MOSKOVA ENERJİ ENSTİTÜSÜ

(teknik üniversite)

ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ FAKÜLTESİ

KONU HAKKINDA ÖZET

İLE INETİK DENKLEM B OLTZMAN.

TAMAMLANMIŞ:

Korkin S.V.

ÖĞRETMEN

Şerkunov Yu.B.

Çalışmanın ikinci yarısı oldukça karmaşık matematikle doludur.. Yazar ( [e-posta korumalı], [e-posta korumalı])bu dersi ideal olarak görmüyor; yalnızca daha mükemmel (ve anlaşılır) bir çalışma yazmak için bir başlangıç ​​noktası olarak hizmet edebilir. Metin kitabın bir kopyası değildir. Destekleyici literatür için sona bakınız.

Kurs "Mükemmel" notuyla kabul edildi. (Çalışmanın son versiyonu biraz kayıp. Sondan bir önceki "versiyonu" kullanmanızı öneririm).

Giriş………………………………………………………………………………3

Semboller………………………………………………………………………………. 4

§1 Dağıtım işlevi.

§2 Parçacık çarpışması.

§3 Çarpışma integralinin biçiminin belirlenmesi

ve Boltzmann denklemleri.

§4. Zayıf homojen olmayan bir gaz için kinetik denklem.

Gazın termal iletkenliği.

Bazı sözleşmeler:

n - parçacık konsantrasyonu;

d, parçacıklar arasındaki ortalama mesafedir;

V sistemin belirli bir hacmidir;

P bazı olayların olasılığıdır;

f - dağıtım fonksiyonu;

Giriiş.

Fizik termodinamiği, istatistiksel fizik ve fiziksel kinetik dalları, makroskobik sistemlerde (çok sayıda mikropartikülden oluşan cisimler) meydana gelen fiziksel süreçleri inceler. Sistemin türüne bağlı olarak bu tür mikropartiküller atomlar, moleküller, iyonlar, elektronlar, fotonlar veya diğer partiküller olabilir. Bugün, makroskopik sistemlerin durumlarını incelemek için iki ana yöntem vardır - sistemin durumunu makroskopik olarak kolayca ölçülen parametreler (örneğin, basınç, hacim, sıcaklık, mol sayısı veya bir maddenin konsantrasyonu) aracılığıyla karakterize eden termodinamik ve, aslında maddenin atomik-moleküler yapısını hesaba katmaz ve söz konusu sistemin atomik-moleküler modeline dayanan istatistiksel bir yöntemdir. Bu çalışmada termodinamik yöntem tartışılmayacaktır. Sistem parçacıklarının bilinen davranış yasalarına dayanarak, istatistiksel yöntem, tüm makrosistemin davranış yasalarını bir bütün olarak oluşturmamızı sağlar. Çözülen problemi basitleştirmek için istatistiksel yaklaşım, mikropartiküllerin davranışı hakkında bir takım varsayımlar (varsayımlar) yapar ve bu nedenle istatistiksel yöntemle elde edilen sonuçlar, yalnızca yapılan varsayımların sınırları dahilinde geçerlidir. İstatistiksel yöntem problemlerin çözümünde olasılıksal bir yaklaşım kullanır; bu yöntemi kullanmak için sistemin yeterince büyük sayıda parçacık içermesi gerekir. İstatistiksel yöntemle çözülen problemlerden biri makroskobik bir sistemin durum denkleminin türetilmesidir. Sistemin durumu zaman içinde sabit olabilir (denge sistemi) veya zamanla değişebilir (denge dışı sistem). Fiziksel kinetik, sistemlerin dengesiz durumlarının ve bu sistemlerde meydana gelen süreçlerin incelenmesidir.

Zamanla gelişen bir sistemin durum denklemi, çözümü sistemin herhangi bir andaki durumunu belirleyen kinetik bir denklemdir. Kinetik denklemlere olan ilgi, bunların fiziğin çeşitli alanlarındaki uygulama olasılıklarıyla ilişkilidir: gazların kinetik teorisi, astrofizik, plazma fiziği ve akışkanlar mekaniği. Bu makale istatistiksel fizik ve fiziksel kinetiğin kurucularından Avusturyalı fizikçi Ludwig Boltzmann'ın 1872 yılında türettiği ve kendi adını taşıyan kinetik denklemi incelemektedir.

§1 Dağıtım işlevi.

Boltzmann kinetik denklemini türetmek için tek atomlu bir ideal gazı düşünün; elektriksel olarak nötr atomlardan veya moleküllerden oluşan oldukça seyrekleştirilmiş bir gaz. İdeal bir gazın parçacıkları arasındaki tek etkileşim türü, moleküller arasındaki çarpışmalardır; ancak bu çarpışmalar o kadar nadirdir ki her molekül neredeyse her zaman serbestmiş gibi hareket eder. Gaz parçacıkları klasik olarak ele alındığında parçacık başına bir hacmin olduğu ileri sürülebilir. Birim hacim başına parçacık sayısı konsantrasyondur. Bu, parçacıklar arasında ortalama bir mesafe olduğu anlamına gelir (moleküller arası kuvvetlerin etki yarıçapı d ile karşılaştırıldığında oldukça büyük olduğu varsayılır). Boltzmann denklemini türetirken aşağıdaki varsayımları yapacağız:

Gaz parçacıkları ayırt edilemez (aynıdır);

Parçacıklar yalnızca çiftler halinde çarpışır (üç veya daha fazla parçacığın aynı anda çarpışmasını ihmal ediyoruz);

Çarpışmadan hemen önce parçacıklar düz bir çizgide birbirlerine doğru hareket ederler;

Moleküllerin çarpışması doğrudan merkezi bir elastik etkidir;

Bir gazın istatistiksel açıklaması olasılık dağılım fonksiyonu (veya olasılık yoğunluğu) ile gerçekleştirilir ve dağılım fonksiyonu parçacık çarpışma bölgesi mertebesindeki mesafelerde değişmez. Olasılık yoğunluğu, aşağıdaki gibi bazı rastgele değişken x'in küçük bir dx aralığında bir değere sahip olma olasılığını belirler. Sonlu bir aralıkta x'i bulma olasılığı entegrasyonla belirlenir.

Gaz moleküllerinin dağılım fonksiyonu faz uzayında verilmiştir.

tüm moleküllerin genelleştirilmiş koordinatlarının bir kümesidir; - bir dizi genelleştirilmiş moleküler dürtü. Sırasıyla

Ve. ile belirtelim

Bir molekülün faz uzayının hacim elemanı. Belirli bir faz alanı elemanında (ortalama olarak) eşit parçacık sayısı vardır (yani, q ve p değerleri seçilen dq ve dp aralıklarında yer alan moleküller dikkate alınır). Gaz moleküllerinin dağılım fonksiyonu yukarıda faz uzayında tanımlanmıştır, ancak parçacığın genel koordinatları ve momentumu dışındaki diğer değişkenler cinsinden de ifade edilebilir. f fonksiyonunun argümanlarını seçelim.

Bir sistemin durumunu zaman içinde değiştiren denge dışı bir süreç göz önüne alındığında, dağılım fonksiyonunun zamana bağlı olduğunu açıkça varsaymamız gerekir. Söz konusu gaz, klasik olarak kabul etmeye karar verdiğimiz bir dizi parçacıktır.

Klasik bir parçacığın öteleme hareketi koordinatlarla tanımlanır.

parçacığın ağırlık merkezi ve hız vektörü veya momentum vektörü (burada m parçacığın kütlesidir). Tek atomlu bir gaz için öteleme hareketi parçacık hareketinin tek türüdür; serbestlik derecesi sayısı üçtür. Parçacık çok atomlu bir molekül ise, molekülün uzayda dönmesi ve molekül içindeki atomların titreşimiyle ilişkili ek serbestlik dereceleri ortaya çıkar. Kuantum mekaniğinin uygulanma koşulları, düşük kütleler ve yüksek parçacık konsantrasyonlarının yanı sıra düşük sıcaklıklardır. Düşük sıcaklık bölgesini dikkate almadan, gaz moleküllerinin dönme hareketinin klasik olduğunu kabul edeceğiz. Herhangi bir klasik dönme hareketi, öncelikle vücuda etki eden kuvvetlerin dönme momentiyle tanımlanır. Bir torkun etkisi altında, iki atomlu bir molekül, tork vektörüne dik bir düzlemde dönmeye başlar. Ek olarak molekülün konumu, molekülün ekseninin dönme düzlemindeki dönme açısı ile karakterize edilir.

T = 300 K'de bir hidrojen molekülünü (veya herhangi bir diatomik molekülü) ele alalım. Eşbölüm yasasına göre, her bir serbestlik derecesi (öteleme, dönme veya titreşim) ortalama olarak aynı kinetik enerjiye sahiptir, eşittir.

I molekülün eylemsizlik momenti, m kütlesi, d moleküldeki atomlar arasındaki ortalama mesafe olsun.

Molekül bir saniyede (yani yaklaşık olarak) tam devir yapar. İki atomlu bir molekülün ekseninin dönme açısındaki değişim hızı yüksektir ve molekülün dönme düzlemindeki olası tüm yönelimleri eşit derecede olası olacaktır. Daha sonra, gerçek fiziksel problemler göz önüne alındığında, dağılım fonksiyonunun molekülün yöneliminden bağımsız olduğu düşünülebilir. Eşbölüm yasası aynı zamanda çok atomlu moleküller için de geçerlidir; bu, dağılım fonksiyonunun gaz moleküllerinin uzaydaki yöneliminden bağımsız olduğuna dair yapılan varsayımın çok atomlu gazlar için de geçerli sayılabileceği anlamına gelir.

Bir molekül içindeki atomların titreşim hareketi neredeyse her zaman kuantumlanmıştır ve bir kuantum sistemi olarak molekülün durumu kuantum parametreleriyle belirlenmelidir. Normal koşullar altında (çok yüksek olmayan sıcaklıklarda), gaz molekülü temel (sıfır) titreşim seviyesine karşılık gelen uyarılmamış bir durumdadır. Bu nedenle normal koşullar altında gerçek gazlardaki kuantum etkileri ihmal edilebilir. Sonuç olarak, denge dışı durumdaki klasik ideal gazın dağılım fonksiyonu sadece zamana değil aynı zamanda parçacıkların koordinatlarına da bağlıdır.

Molekül ve zaman koordinatları hariç, dağılım fonksiyonunun bağlı olduğu tüm değişkenler kümesini Г sembolüyle gösterelim. Faz hacmi elemanında, üç boyutlu uzayın temel hacmini seçiyoruz ve geri kalanını dГ sembolüyle gösteriyoruz. dГ miktarları, herhangi bir molekülün ardışık iki çarpışma arasındaki serbest hareketi sırasında sabit kalan hareket integralleridir. Molekülün serbest hareketi, herhangi bir dış cisim veya alandan dış etki olmaksızın gerçekleştirilir. Moleküllerin birbirleriyle etkileşimi sonucu (çarpışma durumunda) veya bir alanın etkisi altında

bu değerler değişebilir. Serbest hareketi sırasında molekülün koordinatları bir bütün olarak değişir.

Gaz parçacıklarının uzaysal dağılımının konsantrasyonu veya yoğunluğu bir integralle ifade edilebilir ve bir hacim elemanındaki ortalama parçacık sayısı çarpım tarafından belirlenir. Hacim öğesiyle, fiziksel olarak küçük bir hacmi kastediyoruz; problemde dikkate alınan boyutlara göre boyutları küçük olan bir uzay alanı. Aynı zamanda küçük bir hacmin boyutları moleküllerin boyutlarına göre büyüktür. Belirli bir hacim elemanındaki bir molekülün konumu hakkındaki ifade, molekülün konumunu, en iyi ihtimalle, yalnızca molekülün kendi boyutunu aşan mesafelerin doğruluğu ile belirler. İki klasik parçacığın koordinatlarının doğru bir şekilde belirlenmesi, eğer bir çarpışma meydana gelmişse, onların yörüngelerinin çarpışmadan önce ve sonra doğru bir şekilde belirlenmesini mümkün kılar. Parçacıkların tam göreceli konumlarının belirsizliği, çarpışma problemini çözmek için olasılıksal bir yaklaşımın kullanılmasını mümkün kılar. Klasik bir gazın dikkate alınması, yoğunluğun

makroskobik bir miktardır. Makroskobiklik yalnızca temel hacmin yeterince büyük sayıda parçacık içermesi durumunda ortaya çıkar (ancak o zaman temel hacimdeki parçacık sayısındaki değişiklik, söz konusu işlem sırasında küçüktür); bu durumda gazın kapladığı bölgenin doğrusal boyutları ortalama moleküller arası mesafeden önemli ölçüde daha büyük olmalıdır.

§2 Parçacık çarpışması.

Bazıları belirli bir aralıkta Γ değerlerine sahip, diğerleri ise aralıkta olan moleküllerin çarpışmasını ele alalım. Çarpışma sonucunda moleküller sırasıyla ve aralıklarında Γ değerlerini alırlar. Ayrıca, kısaca moleküllerin çarpışmasından ve geçişten bahsedeceğiz.

Birim hacim başına molekül sayısının, her molekülün belirtilen geçişle çarpışma yaşama olasılığı ile çarpımı, birim zaman başına birim hacim başına bu tür çarpışmaların toplam sayısını verecektir. Böyle bir olayın olasılığı (bunu belirli bir fonksiyonla belirtiyoruz), birim hacim başına molekül sayısı ve çarpışmadan sonra moleküllerin her birinin değer aralıkları ile orantılıdır. Böylece, birim zamanda birim hacim başına meydana gelen geçişli çarpışma sayısının şu şekilde olacağını varsayacağız:

(bir çizgi, başlangıç ​​durumlarını asal olmadan, son durumları gösterir). Çarpışma olasılığı, zaman işaretinin tersine çevrilmesiyle ilgili olarak mekanik yasalarından kaynaklanan önemli bir özelliğe sahiptir. Zaman işaretini ters çevirerek elde edilen tüm miktarların değerlerini üst simge T ile belirtirsek eşitlik gerçekleşecektir

Zamanın tersine çevrilmesi "önceki" ve "sonraki" durumları yeniden düzenler; bu da olasılık fonksiyonunun argümanlarının yeniden düzenlenmesi gerektiği anlamına gelir. Özellikle bu eşitlik sistemin dengede olması durumunda geçerlidir; dengede geçişle çarpışma sayısının geçişle çarpışma sayısına eşit olduğu ileri sürülebilir (*). Denge dağılım fonksiyonu ile gösterelim ve yazalım

Diferansiyellerin çarpımı, zaman tersine çevrildiğinde değişmeyen faz uzayının bir elemanıdır (eşitliğin her iki tarafındaki diferansiyeller ihmal edilebilir). Moleküllerin potansiyel enerjisi de değişmez ve bu nedenle yalnızca enerjiye bağlı olan denge (Boltzmann) dağılım fonksiyonu:

(2)

V, gazın bir bütün olarak makroskobik hareket hızıdır. İki molekül çarpıştığında enerjinin korunumu yasası nedeniyle. Bu nedenle (3) yazabiliriz.

Olasılık fonksiyonunun kendisinin prensip olarak yalnızca parçacık çarpışmalarının mekanik probleminin çözülmesiyle belirlenebileceği gerçeğini de belirtelim. Yukarıdaki (1), (2) ve (3) eşitlikleri (1)’deki kısaltmalardan sonra verilecektir.

Onaya tabidir (*)

Son eşitliği entegre ederek (ileride kullanmak üzere) şu ilişkiyi elde ederiz:

§3 Kinetik denklemin türetilmesi.

Zaman dağılım fonksiyonunun türevini ele alalım:

Gaz molekülleri bir dış alanın yokluğunda hareket ettiğinde, hareketin integralleri olarak Γ değerleri değişmez.

Türevin ifadesi şu şekilde olacaktır: (6)

Şimdi gazın, moleküllerin ağırlık merkezinin koordinatlarına etki eden (örneğin, yerçekimi alanında) bir dış potansiyel alanda olmasına izin verin. Ve F alandan parçacığa etki eden kuvvet olsun.

Eşitliğin sağ tarafını (6) ile gösteriyoruz. Sembol şu anlama gelir:

Çarpışmalardan dolayı dağılım fonksiyonunun değişim hızı ve büyüklüğü

faz hacmindeki molekül sayısındaki çarpışmalardan dolayı birim zamandaki değişimdir. Faz uzayında belirli bir noktada dağıtım fonksiyonundaki tam değişiklik şu şekilde yazılacaktır:

(8)

Miktar çarpışma integrali olarak adlandırılır ve (8) formunun denklemine kinetik denklem denir. Kinetik denklem (8) ancak çarpışma integralinin biçimi belirlendikten sonra gerçek anlamını kazanacaktır.

§3 Çarpışma integralinin formunun ve Boltzmann denkleminin belirlenmesi.

Moleküllerin çarpışması sırasında dağılım fonksiyonunun bağlı olduğu miktarlarda bir değişiklik meydana gelir. Parçacıkların çarpışmasının meydana gelip gelmediğine bakılmaksızın (bu yalnızca koordinatlardaki değişimin doğasını etkiler), sistemin durumunun gözlemlenme zamanının ve parçacıkların koordinatlarının değiştiği gerçeği göz önüne alındığında, tartışılabilir. çarpışan moleküllerin G değerlerinin değiştiği. Yeterince küçük bir aralık göz önüne alındığında, çarpışma sonrasında moleküllerin bu aralıktan uzaklaştığını görüyoruz; “bakım” eylemleri gerçekleştirilir. Çarpışan iki molekülün, daha önce olduğu gibi, çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki değerlere karşılık gelmesine izin verin (kısacası, bir geçişten bahsediyoruz).

Yukarıdaki geçişteki olası tüm değerlerle birlikte toplam çarpışma sayısı

Bir hacimde birim zamanda meydana gelen belirli bir olay için integral şu ​​şekilde belirlenir:

Aynı zamanda, çarpışmadan önce belirli bir aralığın dışında değerlere sahip olan moleküllerin bu aralığa düşmesi sonucu farklı türde çarpışmalar meydana gelir ("varış" adı verilir). Bu tür geçişler şu şekilde belirlenebilir: (tüm olası değerler verilmiştir). Birinci geçiş türüne benzer şekilde, hacimdeki birim zaman başına bu tür çarpışmaların toplam sayısı şuna eşittir:

Tüm çarpışmalar sonucunda, temel bir hacimde birim zamandaki molekül sayısındaki değişiklik, ayrılma eylemlerinin sayısı ile varış eylemlerinin sayısı arasındaki farkla belirlenir:

(9) , nerede

Çarpışma integrali şu şekilde tanımlanabilir:

(dVdГ faz hacminde birim zaman başına parçacık sayısındaki değişiklik)

(8) ve (9) bağıntılarından çarpışma integralinin formunu elde ederiz

İntegralin ikinci teriminde integrasyonun bittiğine dikkat edin.

yalnızca işlevle ilgilidir. Çarpanlar ve değişkenlere bağlı değildir. İntegralin bu kısmını (4) ilişkisini kullanarak dönüştürerek çarpışma integralinin son formunu elde ederiz.

ve kinetik denklem

Ortaya çıkan integral-diferansiyel denkleme Boltzmann denklemi denir.

Dış etkilerin yokluğunda sistemin denge durumunda zamandan bağımsız bir dağılım düşünelim. Bu dağılım durağandır (zamana bağlı değildir) ve homojendir (sistemin kapladığı alan içerisinde değişmez). Uygulanan koşullar, dağılım fonksiyonunun zamana ve üç koordinata göre türevini sıfırlar; kinetik denklemin sol tarafı kaybolur. İntegral eşitlik nedeniyle sıfıra gider (3). Sonuç olarak, dış alanların yokluğunda denge dağılımı kinetik denklemi aynı şekilde karşılar. Gaz, harici bir potansiyel (örneğin yer çekimi) alanının etkisi altında denge durumundaysa, bu durumda dağılım fonksiyonu kinetik denklemi karşılar. Aslında denge dağılımı hareketin integrali (molekülün toplam enerjisi) aracılığıyla ifade edilir. Kinetik denklemin sol tarafı, yalnızca hareketin integrallerine bağlı bir fonksiyonun türevi olarak sıfıra eşit olan toplam türevidir. Daha önce de belirtildiği gibi denklemin sağ tarafı sıfırdır. Böylece, bir dış potansiyel alanda denge halindeki bir gazın dağılım fonksiyonu da kinetik denklemi karşılar.

“Giriş” bölümünde belirtilen varsayımlara bir tane daha ekleyeceğiz: Moleküllerin çarpışmaları, uzayda bir “nokta”da meydana gelen anlık eylemler olarak kabul edilir. Kinetik denklem, çarpışmaların süresinden çok daha büyük bir zaman aralığında meydana gelen bir süreci tanımlar. Aynı zamanda, söz konusu sistemin bölgesi, moleküler kuvvetlerin etki yarıçapı d düzeyinde boyutlara sahip olan parçacık çarpışma bölgesini önemli ölçüde aşmalıdır. Büyüklük sırasına göre çarpışma süresi şu şekilde tanımlanabilir: (gazdaki moleküllerin ortalama hızıdır). Elde edilen değerler hangi kinetik denklemin kullanılabileceği dikkate alındığında mesafe ve zamanın alt sınırını temsil etmektedir. Gerçek fiziksel problemler, sürecin bu kadar ayrıntılı bir şekilde tanımlanmasını gerektirmez; Sistem boyutu ve gözlem süresi gerekli minimum süreyi önemli ölçüde aşıyor.

Bir gazda meydana gelen kinetik olayı niteliksel olarak değerlendirmek için iki parametre aracılığıyla çarpışma integralinin kaba tahminleri kullanılır: ortalama serbest yol ve serbest seyahat süresi. Molekülün, birim uzunluk ve taban alanı (molekülün etkili kesiti) olan düz bir silindirin hacminde bulunan moleküllerle çarpışarak birim uzunluk boyunca hareket etmesine izin verin. Bu hacimde moleküller var.

- moleküller arasındaki ortalama mesafe;

Değer, serbest çalışma süresidir. Çarpışma integralini kabaca tahmin etmek için şunları kullanabilirsiniz:

Payda yazılan fark, denge dağılım fonksiyonu için çarpışma integralinin sıfır olduğu gerçeğini hesaba katar ve eksi işareti, çarpışmaların istatistiksel dengeyi kurmaya yönelik bir mekanizma olduğunu gösterir; Dağıtım fonksiyonunun denge fonksiyonundan sapmasını azaltmaya çalışın (başka bir deyişle, sistemin minimum iç enerjisine karşılık gelen bir denge durumundan çıkarılan ve kendi başına bırakılan herhangi bir sistem, bir denge durumuna dönme eğilimindedir).

§3 Makroskobik denklemlere geçiş. Hidrodinamik süreklilik denklemi.

Boltzmann kinetik denklemi bir gazın durumunun evriminin mikroskobik bir tanımını verir. Ancak pratikte, süreçleri bu kadar ayrıntılı bir şekilde tanımlamak çoğu zaman gerekli değildir, bu nedenle hidrodinamik sorunları, homojen olmayan veya yüksek oranda seyreltilmiş gazlarda süreçlerin ortaya çıkması sorunları, termal iletkenlik sorunları ve gazların difüzyonu ve diğer bazı sorunlar göz önüne alındığında, , daha az ayrıntılı (ve dolayısıyla daha basit) makroskobik denklemlere geçmek mantıklıdır. Bu açıklama, gazın makroskobik özellikleri (sıcaklık, yoğunluk, parçacık konsantrasyonu, basınç, vb.) gazda keyfi olarak seçilen herhangi bir yön boyunca yeterince yavaş değiştiğinde gaza uygulanabilir. Makroskobik parametrelerde önemli bir değişikliğin meydana geldiği mesafeler, moleküllerin serbest yolunu önemli ölçüde aşmalıdır.

Örnek olarak, bir hidrodinamik denklem elde etmek için bir yöntem düşünün.

İfade, gaz moleküllerinin uzaydaki dağılım yoğunluğunu (gaz moleküllerinin konsantrasyonu) belirler. Bir molekülün kütlesinin (gazın aynı parçacıklardan oluştuğu varsayılır) moleküllerin dağılım yoğunluğu ile çarpımı, gazın kütle yoğunluğunu verir: . Bir bütün olarak gazın makroskobik hareket hızıyla ve moleküllerin mikroskobik hızıyla belirtelim. Makroskobik hız (kütle merkezinin hareket hızı), moleküllerin mikroskobik hızlarının ortalaması olarak tanımlanabilir.

Çarpışmalar, çarpışan parçacıkların sayısını veya bunların toplam enerjisini veya momentumunu değiştirmez (moleküllerin çarpışması kesinlikle esnek bir çarpışma olarak kabul edilir). Dağılım fonksiyonundaki değişikliğin çarpışma kısmı, hacim elemanlarının her birinde gazın yoğunluğunda, iç enerjisinde, hızında ve diğer makroskobik parametrelerinde bir değişikliğe yol açamaz. Aslında, gazın birim hacmi başına toplam molekül sayısındaki değişimin çarpışma kısmı sıfıra eşit integral ile verilir:

Bu eşitliğin geçerliliğini şu şekilde doğrulayalım:

Entegrasyon değişkenlerin her biri üzerinde gerçekleştirilir; bu, integrali değiştirmeden değişkenleri yeniden tasarlamanın mümkün olduğu anlamına gelir, örneğin ikinci integralde:

Son ifade açıkça sıfıra eşittir ve bu nedenle eşitlik (14) geçerlidir.

Kinetik denklemi yazalım ve daha önce her iki parçasını da m parçacığının kütlesiyle çarparak onu şu şekilde entegre edelim:

Buradan hemen hidrodinamik süreklilik denklemini elde ederiz:

Bu diferansiyel denklemde akışkan yoğunluğundaki değişim belirtilerek ve akışkanın sıkıştırılamaz olduğu dikkate alınarak, akışkanın herhangi bir noktasında hız yönlerinin vektör alanı elde edilebilir.

§4. Biraz homojen olmayan gaz. Gazın termal iletkenliği.

Tüm gerçek fiziksel süreçler mutlaka bir miktar enerji kaybıyla meydana gelir (yani enerji dağılımı meydana gelir - sıralı hareketin enerjisinin kaotik hareketin enerjisine, örneğin gaz moleküllerinin termal hareketine geçişi). Zayıf derecede homojen olmayan bir gazdaki enerji tüketen süreçleri (ısıl iletkenlik veya viskozite) dikkate almak için, aşağıdaki yaklaşımın kullanılması gerekir: gazın küçük bir bölgesindeki dağıtım fonksiyonunun, homojen bir gaz durumunda olduğu gibi, yerel olarak dengede olmadığı düşünülmelidir. , ancak dengeden yeterince küçük bir miktar kadar (gaz zayıf bir şekilde homojen olmadığından) farklılık gösterir. Dağıtım fonksiyonu formu alacak ve düzeltmenin kendisi forma yazılacaktır. Fonksiyonun belirli koşulları karşılaması gerekir. Parçacık sayısının yoğunluğu, gazın enerjisi ve momentumu verilirse

onlar. integraller denge fonksiyonuna karşılık gelir, o zaman dengesizlik fonksiyonu bu miktarların aynı değerlerine yol açmalıdır (integraller ve çakışmalıdır), bu yalnızca şu durumlarda meydana gelir:

Kinetik denklemdeki (13) çarpışma integralini dönüştürelim: dağılım fonksiyonu ve düzeltmeler için ifadelerin değiştirilmesi, denge dağılım fonksiyonunu içeren çarpışma integrallerinin sıfırlanması, küçük bir düzeltme içermeyen terimlerin indirgenmesi. Birinci dereceden şartları vereceğiz. Sembol, doğrusal integral operatörünü belirtmek için tanıtıldı

Zayıf homojen olmayan bir gaz için kinetik denklemi (türetmeden) yazalım, termal iletkenlik problemini dikkate almak için denklemin sol tarafında sıcaklık gradyanına sahip yalnızca bir terim bırakalım.

*************************************************

§4. Tek atomlu bir gazın ısıl iletkenlik katsayısının hesaplanması

Bir gazın ısıl iletkenlik katsayısını hesaplamak için yukarıda yazılan denklemi sıcaklık gradyanı ile çözmek gerekir.

Sadece niceliklerin vektör fonksiyonu olsun. Daha sonra () formundaki denklemin çözümünü arayacağız. Bu çözümü denklemde () yerine koyarken bir faktör elde ederiz. Denklem (), sıcaklık gradyan vektörünün tamamen keyfi değerleri için geçerlidir, o zaman eşitliğin her iki tarafındaki katsayılar eşit olmalıdır. Sonuç olarak denklemi elde ederiz

Denklem bir sıcaklık gradyanı içermez ve bu nedenle koordinatlara açık bir bağımlılığı yoktur. İşlev önceden belirtilen koşulları () karşılamalıdır. İlk iki koşul açıkça karşılanmıştır (denklem (), sabit vektör integrallerinin yönlendirilebileceği herhangi bir vektör parametresi içermez)

VE). Üçüncü integral g fonksiyonuna ilişkin ek bir koşuldur. Kinetik denklem çözülürse ve fonksiyon

tanımlandığında, enerji akışını veya daha doğrusu enerjinin konvektif transferi ile ilişkili olmayan enerji tüketen kısmını hesaplayarak termal iletkenlik katsayısını belirlemek mümkündür (enerji akışının bu kısmını ile belirtiriz). Gazda makroskobik hareketin yokluğunda Q, integral aracılığıyla ifade edilebilen toplam enerji akışı Q ile çakışır.

Sistem dengedeyse, gazdaki olası tüm yönlerdeki entegrasyon nedeniyle bu integral sıfıra eşittir. () yerine değiştirildiğinde kalır

Bileşenlerde

Denge gaz ortamının izotropisinden dolayı, içinde seçilmiş yönler yoktur ve tensör yalnızca birim tensör cinsinden ifade edilebilir; bir skalere indirgenir

Böylece enerji akışı, miktarın skaler termal iletkenlik katsayısı olduğu şekilde ifade edilir.

Q akışı, sıcaklık gradyanının tersi yönde yönlendirilmelidir ve buna göre değer, kinetik denklem () tarafından otomatik olarak sağlanan pozitif olmalıdır. Tek atomlu gazlarda hız v, g fonksiyonunun bağlı olduğu tek vektördür (çok atomlu gazlarda g yalnızca v hızına değil aynı zamanda M torkuna da bağlıdır). Tek atomlu gazlar için g fonksiyonu şu şekildedir:

.

§5.Kinetik bir denklemi çözme örneği

Gaz molekülleri oldukça karmaşık yasalara göre etkileşime girer. Bu özellikle gerçek çok atomlu gazlar için geçerlidir. Gaz moleküllerinin davranışının doğasına ilişkin yapılan varsayımlar, akıl yürütmeyi basitleştirmeyi (veya hatta prensipte mümkün kılmayı) mümkün kılar, ancak bizi bir şekilde gerçeklikten uzaklaştırır. Çarpışma integralindeki işlevi belirleyen karmaşık moleküler etkileşim yasaları, belirli gazlar için Boltzmann denklemini tam olarak yazmamıza bile izin vermez. Moleküler etkileşimin doğası basitleştirilse bile kinetik denklemin matematiksel yapısı oldukça karmaşık kalır ve çözümünü analitik biçimde bulmak zordur. Gazların kinetik teorisinde, Boltzmann denkleminin yaklaşık çözümü için analitik bir çözüm denemesinden daha etkili olan özel yöntemler kullanılır. Örnek olarak tek atomlu bir gazı ve termal iletkenlik problemini düşünün.

ve denge dağılım fonksiyonu şu şekli alacaktır:

Denklemin () yaklaşık çözümü için etkili bir yöntem, istenen fonksiyonların karşılıklı ortogonal fonksiyonlardan oluşan tam bir sisteme genişletilmesine dayanır. Bu tür işlevler olarak, formüllerle tanımlanan Sonin polinomlarını göz önünde bulundurun:

Bu formülde r keyfidir ve s pozitif bir tamsayı veya sıfırdır. dürüst olmak gerekirse

Belirli bir r indeksi ve farklı s indeksleri için bu polinomların ortogonallik özelliği şöyle görünür:

Denklemin çözümünü aşağıdaki açılım şeklinde arıyoruz

Genişlemede s=0 olan terimi atlayarak tatmin edici ifadeyi () elde ederiz (farklı s'li polinomların dikliği nedeniyle integral sıfıra ayarlanır). Sol taraftaki parantez içindeki ifade ()

Orada. Denklem () formunu alır

Son ifade için gösterim tanıtıldı

Momentumun korunumu nedeniyle l=0 denklemi yoktur.

Isı iletkenlik katsayısı, () ifadesinin integral () ile değiştirilmesiyle hesaplanır. () koşulu dikkate alındığında, integral (c) şu şekilde temsil edilebilir:

Sonuç olarak buluyoruz.

Sonon polinom açılımını kullanan sayısal yöntemin etkinliği, sağ tarafın () ve son ifadenin () basitliği ile değerlendirilebilir. Çözüm sırasında elde edilen sonsuz doğrusal cebirsel denklem sistemi yapay kesme sonrasında çözülür.

Çözüm.

Boltzmann kinetik denkleminin türetilmesi için dikkate alınan yöntem, fiziksel açıdan oldukça tatmin edicidir. Bununla birlikte kinetik denklem, gaz parçacıklarının hareketini tanımlamak için kullanılan matematiksel aparatlardan da elde edilebilir. 1946'da N. N. Bogolyubov dinamik olarak adlandırılan böyle bir sonuca vardı. Bogolyubov yöntemi yalnızca Boltzmann denkleminin elde edilmesine değil, aynı zamanda düzeltmelerin yapılmasına da olanak tanır; küçük gaz içeriği parametresinde aşağıdaki sıralar geçerlidir. Örneğin, yukarıdaki türetme yalnızca iki molekülün eşzamanlı çarpışmasını hesaba katar ve çarpışmaların tek bir noktada meydana geldiğini varsayar; yereldir ve üç, dört veya daha fazla parçacıktan oluşan grupların çarpışmasını hesaba katacak az çok açık bir formül yoktur. Bu arada, yoğun gazlar söz konusu olduğunda bu tür çarpışmaların dikkate alınmasının temel olarak önemli olduğu açıktır. Bu bağlamda kinetik denklemin türetilmesi ve olası genellemelerine daha titiz bir yaklaşım getirilmesi tavsiye edilir. Bogolyubov'un yöntemi dikkate almamıza izin veriyor

Çarpışmanın “mekansızlığı” ve ikiden fazla parçacığın çarpışmasında ortaya çıkan belirli düzeltme terimleri yardımıyla türetilmesi. Düzeltmelerin ihmal edilmesi kinetik denklemin en basit durumda elde edilen forma getirilmesine yol açar.

Referanslar.

1. E.M.Lifshits, L.P.Pitaevsky. Fiziksel kinetik. Nauka, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamik, istatistiksel fizik ve kinetik.

Boltzmann denklemi (Boltzmann kinetik denklemi), adını ilk düşünen Ludwig Boltzmann'dan alan bir denklemdir ve bir gaz veya sıvıdaki parçacıkların istatistiksel dağılımını tanımlar. Fiziksel kinetiğin (örneğin, sıcaklık gradyanlarının ve elektrik alanlarının varlığında termodinamik dengeden uzak sistemleri tanımlayan istatistiksel fizik alanı) en önemli denklemlerinden biridir. Boltzmann denklemi, sıvılarda ve gazlarda ısı ve elektrik yükünün taşınmasını incelemek için kullanılır ve bundan elektriksel iletkenlik, Hall etkisi, viskozite ve termal iletkenlik gibi taşıma özellikleri elde edilir. Denklem, parçacıklar arasındaki etkileşim süresinin kısa olduğu (moleküler kaos hipotezi) seyrekleştirilmiş sistemler için geçerlidir.

Formülasyon

Boltzmann denklemi zaman içindeki evrimi açıklar ( T) yoğunluk dağılım fonksiyonları F(X, P, T) tek parçacık faz uzayında, burada X Ve P- sırasıyla koordinat ve momentum. Dağıtım şu şekilde tanımlanır:

faz hacmindeki parçacıkların sayısıyla orantılı d³x d³p zamanın bir noktasında T. Boltzmann denklemi

c o l l . (\displaystyle (\frac (\kısmi f)(\kısmi t))+(\frac (\kısmi f)(\kısmi \mathbf (x) ))\cdot (\frac (\mathbf (p) )(m ))+(\frac (\kısmi f)(\kısmi \mathbf (p)))\cdot \mathbf (F) =\left.(\frac (df)(dt))\right|_(\mathrm ( toplu) ))(X, T Burada F) bir sıvı veya gaz içindeki parçacıklara etki eden kuvvetlerin alanıdır ve (\displaystyle (\frac (\kısmi f)(\kısmi t))+(\frac (\kısmi f)(\kısmi \mathbf (x) ))\cdot (\frac (\mathbf (p) )(m ))+(\frac (\kısmi f)(\kısmi \mathbf (p)))\cdot \mathbf (F) =\left.(\frac (df)(dt))\right|_(\mathrm ( toplu) ))(X, T M - parçacıkların kütlesi. Denklemin sağ tarafındaki terim, parçacıklar arasındaki çarpışmaları hesaba katmak için eklenir ve çarpışma integrali olarak adlandırılır. Sıfır ise parçacıklar hiç çarpışmaz. Bu duruma genellikle tek parçacıklı Liouville denklemi denir. Eğer kuvvet alanı) dağıtım fonksiyonuna bağlı olarak uygun, kendi kendine tutarlı bir alanla değiştirin

, daha sonra kendi kendine tutarlı bir alandaki yüklü plazma parçacıklarının dinamiklerini tanımlayan Vlasov denklemini elde ederiz. Klasik Boltzmann denklemi, plazma fiziğinin yanı sıra yarı iletkenler ve metallerin fiziğinde de kullanılır (kinetik olayları, yani bir elektron sıvısındaki yük veya ısı transferini tanımlamak için).

L ^ G R = ∑ α p α ∂ ∂ x α − ∑ α β γ Γ β γ α p β p γ ∂ ∂ p α , (\displaystyle (\hat (\mathbf (L) ))_(\mathrm (GR) ) )=\sum _(\alpha )p^(\alpha )(\frac (\partial )(\partial x^(\alpha )))-\sum _(\alpha \beta \gamma )\Gamma _( \beta \gamma )^(\alpha )p^(\beta )p^(\gamma )(\frac (\partial )(\partial p^(\alpha ))),) Çarpışma integrali Parçacıklar arasındaki çarpışmalar hızlarında değişikliklere yol açar. Eğer W (v , v ′) d 3 v ′ d t (\displaystyle W(\mathbf (v) ,\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime )dt) hıza sahip bir durumdan bir parçacığın saçılma olasılığını belirtir v (\displaystyle \mathbf (v)) hızlı bir duruma

c o l l = ∫ v ′ [ f (t , r , v ′) W (v ′ , v) − f (t , r , v) W (v , v ′) ] d 3 v ′ (\displaystyle \left.( \frac (\partial f)(\partial t))\right|_(coll)=\int _(\mathbf (v) ^(\prime ))d^(3)v^(\prime ))

Parçacık istatistiklerinin kuantum doğası durumunda, bu ifade, iki parçacığın aynı kuantum sayılarına sahip bir durumda olmasının imkansızlığı nedeniyle karmaşıklaşır ve bu nedenle işgal edilmiş durumlara saçılmanın imkansızlığını hesaba katmak gerekir.

Dinlenme zamanı yaklaşıyor

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) Nerede f 0 (v) (\displaystyle f_(0)(\mathbf (v))) - denge dağılım fonksiyonu, yalnızca parçacık hızlarına bağlıdır ve termodinamikten bilinir ve f 1 (\displaystyle f_(1))

- hafif sapma.

Bir gazın istatistiksel açıklaması, gaz moleküllerinin faz uzayındaki dağılım fonksiyonu ile gerçekleştirilir; burada molekülün genelleştirilmiş koordinatları kümesi, koordinatlara karşılık gelen genelleştirilmiş dürtüler kümesidir, zamandır (dağılım fonksiyonu bağlıdır) sabit olmayan bir durumda zamanında). Çoğu zaman Г sembolü, molekül koordinatları ve zaman hariç, dağılım fonksiyonunun bağlı olduğu tüm değişkenlerin kümesini belirtir. Niceliklerin önemli bir özelliği vardır: Her molekülün serbest hareketi sırasında sabit kalan hareketlerdir.

Dolayısıyla tek atomlu bir gaz için miktarlar atomun üç bileşenidir. İki atomlu bir molekül için buna momentum ve tork dahildir.

Temel kinetik denklem

Gazların kinetik teorisinin (veya kinetik denklemin) temel denklemi, dağılım fonksiyonunu tanımlayan denklemdir.

çarpışma integrali nerede, denklem (1)'e kinetik denklem denir. Sembol, moleküllerin çarpışması nedeniyle dağılım fonksiyonunun değişim hızını ifade eder. Kinetik denklem ancak çarpışma integrali oluşturulduktan sonra gerçek anlam kazanır. Daha sonra kinetik denklem (2) formunu alır. Bu integral-diferansiyel denklem aynı zamanda Boltzmann denklemi olarak da adlandırılır:

Denklemin (2) sağ tarafının ne olduğunu açıklamak gerekir.

İki molekül çarpıştığında değerleri değişir. Dolayısıyla bir molekülün yaşadığı her çarpışma onu verilen d aralığının dışına çıkarır. Geçişli toplam çarpışma sayısı belirli bir G için, bir hacimde birim zamanda meydana gelen tüm olası değerlerle dV, integrale eşittir:

(giden parçacıklar)

Bazı moleküller çarpışmalar nedeniyle dG aralığına düşer (geçişlerle çarpışmalar) ). Bu tür çarpışmaların toplam sayısı (dV hacminde birim zaman başına) şuna eşittir:

(gelen parçacıklar).

Varış hareketlerinin sayısından çıkış hareketlerinin sayısını çıkarırsak, tüm çarpışmalar sonucunda söz konusu molekül sayısının 1c arttığı açıktır.

Bir gazdaki kinetik olayın niteliksel olarak değerlendirilmesi için, ortalama serbest yol l (ardışık iki çarpışma arasında bir molekülün kat ettiği belirli bir ortalama mesafe) kavramı kullanılarak çarpışma integralinin kaba bir tahmini kullanılır. Orana serbest çalışma süresi denir. Çarpışma integralinin kaba bir tahmini için aşağıdaki varsayılır:

Paydaki (3) fark, denge dağılım fonksiyonu için çarpışma integralinin 0'a dönmesini dikkate alır. Eksi işareti çarpışmaların istatistiksel dengeyi kurmaya yönelik bir mekanizma olduğu gerçeğini ifade eder.

Boltzmann kinetik denklemi

Boltzmann kinetik denklemi, küçük bir gazın durumunun evriminin mikroskobik bir tanımını verir. Kinetik denklem, zaman içinde birinci dereceden bir denklemdir; bir sistemin, bir dağılım fonksiyonuna sahip bazı başlangıçtaki dengesizlik durumundan, en olası dağıtım fonksiyonuna sahip bir nihai denge durumuna geri döndürülemez geçişini tanımlar.

Kinetik denklemi çözmek matematiksel açıdan çok zordur. Çözümündeki zorluklar, fonksiyonun yedi skaler değişkene bağlı çok boyutlu olmasından ve denklemin sağ tarafının karmaşık yapısından kaynaklanmaktadır.

Dağılım fonksiyonu yalnızca x koordinatına ve hız bileşenine bağlıysa Boltzmann kinetik denklemi şu şekildedir:

çarpışmadan önce ve sonra moleküllerin dağılım fonksiyonları nerede ve nelerdir; – moleküllerin hızı; moleküllerin etkileşimine bağlı olarak dW katı açısı başına diferansiyel etkili saçılma kesitidir. - Çarpışmaların bir sonucu olarak dağıtım fonksiyonundaki değişiklik. -partikül sayısı yoğunluğundaki değişiklik. parçacığa etki eden kuvvettir.

Gaz aynı tür parçacıklardan oluşuyorsa kinetik denklem şu şekilde yazılabilir:

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) – noktaya yakın faz hacmindeki bir elementteki ortalama parçacık sayısı ( - birim zaman başına t zamanında () noktasına yakın parçacık sayısının yoğunluğundaki değişiklik.

Boltzmann denklemi şu durumlarda geçerlidir:

Sistem istatistiksel denge durumundaysa çarpışma integrali kaybolur ve Boltzmann denkleminin çözümü dağılımdır. Boltzmann denkleminin uygun koşullar için çözülmesi, kinetik katsayıların hesaplanmasına ve çeşitli taşıma işlemleri ( , viskozite, ) için makroskopik denklemlerin elde edilmesine olanak tanır. Dünyanın yerçekimi alanında Boltzmann denkleminin çözümü iyi bilinen barometrik formüldür.

Boltzmann denkleminin çözümleri esas alınarak gazın makroskobik davranışı, viskozite ve ısıl iletkenlik katsayılarının hesaplanması anlatılmaktadır.

Kinematik denklem, seyreltilmiş gazların dinamiği için temel denklemdir ve yüksek uçuş irtifalarındaki uçakların aerodinamik hesaplamaları için kullanılır.

Problem çözme örnekleri

ÖRNEK 1

Şimdi gazların kinetik teorisinin temel denkleminin, dağılım fonksiyonunu belirleyen denklemin türetilmesine geçelim.

Eğer moleküllerin çarpışmaları tamamen ihmal edilebilseydi, o zaman her gaz molekülü kapalı bir alt sistemi temsil ederdi ve Liouville teoremi moleküllerin dağılım fonksiyonu için geçerli olurdu.

(bkz. V, § 3). Burada toplam türev, molekülün hareket denklemleriyle belirlenen faz yörüngesi boyunca farklılaşması anlamına gelir. Liouville teoreminin, tam olarak faz uzayındaki yoğunluk olarak tanımlanan bir dağılım fonksiyonu için geçerli olduğunu hatırlayın (yani, genelleştirilmiş koordinatları ve momentumları kanonik olarak eşlenik olan değişkenlerin uzayında).

Bu durum müdahale etmez. Elbette f fonksiyonunun kendisinin başka değişkenlerle ifade edilebileceği gerçeği.

Harici bir alanın yokluğunda, serbestçe hareket eden bir molekülün Γ miktarları sabit kalır ve yalnızca koordinatları değişir; aynı zamanda

Eğer gaz, örneğin, molekülün eylemsizlik merkezinin koordinatlarına etki eden bir dış alandaysa (örneğin, yerçekimi alanında), o zaman

alandan moleküle etki eden kuvvet nerede.

Çarpışmaların dikkate alınması eşitliği (3.1) ihlal eder; dağıtım fonksiyonu faz yörüngeleri boyunca sabit olmaktan çıkar. (3.1) yerine yazmalıyız

Burada sembol, dağılım fonksiyonunun çarpışmalara bağlı değişim hızını ifade eder: Faz hacmindeki molekül sayısında çarpışmalar nedeniyle birim zamanda bir değişiklik vardır şeklinde yazılır.

denklem (3.4) ((3.2)'den) faz uzayında belirli bir noktada dağılım fonksiyonundaki toplam değişimi belirler; bu terim, faz uzayının belirli bir elemanındaki moleküllerin sayısında, serbest hareketleriyle ilişkili olarak (1 saniyede) bir azalmadır.

Bu niceliğe çarpışma integrali adı verilir ve (3.4) formundaki denklemlere genellikle kinetik denklemler denir. Elbette kinetik denklem ancak çarpışma integralinin formunu oluşturduktan sonra gerçek anlam kazanır. Şimdi bu konuya döneceğiz.

İki molekül çarpıştığında Γ değerleri değişir. Dolayısıyla bir molekülün yaşadığı her çarpışma onu belli bir aralığın dışına çıkarır; bu tür çarpışmalardan kaçış eylemi olarak söz edilir.

Tüm olası değerlere sahip geçişlerle toplam çarpışma sayısı; belirli bir Γ için, bir hacimde birim zaman başına meydana gelen dV, integrale eşittir

Bununla birlikte, başlangıçta belirli bir aralığın dışında kalan Γ değerlerine sahip olan moleküllerin bu aralığa düşmesi sonucunda bu tür çarpışmalar (“varış”) da meydana gelir. Bunlar, belirli bir G için yine tümünün mümkün olduğu geçişli çarpışmalardır. Bu tür çarpışmaların toplam sayısı (hacim dV'sinde birim zaman başına) şuna eşittir:

Varış hareketlerinin sayısından çıkış hareketlerinin sayısını çıkardığımızda, tüm çarpışmalar sonucunda söz konusu molekül sayısının 1 saniye arttığını görüyoruz.

kısalık için nerede belirtiyoruz

Böylece çarpışma integrali için aşağıdaki ifadeyi buluruz:

İntegraldeki ikinci terimde entegrasyon yalnızca w fonksiyonuna uygulanır; faktörler bu değişkenlere bağlı değildir. Dolayısıyla integralin bu kısmı üniterlik ilişkisi (2.9) kullanılarak dönüştürülebilir. Sonuç olarak çarpışma integrali şu şekli alır:

her iki terimin de aynı katsayıyla girdiği yer.

Çarpışma integralinin formunu belirledikten sonra kinetik denklemi yazma fırsatı bulduk.

Bu integro-diferansiyel denklem aynı zamanda Boltzmann denklemi olarak da adlandırılır. İlk olarak 1872 yılında kinetik teorinin kurucusu Ludwig Boltzmann tarafından kurulmuştur.

Denge istatistiksel dağılımı kinetik denklemi aynı şekilde karşılamalıdır. Bu koşul gerçekten karşılanmıştır. Denge dağılımı sabittir ve (dış alanın yokluğunda) homojendir; dolayısıyla denklemin (3.8) sol tarafı aynı şekilde kaybolur. Çarpışma integrali de sıfıra eşittir: eşitlik (2.5) sayesinde integral sıfır olur. Elbette, bir gazın dış alandaki denge dağılımı da kinetik denklemi karşılar. Kinetik denklemin sol tarafının, yalnızca hareketin integrallerine bağlı olarak herhangi bir fonksiyon için aynı şekilde sıfır olan df/dt toplam türevi olduğunu hatırlamak yeterlidir; denge dağılımı yalnızca hareketin integrali (molekülün toplam enerjisi) aracılığıyla ifade edilir.

Sunulan kinetik denklemin türetilmesinde, moleküllerin çarpışmaları esasen uzayda bir noktada meydana gelen anlık olaylar olarak kabul edildi. Bu nedenle kinetik denklemin prensipte dağılım fonksiyonundaki değişikliği yalnızca çarpışmaların süresine göre daha büyük zaman aralıklarında ve çarpışma bölgesinin boyutuna göre daha büyük mesafelerde izlemeye izin verdiği açıktır. . İkincisi, d moleküler kuvvetlerinin etki yarıçapının büyüklük sırasına göredir (boyutlarıyla çakışan nötr moleküller için); çarpışma süresi büyüklük sırasına göredir. Bu değerler, kinetik denklemin dikkate almasına izin verilen mesafelerin ve sürelerin alt sınırını belirler (bu kısıtlamaların kökenine § 16'da döneceğiz). Ancak aslında sistemin davranışının bu kadar ayrıntılı bir açıklamasına genellikle gerek yoktur (hatta olasılık bile yoktur); bu, özellikle başlangıç ​​koşullarının (gaz moleküllerinin uzaysal dağılımı) aynı doğrulukla belirlenmesini gerektirir ki bu pratikte imkansızdır. Gerçek fiziksel sorularda, problemin koşulları tarafından sisteme dayatılan L uzunluğu ve T zamanının karakteristik parametreleri vardır (bir gazın makroskobik miktarlarının gradyanlarının karakteristik uzunlukları, içinde yayılan ses dalgalarının uzunlukları ve periyotları, vb.). ). Bu tür problemlerde sistemin davranışını yalnızca bu L ve T ile karşılaştırıldığında küçük olan mesafelerde ve zamanlarda izlemek yeterlidir. Başka bir deyişle, fiziksel olarak sonsuz küçük hacim ve zaman elemanları yalnızca L ve T ile karşılaştırıldığında küçük olmalıdır. T. Problemin başlangıç ​​koşulları da bu elemanlar üzerinden ortalama olarak belirtilir.

Tek atomlu bir gaz için, Γ miktarları atomik momentumun üç bileşenine indirgenir ve (2.8)'e göre çarpışma integralindeki w fonksiyonu şu fonksiyonla değiştirilebilir:

Daha sonra bu fonksiyonu (2.2)'ye göre diferansiyel çarpışma kesiti aracılığıyla ifade ettikten sonra, şunu elde ederiz:

Fonksiyonu ve (2.2)'ye göre belirlenen kesiti, momentum ve enerjinin korunumu yasalarını ifade eden fonksiyonel faktörleri içerir, bu nedenle değişkenler (belirli bir ) için aslında bağımsız değildir. Ancak çarpışma integrali (3.9) formunda ifade edildikten sonra, bu -fonksiyonların ilgili integraller tarafından zaten ortadan kaldırıldığını varsayabiliriz; o zaman (belirli bir IR için) yalnızca saçılma açısına bağlı olarak olağan saçılma kesiti olacaktır.

Boltzmann denklemi

Ludwig Boltzmann, Avusturyalı teorik fizikçi, Avusturya Bilimler Akademisi üyesi, klasik kinetik teorinin kurucularından biri.

Şimdi T 1 ve T 2 sıcaklıklarına sahip, farklı şekilde ısıtılan iki gazın temas ettiğinde benzer şekilde davrandığını hesaba katalım. > T1 . Bunlardan biri ısınır, diğeri soğur ve bir süre sonra sıcaklıkları eşitlenir (T). Gazlar bir duruma gelir termal denge ve ısı değişimi durur. Söylenenleri bir diyagramla örnekleyelim.

Bu yüzden, K Ve T Tamamen aynı şekilde davranırlar: Gazlar temas ettiğinde bu özelliklerin her ikisi de aynı şekilde değişir ve daha sonra karşılaştırılır; bu da enerji durumlarına veya termal dengeye karşılık gelir. Titiz hesaplamaların gösterdiği gibi, bu özellikler birbirleriyle orantılı bir ilişkiyle ilişkilidir: T~W.

Hatta bir gazın sıcaklığını moleküllerinin kinetik enerjisine göre ölçmek bile mümkün olabilir. Bununla birlikte, bu sakıncalı olacaktır, çünkü o zaman sıcaklığı joule cinsinden ölçmek gerekli olacaktır; bu, ilk olarak alışılmadık bir durum ve ikinci olarak sıcaklığı çok küçük sayılarla ifade edecektir. Örneğin 273 K'ye eşit buzun erime sıcaklığı 5,7 · 10 -21 L olarak ifade edilecektir. Sıcaklığı olağan Kelvin seviyesinde tutmak için (veya °C), kabul etmek en uygunu

boyut faktörü nerede k ([k] - J/K), K birimleri cinsinden sıcaklık ölçümü sağlar ve sayısal katsayı 2/3 eklenir çünkü W'ye Clausius denkleminde. Bu şekilde ölçülen sıcaklık şu şekilde gösterilecektir: T ve ara termodinamik sıcaklık:

Son ifadeden şu çıkıyor Boltzmann denklemi:

f = f 0 + f 1 (\displaystyle f=f_(0)+f_(1)) k = 1,38 10 -23 J/K Boltzmann sabitidir (sayısal değeri teorik olarak daha sonra elde edilecektir). Sıfır termodinamik sıcaklığın (0 K) fiziksel anlamı Boltzmann denkleminden gelir: T= 0 olacak W k = 0, onlar. sıfır Kelvin'de moleküllerin hareketi durur (yani termal hareket).