Konik bir yüzeyin denklemi. Konik yüzeyler

Makalenin içeriği

KONİK BÖLÜMLER, sağ dairesel bir koninin tepe noktasından geçmeyen bir düzlemle kesişmesiyle elde edilen düz eğriler (Şekil 1). Analitik geometri açısından konik kesit, ikinci dereceden bir denklemi sağlayan noktaların yeridir. Son bölümde tartışılan dejenere durumlar dışında konik kesitler elips, hiperbol veya paraboldür.

Konik bölümler genellikle doğada ve teknolojide bulunur. Örneğin Güneş etrafında dönen gezegenlerin yörüngeleri elips şeklindedir. Daire, büyük eksenin küçük eksene eşit olduğu elipsin özel bir durumudur. Parabolik bir ayna, eksenine paralel gelen tüm ışınların bir noktada (odak) birleşmesi özelliğine sahiptir. Bu, parabolik aynalar kullanan çoğu yansıtıcı teleskopta, ayrıca radar antenlerinde ve parabolik reflektörlü özel mikrofonlarda kullanılır. Paralel ışınlardan oluşan bir ışın, parabolik bir reflektörün odağına yerleştirilen bir ışık kaynağından yayılır. Bu nedenle yüksek güçlü spot ışıklarında ve araba farlarında parabolik aynalar kullanılır. Hiperbol, Boyle yasası (ideal bir gazın basıncı ve hacmiyle ilgili) ve elektrik akımını sabit bir voltajdaki direncin bir fonksiyonu olarak tanımlayan Ohm yasası gibi birçok önemli fiziksel ilişkinin bir grafiğidir.

ERKEN TARİH

Konik bölümleri keşfeden kişinin, Platon'un öğrencisi ve Büyük İskender'in öğretmeni olan Menaechmus (MÖ 4. yüzyıl) olduğu düşünülüyor. Menaechmus bir küpü ikiye katlama problemini çözmek için bir parabol ve bir eşkenar hiperbol kullandı.

4. yüzyılın sonunda Aristaeus ve Euclid tarafından yazılan konik kesitler üzerine incelemeler. M.Ö. kaybolmuştu, ancak onlardan gelen malzemeler ünlülere dahil edildi. Konik bölümler Pergeli Apollonius (MÖ 260-170), günümüze kadar ulaşabilmiştir. Apollonius, koninin generatrixinin kesen düzleminin dik olması gerekliliğini terk etti ve eğim açısını değiştirerek, düz veya eğimli tek bir dairesel koniden tüm konik kesitleri elde etti. Eğrilerin modern isimlerini de Apollonius'a borçluyuz: elips, parabol ve hiperbol.

Apollonius, yapılarında iki yapraklı dairesel bir koni kullandı (Şekil 1'deki gibi), böylece ilk kez bir hiperbolün iki dallı bir eğri olduğu netleşti. Apollonius zamanından bu yana konik kesitler, kesme düzleminin koninin generatrisine olan eğimine bağlı olarak üç tipe ayrılmıştır. Elips (Şekil 1, A) kesme düzlemi, koninin tüm genatrilerini boşluklarından birinin noktalarında kesiştiğinde oluşur; parabol (Şekil 1, B) – kesme düzlemi koninin teğet düzlemlerinden birine paralel olduğunda; hiperbol (Şekil 1, V) – kesme düzlemi koninin her iki boşluğuyla kesiştiğinde.

KONİK BÖLÜMLERİN İNŞAATI

Konik kesitleri düzlemlerin ve konilerin kesişimleri olarak inceleyen eski Yunan matematikçiler, bunları aynı zamanda bir düzlem üzerindeki noktaların yörüngeleri olarak da değerlendirdiler. Bir elipsin noktaların yeri olarak tanımlanabileceği, verilen iki noktaya olan mesafelerin toplamının sabit olduğu; parabol - belirli bir noktadan ve belirli bir düz çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların yeri olarak; hiperbol - noktaların yeri olarak, verilen iki noktaya olan mesafelerdeki fark sabittir.

Düzlem eğriler olarak konik bölümlerin bu tanımları, aynı zamanda bunları gerilmiş bir ip kullanarak oluşturmak için bir yöntem de önerir.

Elips.

Belirli bir uzunluktaki bir ipliğin uçları belirli noktalarda sabitlenmişse F 1 ve FŞekil 2'de (Şek. 2), daha sonra, sıkıca gerilmiş bir iplik boyunca kayan bir kalemin noktasıyla tanımlanan eğri, bir elips şekline sahiptir. Puanlar F 1 ve F 2'ye elipsin odakları denir ve segmentleri V 1 V 2 ve v 1 v 2 elipsin koordinat eksenleri ile kesişme noktaları arasında - büyük ve küçük eksenler. Eğer puan F 1 ve F 2 çakışırsa elips bir daireye dönüşür.

Hiperbol.

Bir hiperbol oluştururken nokta P Bir kalemin ucu, noktalara monte edilen mandallar boyunca serbestçe kayan bir ip üzerine sabitlenmiştir. F 1 ve F 2 Şekil 2'de gösterildiği gibi. 3, A. Mesafeler, segmentin PF 2 segmentten daha uzundur PF 1 mesafeden daha az sabit bir değerle F 1 F 2. Bu durumda ipliğin bir ucu dübelin altından geçer. F 1 ve ipliğin her iki ucu da mandalın üzerinden geçer F 2. (Kalemin ucu iplik boyunca kaymamalı, bu nedenle ip üzerinde küçük bir halka oluşturularak ve nokta bunun içinden geçirilerek sabitlenmelidir.) Hiperbolün bir dalı ( PV 1 Q) ipliğin her zaman gergin kalmasını sağlayarak ve ipliğin her iki ucunu da bu noktadan aşağı doğru çekerek çiziyoruz F 2 ve ne zaman nokta P segmentin altında olacak F 1 F 2, ipliği her iki ucundan tutarak ve dikkatlice aşındırarak (yani serbest bırakarak). Hiperbolün ikinci dalı ( Pў V 2 Qў ) daha önce mandalların rollerini değiştirdikten sonra çiziyoruz F 1 ve F 2 .

Hiperbolün dalları, dallar arasında kesişen iki düz çizgiye yaklaşır. Hiperbolün asimptotları adı verilen bu çizgiler, Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturulur. 3, B. Bu çizgilerin açısal katsayıları ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), nerede v 1 v 2 - asimptotlar arasındaki açının açıortayının segmente dik segmenti F 1 F 2; çizgi segmenti v 1 v 2'ye hiperbolün eşlenik ekseni denir ve segment V 1 V 2 – enine ekseni. Dolayısıyla asimptotlar, kenarları dört noktadan geçen bir dikdörtgenin köşegenleridir. v 1 , v 2 , V 1 , V 2 eksene paralel. Bu dikdörtgeni oluşturmak için noktaların konumunu belirtmeniz gerekir. v 1 ve v 2. Aynı uzaklıktalar, eşitler

eksenlerin kesiştiği noktadan Ö. Bu formül, bacakları olan bir dik üçgenin yapımını içerir Yumurta 1 ve V 2 Ö ve hipotenüs F 2 Ö.

Bir hiperbolün asimptotları birbirine dik ise bu hiperbole eşkenar hiperbol denir. Ortak asimptotları olan, ancak enine ve eşlenik eksenleri yeniden düzenlenmiş iki hiperbol, karşılıklı eşlenik olarak adlandırılır.

Parabol.

Elipsin ve hiperbolün odakları Apollonius tarafından biliniyordu, ancak parabolün odağı görünüşe göre ilk olarak bu eğriyi belirli bir noktadan (odak) eşit uzaklıktaki noktaların yeri olarak tanımlayan Pappus (3. yüzyılın 2. yarısı) tarafından belirlendi. ve yönetmen adı verilen belirli bir düz çizgi. Pappus'un tanımına dayanarak gerilmiş bir iplik kullanılarak bir parabolün inşası Miletli Isidore (6. yüzyıl) tarafından önerilmiştir. Cetveli, kenarı direktrix ile çakışacak şekilde yerleştirin LLў (Şek. 4) ve bacağını bu kenara uygulayın AC.üçgen çizmek ABC. İpliğin bir ucunu bir uzunlukta sabitliyoruz AB tepede Büçgen ve diğeri parabolün odağında F. İpliği germek için kalemin ucunu kullanarak ucu değişken bir noktaya bastırın P serbest bacağa ABüçgen çiziyor. Üçgen cetvel boyunca hareket ettikçe nokta P odaklı bir parabolün yayını tanımlayacak F ve müdür LLў , ipliğin toplam uzunluğu olduğundan AB, üçgenin serbest bacağına bir iplik parçası bitişiktir ve dolayısıyla kalan iplik parçası PF bacağın geri kalan kısmına eşit olmalıdır AB, yani PA. Kesişim noktası V ekseni olan parabole parabolün tepe noktası denir, bu noktadan geçen çizgi F Ve V, – parabolün ekseni. Odak boyunca eksene dik bir düz çizgi çizilirse, bu düz çizginin parabol tarafından kesilen kısmına odak parametresi denir. Bir elips ve bir hiperbol için odak parametresi benzer şekilde belirlenir.

KONİK KESİTLERİN ÖZELLİKLERİ

Pappus'un tanımları.

Bir parabolün odağını belirlemek Pappus'a genel olarak konik kesitlere alternatif bir tanım verme fikrini verdi. İzin vermek F belirli bir noktadır (odak) ve L– içinden geçmeyen belirli bir düz çizgi (doğrultman) F, Ve D F Ve DL– hareket eden noktaya olan mesafe P Odaklanmak F ve müdürler L sırasıyla. Daha sonra Pappus'un gösterdiği gibi konik kesitler noktaların yeri olarak tanımlanır. P, bunun için ilişki D F/DL negatif olmayan bir sabittir. Bu orana eksantriklik denir e konik bölüm. Şu tarihte: e e > 1 – hiperbol; en e= 1 – parabol. Eğer F yatıyor L, o zaman geometrik konumlar, dejenere konik bölümler olan düz çizgiler (gerçek veya hayali) biçimindedir.

Elips ve hiperbolün çarpıcı simetrisi, bu eğrilerin her birinin iki doğrultmanı ve iki odağı olduğunu düşündürmektedir ve bu durum 1604'te Kepler'i parabolün ikinci bir odağı ve ikinci bir doğrultmanı (sonsuzda bir nokta ve düz) olduğu fikrine yöneltmiştir. . Aynı şekilde, odak noktaları merkezle çakışan ve doğrultmanları sonsuzda olan bir daire de bir elips olarak düşünülebilir. Eksantriklik e bu durumda sıfıra eşittir.

Karahindiba tasarımı.

Bir konik bölümün odakları ve doğrultmanları, bir koni içine yazılan ve aşağıdaki yapıyı öneren Belçikalı matematikçi ve mühendis J. Dandelin'in (1794-1847) onuruna Dandelin küreleri (toplar) olarak adlandırılan küreler kullanılarak açıkça gösterilebilir. Belirli bir düzlemin kesişmesiyle bir konik bölüm oluşmasına izin verin P bir noktada tepe noktası olan iki boşluklu düz dairesel koni ile Ö. Bu koninin içine iki küre çizelim S 1 ve S 2 uçağa dokunan P noktalarda F 1 ve F sırasıyla 2. Konik bölüm elips ise (Şekil 5, A), o zaman her iki küre de aynı boşluğun içindedir: bir küre düzlemin üzerinde bulunur P diğeri de onun altındadır. Koninin her bir generatrixi her iki küreye de dokunur ve temas noktalarının yeri iki daireye benzer C 1 ve C 2 paralel düzlemde bulunur P 1 ve P 2. İzin vermek P– konik bir bölüm üzerinde rastgele bir nokta. Düz çizgiler çizelim PF 1 , PF 2 ve düz çizgiyi uzatın P.O.. Bu doğrular kürelere belirli noktalarda teğettir. F 1 , F 2 ve R 1 , R 2. Küreye bir noktadan çizilen tüm teğetler eşit olduğuna göre, o zaman PF 1 = halkla ilişkiler 1 ve PF 2 = halkla ilişkiler 2. Buradan, PF 1 + PF 2 = halkla ilişkiler 1 + halkla ilişkiler 2 = R 1 R 2. Uçaktan beri P 1 ve P 2 paralel, doğru parçası R 1 R 2'nin sabit bir uzunluğu vardır. Böylece değer halkla ilişkiler 1 + halkla ilişkiler 2 tüm nokta konumları için aynıdır P ve nokta P uzaklıklarının toplamı olan noktaların geometrik odağına aittir. Pönce F 1 ve F 2 sabittir. Bu nedenle noktalar F 1 ve F 2 – eliptik bölümün odakları. Ek olarak düzlemin üzerinde bulunduğu düz çizgilerin de olduğu gösterilebilir. P düzlemlerle kesişiyor P 1 ve PŞekil 2, oluşturulan elipsin doğrultmanlarıdır. Eğer P koninin her iki boşluğunu da keser (Şekil 5, B), o zaman iki Dandelin küresi düzlemin aynı tarafında bulunur P, koninin her boşluğunda bir küre. Bu durumda aradaki fark PF 1 ve PF 2 sabittir ve noktaların yeri P odakları olan bir hiperbol şekline sahiptir F 1 ve F 2 ve düz çizgiler - kesişim çizgileri Pİle P 1 ve P 2 – müdür olarak. Konik bölüm Şekil 2'de gösterildiği gibi bir parabol ise. 5, V ise koniye yalnızca bir Dandelin küresi yazılabilir.

Diğer özellikler.

Konik bölümlerin özellikleri gerçekten tükenmez ve bunlardan herhangi biri tanımlayıcı olarak alınabilir. Önemli yer Matematik toplantısı Pappa (yaklaşık 300), Geometri Descartes (1637) ve Başlangıçlar Newton (1687), dört düz çizgiye göre noktaların geometrik konumu problemi ile meşguldü. Bir düzlemde dört doğru verilmişse L 1 , L 2 , L 3 ve L 4 (ikisi aynı olabilir) ve bir nokta Pöyle ki uzaklıkların çarpımı Pönce L 1 ve L 2, uzaklıkların çarpımı ile orantılıdır Pönce L 3 ve L 4, ardından noktaların yeri P konik bir bölümdür. Apollonius ve Pappus'un dört düz çizgiye göre noktaların yeri problemini çözemedikleri yanılgısına inanan Descartes, bir çözüm elde etmek ve onu genelleştirmek için analitik geometri yarattı.

ANALİTİK YAKLAŞIM

Cebirsel sınıflandırma.

Cebirsel açıdan konik kesitler, Kartezyen koordinat sistemindeki koordinatları ikinci dereceden bir denklemi karşılayan düzlem eğriler olarak tanımlanabilir. Başka bir deyişle, tüm konik bölümlerin denklemi genel formda şu şekilde yazılabilir:

tüm katsayıların olmadığı yerde A, B Ve C sıfıra eşittir. Eksenlerin paralel ötelenmesi ve dönmesi kullanılarak denklem (1) şu şekle indirgenebilir:

balta 2 + ile 2 + C = 0

piksel 2 + qy = 0.

İlk denklem denklem (1)'den elde edilir; B 2 № AC., ikincisi – saat B 2 = AC.. Denklemleri ilk forma indirgenmiş konik bölümlere merkezi denir. İkinci tip denklemlerle verilen konik bölümler Q 0 numaraya merkezi olmayan denir. Bu iki kategori içerisinde katsayıların işaretlerine bağlı olarak dokuz farklı tipte konik bölüm bulunmaktadır.

2831) eğer oranlar A, B Ve C Aynı işarete sahipse, koordinatları denklemi sağlayacak hiçbir gerçek nokta yoktur. Böyle bir konik kesite hayali elips (ya da hayali daire denir) denir. A = B).

2) Eğer A Ve B aynı işarete sahip ve C– tam tersi ise konik bölüm bir elipstir (Şekil 1, A); en A = B– daire (Şek. 6, B).

3) Eğer A Ve B farklı işaretlere sahipse, konik bölüm bir hiperboldür (Şekil 1, V).

4) Eğer A Ve B farklı işaretlere sahip ve C= 0 ise konik bölüm kesişen iki çizgiden oluşur (Şekil 6, A).

5) Eğer A Ve B aynı işarete sahip ve C= 0 ise, eğri üzerinde denklemi karşılayan yalnızca bir gerçek nokta vardır ve konik bölüm, kesişen iki hayali çizgidir. Bu durumda aynı zamanda bir noktaya kadar daraltılmış bir elipsten de söz ederiz. A = B, daire üzerinde bir noktaya kadar daraltılmıştır (Şek. 6, B).

6) Eğer ya A, veya B sıfıra eşitse ve kalan katsayılar farklı işaretlere sahipse, konik bölüm iki paralel çizgiden oluşur.

7) Eğer ya A, veya B sıfıra eşitse ve geri kalan katsayılar aynı işarete sahipse, denklemi sağlayan tek bir gerçek nokta yoktur. Bu durumda konik bölümün iki hayali paralel çizgiden oluştuğunu söylüyorlar.

8) Eğer C= 0 ve ya A, veya B da sıfıra eşitse, konik bölüm iki gerçek çakışan çizgiden oluşur. (Denklem herhangi bir konik bölümü tanımlamaz. A = B= 0, çünkü bu durumda orijinal denklem (1) ikinci dereceden değildir.)

9) İkinci tip denklemler parabolleri tanımlar: P Ve Q sıfırdan farklıdır. Eğer P 0 numara, bir Q= 0, 8. adımdaki eğriyi elde ederiz. P= 0 ise, orijinal denklem (1) ikinci dereceden olmadığı için denklem herhangi bir konik kesiti tanımlamaz.

Konik kesit denklemlerinin türetilmesi.

Herhangi bir konik kesit aynı zamanda bir düzlemin ikinci dereceden bir yüzeyle kesiştiği bir eğri olarak da tanımlanabilir; ikinci dereceden bir denklemle verilen bir yüzeye sahip F (X, sen, z) = 0. Görünüşe göre konik kesitler ilk kez bu formda tanındı ve isimleri ( aşağıya bakınız) bir düzlemin bir koni ile kesişmesiyle elde edilmiş olmalarından kaynaklanmaktadır z 2 = X 2 + sen 2. İzin vermek ABCD– tepe noktasında dik açılı sağ dairesel koninin tabanı (Şekil 7) V. Uçağa izin ver FDC generatrix'le kesişiyor VB noktada F, taban – düz bir çizgide CD ve koninin yüzeyi - eğri boyunca DFPC, Nerede P– eğri üzerindeki herhangi bir nokta. Segmentin ortasını çizelim CD- nokta e- dümdüz EF ve çap AB. Nokta yoluyla P koninin tabanına paralel, koniyi bir daire şeklinde kesen bir düzlem çizin R.P.S. ve doğrudan EF noktada Q. Daha sonra QF Ve QP buna göre apsis olarak alınabilir X ve koordine etmek sen puan P. Ortaya çıkan eğri bir parabol olacaktır.

Şekil 2'de gösterilen yapı. Şekil 7, konik bölümler için genel denklemlerin türetilmesinde kullanılabilir. Çapın herhangi bir noktasından daire ile kesişme noktasına kadar geri yüklenen dik bir parçanın uzunluğunun karesi her zaman çap parçalarının uzunluklarının çarpımına eşittir. Bu yüzden

sen 2 = Talep H QS.

Bir parabol için bir doğru parçası Talep sabit bir uzunluğa sahiptir (çünkü noktanın herhangi bir konumunda P segmente eşittir A.E.) ve segmentin uzunluğu QS orantılı X(orandan QS/E.B. = QF/F.E.). Şunu takip ediyor

Nerede A– sabit katsayı. Sayı A parabolün odak parametresinin uzunluğunu ifade eder.

Koninin tepe noktasındaki açı dar ise, o zaman segment Talep segmente eşit değil A.E.; ama oran sen 2 = Talep H QS formun bir denklemine eşdeğerdir

Nerede A Ve B– sabitler veya eksenleri kaydırdıktan sonra denkleme geçin

bu bir elipsin denklemidir. Elipsin eksenle kesişme noktaları X (X = A Ve X = –A) ve elipsin eksenle kesişme noktaları sen (sen = B Ve sen = –B) sırasıyla büyük ve küçük eksenleri tanımlayın. Koninin tepe noktasındaki açı genişse, koninin düzlemle kesişme eğrisi bir hiperbol biçiminde olur ve denklem aşağıdaki biçimi alır:

veya eksenleri aktardıktan sonra,

Bu durumda eksenle kesişme noktaları X, ilişki tarafından verilen X 2 = A 2, enine ekseni ve eksenle kesişme noktalarını belirleyin sen, ilişki tarafından verilen sen 2 = –B 2, eşlenik ekseni belirleyin. Eğer sabitse A Ve B Denklem (4a)'dakiler eşitse hiperbole eşkenar denir. Eksenleri döndürerek denklemi forma indirgenir

xy = k.

Artık (3), (2) ve (4) numaralı denklemlerden Apollonius'un üç ana konik bölüme verdiği adların anlamını anlayabiliriz. "Elips", "parabol" ve "hiperbol" terimleri Yunanca "eksik", "eşit" ve "üstün" anlamına gelen kelimelerden gelmektedir. Denklemlerden (3), (2) ve (4) elips için açıktır ki sen 2 b 2 / A) X, bir parabol için sen 2 = (A) X ve abartı için sen 2 > (2B 2 /A) X. Her durumda parantez içindeki değer, eğrinin odak parametresine eşittir.

Apollonius'un kendisi yalnızca üç genel konik kesit tipini değerlendirdi (yukarıda listelenen tip 2, 3 ve 9), ancak yaklaşımı tüm gerçek ikinci dereceden eğrilerin dikkate alınmasına izin verecek şekilde genelleştirilebilir. Kesme düzlemi koninin dairesel tabanına paralel seçilirse kesit bir daireyle sonuçlanacaktır. Kesme düzleminin koni ile yalnızca bir ortak noktası varsa, tepe noktası, o zaman tip 5'in bir bölümü elde edilecektir; bir tepe noktası ve koniye teğet içeriyorsa, tip 8'in bir bölümünü elde ederiz (Şekil 6, B); kesme düzlemi koninin iki generatrisini içeriyorsa, bölüm 4 tipinde bir eğri üretir (Şekil 6, A); tepe sonsuza aktarıldığında koni bir silindire dönüşür ve düzlem iki generatris içeriyorsa 6 tipi bir bölüm elde edilir.

Bir daireye eğik açıdan bakıldığında elips gibi görünür. Arşimet tarafından bilinen bir daire ile elips arasındaki ilişki, eğer daire X 2 + e 2 = A 2 ikame kullanarak X = X, e = (A/B) sen denklem (3a) ile verilen elipse dönüşür. Dönüştürmek X = X, e = (yapay zeka/B) sen, Nerede Ben 2 = –1, bir dairenin denklemini (4a) formunda yazmamızı sağlar. Bu, bir hiperbolün hayali bir küçük eksene sahip bir elips olarak görülebileceğini veya bunun tersine bir elipsin, hayali bir eşlenik eksene sahip bir hiperbol olarak görülebileceğini gösterir.

Bir dairenin koordinatları arasındaki ilişki X 2 + sen 2 = A 2 ve elips ( X 2 /A 2) + (sen 2 /B 2) = 1 doğrudan Arşimet formülüne götürür A = p ab elipsin alanı için. Kepler yaklaşık formülü biliyordu P(A + B) bir daireye yakın bir elipsin çevresi için, ancak kesin ifade yalnızca 18. yüzyılda elde edildi. Eliptik integrallerin tanıtılmasından sonra. Arşimet'in gösterdiği gibi, parabolik bir parçanın alanı, yazılı bir üçgenin alanının üçte dördü kadardır, ancak bir parabol yayının uzunluğu ancak 17. yüzyıldan sonra hesaplanabilmiştir. Diferansiyel hesap icat edildi.

PROJEKTİF YAKLAŞIM

Projektif geometri perspektifin yapısıyla yakından ilgilidir. Şeffaf bir kağıda bir daire çizip onu bir ışık kaynağının altına yerleştirirseniz, bu daire aşağıdaki düzleme yansıtılacaktır. Ayrıca, ışık kaynağı doğrudan dairenin merkezinin üzerinde bulunuyorsa ve düzlem ile şeffaf tabaka paralelse, projeksiyon da bir daire olacaktır (Şekil 8). Işık kaynağının konumuna ufuk noktası denir. Mektupla belirtilir V. Eğer V dairenin merkezinin üzerinde değilse veya düzlem kağıda paralel değilse, dairenin izdüşümü bir elips şeklini alır. Düzlemin daha da büyük bir eğimi ile elipsin ana ekseni (dairenin izdüşümü) uzar ve elips yavaş yavaş bir parabole dönüşür; düz bir çizgiye paralel bir düzlemde Başkan Yardımcısı projeksiyon bir parabol biçimindedir; daha da büyük bir eğimle projeksiyon, hiperbolün dallarından birinin şeklini alır.

Orijinal daire üzerindeki her nokta, projeksiyondaki belirli bir noktaya karşılık gelir. İzdüşüm bir parabol veya hiperbol biçimindeyse, o noktaya karşılık gelen noktanın P, sonsuzdadır veya sonsuz derecede uzaktadır.

Gördüğümüz gibi, uygun bir ufuk noktası seçimiyle, bir daire çeşitli boyutlarda ve çeşitli dışmerkezliliklere sahip elipsler halinde yansıtılabilir ve ana eksenlerin uzunlukları, yansıtılan dairenin çapıyla doğrudan ilişkili değildir. Bu nedenle projektif geometri, mesafeler veya uzunluklarla ilgilenmez; görevi, projeksiyon sırasında korunan uzunlukların oranını incelemektir. Bu ilişki aşağıdaki yapı kullanılarak bulunabilir. Herhangi bir noktadan P düzlem, herhangi bir daireye iki teğet çizin ve teğet noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin P. Noktadan başka bir çizginin geçmesine izin verin P, daireyi bazı noktalarda keser C 1 ve C 2 ve düz P- noktada Q(Şekil 9). Planimetride kanıtlanmıştır ki bilgisayar 1 /bilgisayar 2 = –kalite kontrol 1 /kalite kontrol 2. (Eksi işareti, segmentin yönünün değişmesi nedeniyle ortaya çıkar. kalite kontrol 1 diğer doğru parçalarının yönünün tersidir.) Yani noktalar P Ve Q segmenti böl C 1 C 2 aynı açıdan harici ve dahili olarak; ayrıca dört parçanın harmonik oranının - 1'e eşit olduğunu söylüyorlar. Eğer daire konik bir bölüme yansıtılırsa ve karşılık gelen noktalar için aynı notasyon korunursa, o zaman harmonik oran ( bilgisayar 1)(kalite kontrol 2)/(bilgisayar 2)(kalite kontrol 1) - 1'e eşit kalacaktır. P hat direği denir P konik bölüme ve düz çizgiye göre P– kutup noktası P konik bölüme göre.

nokta ne zaman P konik bir bölüme yaklaşıldığında kutup, teğet konumunu alma eğilimindedir; eğer nokta P konik bir bölüm üzerinde yatıyorsa, kutupları o noktada konik bölüme teğet ile çakışır P. Eğer nokta P konik bölümün içinde yer alıyorsa kutupları aşağıdaki gibi yapılabilir. Hadi noktayı çizelim P konik bir kesiti iki noktada kesen herhangi bir düz çizgi; kesişme noktalarında konik bölüme teğetler çizin; bu teğetlerin bir noktada kesiştiğini varsayalım P 1. Hadi noktayı çizelim P konik bölümü diğer iki noktada kesen başka bir düz çizgi; bu yeni noktalarda konik bölüme teğetlerin bu noktada kesiştiğini varsayalım. P 2 (Şek. 10). Noktalardan geçen çizgi P 1 ve P 2 ve istenen polar var P. Eğer nokta P merkeze yaklaşıyor Ö merkezi konik bölüm, ardından kutupsal P uzaklaşır Ö. nokta ne zaman P ile çakışıyor Ö, o zaman onun kutbu düzlemde sonsuz derecede uzak veya ideal hale gelir.

ÖZEL YAPILAR

Gökbilimcilerin özellikle ilgisini çeken şey, bir pusula ve cetvel kullanılarak elips noktalarının aşağıdaki basit yapısıdır. Bir noktadan rastgele bir düz çizginin geçmesine izin verin Ö(Şekil 11, A), noktalarda kesişiyor Q Ve R bir noktada ortalanmış iki eşmerkezli daire Ö ve yarıçap B Ve A, Nerede B A. Hadi noktayı çizelim Q yatay çizgi ve içinden R– dikey bir çizgi ve bunların kesişme noktasını belirtir P P düz bir çizgiyi döndürürken OQR noktanın etrafında Ö bir elips olacak. Köşe F düz çizgi arasında OQR ve ana eksene eksantrik açı denir ve oluşturulan elips, parametrik denklemlerle uygun şekilde belirtilir. X = Açünkü F, sen = B günah F. Parametre hariç F denklem (3a)'yı elde ederiz.

Bir hiperbolün yapısı büyük ölçüde benzerdir. Bir noktadan geçen rastgele bir düz çizgi Ö, iki daireden birini bir noktada kesiyor R(Şekil 11, B). Diyeceğim şey şu ki R bir daire ve bitiş noktasına S başka bir dairenin yatay çapı, kesişen teğetler çizin işletim sistemi noktada T Ve VEYA- noktada Q. Dikey bir doğrunun bir noktadan geçmesine izin verin T ve noktadan geçen yatay bir çizgi Q, bir noktada kesişiyor P. Daha sonra noktaların yeri P bir segmenti döndürürken VEYA etrafında Ö parametrik denklemlerle verilen bir hiperbol olacak X = A saniye F, sen = B tg F, Nerede F– eksantrik açı. Bu denklemler Fransız matematikçi A. Legendre (1752–1833) tarafından elde edilmiştir. Parametreyi hariç tutarak F denklem (4a)'yı elde ederiz.

N. Copernicus'un (1473–1543) belirttiği gibi bir elips, episiklik hareket kullanılarak oluşturulabilir. Bir daire, çapı iki kat olan başka bir dairenin iç kısmı boyunca kaymadan yuvarlanıyorsa, o zaman her nokta P Küçük dairenin üzerinde yer almayan ancak ona göre hareketsiz olan daire bir elipsi tanımlayacaktır. Eğer nokta P daha küçük bir daire üzerindeyse, bu noktanın yörüngesi bir elipsin dejenere bir durumudur - daha büyük dairenin çapı. Elipsin daha da basit bir yapısı 5. yüzyılda Proclus tarafından önerildi. Eğer biterse A Ve Bçizgi segmenti AB belirli bir uzunluktaki kaymanın iki sabit kesişen düz çizgi boyunca (örneğin, koordinat eksenleri boyunca), ardından her bir iç noktanın P segment bir elipsi tanımlayacaktır; Hollandalı matematikçi F. van Schooten (1615–1660), kesişen çizgilerin düzlemindeki kayan bir parçaya göre sabit olan herhangi bir noktanın aynı zamanda bir elipsi tanımlayacağını gösterdi.

B. Pascal (1623-1662), 16 yaşındayken şu anda ünlü olan Pascal teoremini formüle etti: herhangi bir konik kesitte yazılı bir altıgenin karşıt kenarlarının üç kesişme noktası aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Pascal bu teoremden 400'den fazla sonuç çıkardı.

Tek farkla, "düz" grafikler yerine en yaygın mekansal yüzeyleri dikkate alacağız ve bunları elle nasıl yetkin bir şekilde oluşturacağımızı da öğreneceğiz. Üç boyutlu çizimler oluşturmak için yazılım araçlarını seçmek için oldukça uzun zaman harcadım ve birkaç iyi uygulama buldum, ancak tüm kullanım kolaylığına rağmen bu programlar önemli bir pratik sorunu iyi çözmüyor. Gerçek şu ki, öngörülebilir tarihsel gelecekte öğrenciler hala bir cetvel ve kalemle silahlandırılacak ve hatta yüksek kaliteli bir "makine" çizimine sahip olsalar bile, çoğu kişi onu kareli kağıda doğru bir şekilde aktaramayacak. Bu nedenle kılavuzda, manuel yapım tekniğine özel önem verilmiş olup, sayfadaki resimlerin önemli bir kısmı el yapımı ürünlerdir.

Bu referans materyalinin analoglardan farkı nedir?

İyi bir pratik deneyime sahip olduğum için, yüksek matematiğin gerçek problemlerinde en sık hangi yüzeylerle uğraşmamız gerektiğini çok iyi biliyorum ve umarım bu makale, bagajınızı 90'ı oluşturan ilgili bilgi ve uygulamalı becerilerle hızlı bir şekilde doldurmanıza yardımcı olur. -%95 yeterli vaka olmalı.

Şu anda ne yapabilmeniz gerekiyor?

En temel:

Öncelikle şunları yapabilmeniz gerekir: doğru şekilde inşa etmek uzaysal Kartezyen koordinat sistemi (bkz. makalenin başlangıcı) Fonksiyonların grafikleri ve özellikleri) .

Bu makaleyi okuduktan sonra ne kazanacaksınız?

Şişe Ders materyallerine hakim olduktan sonra, yüzeyin tipini fonksiyonuna ve/veya denklemine göre hızlı bir şekilde belirlemeyi, uzayda nasıl konumlandığını hayal etmeyi ve elbette çizimler yapmayı öğreneceksiniz. İlk okumadan sonra her şeyi kafanıza oturtamamanızda sorun yoktur; daha sonra istediğiniz zaman herhangi bir paragrafa dönebilirsiniz.

Bilgi herkesin gücündedir - bu konuda uzmanlaşmak için herhangi bir süper bilgiye, özel sanatsal yeteneğe veya mekansal vizyona ihtiyacınız yoktur.

Başlamak!

Uygulamada, uzaysal yüzey genellikle verilir. iki değişkenli fonksiyon veya formun bir denklemi (sağ taraftaki sabit çoğunlukla sıfır veya bire eşittir). İlk atama matematiksel analiz için daha tipiktir, ikincisi ise analitik geometri. Denklem aslında üstü kapalı olarak verilmiş Tipik durumlarda kolayca forma indirgenebilen 2 değişkenli bir fonksiyon. Size en basit örneği hatırlatayım c:

–düzlem denklemi tür .

– düzlem fonksiyonu açıkça .

Onunla başlayalım:

Düzlemlerin ortak denklemleri

Düzlemlerin dikdörtgen koordinat sisteminde düzenlenmesi için tipik seçenekler makalenin başında ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Düzlem denklemi. Ancak pratik açısından büyük önem taşıyan denklemler üzerinde bir kez daha duralım.

Öncelikle koordinat düzlemlerine paralel olan düzlemlerin denklemlerini tam otomatik olarak tanımalısınız. Düzlem parçaları standart olarak dikdörtgenler olarak gösterilir ve son iki durumda bunlar paralelkenarlara benzer. Varsayılan olarak herhangi bir boyutu seçebilirsiniz (elbette makul sınırlar dahilinde), ancak koordinat ekseninin düzlemi "deldiği" noktanın simetri merkezi olması arzu edilir:


Açıkçası, koordinat eksenleri bazı yerlerde noktalı çizgilerle gösterilmelidir, ancak karışıklığı önlemek için bu nüansı ihmal edeceğiz.

– (sol çizim) eşitsizlik, düzlemin kendisi hariç, bizden en uzaktaki yarı uzayı belirtir;

– (orta çizim) eşitsizlik düzlem de dahil olmak üzere sağ yarı uzayı belirtir;

– (sağ çizim)çifte eşitsizlik, her iki düzlemi de içeren düzlemler arasında yer alan bir "katmanı" tanımlar.

Kendi kendine ısınma için:

örnek 1

Düzlemlerle sınırlanmış bir cisim çizin
Belirli bir bedeni tanımlayan bir eşitsizlikler sistemi oluşturun.

Kaleminizin öncülüğünde eski bir tanıdık ortaya çıkmalı. küboid. Görünmeyen kenar ve yüzlerin noktalı çizgi ile çizilmesi gerektiğini unutmayın. Dersin sonunda çizim bitti.

Lütfen, İHMAL ETMEYİNÇok basit görünseler bile öğrenme görevleri. Aksi takdirde, onu bir kez kaçırmış, iki kez kaçırmış ve ardından gerçek bir örnekte üç boyutlu bir çizim bulmaya çalışarak tam bir saat geçirmiş olabilirsiniz. Ayrıca mekanik çalışma, materyali çok daha etkili bir şekilde öğrenmenize ve zekanızı geliştirmenize yardımcı olacaktır! Anaokulu ve ilkokul çağındaki çocukların çizim, modelleme, inşaat oyuncakları ve parmakların ince motor becerilerine yönelik diğer görevlerle meşgul olması tesadüf değildir. Konudan söz ettiğim için kusura bakmayın ama gelişim psikolojisi üzerine olan iki defterim kaybolmamalı =)

Bir sonraki uçak grubuna koşullu olarak "doğru orantılılık" adını vereceğiz - bunlar koordinat eksenlerinden geçen uçaklardır:

2) formun bir denklemi eksenden geçen bir düzlemi belirtir;

3) formun bir denklemi eksenden geçen bir düzlemi belirtir.

Resmi işaret açık olmasına rağmen (denklemde hangi değişken eksik - düzlem o eksenden geçiyor) meydana gelen olayların özünü anlamak her zaman faydalıdır:

Örnek 2

Düzlem inşa et

İnşa etmenin en iyi yolu nedir? Aşağıdaki algoritmayı öneriyorum:

Öncelikle “y” harfinin alınabileceği açıkça görülen formdaki denklemi yeniden yazalım. herhangi anlamlar. Değeri sabitleyelim yani koordinat düzlemini ele alalım. Denklem seti uzay çizgisi, belirli bir koordinat düzleminde yatıyor. Bu çizgiyi çizimde gösterelim. Düz çizgi koordinatların başlangıç ​​noktasından geçer, dolayısıyla onu oluşturmak için bir nokta bulmak yeterlidir. İzin vermek . Bir noktayı kenara koyun ve düz bir çizgi çizin.

Şimdi düzlem denklemine dönüyoruz. "Y" kabul ettiğinden herhangi değerler, daha sonra düzlemde oluşturulan düz çizgi sürekli olarak sola ve sağa "çoğaltılır". Eksenden geçen düzlemimiz tam olarak bu şekilde oluşuyor. Çizimi tamamlamak için, düz çizginin soluna ve sağına iki paralel çizgi yerleştiriyoruz ve sembolik paralelkenarı enine yatay bölümlerle "kapatıyoruz":

Durum ek kısıtlamalar getirmediğinden uçağın bir parçası biraz daha küçük veya biraz daha büyük boyutlarda tasvir edilebildi.

Örneği kullanarak mekansal doğrusal eşitsizliğin anlamını bir kez daha tekrarlayalım. Tanımladığı yarım uzay nasıl belirlenir? Bir noktaya değinelim ait değilörneğin düzlemde bize en yakın yarı uzaydan bir nokta alıp koordinatlarını eşitsizlikte yerine koyarız:

Kabul edilmiş gerçek eşitsizlik Bu, eşitsizliğin alt (düzlece göre) yarı uzayı belirttiği, ancak düzlemin kendisinin çözüme dahil olmadığı anlamına gelir.

Örnek 3

Uçak inşa et
A) ;
B) .

Bunlar kendi kendini inşa etmeye yönelik görevlerdir; zorluk durumunda benzer akıl yürütmeyi kullanın. Dersin sonunda kısa talimatlar ve çizimler.

Pratikte eksene paralel düzlemler özellikle yaygındır. Düzlemin eksenden geçtiği özel durum az önce "ol" noktasında tartışılmıştı ve şimdi daha genel bir sorunu analiz edeceğiz:

Örnek 4

Düzlem inşa et

Çözüm: “z” değişkeni denklemde açıkça yer almamaktadır; bu, düzlemin uygulanan eksene paralel olduğu anlamına gelir. Önceki örneklerdeki tekniğin aynısını kullanalım.

Düzlemin denklemini formda yeniden yazalım. buradan "zet"in alabileceği açıktır herhangi anlamlar. Bunu düzeltelim ve “yerel” düzlemde düzenli bir “düz” düz çizgi çizelim. Bunu oluşturmak için referans noktaları almak uygundur.

"Z" kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan düz çizgi sürekli olarak yukarı ve aşağı "çoğalır" ve böylece istenen düzlemi oluşturur. . Dikkatlice makul boyutta bir paralelkenar çiziyoruz:

Hazır.

Segmentlerdeki bir düzlemin denklemi

En önemli uygulamalı çeşittir. Eğer Tüm ihtimaller düzlemin genel denklemi sıfır olmayan, o zaman formda temsil edilebilir buna denir düzlemin segmentlerdeki denklemi. Düzlemin koordinat eksenlerini noktalarda kestiği açıktır ve böyle bir denklemin en büyük avantajı çizim oluşturma kolaylığıdır:

Örnek 5

Düzlem inşa et

Çözüm: Öncelikle düzlemin parçalar halinde bir denklemini oluşturalım. Serbest terimi sağa atıp her iki tarafı da 12'ye bölelim:

Hayır, burada yazım hatası yok ve her şey uzayda oluyor! Önerilen yüzeyi yakın zamanda uçaklar için kullanılan yöntemin aynısını kullanarak inceliyoruz. Denklemi formda yeniden yazalım. , buradan "zet"in alındığı sonucu çıkıyor herhangi anlamlar. Düzlemde bir elips sabitleyip oluşturalım. "zet" kabul ettiğine göre Tüm değerler, daha sonra oluşturulan elips sürekli olarak yukarı ve aşağı "çoğaltılır". Yüzeyin anlaşılması kolaydır. sonsuz:

Bu yüzeye denir eliptik silindir. Bir elips (herhangi bir yükseklikte) denir rehber silindir ve elipsin her noktasından geçen paralel çizgilere denir. şekillendirme silindir (kelimenin tam anlamıyla onu oluşturur). Eksen simetri ekseni yüzey (ama onun bir parçası değil!).

Belirli bir yüzeye ait herhangi bir noktanın koordinatları mutlaka denklemi karşılar .

mekansal eşitsizlik, silindirik yüzey de dahil olmak üzere sonsuz "borunun" "içerisini" tanımlar ve buna göre zıt eşitsizlik, silindirin dışındaki noktalar kümesini tanımlar.

Pratik problemlerde en popüler özel durum, rehber silindir daire:

Örnek 8

Denklemin verdiği yüzeyi oluşturun

Sonsuz bir "boru" tasvir etmek imkansızdır, bu nedenle sanat genellikle "kırpma" ile sınırlıdır.

İlk olarak, düzlemde yarıçaplı bir daire ve ardından üstünde ve altında birkaç daire daha oluşturmak uygundur. Ortaya çıkan daireler ( kılavuzlar silindir) dört paralel düz çizgiyle dikkatlice bağlayın ( şekillendirme silindir):

Gözümüze görünmeyen çizgiler için noktalı çizgiler kullanmayı unutmayın.

Belirli bir silindire ait herhangi bir noktanın koordinatları denklemi sağlar . Kesinlikle “boru”nun içinde kalan herhangi bir noktanın koordinatları eşitsizliği karşılar ve eşitsizlik dış parçanın bir dizi noktasını tanımlar. Daha iyi bir anlayış için uzaydaki birkaç spesifik noktayı göz önünde bulundurmanızı ve kendi gözlerinizle görmenizi öneririm.

Örnek 9

Bir yüzey oluşturun ve düzlem üzerindeki izdüşümünü bulun

Denklemi formda yeniden yazalım. bundan "x"in aldığı sonucu çıkıyor herhangi anlamlar. Düzlemde düzeltip tasvir edelim daire– merkez orijinde, birim yarıçaplı. "x" sürekli olarak kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan daire simetri eksenine sahip dairesel bir silindir oluşturur. Başka bir daire çizin ( rehber silindir) ve bunları dikkatlice düz çizgilerle bağlayın ( şekillendirme silindir). Bazı yerlerde örtüşmeler oldu ama ne yapsın, öyle bir eğim var ki:

Bu sefer kendimi boşluktaki bir silindir parçasıyla sınırladım ve bu tesadüf değil. Pratikte genellikle yüzeyin yalnızca küçük bir parçasını tasvir etmek gerekir.

Bu arada, burada 6 generatris var - iki ek düz çizgi, sol üst ve sağ alt köşelerden yüzeyi "kaplıyor".

Şimdi silindirin düzlem üzerindeki izdüşümüne bakalım. Pek çok okuyucu projeksiyonun ne olduğunu anlıyor, ancak yine de beş dakikalık bir fiziksel egzersiz daha yapalım. Lütfen ayağa kalkın ve eksenin noktası alnınıza dik olacak şekilde başınızı çizimin üzerine eğin. Bu açıdan bakıldığında silindirin görünüşü, onun bir düzlem üzerindeki izdüşümüdür. Ancak düz çizgiler arasında, düz çizgilerin kendisi de dahil olmak üzere, sonsuz bir şerit gibi görünüyor. Bu projeksiyon tam olarak ihtisas işlevler (silindirin üst “oluğu”), (alt “oluk”).

Bu arada diğer koordinat düzlemlerine projeksiyonlarla durumu netleştirelim. Güneş ışınlarının silindirin ucundan ve eksen boyunca parlamasına izin verin. Bir silindirin bir düzlem üzerindeki gölgesi (izdüşümü) benzer bir sonsuz şerittir - düzlemin, düz çizgiler de dahil olmak üzere düz çizgilerle (- herhangi biri) sınırlanan bir kısmı.

Ancak düzleme izdüşümü biraz farklıdır. Silindire eksenin ucundan bakarsanız, birim yarıçaplı bir daireye yansıtılacaktır. , inşaatına başladık.

Örnek 10

Bir yüzey oluşturun ve koordinat düzlemlerine izdüşümlerini bulun

Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Koşul çok net değilse, her iki tarafın karesini alın ve sonucu analiz edin; Fonksiyon tarafından silindirin hangi kısmının belirtildiğini bulun. Yukarıda defalarca kullanılan yapım tekniğini kullanın. Dersin sonunda kısa bir çözüm, çizim ve yorumlar.

Eliptik ve diğer silindirik yüzeyler koordinat eksenlerine göre kaydırılabilir, örneğin:

(hakkındaki makalenin tanıdık motiflerine dayanarak 2. derece satırlar) - eksene paralel bir noktadan geçen simetri doğrusuna sahip birim yarıçaplı bir silindir. Ancak pratikte bu tür silindirlere oldukça nadir rastlanır ve koordinat eksenlerine göre “eğik” olan silindirik bir yüzeyle karşılaşmak kesinlikle inanılmazdır.

Parabolik silindirler

Adından da anlaşılacağı gibi, rehber böyle bir silindir parabol.

Örnek 11

Bir yüzey oluşturun ve koordinat düzlemlerine izdüşümlerini bulun.

Bu örneğe dayanamadım =)

Çözüm: Hadi alışılmış yoldan gidelim. Denklemi "zet" in herhangi bir değer alabileceği şekilde yeniden yazalım. Önemsiz referans noktalarını önceden işaretledikten sonra düzlem üzerinde sıradan bir parabol sabitleyip oluşturalım. "Z" kabul ettiğinden Tüm değerler, daha sonra oluşturulan parabol sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza kadar "çoğaltılır". Aynı parabolü örneğin bir yüksekliğe (düzlemde) yerleştiririz ve bunları paralel düz çizgilerle dikkatlice bağlarız ( silindiri oluşturan):

sana hatırlatıyorum faydalı teknik: Başlangıçta çizimin kalitesinden emin değilseniz, önce çizgileri bir kalemle çok ince çizmek daha iyidir. Daha sonra taslağın kalitesini değerlendiriyoruz, yüzeyin gözlerimizden gizlendiği alanları buluyoruz ve ancak bundan sonra kaleme baskı uyguluyoruz.

Projeksiyonlar.

1) Silindirin bir düzleme izdüşümü bir paraboldür. Bu durumda hakkında konuşmanın imkansız olduğu unutulmamalıdır. iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanı– silindir denkleminin fonksiyonel forma indirgenememesi nedeniyle.

2) Bir silindirin bir düzleme izdüşümü, eksen de dahil olmak üzere yarım düzlemdir.

3) Ve son olarak silindirin düzlem üzerindeki izdüşümünün tamamı düzlemdir.

Örnek 12

Parabolik silindirler oluşturun:

a) kendinizi yakın yarı uzaydaki yüzeyin bir parçasıyla sınırlandırın;

b) aralıkta

Zorluk durumunda acele etmiyoruz ve önceki örneklere benzeterek akıl yürütmüyoruz; ne mutlu ki teknoloji iyice gelişmiş durumda. Yüzeylerin biraz hantal olması kritik değildir - temel resmin doğru şekilde görüntülenmesi önemlidir. Ben şahsen çizgilerin güzelliğiyle pek ilgilenmiyorum; eğer C notuyla kabul edilebilir bir çizim elde edersem, genellikle onu yeniden yapmam. Bu arada, örnek çözüm çizimin kalitesini artırmak için başka bir teknik kullanıyor ;-)

Hiperbolik silindirler

Kılavuzlar bu tür silindirler hiperbollerdir. Gözlemlerime göre bu tür yüzey önceki türlere göre çok daha az yaygındır, bu yüzden kendimi hiperbolik silindirin tek bir şematik çizimiyle sınırlayacağım:

Buradaki akıl yürütme ilkesi tamamen aynı - olağan okul abartısı düzlemden itibaren sürekli olarak yukarı ve aşağı sonsuza kadar “çoğalır”.

Dikkate alınan silindirler sözde aittir. 2. dereceden yüzeyler ve şimdi bu grubun diğer temsilcileriyle tanışmaya devam edeceğiz:

Elipsoid. Küre ve top

Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir elipsoidin kanonik denklemi şu şekildedir: , pozitif sayılar nerede ( aks milleri elipsoid), genel durumda farklı. Elipsoid denir yüzey, Bu yüzden vücut belirli bir yüzeyle sınırlıdır. Çoğu kişinin tahmin ettiği gibi beden eşitsizlikle belirlenir ve herhangi bir iç noktanın (aynı zamanda herhangi bir yüzey noktasının) koordinatları bu eşitsizliği zorunlu olarak karşılar. Tasarım koordinat eksenlerine ve koordinat düzlemlerine göre simetriktir:

"Elipsoid" teriminin kökeni de açıktır: eğer yüzey koordinat düzlemleri tarafından "kesilirse", bölümler üç farklı sonuçlanacaktır (genel durumda)

İkinci dereceden yüzeyler- bunlar dikdörtgen bir koordinat sisteminde ikinci dereceden cebirsel denklemlerle belirlenen yüzeylerdir.

1. Elipsoid.

Denklem (1) denir bir elipsoidin kanonik denklemi.

Elipsoidin geometrik formunu oluşturalım. Bunu yapmak için, bu elipsoidin kesitlerini düzleme paralel düzlemlerle düşünün. Oksi. Bu düzlemlerin her biri formdaki bir denklemle belirlenir. z=h, Nerede H– herhangi bir sayı ve bölümde elde edilen doğru iki denklemle belirlenir

Çeşitli değerler için denklemleri (2) inceleyelim H .

buradan da uçağın z=h elipsoidi yarı eksenli bir elips boyunca keser

Belirli bir yüzey koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesiştiğinde benzer bir resim elde edilir. Öküz Ve Oyz.

Böylece, dikkate alınan bölümler elipsoidin kapalı bir oval yüzey olarak tasvir edilmesini mümkün kılar (Şekil 156). Miktarları a, b, c arandı aks milleri elipsoid. Ne zaman a=b=c elipsoid kürebu.

2. Tek şeritli hiperboloit.

Denklem (3), tek şeritli bir hiperboloitin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Yüzey tipini ayarlayalım (3). Bunu yapmak için koordinat düzlemlerinin bir bölümünü düşünün Oksi (y=0)VeOyx (x=0). Buna göre denklemleri elde ederiz

Şimdi bu hiperboloidin koordinat düzlemine paralel z=h düzlemlerine göre kesitlerini düşünün Oksi. Bölümde ortaya çıkan çizgi denklemlerle belirlenir.

buradan z=h düzleminin hiperboloit ile yarı eksenli bir elips boyunca kesiştiği sonucu çıkar.

en düşük değerlerine h=0'da ulaşıyor, yani. Bu hiperboloidin kesitinde, Oxy koordinat ekseni a*=a ve b*=b yarı eksenlerine sahip en küçük elipsi üretir. Sonsuz artışla

Böylece, dikkate alınan bölümler, Oxy düzleminden uzaklaştıkça (her iki tarafta) sonsuzca genişleyen, sonsuz bir tüp biçiminde tek şeritli bir hiperboloitin tasvir edilmesini mümkün kılar.

a, b, c niceliklerine tek şeritli hiperboloidin yarı eksenleri denir.

3. İki yapraklı hiperboloit.

İki yapraklı bir hiperboloid, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan bir yüzeydir.

Denklem (5) iki yapraklı hiperboloidin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Yüzeyin (5) geometrik görünümünü oluşturalım. Bunu yapmak için bölümlerini Oxy ve Oyz koordinat düzlemlerine göre düşünün. Buna göre denklemleri elde ederiz

buradan hiperbollerin kesitler halinde elde edildiği sonucu çıkar.

Şimdi bu hiperboloidin Oxy koordinat düzlemine paralel z=h düzlemlerindeki kesitlerini düşünün. Bölümde elde edilen çizgi denklemlerle belirlenir.

bundan şu sonuç çıkıyor:

a, b ve c büyüklüklerine iki yapraklı hiperboloidin yarı eksenleri denir.

4. Eliptik paraboloit.

Eliptik bir paraboloit, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan bir yüzeydir.

burada p>0 ve q>0.

Denklem (7) eliptik bir paraboloitin kanonik denklemi olarak adlandırılır.

Bu yüzeyin kesitlerini Oxy ve Oyz koordinat düzlemlerine göre ele alalım. Buna göre denklemleri elde ederiz

bundan, bölümlerin Oz eksenine göre simetrik, köşeleri orijinde olan paraboller verdiği sonucu çıkar. (8)

bundan şu şekilde çıkıyor: . h arttıkça a ve b'nin değerleri de artar; h=0'da elips bir noktaya dönüşür (z=0 düzlemi verilen hiperboloide temas eder). saat<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Böylece, dikkate alınan bölümler eliptik bir paraboloitin sonsuz dışbükey bir çanak şeklinde tasvir edilmesini mümkün kılar.

(0;0;0) noktasına paraboloidin tepe noktası denir; p ve q sayıları onun parametreleridir.

p=q durumunda, denklem (8), merkezi Oz ekseninde olan bir daireyi tanımlar; eliptik bir paraboloit, bir parabolün kendi ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir yüzey (dönüş paraboloidi) olarak düşünülebilir.

5. Hiperbolik paraboloit.

Hiperbolik bir paraboloit, bazı dikdörtgen koordinat sistemlerinde denklemle tanımlanan bir yüzeydir.

Öğrenciler en sık ilk yılda 2. dereceden yüzeylerle karşılaşırlar. İlk başta bu konudaki problemler basit görünebilir, ancak yüksek matematik okudukça ve bilimsel yönün derinliklerine indikçe, sonunda olup bitenlerin izini kaybedebilirsiniz. Bunun olmasını önlemek için, sadece ezberlemekle kalmayıp, şu veya bu yüzeyin nasıl elde edildiğini, katsayılardaki değişikliklerin onu ve orijinal koordinat sistemine göre konumunu nasıl etkilediğini ve yeni bir sistemin nasıl bulunacağını (bir merkezinin başlangıç ​​koordinatlarıyla çakıştığı, ancak koordinat eksenlerinden birine paralel olduğu). En baştan başlayalım.

Tanım

Koordinatları aşağıdaki formun genel denklemini karşılayan 2. dereceden bir yüzeye GMT adı verilir:

Yüzeye ait her noktanın belirlenen bazda üç koordinata sahip olması gerektiği açıktır. Her ne kadar bazı durumlarda noktaların yeri örneğin bir düzleme dönüşebilir. Bu sadece koordinatlardan birinin sabit olduğu ve izin verilen tüm değerler aralığı boyunca sıfıra eşit olduğu anlamına gelir.

Yukarıdaki eşitliğin tam yazılı şekli şöyle görünür:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm bazı sabitlerdir; x, y, z ise bir noktanın afin koordinatlarına karşılık gelen değişkenlerdir. Bu durumda sabit faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olmaması yani hiçbir noktanın denkleme uymaması gerekir.

Örneklerin büyük çoğunluğunda, birçok sayısal faktör hala aynı şekilde sıfıra eşittir ve denklem önemli ölçüde basitleştirilmiştir. Pratikte bir noktanın bir yüzeye ait olup olmadığını belirlemek zor değildir (koordinatlarını denklemde yerine koymak ve özdeşliğin geçerli olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir). Bu tür çalışmalarda kilit nokta, ikincisini kanonik forma getirmektir.

Yukarıda yazılan denklem herhangi bir (hepsi aşağıda listelenmiştir) 2. dereceden yüzeyleri tanımlar. Aşağıdaki örneklere bakalım.

2. dereceden yüzey çeşitleri

2. derece yüzeylerin denklemleri yalnızca A nm katsayılarının değerlerinde farklılık gösterir. Sabitlerin belirli değerlerinde genel formdan, aşağıdaki gibi sınıflandırılan çeşitli yüzeyler elde edilebilir:

1. Silindirler.
2. Eliptik tip.
3. Hiperbolik tip.
4. Konik tip.
5. Parabolik tip.
6. Yüzeyleri.

Listelenen türlerin her birinin doğal ve hayali bir biçimi vardır: hayali biçimde, gerçek noktaların yeri ya daha basit bir şekle dönüşür ya da tamamen yoktur.

Silindirler

Bu en basit türdür, çünkü nispeten karmaşık eğri yalnızca tabanda yer alır ve bir kılavuz görevi görür. Jeneratörler, tabanın bulunduğu düzleme dik olan düz çizgilerdir.

Grafik, eliptik silindirin özel bir durumu olan dairesel bir silindiri göstermektedir. XY düzleminde, jeneratörler Z eksenine paralel olduğundan, projeksiyonu bir elips (bizim durumumuzda bir daire) - bir kılavuz ve XZ'de - bir dikdörtgen olacaktır. katsayılara aşağıdaki değerleri vermek gerekir:

Alışılagelmiş x, y, z, x gösterimleri yerine seri numaralı seri numarası kullanılır - bunun herhangi bir anlamı yoktur.

Aslında 1/a 2 ve burada belirtilen diğer sabitler genel denklemde belirtilen katsayılarla aynıdır, ancak bunları tam olarak bu biçimde yazmak gelenekseldir - bu kanonik gösterimdir. Bundan sonra bu giriş yalnızca kullanılacaktır.

Bu hiperbolik bir silindiri tanımlar. Şema aynı - abartı kılavuz olacak.

Parabolik silindir biraz farklı tanımlanır: Kanonik formu, parametre adı verilen bir p katsayısı içerir. Aslında katsayı q=2p'dir, ancak bunu sunulan iki faktöre bölmek gelenekseldir.

Başka bir silindir türü daha var: hayali. Böyle bir silindire ait hiçbir gerçek nokta yoktur. Eliptik bir silindirin denklemiyle tanımlanır, ancak bir yerine -1 vardır.

Eliptik tip

Elipsoid eksenlerden biri boyunca uzatılabilir (bunun boyunca yukarıda belirtilen a, b, c sabitlerinin değerlerine bağlıdır; açıkçası, daha büyük eksen daha büyük bir katsayıya karşılık gelecektir).

Ayrıca hayali bir elipsoid de vardır - katsayılarla çarpılan koordinatların toplamının -1'e eşit olması koşuluyla:

Hiperboloidler

Sabitlerden birinde bir eksi göründüğünde, elipsoidin denklemi tek sayfalık bir hiperboloidin denklemine dönüşür. Bu eksinin x3 koordinatının önünde yer alması gerekmediğini anlamalısınız! Yalnızca hangi eksenlerin hiperboloidin dönme ekseni olacağını (veya ona paralel olacağını) belirler, çünkü karede ek terimler göründüğünde (örneğin, (x-2) 2), şeklin merkezi şu şekilde kayar: Sonuç olarak yüzey koordinat eksenlerine paralel hareket eder). Bu, tüm 2. derece yüzeyler için geçerlidir.

Ek olarak, denklemlerin kanonik biçimde sunulduğunu ve sabitleri değiştirerek (işareti korurken!) değiştirilebileceğini anlamalısınız; aynı zamanda görünümleri (hiperboloit, koni vb.) aynı kalacaktır.

Böyle bir denklem iki yapraklı bir hiperboloit tarafından verilir.

Konik yüzey

Koni denkleminde birlik yoktur; sıfıra eşittir.

Yalnızca sınırlı bir konik yüzeye koni denir. Aşağıdaki resim aslında grafikte iki adet koni olacağını göstermektedir.

Önemli not: dikkate alınan tüm kanonik denklemlerde, sabitlerin varsayılan olarak pozitif olduğu varsayılır. Aksi halde işaret son grafiği etkileyebilir.

Koordinat düzlemleri koninin simetri düzlemleri haline gelir, simetri merkezi orijinde bulunur.

Hayali bir koninin denkleminde yalnızca artılar vardır; tek bir gerçek noktaya sahiptir.

Paraboloidler

Uzayda 2. mertebeden yüzeyler benzer denklemlerle bile farklı şekiller alabilir. Örneğin paraboloitler iki tiptedir.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Eliptik bir paraboloit, Z ekseni çizime dik olduğunda bir elips şeklinde yansıtılacaktır.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Hiperbolik paraboloid: ZY'ye paralel düzlemli kesitlerde paraboller, XY'ye paralel düzlemli kesitlerde ise hiperboller elde edilecektir.

Kesişen düzlemler

Düzlemde 2. derece yüzeylerin dejenere olduğu durumlar vardır. Bu düzlemler çeşitli şekillerde düzenlenebilir.

Öncelikle kesişen düzlemlere bakalım:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Kanonik denklemin bu modifikasyonuyla, basitçe kesişen iki düzlem (hayali!) elde ederiz; tüm gerçek noktalar denklemde bulunmayan koordinat eksenindedir (kanonik olanda - Z ekseni).

Paralel düzlemler

Yalnızca bir koordinat varsa, 2. dereceden yüzeyler bir çift paralel düzleme dönüşür. Unutmayın, oyuncunun yerini başka herhangi bir değişken alabilir; daha sonra diğer eksenlere paralel düzlemler elde edilecektir.

Bu durumda hayali hale gelirler.

Tesadüf uçaklar

Böylesine basit bir denklemle, bir çift düzlem tek bir düzleme dönüşür - çakışırlar.

Üç boyutlu bir temel durumunda yukarıdaki denklemin y=0 düz çizgisini belirtmediğini unutmayın! Diğer iki değişken eksik ama bu sadece değerlerinin sabit ve sıfıra eşit olduğu anlamına geliyor.

Yapı

Bir öğrenci için en zor görevlerden biri tam olarak 2. derece yüzeylerin yapımıdır. Eğrinin eksenlere göre eğim açıları ve merkezin kayması dikkate alındığında bir koordinat sisteminden diğerine geçmek daha da zordur. Bir çizimin gelecekteki görünümünü analitik bir şekilde tutarlı bir şekilde nasıl belirleyeceğimizi tekrarlayalım.

2. dereceden bir yüzey oluşturmak için yapmanız gerekenler:

• denklemi kanonik forma getirin;
• incelenen yüzeyin tipini belirlemek;
• katsayıların değerlerine göre inşa edin.

Aşağıda dikkate alınan tüm türler verilmiştir:

Bunu güçlendirmek için, bu tür bir görevin bir örneğini ayrıntılı olarak açıklayacağız.

Örnekler

Diyelim ki denklemimiz var:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Bunu kanonik forma getirelim. Tam kareleri seçelim, yani mevcut terimleri toplamın veya farkın karesinin ayrıştırması olacak şekilde düzenleyeceğiz. Örneğin: (a+1) 2 =a 2 +2a+1 ise, a 2 +2a+1=(a+1) 2 olur. İkinci bir operasyon gerçekleştireceğiz. Bu durumda, parantezleri açmak gerekli değildir, çünkü bu yalnızca hesaplamaları karmaşıklaştıracaktır, ancak ortak faktör 6'yı (oyunun tam karesine sahip parantez içinde) kaldırmak gerekir:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Zet değişkeni bu durumda yalnızca bir kez görünür; şimdilik onu kendi haline bırakabilirsiniz.

Bu aşamada denklemi analiz edelim: Bütün bilinmeyenlerin önünde artı işareti bulunur; Altıya bölündüğünde bir kalıyor. Sonuç olarak önümüzde bir elipsoidi tanımlayan bir denklem var.

144'ün 150-6'ya dahil edildiğine ve ardından -6'nın sağa kaydırıldığına dikkat edin. Neden bu şekilde yapılması gerekiyordu? Açıkçası, bu örnekte en büyük bölen -6'dır, bu nedenle, bir birimin ona bölündükten sonra sağda kalması için, 144'ten tam olarak 6'yı "bir kenara bırakmak" gerekir (birimin açık olması gerektiği gerçeği) hak, serbest bir terimin varlığıyla gösterilir - bilinmeyenle çarpılmayan bir sabit).

Her şeyi altıya bölelim ve elipsoidin kanonik denklemini elde edelim:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Daha önce kullanılan 2. derece yüzeylerin sınıflandırmasında, şeklin merkezinin koordinatların orijininde olması durumunda özel bir durum dikkate alınır. Bu örnekte ofsetlenmiştir.

Bilinmeyenleri olan her parantez yeni bir değişken olduğunu varsayıyoruz. Yani: a=x-1, b=y+5, c=z. Yeni koordinatlarda elipsoidin merkezi (0,0,0) noktasıyla çakışır, dolayısıyla a=b=c=0 olur, dolayısıyla: x=1, y=-5, z=0. Başlangıç ​​koordinatlarında şeklin merkezi (1,-5,0) noktasındadır.

Elipsoid iki elipsten elde edilecektir: birincisi XY düzleminde ve ikincisi XZ düzleminde (veya YZ - önemli değil). Değişkenlerin bölündüğü katsayıların kanonik denklemde kareleri alınır. Dolayısıyla yukarıdaki örnekte ikinin köküne, bire ve üçün köküne bölmek daha doğru olacaktır.

Birinci elipsin Y eksenine paralel olan yan ekseni ikiye eşittir. Ana eksen X eksenine paraleldir - ikinin iki kökü. İkinci elipsin Y eksenine paralel olan küçük ekseni aynı kalır - ikiye eşittir. Ve Z eksenine paralel olan ana eksen, üçün iki köküne eşittir.

Orijinal denklemden elde edilen verileri kanonik forma dönüştürerek kullanarak bir elipsoid çizebiliriz.

Özetliyor

Bu yazıda ele alınan konu oldukça kapsamlıdır ancak aslında şimdi görebileceğiniz gibi çok karmaşık değildir. Aslında gelişimi, yüzeylerin adlarını ve denklemlerini (ve tabii ki neye benzediklerini) ezberlediğiniz anda sona erer. Yukarıdaki örnekte her adımı ayrıntılı olarak inceledik ancak denklemi kanonik forma getirmek minimum düzeyde yüksek matematik bilgisi gerektirir ve öğrenciye herhangi bir zorluk yaratmamalıdır.

Gelecekteki takvimi mevcut eşitliğe dayanarak analiz etmek daha zor bir iştir. Ancak bunu başarılı bir şekilde çözmek için, karşılık gelen ikinci dereceden eğrilerin (elipsler, paraboller ve diğerleri) nasıl oluşturulduğunu anlamak yeterlidir.

Dejenerasyon vakaları daha da basit bir bölümdür. Bazı değişkenlerin bulunmaması nedeniyle, daha önce de belirtildiği gibi sadece hesaplamalar değil, aynı zamanda inşaatın kendisi de basitleştirilmiştir.

Tüm yüzey türlerini güvenle adlandırabildiğiniz, sabitleri değiştirebildiğiniz, bir grafiği şu veya bu şekle dönüştürebildiğiniz anda konu hakim olacaktır.

çalışmalarınızda İyi şanslar!