine çizilen l noktasında türevin geometrik anlamına göre bir denklem oluşturmamız gerekiyor.

BÖLÜM 7 Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı 1 Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri ve toplam diferansiyeli Def711 M (, y), : O(M,) 1 = 1 ()= fonksiyonunu düşünün

Federal Eğitim Ajansı MOSKOVA DEVLET JEODESİ VE HARİTACILIK ÜNİVERSİTESİ (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova BÖLÜMÜN BAĞIMSIZ ÇALIŞMASI İÇİN ÖĞRENCİLER İÇİN EĞİTİM

UYGULANAN OPTİMİZASYON YÖNTEMLERİ V.V. Kornev V.V. Kurdyumov V.S. Rykhlov 2 İçindekiler Giriş 5 1 Doğrusal olmayan optimizasyon 9 1.1 Optimizasyon probleminin ifadesi. Temel kavramlar ve tanımlar.................

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Sibirya Devlet Endüstri Üniversitesi"

~ 1 ~ ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYON 3 İki değişkenli fonksiyon, tanım alanı, tanım yöntemleri ve geometrik anlamı. Tanım: zf, iki değişkenli bir fonksiyon olarak adlandırılır, eğer her değer çifti,

Ders Bir fonksiyonun incelenmesi ve grafiğinin oluşturulması Özet: Fonksiyonun monotonluk, ekstremum, dışbükeylik-içbükeylik, asimptotların varlığı açısından incelenmesi Bir fonksiyonun çalışmasına bir örnek verilmiştir, yapımı

1) Determinantın tüm ek küçüklerini bulun 1 9 11 0 0 0 56 18 2. n mertebesinde bir kare matris verilsin. Bir matrisin ek bir küçük a'sı, daha küçük M ij elemanının birim başına determinantıdır.

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kasikov,

1. Arttırma ve azaltma fonksiyonu. (ab,) aralığında türevlenebilir bir f fonksiyonunun bu aralıkta artması için koşulun sağlanması gerekli ve yeterlidir.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet yüksek mesleki eğitim özerk eğitim kurumu Ulusal

Giriş Matematiksel analizde ev testleri, öğrencilerin bağımsız çalışmalarının sürekli izlenmesinin ana biçimlerinden biridir. DCR'yi tamamlamak için gereken yaklaşık süre

Konu 8 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARIN DİFERANSİYEL HESABI Ders 8.1. Çok değişkenli fonksiyonlar. Kısmi Türev Plan 1. İki ve çok değişkenli fonksiyon kavramı Limit ve süreklilik.

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Taşımacılık Üniversitesi E E Popovsky P P Skachkov BİRÇOK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI Tipik hesaplama Ekaterinburg 1 Federal

TÜREVİN FONKSİYON ÇALIŞMALARINA UYGULANMASI Bir fonksiyonun davranışının monotonluk aralıklarının türevlerini kullanarak incelenmesi. Aşırılıkların Tanımı. f(x) fonksiyonunun arttığı (azaldığı) aralıklar

I) Vektör sistemleri tarafından oluşturulan U ve W doğrusal alt uzayları verildiğinde: a ; ; 3; a a b b 3; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; U alt uzaylarının tabanlarını bulun a) U W. W ve U W alt uzayının tabanı. Tümünün kümesi

Modül ve türev V.V. Silvestrov Bazı problemleri çözerken, bir veya daha fazla modül içeren bir fonksiyonun türevini bulmak gerekir. Bu tür görevler birleşik devlet sınavında da mümkündür.

EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI MOSKOVA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ "MAMI" "Yüksek Matematik" Bölümü MA Bodunov, SI Borodina, VV Pokazeev, BE Teush OI Tkachenko, DİFERANSİYEL HESABI

Fonksiyonların araştırılması ve grafiklerin oluşturulması.) f fonksiyonunu diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak araştırın ve grafiğini oluşturun. İşlev alanı: Dy R\. Genel fonksiyon: y y y Kritik

İÇİNDEKİLER Bölüm I. İŞLEVLERİN AŞIRI KOŞULLARI... 6 Bölüm. Optimizasyon probleminin genel formülasyonu ve ana hükümler... 6 Bölüm. Koşulsuz bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar... Ch. Gerekli

Diferansiyel hesap Temel kavramlar ve formüller Tanım 1 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, argümanın artması koşuluyla, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitidir.

BELARUS DEVLET ÜNİVERSİTESİ MEKANİK VE MATEMATİK FAKÜLTESİ Doğrusal Olmayan Analiz ve Analitik İktisat Bölümü V. I. BAKHTIN, I. A. IVANISHKO, A. V. LEBEDEV, O. I. PINDRIK ÇARPAN YÖNTEMİ

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi adını NE Bauman Dubogray IV Skudneva OV Levina A I Çeşitli değişkenlerin işlevleri sertifikasyona hazırlanmaya yönelik yönergeler Moskova Yayınevi

Bölüm DEĞİŞİKLİKLER HESABI Ders 9 Giriş Bu bölümde fonksiyonellerin ekstremumlarını (maksimum veya minimumlarını) bulma problemlerini ele alacağız. Bu tür problemlerin arasında yer aldığını hemen fark ediyoruz.

2 Eşitliklerle ilgili sonlu boyutlu düzgün problemler Bu bölümde, eşitlik tipi kısıtlara sahip sonlu boyutlu düzgün bir problemde bir ekstremum için gerekli ve yeterli koşullar verilmektedir. 2.1 Sorunun açıklaması Let

St. Petersburg Devlet Üniversitesi Matematiksel Analiz Bölümü Matematiksel analizde pratik derslerin yürütülmesi için METODOLOJİK TALİMATLAR Bölüm Bir fonksiyonun yerel ekstremumu ile ilgili problem

Sınav Konusuna Hazırlanacak Sorular. Lineer cebir 1. Determinant nedir? Hangi dönüşümler altında determinantın değeri değişmez? 2. Hangi durumlarda determinant sıfıra eşittir? Bundan sonra ne olacak

UYGULAMALI DERS 11 İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Bir fonksiyonun maksimum veya minimumuna ekstremumu denir. Fonksiyonun ekstremum olduğu M 0 noktasına ekstremum noktası denir.

Ders 1 6 Sabit uçlu bir problemde bir ekstremum için yeterli koşullar Sabit uçlu probleme dönelim: = A, = B şartıyla fonksiyonel (,) V = F x x'in minimumunu bulun Gerekli

BİRÇOK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI Bir bağımsız değişkenin fonksiyonları doğada var olan tüm bağımlılıkları kapsamaz. Bu nedenle, iyi bilinen fonksiyonel bağımlılık kavramını genişletmek ve tanıtmak doğaldır.

İşlev girme kuralları:

İki kez sürekli türevlenebilen bir f(x) fonksiyonu ancak ve ancak şu şartla dışbükeydir (içbükeydir) Hessian matrisi x'e göre f(x) fonksiyonu tüm x için pozitif (negatif) yarı tanımlıdır (birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarına bakınız).

İşlev açısından kritik noktalar:

• Hessian pozitif tanımlı ise, o zaman x 0 f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasıdır,
• Hessian negatif tanımlıysa, o zaman x 0 f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktasıdır,
• Hessian işaret-kesin değilse (hem pozitif hem de negatif değerler alır) ve dejenere değilse (det G(f) ≠ 0), bu durumda x 0, f(x) fonksiyonunun eyer noktasıdır.

Bir matrisin kesinliği için kriterler (Sylvester teoremi)

• matrisin tüm köşegen elemanları pozitif olmalıdır;
• tüm önde gelen ana niteleyiciler pozitif olmalıdır.

Pozitif yarı kesinlik:

• tüm diyagonal öğeler negatif değildir;
• tüm ana belirleyiciler negatif değildir.

Elemanları ikinci dereceden amaç fonksiyonunun kısmi türevleri olan n dereceli bir kare simetrik matris, Hessian matrisi denir ve belirlenmiştir:

Simetrik bir matrisin pozitif tanımlı olabilmesi için tüm köşegen minörlerinin pozitif olması gerekli ve yeterlidir;


A = (a ij) matrisi için pozitiftir.

Negatif kesinlik.
Simetrik bir matrisin negatif tanımlı olabilmesi için aşağıdaki eşitsizliklerin gerçekleşmesi gerekli ve yeterlidir:
(-1) k Dk > 0, k=1,.., n.
Başka bir deyişle, ikinci dereceden formun olabilmesi için negatif tanımlı, ikinci dereceden formdaki bir matrisin açısal küçüklerinin işaretlerinin eksi işaretinden başlayarak değişmesi gerekli ve yeterlidir. Örneğin iki değişken için D 1< 0, D 2 > 0.

Eğer Hessian yarı-kesin ise bu da bir dönüm noktası olabilir. Aşağıdaki seçeneklerden biri kullanılarak gerçekleştirilebilecek ek araştırmaya ihtiyaç vardır:

1. Azalan sipariş. Değişken değişikliği yapılır. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyon için bu y=x'tir, sonuç olarak tek değişkenli bir x fonksiyonu elde ederiz. Daha sonra fonksiyonun davranışını y=x ve y=-x doğruları üzerinde inceliyoruz. İlk durumda, incelenen noktadaki fonksiyonun bir minimumu varsa ve diğer durumda bir maksimumu varsa (veya tam tersi), o zaman incelenen nokta bir eyer noktasıdır.
2. Hessian'ın özdeğerlerini bulma. Tüm değerler pozitifse, incelenen noktadaki fonksiyonun bir minimumu vardır; tüm değerler negatifse bir maksimum vardır.
3. f(x) fonksiyonunun ε noktası civarında incelenmesi. x değişkenleri x 0 +ε ile değiştirilir. Daha sonra, bir ε değişkenine ait f(x 0 +ε) fonksiyonunun ya sıfırdan büyük (o zaman x 0 minimum noktadır) ya da sıfırdan küçük (o zaman x 0 maksimum noktadır) olduğunu kanıtlamak gerekir.

Not. Bulmak için ters Hessian ters matrisi bulmak yeterlidir.

Örnek No.1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi dışbükey veya içbükeydir: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Çözüm. 1. Kısmi türevleri bulalım.


2. Denklem sistemini çözelim.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x1 -6x2 +6 = 0
Şunu elde ederiz:
a) Birinci denklemden x 1'i ifade edip ikinci denklemde yerine koyarız:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Burada x2 = 4
Bu değerleri x 2'yi x 1 ifadesine yerleştiriyoruz. Şunu elde ederiz: x 1 = 9/2
Kritik nokta sayısı 1'dir.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. İkinci dereceden kısmi türevleri bulalım.



4. Bu ikinci dereceden kısmi türevlerin değerini M(x 0 ;y 0) kritik noktalarında hesaplayalım.
M 1 noktasının değerlerini hesaplıyoruz (9 / 2 ;4)



Hessian matrisini oluşturuyoruz:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Köşegen küçüklerin işaretleri farklı olduğundan fonksiyonun dışbükeyliği veya içbükeyliği hakkında bir şey söylenemez.

İkinci türevlerin küçük değerlerine sahip parametreler sıfırlanır. Duyarlılık analizi hesaplama açısından karmaşıktır ve çok fazla ek bellek gerektirir.  

(1.4) ve (1.6) bağıntıları, fonksiyonumuz için Hessian matrisinin ana küçüklerinin işaretlerini belirler ve dolayısıyla karşılık gelen ikinci dereceden formun (1.3) pozitif olmayan kesinliği için yeterli bir koşuldur. Bu nedenle, iki kaynaklı doğrusal homojen fonksiyonların içbükeyliği için (1.4) koşulu yeterlidir.  

I matrisine, daha önce de belirtildiği gibi, Hessian matrisi (veya Hessian) adı verilir.  

Daha tutarlı bir yaklaşımla, artık fonksiyonun ikinci dereceden türevleri hakkındaki bilgiler, öğrenme sürecini iyileştirmek için kullanılabilir. İlgili optimizasyon yöntemlerine ikinci dereceden denir. Tüm bu bilgiler Nw x Nw boyutlarına sahip olan Hessian matrisi H'de toplanır; burada Nw ağırlık sayısıdır. Bu matris, ağırlık uzayında farklı yönlerdeki küçük yer değiştirmelerle eğimin nasıl değiştiği hakkında bilgi içerir. Doğrudan matris hesaplaması çok zaman gerektirir, bu nedenle matris hesaplamasını ve depolamasını önlemek için yöntemler geliştirilmiştir (eşlenik gradyan iniş, ölçekli eşlenik gradyan yöntemi (bkz.), RBa kProp (bkz.), yarı-Newton yöntemi, Levenberg-Marquard yöntemi).  

İlk denklem (4.17), firmanın ürünlerinin fiyatı arttığında çıktının nasıl değişeceğini gösterir. Hess matrisi H negatif tanımlı olduğundan, H"1 matrisi de negatif tanımlıdır, dolayısıyla  

Birkaç değişkenin iki kez türevlenebilir bir fonksiyonu için ikinci türevler matrisinin (Hessian matrisi) simetrisine bağlı olarak Q fonksiyonunun varlığı gerçeğinden, tahminlerin duyarlılığını kaynak rezervlerindeki değişikliklere bağlayan eşitliklerin ortaya çıktığına dikkat edin.  

Ayrıca bu fonksiyonun C'ye göre ikinci türevlerinin Hessian matrisi C = 0'da negatif tanımlı olmalıdır.  

/(C) fonksiyonunun monoton dönüşümü sırasında Hessian matrisindeki değişimi ele alalım. Önce bu noktada degradenin bileşenlerini yazalım.  

FQ() fonksiyonunun dışbükey olması için T = Tij matrisinin negatif tanımlı olması yeterlidir. (9.108)'deki ilk terimler orijinal problemin Hessian matrisinin 7j elemanlarından negatif olmayan bir faktörle farklılık gösterir, çünkü FQ fonksiyonu monoton olarak artmaktadır. Bu ifadelerdeki ikinci terimler sıfıra eşitse, orijinal problemin içbükey ulaşılabilirlik fonksiyonu içbükeyliğe ve FQ()'ya karşılık gelecektir.  

Böylece, dönüştürülmüş problemin ulaşılabilirlik fonksiyonu için Hessian matrisi toplamdır.  

Bunlardan ilki, A vektörünün bileşenleri için n denklemi temsil eder ve ikincisi, R fonksiyonunun Hessian matrisine göre Sylvester kriteri kullanılarak kontrol edilen ikinci dereceden formun negatif kesinlik koşuludur.  

Burada ve aşağıda, Rf0 ve Ri, karşılık gelen değişkenlere göre R'nin kısmi türevlerini belirtir. Negatif kesinlik koşulları, R fonksiyonunun elemanlarla birlikte Hessian matrisi tarafından karşılanmalıdır (bkz. (9.125))  

İkinci bölüm kitabın teorik temelini oluşturmaktadır. Tamamen diferansiyeller teorisinin ve diferansiyeller dilinde formüle edilmiş analizin temellerinin titiz bir sunumuna ayrılmıştır. Birinci ve ikinci diferansiyel kavramları tanıtılmış ve Jacobi ve Hessian matrisleri için bir tanımlama kuralı verilmiştir. Bölüm, diferansiyeller cinsinden sunulan, kısıtlamaların varlığında optimizasyon teorisine ayrılmış bir paragrafla sona ermektedir.  

Eşitsizlikler hakkındaki dördüncü bölüm, ekonometristlerin Cauchy-Bunyakovsky (Schwartz) eşitsizliği, Minkowski eşitsizliği ve bunların genellemeleri gibi eşitsizlikler ve Poincaré'nin ayrılabilirlik teoremi gibi güçlü sonuçlar konusunda rahat olmaları gerektiğine olan inancımızdan doğdu. Bu bölüm aynı zamanda bir dereceye kadar hayal kırıklığımızın da hikayesidir. Bu kitabı yazmaya başladığımızda iddialı bir fikrimiz vardı: tüm eşitsizlikleri matris diferansiyel hesabı kullanarak elde etmek. Sonuçta her eşitsizlik bazı optimizasyon problemlerinin çözümü olarak temsil edilebilir. Bununla birlikte, Hessian matrisinin çoğu durumda uç noktada tekil olduğu ortaya çıktığı için bu fikrin bir yanılsama olduğu ortaya çıktı.  

Gösterim. Bu kitapta, vektörlerin düz (koyu değil) italik harflerle gösterilmesi dışında çoğunlukla standart gösterim kullanıyoruz. D türevini (matris) ve Hessian matrisi H'yi belirtmek için özel semboller kullanılır. Türev operatörü d olarak gösterilir. Metinde kullanılan tüm sembollerin tam listesi kitabın sonundaki Gösterim Dizini'nde bulunmaktadır.  

Bu bölümde ikinci türev, iki kez diferansiyellenebilirlik ve ikinci diferansiyel kavramları ele alınmaktadır. İki kere türevlenebilirlik ile ikinci dereceden yaklaşım arasındaki bağlantıya özellikle dikkat edilir. Hessian matrisini (vektör fonksiyonları için) tanımlıyoruz ve onun (sütun) simetrisinin koşullarını buluyoruz. Ayrıca Hessian matrisleri için zincir kuralını ve bunun ikinci diferansiyeller için analoğunu elde ettik. Taylor teoremi gerçek fonksiyonlar için kanıtlanmıştır. Son olarak yüksek mertebeden diferansiyeller kısaca tartışılmış ve vektör fonksiyonlarının analizinin matris fonksiyonlarına nasıl genişletilebileceği gösterilmiştir.  

Daha önce tüm birinci dereceden kısmi türevleri içeren bir matris tanımlamıştık. Bu Jacobian matrisiydi. Şimdi tüm ikinci dereceden kısmi türevleri içeren bir matris (Hessian matrisi olarak adlandırılır) tanımlayalım. Bu matrisi önce reel, sonra vektör fonksiyonları için tanımlayalım.  

Let / S -> Rm, S Rn ile

Matris G(X) boyut( N X N) tüm özdeğerleri m 1 , m 2 ,…, m ise pozitif tanımlı kabul edilir N pozitiftir, yani M J> Herkes için 0 J = 1, 2,…, N.

Matris G(X) özdeğerlerin negatif olması durumunda negatif tanımlı kabul edilir, yani. M J< 0 для всех J = 1, 2,…, N.

Özdeğerler arasında ise G Hem pozitif hem de negatif olanlar ortaya çıkarsa, matris işaret dönüşümlüdür ve incelenen fonksiyon dışbükey değildir.

Özdeğerleri belirlemek için karakteristik denklemi çözmek gerekir:

Nerede BEN– kare kimlik matrisi; det determinantın işaretidir.

Matris, Hessian matrisinden, formun terimlerinin köşegen boyunca yerleştirilmesi bakımından farklılık gösterir.

Yani iki boyutlu bir fonksiyon için F(X 1 , X 2) karakteristik denklem şu şekilde olacaktır:

(4.10)

Özdeğerler m 1 ve m 2 sıradan ikinci dereceden denklem m'nin kökleridir 2+b M + c= 0, determinantın genişletilmesinden sonra oluşur.

Örneğin iki değişkenli fonksiyonları ele alalım:

F(X)= 2 – 2X 1 –2X 2 +X 1 2 +X 2 2 – X 1 X 2

Ekstrem nokta koordinatları X*denklem sisteminin çözülmesiyle belirlenir

Ve eşit X 1 * = 2, X 2 * = 2

Hessian . Karakteristik denklemi çözdükten sonra yani İkinci dereceden denklem (2 – m) 2 – 1 = 0, özdeğerler m 1 = 3, m 2 = 1 elde edilir, yani. matris G pozitif tanımlıdır. Bu nedenle fonksiyon F(X) dışbükeydir ve en uç noktadadır X* = (2,2) minimum değeri alır F(X*) = –2.

İkinci dereceden bir ekstremum için yeterli ve gerekli koşulları kontrol etmenin her iki yöntemi de Tablo 4.2'de verilmiştir.

Örnek 4.4. Bir kümedeki bir fonksiyonun ekstremumunu bulun e 2 .

Çözüm. 1. Birinci dereceden bir ekstremum için gerekli koşulları yazalım:

;

X* = (0,0).

2. Ekstremum için yeterli şartların sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

İlk yol: Hessian matrisi şu şekle sahiptir: .M 1 = 2 > 0 olduğundan, , o zaman bu noktada X* yerel minimum (Tablo 4.2'deki 1. satır).

İkinci yol:(4.10)'u kullanarak Hessian matrisinin özdeğerlerini bulalım:

Buradan . Tüm özdeğerler pozitif olduğundan, o noktada X* yerel minimum (Tablo 4.2'deki 1. satır). Örnek 3.3'ten fonksiyonun kümede tam dışbükey olduğu sonucu çıkıyor e 2. Bu nedenle, yerel minimum nokta aynı zamanda global minimum noktadır (paragraf 3, açıklama 3.1'e göre).

3. Fonksiyonun değerini global minimum noktasında hesaplayın: F(X*) = 0.

Örnek 4.5. Fonksiyonun E 2 kümesindeki ekstremumunu bulun.

Çözüm. 1. Birinci dereceden gerekli koşulları yazalım:

; .

Sistemin çözülmesi sonucunda sabit bir nokta elde ederiz. X* = (0,0).

2. İkinci mertebenin ekstrem ve gerekli şartları için yeterli şartların yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.

İlk yol: Hessian matrisi şu şekle sahiptir: . M 1 = 2 > 0 olduğundan, ise, ekstremum için yeterli koşullar karşılanmaz (Tablo 4.2'deki 1. ve 2. satırlar). Gerekli ikinci dereceden şartların yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.

Birinci dereceden reşit olmayanlar ( M= 1) M 2'den silinmesi sonucu elde edilir n-m=2 – 1 = 1 satır ve sütun, aynı sayılarla: – 2, 2. İkinci dereceden majör minör ( m = 2) silme sonucu M2'den elde edildi n – m= 0 satır ve sütun, yani M 2: -4 ile çakışır. Buradan ikinci dereceden bir ekstremum için gerekli koşulların sağlanmadığı sonucu çıkmaktadır (Tablo 4.2'deki 3. ve 4. satırlar). Hessian matrisi sıfır olmadığı için şu noktada sonuca varabiliriz: X*ekstremum yok (Tablo 2.1'deki 6. satır).

Tablo 4.2

Koşulsuz bir ekstremumu arama probleminde ikinci dereceden yeterli ve gerekli koşulları kontrol etmek için bir kriter

Bir fonksiyonun davranışını ikinci dereceden açıklama.

İşlev için texvc , noktada iki kez türevlenebilir İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​x\in \R^n

Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​a_(ij)=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j(veya İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​a_(ij)=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline(z)_j) ve işlevi İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​f olarak ayarlamak İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​n boyutlu gerçek uzay İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\mathbb(R)^n(veya karmaşık uzay İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): ​​\mathbb(C)^n) koordinatlarla İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​x_1,\ldots,x_n(veya İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​z_1,\ldots,z_n). Her iki durumda da Hessian, değişkenlerin doğrusal dönüşümleri altında değişmeyen, teğet uzayda tanımlanan ikinci dereceden bir formdur. Hessian aynı zamanda sıklıkla bir matrisin determinantı olarak da adlandırılır İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): ​​(a_(ij))), aşağıya bakın.

Hessian matrisi

Bu ikinci dereceden formun matrisi, fonksiyonun ikinci kısmi türevleri tarafından oluşturulur. Tüm türevler mevcutsa, o zaman

Hessian matrisleri Newton yöntemiyle optimizasyon problemlerinde kullanılmaktadır. Hessian matrisinin tam olarak hesaplanması zor olabilir, bu nedenle Hessian matrisi için yaklaşık ifadelere dayalı olarak yarı-Newton algoritmaları geliştirilmiştir. Bunlardan en ünlüsü Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno algoritmasıdır.

Hessian matrisinin simetrisi

Karışık türevler işlevler F- bunlar Hessian matrisinin ana köşegende olmayan elemanlarıdır. Süreklilerse farklılaşma sırası önemli değildir:

Bu aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:

Bu durumda Hessian matrisi simetriktir.

Bir fonksiyonun kritik noktaları

Hikaye

Ayrıca bakınız

• Sylvester kriteri - bir kare matrisin pozitif/negatif kesinliği için kriter

"Hessian fonksiyonları" makalesi hakkında yorum yazın

Notlar

Bağlantılar

• Kamynin L.I. Matematiksel analiz. T.1, 2. - 2001.
• Kudryavtsev L.D. “Matematiksel analizde kısa kurs. T.2. Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel ve integral hesabı. Harmonik analiz", FIZMATLIT, 2002, - 424 s. - ISBN 5-9221-0185-4. Veya başka bir yayın.
• Golubitsky M., Guillemin V. Kararlı haritalamalar ve özellikleri, - M.: Mir, 1977.

Hessian fonksiyonlarını karakterize eden bir alıntı