Seri aralıklı varyasyon serilerinin varyasyon serisi türleri. Varyasyonel ve istatistiksel dağılım serileri

Varyasyon serisi - bu, incelenen olgunun herhangi bir niceliksel özelliğin değerine göre dağılımını gösteren istatistiksel bir seridir. Örneğin hastaların yaşına, tedavi süresine, yenidoğanların kilosuna vb. göre.

Seçenek - gruplandırmanın gerçekleştirildiği özelliğin bireysel değerleri (belirtilmiştir) V ) .

Sıklık- belirli bir seçeneğin ne sıklıkta gerçekleştiğini gösteren bir sayı (belirtilen) P ) . Tüm frekansların toplamı şunu gösterir: toplam sayısı gözlemler ve belirlenmiş N . Bir varyasyon serisinin en büyük ve en küçük varyantı arasındaki farka denir. açıklık veya genlik .

Varyasyon serileri var:

1. Süreksiz (kesikli) ve sürekli.

Gruplandırma özelliği kesirli değerlerle (ağırlık, boy vb.) ifade edilebiliyorsa bir seri sürekli olarak kabul edilir; gruplandırma özelliği yalnızca bir tam sayı (sakatlık günleri, nabız atım sayısı vb.) olarak ifade edilirse süreksiz olarak kabul edilir. .

2.Basit ve dengeli.

Basit bir varyasyon serisi, değişen bir özelliğin niceliksel değerinin bir kez ortaya çıktığı bir seridir. Ağırlıklandırılmış bir varyasyon serisinde, değişen bir karakteristiğin niceliksel değerleri belirli bir sıklıkta tekrarlanır.

3. Gruplanmış (aralıklı) ve gruplanmamış.

Gruplandırılmış bir seri, onları belirli bir aralıkta boyuta göre birleştiren gruplar halinde birleştirilmiş seçeneklere sahiptir. Gruplandırılmamış bir seride her bir seçenek belirli bir frekansa karşılık gelir.

4. Çift ve tek.

Çift varyasyon serilerinde, frekansların toplamı veya toplam gözlem sayısı çift sayıyla, tek sayılarda ise tek sayıyla ifade edilir.

5. Simetrik ve asimetrik.

Simetrik bir varyasyon serisinde, tüm ortalama değer türleri çakışır veya çok yakındır (mod, medyan, aritmetik ortalama).

İncelenen olgunun doğasına bağlı olarak, sıhhi istatistiklerde istatistiksel araştırmanın belirli görev ve hedeflerine ve ayrıca kaynak materyalin içeriğine bağlı olarak Aşağıdaki ortalama türleri kullanılır:

yapısal araçlar (mod, medyan);

aritmetik ortalama;

harmonik ortalama;

geometrik ortalama;

ortalama ilerici.

Moda (E Ö ) - incelenen popülasyonda daha sık bulunan değişken bir özelliğin değeri; en yüksek frekansa karşılık gelen seçenek. Bunu herhangi bir hesaplamaya başvurmadan doğrudan varyasyon serisinin yapısından buluyorlar. Genellikle aritmetik ortalamaya çok yakın bir değerdir ve pratikte çok uygundur.

Medyan (M e ) - varyasyon serisinin (sıralanmış, yani seçeneğin değerleri artan veya azalan sırada düzenlenmiştir) iki eşit yarıya bölünmesi. Medyan, frekansların sıralı toplamı ile elde edilen tek seriler kullanılarak hesaplanır. Frekansların toplamı çift bir sayıya karşılık geliyorsa, iki ortalama değerin aritmetik ortalaması geleneksel olarak medyan olarak alınır.

Açık popülasyon durumunda mod ve medyan kullanılır; en büyük veya en küçük seçeneklerin kesin bir niceliksel özelliğe sahip olmadığı durumlarda (örneğin, 15 yaşına kadar, 50 yaş ve üzeri vb.). Bu durumda aritmetik ortalama (parametrik özellikler) hesaplanamaz.

Ortalama Ben aritmetiğim - en yaygın değer. Aritmetik ortalama genellikle şu şekilde gösterilir: M.

Basit ve ağırlıklı aritmetik ortalamalar vardır.

Basit aritmetik ortalama hesaplandı:

- Popülasyonun her bir birim için bir karakteristiğe ilişkin basit bir bilgi listesiyle temsil edildiği durumlarda;

- her seçeneğin tekrar sayısı belirlenemiyorsa;

- her seçeneğin tekrar sayısı birbirine yakınsa.

Basit aritmetik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

nerede V - özelliğin bireysel değerleri; n - bireysel değerlerin sayısı;
- toplama işareti.

Dolayısıyla basit ortalama, değişkenlerin toplamının gözlem sayısına oranıdır.

Örnek: 10 zatürre hastasının yatakta ortalama kalış süresini belirleyin:

16 gün - 1 hasta; 17–1; 18–1; 19–1; 20–1; 21–1; 22–1; 23–1; 26–1; 31–1.

yatak günü

Aritmetik ortalama ağırlıklı bir özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlandığı durumlarda hesaplanır. İki şekilde hesaplanabilir:

1. Aşağıdaki formüle göre doğrudan (aritmetik ortalama veya doğrudan yöntem):

,

burada P, her bir seçeneğe ilişkin gözlemlerin sıklığıdır (vaka sayısı).

Dolayısıyla ağırlıklı aritmetik ortalama, değişken ve frekans çarpımlarının toplamının gözlem sayısına oranıdır.

2. Koşullu ortalamadan sapmaları hesaplayarak (momentler yöntemini kullanarak).

Ağırlıklı aritmetik ortalamanın hesaplanmasının temeli:

- niceliksel bir özelliğin varyantlarına göre gruplandırılmış materyal;

— tüm seçenekler, özelliğin değerine göre (sıralanmış seri) artan veya azalan sırada düzenlenmelidir.

Moment yöntemini kullanarak hesaplama yapmak için ön koşul, tüm aralıkların aynı boyutta olmasıdır.

Momentler yöntemini kullanarak aritmetik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,

burada M o, genellikle en yüksek frekansa karşılık gelen özelliğin değeri olarak alınan koşullu ortalamadır; daha sık tekrarlanan (Moda).

i aralığın değeridir.

a, büyük koşullu ortalamaların değişkenleri için + işaretli ve – işaretli (–1, –2 vb.) ardışık bir sayı dizisi (1, 2 vb.) olan ortalamanın koşullarından koşullu bir sapmadır. .) geleneksel ortalamanın altındaki değişkenler için. Koşullu ortalama olarak alınan değişkenden koşullu sapma 0'dır.

P - frekansları.

- toplam gözlem sayısı veya n.

Örnek: 8 yaşındaki erkek çocukların ortalama boylarını doğrudan belirleyin (Tablo 1).

tablo 1

Merkezi seçenek - aralığın ortası - iki komşu grubun başlangıç ​​değerlerinin yarı toplamı olarak tanımlanır:

;
vesaire.

VP ürünü, merkezi değişkenlerin frekanslarla çarpılmasıyla elde edilir.
;
vesaire. Daha sonra ortaya çıkan ürünler eklenir ve elde edilir.
gözlem sayısına (100) bölünerek ağırlıklı aritmetik ortalama elde edilir.

santimetre.

Aynı sorunu, aşağıdaki tablo 2'nin derlendiği momentler yöntemini kullanarak çözeceğiz:

Tablo 2

n=100

122'yi M o olarak alıyoruz çünkü 100 gözlemden 33'ünün boyu 122 cm idi. Yukarıdakilere uygun olarak koşullu ortalamadan koşullu sapmaları (a) buluyoruz. Daha sonra koşullu sapmaların çarpımını frekanslara (aP) göre elde ederiz ve elde edilen değerleri toplarız (
). Sonuç 17'dir. Son olarak verileri formülde yerine koyarız:

Değişken bir özelliği incelerken, kişi kendisini yalnızca ortalama değerleri hesaplamakla sınırlayamaz. Ayrıca incelenen özelliklerin çeşitlilik derecesini karakterize eden göstergelerin hesaplanması da gereklidir. Bir veya başka bir niceliksel özelliğin değeri, istatistiksel popülasyonun tüm birimleri için aynı değildir.

Bir varyasyon serisinin özelliği standart sapmadır ( ), çalışılan özelliklerin aritmetik ortalamaya göre yayılmasını (dağılımını) gösterir, yani. varyasyon serisinin değişkenliğini karakterize eder. Aşağıdaki formül kullanılarak doğrudan belirlenebilir:

Standart sapma, her seçeneğin aritmetik ortalamadan (V-M) 2 sapmalarının karelerinin çarpımlarının toplamının frekanslarının frekanslarının toplamına bölünmesiyle elde edilen kareköküne eşittir (
).

Hesaplama örneği: klinikte günlük olarak verilen ortalama hastalık izni sayısını belirleyin (Tablo 3).

Tablo 3

;

Paydada gözlem sayısı 30'dan az olduğunda,
birini çıkar.

Seri eşit aralıklarla gruplandırılmışsa standart sapma, momentler yöntemi kullanılarak belirlenebilir:

,

burada i aralığın değeridir;

- koşullu ortalamadan koşullu sapma;

P - karşılık gelen aralıkların frekans değişkeni;

- toplam gözlem sayısı.

Örnek hesaplama : Hastaların tedavi yatağında ortalama kalış süresini belirleyin (an yöntemini kullanarak) (Tablo 4):

Tablo 4

;

Belçikalı istatistikçi A. Quetelet, kütle olaylarındaki değişimlerin, K. Gauss ve P. Laplace tarafından neredeyse aynı anda keşfedilen hata dağılımı yasasına uyduğunu keşfetti. Bu dağılımı temsil eden eğri çan şeklindedir. Normal dağılım kanununa göre bir özelliğin bireysel değerlerinin değişkenliği sınırlar dahilindedir
Bu, popülasyondaki tüm birimlerin %99,73'ünü kapsar.

Aritmetik ortalamaya 2 eklenir ve çıkarılırsa , o zaman varyasyon serisinin tüm üyelerinin% 95,45'i elde edilen değerler dahilindedir ve son olarak aritmetik ortalamaya 1 ekleyip çıkarırsak ise bu varyasyon serisinin tüm üyelerinin %68,27'si elde edilen değerler dahilinde olacaktır. Büyüklüğü olan tıpta
1Norm kavramı bununla ilgilidir. Aritmetik ortalamadan sapmanın 1'den fazla olması , ancak 2'den az normalin altında ve sapma 2'den fazla anormal (normalin üstünde veya altında).

Sağlık istatistiklerinde, fiziksel gelişimi incelerken, sağlık kurumlarının performansını değerlendirirken ve nüfusun sağlığını değerlendirirken üç sigma kuralı kullanılır. Aynı kural ülke ekonomisinde standartların belirlenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Böylece standart sapma şu amaçlara hizmet eder:

- varyasyon serilerinin dağılımının ölçümleri;

- varyasyon katsayısı ile belirlenen özelliklerin çeşitlilik derecesinin özellikleri:

Varyasyon katsayısı %20'den fazlaysa - güçlü çeşitlilik, %20 ila 10 arasında - ortalama, %10'dan azsa - özelliklerin zayıf çeşitliliği. Değişim katsayısı bir dereceye kadar aritmetik ortalamanın güvenilirliği için bir kriterdir.

Gruplandırma yöntemi ayrıca ölçüm yapmanıza da olanak tanır varyasyon işaretlerin (değişkenlik, dalgalanma). Bir popülasyondaki birim sayısı nispeten küçük olduğunda varyasyon, popülasyonu oluşturan birimlerin sıralanmış sayısına göre ölçülür. Seri denir sıralanmış, birimler karakteristiğin artan (azalan) sırasına göre düzenlenmişse.

Bununla birlikte, karşılaştırmalı bir varyasyon karakteristiğine ihtiyaç duyulduğunda sıralanmış seriler oldukça gösterge niteliğindedir. Ek olarak, birçok durumda, belirli bir seri biçiminde temsil edilmesi pratik olarak zor olan, çok sayıda birimden oluşan istatistiksel popülasyonlarla uğraşmak zorundayız. Bu bağlamda, istatistiksel verilerle ilk genel tanışma için ve özellikle özelliklerdeki çeşitliliğin incelenmesini kolaylaştırmak için, incelenen olgular ve süreçler genellikle gruplar halinde birleştirilir ve gruplandırma sonuçları grup tabloları şeklinde sunulur.

Bir grup tablosunda yalnızca iki sütun varsa - seçilen özelliğe (seçenekler) ve grup sayısına (frekans veya frekans) göre gruplar, buna denir yakın dağıtım.

Dağıtım aralığı - Karakteristiğin varyantlarını ve sıklıklarını içeren iki sütunlu bir grup tablosunda görüntülenen, tek bir özelliğe dayalı en basit yapısal gruplandırma türü. Çoğu durumda, böyle bir yapısal gruplamayla; Dağıtım serilerinin derlenmesiyle ilk istatistiksel materyalin incelenmesi başlar.

Bir dağılım serisi şeklindeki yapısal gruplama, seçilen grupların sadece frekanslarla değil aynı zamanda diğer istatistiksel göstergelerle de karakterize edilmesi durumunda gerçek bir yapısal gruplamaya dönüştürülebilir. Dağılım serilerinin temel amacı özelliklerin değişimini incelemektir. Dağılım serisi teorisi matematiksel istatistiklerle ayrıntılı olarak geliştirilmiştir.

Dağıtım serisi şu şekilde ayrılmıştır: niteliksel(Nüfusun cinsiyete, uyruğa, medeni duruma vb. göre bölünmesi gibi niteleyici özelliklere göre gruplandırma) ve varyasyonel(niceliksel özelliklere göre gruplandırma).

Varyasyon serisi iki sütun içeren bir grup tablosudur: birimlerin bir niceliksel özelliğe göre gruplandırılması ve her gruptaki birim sayısı. Varyasyon serilerindeki aralıklar genellikle eşit ve kapalı olarak oluşturulur. Varyasyon serisi, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre aşağıdaki gruplandırılmasıdır (Tablo 3.10).

Tablo 3.10

2004-2009 yıllarında Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama gelire göre dağılımı.

Varyasyon serileri ise ayrık ve aralıklı olarak ikiye ayrılır. ayrık varyasyon serileri, dar sınırlar içinde değişen farklı karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Ayrık bir varyasyon serisinin bir örneği, Rus ailelerin sahip oldukları çocuk sayısına göre dağılımıdır.

Aralık varyasyon serileri, geniş bir aralıkta değişen sürekli karakteristiklerin veya ayrık karakteristiklerin varyantlarını birleştirir. Aralık, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımının varyasyon serisidir.

Ayrık varyasyon serileri pratikte çok sık kullanılmaz. Bu arada, grupların bileşimi, incelenen gruplandırma özelliklerinin gerçekte sahip olduğu belirli değişkenler tarafından belirlendiğinden, bunları derlemek zor değildir.

Aralıklı varyasyon serileri daha yaygındır. Bunları derlerken, grup sayısı ve oluşturulması gereken aralıkların büyüklüğü konusunda zor bir soru ortaya çıkıyor.

Bu sorunu çözmeye yönelik ilkeler, istatistiksel gruplamaların oluşturulmasına ilişkin metodoloji bölümünde ortaya konmuştur (bkz. paragraf 3.3).

Varyasyon serileri, çeşitli bilgileri kompakt bir formda daraltmanın veya sıkıştırmanın bir yoludur; bunlardan biri, varyasyonun doğası hakkında oldukça net bir yargıya varabilir ve incelenen sette yer alan fenomenlerin özelliklerindeki farklılıkları inceleyebilir. Ancak varyasyon serilerinin en önemli önemi, varyasyonun özel genelleştirici özelliklerinin bu serilere dayanarak hesaplanmasıdır (bkz. Bölüm 7).

Farklı örnek değerleri çağıralım seçenekler bir dizi değer ve şunu belirtir: X 1 , X 2,…. Öncelikle üreteceğiz değişen seçenekler, yani artan veya azalan düzende dizilişleri. Her seçeneğin kendi ağırlığı belirtilir; Belirli bir seçeneğin toplam nüfusa katkısını karakterize eden bir sayı. Frekanslar veya frekanslar ağırlık görevi görür.

Sıklık n ben seçenek x ben belirli bir seçeneğin söz konusu örnek popülasyonda kaç kez oluştuğunu gösteren bir sayıdır.

Frekans veya bağıl frekans ben seçenek x ben bir değişkenin frekansının tüm değişkenlerin frekanslarının toplamına oranına eşit bir sayıdır. Frekans, örnek popülasyondaki birimlerin ne kadarının belirli bir değişkene sahip olduğunu gösterir.

Artan (veya azalan) sırayla yazılan, karşılık gelen ağırlıkları (frekanslar veya frekanslar) ile birlikte bir seçenekler dizisine denir. varyasyon serisi.

Varyasyon serileri ayrık ve aralıklıdır.

Ayrık bir varyasyon serisi için, karakteristiğin nokta değerleri belirtilir, bir aralık serisi için karakteristik değerler aralıklar şeklinde belirtilir. Varyasyon serileri, her seçenek için hangi değerin (frekans veya frekans) belirtildiğine bağlı olarak frekansların veya göreceli frekansların (frekanslar) dağılımını gösterebilir.

Frekans dağılımının ayrık varyasyon serisişu forma sahiptir:

Frekanslar şu formülle bulunur: i = 1, 2, …, M.

w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Örnek 4.1. Belirli bir sayı kümesi için

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

Frekans ve frekans dağılımlarının ayrık değişim serilerini oluşturur.

Çözüm . Nüfusun hacmi eşittir N= 10. Ayrık frekans dağılım serisi şu şekildedir:

Aralık serileri de benzer bir kayıt biçimine sahiptir.

Frekans dağılımının aralık değişim serisişu şekilde yazılır:

Tüm frekansların toplamı, toplam gözlem sayısına eşittir; Toplam ses: N = N 1 +N 2 + … + N M.

Göreli frekansların (frekanslar) dağılımının aralık değişim serisişu forma sahiptir:

Frekans şu formülle bulunur: i = 1, 2, …, M.

Tüm frekansların toplamı bire eşittir: w 1 +w 2 + … + w m = 1.

Aralık serileri pratikte en sık kullanılır. Çok sayıda istatistiksel örnek veri varsa ve değerleri birbirinden keyfi olarak küçük bir miktarda farklılık gösteriyorsa, bu veriler için ayrı bir seri, daha fazla araştırma için oldukça hantal ve sakıncalı olacaktır. Bu durumda veri gruplaması kullanılır; Niteliğin tüm değerlerini içeren aralık birkaç kısmi aralığa bölünür ve her aralığın frekansı hesaplanarak bir aralık serisi elde edilir. Kısmi aralıkların uzunluklarının aynı olacağını varsayarak, bir aralık dizisi oluşturma şemasını daha ayrıntılı olarak yazalım.

2.2 Bir aralık serisinin oluşturulması

Bir aralık serisi oluşturmak için ihtiyacınız olan:

Aralık sayısını belirleyin;

Aralıkların uzunluğunu belirleyin;

Aralıkların eksen üzerindeki konumunu belirleyin.

Belirlemek için aralık sayısı k Sturges'in formülü var, buna göre

,

Nerede N- tüm agreganın hacmi.

Örneğin, bir özelliğin (varyant) 100 değeri varsa, bir aralık serisi oluşturmak için aralık sayısının aralıklara eşit olması önerilir.

Bununla birlikte, pratikte sıklıkla aralıkların sayısı, serinin hantal olmaması için bu sayının çok büyük olmaması gerektiği, aynı zamanda serinin bazı özelliklerini kaybetmemek için de çok küçük olmaması gerektiği dikkate alınarak araştırmacının kendisi tarafından seçilir. dağıtım.

Aralık uzunluğu H aşağıdaki formülle belirlenir:

,

Nerede X maksimum ve X min sırasıyla seçeneklerin en büyük ve en küçük değerleridir.

Boyut isminde kapsam sıra.

Aralıkları kendileri oluşturmak için farklı şekillerde ilerlerler. En basit yollardan biri aşağıdaki gibidir. İlk aralığın başlangıcı şu şekilde alınır:
. Daha sonra aralıkların kalan sınırları formülle bulunur. Açıkçası, son aralığın sonu A m+1 koşulu sağlamalıdır

Aralıkların tüm sınırları bulunduktan sonra bu aralıkların frekansları (veya frekansları) belirlenir. Bu sorunu çözmek için tüm seçeneklere göz atın ve belirli bir aralığa düşen seçenek sayısını belirleyin. Bir örnek kullanarak bir aralık serisinin tam yapısına bakalım.

Örnek 4.2. Artan sırada kaydedilen aşağıdaki istatistiksel veriler için, aralık sayısı 5'e eşit olan bir aralık serisi oluşturun:

11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.

Çözüm. Toplam N=50 değişken değeri.

Aralıkların sayısı problem ifadesinde belirtilir, yani. k=5.

Aralıkların uzunluğu
.

Aralıkların sınırlarını tanımlayalım:

A 1 = 11 − 8,5 = 2,5; A 2 = 2,5 + 17 = 19,5; A 3 = 19,5 + 17 = 36,5;

A 4 = 36,5 + 17 = 53,5; A 5 = 53,5 + 17 = 70,5; A 6 = 70,5 + 17 = 87,5;

A 7 = 87,5 +17 = 104,5.

Aralıkların sıklığını belirlemek için belirli bir aralığa düşen seçeneklerin sayısını sayarız. Örneğin, 2,5'ten 19,5'e kadar olan ilk aralık 11, 12, 12, 14, 14, 15 seçeneklerini içerir. Sayıları 6'dır, dolayısıyla ilk aralığın sıklığı N 1 =6. İlk aralığın frekansı . 19,5'ten 36,5'e kadar olan ikinci aralık, sayısı 5 olan 21, 21, 22, 23, 25 seçeneklerini içerir. Dolayısıyla ikinci aralığın frekansı N 2 =5 ve frekans . Tüm aralıkların frekanslarını ve frekanslarını benzer şekilde bulduktan sonra aşağıdaki aralık serisini elde ederiz.

Frekans dağılımının aralık serisi şu şekildedir:

Frekansların toplamı 6+5+9+11+8+11=50'dir.

Frekans dağılımının aralık serisi şu şekildedir:

Frekansların toplamı 0,12+0,1+0,18+0,22+0,16+0,22=1'dir. ■

Aralık serileri oluşturulurken, söz konusu problemin özel koşullarına bağlı olarak diğer kurallar da uygulanabilir:

1. Aralık varyasyon serileri farklı uzunluktaki kısmi aralıklardan oluşabilir. Eşit olmayan aralık uzunlukları, istatistiksel bir popülasyonun özelliklerinin, karakteristiklerin eşit olmayan bir dağılımıyla vurgulanmasını mümkün kılar. Örneğin, aralıkların sınırları şehirlerde yaşayanların sayısını belirliyorsa, bu problemde eşit olmayan uzunlukta aralıkların kullanılması tavsiye edilir. Açıkçası, küçük şehirler için sakin sayısındaki küçük bir fark önemlidir, ancak büyük şehirler için onlarca veya yüzlerce nüfus farkı önemli değildir. Kısmi aralıkların eşit olmayan uzunluklarına sahip aralık serileri esas olarak genel istatistik teorisinde incelenir ve bunların dikkate alınması bu kılavuzun kapsamı dışındadır.

2. Matematiksel istatistiklerde, bazen ilk aralığın sol sınırının –∞'a ve son aralığın sağ sınırının +∞'a eşit olduğu varsayılan aralık serileri dikkate alınır. Bu, istatistiksel dağılımı teorik dağılıma yaklaştırmak için yapılır.

3. Aralık serileri oluştururken, bazı seçeneklerin değerinin aralığın sınırıyla tam olarak örtüştüğü ortaya çıkabilir. Bu durumda yapılacak en iyi şey aşağıdaki gibidir. Böyle bir tesadüf varsa, söz konusu seçeneğin sıklığı ile aralık serisinin ortasına daha yakın olan aralığa düştüğünü düşünün; eğer bu tür birkaç seçenek varsa, o zaman bunların hepsi aralıklara atanır; Bu seçeneklerin sağında veya tamamı solda atanır.

4. Aralıkların sayısı ve uzunlukları belirlendikten sonra aralıkların düzenlenmesi başka bir şekilde yapılabilir. Seçeneklerin dikkate alınan tüm değerlerinin aritmetik ortalamasını bulun X evlenmek ve ilk aralığı, bu örnek ortalamanın belirli bir aralığın içinde olacağı şekilde oluşturun. Böylece aralığı elde ederiz X evlenmek – 0,5 Hönce X ortalama + 0,5 H. Daha sonra sola ve sağa aralığın uzunluğunu ekleyerek kalan aralıkları oluştururuz. X dk ve X max sırasıyla ilk ve son aralıklara düşmeyecektir.

5. Çok sayıda aralığa sahip aralık serileri uygun şekilde dikey olarak yazılır, yani. aralıkları ilk satıra değil, ilk sütuna, frekansları (veya frekansları) ikinci sütuna yazın.

Örnek veriler bazı rastgele değişkenlerin değerleri olarak düşünülebilir X. Rastgele bir değişkenin kendi dağılım yasası vardır. Olasılık teorisinden, ayrı bir rastgele değişkenin dağılım yasasının, dağılım yoğunluğu fonksiyonunu kullanarak bir dağılım serisi şeklinde ve sürekli bir dizi için belirtilebileceği bilinmektedir. Ancak hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler için geçerli olan evrensel bir dağılım yasası vardır. Bu dağıtım yasası bir dağıtım fonksiyonu olarak verilmiştir. F(X) = P(X<X). Örnek veriler için dağıtım fonksiyonunun bir analogunu (ampirik dağıtım fonksiyonu) belirleyebilirsiniz.

İlgili bilgi.

Varyasyon serisi: tanımı, türleri, ana özellikleri. Hesaplama yöntemi
Tıbbi ve istatistiksel araştırmalarda mod, medyan, aritmetik ortalama
(koşullu bir örnekle gösterin).

Bir varyasyon serisi, incelenen özelliğin, büyüklük bakımından birbirinden farklı olan ve belirli bir sırayla (artan veya azalan sırada) düzenlenmiş bir dizi sayısal değeridir. Bir serinin her sayısal değerine değişken (V) adı verilir ve belirli bir değişkenin belirli bir seride ne sıklıkta ortaya çıktığını gösteren sayılara frekans (p) adı verilir.

Varyasyon serisini oluşturan gözlem durumlarının toplam sayısı n harfiyle gösterilir. İncelenen özelliklerin anlamındaki farklılığa varyasyon denir. Değişken bir özelliğin niceliksel bir ölçüsü yoksa, varyasyona niteliksel, dağılım serisine ise atıfsal denir (örneğin, hastalık sonucuna, sağlık durumuna vb. göre dağılım).

Değişen bir özelliğin niceliksel bir ifadesi varsa, bu tür bir değişime niceliksel, dağılım serisine ise varyasyonel denir.

Varyasyon serileri, niceliksel özelliğin doğasına göre süreksiz ve sürekli; varyantın ortaya çıkma sıklığına göre basit ve ağırlıklı olarak ikiye ayrılır.

Basit varyasyon serisinde her seçenek yalnızca bir kez (p=1), ağırlıklı seride aynı seçenek birkaç kez (p>1) ortaya çıkar. Bu tür serilerin örnekleri metinde daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır. Kantitatif karakteristik sürekli ise; Tamsayı büyüklükler arasında ara kesirli büyüklükler vardır; varyasyon serisine sürekli denir.

Örneğin: 10,0 – 11,9

14.0 – 15.9 vb.

Kantitatif karakteristik süreksiz ise; bireysel değerleri (varyantları) birbirinden bir tam sayı ile farklılık gösterir ve ara kesirli değerlere sahip değildir; varyasyon serisine süreksiz veya ayrık denir.

Önceki örnekteki kalp atış hızı verilerini kullanma

21 öğrenci için bir varyasyon serisi oluşturacağız (Tablo 1).

tablo 1

Tıp öğrencilerinin kalp atış hızına (bpm) göre dağılımı

Dolayısıyla bir varyasyon serisi oluşturmak, mevcut sayısal değerleri (varyantları) sistematik hale getirmek ve düzenlemek anlamına gelir; karşılık gelen frekanslarıyla belirli bir sırayla (artan veya azalan sırada) düzenleyin. Söz konusu örnekte, seçenekler artan sırada düzenlenmiştir ve tamsayı süreksiz (ayrık) sayılar olarak ifade edilmiştir; her seçenek birkaç kez ortaya çıkar; ağırlıklı, süreksiz veya ayrık bir varyasyon serisiyle uğraşıyoruz.

Kural olarak, incelediğimiz istatistiksel popülasyondaki gözlem sayısı 30'u geçmiyorsa, incelenen özelliğin tüm değerlerini Tablo'da olduğu gibi artan bir varyasyon serisinde düzenlemek yeterlidir. 1 veya azalan sırada.

Çok sayıda gözlemle (n>30), ortaya çıkan değişkenlerin sayısı çok büyük olabilir; bu durumda, sonraki işlemleri basitleştirmek ve dağılımın doğasını açıklığa kavuşturmak için bir aralık veya gruplandırılmış varyasyon serisi derlenir, varyantlar gruplar halinde birleştirilir.

Tipik olarak grup seçeneklerinin sayısı 8 ila 15 arasında değişir.

En az 5 tane olmalı çünkü... aksi takdirde çok kaba ve aşırı genişleme olur, bu da genel varyasyon tablosunu bozar ve ortalama değerlerin doğruluğunu büyük ölçüde etkiler. Grup varyantlarının sayısı 20-25'ten fazla olduğunda, ortalama değerlerin hesaplanmasının doğruluğu artar, ancak karakteristik varyasyonun özellikleri önemli ölçüde bozulur ve matematiksel işlem daha karmaşık hale gelir.

Gruplandırılmış bir seriyi derlerken dikkate almak gerekir

− seçenek grupları belirli bir sıraya göre düzenlenmelidir (artan veya azalan);

− seçenek gruplarındaki aralıklar aynı olmalıdır;

− aralık sınırlarının değerleri çakışmamalıdır çünkü bireysel değişkenlerin hangi gruplara sınıflandırılacağı belirsiz olacaktır;

- Aralık sınırlarını belirlerken toplanan materyalin niteliksel özelliklerinin dikkate alınması gerekir (örneğin, yetişkinlerin ağırlığını incelerken 3-4 kg'lık bir aralık kabul edilebilir ve yaşamın ilk aylarındaki çocuklar için bu kabul edilebilir) 100 g'ı geçmemelidir)

Sınavdan önce 55 tıp öğrencisi için nabız hızına (dakikadaki atış sayısı) ilişkin verileri karakterize eden gruplandırılmış (aralıklı) bir seri oluşturalım: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

Gruplandırılmış bir seri oluşturmak için ihtiyacınız olan:

1. Aralığın boyutunu belirleyin;

2. Varyasyon serisindeki grupların ortasını, başlangıcını ve sonunu belirleyin.

● Aralığın boyutu (i), özel bir tabloya göre gözlem sayısına (n) bağlı olarak belirlenen varsayılan grupların (r) sayısına göre belirlenir.

Gözlem sayısına bağlı olarak grup sayısı:

Bizim durumumuzda 55 öğrenci için 8 ila 10 grup oluşturabilirsiniz.

(i) aralığının değeri aşağıdaki formülle belirlenir -

i = V maks-V min/dev

Örneğimizde aralığın değeri 82-58/8= 3'tür.

Aralık değeri kesirli ise sonuç en yakın tam sayıya yuvarlanmalıdır.

Birkaç tür ortalama vardır:

● aritmetik ortalama,

● geometrik ortalama,

● harmonik ortalama,

● ortalamanın karekökü,

● ortalama ilerici,

● medyan

Tıbbi istatistiklerde en sık aritmetik ortalamalar kullanılır.

Aritmetik ortalama (M), tüm popülasyon için neyin tipik olduğunu belirleyen genelleştirici bir değerdir. M'yi hesaplamanın ana yöntemleri şunlardır: aritmetik ortalama yöntemi ve momentler yöntemi (koşullu sapmalar).

Aritmetik ortalama yöntemi, basit aritmetik ortalamayı ve ağırlıklı aritmetik ortalamayı hesaplamak için kullanılır. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasında kullanılacak yöntemin seçimi, varyasyon serisinin türüne bağlıdır. Her seçeneğin yalnızca bir kez gerçekleştiği basit bir varyasyon serisi durumunda, basit aritmetik ortalama aşağıdaki formülle belirlenir:

burada: M – aritmetik ortalama değer;

V – değişen özelliğin değeri (varyantlar);

Σ – eylemi – toplamı gösterir;

n – toplam gözlem sayısı.

Basit aritmetik ortalamanın hesaplanmasına bir örnek. 35 yaşındaki 9 erkekte solunum hızı (dakikadaki solunum hareketi sayısı): 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18.

35 yaşındaki erkeklerde ortalama solunum hızı seviyesini belirlemek için gereklidir:

1. Tüm seçenekleri artan veya azalan sırada düzenleyerek bir varyasyon serisi oluşturun. Basit bir varyasyon serisi elde ettik çünkü. seçenek değerleri yalnızca bir kez oluşur.

M = ∑V/n = 171/9 = Dakikada 19 nefes

Çözüm. 35 yaşındaki erkeklerde solunum hızı dakikada ortalama 19 solunum hareketidir.

Bir varyantın bireysel değerleri tekrarlanıyorsa, her bir varyantı bir satırda yazmaya gerek yoktur; varyantın ortaya çıkan boyutlarını (V) listelemek ve yanında tekrar sayısını belirtmek yeterlidir (p). ). Seçeneklerin kendilerine karşılık gelen frekans sayısına göre ağırlıklandırıldığı böyle bir varyasyon serisine ağırlıklı varyasyon serisi denir ve hesaplanan ortalama değer, ağırlıklı aritmetik ortalamadır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama şu formülle belirlenir: M= ∑Vp/n

burada n, frekansların toplamına eşit gözlem sayısıdır – Σр.

Aritmetik ağırlıklı ortalamanın hesaplanmasına bir örnek.

Bu yılın ilk çeyreğinde yerel bir doktor tarafından tedavi edilen 35 akut solunum yolu hastalığı (ARI) hastasının sakatlık süresi (gün olarak): 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6 , 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6 , 7 gün .

Akut solunum yolu enfeksiyonu olan hastalarda ortalama sakatlık süresinin belirlenmesine yönelik yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Ağırlıklandırılmış bir varyasyon serisi oluşturalım çünkü Seçeneğin bireysel değerleri birkaç kez tekrarlanır. Bunu yapmak için, tüm seçenekleri ilgili frekanslarına göre artan veya azalan sırada düzenleyebilirsiniz.

Bizim durumumuzda seçenekler artan sırada düzenlenmiştir.

2. Aşağıdaki formülü kullanarak aritmetik ağırlıklı ortalamayı hesaplayın: M = ∑Vp/n = 233/35 = 6,7 gün

Akut solunum yolu enfeksiyonu geçiren hastaların sakatlık sürelerine göre dağılımı:

Çözüm. Akut solunum yolu hastalığı olan hastalarda sakatlık süresi ortalama 6,7 ​​gündü.

Mod (Mo), varyasyon serisindeki en yaygın seçenektir. Tabloda sunulan dağılım için mod, 10'a eşit bir seçeneğe karşılık gelir; diğerlerinden daha sık görülür - 6 kez.

Hastaların hastane yatağında kalış süresine göre dağılımı (gün olarak)

Bazen bir modun kesin büyüklüğünü belirlemek zordur çünkü incelenen verilerde birkaç "en yaygın" gözlem bulunabilir.

Medyan (Me), bir varyasyon serisini iki eşit yarıya bölen parametrik olmayan bir göstergedir: medyanın her iki yanında aynı sayıda varyant bulunur.

Örneğin tabloda gösterilen dağılım için medyan 10'dur çünkü bu değerin her iki tarafında da 14 seçenek vardır; 10 sayısı bu seride merkezi bir konuma sahiptir ve onun medyanıdır.

Bu örnekteki gözlem sayısının çift olduğu (n=34) dikkate alındığında medyan şu şekilde belirlenebilir:

Ben = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

Bu, serinin ortasının 10'a eşit bir medyana karşılık gelen on yedinci seçeneğe denk geldiği anlamına gelir. Tabloda sunulan dağılım için aritmetik ortalama şuna eşittir:

M = ∑Vp/n = 334/34 = 10,1

Yani tablodan 34 gözlem için. Şekil 8'de şunu elde ettik: Mo=10, Me=10, aritmetik ortalama (M) 10,1'dir. Örneğimizde, tamamen farklı olmalarına rağmen üç göstergenin de birbirine eşit veya yakın olduğu ortaya çıktı.

Aritmetik ortalama, tüm etkilerin etkili toplamıdır; belirli bir fenomen veya popülasyon için genellikle atipik olan aşırı olanlar da dahil olmak üzere istisnasız tüm seçenekler, oluşumunda yer alır.

Mod ve medyan, aritmetik ortalamanın aksine, değişen karakteristiklerin tüm bireysel değerlerinin değerine (aşırı değişkenlerin değerleri ve serinin dağılım derecesi) bağlı değildir. Aritmetik ortalama tüm gözlem kütlesini karakterize eder, mod ve medyan ise kütleyi karakterize eder

Bir varyasyon serisi kavramı.İstatistiksel gözlem materyallerini sistemleştirmenin ilk adımı, belirli bir özelliğe sahip birimlerin sayısını saymaktır. Birimleri niceliksel özelliklerine göre artan veya azalan şekilde düzenleyerek ve özelliğin belirli bir değerine sahip birimlerin sayısını sayarak bir varyasyon serisi elde ederiz. Bir varyasyon serisi, belirli bir istatistiksel popülasyonun birimlerinin bazı niceliksel özelliklere göre dağılımını karakterize eder.

Varyasyon serisi iki sütundan oluşur; sol sütun, değişken adı verilen ve (x) ile gösterilen değişken özelliğin değerlerini içerir ve sağ sütun, her bir değişkenin kaç kez oluştuğunu gösteren mutlak sayıları içerir. Bu sütundaki göstergelere frekans adı verilir ve (f) ile gösterilir.

Varyasyon serisi şematik olarak Tablo 5.1 şeklinde sunulabilir:

Tablo 5.1

Varyasyon serisinin türü

Sağ sütunda, bireysel seçeneklerin sıklığının toplam frekanslar içindeki payını karakterize eden göreceli göstergeler de kullanılabilir. Bu göreceli göstergelere frekanslar denir ve geleneksel olarak ile gösterilir, yani. . Tüm frekansların toplamı bire eşittir. Frekanslar yüzde olarak da ifade edilebilir ve bu durumda toplamları %100'e eşit olacaktır.

Değişen işaretler farklı nitelikte olabilir. Bazı özelliklerin çeşitleri tamsayılarla ifade edilir; örneğin bir apartman dairesindeki oda sayısı, yayınlanan kitap sayısı vb. Bu işaretlere süreksiz veya ayrık denir. Diğer özelliklerin varyantları, planlanan görevlerin yerine getirilmesi, ücretler vb. gibi belirli sınırlar dahilinde herhangi bir değeri alabilir. Bu özelliklere sürekli denir.

Ayrık varyasyon serisi. Bir varyasyon serisinin varyantları ayrık miktarlar biçiminde ifade edilirse, bu tür bir varyasyon serisine ayrık denir; görünümü tabloda sunulur. 5.2:

Tablo 5.2

Öğrencilerin sınav notlarına göre dağılımı

Ayrık serilerdeki dağılımın doğası, grafiksel olarak bir dağıtım poligonu şeklinde gösterilmektedir, Şekil 5.1.

Pirinç. 5.1. Öğrencilerin sınavda aldıkları notlara göre dağılımı.

Aralıklı varyasyon serisi. Sürekli özellikler için varyasyon serileri aralıklı seriler olarak oluşturulur; içlerindeki karakteristiğin değerleri “başlangıç ​​ve bitiş” aralıkları şeklinde ifade edilir. Bu durumda özelliğin böyle bir aralıktaki minimum değerine aralığın alt sınırı, maksimum değerine ise aralığın üst sınırı denir.

Aralıklı değişim serileri, hem süreksiz özellikler (kesikli) hem de geniş bir aralıkta değişen özellikler için oluşturulur. Aralık satırları eşit veya eşit olmayan aralıklarla olabilir. Ekonomik uygulamada, giderek artan veya azalan eşit olmayan aralıkların çoğu kullanılır. Bu ihtiyaç özellikle bir karakteristikteki dalgalanmanın düzensiz ve büyük sınırlar içerisinde meydana geldiği durumlarda ortaya çıkar.

Eşit aralıklı aralık serilerinin türünü tablo olarak ele alalım. 5.3:

Tablo 5.3

İşçilerin üretime göre dağılımı

Aralık dağılım serisi grafiksel olarak bir histogram olarak gösterilmektedir, Şekil 5.2.

Şekil 5.2. İşçilerin üretime göre dağılımı

Birikmiş (kümülatif) frekans. Uygulamada dağıtım serilerinin dönüşüme ihtiyacı vardır. kümülatif seri, birikmiş frekanslara göre inşa edilmiştir. Onların yardımıyla dağılım serisi verilerinin analizini kolaylaştıran yapısal ortalamaları belirleyebilirsiniz.

Kümülatif frekanslar, dağılım serisinin sonraki gruplarının bu göstergelerinin birinci grubun frekanslarına (veya frekanslarına) sırayla eklenmesiyle belirlenir. Dağıtım serilerini göstermek için kümülatlar ve ojivler kullanılır. Bunları oluşturmak için, ayrık karakteristiklerin değerleri (veya aralıkların uçları) apsis ekseninde işaretlenir ve frekansların kümülatif toplamları (kümülatifler) ordinat ekseninde işaretlenir, Şekil 5.3.

Pirinç. 5.3. İşçilerin üretime göre kümülatif dağılımı

Frekans ve seçenek ölçekleri tersine çevrilirse; apsis ekseni birikmiş frekansları yansıtır ve ordinat ekseni değişkenlerin değerlerini gösterir, daha sonra gruptan gruba frekanslardaki değişimi karakterize eden eğriye dağılım işareti adı verilecektir, Şekil 5.4.

Pirinç. 5.4. İşçilerin üretime göre dağılımının Ogiva'sı

Eşit aralıklara sahip varyasyon serileri, istatistiksel dağılım serilerinin zaman ve mekânda karşılaştırılabilirliğini sağlamanın en önemli gereksinimlerinden birini sağlar.

Dağıtım yoğunluğu. Ancak adı geçen serilerdeki bireysel eşit olmayan aralıkların frekansları doğrudan karşılaştırılamaz. Bu gibi durumlarda gerekli karşılaştırılabilirliği sağlamak için dağıtım yoğunluğu hesaplanır; aralık değeri birimi başına her grupta kaç birim olacağını belirleyin.

Eşit olmayan aralıklarla bir varyasyon serisinin dağılımının bir grafiğini oluştururken, dikdörtgenlerin yüksekliği, frekanslarla değil, ilgili olarak incelenen karakteristik değerlerinin dağılımının yoğunluk göstergeleriyle orantılı olarak belirlenir. aralıklar.

Bir varyasyon serisinin hazırlanması ve grafiksel gösterimi, ilk verilerin işlenmesinde ilk adım ve incelenen popülasyonun analizinde ilk aşamadır. Değişim serilerinin analizinde bir sonraki adım, serinin özellikleri olarak adlandırılan ana genel göstergelerin belirlenmesidir. Bu özellikler, özelliğin popülasyon birimleri arasındaki ortalama değeri hakkında fikir vermelidir.

ortalama değer. Ortalama değer, incelenen popülasyonda incelenen özelliğin genelleştirilmiş bir özelliğidir ve belirli yer ve zaman koşulları altında popülasyonun birimi başına tipik seviyesini yansıtır.

Ortalama değer her zaman adlandırılır ve popülasyonun bireysel birimlerinin karakteristiğiyle aynı boyuta sahiptir.

Ortalama değerleri hesaplamadan önce, niteliksel olarak homojen grupları belirleyerek, incelenen popülasyonun birimlerini gruplandırmak gerekir.

Bir bütün olarak nüfus için hesaplanan ortalamaya genel ortalama ve her grup için grup ortalamaları denir.

İki tür ortalama vardır: güç (aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ikinci dereceden ortalama); yapısal (mod, medyan, çeyrekler, ondalıklar).

Hesaplama için ortalamanın seçimi amaca bağlıdır.

Güç ortalamalarının türleri ve hesaplanması için yöntemler. Toplanan materyalin istatistiksel olarak işlenmesi uygulamasında, çözümü farklı ortalamalar gerektiren çeşitli problemler ortaya çıkar.

Matematiksel istatistikler, güç ortalaması formüllerinden çeşitli ortalamalar elde eder:

ortalama değer nerede; x – bireysel seçenekler (özellik değerleri); z – üs (z = 1 – aritmetik ortalama, z = 0 geometrik ortalama, z = - 1 – harmonik ortalama, z = 2 – kare ortalama).

Ancak, her bir durumda ne tür bir ortalamanın uygulanması gerektiği sorusu, incelenen popülasyonun spesifik bir analizi yoluyla çözülür.

İstatistiklerde en yaygın ortalama türü aritmetik ortalama. Ortalama karakteristik hacminin, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimleri için değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğu durumlarda hesaplanır.

Kaynak verinin niteliğine bağlı olarak aritmetik ortalama çeşitli yollarla belirlenir:

Verilerin gruplandırılması durumunda hesaplama basit ortalama formülü kullanılarak gerçekleştirilir.

Ayrık bir seride aritmetik ortalamanın hesaplanması formül 3.4'e göre oluşur.

Bir aralık serisinde aritmetik ortalamanın hesaplanması. Her gruptaki bir özelliğin değerinin geleneksel olarak aralığın ortası olarak alındığı bir aralık varyasyon serisinde, aritmetik ortalama, gruplandırılmamış verilerden hesaplanan ortalamadan farklı olabilir. Ayrıca, gruplardaki aralık ne kadar büyük olursa, gruplandırılmış verilerden hesaplanan ortalamanın, gruplandırılmamış verilerden hesaplanan ortalamadan olası sapmaları da o kadar büyük olur.

Bir aralık değişim serisinin ortalamasını hesaplarken, gerekli hesaplamaları gerçekleştirmek için aralıklardan orta noktalarına doğru hareket edilir. Daha sonra ortalama, ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak hesaplanır.

Aritmetik ortalamanın özellikleri. Aritmetik ortalamanın hesaplamaları basitleştirmeyi mümkün kılan bazı özellikleri vardır; bunları ele alalım.

1. Sabit sayıların aritmetik ortalaması bu sabit sayıya eşittir.

Eğer x = a. Daha sonra .

2. Tüm seçeneklerin ağırlıkları orantılı olarak değiştirilirse; aynı sayıda artar veya azalırsa yeni serinin aritmetik ortalaması değişmeyecektir.

Tüm f ağırlıkları k kat azaltılırsa, o zaman .

3. Bireysel seçeneklerin ortalamadan pozitif ve negatif sapmalarının toplamı ağırlıklarla çarpılarak sıfıra eşittir, yani.

Eğer öyleyse. Buradan.

Tüm seçenekler herhangi bir sayı kadar azaltılır veya artırılırsa, yeni serinin aritmetik ortalaması aynı miktarda azalacak veya artacaktır.

Tüm seçenekleri azaltalım X Açık A, yani X´ = X– A.

Daha sonra

Orijinal serinin aritmetik ortalaması, daha önce seçeneklerden çıkarılan sayının indirgenmiş ortalamaya eklenmesiyle elde edilebilir. A, yani .

5. Tüm seçenekler azaltılır veya artırılırsa k kez yeni serinin aritmetik ortalaması aynı miktarda azalacak veya artacaktır; V k bir kere.

Olsun o zaman .

Dolayısıyla, yani. Orijinal serinin ortalamasını elde etmek için, yeni serinin aritmetik ortalaması (azaltılmış seçeneklerle) şu kadar artırılmalıdır: k bir kere.

Harmonik ortalama. Harmonik ortalama, aritmetik ortalamanın tersidir. İstatistiksel bilgilerin popülasyonun bireysel değişkenleri için frekansları içermediği ancak bunların ürünü (M = xf) olarak sunulduğu durumlarda kullanılır. Harmonik ortalama formül 3.5 kullanılarak hesaplanacaktır.

Harmonik ortalamanın pratik uygulaması bazı endekslerin, özellikle de fiyat endeksinin hesaplanmasıdır.

Geometrik ortalama. Geometrik ortalama kullanıldığında, bir özelliğin bireysel değerleri, kural olarak, bir dizi dinamikteki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde inşa edilen dinamiğin göreceli değerleridir. Dolayısıyla ortalama, ortalama büyüme oranını karakterize eder.

Geometrik ortalama değeri aynı zamanda özelliğin maksimum ve minimum değerlerinden eşit uzaklıktaki değeri belirlemek için de kullanılır. Örneğin, bir sigorta şirketi otomobil sigortası hizmetlerinin sağlanması için sözleşmeler yapmaktadır. Belirli sigortalı olaya bağlı olarak, sigorta ödemesi yıllık 10.000 ila 100.000 dolar arasında değişebilir. Sigorta ödemelerinin ortalama tutarı USD olacaktır.

Geometrik ortalama, oranların ortalaması olarak veya z = 0 olduğunda geometrik bir ilerleme şeklinde sunulan dağılım serilerinde kullanılan bir miktardır. Bu ortalamanın, mutlak farklara değil, iki oranların oranlarına dikkat edildiğinde kullanılması uygundur. sayılar.

Hesaplama formülleri aşağıdaki gibidir

ortalaması alınan özelliğin değişkenlerinin nerede olduğu; – seçeneklerin çarpımı; F– seçeneklerin sıklığı.

Geometrik ortalama, ortalama yıllık büyüme oranlarının hesaplanmasında kullanılır.

Ortalama kare. Ortalama kare formülü, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır. Bu nedenle, varyasyon göstergelerini hesaplarken, ortalama, bir özelliğin bireysel değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının karesinden hesaplanır.

Kök ortalama kare değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

Ekonomik araştırmalarda, değiştirilmiş ortalama kare, dağılım ve standart sapma gibi bir özelliğin varyasyon göstergelerinin hesaplanmasında yaygın olarak kullanılır.

Çoğunluk kuralı. Güç ortalamaları arasında aşağıdaki ilişki vardır; üs ne kadar büyük olursa, ortalamanın değeri de o kadar büyük olur, Tablo 5.4:

Tablo 5.4

Ortalamalar arasındaki ilişki

Bu ilişkiye çoğunluk kuralı denir.

Yapısal ortalamalar. Nüfusun yapısını karakterize etmek için yapısal ortalamalar olarak adlandırılabilecek özel göstergeler kullanılır. Bu göstergeler arasında mod, medyan, çeyrekler ve ondalıklar yer alır.

Moda. Mod (Mo), popülasyon birimleri arasında bir özelliğin en sık tekrarlanan değeridir. Mod, teorik dağılım eğrisinin maksimum noktasına karşılık gelen özelliğin değeridir.

Moda, ticari uygulamalarda tüketici talebini incelerken (geniş talep gören kıyafet ve ayakkabıların bedenlerini belirlerken) ve fiyatları kaydederken yaygın olarak kullanılmaktadır. Toplamda birkaç mod olabilir.

Ayrık bir seride modun hesaplanması. Ayrık bir seride mod, en yüksek frekansa sahip değişkendir. Ayrık bir seride bir mod bulmayı düşünelim.

Bir aralık serisinde modun hesaplanması. Bir aralık değişim serisinde mod, yaklaşık olarak modal aralığın merkezi değişkeni olarak kabul edilir; en yüksek frekansa (frekansa) sahip olan aralık. Aralık içinde mod olan özelliğin değerini bulmanız gerekir. Bir aralık serisi için mod aşağıdaki formülle belirlenecektir:

modal aralığın alt sınırı nerede; – modal aralığın değeri; – modal aralığa karşılık gelen frekans; – modal aralıktan önceki frekans; – modal olanı takip eden aralığın frekansı.

Medyan. Medyan (), sıralanan serinin orta biriminin niteliğinin değeridir. Sıralanmış seri, nitelik değerlerinin artan veya azalan sırada yazıldığı seridir. Veya medyan, sıralı bir varyasyon serisinin sayısını iki eşit parçaya bölen bir değerdir: bir parça, değişken özelliğin ortalama seçenekten daha küçük bir değerine sahipken, diğeri daha büyük bir değere sahiptir.

Medyanı bulmak için önce sıra numarasını belirleyin. Bunun için birim sayısı tek ise tüm frekansların toplamına bir eklenir ve her şey ikiye bölünür. Çift sayıda birimde medyan, seri numarası toplam frekans toplamının ikiye bölünmesiyle belirlenen bir birimin niteliğinin değeri olarak bulunur. Medyanın seri numarasını bilerek, biriken frekansları kullanarak değerini bulmak kolaydır.

Ayrık bir seride medyanın hesaplanması.Örneklem anketine göre ailelerin çocuk sayısına göre dağılımına ilişkin veriler elde edildi, tablo. 5.5. Medyanı belirlemek için önce sıra sayısını belirleriz

Bu ailelerde çocuk sayısı 2 yani = 2'dir. Yani ailelerin %50'sinde çocuk sayısı 2'yi geçmemektedir.

– medyan aralıktan önceki birikmiş frekans;

Bir yandan bu çok olumlu bir özellik çünkü bu durumda, incelenen nüfusun tüm birimlerini etkileyen tüm nedenlerin etkisi dikkate alınır. Öte yandan, orijinal verilere tesadüfen dahil edilen tek bir gözlem bile, incelenen popülasyonda (özellikle kısa serilerde) incelenen özelliğin gelişim düzeyi fikrini önemli ölçüde bozabilir.

Çeyrekler ve ondalıklar. Varyasyon serisindeki medyanı bulmaya benzer şekilde, sıralanan serinin herhangi bir birimi için bir özelliğin değerini bulabilirsiniz. Yani özellikle bir seriyi 4 eşit parçaya, 10'a vb. bölen birimlere ilişkin özelliğin değerini bulabilirsiniz.

Çeyrekler. Sıralanan seriyi dört eşit parçaya bölen seçeneklere çeyrekler denir.

Bu durumda, şunları ayırt ederler: alt (veya ilk) çeyrek (Q1) - sıralanmış serinin bir birimi için özelliğin değeri, nüfusu ¼ ila ¾ oranında böler ve üst (veya üçüncü) çeyrek ( S3) - sıralanmış serinin birimi için özelliğin değeri, popülasyonu ¾ ila ¼ oranında böler.

Q1 ve Q3'ü içeren aralıklar, biriken frekanslar (veya frekanslar) tarafından belirlenir.

Desil.Çeyreklere ek olarak, sıralanan seriyi 10 eşit parçaya bölen seçenekler olan ondalıklar da hesaplanır.

Bunlar D ile gösterilir, ilk ondalık D1 seriyi 1/10 ve 9/10, ikinci D2 - 2/10 ve 8/10 vb. oranında böler. Medyan ve çeyreklerle aynı şemaya göre hesaplanırlar.

Hem medyan, hem çeyrekler, hem de ondalıklar, sıralı serilerde belirli bir sıra yerini işgal eden bir seçenek olarak anlaşılan sıralı istatistiklere aittir.