Büyüklük burada I tüketicinin geliridir, p1p2 malın fiyatıdır, x2 2. malın miktarıdır. Bu durumda birinci ve ikinci faydalar vardır:değiştirilebilir.

Doğru olanı seçin Keynesyen piyasa ekonomisi teorisiyle tutarlı ifade 1) işsizliğin olduğu bir piyasa ekonomisinde genel denge durumu ve tam istihdam yalnızca özel bir durumdur; 2) Faiz oranlarının artmasıyla birlikte yatırım talebi azalır.

Hakları seçinuygulanması ekonomik ve matematiksel modelin parametrelerini belirlemenin güvenilirliğini ve doğruluğunu artıran güçlü ifadeler. 1. Modelin parametrelerinin belirlenmesinde kabul edilen metodolojinin güvenilirliğin sağlanması açısından doğru olması, 2. Matematiksel modelin bulunabilmesi için nesnenin giriş ve çıkış göstergeleri hakkında yeterli miktarda başlangıç ​​bilgisinin bulunması, 3. Girdi göstergelerinin vektörü, çalışılan aralıkta büyük ölçüde değişiklik göstermelidir, 4. Önceden kabul edildiğinde, model, incelenen nesnenin gerçek kalıplarını önemli bir şekilde yansıtmalıdır.

Örnek denklemEğer y=-3+2x ikili regresyonu yoksa, örnek ikili korelasyon katsayısı şuna eşit olabilir:..(-3,2,0.6,-2,-0.6) ...0,7 veya 0,6.

seçici olarakİkili regresyon denklemi y=-3+2x biçimindedir. Bu durumda örnek çifti korelasyon katsayısı şuna eşit olabilir: 0,7.

nerede B – artan sermaye yoğunluğu katsayısı; C(t) - tüketim hacmi; Y(t) - gelir hacmi; Bu durumda maksimum olacaktır ve bu durumda C(t) = sabit ise sıfır olacaktır: maksimuma ulaşıldı , ve Y(0)=C(0) noktasında sıfıra eşittir.

hipotezler Piyasa ekonomisinin klasik modelinde işgücü talebi fonksiyonunun türetilmesinde kullanılan: Firmalar mal tedarik etme ve işgücü kiralama konusunda tamamen rekabetçidir. Diğer koşullar eşit olduğunda, emeğin marjinal ürünü, emek kullanımı arttıkça azalır.

Verilen işlevler talep etmek ve S=2p+1,5 teklif ediyor, burada p ürünün fiyatıdır. o zaman denge fiyatıdır. CEVAP: x1= 0,34+0,18+340.....x2=0;25+0,53+280.

Verilen işlevlertalep etmek ve S=2p+1,5 teklif ediyor, burada p ürünün fiyatıdır. o zaman denge fiyatı =1 .

Verilen işlevler talep etmek ve S=2p+1,5 teklif ediyor, burada p ürünün fiyatıdır. o zaman denge fiyatı = 5,5.

Verilen işlevler talep q=(p+6)/(p+2) ve arz s=2p-2, burada p ürünün fiyatıdır. O halde denge fiyatı: 2.

Fonksiyonlar verilmiştirtalep q=p+6/p+2 ve önceki s=2p-2…..2.

Kaydedildiyseeşit koşullar, ardından fiyat artışıyla birlikte Giffin mallarına olan talep: ...Büyüyor.

Modelde iseSolow, yatırım gecikmesini konsantre gecikme biçiminde hesaba katarsa, yatırımlar I(t) ile fon girişi V(t) arasındaki bağlantı denklem şeklinde yansıtılabilir...V(t)= I(t-t)().

Eğer brüttenYerli ürün amortisman giderlerini çıkarırsak şunu elde ederiz:yeni oluşturulan değer (N.D.).

Gayri safi yurt içi iseürün amortisman masraflarını çıkarırsak şunu elde ederiz: saf yerli üründür.

Çapraz ise Talebin fiyat esnekliği katsayısı >0 ise...(I ürünü j'nin yerine geçer).

Üretim fonksiyonu isey=f(x 1;x 2), bu durumda özellik, bir kaynağın kullanımındaki artışla marjinal verimliliğin artması anlamına gelir¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Eğer üretim Fonksiyon p > 0 dereceli homojen bir fonksiyondur, o zaman p = 2 ve üretim ölçeğinde 3 kat artış olduğunda, çıktı hacmi kaç kat artar? 9.

Eğer üretimFonksiyon p > 0 dereceli homojen bir fonksiyondur, o zaman p = 2 ve üretim ölçeğinde 4 kat artış olduğunda, çıktı hacmi kaç kat artar?16.

eğer olursa Tüketici gelirinde bir artış, ardından talep hareketleri (doğru ifadeyi belirtin): Esnekliği düşük mallardan esnekliği yüksek mallara doğru. Esnekliği düşük malların tüketim hacmi azalır.

PF varsa görüş y=f(x 1 ;x 2) Bir kaynağın kullanımındaki artışla başka bir kaynağın marjinal verimliliğinin artması anlamına gelen özellik, aşağıdaki formülle ifade edilir: ¶ 2 f(x i)/¶x 1 ¶x 2 ³0.

Kaydedildiyse eşit koşullar, daha sonra fiyat artışıyla birlikte Giffin mallarına olan talep: Büyüyor.

Arasındaki bağımlılıküretim maliyeti ve üretim hacmi fonksiyonla ifade edilir eşittir: 3.

Bağımlılık müretim maliyetleri ile üretim hacmi arasındaki fonksiyon ile ifade edilir .Daha sonra marjinal üretim maliyeti eşittir:23.

Bağımlılıküretim maliyetleri C ile üretim hacmi Q arasındaki fonksiyon ile ifade edilir . O zaman üretim hacmi Q = 10 için marjinal maliyetler şuna eşittir: .. 3 .

Arasındaki bağımlılıküretim maliyeti C ve üretim hacmi Q, C = 20-0,5*Q olarak ifade edilir. Bu durumda üretim hacmi Q=10 olduğunda c/c esnekliği şuna eşittir: -1/3.

Tanımlanmış üretimformun fonksiyonu: Y=3 K 0,5 *L 0,5 o zaman emeğin ortalama ürünü K=25,L=100……'e eşittir.1.5.

Tüketicinin göreviseçim şu:Tüketici faydasının maksimum olduğu belirli bir kümedeki mal sayısını bulun.

görev tüketici seçimi: Sorun, belirli bir bütçe kısıtı altında fayda fonksiyonunu maksimuma çıkaran bir tüketici paketi (x, x) seçmektir.

Tüketicinin görevi seçim şu: Belirli bir kümeden tüketicinin fayda fonksiyonunu maksimuma çıkaran mal sayısını bulun.

Azalan Kanunüretim verimliliği, kullanılan kaynak miktarının artmasıyla karakterize edilir... CEVAP: minimum olası çıkış hacmi .

Azalan Kanunüretim verimliliği, kullanılan kaynak miktarındaki artışla birlikte: Her ek kaynak birimi, çıktıda giderek daha küçük bir artış sağlar.

Azalan Kanunüretim verimliliği, kullanılan kaynak miktarındaki artışla karakterize edilir.. CEVAP: Mümkün olan maksimum çıkış hacmi (y) artıyor.

Denklemden. Slutsky elde edilebilir ( miktar mallar, malların fiyatı). Bu şuna karşılık gelir: (birden fazla cevap mümkündür): 1) Giffin ürünü, 2) düşük değerli ürün.

Hipotezler neler? klasik piyasa ekonomisi modelinde işgücü talebi fonksiyonunu türetmek için kullanılır: Firmalar mal sunarken ve işgücünü işe alırken tamamen rekabetçidir; diğer şeyler eşit olduğunda, köle gücü arttıkça emeğin ürünü azalır.

Hangi ek e-postalarsahtelikler bir EMM inşa etmeyi zorlaştırıyor.... Ekonomide aktif bir deney yürütmenin zorluğu Buna ek olarak, hemen hemen her ekonomik nesne veya süreç benzersizdir, bu da bir kez oluşturulmuş modellerin kolayca kopyalanmasını imkansız hale getirir.

Ne pratikSorunlar EMM kullanılarak çözülür. 1. Ekonomik nesnelerin ve süreçlerin analizi 2. Ekonomik tahmin ve ekonomik süreçlerin gelişiminin öngörülmesi 3. Ekonominin her düzeyinde yönetim kararlarının geliştirilmesi.

Ne bir ifadegri yarı saydam kutu probleminin çözümüne karşılık gelir: Girdi ve çıktı göstergelerine ilişkin bilgiler mevcut olup, belli bir yapıya ait bir model temel olarak bilinmekte veya kabul edilmektedir. Bu durumda tanımlama görevi bu modelin parametrelerini bulmaktır.

Ne bir ifade gri kutu probleminin çözümüne karşılık gelir: Giriş ve çıkış parametrelerine ek olarak dönüştürücünün işletim sistemi de belirtilir. belirli parm-th sayfalarına indirgenebilir.

Ne bir ifadeKeynes'in modeline göre şu doğru olacaktır:Faiz oranları yükseldiğinde tüketici talebi artar, yatırım talebi düşer(Tüketim mallarına olan talep, mal arzındaki artışla doğrusal olarak artar, yatırım mallarına olan talep, faiz oranının artmasıyla doğrusal olarak azalır).

Nihai ürün Dinamik bir denge modelinde, statik bir denge modelinde nihai ürüne kıyasla ihracat.

Nihai ürün Statik denge modelindeki nihai ürünle karşılaştırıldığında dinamik bir denge modelinde aşağıdakiler yer almaz: sektörler arası sermaye yatırımları.

Katsayı Talebin fiyat esnekliği E ii p<-1. Это соответствует товару с: talebin yüksek esnekliği.

Makroekonomik denge modeller bunlar olarak kabul edilir Ekonomiyi bu durumdan çıkarmaya çalışan tüm kuvvetlerin bileşkesinin 0'a eşit olduğu ekonominin durumunu tanımlayan terim.

Leontiev modeli(statik denge) şu şekilde bir denklem içerir: x i -Sa ij =y j .

Endüstriler arası modelDoğrudan maliyet katsayıları matrisi ile X1 ve X2 hacimli üretilen ürünler için bilanço ve sırasıyla 340 ve 280 birim hacimdeki nihai ürün şu şekildedir: x 1 =0,34x 1 +0,18x 2 +340; x 2 =0,25x 2 +0,53x 2 +280..

Törnqvist modeli n "talep-gelir" türü (diğer harfler): cevap : lüks mallar (grup 2)).

Törnqvist modeli, Y=a 3 Z(Z-b 3)/Z+C 3 formundaki “talep-gelir”:lüks eşyalar.

Harrod-Domar modeli diferansiyel denklem formunda
aşağıdaki çözüme sahiptir: ).

Bir izoant üzerinde Cobb-Douglas'ın üretim fonksiyonu:

Çevrimiçi

Çevrimiçi kayıtsızlık tüketici kitleri şunları içerir: aynı değerler CEVAP: V(t)= I(t-τ).

ÜretimdeCobb-Douglas izoant üzerinde çalışıyor: Aynı çıktıyı sağlayan sermaye ve emek değerlerinin kombinasyonları gösterilmektedir.

Hat boyuncakayıtsız tüketici seti şunları içerir:bireyin ihtiyaçlarının aynı düzeyde karşılanması.

Arttıkça Gelir talebi hareketleri (doğru ifadeyi belirtiniz): CEVAP: Gelir arttıkça talep birinci ve ikinci grup mallardan üçüncü ve dördüncü grup mallara doğru kayarken, birinci grup malların tüketimi mutlak olarak azalmaktadır.

Arttıkçagelir talebi hareketleri (doğru ifadeyi belirtin): Esnekliği düşük mallardan esnekliği yüksek mallara doğru esnekliği düşük malların tüketim hacmi azalır.

Fayda Limiti1. ürün u = 8 ve 2. ürün u = 2. Bir kişi ilk ürünün tüketimini bir birim azaltırsa 2 ürünün tüketimini ne kadar arttırmalıdır?4.

Marjinal faydalar ilk ürün ve ikinci ürün . Birinci ürünün tüketimini bir birim azaltan bir kişi 2. ürünün tüketimini ne kadar arttırmalıdır? cevap: emin değilim: 3.

Kullanırkengösterimler: - brüt yatırımın GSYİH içindeki payı, a - ara ürünün brüt üretimdeki payı, X (t) - Solow modelinde brüt üretim, üretken olmayan tüketim fonunun değeri C (t) formülle belirlenir :С(t)=(1- ) *(1-a)*X(t).

Analiz ederkenLeontiev'in modeli (istatistiksel girdi dengesi), nihai ürünlerin toplamı ile koşullu net ürünlerin toplamının olduğunu gösterir.:…birbirine eşittir.

Kullanırken gösterim: - gayri safi yurtiçi hasıladaki gayri safi yatırımın payı, A- ara ürünün brüt çıktı içindeki payı, X(t) - R. Solow modelinde brüt çıktı, üretken olmayan tüketim fonunun değeri C(t) aşağıdaki formülle belirlenir: C(t)=(1-j)*(1-a)*X(t) .

Çok az 1 ürün için artan üretim hacmi koşullu değişken maliyetler: değişmeden kalır (belki artar).

Açıklarken Sürecin PFCD yardımıyla incelenmesi için özel etkiler şu şekildedir: fonlar için E k = 2, işgücü için E l = 8. Bu durumda genelleştirilmiş etki E şuna eşittir: 16.

Açıklarken Cevap: 3 (2 üssü 0.5 çarpı 4.5 üssü 0.5).

Açıklarken 3 kez (2 tam olarak değil)

Açıklarkenformun Cobb-Douglas üretim fonksiyonu kullanılarak incelenen süreç özel…..verimler şu şekildeydi: fonlar için Ek=2, işgücü için EL=4,5. Bu durumda genelleştirilmiş verimlilik göstergesi E eşittir. .. 3( 2 üssü o.5 çarpı 4.5 üssü o.5).

Açıklarkenformun Cobb-Douglas üretim fonksiyonu kullanılarak incelenen süreç özel…..verimler şu şekildeydi: fonlar için Ek=2, işgücü için EL=8. Bu durumda genelleştirilmiş verimlilik göstergesi E şuna eşittir:4 veya 16.

Açıklarken formun Cobb-Douglas üretim fonksiyonu kullanılarak incelenen süreç özel…..verimler şu şekildeydi: fonlar için Ek=2, işgücü için EL=4,5. Bu durumda genelleştirilmiş verimlilik göstergesi E eşittir.

Açıklarkenİncelenen sürecin Cobb-Douglas üretim fonksiyonu kullanılarak genelleştirilmiş üretim verimliliği göstergesinin E = 1,5 ve üretim ölçeğinin M = 2 olduğu anlaşıldı. Bu durumda brüt çıktı arttı 3 kez.

İnşa ederkenBir nesnenin bilinen giriş ve çıkış göstergelerine dayanan EMM, çoğunlukla modelin kontrol özelliklerini yansıtmasının yakınlığı için bir kriter olarak kullanılır...farkların karelerinin minimum toplamı.

Kabul edildiğindenotasyon...Sermayenin emekliye ayrılması ve brüt yatırım tutarı.

Kabul edildiğindef(Kо) notasyonu - sabit bir yörüngede emek verimliliği, - sabit bir yörüngede sermaye-emek oranı benziyor...().

Kabul edildiğinde Solow modelindeki gösterimde, ekonominin durağan bir yörüngeye ulaşması koşulunun yanıtı şu şekildedir: k(t)=k üssü 0=sabit.

Kabul edilen gösterimle…R. Solow'un göreceli birimlerdeki modelindeki denklemlerden biri şu şekilde olacaktır: dk(t)/dt=(-(g+m)k(t)/(1)+j(1) -A)f/(2) Bu denklemde (1) ve (2) terimleri sermaye-emek oranındaki değişimin etkisini yansıtmaktadır.

Bundan başka Mallara yönelik artan fiyat talebiyle eşit koşullar Giffin her şeye talep artıyor .

Karar verirken ;p1x1+p2x2=I burada I=1000, p1=5, p2=10ed.. 2. ürünün 1. ürününün miktarı nedir….100 adet - 1 ürün ve 50 adet - ikincisi.

Karar verirkentüketici tercihi problemleri bir denklem sistemi aldı ;p1x1+p2x2=I burada I=1000, p1=10, p2=5ed.. 2. ürünün 1. ürününün miktarı nedir? ….50, 100.

Artırırkengelir, sabit fiyattaki bir ürüne olan talep genellikle...Artar (sinüsoidal yasaya göre değişir).

Üretme Ben bir fonksiyonum , bu durumda Kt=4, Lt=25'teki marjinal ürün şuna eşittir: 2,5.

Üretim fonksiyonu , o zaman Kt=4, Lt=25'teki marjinal ürün eşittir...0.2.

Üretme Kt=1100, Lt=9900. Sermayenin marjinal getirisi nedir?1,5 (veya 10)

Üretim fonksiyonu tip isminde: Doğrusal, eklemeli üretim fonksiyonu.

Üretim fonksiyonu X t =K t 0,5 `L t 0,5 olarak verilmiştir; burada K t sermaye, L t emektir. O zaman K t =16, L t =25'te emeğin marjinal ürünü ¶У/¶L şuna eşittir: 0,4.

Cobb üretim fonksiyonu-Douglas'ın görünüşü var burada Kt=4000, Lt=10. Cevap: Emeğin marjinal verimliliği nedir? 10.

ÜretmeCobb-Douglas fonksiyonu şu şekildedir: burada Kt=9000, Lt=10. Emeğin marjinal verimliliği nedir?15.

Üretme Cobb-Douglas fonksiyonu düzeltme faktörünün matematiksel beklentisi .. = gibi görünüyor 1.

Üretim fonksiyonu Cobb-Douglas şu formdadır: X t =K t 0,5 ´L t 0,5;K t =900,L t =10. Emeğin marjinal verimliliği nedir ¶Х/¶L: 15.

Üretme Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyona dinamik denir: 1) t süresi, çıkış hacmini etkileyen bağımsız bir değişken olarak görünür 2) PF parametreleri zamana bağlıdır 3) PF özellikleri zamana bağlıdır.

Üretim fonksiyonu Bu- bağımsız değişkeni, kullanılan kaynağın hacimlerinin (üretim faktörü) değerlerini alan ve bağımlı değişken, y=f(x) çıktı hacimlerinin değerlerini alan böyle bir fonksiyon.

Üretme-tion K-D formuna sahiptir Sermaye Kt 1 arttığında Xt çıktısı yüzde kaç artacaktır? % (0,4).

ÜretmeBir fonksiyon aşağıdaki durumlarda dinamik olarak adlandırılır:t süresi belirir.PF parametreleri zamana bağlıdır …. Üretim fonksiyonunun özellikleri zamana bağlıdır.

Orta seviyeÜlkenin kapalı ekonomisinde makroekonomik göstergelerin ilişkisini yansıtan şemadaki ürün:emek araçları ve tüketim malları.

Kuruluş süreciörümcek ağı modelinde denge fiyatı...Değişmeden kal.

Fonksiyona izin ver yardımcı program şu şekildedir: , malların başlangıç ​​fiyatları ve . Bireyin geliri 2000 birimdir ve en uygun mal seti ; Fiyat dört katına çıkarsa, bireyin telafi edilen geliri ve optimal mal grubunun değerleri ne olacak? :ben k =2000; x 1 =50; x 2 =40.

Fonksiyona izin ver fayda, P1 ve P2 mallarının başlangıç ​​fiyatları olan u(x1;x2)=x1*x2 biçimindedir. Bireysel gelir = 1000 birim ve optimal mal seti x1 = 100 birim, x2 = 20 birim. Fiyat 4 kat artarsa ​​bireyin ödenen geliri ile optimal mal grubunun değerleri (x1 x2) neye eşit olacaktır? 2000 50,40.

Denge modellerisayılır...Böyle bir ek-ki durumunu tanımlayan modeller, tüm kuvvetlerin bileşkesi olduğunda. (cevap 0'a eşittir)

Konum FUI'yi oluşturma aşamaları doğru sırayla: 1. Ekonomik problemin ifade edilmesi ve niteliksel analizi 2. Matematiksel bir modelin oluşturulması 3. Modelin matematiksel analizi 4. Başlangıç ​​bilgilerinin hazırlanması 5. Sayısal çözüm 6. Sayısal sonuçların analizi ve uygulanması.

KonumBir EMM oluşturma aşamaları doğru sırayla: 1. Ekonomik problemin ifade edilmesi ve niteliksel analizi 2. Matematiksel bir modelin oluşturulması 3. Modelin matematiksel analizi 4. Başlangıç ​​bilgilerinin hazırlanması 5. Sayısal çözüm 6. Sayısal sonuçların analizi ve uygulanması.

Hangisinin yardımıyla model (tek formül şeklinde), gayri safi çıktıyı, ara ürünü, gayri safi yurtiçi hasılayı ülke ekonomisi düzeyinde yansıtmak mümkündür: Leontiev'in denge modeli.

KullanarakHangi model, brüt üretimin ve kullanılan kaynakların ülke ekonomisi düzeyindeki bağımlılığını yansıtabilir: ...Cobb-Douglas modeli (PFKD)

Kullanarakhangi model (tek formül şeklinde).. VP, ara ürün, GSYİH göstergeleri arasındaki ilişki….Leontiev'in denge modeli.

Denklem sistemi Leontief modelinde çözülebilir ise üretken olarak adlandırılır. cevap: negatif olmayan Xi>0'da, i=1÷n ile.

Buna göre Klasik piyasa ekonomisi modelinde mal arzı şu şekilde belirlenir: tam istihdam düzeyi

Buna görePiyasa ekonomisinin klasik modelinde, aynı GSYİH ile para arzındaki artış şuna yol açacaktır:Bir birim GSYH fiyatındaki artış.

Modele göreSolow'un “altın” birikim kuralı, fiziksel sermayenin α-esneklik katsayısına eşit bir birikim oranına karşılık gelir.fi=1.

Modele göre Harrord-Domar, tüketim hacmindeki artış, gelirdeki artış oranına eşit olacak mı: CEVAP: R< 1/в, r=p .

Modele göre Harrord-Domar, tüketim hacmindeki ne…..r artış gelirdeki artış oranına eşit olacaktır: CEVAP: eğer r = р0, р0 = а0 /В, а0 başlangıçtaki birikim oranıdır zamanın anı.

Statik göre Leontief modeline göre, birinci sanayinin nihai ürünü y1 = 1000 birim ve brüt çıktı x1 = 2500 birim ise, diğer sanayiler tarafından tüketilen birinci sanayinin üretim hacmi nedir? 1.5.(1500 veya 3500).

Statik göre Leontief modeline göre, birinci sanayinin nihai ürünü y1 = 1500 birim ve brüt çıktı x1 = 3500 birim ise, diğer sanayiler tarafından tüketilen birinci sanayinin üretim hacmi nedir? 2000 adet .

Statik modelLeontiev formun denklemlerini içerir…. .

Koşullu olarak safendüstriler arası dengede üretim şunları içerir:Amortisman, işçilik ve net gelir.

Fayda fonksiyonu tüketim şu şekildedir .X malının fiyatı 10'a, y malının fiyatı 5'e, tüketici geliri ise 200'e eşittir. Bu durumda optimal tüketim malları kümesi şu şekildedir: 10,20.

Fayda fonksiyonutüketim şu şekildedir .x malının fiyatı 5, y malının fiyatı 10, tüketici geliri 200. O halde optimal tüketim malları kümesi şu şekildedir...20.10.(200veya400)

Fayda fonksiyonuTüketicinin mülkleri vardır... tüketim azalırsa marjinal fayda azalır; bir ürünün tüketimindeki artış faydada artışa yol açar; (Başka bir ürünün miktarı artarsa ​​her ürünün marjinal faydası artar).

Satış fiyatı Bir ürün 7 birime eşittir. Sabit maliyetler 8000 birime eşittir. Değişken maliyetler 5 birime eşittir. 1 adet için Başabaş üretim hacmi nedir? 4000 adet

Modelde neye eşittir? Para arzı = 1000 birim ise Keynes tahvil talebinde bulunur. , reel piyasada paranın dönüş hızı k=0,1, bir birim GSYH fiyatı p=0,5 birim, GSYH değeri 10.000 birim... 500.

Neye eşittir Keynes'in modelinde para arzı = 1000 birim ise tahvil talebi. , reel piyasada paranın devir hızı k=0,1, bir birim GSYH fiyatı p=0,2 birim, GSYH değeri 10.000 birim... 800.

Formun bir ilişkisini ele alalım F(x, y)=0, değişkenleri bağlama X Ve en. Eşitlik diyeceğiz (1) iki değişkenli denklem x, y, eğer bu eşitlik tüm sayı çiftleri için doğru değilse X Ve en. Denklem örnekleri: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

günah x + sin y – 1 = 0.

(1) tüm x ve y sayı çiftleri için doğruysa buna denir. kimlik. Kimlik örnekleri: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Denklemi (1) çağıracağız bir dizi noktanın denklemi (x; y), eğer bu denklem koordinatlar tarafından karşılanıyorsa X Ve en kümenin herhangi bir noktasıdır ve bu kümeye ait olmayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz.

Analitik geometrideki önemli bir kavram, bir çizginin denklemi kavramıdır. Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi ve belli bir doğru verilsin α.

Tanım. Denklem (1) çizgi denklemi olarak adlandırılır α (oluşturulan koordinat sisteminde), eğer bu denklem koordinatlar tarafından karşılanıyorsa X Ve ençizgi üzerinde bulunan herhangi bir nokta α , ve bu çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatlarını karşılamaz.

(1) doğrunun denklemi ise α, o zaman denklem (1) diyeceğiz tanımlar (ayarlar) astar α.

Astar α yalnızca (1) formunun bir denklemiyle değil, aynı zamanda formun bir denklemiyle de belirlenebilir

F(P,φ) = 0 kutupsal koordinatları içerir.

• açısal katsayılı düz bir çizginin denklemi;

Eksene dik değil düz bir çizgi verilsin AH. hadi arayalım eğim açısı eksene düz bir çizgi verildi AH köşe α Eksenin döndürülmesi gereken yer AH böylece pozitif yön, düz çizginin yönlerinden biriyle çakışacaktır. Düz çizginin eksene eğim açısının tanjantı AH isminde eğim bu satır ve harfle gösterilir İLE.

Bu doğrunun denklemini biliyorsak denklemini çıkaralım. İLE ve segmentteki değer doğum günü eksen üzerinde kestiği Op-amp.

Denklem (2) denir açısal katsayılı bir doğrunun denklemi. Eğer k=0, o zaman düz çizgi eksene paraleldir AH ve denklemi y = b.

• iki noktadan geçen doğrunun denklemi;

Eğer y 1 = y 2, o zaman istenen çizginin denklemi şu şekildedir: y = y 1. Bu durumda düz çizgi eksene paraleldir. AH. Eğer x 1 = x 2, daha sonra noktalardan geçen düz çizgi M1 Ve M2, eksene paralel Op-amp, denklemi şu şekildedir x = x 1.

• belirli bir noktadan belirli bir eğimle geçen düz bir çizginin denklemi;

ve tersine, keyfi katsayılar için denklem (5) A, B, C (A Ve B ≠ 0 aynı anda) dikdörtgen bir koordinat sisteminde belirli bir düz çizgiyi tanımlar Ah.

Kanıt.

Öncelikle ilk ifadeyi ispatlayalım. Çizgi dik değilse Ah, daha sonra birinci derecenin denklemi ile belirlenir: y = kx + b, yani formun denklemi (5), burada

A = k, B = -1 Ve C = b.Çizgi dik ise Ah, o zaman tüm noktaları değere eşit aynı apsislere sahiptir α eksen üzerinde düz bir çizgi ile kesilmiş parça Ah.

Bu doğrunun denklemi şu şekildedir: x = α, onlar. aynı zamanda (5) formunun birinci dereceden bir denklemidir; burada A = 1, B = 0, C = - α. Bu ilk ifadeyi kanıtlıyor.

Ters ifadeyi kanıtlayalım. Denklem (5) verilse ve katsayılardan en az biri A Ve B ≠ 0.

Eğer B ≠ 0 ise (5) şeklinde yazılabilir. Düz denklemi elde ederiz y = kx + b, yani düz bir çizgiyi tanımlayan (2) formundaki bir denklem.

Eğer B = 0, O bir ≠ 0 ve (5) formunu alır. tarafından belirten α, alıyoruz

x = α, yani dik bir çizginin denklemi Oh.

Dikdörtgen koordinat sisteminde birinci dereceden bir denklemle tanımlanan çizgilere denir. birinci dereceden çizgiler.

Formun denklemi Balta + Wu + C = 0 tamamlanmamış, yani Bazı katsayılar sıfıra eşittir.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 ve orijinden geçen düz bir çizgiyi tanımlar.

2) B = 0 (Bir ≠ 0); denklem Balta + C = 0 Ah.

3) bir = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 ve paralel bir düz çizgiyi tanımlar Ah.

Denklem (6) “bölümler halinde” bir doğrunun denklemi olarak adlandırılır. Sayılar A Ve B düz çizginin koordinat eksenlerinde kestiği bölümlerin değerleridir. Denklemin bu biçimi düz bir çizginin geometrik yapısı için uygundur.

• bir doğrunun normal denklemi;

Аx + Вy + С = 0 belirli bir doğrunun genel denklemidir ve (5) Xçünkü α + y sin α – p = 0(7)

normal denklemi.

Denklemler (5) ve (7) aynı düz çizgiyi tanımladığından, o zaman ( bir 1x + B 1y + C 1 = 0 Ve

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) bu denklemlerin katsayıları orantılıdır. Bu, denklemin (5) tüm terimlerini belirli bir M faktörü ile çarparak denklemi elde ettiğimiz anlamına gelir. MA x + MV y + MS = 0, denklem (7) ile çakışmaktadır;

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M faktörünü bulmak için bu eşitliklerden ilk ikisinin karesini alır ve şunu ekleriz:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

Hedef: Düzlemde çizgi kavramını düşünün, örnekler verin. Doğrunun tanımına dayanarak, düzlemdeki doğrunun denklemi kavramını tanıtın. Düz çizgi türlerini düşünün, düz çizgi tanımlamanın örneklerini ve yöntemlerini verin. Düz bir çizginin denklemini genel bir formdan, açısal katsayılı "bölümler halinde" bir düz çizginin denklemine çevirme yeteneğini güçlendirin.

1. Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.
2. Düzlemde düz bir çizginin denklemi. Denklem türleri.
3. Düz bir çizgi belirtme yöntemleri.

1. x ve y iki keyfi değişken olsun.

Tanım: F(x,y)=0 formundaki bir bağıntıya denir denklem , herhangi bir x ve y sayı çifti için doğru değilse.

Örnek: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Eğer F(x,y)=0 eşitliği herhangi bir x, y için geçerliyse, o zaman F(x,y) = 0 bir özdeşliktir.

Örnek: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

X sayısının 0 ve y sayısının 0 olduğunu söylüyorlar denklemi sağlamak , eğer bunları bu denklemde yerine koyarsak gerçek bir eşitliğe dönüşür.

Analitik geometrinin en önemli kavramı bir doğrunun denklemi kavramıdır.

Tanım: Belirli bir doğrunun denklemi F(x,y)=0 denklemidir ve bu denklem bu doğru üzerinde bulunan tüm noktaların koordinatları tarafından sağlanır ve bu doğru üzerinde yer almayan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanmaz.

y = f(x) denklemiyle tanımlanan doğruya f(x) grafiği denir. X ve y değişkenlerine geçerli koordinatlar denir çünkü bunlar değişken bir noktanın koordinatlarıdır.

Bazı örneklerçizgi tanımları.

1) x – y = 0 => x = y. Bu denklem düz bir çizgiyi tanımlar:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => noktalar ya x - y = 0 denklemini ya da düzlemde karşılık gelen x + y = 0 denklemini karşılamalıdır. Koordinat açılarının ortaortayı olan bir çift kesişen düz çizgi:

3) x 2 + y 2 = 0. Bu denklem yalnızca bir O(0,0) noktasıyla sağlanır.

2. Tanım: Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2 ¹ 0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A ¹ 0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B ¹ 0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Açısal katsayılı bir doğrunun denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve belirtirseniz, ortaya çıkan denklem denir eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0 ise, –С'ye bölerek şunu elde ederiz: veya , burada

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 olarak adlandırılan bir sayıya bölünürse normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosj + ysinj - p = 0 – bir düz çizginin normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti m×С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu, j ise bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

3. Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun açısal katsayısı k'ye eşit olsun, doğru M(x 0, y 0) noktasından geçmektedir. Daha sonra düz çizginin denklemi şu formülle bulunur: y – y 0 = k(x – x 0)

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1 ¹ x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir = k denir eğim doğrudan.

İnceleyelim * Hangi denkleme ikinci dereceden denir? * Hangi denklemlere tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler denir? * Hangi ikinci dereceden denkleme indirgenmiş denir? * İkinci dereceden bir denklemin köküne ne denir? * İkinci dereceden bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Hangi denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır? Hangi denklemlere tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler denir? Hangi ikinci dereceden denkleme indirgenmiş denir? İkinci dereceden bir denklemin kökü nedir? İkinci dereceden bir denklemi çözmek ne anlama gelir? Hangi denklem ikinci dereceden olarak adlandırılır? Hangi denklemlere tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler denir? Hangi ikinci dereceden denkleme indirgenmiş denir? İkinci dereceden bir denklemin kökü nedir? İkinci dereceden bir denklemi çözmek ne anlama gelir?

İkinci dereceden bir denklemi çözme algoritması: 1. İkinci dereceden bir denklemi çözmenin en rasyonel yolunu belirleyin 2. Çözmenin en rasyonel yolunu seçin 3. İkinci dereceden bir denklemin kök sayısını belirleme 4. İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma Daha iyisi için ezberleyin, tabloyu doldurun... Daha iyi ezberlemek için tabloyu doldurun... Daha iyi ezberlemek için tabloyu doldurun...

Ek koşul Denklem Kökleri Örnekleri 1. b = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, b 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c = 0, a 0, c 0 ax 2 + c = 0 a) x 1,2 = ±(c/a), burada c/a 0. b) eğer c/a 0 ise hiçbir çözüm yoktur 4. a 0 ax 2 + bx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/2 a, burada D = b 2 – 4 ac, D0 5. c – çift sayı (b = 2k), a 0, 0'da, c 0 х 2 + 2kx + c = 0 x 1,2 =(-b±D)/а, D 1 = k 2 – ac, burada k = 6. Vieta teoreminin ters teoremi x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q

II. Özel yöntemler 7. Bir binomun karesini izole etme yöntemi. Amaç: Genel bir denklemi tamamlanmamış ikinci dereceden bir denkleme indirgemek. Not: Yöntem ikinci dereceden denklemlere uygulanabilir ancak kullanımı her zaman uygun değildir. İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünü kanıtlamak için kullanılır. Örnek: x 2 -6 x+8=0 denklemini çözün 8. En yüksek katsayıyı “aktarma” yöntemi. İkinci dereceden denklemlerin kökleri ax 2 + bx + c = 0 ve y 2 +by+ac=0 şu ilişkilerle ilişkilidir: ve Not: yöntem "uygun" katsayılara sahip ikinci dereceden denklemler için iyidir. Bazı durumlarda ikinci dereceden bir denklemi sözlü olarak çözmenize olanak tanır. Örnek: 2 x 2 -9 x-5=0 denklemini çözün Teoremlere dayanarak: Örnek: 157 x x-177=0 denklemini çözün. 9. İkinci dereceden bir denklemde a+b+c=0 ise, o zaman aşağıdakilerden biri: kökler 1'dir ve Vieta teoremine göre ikincisi c / a 10'a eşittir. İkinci dereceden bir denklemde a + c = b ise, köklerden biri -1'e ve ikincisi Vieta'ya göre eşittir teoremi, –c / a'ya eşittir Örnek: denklemi çözün 203 x x + 17 = 0 x 1 =y 1 /a, x 2 =y 2 /a

III. Denklem çözmede genel yöntemler 11. Çarpanlara ayırma yöntemi. Amaç: Genel bir ikinci dereceden denklemi A(x)·B(x)=0 formuna indirin; burada A(x) ve B(x), x'e göre polinomlardır. Yöntemler: Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak; Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması; Gruplandırma yöntemi. Örnek: 3 x 2 +2 x-1=0 denklemini çözün 12. Yeni bir değişken ekleme yöntemi. Yeni değişkenin iyi seçilmesi denklemin yapısını daha şeffaf hale getirir Örnek: denklemi çözün (x 2 +3 x-25) 2 -6(x 2 +3 x-25) = - 8