Bu kılavuz, nasıl performans sergileyeceğinizi öğrenmenize yardımcı olacaktır. matrislerle işlemler: matrislerin toplanması (çıkarılması), bir matrisin yer değiştirmesi, matrislerin çarpımı, ters matrisin bulunması. Tüm materyaller basit ve erişilebilir bir biçimde sunulur, ilgili örnekler verilir, böylece hazırlıksız bir kişi bile matrislerle eylemlerin nasıl gerçekleştirileceğini öğrenebilir.
Kendi kendini denetlemek ve sınamak için bir matris hesaplayıcıyı ücretsiz olarak indirebilirsiniz >>>. Teorik hesaplamaları en aza indirmeye çalışacağım, bazı yerlerde “parmaklarda” açıklamalar ve bilimsel olmayan terimlerin kullanılması mümkün. Sağlam teoriyi sevenler lütfen eleştiriye girişmeyin, bizim görevimiz.
Matrislerle işlem yapmayı öğrenin Konuyla ilgili SÜPER HIZLI hazırlık için ("ateşte olan") yoğun bir pdf kursu var
Matris, determinant ve test! Bir matris bazılarının dikdörtgen bir tablosudur elemanlar Bir matris bazılarının dikdörtgen bir tablosudur. Gibi sayıları yani sayısal matrisleri ele alacağız. ELEMAN
bir terimdir. Terimi hatırlamanız tavsiye edilir, sık sık görünecektir, onu vurgulamak için kalın yazı tipi kullanmam tesadüf değildir. Tanım:
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilirÖrnek:
İkiye üçlük bir matris düşünün: Bir matris bazılarının dikdörtgen bir tablosudur:
Bu matris altı 
Matrisin içindeki tüm sayılar (elemanlar) kendi başına mevcuttur, yani herhangi bir çıkarma söz konusu değildir:
Bu sadece bir sayı tablosu (kümesi)! Biz de anlaşacağız yeniden düzenleme
Açıklamalarda aksi belirtilmedikçe rakamlar. Her sayının kendi konumu vardır ve karıştırılamaz! 
Söz konusu matrisin iki satırı vardır: 
ve üç sütun: STANDART : matris boyutlarından bahsederken, o zaman Başta
satır sayısını ve ancak o zaman sütun sayısını belirtin. Az önce ikiye üç matrisi parçaladık. Bir matrisin satır ve sütun sayıları aynı ise matrise denir. kare 
, Örneğin:
– üçe üçlük bir matris. Bir matrisin bir sütunu veya bir satırı varsa, bu tür matrislere de denir..
Aslında matris kavramını okuldan beri biliyoruz; örneğin koordinatları "x" ve "y" olan bir noktayı düşünün: . Temel olarak bir noktanın koordinatları bire ikilik bir matrise yazılır. Bu arada, sayıların sırasının neden önemli olduğuna dair bir örnek: ve bunlar düzlemde tamamen farklı iki noktadır.
Şimdi çalışmaya devam edelim matrislerle işlemler:
1) Birinci davranın. Matristen bir eksiyi kaldırmak (matrise bir eksi eklemek).
Matrisimize dönelim 
. Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, bu matriste çok fazla negatif sayı var. Bu, matris ile çeşitli eylemlerin gerçekleştirilmesi açısından çok sakıncalıdır, bu kadar çok eksi yazmak sakıncalıdır ve tasarım açısından çirkin görünür.
Matrisin HER elemanının işaretini değiştirerek eksiyi matrisin dışına taşıyalım.:
Sıfırda, anladığınız gibi, işaret değişmez; sıfır Afrika'da da sıfırdır.
Ters örnek: 
. Çirkin görünüyor.
Matrisin HER elemanının işaretini değiştirerek matrise bir eksi ekleyelim:
Neyse, çok daha güzel çıktı. Ve en önemlisi, matris ile herhangi bir eylemi gerçekleştirmek DAHA KOLAY olacaktır. Çünkü böyle bir matematiksel halk işareti var: ne kadar çok eksi olursa, o kadar çok karışıklık ve hata olur.
2) İkinci perde. Bir matrisi bir sayıyla çarpmak.
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Çok basit, bir matrisi bir sayıyla çarpmak için yapmanız gerekenler Her matris elemanının belirli bir sayıyla çarpılması. Bu durumda - üç.
Başka bir yararlı örnek:
– bir matrisi bir kesirle çarpmak
Öncelikle ne yapacağımıza bakalım GEREK YOK:
Matrise bir kesir girmeye GEREK YOKTUR; birincisi, bu yalnızca matrisle yapılacak sonraki işlemleri karmaşıklaştırır ve ikincisi, öğretmenin çözümü kontrol etmesini zorlaştırır (özellikle eğer öyleyse). 
– görevin son cevabı).
Ve ayrıca, GEREK YOK Matrisin her bir elemanını eksi yediye bölün:
Makaleden Aptallar için matematik veya nereden başlamalı Yüksek matematikte virgüllü ondalık kesirlerden mümkün olan her şekilde kaçınmaya çalıştıklarını hatırlıyoruz.
Tek şey tercihen Bu örnekte yapılacak şey matrise bir eksi eklemektir:
Ama keşke TÜM matris elemanları 7'ye bölündü iz bırakmadan o zaman bölmek mümkün (ve gerekli!) olacaktır.
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Bu durumda şunları yapabilirsiniz: GEREKLİ tüm matris sayıları 2'ye bölünebildiğinden tüm matris elemanlarını ile çarpın iz bırakmadan.
Not: Lise matematiği teorisinde “bölme” kavramı yoktur. "Bu bölü buna" demek yerine her zaman "bunun bir kesirle çarpılması" diyebilirsiniz. Yani bölme çarpma işleminin özel bir durumudur.
3) Üçüncü perde. Matris Transpozu.
Bir matrisi transpoze etmek için satırlarını transpoze matrisin sütunlarına yazmanız gerekir.
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Matrisin devrini değiştir
Burada tek satır var ve kural gereği bunun bir sütuna yazılması gerekiyor:
– aktarılmış matris.
Transpoze edilmiş bir matris genellikle sağ üstte bir üst simge veya bir asal sayı ile gösterilir.
Adım adım örnek:
Matrisin devrini değiştir 
İlk önce ilk satırı ilk sütuna yeniden yazıyoruz:
Daha sonra ikinci satırı ikinci sütuna yeniden yazıyoruz: 
Ve son olarak üçüncü satırı üçüncü sütuna yeniden yazıyoruz:
Hazır. Kabaca söylemek gerekirse, transpoze etmek matrisi kendi tarafına çevirmek anlamına gelir.
4) Dördüncü perde. Matrislerin toplamı (fark).
Matrislerin toplamı basit bir işlemdir.
TÜM MATRİSLER KATLANMAZ. Matrislerin toplanmasının (çıkarılmasının) yapılabilmesi için bunların AYNI BOYUTTA olması gerekir.
Örneğin, ikiye ikilik bir matris verilirse, o zaman yalnızca ikiye ikilik bir matrisle toplanabilir, başkasıyla eklenemez! 
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Matris ekle 
Ve 
Matrisleri eklemek için karşılık gelen elemanlarını eklemeniz gerekir.:
Matrislerin farkı için kural benzerdir, karşılık gelen elemanların farkını bulmak gerekir.
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Matris farkını bulun 
, 
Kafanızın karışmaması için bu örneği daha kolay nasıl çözebilirsiniz? Gereksiz eksilerden kurtulmanız önerilir; bunu yapmak için matrise bir eksi ekleyin:
Not: Lise matematiği teorisinde “çıkarma” kavramı yoktur. "Bunu bundan çıkar" demek yerine her zaman "buna negatif bir sayı ekle" diyebilirsiniz. Yani çıkarma, toplama işleminin özel bir durumudur.
5) Beşinci perde. Matris çarpımı.
Hangi matrisler çarpılabilir?
Bir matrisin bir matrisle çarpılabilmesi için gerekli olan matris sütunlarının sayısı matris satırlarının sayısına eşit olacak şekilde.
matrisler genellikle büyük Latin harfleriyle gösterilir
Bir matrisi bir matrisle çarpmak mümkün mü?
Bu, matris verilerinin çoğaltılabileceği anlamına gelir.
Ancak matrisler yeniden düzenlenirse, bu durumda çarpma artık mümkün değildir!
Bu nedenle çarpma mümkün değildir:
Öğrenciden çarpması açıkça imkansız olan matrisleri çarpması istendiğinde hileli görevlerle karşılaşmak o kadar da nadir değildir.
Bazı durumlarda matrisleri her iki yolla da çarpmanın mümkün olduğunu belirtmek gerekir.
Örneğin matrisler için hem çarpma hem de çarpma mümkündür
Matrislerin temel kavramlarını tanır. Bir matrisin tanımlayıcı elemanları onun köşegenleri ve yan köşegenleridir. Home, ilk satırdaki, ilk sütundaki öğeyle başlar ve son sütundaki, son satırdaki öğeye kadar devam eder (yani soldan sağa doğru gider). Yan köşegen ise tam tersine ilk satırda, ancak son sütunda başlar ve ilk sütunun ve son satırın koordinatlarına sahip olan elemana kadar devam eder (sağdan sola gider).
Matrislerle ilgili aşağıdaki tanımlara ve cebirsel işlemlere geçmek için matris türlerini inceleyin. En basitleri kare, birim, sıfır ve terstir. Sütun ve satır sayısı eşleşiyor. Transpoze matris, buna B diyelim, sütunların satırlarla değiştirilmesiyle A matrisinden elde edilir. Birimde, ana köşegenin tüm elemanları birdir, diğerleri ise sıfırdır. Ve sıfırda köşegenlerin elemanları bile sıfırdır. Ters matris, orijinal matrisin birim forma geldiği matristir.
Ayrıca matris, ana veya ikincil eksenlere göre simetrik olabilir. Yani, 1'in satır numarası ve 2'nin sütun numarası olduğu a(1;2) koordinatlarına sahip bir eleman, a(2;1)'e eşittir. A(3;1)=A(1;3) vb. Eşleşen matrisler, birinin sütun sayısının diğerinin satır sayısına eşit olduğu matrislerdir (bu tür matrisler çarpılabilir).
Matrislerle yapılabilecek ana işlemler toplama, çarpma ve determinantı bulmadır. Matrisler aynı büyüklükteyse, yani eşit sayıda satır ve sütuna sahiplerse toplanabilirler. Matrislerde aynı yerlerde bulunan elemanların eklenmesi, yani (m; n)'de c ile bir (m; n) eklenmesi gerekir; burada m ve n, sütun ve satırın karşılık gelen koordinatlarıdır. Matrisleri eklerken, sıradan aritmetik toplamanın ana kuralı geçerlidir - terimlerin yerleri değiştirildiğinde toplam değişmez. Dolayısıyla, basit bir a elemanı yerine a + b ifadesi varsa, o zaman a + (b + c) = (a + b) + c kurallarına göre başka bir orantılı matrisin c elemanına eklenebilir.
Yukarıda verilen eşleşen matrisleri çarpabilirsiniz. Bu, her bir elemanın A matrisinin bir satırı ile B matrisinin bir sütununun ikili olarak çarpılmış elemanlarının toplamı olduğu bir matris üretir. Çarpma sırasında eylemlerin sırası çok önemlidir. m*n, n*m'ye eşit değildir.
Ayrıca ana eylemlerden biri bulmaktır. Aynı zamanda determinant olarak da adlandırılır ve şu şekilde gösterilir: det. Bu değer modulo olarak belirlenir, yani hiçbir zaman negatif olmaz. Determinantı bulmanın en kolay yolu 2x2 kare matristir. Bunu yapmak için, ana köşegenin elemanlarını çarpmanız ve ikincil köşegenin çarpılan elemanlarını onlardan çıkarmanız gerekir.
Matrisler. Matrisler üzerindeki eylemler. Matrislerdeki işlemlerin özellikleri. Matris türleri.
Matrisler (ve buna göre matematiksel bölüm - matris cebiri) uygulamalı matematikte önemlidir, çünkü nesnelerin ve süreçlerin matematiksel modellerinin önemli bir kısmının oldukça basit bir biçimde yazılmasına izin verirler. "Matris" terimi 1850'de ortaya çıktı. Matrislerden ilk olarak antik Çin'de, daha sonra da Arap matematikçiler tarafından bahsedildi.
Matris A=Bir milyon m*n sırası çağrılır m - satır ve n - sütun içeren dikdörtgen sayı tablosu.
Matris öğeleri aij, bunun için i=j'ye köşegen denir ve form ana diyagonal.
Bir kare matris (m=n) için ana köşegen a 11, a 22,..., a nn elemanlarından oluşur.
Matris eşitliği.
A=B, eğer matris sipariş verirse A Ve B aynıdır ve a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Matrisler üzerindeki eylemler.
1. Matris ekleme - eleman bazında işlem
2. Matrislerin çıkarılması - eleman bazında işlem
3. Bir matris ile bir sayının çarpımı eleman bazında bir işlemdir
4. Çarpma A*B kurala göre matrisler satırdan sütuna(A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır)
A mk *B kn =C mn ve her öğe ij ile matrisler Haydi A matrisinin i'inci satırındaki elemanların, B matrisinin j'inci sütununun karşılık gelen elemanları ile çarpımlarının toplamına eşittir, yani;
Bir örnek kullanarak matris çarpımının işlemini gösterelim
5. Üs alma
m>1 pozitif bir tamsayıdır. A bir kare matristir (m=n), yani. yalnızca kare matrisler için geçerlidir
6. Matris A'nın devriği. Yer değiştiren matris AT veya A ile gösterilir"
Satırlar ve sütunlar değiştirildi
Örnek
Matrislerdeki işlemlerin özellikleri
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Matris türleri
1. Dikdörtgen: M Ve N- keyfi pozitif tamsayılar
2. Kare: m=n
3. Matris satırı: m=1. Örneğin, (1 3 5 7) - birçok pratik problemde böyle bir matrise vektör denir
4. Matris sütunu: n=1. Örneğin
5. Çapraz matris: m=n Ve a ij =0, Eğer i≠j. Örneğin
6. Kimlik matrisi: m=n Ve
7. Sıfır matrisi: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Üçgen matris: Ana köşegenin altındaki tüm elemanlar 0'dır.
9. Simetrik matris: m=n Ve a ij = a ji(yani, eşit elemanlar ana köşegene göre simetrik yerlerde bulunur) ve bu nedenle bir"=A
Örneğin,
10. Çarpık simetrik matris: m=n Ve a ij =-a ji(yani, karşıt elemanlar ana köşegene göre simetrik yerlerde bulunur). Sonuç olarak, ana köşegen üzerinde sıfırlar vardır (ne zamandan beri ben=j sahibiz a ii =-a ii)
Temizlemek, A"=-A
11. Hermit matrisi: m=n Ve a ii =-à ii (hai ji- karmaşık - eşlenik bir ji yani Eğer A=3+2i, daha sonra karmaşık eşlenik Ã=3-2i)
MATRİSİN TANIMI. MATRİS TÜRLERİ
m boyutunda matris× N set denir m·n dikdörtgen bir tabloda sıralanmış sayılar Mçizgiler ve N sütunlar. Bu tablo genellikle parantez içine alınır. Örneğin matris şöyle görünebilir:
Kısaca belirtmek gerekirse, bir matris tek bir büyük harfle gösterilebilir, örneğin: A veya İÇİNDE.
Genel olarak bir boyut matrisi M× N böyle yaz
.
Matrisi oluşturan sayılara denir matris elemanları. Matris elemanlarının iki endeksle sağlanması uygundur bir ben: Birincisi satır numarasını, ikincisi ise sütun numarasını gösterir. Örneğin, 23– öğe 2. satırda, 3. sütundadır.
Bir matrisin satır sayısı sütun sayısıyla aynıysa matris denir. Bir matrisin satır ve sütun sayıları aynı ise matrise denir. ve satır veya sütunlarının sayısına denir sırayla matrisler. Yukarıdaki örneklerde ikinci matris karedir - mertebesi 3, dördüncü matris ise mertebesi 1'dir.
Satır sayısı sütun sayısına eşit olmayan matrislere denir dikdörtgen. Örneklerde bu birinci matris ve üçüncüdür.
Ayrıca yalnızca bir satırı veya bir sütunu olan matrisler de vardır.
Tek satırı olan matrise denir matris - satır(veya dize) ve yalnızca bir sütunlu bir matris matris - sütun.
Elemanları sıfır olan matrise denir hükümsüz ve (0) veya basitçe 0 ile gösterilir. Örneğin,
.
Ana diyagonal Bir kare matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine giden köşegenine köşegen diyoruz.
Ana köşegenin altındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir üçgen matris.
.
Ana köşegen dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu kare matrise denir. diyagonal matris. Örneğin veya.
Tüm köşegen elemanlarının bire eşit olduğu köşegen matrise denir Bekar matrisidir ve E harfiyle gösterilir. Örneğin, 3. dereceden birim matris şu şekildedir: 
.
MATRİSLER ÜZERİNDEKİ EYLEMLER
Matris eşitliği. İki matris A Ve B satır ve sütun sayıları aynıysa ve karşılık gelen elemanları eşitse eşit oldukları söylenir bir ben = b ij. Yani eğer 
Ve 
, O A=B, Eğer a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ve bir 22 = b 22.
Transpoze. Keyfi bir matris düşünün A itibaren Mçizgiler ve N sütunlar. Aşağıdaki matrisle ilişkilendirilebilir B itibaren Nçizgiler ve M her satırın bir matris sütunu olduğu sütunlar A aynı sayıyla (dolayısıyla her sütun matrisin bir satırıdır) A aynı numarayla). Yani eğer 
, O 
.
Bu matris B isminde aktarılmış matris A ve geçiş Aİle B aktarımı.
Dolayısıyla aktarma, bir matrisin satır ve sütunlarının rollerinin tersine çevrilmesidir. Matrisin matrise aktarılması A, genellikle belirtilir AT.
Matris arasındaki iletişim A ve devriği şu şekilde yazılabilir:
Örneğin. Verilen matrisin transpoze edilmiş matrisini bulun.
Matris eklenmesi. Matrisler olsun A Ve B aynı sayıda satır ve aynı sayıda sütundan oluşur; sahip olmak aynı boyutlar. Daha sonra matrisleri eklemek için A Ve B matris elemanları için gerekli A matris elemanları ekle B aynı yerlerde duruyoruz. Böylece iki matrisin toplamı A Ve B matris denir Cörneğin kuralla belirlenir,
Örnekler. Matrislerin toplamını bulun:
Matris toplamanın aşağıdaki yasalara uygun olup olmadığını kontrol etmek kolaydır: değişmeli A+B=B+A ve ilişkisel ( A+B)+C=A+(B+C).
Bir matrisin bir sayıyla çarpılması. Bir matrisi çarpmak için A sayı başına k matrisin her elemanına ihtiyaç vardır A bu sayıyla çarpın. Böylece matris çarpımı A sayı başına k kuralla belirlenen yeni bir matris var 
veya .
Herhangi bir sayı için A Ve B ve matrisler A Ve B aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
Örnekler.
Matris çarpımı. Bu işlem kendine özgü bir yasaya göre yürütülmektedir. Öncelikle faktör matrislerinin boyutlarının tutarlı olması gerektiğine dikkat çekiyoruz. Yalnızca birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısıyla çakıştığı matrisleri çarpabilirsiniz (yani, ilk satırın uzunluğu ikinci sütunun yüksekliğine eşittir). iş matrisler A matris değil B yeni matris denir C=AB elemanları aşağıdaki gibi oluşur:
Böylece, örneğin ürünü elde etmek için (yani matriste) C) 1. satır ve 3. sütunda bulunan öğe 13'ten itibaren, 1. matrisin 1. satırını, 2. matrisin 3. sütununu almanız ve ardından satır elemanlarını karşılık gelen sütun elemanlarıyla çarpmanız ve elde edilen ürünleri eklemeniz gerekir. Ve çarpım matrisinin diğer elemanları, birinci matrisin satırlarının ve ikinci matrisin sütunlarının benzer bir çarpımı kullanılarak elde edilir.
Genel olarak bir matrisi çarparsak bir = (bir ij) boyut M× N matrise B = (b ij) boyut N× P, sonra matrisi elde ederiz C boyut M× P elemanları şu şekilde hesaplanan: eleman c ij elementlerin çarpımı sonucu elde edilir Ben matrisin inci satırı A karşılık gelen elemanlara J inci matris sütunu B ve bunların eklemeleri.
Bu kuraldan, her zaman aynı mertebeden iki kare matrisi çarpabileceğiniz ve bunun sonucunda aynı mertebeden bir kare matris elde ettiğimiz sonucu çıkar. Özellikle bir kare matris her zaman kendisiyle çarpılabilir; karesini alın.
Bir diğer önemli durum, bir satır matrisinin bir sütun matrisiyle çarpılmasıdır ve birincinin genişliği ikincinin yüksekliğine eşit olmalıdır, bu da birinci dereceden bir matris (yani bir eleman) ile sonuçlanır. Gerçekten mi,
.
Örnekler.
Dolayısıyla, bu basit örnekler matrislerin genel olarak birbirleriyle değişmediğini göstermektedir; A∙B ≠ B∙A . Bu nedenle matrisleri çarparken faktörlerin sırasını dikkatlice izlemeniz gerekir.
Matris çarpımının birleşme ve dağıtım yasalarına uyduğu doğrulanabilir; (AB)C=A(BC) Ve (A+B)C=AC+BC.
Bir kare matrisi çarparken bunu kontrol etmek de kolaydır. A kimlik matrisine e yine aynı düzende bir matris elde ederiz A, Ve AE=EA=A.
Aşağıdaki ilginç gerçek not edilebilir. Bildiğiniz gibi sıfır olmayan 2 sayının çarpımı 0'a eşit değildir. Matrisler için durum böyle olmayabilir, yani. sıfır olmayan 2 matrisin çarpımı sıfır matrisine eşit olabilir.
Örneğin, Eğer 
, O
.
BELİRTİCİ KAVRAMI
İkinci dereceden bir matris verilsin - iki satır ve iki sütundan oluşan bir kare matris .
İkinci dereceden determinant Bu matrise karşılık gelen sayı şu şekilde elde edilir: bir 11 bir 22 – bir 12 bir 21.
Determinant sembolü ile gösterilir 
.
Dolayısıyla, ikinci dereceden determinantı bulmak için, ikinci köşegen boyunca bulunan elemanların çarpımını ana köşegenin elemanlarının çarpımından çıkarmanız gerekir.
Örnekler.İkinci dereceden determinantları hesaplayın.
Benzer şekilde üçüncü dereceden bir matrisi ve ona karşılık gelen determinantı düşünebiliriz.
Üçüncü dereceden determinant Belirli bir üçüncü dereceden kare matrise karşılık gelen, aşağıdaki şekilde gösterilen ve elde edilen bir sayıdır:
.
Böylece bu formül üçüncü dereceden determinantın birinci satırın elemanları cinsinden açılımını verir. bir 11, bir 12, bir 13 ve üçüncü dereceden determinantın hesaplanmasını ikinci dereceden determinantların hesaplanmasına indirger.
Örnekler.Üçüncü dereceden determinantı hesaplayın.
Benzer şekilde dördüncü, beşinci vb. determinant kavramlarını da tanıtabiliriz. Terimlerin “+” ve “-” işaretleri dönüşümlü olarak 1. sıranın elemanlarına doğru genişleyerek sıralarını düşürüyorlar.
Dolayısıyla, bir sayılar tablosu olan matristen farklı olarak determinant, matrise belirli bir şekilde atanan bir sayıdır.
Matrisler ve determinantlar
1. 1 Matrisler. Kavramlar.
Dikdörtgen boyutlu matris M X N set denir milyon içeren dikdörtgen bir tabloda düzenlenmiş sayılar Mçizgiler ve N sütunlar. Matrisi formda yazacağız.
veya A = (a ij) (i = ; j = ) olarak kısaltılır. Bu matrisi oluşturan ij sayılarına onun elemanları denir; İlk indeks satır numarasını, ikincisi ise sütun numarasını gösterir. Aynı büyüklükteki iki A = (a ij) ve B = (b ij) matrisine, elemanları aynı yerdeyse ikili olarak eşitse eşit denir, yani a ij = b ij ise A = B olur.
Bir satır veya bir sütundan oluşan bir matrise sırasıyla satır vektörü veya sütun vektörü denir. Sütun vektörleri ve satır vektörlerine basitçe vektörler denir.
Tek sayıdan oluşan bir matris bu sayıyla tanımlanır. Boyut Matrisi M X N, tüm elemanları sıfıra eşit olan sıfır matrisi olarak adlandırılır ve 0 ile gösterilir. Aynı indislere sahip matrisin elemanlarına ana köşegenin elemanları denir. Matris satır sayısı sütun sayısına eşitse M = N, o zaman matrise sıranın karesi denir N. Yalnızca ana köşegenin elemanları sıfırdan farklı olan kare matrislere köşegen matrisler denir ve aşağıdaki gibi yazılır:
.
Bir köşegen matrisin tüm elemanları a ii 1'e eşitse, matrise birim matris denir ve E harfiyle gösterilir:
Ana köşegenin üstündeki (veya altındaki) tüm elemanlar sıfıra eşitse, kare matrise üçgen denir. Transpozisyon, satırların ve sütunların sayıları korunurken değiştirildiği bir matrisin dönüşümüdür. Transpozisyon üstte bir T ile gösterilir.
Matris (4.1) verilsin. Satırları ve sütunları yeniden düzenleyelim. Matrisi alalım
bir T = 
,
A matrisine göre transpoze edilecektir. Özellikle, bir sütun vektörünün transpoze edilmesi sırasında bir satır vektörü elde edilir ve bunun tersi de geçerlidir.
Matrislerde temel işlemler.
Matrisler üzerindeki temel aritmetik işlemler, bir matrisi bir sayıyla çarpmak, matrisleri toplamak ve çarpmaktır.
Matrisler üzerindeki temel işlemleri tanımlamaya geçelim.
Matris ekleme : İki matrisin toplamı, örneğin: A ve B, satır ve sütun sayıları aynı, diğer bir deyişle m ve n mertebeleri aynı olan matris C = (Сij)(i = 1, 2, …m) olarak adlandırılır. ; j = 1, 2, …n) aynı mertebeden m ve n, Cij elemanları eşittir.
Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)
İki matrisin toplamını belirtmek için C = A + B gösterimi kullanılır. Matrislerin toplamını oluşturma işlemine bunların eklenmesi denir.
Yani tanım gereği elimizde:
+ 
=
= 
Matrislerin toplamının tanımından veya daha doğrusu formül (1.2)'den, matrisleri toplama işleminin gerçek sayıları toplama işlemiyle aynı özelliklere sahip olduğu hemen anlaşılır:
1) değişme özelliği: A + B = B + A
2) birleştirme özelliği: (A + B) + C = A + (B + C)
Bu özellikler, iki veya daha fazla matris toplanırken matris terimlerinin sırası konusunda endişelenmemeyi mümkün kılar.
Bir matrisi bir sayıyla çarpmak :
A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) matrisinin bir gerçel sayı ile çarpımı C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), elemanları eşit olan
Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)
Bir matris ile bir sayının çarpımını belirtmek için C = A veya C = A gösterimi kullanılır. Bir matrisin çarpımını bir sayıyla oluşturma işlemine matrisin bu sayıyla çarpılması denir.
Doğrudan formül (1.3)'ten, bir matrisin bir sayıyla çarpılmasının aşağıdaki özelliklere sahip olduğu açıktır:
1) matrislerin toplamına ilişkin dağılım özelliği:
(A + B) = A + B
2) sayısal bir faktöre ilişkin ilişkisel özellik:
3) sayıların toplamına ilişkin dağılım özelliği:
( + ) Bir = Bir + Bir.
Yorum: İki matrisin farkı A ve B aynı mertebeden ise, aynı mertebeden böyle bir C matrisini adlandırmak doğaldır; bu matris B matrisinin toplamı ile A matrisini verir. İki matrisin farkını belirtmek için doğal bir gösterim kullanılır: C = A – B.
Matris çarpımı :
Sırasıyla m ve n'ye eşit olan A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) matrisinin B = (Bij) matrisine göre çarpımı (i = 1, 2, …, n;
Sırasıyla n ve p'ye eşit mertebelere sahip olan j = 1, 2, …, p'ye C = (Сij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) matrisi denir. sıraları m ve p'ye eşit olan ve aşağıdaki formülle tanımlanan Cij elemanlarına sahip
Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)
A matrisi ile B matrisinin çarpımını belirtmek için gösterimi kullanın.
C = AB. A matrisi ile B matrisinin çarpımını oluşturma işlemine bu matrislerin çarpımı denir. Yukarıda formüle edilen tanımdan, A matrisinin her B matrisiyle çarpılamayacağı sonucu çıkar: A matrisinin sütun sayısının şu şekilde olması gerekir: eşittir B matrisinin satır sayısı. Hem AB hem de BA çarpımlarının sadece tanımlı olması değil, aynı zamanda aynı sıraya sahip olması için, hem A hem de B matrislerinin aynı mertebeden kare matrisler olması gerekli ve yeterlidir.
Formül (1.4), C matrisinin elemanlarını oluşturmak için bir kuraldır,
bu, A matrisi ile B matrisinin çarpımıdır. Bu kural sözlü olarak da formüle edilebilir: C = AB matrisinin i'inci satırı ile j'inci sütununun kesişiminde bulunan Cij öğesi, toplamına eşittir. A matrisinin i'inci satırının ve B matrisinin j'inci sütununun karşılık gelen elemanlarının ikili çarpımları. Bu kuralı uygulamaya bir örnek olarak, ikinci dereceden matrislerin karelerini çarpma formülünü sunuyoruz.
Formül (1.4), A matrisi ile B matrisinin ürününün aşağıdaki özelliklerini ifade eder:
1) eşleşen özellik: (AB) C = A (BC);
2) matrislerin toplamına göre dağılım özelliği:
(A + B) C = AC + BC veya A (B + C) = AB + AC.
Bir matris çarpımının permütasyon özelliği sorununu yalnızca aynı mertebeden kare matrisler için gündeme getirmek mantıklıdır. Temel örnekler, aynı mertebeden iki kare matrisin çarpımının genel olarak değişme özelliğine sahip olmadığını göstermektedir. Aslında şunu koyarsak
A = , B = , sonra AB = ve BA =
Çarpımı değişme özelliğine sahip olan aynı matrislere genellikle değişme denir.
Kare matrisler arasında, her biri ana köşegenin dışında sıfıra eşit olan öğelere sahip olan, köşegen matrisler adı verilen bir sınıfa dikkat çekiyoruz. Ana köşegen üzerinde çakışan elemanlara sahip tüm köşegen matrisler arasında iki matris özellikle önemli bir rol oynar. Bu matrislerden ilki, ana köşegenin tüm elemanları bire eşit olduğunda elde edilir, n'inci dereceden birim matris olarak adlandırılır ve E sembolü ile gösterilir. İkinci matris, tüm elemanları sıfıra eşit olacak şekilde elde edilir ve n'inci dereceden sıfır matrisi olarak adlandırılır ve O sembolü ile gösterilir. Keyfi bir A matrisi olduğunu varsayalım, o zaman
AE = EA = A, AO = OA = O.
Formüllerden ilki, gerçel sayıları çarparken 1 sayısının oynadığı role benzer şekilde E birim matrisinin özel rolünü karakterize eder. Sıfır matris O'nun özel rolüne gelince, bu sadece ikinci formülle değil, aynı zamanda temel doğrulanabilir eşitlikle de ortaya çıkar: A + O = O + A = A. Sıfır matris kavramı tanıtılabilir. kare matrisler için değil.
Matris sıralaması
Dikdörtgen matrisi (4.1) düşünün. Bu matriste keyfi olarak k adet satır seçersek ve k sütunlar, ardından seçilen satır ve sütunların kesişimindeki öğeler bir kare matris oluşturur k-inci sipariş. Bu matrisin determinantına A matrisinin k'inci dereceden minörü denir. Açıkçası, A matrisinin 1'den en küçük sayıya kadar herhangi bir mertebeden minörleri vardır. M Ve N. A matrisinin sıfırdan farklı tüm küçükleri arasında, sırası en büyük olan en az bir küçük vardır. Belirli bir matrisin sıfırdan farklı küçük derecelerinin en büyüğüne matrisin rütbesi denir. A matrisinin rütbesi ise R, bu, A matrisinin sıfırdan farklı bir mertebeye sahip olduğu anlamına gelir R ancak r'den büyük herhangi bir küçük değer sıfıra eşittir. A matrisinin sırası r(A) ile gösterilir. Açıkçası, ilişki devam ediyor
0 ≤ r(A) ≤ dk (m,n).
Matrisin sırası ya küçüklerin sınırlanması yöntemiyle ya da temel dönüşüm yöntemiyle bulunur. Birinci yöntemi kullanarak bir matrisin sırasını hesaplarken, düşük dereceli küçüklerden yüksek dereceli küçüklere doğru hareket etmelisiniz. A matrisinin k'inci dereceden, sıfırdan farklı bir küçük D'si zaten bulunmuşsa, o zaman yalnızca küçük D'yi çevreleyen (k+1) sıradaki küçüklerin hesaplanması gerekir, yani. onu reşit olmayan bir çocuk olarak içeriyor. Hepsi sıfıra eşitse matrisin rütbesi k'ye eşittir.
Aşağıdaki matris dönüşümlerine temel denir:
1) herhangi iki satırın (veya sütunun) permütasyonu,
2) bir satırı (veya sütunu) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak,
3) bir satıra (veya sütuna) başka bir satır (veya sütun) ekleyerek belirli bir sayıyla çarpmak.
Eğer biri diğerinden sonlu bir temel dönüşümler kümesi kullanılarak elde ediliyorsa, iki matrisin eşdeğer olduğu söylenir.
Eşdeğer matrisler genel olarak eşit değildir ancak rütbeleri eşittir. A ve B matrisleri eşdeğerse şu şekilde yazılır:
Kanonik bir matris, başlangıcı olan bir matristir.
ana köşegen boyunca arka arkaya birkaç birim vardır (sayıları
sıfır olabilir) ve diğer tüm öğeler sıfırdır,
Örneğin, 
.
Satır ve sütunların temel dönüşümleri kullanılarak herhangi bir matris kanonik hale getirilebilir. Kanonik bir matrisin rütbesi, ana köşegenindeki birlerin sayısına eşittir.
Ters matris
Bir kare matris düşünün
bir= 
.
Δ = det A'yı gösterelim.
Bir kare matris A'ya, eğer determinantı sıfır değilse tekil olmayan veya tekil olmayan, Δ = 0 ise tekil veya özel denir.
Bir kare matris B, aynı dereceden bir kare matris A'nın tersi olarak adlandırılır, eğer bunların çarpımı A B = B A = E ise, burada E, A ve B matrisleriyle aynı dereceden birim matristir.
Teorem. A matrisinin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir.
A matrisinin tersi matris A-1 ile gösterilir. Ters matris aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır
A -1 = 1/Δ 
, (4.5)
burada A ij, a ij elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarıdır.
Yüksek dereceli matrisler için formül (4.5)'i kullanarak ters matrisin hesaplanması çok emek yoğundur, bu nedenle pratikte, temel dönüşüm yöntemini (ET) kullanarak ters matrisi bulmak uygundur. Tekil olmayan herhangi bir A matrisi, yalnızca sütunların (veya yalnızca satırların) ED'leri aracılığıyla birim matris E'ye indirgenebilir. A matrisi üzerinde mükemmelleştirilen ED'ler, E birim matrisine aynı sırayla uygulanırsa, sonuç şu şekilde olur: ters bir matris. A ve E matrisleri üzerinde aynı anda EP gerçekleştirmek, her iki matrisi bir çizgi boyunca yan yana yazmak uygundur. Bir matrisin kanonik formunu bulurken, onun rütbesini bulmak için satır ve sütun dönüşümlerini kullanabileceğinizi bir kez daha belirtelim. Bir matrisin tersini bulmanız gerekiyorsa dönüştürme işlemi sırasında yalnızca satırları veya yalnızca sütunları kullanmalısınız.
2. Belirleyiciler
Her kare matris için, matrisin determinantı, matrisin determinantı veya basitçe determinant adı verilen tanımlanmış bir sayı vardır.
Tanım. Birinci dereceden bir kare matrisin determinantı, bu matrisin tek elemanına eşit bir sayıdır: A=(a), detA=|A|=a.
A, n, n>1 mertebesinde keyfi bir kare matris olsun:
Tanım N'inci dereceden determinant (n'inci dereceden bir kare matrisin determinantı), n>1, şuna eşit bir sayıdır:
birinci satırın ve j'inci sütunun üzerinin çizilmesiyle A matrisinden elde edilen bir kare matrisin determinantı nerede?
2. ve 3. dereceden determinantlar için matrisin elemanları aracılığıyla basit ifadeler elde etmek kolaydır.
2. dereceden determinant:
3. dereceden determinant:
.
2.1. Bir elemanın küçük ve cebirsel tamamlayıcısı
Tanım. Bir matris elemanının minörü, elemanın bulunduğu satır ve sütunun silinmesiyle elde edilen matrisin determinantıdır. Şunu ifade ediyoruz: a ij - elementinin küçük olanı.
Tanım. Bir matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı onun küçük değeridir ve -1 ile çarpılarak elemanın bulunduğu satır ve sütun sayılarının toplamına eşit olur. Şunu ifade ediyoruz: a ij - öğesinin cebirsel tümleyeni.
Böylece, n'inci dereceden determinantın tanımını yeniden formüle edebiliriz:
n'inci dereceden determinant, n>1, birinci sıranın elemanları ile bunların cebirsel tamamlayıcılarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Örnek.
Determinantın herhangi bir satıra genişletilerek hesaplanmasına ilişkin teorem
Teorem. N'inci dereceden determinant, n>1, herhangi bir satırın (sütun) elemanlarının cebirsel tümleyenleriyle çarpımlarının toplamına eşittir.
Örnek.Önceki örnekteki determinantı ikinci satır boyunca genişleterek hesaplayalım:
Sonuçlar.Üçgen bir matrisin determinantı köşegen elemanların çarpımına eşittir. (Kendiniz kanıtlayın).
