İkili ondalık sayıların çarpılması. Kesir

Matematiksel-Hesap Makinesi-Çevrimiçi v.1.0

Hesap makinesi şu işlemleri gerçekleştirir: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, ondalık sayılarla çalışma, kök çıkarma, üs alma, yüzde hesaplama ve diğer işlemler.

Çözüm:

Matematik hesap makinesi nasıl kullanılır?

Anahtar	Tanım	Açıklama
5	0-9 arası sayılar	Arap rakamları. Doğal tam sayıların girilmesi, sıfır. Negatif bir tam sayı elde etmek için +/- tuşuna basmalısınız
.	nokta (virgül)	Ondalık kesri belirtmek için ayırıcı. Noktadan (virgül) önce bir sayı yoksa, hesap makinesi noktadan öncesine otomatik olarak sıfır koyacaktır. Örneğin: .5 - 0.5 yazılacak
+	artı işareti	Sayıları toplama (tamsayılar, ondalık sayılar)
-	eksi işareti	Sayılardan çıkarma (tamsayılar, ondalık sayılar)
÷	bölme işareti	Sayıları bölme (tamsayılar, ondalık sayılar)
X	çarpma işareti	Sayıları çarpma (tamsayılar, ondalık sayılar)
√	kök	Bir sayının kökünün çıkarılması. Tekrar “kök” tuşuna bastığınızda sonucun kökü hesaplanır. Örneğin: 16'nın kökü = 4; 4'ün kökü = 2
x 2	kare alma	Bir sayının karesi. Tekrar "kare alma" butonuna bastığınızda sonuç karelenir. Örneğin: 2'nin karesi = 4; 4'ün karesi = 16
1/x	kesir	Ondalık kesirlerde çıktı. Pay 1, payda girilen sayıdır
%	yüzde	Bir sayının yüzdesini alma. Çalışmak için şunları girmeniz gerekir: Yüzdenin hesaplanacağı sayı, işaret (artı, eksi, bölme, çarpma), sayısal biçimde yüzde kaç, "%" düğmesi
(	parantez aç	Hesaplama önceliğini belirtmek için açık bir parantez. Kapalı bir parantez gereklidir. Örnek: (2+3)*2=10
)	kapalı parantez	Hesaplama önceliğini belirtmek için kapalı bir parantez. Açık bir parantez gereklidir
±	artı eksi	Ters işaret
=	eşittir	Çözümün sonucunu görüntüler. Ayrıca hesap makinesinin üzerindeki “Çözüm” alanında ara hesaplamalar ve sonuç görüntülenir.
←	karakter silme	Son karakteri kaldırır
İLE	sıfırlama	Sıfırla düğmesi. Hesap makinesini tamamen "0" konumuna sıfırlar

Örnekler kullanarak çevrimiçi hesap makinesinin algoritması

Ek.

Doğal tam sayıların toplanması (5 + 7 = 12)

Tamsayı doğal ve negatif sayıların toplamı ( 5 + (-2) = 3 )

Ondalık kesirleri toplama (0,3 + 5,2 = 5,5)

Çıkarma.

Doğal tam sayılarda çıkarma ( 7 - 5 = 2 )

Doğal ve negatif tam sayıların çıkarılması ( 5 - (-2) = 7 )

Ondalık Kesirlerde Çıkarma ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Çarpma.

Doğal tam sayıların çarpımı (3 * 7 = 21)

Doğal ve negatif tam sayıların çarpımı ( 5 * (-3) = -15 )

Ondalık kesirlerin çarpımı ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Bölüm.

Doğal tam sayıların bölümü (27/3 = 9)

Doğal ve negatif tam sayıların bölümü (15 / (-3) = -5)

Ondalık kesirlerin bölünmesi (6,2 / 2 = 3,1)

Bir sayının kökünün çıkarılması.

Bir tam sayının kökünü çıkarma ( kök(9) = 3)

Ondalık kesirlerin kökünün çıkarılması (kök(2,5) = 1,58)

Bir sayı toplamının kökünü çıkarma (kök(56 + 25) = 9)

Sayılar arasındaki farkın kökünün çıkarılması (kök (32 – 7) = 5)

Bir sayının karesi.

Bir tam sayının karesini alma ( (3) 2 = 9 )

Ondalık sayıların karesi ((2,2)2 = 4,84)

Ondalık kesirlere dönüştürme.

Bir sayının yüzdesini hesaplama

230 sayısını %15 artır ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

510 sayısını %35 azaltın ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5)

140 sayısının %18'i (140 * 0,18 = 25,2)

Bilindiği gibi sayıların çarpımı, çarpanın geçerli basamağının çarpılmasıyla elde edilen kısmi çarpımların toplamına indirgenir. İÇİNDE L çarpanına göre. ikili sayılar, kısmi çarpımlar çarpıma veya sıfıra eşittir. Bu nedenle ikili sayıların çarpımı, kısmi çarpımların kaydırmalı sıralı toplamına indirgenir. İçin ondalık sayılara göre kısmi çarpımlar sıfır dahil 10 farklı değer alabilir. Bu nedenle, kısmi çarpımlar elde etmek için çarpma yerine L çarpımının çoklu sıralı toplamı kullanılabilir. Ondalık sayıları çarpma algoritmasını göstermek için bir örnek kullanacağız.

Örnek 2.26. Pa Şek. 2.15, A A x b = 54 x 23 olan tamsayı ondalık sayıların çarpımı, çarpanın en küçük rakamından başlanarak verilir. Çarpma için aşağıdaki algoritma kullanılır:

Başlangıç durumu olarak 0 alınır. İlk toplam, A = 54 çarpanının sıfıra eklenmesiyle elde edilir. Daha sonra çarpan tekrar ilk toplama eklenir. A= 54. Ve son olarak üçüncü toplamdan sonra 0 "+ 54 + 54 + 54 = 162'ye eşit olan birinci kısmi çarpım elde edilir;

Pirinç. 2.15. 54 x 23 tamsayı ondalık sayıları çarpma algoritması(A) ve uygulama prensibi(B)

birinci kısmi çarpım bir bit sağa (veya çarpan sola) kaydırılır;
çarpan, birinci kısmi çarpımın en yüksek rakamına iki kez eklenir: 16 + 54 + 54 = 124;
elde edilen toplam 124'ün birinci kısmi çarpımın en az anlamlı olan 2'si ile birleştirilmesinden sonra 1242 çarpımı bulunur.

Bir örnek kullanarak, toplama, çıkarma ve kaydırma işlemlerini kullanan bir algoritmanın devre uygulamasının olasılığını ele alalım.

Örnek 2.27. Kayıt defterinde olsun Rçarpılan kalıcı olarak saklanır bir = 54. Kayıt defterine ilk durumda R 2 çarpanı yerleştirin İÇİNDE= 23 ve kaydedin R 3 sıfırlarla yüklüdür. İlk kısmi çarpımı (162) elde etmek için çarpımı üç kez yazmacın içeriğine ekliyoruz bir = 54, kaydın içeriğini her seferinde birer birer azaltarak R T Kaydının en az anlamlı bitinden sonra R., sıfıra eşit olduğunda, her iki yazmacın içeriğini bir bit sağa kaydırın. ve R.,. En az anlamlı basamakta 0'ın bulunması R 2c, kısmi ürünün oluşumunun tamamlandığını ve bir kaydırma yapılması gerektiğini gösterir. Daha sonra çarpımı eklemek için iki işlem gerçekleştiririz A= 54, kaydın içeriği ve kaydın içeriğinden bir çıkarıldığında R 0. İkinci işlemden sonra kaydın en az anlamlı basamağı R., sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle, yazmaçların içeriğini bir bit sağa kaydırarak R 3 ve R Gerekli ürünü elde ederiz P = 1242.

İkili ondalık kodlarda ondalık sayıları çarpmak için algoritmanın uygulanması (Şekil 2.16), toplama ve çıkarma işlemlerinin gerçekleştirilmesiyle ilgili özelliklere sahiptir.

Pirinç. 2.16.

(bkz. paragraf 2.3) ve ayrıca tetradın dört bit kaydırılması. Bunları Örnek 2.27'deki koşullar altında ele alalım.

Örnek 2.28. Kayan noktalı sayıların çarpılması. Sayıların çarpımını elde etmek için A ve B c kayan nokta tanımlanmalıdır M c = M lx M N, Rİle = P{ + R N. Bu durumda sabit noktalı sayıların çarpma ve cebirsel toplama kuralları kullanılır. Çarpılan ve çarpanın işaretleri aynıysa çarpıma “+”, işaretleri farklıysa “-” işareti verilir. Gerekirse ortaya çıkan mantis uygun sıra düzeltmesi ile normalleştirilir.

Örnek 2.29.İkili normalleştirilmiş sayıların çarpılması:

Çarpma işlemi gerçekleştirilirken, özel işlemci talimatlarıyla gerçekleştirilen özel durumlar ortaya çıkabilir. Örneğin faktörlerden biri sıfıra eşitse çarpma işlemi yapılmaz (engellenir) ve hemen sıfır sonucu oluşturulur.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi ikili sayıları çarpmak için tasarlanmıştır. Örnek No.1. 111 ve 101 ikili sayılarını çarpın.
Çözüm.

		1	1	1
		1	0	1
=	=	=	=	=
		1	1	1
	0	0	0
1	1	1
=	=	=	=	=
0	0	0	1	1

Toplama sırasında 2, 3, 4. bitlerde taşma meydana geldi. Üstelik en anlamlı hanede de taşma meydana geldiği için çıkan sayının önüne 1 yazıp şunu elde ederiz: 100011
Ondalık sayı sisteminde bu sayı aşağıdaki biçimdedir:
Çeviri yapmak için bir sayının rakamını, ilgili rakamın derecesi ile çarpmanız gerekir.
100011 = 2 5 *1 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35
Ondalık sayı sisteminde çarpma işleminin sonucunu kontrol edelim. Bunu yapmak için 111 ve 101 sayılarını ondalık gösterime dönüştürüyoruz.
111 2 = 2 2 *1 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 4 + 2 + 1 = 7
101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
7 x 5 = 35

Örnek No.2. 11011*1100 ikili çarpımını bulun. Cevabı ondalık sisteme dönüştürün.
Çözüm. Çarpmaya en küçük rakamlardan başlıyoruz: İkinci sayının mevcut basamağı 0 ise her yere sıfır yazarız, 1 ise ilk sayıyı yeniden yazarız.

			1	1	0	1	1
				1	1	0	0
=	=	=	=	=	=	=	=
			0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0
	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1
=	=	=	=	=	=	=	=
0	1	0	0	0	1	0	0

Toplama sırasında 3, 4, 5, 6, 7. bitlerde taşma meydana geldi. Üstelik en anlamlı hanede de taşma meydana geldiği için çıkan sayının önüne 1 yazıp şunu elde ederiz: 101000100

101000100 = 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 324
Ondalık sayı sisteminde çarpma işleminin sonucunu kontrol edelim. Bunu yapmak için 11011 ve 1100 sayılarını ondalık gösterime dönüştürüyoruz.
11011 = 2 4 *1 + 2 3 *1 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *1 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
1100 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12
27x12 = 324

Örnek No. 3. 1101.11*101
Kayan noktayı hesaba katmadan sayıları çarpacağız: 110111 x 101
Çarpmaya en küçük rakamlardan başlıyoruz: İkinci sayının mevcut basamağı 0 ise her yere sıfır yazarız, 1 ise ilk sayıyı yeniden yazarız.

		1	1	0	1	1	1
					1	0	1
=	=	=	=	=	=	=	=
		1	1	0	1	1	1
	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	1	1
=	=	=	=	=	=	=	=
0	0	0	1	0	0	1	1

Toplama sırasında 2, 3, 4, 5, 6, 7. bitlerde taşma meydana geldi. Üstelik en anlamlı hanede de taşma meydana geldiği için çıkan sayının önüne 1 yazıp şunu elde ederiz: 100010011
Kayan noktayı hesaba katmadan çarptığımız için nihai sonucu şu şekilde yazıyoruz: 1000100.11
Ondalık sayı sisteminde bu sayı aşağıdaki biçimdedir:
1000100 = 2 6 *1 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 68
Kesirli kısmı dönüştürmek için sayının rakamını karşılık gelen rakam derecesine bölmeniz gerekir.
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
Sonuç olarak 68,75 sayısını elde ediyoruz
Ondalık sayı sisteminde çarpma işleminin sonucunu kontrol edelim. Bunu yapmak için 1101.11 ve 101 sayılarını ondalık gösterime dönüştürüyoruz.
1101 = 2 3 *1 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
11 = 2 -1 *1 + 2 -2 *1 = 0.75
Sonuç olarak 13,75 sayısını elde ediyoruz
Sayıyı dönüştürün: 101 2 = 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 4 + 0 + 1 = 5
13,75x5 = 68,75

Son derste ondalık sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrendik (“Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma” dersine bakın). Aynı zamanda sıradan "iki katlı" kesirlere kıyasla hesaplamaların ne kadar basitleştirildiğini de değerlendirdik.

Ne yazık ki ondalık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde bu etki oluşmaz. Bazı durumlarda ondalık gösterim bu işlemleri bile karmaşık hale getirir.

Öncelikle yeni bir tanım verelim. Onu sadece bu derste değil, sık sık göreceğiz.

Bir sayının anlamlı kısmı, sonlar da dahil olmak üzere sıfırdan farklı ilk rakam ile son rakam arasındaki her şeydir. Sadece rakamlardan bahsediyoruz, virgül dikkate alınmıyor.

Bir sayının anlamlı kısmında yer alan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Tekrarlanabilirler ve hatta sıfıra eşit olabilirler.

Örneğin, birkaç ondalık kesri düşünün ve karşılık gelen önemli kısımları yazın:

91,25 → 9125 (önemli rakamlar: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (önemli rakamlar: 8; 2; 4; 1);
15,0075 → 150075 (önemli rakamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (anlamlı rakamlar: 3; 0; 4);
3000 → 3 (yalnızca tek bir anlamlı rakam vardır: 3).

Lütfen dikkat: Sayının önemli kısmının içindeki sıfırlar hiçbir yere gitmez. Ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmeyi öğrendiğimizde zaten benzer bir şeyle karşılaştık (“Ondalık Sayılar” dersine bakın).

Bu nokta o kadar önemli ve burada o kadar sık hata yapılıyor ki yakın gelecekte bu konuyla ilgili bir test yayınlayacağım. Mutlaka pratik yapın! Ve biz, önemli kısım kavramıyla donanmış olarak, aslında dersin konusuna geçeceğiz.

Ondalık Sayıların Çarpılması

Çarpma işlemi birbirini takip eden üç adımdan oluşur:

Her kesir için önemli kısmı yazın. Herhangi bir payda ve ondalık nokta olmadan iki sıradan tamsayı elde edeceksiniz;
Bu sayıları uygun bir şekilde çarpın. Sayılar küçükse veya bir sütun halindeyse doğrudan. İstenilen fraksiyonun önemli bir kısmını elde ediyoruz;
İlgili anlamlı kısmı elde etmek için orijinal kesirlerdeki ondalık noktanın nereye ve kaç basamak kaydırıldığını öğrenin. Önceki adımda elde edilen önemli kısım için ters kaydırmalar yapın.

Önemli kısmın kenarlarındaki sıfırların asla dikkate alınmadığını bir kez daha hatırlatayım. Bu kuralın göz ardı edilmesi hatalara yol açar.

0,28 12,5;

6,3 · 1,08;

132,5 · 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 · 10.000.

İlk ifadeyle çalışıyoruz: 0,28 · 12,5.

Bu ifadedeki sayıların anlamlı kısımlarını yazalım: 28 ve 125;
Çarpımları: 28 · 125 = 3500;
İlk faktörde virgül 2 basamak sağa kaydırılır (0,28 → 28), ikincisinde ise 1 basamak daha kaydırılır. Toplamda üç haneli sola kaydırmanız gerekir: 3500 → 3.500 = 3,5.

Şimdi 6.3 · 1.08 ifadesine bakalım.

Önemli kısımları yazalım: 63 ve 108;
Çarpımları: 63 · 108 = 6804;
Yine sağa iki kaydırma: sırasıyla 2 ve 1 basamak. Toplam - yine 3 hane sağa, yani ters kaydırma 3 hane sola olacak: 6804 → 6,804. Bu sefer sonunda sıfır yok.

Üçüncü ifadeye ulaştık: 132,5 · 0,0034.

Önemli parçalar: 1325 ve 34;
Çarpımları: 1325 · 34 = 45.050;
İlk kesirde, ondalık nokta 1 basamak sağa, ikincisinde ise 4'e kadar hareket eder. Toplam: 5 sağa. 5 birim sola kaydırıyoruz: 45,050 → 0,45050 = 0,4505. Sıfır sondan çıkarıldı ve “çıplak” bir ondalık nokta bırakmayacak şekilde öne eklendi.

Aşağıdaki ifade: 0,0108 · 1600,5.

Önemli kısımları yazıyoruz: 108 ve 16 005;
Bunları çarpıyoruz: 108 · 16,005 = 1,728,540;
Virgülden sonraki sayıları sayıyoruz: İlk sayıda 4, ikincisinde 1 var. Toplam yine 5. Elimizde: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854 var. Sonunda “ekstra” sıfır kaldırıldı.

Son olarak son ifade: 5,25 10.000.

Önemli parçalar: 525 ve 1;
Bunları çarpıyoruz: 525 · 1 = 525;
İlk kesir 2 basamak sağa, ikinci kesir ise 4 basamak sola kaydırılır (10.000 → 1.0000 = 1). Toplam 4 − 2 = sola doğru 2 basamak. Sağa 2 basamak ters kaydırma yapıyoruz: 525, → 52.500 (sıfır eklemek zorunda kaldık).

Son örneğe dikkat edin: virgül farklı yönlerde hareket ettiğinden, toplam kayma fark üzerinden bulunur. Bu çok önemli bir nokta! İşte başka bir örnek:

1,5 ve 12.500 sayılarını düşünün. Elimizde: 1,5 → 15 (sağa 1 kaydırma); 12.500 → 125 (2'yi sola kaydırın). 1 rakamı sağa, ardından 2 rakamını sola “adımlıyoruz”. Sonuç olarak 2 − 1 = 1 basamak sola adım attık.

Ondalık bölme

Bölünme belki de en zor operasyondur. Elbette burada çarpma işlemine benzeterek hareket edebilirsiniz: önemli kısımları bölün ve ardından ondalık noktayı "hareket ettirin". Ancak bu durumda, potansiyel tasarrufları boşa çıkaran birçok incelik ortaya çıkar.

Bu nedenle, biraz daha uzun ama çok daha güvenilir olan evrensel bir algoritmaya bakalım:

Tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün. Biraz pratik yaparsanız bu adım birkaç saniyenizi alacaktır;
Ortaya çıkan kesirleri klasik şekilde bölün. Başka bir deyişle, ilk kesri “tersine çevrilmiş” ikinciyle çarpın (“Sayısal kesirlerle çarpma ve bölme” dersine bakın);
Mümkünse sonucu tekrar ondalık kesir olarak sunun. Bu adım aynı zamanda hızlıdır çünkü payda genellikle zaten onun katıdır.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

İlk ifadeyi ele alalım. Öncelikle kesirleri ondalık sayıya çevirelim:

Aynısını ikinci ifade için de yapalım. İlk kesrin payı yine çarpanlara ayrılacaktır:

Üçüncü ve dördüncü örneklerde önemli bir nokta var: Ondalık gösterimden kurtulduktan sonra indirgenebilir kesirler ortaya çıkıyor. Ancak bu indirimi yapmayacağız.

Son örnek ilginçtir çünkü ikinci kesrin payı bir asal sayı içermektedir. Burada çarpanlara ayıracak hiçbir şey yok, bu yüzden bunu doğrudan ele alıyoruz:

Bazen bölme işlemi tam sayıyla sonuçlanır (son örnekten bahsediyorum). Bu durumda üçüncü adım hiç gerçekleştirilmez.

Ek olarak, bölerken genellikle ondalık sayılara dönüştürülemeyen "çirkin" kesirler ortaya çıkar. Bu, sonuçların her zaman ondalık biçimde temsil edildiği çarpma işleminden bölmeyi ayırır. Elbette bu durumda son adım yine gerçekleştirilmez.

3. ve 4. örneklere de dikkat edin. Ondalık sayılardan elde edilen sıradan kesirleri bilinçli olarak azaltmıyoruz. Aksi takdirde, bu, son cevabı tekrar ondalık biçimde temsil eden ters görevi karmaşıklaştıracaktır.

Unutmayın: Bir kesrin temel özelliği (matematiğin diğer kuralları gibi) kendi başına onun her yerde, her zaman, her fırsatta uygulanması gerektiği anlamına gelmez.