Parametreli denklemler: grafiksel çözüm yöntemi

8-9 sınıflar

Makale, bazı denklemleri parametrelerle çözmek için grafiksel bir yöntemi tartışıyor; bu, parametreye bağlı olarak bir denklemin kaç kökü olduğunu belirlemeniz gerektiğinde çok etkilidir. A.

Problem 1. Denklemin kaç kökü var? | | x | – 2 | = A parametreye bağlı olarak A?

Çözüm. (x; y) koordinat sisteminde y = | fonksiyonlarının grafiklerini oluşturacağız. | x | – 2 | ve y = A. y = | fonksiyonunun grafiği | x | – 2 | şekilde gösterilmiştir.

y = a fonksiyonunun grafiği Ox eksenine paralel veya onunla çakışan düz bir çizgidir (eğer A = 0).

Çizimden şunu görmek mümkündür:

Eğer A= 0, sonra düz çizgi y = A Ox eksenine denk gelir ve y = | fonksiyonunun grafiğine sahiptir. | x |
– 2 | iki ortak nokta; bu, orijinal denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir (bu durumda kökler bulunabilir: x 1,2 = d 2).< A < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
0 ise A Eğer
0 ise A= 2 ise y = 2 doğrusu fonksiyonun grafiğiyle üç ortak noktaya sahiptir. O halde orijinal denklemin üç kökü vardır. A> 2, sonra düz çizgi y =

orijinal fonksiyonun grafiğinde iki nokta olacak, yani bu denklemin iki kökü olacak. A < 0, то корней нет;
Eğer A = 0, A Eğer
Eğer A> 2 ise iki kök vardır;
= 2, ardından üç kök;< A < 2, то четыре корня.

eğer 0 ise Problem 2. Denklemin kaç kökü var? A parametreye bağlı olarak A?

| x 2 – 2| x | – 3 | = A.

Çözüm. (x; y) koordinat sisteminde y = | fonksiyonlarının grafiklerini oluşturacağız. x 2 – 2| x | – 3 | ve y = A = 0).

y = | fonksiyonunun grafiği x 2 – 2| x | – 3 | şekilde gösterilmiştir. y = a fonksiyonunun grafiği Ox'a paralel veya onunla çakışan düz bir çizgidir (ne zaman

Eğer A= 0, sonra düz çizgi y = AÇizimden şunları görebilirsiniz: A Ox eksenine denk gelir ve y = | fonksiyonunun grafiğine sahiptir. x2 – 2| x | – 3 | iki ortak nokta ve y = düz çizgisi A y = | fonksiyonunun grafiğine sahip olacağız x 2 – 2| x | – 3 | iki ortak nokta A> 4. Peki, ne zaman A= 0 ve
– 2 | iki ortak nokta; bu, orijinal denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir (bu durumda kökler bulunabilir: x 1,2 = d 2).< A < 3, то прямая y = A> 4 orijinal denklemin iki kökü vardır. A y = | fonksiyonunun grafiği ile x 2 – 2| x | – 3 | A dört ortak nokta ve y= düz çizgisi< A < 3, A oluşturulan fonksiyonun grafiği ile dört ortak noktaya sahip olacaktır.
0 ise A= 4. Yani 0'da A= 4 orijinal denklemin dört kökü vardır.
= 3, sonra düz çizgi y =< A < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
0 ise A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

orijinal fonksiyonun grafiğinde iki nokta olacak, yani bu denklemin iki kökü olacak. A < 0, то корней нет;
Eğer A = 0, A bir fonksiyonun grafiğini beş noktada keser; dolayısıyla denklemin beş kökü vardır.
= 2, ardından üç kök;< A < 3, A 3 ise
Eğer A> 4 ise iki kök vardır;
= 4 ise 4 kök vardır;< A < 4, то шесть корней.

= 3, ardından beş kök;

eğer 3 A?

Çözüm. Fonksiyonun (x; y) koordinat sistemindeki grafiğini oluşturalım. ama önce bunu formda sunalım:

x = 1, y = 1 doğruları fonksiyonun grafiğinin asimptotlarıdır. y = | fonksiyonunun grafiği x | + A y = | fonksiyonunun grafiğinden elde edilir x | Oy ekseni boyunca bir birimlik yer değiştirme.

Fonksiyon grafikleri bir noktada kesişir A> – 1; Bu, bu parametre değerleri için denklemin (1) tek çözümü olduğu anlamına gelir.

Şu tarihte: A = – 1, A= – 2 grafik iki noktada kesişiyor; Bu, bu parametre değerleri için denklemin (1) iki kökü olduğu anlamına gelir.
– 2’de< A < – 1, A < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

orijinal fonksiyonun grafiğinde iki nokta olacak, yani bu denklemin iki kökü olacak. A> – 1, ardından bir çözüm;
Eğer A = – 1, A= – 2 ise iki çözüm vardır;
eğer – 2< A < – 1, A < – 1, то три решения.

Yorum. Problem 3'ün denklemi (1)'i çözerken, şu duruma özel dikkat gösterilmelidir: A= – 2, (– 1; – 1) noktası fonksiyonun grafiğine ait olmadığından fakat y = | fonksiyonunun grafiğine aittir. x | + A.

Başka bir sorunu çözmeye geçelim.

Problem 4. Denklemin kaç kökü var?

x + 2 = A| x – 1 |

eğer 3 A?

(2) AÇözüm. Eşitlik 3 = olduğundan x = 1'in bu denklemin kökü olmadığına dikkat edin. A· 0 herhangi bir parametre değeri için doğru olamaz . Denklemin her iki tarafını | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), o zaman denklem (2) formunu alacaktır

xOy koordinat sisteminde fonksiyonun grafiğini çizeceğiz. A Bu fonksiyonun grafiği şekilde gösterilmiştir. y = fonksiyonunun grafiği A = 0).

orijinal fonksiyonun grafiğinde iki nokta olacak, yani bu denklemin iki kökü olacak. AÖküz eksenine paralel veya onunla çakışan düz bir çizgidir (eğer
Ј – 1 ise kök yoktur;< A eğer – 1
Eğer AЈ 1, ardından bir kök;

> 1 ise iki kök vardır.

En karmaşık denklemi ele alalım. A Sorun 5. Parametrenin hangi değerlerinde

A denklem

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

üç çözümü var mı? AÇözüm. 1. Bu denklem için parametrenin kontrol değeri sayı olacaktır. A= 0, burada denklem (3) 0 + | x – 1 | = 0, dolayısıyla x = 1. Bu nedenle, ne zaman

= 0, denklem (3)'ün tek kökü vardır ve bu da problemin koşullarını karşılamaz. A № 0.

2. Şu durumu düşünün: A Denklemi (3) aşağıdaki biçimde yeniden yazalım: A < 0.

x2 = – | x – 1 |. Denklemin yalnızca şu durumlarda çözümleri olacağını unutmayın: A xOy koordinat sisteminde y = | fonksiyonlarının grafiklerini oluşturacağız. x – 1 | ve y = A x 2. y = | fonksiyonunun grafiği x – 1 | şekilde gösterilmiştir. y = fonksiyonunun grafiği A < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, çünkü A Denklemin (3) yalnızca y = – x + 1 düz çizgisi y= fonksiyonunun grafiğine teğet olduğunda üç çözümü olacaktır.

x 2. A x 0, y = parabolünü içeren y = – x + 1 düz çizgisinin teğet noktasının apsisi olsun.

x 2. Teğet denklem şu şekildedir:

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Teğetlik koşullarını yazalım:

Başka bir yöntem düşünelim. y = kx + b düz çizgisinin y = paraboliyle tek bir ortak noktası olduğu gerçeğini kullanalım. A x 2 + px + q, o zaman denklem A x 2 + px + q = kx + b'nin tek bir çözümü olmalıdır, yani diskriminantı sıfırdır. Bizim durumumuzda denklem var A x 2 = – x + 1 ( A Hayır. 0). Diskriminant denklemi

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

6. Parametreye bağlı olarak denklemin kaç kökü vardır? A?

1)| | x | – 3 | = A;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = A;
3)| x2 – 4| x | + 3 | = A;
4)| x2 – 6| x | + 5 | = A.

1) eğer A<0, то корней нет; если A=0, A>3, ardından iki kök; Eğer A=3, ardından üç kök; eğer 0 ise<A<3, то четыре корня;
2) eğer A<1, то корней нет; если A=1 ise, [– 2; aralığından itibaren sonsuz sayıda çözüm vardır; A– 1]; Eğer
> 1 ise iki çözüm vardır; A<0, то корней нет; если A=0, A<3, то четыре корня; если 0<A<1, то восемь корней; если A 3) eğer A=1, ardından altı kök; Eğer A=3 ise üç çözüm vardır; Eğer
>3 ise iki çözüm vardır; A<0, то корней нет; если A=0, 4<A<5, то четыре корня; если 0<A< 4, то восемь корней; если A 4) eğer A=4, ardından altı kök; Eğer A=5, ardından üç kök; Eğer

>5 ise iki kök vardır. A 7. Denklemin kaç kökü var | x + 1 | = A?

(x – 1) parametreye bağlı olarak .

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: A Cevap: eğer A > 1, A J-1,<A<0, то два корня; если 0<A=0, ardından bir kök; eğer – 1

Ј 1 ise kök yoktur. A 8. x + 1 = denkleminin kökleri kaçtır? A?

| x – 1 |parametreye bağlı olarak

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: A Bir grafik çizin (şekle bakın).<AЈ –1 ise kök yoktur; eğer – 1 AЈ 1, ardından bir kök; Eğer

>1 ise iki kök vardır.

9. Denklemin kaç kökü var?

eğer 3 A?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: A Not. Denklemi oluşturacak şekilde azaltın A>2, A J-2,<A<1, то два корня; если 1<A=1, ardından bir kök; –2 ise

Ј 2 ise kök yoktur.

eğer 3 A?

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: AЈ 0, A 10. Denklemin kaç kökü var?<A<2, то два корня.

i 2, sonra bir kök; eğer 0 ise A Sorun 5. Parametrenin hangi değerlerinde

11. Parametrenin hangi değerlerinde A x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 A Not. Denklemi x 2 = – formuna indirin

| x – 2 |. A Cevap: ne zaman

J-8. A Sorun 5. Parametrenin hangi değerlerinde

A 12. Parametrenin hangi değerlerinde

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 A Not. Problem 5'i kullanın. Bu denklemin üç çözümü vardır, ancak denklem A x 2 + x + 1 = 0'ın bir çözümü vardır ve durum

= 0 problemin koşullarını karşılamıyor, yani durum devam ediyor

13. Denklemin kaç kökü var? A

eğer 3 A?

x | x – 2 | = 1 – Not. Denklemi –x |x – 2| biçimine indirin + 1 =

eğer 3 A?

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: A<0, A Not. Bu denklemin sol ve sağ taraflarının grafiklerini oluşturun. A>2 ise iki kök vardır; eğer 0Ј

Ј 2, sonra bir kök.

eğer 3 A?

16. Denklemin kaç kökü var? Not. Bu denklemin sol ve sağ taraflarının grafiklerini oluşturun. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için

Not. x = 1 denklemin kökü olmadığından bu denklem şu şekle indirgenebilir: A x + 2 ve x ifadelerinin sabit işaretli aralıklarını bulalım: A>– 1, ardından bir çözüm; Eğer<A<–1, то четыре решения; если A= – 1 ise iki çözüm vardır; eğer – 3

Ј –3 ise üç çözüm vardır.

Bu konu okul cebir dersinin ayrılmaz bir parçasıdır. Bu çalışmanın amacı, bu konuyu daha derinlemesine incelemek, hızlı bir şekilde cevaba yol açacak en akılcı çözümü belirlemektir. Bu makale, diğer öğrencilerin parametreli denklemleri çözmek için grafik yöntemin kullanımını anlamalarına, bu yöntemin kökenini ve gelişimini öğrenmelerine yardımcı olacaktır.

İndirmek:

Önizleme:

Giriş2

Bölüm 1. Parametreli Denklemler

Parametre3 ile denklemlerin ortaya çıkış tarihi

Vieta teoremi4

Temel kavramlar5

Bölüm 2. Parametreli denklem türleri.

Doğrusal denklemler6

İkinci dereceden denklemler……………………………………………………………….7

Bölüm 3. Parametreli denklemleri çözme yöntemleri

Analitik yöntem….………………………………………………8

Grafik yöntemi. Menşe tarihi….…………………………9

Grafiksel yöntemi çözmek için algoritma..………………..…………….10

Denklemin modüllü çözümü……………………………………………….11

Pratik kısım…………………………………………………………12

Sonuç……………………………………………………………………………….19

Referanslar………………………………………………………………20

Giriiş.

Bu konuyu okuldaki cebir dersinin ayrılmaz bir parçası olduğu için seçtim. Bu çalışmayı hazırlarken, bu konuyu daha derinlemesine incelemeyi, hızlı bir şekilde cevaba yol açacak en akılcı çözümü belirlemeyi hedefledim. Makalem, diğer öğrencilerin parametreli denklemleri çözmek için grafik yöntemin kullanımını anlamalarına, bu yöntemin kökenini ve gelişimini öğrenmelerine yardımcı olacaktır.

Modern yaşamda birçok fiziksel sürecin ve geometrik desenin incelenmesi çoğu zaman parametrelerle ilgili problemlerin çözülmesine yol açar.

Bu tür denklemleri çözmek için, α parametresine bağlı olarak denklemin kaç kökü olduğunu belirlemeniz gerektiğinde grafik yöntemi çok etkilidir.

Parametreli problemler tamamen matematiksel ilgi çekicidir, öğrencilerin entelektüel gelişimine katkıda bulunur ve becerilerin uygulanması için iyi bir materyal görevi görür. Matematiğin ana dallarına ilişkin bilgiyi, matematiksel ve mantıksal düşünme düzeyini, ilk araştırma becerilerini ve yüksek öğretim kurumlarında bir matematik dersinde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için umut verici fırsatları test etmek için kullanılabildikleri için tanısal değere sahiptirler.

Makalemde sık karşılaşılan denklem türleri tartışılıyor ve çalışma sürecinde edindiğim bilgilerin okul sınavlarını geçerken bana yardımcı olacağını umuyorum, çünküparametreli denklemlerhaklı olarak okul matematiğindeki en zor problemlerden biri olarak kabul edilir. Birleşik Devlet Sınavındaki görevler listesine dahil edilenler tam da bu görevlerdir.

Parametreli denklemlerin ortaya çıkış tarihi

Parametreli denklemlerle ilgili problemlerle, 499 yılında Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten karşılaşılmıştı. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:

αx 2 + bx = c, α>0

Parametre hariç denklemdeki katsayılar, aynı zamanda negatif de olabilir.

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri.

Al-Khorezmi'nin cebirsel incelemesi, a parametreli doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani αx 2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir”, yani αx 2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani αx = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani αx 2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani αx 2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c = αx 2 .

Avrupa'da ikinci dereceden denklemleri Harezmi'ye göre çözmenin formülleri ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur.

Genel formdaki bir parametreyle ikinci dereceden bir denklemin çözümüne yönelik formülün türetilmesi Vieta'dan temin edilebilir, ancak Vieta yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 12. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern şeklini aldı.

Vieta teoremi

İkinci dereceden bir denklemin parametreleri, katsayıları ve kökleri arasındaki ilişkiyi ifade eden ve adını Vieta'dan alan teorem, ilk kez 1591'de kendisi tarafından şu şekilde formüle edildi: “Eğer b + d, α eksi α ile çarpılırsa 2 , bc'ye eşitse α, b'ye ve d'ye eşit olur."

Vieta'yı anlamak için, herhangi bir sesli harf gibi α'nın bilinmeyen (bizim x'imiz) anlamına geldiğini, b, d sesli harflerinin ise bilinmeyenin katsayıları olduğunu hatırlamamız gerekir. Modern cebir dilinde yukarıdaki Vieta formülasyonu şu anlama gelir:

eğer varsa

(α + b)x - x 2 = αb,

Yani x 2 - (α -b)x + αb =0,

o zaman x 1 = α, x 2 = b.

Vieta, denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi semboller kullanılarak yazılan genel formüllerle ifade ederek denklem çözme yöntemlerinde tekdüzelik sağladı. Ancak Viet'in sembolizmi hala modern biçiminden uzaktır. Negatif sayıları tanımıyordu ve bu nedenle denklemleri çözerken yalnızca tüm köklerin pozitif olduğu durumları dikkate alıyordu.

Temel Kavramlar

Parametre - değeri sabit veya rastgele bir sayı olarak kabul edilen bağımsız bir değişken veya problemin koşulu tarafından belirlenen aralığa ait bir sayı.

Parametreli denklem— matematikseldenklem, dış görünüş ve çözümü bir veya daha fazla parametrenin değerlerine bağlıdır.

Karar vermek Her değer için parametre ortalamalı denklemBu denklemi sağlayan x değerlerini bulun ve ayrıca:

1. Denklemin hangi parametre değerlerinde köklerinin olduğunu ve parametrelerin farklı değerleri için kaç kök bulunduğunu araştırın.
2. Kökler için tüm ifadeleri bulun ve her biri için, bu ifadenin gerçekte denklemin kökünü belirlediği parametre değerlerini belirtin.

α, c, k, x'in değişken büyüklükler olduğu α(x+k)= α +c denklemini düşünün.

α, c, k, x değişkenlerinin izin verilen değerleri sistemibu denklemin hem sol hem de sağ tarafının gerçek değerler aldığı herhangi bir değişken değer sistemidir.

A, α'nın kabul edilebilir tüm değerlerinin kümesi olsun, K, k'nin kabul edilebilir tüm değerlerinin kümesi olsun, X, x'in kabul edilebilir tüm değerlerinin kümesi olsun, C, c'nin kabul edilebilir tüm değerlerinin kümesi olsun. A, K, C, X kümelerinin her biri için sırasıyla bir α, k, c değerini seçip sabitlersek ve bunları denklemde değiştirirsek, o zaman x için bir denklem elde ederiz, yani. bir bilinmeyenli denklem.

Bir denklem çözülürken sabit kabul edilen α, k, c değişkenlerine parametre, denklemin kendisine ise parametre içeren denklem denir.

Parametreler Latin alfabesinin ilk harfleriyle gösterilir: α, b, c, d, ..., k, l, m, n, bilinmeyenler ise x, y, z harfleriyle gösterilir.

Aynı parametreleri içeren iki denklem denir eğer eşdeğer:

a) aynı parametre değerleri için anlamlıdırlar;

b) birinci denklemin her çözümü ikincinin de çözümüdür ve bunun tersi de geçerlidir.

Parametreli denklem türleri

Parametreli denklemler şunlardır: doğrusal ve kare.

1) Doğrusal denklem. Genel görünüm:

α x = b, burada x bilinmiyor;α, b - parametreler.

Bu denklem için parametrenin özel veya kontrol değeri, bilinmeyenin katsayısının sıfırlandığı değerdir.

Bir parametreyle doğrusal bir denklem çözülürken, parametrenin özel değerine eşit ve ondan farklı olduğu durumlar dikkate alınır.

α parametresinin özel bir değeri, değerdirα = 0.

1.Eğer ve ≠0 ise herhangi bir parametre çifti içinα ve b benzersiz bir çözümü var x = .

2.Eğer ve =0 ise denklem şu şekli alır:0 x = b . Bu durumda değer B = 0 özel bir parametre değeridir B.

2.1. b'de ≠ 0 denklemin çözümü yoktur.

2.2. b'de =0 denklem şu şekli alacaktır:0 x =0.

Bu denklemin çözümü herhangi bir gerçek sayıdır.

Parametreli ikinci dereceden denklem.

Genel görünüm:

a x 2 + bx + c = 0

burada parametre α ≠0, b ve c - keyfi sayılar

Eğer α =1 ise denkleme indirgenmiş ikinci dereceden denklem denir.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

İfade D = b 2 - 4 α c diskriminant denir.

1. D> 0 ise denklemin iki farklı kökü vardır.

2. Eğer D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. D = 0 ise denklemin iki eşit kökü vardır.

Parametreli denklemleri çözme yöntemleri:

Analitik - parametresiz bir denklemde cevabı bulmak için standart prosedürlerin tekrarlandığı bir doğrudan çözüm yöntemi.
Grafik - problemin koşullarına bağlı olarak, karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğinin koordinat sistemindeki konumu dikkate alınır.

Analitik yöntem

Çözüm algoritması:

Analitik yöntemi kullanarak parametrelerle ilgili bir problemi çözmeye başlamadan önce, parametrenin belirli bir sayısal değeri için durumu anlamanız gerekir. Örneğin, α =1 parametresinin değerini alın ve şu soruyu cevaplayın: bu görev için gerekli olan α =1 parametresinin değeri nedir?

Örnek 1. Göreceli olarak çözün X m parametreli doğrusal denklem:

Problemin anlamına göre (m-1)(x+3) = 0 yani m= 1, x = -3.

Denklemin her iki tarafını (m-1)(x+3) ile çarparak denklemi elde ederiz

Aldık

Dolayısıyla m= 2,25'te.

Şimdi m'nin herhangi bir değerinin olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor.

Bulunan x'in değeri -3'tür.

bu denklemi çözerek x'in -3'e eşit olduğunu ve m = -0,4 olduğunu buluruz.

Cevap: m=1 ile m =2,25.

Grafik yöntemi. Menşe tarihi

Ortak bağımlılıkların incelenmesi 14. yüzyılda başladı. Ortaçağ bilimi skolastikti. Bu doğası gereği niceliksel bağımlılıkların incelenmesine yer kalmamıştı; konu yalnızca nesnelerin nitelikleri ve birbirleriyle olan bağlantıları ile ilgiliydi. Ancak skolastikler arasında, niteliklerin az ya da çok yoğun olabileceğini savunan bir okul ortaya çıktı (nehre düşen bir kişinin elbisesi, yağmura yeni yakalanan birinin elbisesinden daha ıslaktır).

Fransız bilim adamı Nikolai Oresme, yoğunluğu parçaların uzunluklarıyla tasvir etmeye başladı. Bu parçaları belirli bir düz çizgiye dik olarak yerleştirdiğinde uçları, "yoğunluk çizgisi" veya "üst kenar çizgisi" adını verdiği bir çizgi oluşturdu (hatta Oresme'nin "düzlemsel olarak incelediği karşılık gelen fonksiyonel bağımlılığın grafiği). ” ve “fiziksel” nitelikler, yani işlevler, iki veya üç değişkene bağlıdır.

Oresme'nin önemli başarısı, ortaya çıkan grafikleri sınıflandırma girişimiydi. Üç tür nitelik belirledi: Tekdüze (sabit yoğunlukta), tekdüze-düzensiz (yoğunluğunda sabit bir değişim oranıyla) ve eşitsiz-eşitsiz (tüm diğerleri) ve bu niteliklerin grafiklerinin karakteristik özellikleri.

Fonksiyonların grafiklerini incelemek için matematiksel bir aparat oluşturmak için değişken kavramına ihtiyaç vardı. Bu kavram bilime Fransız filozof ve matematikçi Rene Descartes (1596-1650) tarafından tanıtıldı. Cebir ve geometrinin birliği ve değişkenlerin rolü hakkındaki fikirleri ortaya atan Descartes'tı; Descartes sabit bir birim segmenti ortaya attı ve diğer segmentlerin onunla ilişkilerini dikkate almaya başladı.

Böylece, varoluşlarının tüm dönemi boyunca fonksiyonların grafikleri, onları alıştığımız forma yönlendiren bir dizi temel dönüşümden geçmiştir. Fonksiyon grafiklerinin geliştirilmesindeki her aşama veya aşama, modern cebir ve geometri tarihinin ayrılmaz bir parçasıdır.

Bir denklemin kök sayısını, içerdiği parametreye bağlı olarak belirlemenin grafiksel yöntemi, analitik olandan daha uygundur.

Algoritmayı grafik yöntemle çözme

Bir fonksiyonun grafiği - bir dizi noktaapsisgeçerli argüman değerleridir, A koordinatlar- karşılık gelen değerlerişlevler.

Bir parametreyle denklemleri grafiksel olarak çözmek için algoritma:

Denklemin tanım tanım kümesini bulun.
α'yı ifade ediyoruz x'in bir fonksiyonu olarak.
Koordinat sisteminde fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruzα (x) bu denklemin tanım alanına dahil olan x değerleri için.
Bir doğrunun kesişme noktalarını bulmaα =с, fonksiyonun grafiğiyle

a(x). Eğer α çizgisi =с grafiği keserα (x), sonra kesişim noktalarının apsislerini belirleriz. Bunu yapmak için denklemi çözmek yeterlidir. c = α (x) x'e göre.

Cevabı yaz

Modüllü denklem çözme

Grafiksel olarak bir parametre içeren bir modüle sahip denklemleri çözerken, fonksiyonların grafiklerini oluşturmak ve parametrenin farklı değerleri için olası tüm durumları dikkate almak gerekir.

Örneğin, │х│= a,

Cevap: eğer < 0, то нет корней, a > 0 ise x = a, x = - a, eğer a = 0 ise x = 0 olur.

Sorun çözme.

Problem 1. Denklemin kaç kökü var?| | x | -2 | =a parametreye bağlı olarak A?

Çözüm. (x; y) koordinat sisteminde y = | fonksiyonlarının grafiklerini oluşturacağız. | x | -2 | ve y = A . y = | fonksiyonunun grafiği | x | -2 | şekilde gösterilmiştir.

y = fonksiyonunun grafiği a = 0).

Grafikten şunu görüyoruz:

Eğer a = 0 ise düz çizgi y = a Ox eksenine denk gelir ve y = | fonksiyonunun grafiğine sahiptir. | x | -2 | iki ortak nokta; bu, orijinal denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir (bu durumda kökler bulunabilir: x 1,2 = + 2).
0 ise< a < 2, то прямая y = α y = | fonksiyonunun grafiği ile | x | -2 | dört ortak nokta vardır ve bu nedenle orijinal denklemin dört kökü vardır.
Eğer A = 2 ise y = 2 doğrusu fonksiyonun grafiğiyle üç ortak noktaya sahiptir. O halde orijinal denklemin üç kökü vardır.
Eğer a > 2 ise düz çizgi y = a orijinal fonksiyonun grafiğinde iki nokta olacak, yani bu denklemin iki kökü olacak.

Cevap: eğer < 0, то корней нет;
a = 0, a > 2 ise iki kök vardır;
a = 2 ise üç kök vardır;
eğer 0 ise< a < 2, то четыре корня.

Problem 2. Denklemin kaç kökü var?| x 2 - 2| x | - 3 | =a parametreye bağlı olarak A?

Çözüm. (x; y) koordinat sisteminde y = | fonksiyonlarının grafiklerini oluşturacağız. X 2 - 2| x | - 3 | ve y = a.

y = | fonksiyonunun grafiği X 2 - 2| x | - 3 | şekilde gösterilmiştir. y = fonksiyonunun grafiğiα Öküz'e paralel veya onunla çakışan düz bir çizgidir (ne zaman bir = 0).

Grafikten şunları görebilirsiniz:

Eğer a = 0 ise düz çizgi y = a Ox eksenine denk gelir ve y = | fonksiyonunun grafiğine sahiptir. x2 - 2| x | - 3 | iki ortak nokta ve y = düz çizgisi A y = | fonksiyonunun grafiğine sahip olacağız X 2 - 2| x | - 3 | iki ortak nokta a > 4. Yani a = 0 ve a için > 4 orijinal denklemin iki kökü vardır.
0 ise< A< 3, то прямая y = a y = | fonksiyonunun grafiği ile X 2 - 2| x | - 3 | dört ortak nokta ve y= düz çizgisi A oluşturulan fonksiyonun grafiği ile dört ortak noktaya sahip olacaktır. a = 4. Yani 0'da< a < 3, a = 4 orijinal denklemin dört kökü vardır.
Eğer a = 3, sonra düz çizgi y = a bir fonksiyonun grafiğini beş noktada keser; dolayısıyla denklemin beş kökü vardır.
3 ise< A< 4, прямая y = α oluşturulan fonksiyonun grafiğini altı noktada keser; Bu, bu parametre değerleri için orijinal denklemin altı köke sahip olduğu anlamına gelir.
Eğer A < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α y = | fonksiyonunun grafiğiyle kesişmiyor X 2 - 2| x | -3 |.

Cevap: eğer < 0, то корней нет;
a = 0, a > 4 ise iki kök vardır;
eğer 0 ise< a < 3, a = 4 ise 4 kök vardır;

eğer bir = 3, ardından beş kök;
eğer 3< a < 4, то шесть корней.

Problem 3. Denklemin kaç kökü var?

parametreye bağlı olarak A?

Çözüm. Fonksiyonun (x; y) koordinat sistemindeki grafiğini oluşturalım.

ama önce bunu formda sunalım:

Fonksiyon grafikleri bir noktada kesişir A > - 1; Bu, bu parametre değerleri için denklemin (1) tek çözümü olduğu anlamına gelir.

a = - 1 olduğunda, a = - 2 grafik iki noktada kesişiyor; Bu, bu parametre değerleri için denklemin (1) iki kökü olduğu anlamına gelir.
-2'de< A< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Cevap: eğer > - 1, ardından bir çözüm;
eğer a = - 1 ise, a = - 2 ise iki çözüm vardır;
eğer - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Yorum. Problem denklemini çözerken, duruma özel dikkat gösterilmelidir. A = - 2, (- 1; - 1) noktası fonksiyonun grafiğine ait olmadığındanfakat y = | fonksiyonunun grafiğine aittir. x | + A.

Problem 4. Denklemin kaç kökü var?

x + 2 = a | x - 1 |

parametreye bağlı olarak A?

Çözüm. Eşitlik 3 = olduğundan x = 1'in bu denklemin kökü olmadığına dikkat edin. A Hiçbir parametre değeri için 0 doğru olamaz A . Denklemin her iki tarafını | x - 1 |(| x - 1 |0), o zaman denklem şu şekli alır:xOy koordinat sisteminde fonksiyonun grafiğini çizeceğiz.

Bu fonksiyonun grafiği şekilde gösterilmiştir. y = fonksiyonunun grafiği A Öküz eksenine paralel veya onunla çakışan düz bir çizgidir (eğer bir = 0).