Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklem ve normal denklem.

Çuvaş Cumhuriyeti Eğitim ve Gençlik Politikası Bakanlığı

BOU DPO (PC) C "Çuvaş Cumhuriyet Eğitim Enstitüsü"

Çuvaşistan Eğitim Bakanlığı

Matematik ve Bilgi Teknolojileri Bölümü

Konuyla ilgili ders çalışması:

«Fonksiyonel denklemler. Bunları çözme yöntemleri"

Tamamlayan: matematik öğretmeni MBOU "60 Nolu Ortaokul"

Şaboksarı

Flegentova A.A.

Cheboksary, 2014

Giriş…………………………………………………….……………..……3

Bölüm 1. Fonksiyonel denklem kavramı……………………………...5

Bölüm 2. Pratik kısım. Fonksiyonel bir denklemi çözme yöntemleri.9

Sonuç………………………………………………………………………………….24

Referanslar………………………………………………………………25

Başvurular………………………………………………………………………………...26

giriiş

Okul çocuklarının ustalaşması gereken en önemli matematik becerilerinden biri denklem çözme yeteneğidir. Bir denklemin kökü bir veya daha fazla eylemde bulunur, birçok sözlü problem cebirsel olarak çözülür, denklem tamsayıları, rasyonelleri ve diğer sayıları içerebilir, yani denklemlerin kendisi aynı anda problemleri çözmek için görevler ve yöntemlerdir, çözme yeteneği tüm okul öğrencileri için gereklidir. Ancak eğitim görevlerini çözerken çözemediğim bir denklemle karşılaştım. Daha sonra öğretmenden öğrendiğime göre bu fonksiyonel bir denklemdi.

Fonksiyonel denklemler nelerdir? Ve bunları çözmenin hangi yolları var? Bu sorular ilgimi çekti ve araştırma yapmaya karar verdim.fonksiyonel Cauchy denklemi

Fonksiyonel denklemler çok uzun zamandır çalışılıyor; bu ders matematik programlarında hiçbir zaman layık bir yer bulamadı. Çok yazık. Sonuçta, bireysel fonksiyonel denklemleri çözmek, konunun oldukça derinlemesine anlaşılmasını gerektirir ve bağımsız yaratıcı çalışma sevgisini aşılar. Bu konu, karmaşıklığı nedeniyle okul derslerinde çalışılmadığından, prestijli üniversitelere girerken, Olimpiyatlarda ve Birleşik Devlet Sınavının C Bölümünde bu tür sorunlarla karşılaşılmaktadır.

Şu anda fonksiyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreten neredeyse hiç ders kitabı yok.

Bu nedenle, basit ve spesifik örnekler kullanarak, okuyucuya mütevazı bir matematik eğitimi ile fonksiyonel denklemlerin çözümüne yönelik modern yöntemlerin tüm cephaneliğini gösterebilecek bir kılavuza ihtiyaç vardır.

Çalışmanın amacı, sistemlerinde fonksiyonel bir denklemin ne olduğunu bulmak, bunu çözmenin yollarını bulmak ve matematik derslerinde kullanılmak üzere bir problem koleksiyonu derlemektir.

Araştırma hedefleri:

1. Literatür çalışması ve analizi;

2. Fonksiyonel denklemleri ve sistemlerini çözmenin yollarını aramak;

3. Fonksiyonel denklemlerin çözümü

4. bir koleksiyonun derlenmesi

Çalışmanın amacı: fonksiyonel denklemler

Araştırma konusu: fonksiyonel denklemlerin özelliklerinin ve çözüm yöntemlerinin incelenmesi.

Yapı: giriş, fonksiyonel denklem kavramı, problemlerin toplanması, sonuç.

Bölüm 1. Fonksiyonel denklem kavramı

Fonksiyonel denklem, bir veya daha fazla bilinmeyen fonksiyon içeren (belirli tanım ve değerler alanlarıyla) bir denklemdir. Fonksiyonel bir denklemi çözmek, onu aynı şekilde karşılayan tüm fonksiyonları bulmak anlamına gelir. Fonksiyonel denklemler matematiğin çok çeşitli alanlarında, genellikle özellikleri verilen tüm fonksiyonları tanımlamanın gerekli olduğu durumlarda ortaya çıkar. Fonksiyonel denklem terimi genellikle basit yollarla cebirsel denklemlere indirgenemeyen denklemler için kullanılır. Bu indirgenemezlik çoğunlukla denklemdeki bilinmeyen fonksiyonun argümanlarının bağımsız değişkenlerin kendileri değil, onlara verilen bazı fonksiyonlar olmasından kaynaklanmaktadır. Genellikle çeşitli matematik yarışmalarında bulunur.

Bazı fonksiyonel denklemler bize okuldan tanıdık geliyor:

f(x) = f(-x), f(-x) = - f(x), f(x+T) = f(x),

fonksiyonların düzgünlük, teklik ve periyodiklik gibi özelliklerini tanımlar.

Fonksiyonel denklemleri çözme problemi matematiksel analizdeki en eski problemlerden biridir. Fonksiyon teorisinin başlangıcıyla neredeyse aynı anda ortaya çıktılar. Bu disiplinin ilk gerçek gelişmesi, kuvvetlerin paralelkenar problemi ile ilişkilidir. 1769'da d'Alembert, kuvvetlerin toplamı yasasının mantığını fonksiyonel bir denklemin çözümüne indirgedi.

Aynı denklem ve aynı amaç için 1804'te Poisson tarafından bazı analitik varsayımlar altında ele alınmış, 1821'de Cauchy (1789 - 1857) genel çözümler bulmuştur.

Bu denklemin sadece f(x)'in sürekliliğini varsayarsak.

Paralellik açısı için Öklid dışı geometrinin iyi bilinen formülü bile

N. I. Lobachevsky (1792 – 1856) tarafından fonksiyonel denklemden elde edilmiştir.

, (2)

Cauchy'nin yöntemine benzer bir yöntem kullanarak çözdü. Bu denklem denkleme indirgenebilir

.

Fonksiyonel denklemlere yol açan bir takım geometrik problemler İngiliz matematikçi Charles Babbage (1792-1871) tarafından ele alındı. Örneğin, eğri üzerindeki herhangi bir nokta çifti için aşağıdaki özellikle tanımlanan ikinci dereceden periyodik eğrileri inceledi: eğer ikinci noktanın apsisi birincinin ordinatına eşitse, o zaman ikinci noktanın ordinatı birincinin apsisine eşittir. Böyle bir eğri bir fonksiyonun grafiği olsuny = f(x) ; (x, f(x)) - keyfi noktası. Daha sonra duruma göre apsisli noktaf(x) bir x koordinatı vardır. Buradan,

Fonksiyonel denklem (3) özellikle aşağıdaki fonksiyonlarla karşılanır:

En basit fonksiyonel denklemlerden bazıları Cauchy denklemleridir

f(x+y) = f(x)+f(y), (4)

f(x+y) = f(x) f(y), (5)

f(xy) = f(x)+f(y), (6)

f(xy) = f(x) f(y), (7)

Cauchy, 1821'de yayınlanan (Course of Analysis) adlı eserinde bu denklemleri ayrıntılı olarak inceledi. Bu dört temel denklemin sürekli çözümleri sırasıyla şu şekildedir:

, , ,

Süreksiz fonksiyonlar sınıfında başka çözümler de olabilir. Denklem (4) daha önce Legendre ve Gauss tarafından projektif geometrinin temel teoreminin türetilmesinde ve Gauss olasılık dağılımı yasasına ilişkin çalışmalarında dikkate alınmıştı.

Fonksiyonel denklem (4) yine G. Darboux tarafından kuvvetlerin paralelkenarı problemine ve projektif geometrinin temel teoremine uygulandı; Başlıca başarısı, varsayımların önemli ölçüde gevşetilmesidir. Fonksiyonel Cauchy denkleminin (4) sürekli fonksiyonlar sınıfında doğrusal homojen bir fonksiyonu karakterize ettiğini biliyoruz.f(x) = eksen . Darboux, en az bir noktada sürekli olan veya keyfi olarak küçük bir aralıkta yukarıdan (veya aşağıdan) sınırlanan herhangi bir çözümün aynı zamanda şu forma sahip olması gerektiğini gösterdi:f(x) = eksen. Varsayımların gevşetilmesine ilişkin diğer sonuçlar birbiri ardına hızla geldi (integrallenebilirlik, bir dizi pozitif ölçü üzerinde ölçülebilirlik ve hatta ölçülebilir bir fonksiyonla büyükleştirilebilirlik). Şu soru ortaya çıkıyor: Doğrusal homojen bir fonksiyon dışında en az bir toplamsal fonksiyon (yani (4)'ü karşılayan) var mı? Böyle bir özelliği bulmak gerçekten zor! Bu çalışma sırasında rasyonel x için herhangi bir toplamsal fonksiyonun değerlerinin bazı doğrusal homojen fonksiyonların değerleriyle çakışması gerektiğini göstereceğiz;f(x) = eksen x için S. Görünüşe göre o zamanf(x) = eksen tüm gerçek x'ler için. Eğerf(x) - sürekliyse, o zaman durum gerçekten de budur, ancak bu varsayım göz ardı edilirse, o zaman değildir. Farklı bir şeyin ilk örneğif(x) = eksen Fonksiyonel denklemin (4) süreksiz bir çözümü, 1905 yılında Alman matematikçi G. Hamel tarafından, tanıttığı gerçek sayılar esas alınarak oluşturuldu.

Birçok fonksiyonel denklem belirli bir fonksiyonu tanımlamaz, ancak geniş bir fonksiyon sınıfını tanımlar, yani belirli bir fonksiyon sınıfını karakterize eden bir özelliği ifade ederler. Örneğin, fonksiyonel denklemf(x+1) = f(x) periyodu 1 olan fonksiyon sınıfını ve denklemi karakterize ederf(1+x) = f(1-x) - düz bir çizgiye göre simetrik olan fonksiyonlar sınıfıx = 1, vesaire.

Bölüm 2. Pratik kısım. Fonksiyonel bir denklemi çözme yöntemleri

En basit fonksiyonel denklemler

1. y =f(x) fonksiyonunun R üzerinde artmasına izin verin. Çözün:

a) denklem f(3x + 2) = f(4x) 2 + x);

b) eşitsizlik f(3х – 48) ≤ f(-х 2 + x).

Çözüm:

a) f(3x + 2) = f(4x 2 + x)

Bir teorem var: Bir fonksiyon X aralığı boyunca artıyorsa, değerlerinin her birini tek bir noktada alır. Bu yüzden,

3x+2 = 4x2 + x;

4x2 -2x-2=0;

2x 2 –x-1=0;

x 1 = 1 ve x 2 = -0,5

Cevap: x 1 = 1 ve x 2 = -0,5.

b) f(3x – 48) ≤ f(-x 2 + x);

3x-48 ≤ -x 2 + x;

x 2 + 2x – 48 ≤ 0;

x 1 =6 ve x 2 = -8:

Cevap: [-8;6].

2. y =f(x) fonksiyonunun R üzerinde azalmasına izin verin. f(2x-3)>f(x+2) eşitsizliğini çözün.

Çözüm:

Önceki görevdekiyle aynısını çözüyoruz, fonksiyon R kadar azaldığı için sadece eşitsizliğin işaretini değiştiriyoruz.

2x-3

Cevap: (-∞; 5).

İkame yöntemini kullanarak fonksiyonel denklemleri çözme

Fonksiyonel denklemin bazı değişkenlerini ya belirli değerlerle ya da başka ifadelerle değiştirerek, bu denklemi ya basitleştirmeye ya da sonraki çözümün ortaya çıkacağı bir forma getirmeye çalışıyoruz. Kullanılan yöntemin özelliği tam olarak bazı durumlarda olası tüm fonksiyonların sınıfında çözüm bulunmasına izin vermesidir.

1. Sette tanımlanan tüm fonksiyonları bulun ilişkiyi tatmin eden

Çözüm

x'e bir değer verelim. Aldık

Buradan

.

Sistemi alalım

Denklem (1)'den ifade ediyoruz ve bunu denklem (2)'de yerine koyun.

; ;

Buradan

; ; .

f(x) fonksiyonunun denklemi gerçekten karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim.

.

x=x - doğru.

Cevap: .

Çözüm:

1) izin ver

2) Orijinal denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

3) z'yi şununla değiştirin: denklemin sağ tarafında dönüşümlerden sonra veya elde ederiz:

4) Böylece iki denklemimiz var:

5) 1. denklemin her iki tarafını da (-2) ile çarpıp 2. denkleme eklersek:

3. İzin vermek - gerçek bir sayı. İşlev bulf(x) , tüm x ≠ 1 için tanımlanmış ve denklemi karşılayan

,

burada g, tanımlanan belirli bir fonksiyondurx ≠ 1 .

Çözüm: Değiştirirken

bir sistem alıyoruz

.

bunun çözümüA 2 ≠ 1 bir fonksiyondur

Cevap:

4. Bilinmeyen fonksiyonlar için fonksiyonel denklemler sistemine bir çözüm bulunf(x) Veg(x) :

Çözüm: İlk denklemde bir değişiklik yapalım2x = 1/z .

Aynı zamanda

ve ilk denklem şu şekli alır:

Veya

Sonuç olarak bir denklem sistemi elde ederiz:

çözümü g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

Cevap: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

5. Tüm x, y € R için denklemi sağlayan tüm f: R  R fonksiyonlarını bulun

f(x+y)=x+yf(x)+(1-x)y. (1)

Çözüm: f, (1)'i sağlayan bir fonksiyon olsun. (1) x ve y değişkenlerinin tüm değerleri için doğru olduğundan bu değişkenlerin belirli değerleri için de doğru olacaktır. Örneğin y eşittir 0'ı orijinal denklemde yerine koyarsak f(x)=x elde ederiz. Bu eşitlik herhangi bir gerçek x için doğru olmalıdır. Dolayısıyla (1) => f(х)≡х, fonksiyonel denklem (1)'in bir çözümüdür. Doğrudan doğrulama, bulunan fonksiyonun gerçekten de tüm x,y € R denklemlerini karşıladığını gösterir.

6. Tüm x, y € R için denklemi sağlayan tüm f: R  R fonksiyonlarını bulun

f(x+y)=x+yf(x)+(1-sin x)y (1)

Çözüm: Tıpkı önceki problemde olduğu gibi, (2)'yi sağlayan bir f fonksiyonu için f(x)≡x özdeşliğinin sağlanması gerektiğini tespit ediyoruz. Ancak f(x) = x fonksiyonunu (1)'de yerine koyarsak bir özdeşlik elde etmeyiz. Başka hiçbir fonksiyon (1)'in çözümü olamayacağından bu denklemin çözümü yoktur.

7. Tüm x, y € R için denklemi sağlayan tüm f: R  R fonksiyonlarını bulun

f(x+y 2 +2y+1) = y 4 +4y 3 +2xy 2 +5y 2 +4xy+2y+x 2 +x+1 (1)

Çözüm: f(x) değerini elde etmek istediğimiz için y teriminden kurtulmaya çalışalım. 2 +2y+1 fonksiyon işaretinin altında. Denklem y 2 +2y+1=0'ın bir çözümü y=-1'dir. (1)'de y= -1'i yerine koyarsak f(x)= x elde ederiz 2 -x+1 .

Cevap: f(x)= x 2 -x+1

8. Tüm x, y € R için denklemi sağlayan tüm f: R  R fonksiyonlarını bulun

f((x 2 +6x+6)y)=y 2 x 4 +12y 2 x 3 +48y 2 x 2 -4yx 2 +72y 2 x-24yx+36y 2 -24 (1)

Çözüm: Önceki problemde olduğu gibi fonksiyonun işareti altında serbest bir değişken (x veya y) elde etmek istiyoruz. Bu durumda y'yi elde etmenin daha kolay olduğu açıktır. Denklemin çözümü x 2 +6x+6)y=0 x'e göre x elde ederiz 1 = -1,x2 = -5. Bu değerlerden herhangi birini (1)'de değiştirmek bize f(y)=y'yi verir 2 -4у.

Cauchy yöntemini kullanarak fonksiyonel denklemleri çözme

1. İşlevi bulun koşulu karşılayan, doğal sayılar kümesinde tanımlı

Burada d bir gerçek sayıdır.

Çözüm:

Bu denklemi matematikte Cauchy yöntemi olarak adlandırılan bir şema kullanarak çözeceğiz.

1. Şunun için ifadeler bulalım: Aldık

, .

2. Bu “deney” şunu gösteriyor:, Nerede .

3. Eşitliğin gerçekten geçerli olup olmadığını kontrol edelim

Nerede . Kanıt için matematiksel tümevarım yöntemini kullanalım.

1. Eşitliğin x=1 için geçerli olup olmadığını kontrol edelim:- Sağ.

2. Eşitliğin aşağıdakiler için doğru olduğunu varsayalım:, nerede, yani

Sağ.

3. Bunun x=n için eşitlik anlamına geldiğini kanıtlayalım. Çünkü , o zaman x=n için şunu elde ederiz veya

; .

Bu, eşitliğin herhangi bir n doğal sayısı için doğru olduğu anlamına gelir. Böylece, verilen fonksiyonel denklemin çözümü fonksiyon olacaktır. burada f(1) isteğe bağlı bir sayıdır.

2. Koşulu sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulun

Çözüm:

Fonksiyonel denklemin çözümünü yavaş yavaş bulacağız, yani. Önce doğal sayıysa çözümünü buluruz, sonra tam sayıdır, sonra rasyoneldir ve son olarak gerçektir.

1. y=x olsun. Daha sonra .

2. Ne zaman alırız

, , …

3. Matematiksel tümevarım yoluyla doğal değerler için şunu kanıtlayalım: (kendin kanıtla). (1)

4. x=1 için şunu elde ederiz. - sabit sayı. şununla belirtelim. Yani, elimizde .

5. Eşitlik kuralım

(1) , nereden alıyoruz

. Buradan

veya

.

Belirledikten sonra

aracılığıyla, elde ederiz

Bu, pozitif ve rasyonel x için elde ettiğimiz anlamına gelir

Fonksiyonu varsaymak - süreklidir, şunu elde ederiz

Şu tarihte:

, .

6. Eşitliği ele alalım. Aldık

Buradan.

Bu eşitliği ele alalım

Aldık

veya

Çünkü

O

onlar. .

Yani denklemin herhangi bir gerçek çözümü için bir fonksiyon olacaktır.

Cevap:

Denklem Cauchy denklemi olarak adlandırılır.

3. Sürekli fonksiyonları bulun , koşulu karşılayan

. (1)

Çözüm:

Bu denklemi Cauchy fonksiyonel denklemine indirgemeye çalışalım.

sürekli çözüm ile

y=0 olsun, o zaman

.

Çünkü sabit bir sayıdır, şununla gösterelim ve alıyoruz

.

Şimdi x'e bir değer verelim .

Aldık

.

Denklemden (1)

aldık

veya

(2).

Denklemin (1) çözümü fonksiyondur

Bu, denklem (2)'nin çözümünün fonksiyon olacağı anlamına gelir

Cevap:

4. Cauchy denklemlerinin tüm sürekli çözümlerini bulun:

A)F ( X sen) = F( X) + F( sen) ( x, y€ R\ { 0 } );

B ) F( X+ sen) = F( xy) ( x, y€ R);

V ) F( X+ sen) = F( X) F( sen) ( x, y€. R) .

Çözüm:

Önce x > 0 olsun.

g(x) = f(ex).

Daha sonra

g (x + y) = f (e x+y) = f (e x e y) = f (e x) + f (e y) = g (x) + g (y), yani g (x)

toplamsal Cauchy denklemini karşılar. Çünkü e x ve f (x ) süreklidir, o zaman g(x ) süreklidir ve formu vardır cx, burada c bir sabittir. O halde f(x) c ln x formundadır.

özellikle,

f(1) = 0.

Koyarak

x = y = - 1,

aldık

f(1) = 2f(-1),

Neresi

f(-1) = 0.

Keyfi için X< 0 получаем

f (x) = f (- x) + f (- 1) = f (- x).

Buradan

f(x) = c ln | x |

keyfi için

x ≠ 0.

b) Koymak

y = 0,

aldık

f(x) = f(0), yani. f(x) ≡ sabit.

Açıkçası, herhangi bir sabit iyidir.

c) Eğer

f(x) = 0

bazı x'ler için,

O

f (z) = f (x) f (z - x) = 0

herhangi bir z için . Aksi takdirde fonksiyon sürekli olduğundan her yerde aynı işarete sahiptir. Çünkü

f (2x) = (f(x))2,

o zaman bu işaret pozitiftir ve sürekli olduğunu düşünebiliriz

işlev

g(x) := lnf(x). g (x + y) = ln(f (x) f (y)) = ln f (x)+ln f (y) = g (x)+ g (y),

onlar. toplamsal Cauchy denklemi sağlanır. Buradan bazı c için g(x) = cx ve

f (x) = e сх.

Böylece ya

f (x)≡ 0 veya f (x) ≡е сх.

Bazı noktalarda fonksiyon değerlerinin kullanılması

Bazen denklemin biçimini önemli ölçüde basitleştirecek bir ikame bulmak imkansızdır. Ancak serbest değişkenlerden birinin sabit olması durumunda denklemin bazı terimleri de sabit hale gelebilir. Bunlar için uygun gösterimler tanıtılabilir ve sıradan sabitler olarak çözmede kullanılabilir. Yanıta bu sabitler dahil edilirse kontrol, bunların değerlerinden hangisinin geçerli olduğunu gösterecektir.

Denklemi çöz

f(x+f(y))=xy

Çözüm: Değiştirme

y=0

verir

f(x+f(0))=0.

İlk bakışta f(0)'ın neye eşit olduğunu bilmediğimiz için pek faydası yok. f(0)=c'yi gösterelim, sonra f(x+c)=0 elde ederiz. t=x+c değişkenini değiştirerek (x=t-c yerine koyma), f(e)=0 elde ederiz, ancak böyle bir fonksiyon açıkçası orijinal denklemi sağlamaz, dolayısıyla hiçbir çözüm yoktur.

Denklemi çöz

f(x+f(y))=x+y

Çözüm: Tekrar y=0 değişimini yapalım ve c=f(0) diyelim, f(x+c)=x elde ederiz. t=x+c'nin yerine koymak f(t)=t-c'yi verir. C'nin tam değerini bilmemize rağmen, yalnızca f(x) = x-c formundaki bir fonksiyonun (c = const) tüm x, y denklemini karşılayabileceğini zaten biliyoruz. c'yi bulmak için bulunan fonksiyonu orijinal denklemin yerine koyarız (aynı zamanda bu şekilde kontrol edeceğiz):

f(x+f(y))=f(x+(y-c))=(x+(y-c))-c= x+y-2c.

Buradan eşitliğin olduğunu görüyoruz.

f(x+f(y))=x+y

tüm x, y için c 0'a eşit ve yalnızca onunla. Bu nedenle cevap f(x)=x'tir.

Cevap: f(x)=x.

Denklem görecelidir

(f(x))2 = 1 olacak şekilde tüm f: R  R'yi bulun

Çözüm: Bunu bilinmeyen f(x) için bir denklem olarak düşünürsek, şunu elde ederiz:

F( X) = 1 ;

F( X) = -1

Cevabın iki fonksiyon olduğu görünebilir,

f(x)=1, f(x)=-1.

Ancak bu doğru değil. Örneğin, işlevi düşünün

1 adet<0

1, x ≥ 0

Bu fonksiyonun denklemi sağladığını görmek kolaydır. Bütünlüğe ne anlam veriliyor? Orijinal eşitliğin tüm x € R için sağlanması gerektiğinden, yani her x için eşitliklerden biri geçerlidir. Ancak eşitliklerden birinin tüm x'ler için hemen sağlandığı varsayımı yanlış olacaktır. Örnekte gördüğümüz gibi, bazı x'ler için eşitliklerden biri, diğerleri için başka bir eşitlik sağlanabiliyor. Denklemin belirttiği fonksiyonlar kümesini karakterize etmeye çalışalım. Birinci eşitliği sağlayan x'lerin kümesi A olsun. O zaman diğer tüm x'ler için ikincinin sağlanması gerekir. A kümesinin f fonksiyonunu benzersiz bir şekilde tanımladığını görüyoruz:

Cevap:

e( F) = {+-1} , burada E(f)

f'nin değerler kümesini belirtir.

Fonksiyonel denklemin grafik çözümü. Fonksiyon için a ve b'nin neresinde

f(x)=a|x-b| +3a|x-b |

durum tüm gerçekler için karşılanmıştır

x: f(x)=f(f(x)) ?

Çözüm:

a=0 olduğunda f(x)=0 fonksiyonu sağlanır ve denklem açıkça sağlanır.

a>0 olsun, büyük x>0 için fonksiyon

f(x)=a(x-b)+3a(x-b)=4ax-a(b+3b)>0

Şekil 1'den, yalnızca f(x)=x eşitliğinin, x'in değerleri yeterince büyükse ve x>0 ise mümkün olduğunu belirliyoruz. Spesifik olarak, x>maks(b;b).

Bu nedenle a ve b parametrelerinin olası değerleri sistemden belirlenir:

Hangisinin iki çözümü var:

a=1/4, b=-1/3 için fonksiyonu elde ederiz

Grafiği (Şekil 2) denklemin grafiksel bir çözümüdür

f(x)=f(f(x))

Şimdi varsayalım ki<0, тогда при больших по абсолютной величине и х<0. Конкретно, х

Sonuç olarak a ve b parametrelerinin olası değerleri sistemden belirlenir.

Hangisinin iki çözümü var

Eğer

a=-1/4, b=0,

o zaman fonksiyon

f(x)=-|x|

denklemi karşılıyor

f(x)=f(f(x))

a=-1/4, b=-1/3 ise fonksiyonu elde ederiz

Ancak grafiği (Şekil 3), f(x)=f(f(x)) denkleminin grafiksel bir çözümü değildir.

Cevap: , , ,

Çözüm

Bu çalışmada fonksiyonel denklemler ve bunları çözmek için bazı yöntemler ele alınmıştır. Çalışmamız sırasında fonksiyonel denklemlerin, gerekli fonksiyonun belirli bir fonksiyon olduğu genel bir denklem sınıfı olduğuna ikna olduk. Fonksiyonel denklemler temel olarak diferansiyel denklemleri, integral denklemleri ve sonlu fark denklemlerini içerir. Kelimenin dar anlamıyla bir fonksiyonel denklem, karmaşık bir fonksiyon oluşturma işlemini kullanarak istenen fonksiyonların bir veya daha fazla değişkenin bilinen fonksiyonlarıyla ilişkili olduğu denklemler olarak anlaşılmaktadır. Fonksiyonel bir denklem aynı zamanda belirli bir fonksiyon sınıfını karakterize eden bir özelliğin ifadesi olarak da düşünülebilir.

Referanslar

Allbest.ru'da yayınlandı

UYGULAMALAR

Şekil 1

Şekil 2

Şekil 3

Allbest.ru'da yayınlandı

Teğet düz bir çizgidir fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en kısa mesafede olan . Bu nedenle teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve farklı açılardaki birkaç teğet, teğet noktasından geçemez. Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemler ve normal denklemler türev kullanılarak oluşturulur.

Teğet denklemi çizgi denkleminden türetilir .

Fonksiyonun grafiğine önce teğet denklemini, sonra da normal denklemini çıkaralım.

sen = kx + B .

İçinde k- açısal katsayı.

Buradan aşağıdaki girişi elde ederiz:

sen - sen 0 = k(X - X 0 ) .

Türev değeri F "(X 0 ) işlevler sen = F(X) bu noktada X0 eğime eşit k= tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (X 0 , sen 0 ) , Nerede sen0 = F(X 0 ) . Bu Türevin geometrik anlamı .

Böylece değiştirebiliriz k Açık F "(X 0 ) ve aşağıdakileri alın bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi :

sen - sen 0 = F "(X 0 )(X - X 0 ) .

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemi oluşturmayı içeren problemlerde (ki bunlara yakında geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemin şu şekilde azaltılması gerekir: genel formda düz bir çizginin denklemi. Bunu yapmak için tüm harf ve sayıları denklemin sol tarafına taşımanız ve sağ tarafta sıfır bırakmanız gerekir.

Şimdi normal denklem hakkında. Normal - bu, teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal denklem :

(X - X 0 ) + F "(X 0 )(sen - sen 0 ) = 0

Isınmak için ilk örneği kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız istenir. Bu görevin okuyucularımız için “soğuk bir duş” olmayacağını ummak için her türlü neden var.

Örnek 0. Bir fonksiyonun grafiği için bir noktadaki teğet denklemi ve normal denklemi oluşturun M (1, 1) .

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği için bir teğet denklem ve normal bir denklem yazın apsis teğet ise .

Fonksiyonun türevini bulalım:

Artık teğet denklemini elde etmek için teorik yardımda verilen girişin yerine koymamız gereken her şeye sahibiz. Aldık

Bu örnekte şanslıydık: eğim katsayısı sıfır çıktı, dolayısıyla denklemi ayrı ayrı genel formuna getirmeye gerek yoktu. Artık normal denklemi oluşturabiliriz:

Aşağıdaki şekilde: fonksiyonun grafiği bordo, teğet yeşil, normal ise turuncu renktedir.

Bir sonraki örnek de karmaşık değil: fonksiyon, öncekinde olduğu gibi, aynı zamanda bir polinomdur, ancak eğim sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle denklemi genel bir forma getirmek için bir adım daha eklenecektir.

Örnek 2.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

Elde edilen tüm verileri "boş formüle" koyarız ve teğet denklemi elde ederiz:

Denklemi genel şekline getiriyoruz (sıfır dışındaki tüm harf ve rakamları sol tarafta topluyoruz ve sıfırı sağ tarafta bırakıyoruz):

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 3. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini buluyoruz:

Denklemi genel formuna getirmeden önce biraz “taramanız” gerekiyor: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıp denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Örnek 4. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Teğet noktasındaki, yani teğetin eğimindeki türevin değerini bulalım:

.

Teğet denklemini elde ederiz:

Denklemi genel formuna getiriyoruz:

Normal denklemi oluşturuyoruz:

Teğet ve normal denklemleri yazarken sık karşılaşılan bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık işlevler(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).

Örnek 5. Fonksiyonun grafiğine apsis teğet noktası ise bir teğet denklem ve bir normal denklem yazınız.

Çözüm. Teğet noktasının koordinatını bulalım:

Dikkat! Bu fonksiyon karmaşıktır, çünkü teğet argümanı (2 X) kendisi bir fonksiyondur. Dolayısıyla bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluyoruz.

Türevine göre çözülmeyen diferansiyel denklemler.

F(x,y,y")=0

1. Denklemden. F(x,y,y")=0 ifade etmek sen" başından sonuna kadar X Ve sen. Formun bir veya daha fazla denklemini alacaksınız y"=f(x,y), bunların her birinin çözülmesi gerekiyor.

Örnek.

y" 2 -y 2 =0

y"=y ve y"=-y

dy/y=dx ve dy/y=-dx

ln|y|=x+lnC ve ln|y|=-xlnD

y=Ce x ve y=De -x

2. Parametre yöntemi (yöntemin en basit versiyonu).

Denklem olsun F(x,y,y")=0 sen.

y=f(x,y").

Parametreyi girelim p=y"=dy/dx

Daha sonra y=f(x,p)

Her iki parçanın toplam farkını alıp yerine koyalım ölmek başından sonuna kadar pdx, alıyoruz

pdx=f x "dx+f y "dy

Bu denklemin çözümü formda bulunursa x=φ(p), daha sonra orijinal denklemin parametrik biçimde bir çözümünü elde ederiz:

Örnek

y=ln(1+y" 2)

p=y"=dy/dx, y=ln(1+p 2)

ile bölündüğünde R kararı kaybetti y=0

3. Denklem ise F(x,y,y")=0 göreceli olarak çözülebilir X:

x=f(y,y"), sonra tıpkı 2'deki gibi parametreyi giriyoruz p=y"=dy/dx

4. Lagrange denklemi

y=xφy"+Ψ(y")

ve Clairaut denklemi

y=xy"+Ψ(y")

paragraf 2'de tartışılan özel durumlardır.

5) Özel çözümler hakkında biraz. Çözüm y=φ(x) denklemler F(x,y,y")=0 Bu çözüme ek olarak her bir noktasından, bu noktada çözümle aynı teğet olan başka bir çözüm geçiyorsa özel çözüm denir. φ(x), ancak bu noktanın keyfi olarak küçük bir mahallesinde bununla örtüşmüyor. İzin vermek F(x,y,y"), δF/δy ve δF/δy" sürekli. O halde denklemin herhangi bir özel çözümü F(x,y,y")=0 denklemi de karşılıyor δ F(x,y,y")/δy"=0.

Özel çözümler bulmak için sistemden gereklidir

hariç tutmak sen". Ortaya çıkan denklem denir diskriminant eğrisi. Diskriminant eğrisinin her bir dalı için, bu dalın bir çözüm olup olmadığını ve eğer öyleyse özel olup olmayacağını (yani her bir noktada benzersizliğin ihlal edilip edilmediğini) kontrol etmek gerekir.

Örnek.

y=xy"-y 2- Clairaut denklemi

p=y"=dy/dx, y=xp-p 2

pdx=pdx+xdp-2pdp

(x-2p)dp=0

dp=0, p=c, buradan

x=2p, y=xp-p 2

y=Cx-C 2 veya y=(x 2 /2)-(x 2 /4)

y=x 2/4-özel çözüm

y=x 2/4 Orijinal denklemin çözümü. Özel olduğunu kanıtlayalım.

Çözüme keyfi bir nokta getiriyoruz y=x 2/4, Örneğin ( x o ,x 2 o /4). bulacağız İLE, bunun için düz çizgi y=Cx-C 2 bu noktadan da geçtik x 2 o/4=Cx o -C 2, buradan C=xo /2, onlar. y=(x o /2)x-(x 2 o /4).

2.2 Denklemleri ve eşitsizlikleri çözme metodolojisi

Denklemler ve eşitsizlikler, okul matematik dersinde geleneksel bir konudur ve en basit denklemlerin ve eşitsizliklerin tanıtıldığı alt sınıflardan, aritmetik işlemlerin özelliklerine dayanan bir teorinin tanıtılmasına ve son sınıfta bitene kadar geniş bir yer kaplar. aşkın denklemlerin çözüldüğü dereceler.

Denklemler ve eşitsizlikler, uygulamalı olanlar da dahil olmak üzere çeşitli problemlerin çevrildiği ve matematiksel modellerinin oluşturulduğu dil olan cebirsel aygıtı temsil eder.

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için fonksiyonların monotonluğunu kullanma. En sık karşılaşılan fikirlerden biri, aşağıdaki basit eşitsizliğin çözülmesiyle iyi bir şekilde örneklendirilmiştir:

1. Eşitsizliği çözün:.

Çözüm. İki standart çözüm vardır: kare alma (sağlanan
; eğer
, eşitsizlik sağlanır) ve bilinmeyenin değiştirilmesi
.

Başka bir yöntemi ele alalım - standart dışı. Sol tarafta yer alan fonksiyon monoton bir şekilde artarken, birinci kısımdaki fonksiyon azalmaktadır. Açık grafiksel değerlendirmelerden, denklem şu şekildedir:
X 0 bu denklemin çözümüdür, o zaman
olacak ve bu eşitsizliğin çözümü
. Anlam X 0'ı seçmek kolaydır: X 0 = 1.

Cevap.
.

2. Denklemi çözün:
.

Çözüm. Bu denklemin bariz bir çözümü var X= 1. Başka çözümün olmadığını kanıtlayalım. Her iki parçayı da ikiye bölelim , alıyoruz
. Sol taraf monoton olarak azalan bir fonksiyondur. Sonuç olarak her değerini bir kez alır, yani. Bu denklemin benzersiz bir çözümü var.

Cevap. X = 1.

Dolayısıyla bu iki örneğin çözümlerinin dayandığı temel fikir oldukça basittir: F(X) monoton olarak artar ve φ (X) monoton olarak azalırsa denklem F(X) = φ (X) en fazla bir çözümü vardır ve eğer X = X 0 bu denklemin çözümüdür, o zaman X > X 0 (X her iki işlevin kapsamındadır F(X) Ve φ (X) ) irade F(X) > φ (X) ve ne zaman X X 0 olacak

F(X) φ (X) .

Bu fikrin bir modifikasyonuna dikkat etmeye değer: eğer F(X) monotonik bir fonksiyondur, o zaman eşitlikten F(X) = F(sen) şu şekildedir X = sen .

3.Denklemi çözün:.

Çözüm . Denklemi dönüştürelim:

.

İşlevi düşünün
.

Bunu ne zaman kanıtlayalım T > 1 bu fonksiyon monoton olarak azalır. Bu, örneğin standart bir şekilde yapılabilir: türevi bulun

ve bunu ne zaman kanıtla T > 1
. Başka bir yol gösterelim:

.

Ortaya çıkan fonksiyon açıkça azalıyor (taban artar, logaritmanın işareti altında fonksiyon azalır).

Denklemimiz şu şekildedir: , bunun anlamı
. Solda artan bir fonksiyon var, bu nedenle çözüm benzersizdir, seçimle kolayca bulunur: X = 4.

Cevap. X = 4 .

Formun denklemleriF ( F ( X )) = X . Bu tür denklemleri çözerken aşağıdaki teorem faydalıdır:

Eğer y = f(x) monoton olarak artan bir fonksiyon ise denklemler

F(X) = X(A)

F (F (X)) = X (B)

eş değer.

Kanıt. Denklemin (B), denklem (A)'nın bir sonucu olduğu gerçeği açıktır: herhangi bir kök (A), (B)'yi karşılar. (Eğer

F (X 0 ) = X 0 , O F (F (X 0 )) = F (X 0 ) = X 0 .). (B) denkleminin herhangi bir kökünün (A) denklemini sağladığını kanıtlayalım. İzin vermek X 0 öyle ki F (F (X 0 )) = X 0 . Varsayalım ki F (X 0 ) ≠ X 0 ve kesinlik için F (X 0 ) > X 0. Daha sonra F (F (X 0 )) > F (X 0 ) > X 0, varsayımla çelişiyor ( F (F (X 0 )) = X 0). Teorem kanıtlandı.

Teorem monoton olarak azalan bir fonksiyon için doğru mu?

Yorum. Eğer sen = F (X) monoton olarak artarsa, herhangi biri için k denklemler
Ve F (X) = X eşdeğerdir.

Bu teoremin kullanımına ilişkin birkaç örnek verelim.

1. Denklemi çözün:
.

Çözüm Denklemi yeniden yazalım.
. İşlevi düşünün
. Bu fonksiyon monoton olarak artar. Denklemimiz var

F (F (X)) = X. Teoreme uygun olarak onu eşdeğer denklemle değiştiririz F (X) = X veya .

Cevap.

.

2. Denklemi çözün:

.

Çözüm. Denklemi dönüştürelim:
.

Bu denklem şuna benzer: F (F (X)) = X, Nerede
.

Teoreme göre eşdeğer bir denklemimiz var:
,

Cevap.
.

3. Denklem sistemini çözme:
.

Çözüm. Fonksiyonu ele alalım. Çünkü

Herkesin önünde T, O F (T) artar.

Sistemin formu var sen = F (X), z = F (sen), X = F (z), onlar. X = F (F (F (X))).

Teoreme göre X denklemi karşılıyor F (X) = X veya

Cevap.(0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Söz konusu fonksiyonların ekstrem özelliklerinin kullanılması. Derecelendirmeler. Bu noktanın ana fikirleri örneklerde oldukça açık bir şekilde görülmektedir:

1. Denklemi çözün:
.

Çözüm. Bu denklemin sol tarafı 2'yi, sağ tarafı da 2'yi geçmiyor. Dolayısıyla eşitlik ancak sol ve sağ tarafların 2'ye eşit olması durumunda, yani; X = 0.

Yorum. Denklemin bir kısmında yer alan bir fonksiyonun en küçük değerinin diğer kısmında yer alan bir fonksiyonun en büyük değerine eşit olması durumu genelleştirilebilir. Daha genel bir durum formdaki denklemlerdir F (X) = φ (X) , bunun için
hepsi için kabul edilebilir X(resmi olarak bu denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

F (X) = φ (X) = 0, sonuç olarak daha önce ele alınan duruma geliyoruz, çünkü sağ taraftaki en büyük değer sıfırdır).

2. Denklemi çözün:.

Bu denklemin çözümünün olmadığını kanıtlayalım. Hadi sonuca geçelim (güçlendir):
.

Geometrik ortalama ile aritmetik ortalama arasındaki eşitsizliğe dayanarak sol tarafı tahmin edelim.

:

onlar. sol taraf sağa göre daha küçüktür. Denklemin çözümü yoktur.

Cevap.Çözüm yok.

3. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Bunu kanıtlayalım.

Kesinlik için izin ver X 5 > X 4, o zaman elde ettiğimiz ilk iki denklemden
ve hatta daha fazlası
. Sonra üçüncü ve dördüncüden elde ederiz
ve hatta daha fazlası
. Bulduğumuz son çiftten
. Sonuç bir çelişkidir (ve
yani
, ancak öyle olduğu varsayılmıştır).

Araç,
, buradan
vb. tüm bilinmeyenler birbirine eşittir.

Cevap.(0, 0, 0, 0,0);
.

Formülasyonları standart olmayan ve denklemler veya eşitsizlikler içeren problemler. Bu kategori özellikle belirli bir denklemin kök sayısının belirlenmesi, belirli bir aralıkta bir kökün varlığının kanıtlanması ve belirli bir aralıkta bir denklem veya eşitsizliğin çözülmesinin gerekli olduğu problemleri içerir. Birkaç örneğe bakalım.

1. Denklemin kanıtlandığını kanıtlayın
bir pozitifi var karar ve bir olumsuz karar. matematik öğretme yöntemleri ortalama okul: Ders Kitabı. öğrenci el kitabı...