Tür ve tür belirsizliği, limitleri çözerken açıklanması gereken en yaygın belirsizliklerdir.
Öğrencilerin karşılaştığı limit problemlerinin çoğu bu tür belirsizlikleri içermektedir. Bunları ortaya çıkarmak veya daha doğrusu belirsizliklerden kaçınmak için, sınır işareti altındaki ifade türünü dönüştürmek için çeşitli yapay teknikler vardır. Bu teknikler şu şekildedir: pay ve paydanın değişkenin en yüksek kuvvetine göre terim terim bölünmesi, eşlenik ifadeyle çarpma ve ikinci dereceden denklemlerin ve kısaltılmış çarpma formüllerinin çözümleri kullanılarak sonraki indirgeme için çarpanlara ayırma.
Tür belirsizliği
Örnek 1.
N 2'ye eşittir. Bu nedenle pay ve payda terimini terime göre bölüyoruz:
.
İfadenin sağ tarafına yorum yapın. Oklar ve sayılar, kesirlerin ikame sonrasında hangi eğilimde olduğunu gösterir N sonsuzluk anlamına gelir. Burada örnek 2'deki gibi derece N Paydada paydan daha fazlası vardır, bunun sonucunda tüm kesir sonsuz küçük veya "süper küçük" olma eğilimindedir.
Cevabını alıyoruz: sonsuza uzanan değişkenli bu fonksiyonun limiti eşittir.
Örnek 2. .
Çözüm. Burada değişkenin en yüksek gücü X 1'e eşittir. Bu nedenle pay ve payda terimini terime göre bölüyoruz. X:
.
Kararın ilerleyişi hakkında yorum. Payda “x”i üçüncü derecenin kökünün altına sürüyoruz ve orijinal derecesi (1) değişmeden kalması için ona kökle aynı dereceyi, yani 3’ü atayıyoruz. Ok veya ek sayı yok. bu girdide bunu zihinsel olarak deneyin, ancak önceki örneğe benzeterek, "x" yerine sonsuzluğu koyduktan sonra pay ve paydadaki ifadelerin neye eğilimli olduğunu belirleyin.
Cevabını aldık: Sonsuza eğilimli değişkeni olan bu fonksiyonun limiti sıfıra eşittir.
Tür belirsizliği
Örnek 3. Belirsizliği ortaya çıkarın ve sınırı bulun.
Çözüm. Pay küp farkıdır. Bunu okul matematik dersindeki kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak çarpanlara ayıralım:
Payda, ikinci dereceden bir denklem çözerek çarpanlara ayıracağımız ikinci dereceden bir üç terimli sayı içerir (bir kez daha ikinci dereceden denklemlerin çözümü için bir bağlantı):
Dönüşümler sonucunda elde edilen ifadeyi yazıp fonksiyonun limitini bulalım:
Örnek 4. Belirsizliğin kilidini açın ve sınırı bulun
Çözüm. Bölüm limit teoremi burada geçerli değildir, çünkü
Bu nedenle, kesri aynı şekilde dönüştürürüz: pay ve paydayı paydanın binom eşleniği ile çarparız ve şu şekilde azaltırız: X+1. Teorem 1'in sonucuna göre, istenen limiti bulduğumuz bir ifade elde ederiz:
Örnek 5. Belirsizliğin kilidini açın ve sınırı bulun
Çözüm. Doğrudan değer ikamesi X Belirli bir fonksiyonda = 0 olması, 0/0 formunun belirsizliğine yol açar. Bunu ortaya çıkarmak için aynı dönüşümleri gerçekleştiriyoruz ve sonuçta istenen limiti elde ediyoruz: 
Örnek 6. Hesaplamak 
Çözüm: Limitlerle ilgili teoremleri kullanalım
Cevap: 11
Örnek 7. Hesaplamak 
Çözüm: bu örnekte pay ve paydanın sınırları 0'a eşittir:
; 
. Bu nedenle bölümün limitine ilişkin teoremin uygulanamayacağını aldık.
Kesri sıfıra yaklaşan ortak bir faktörle azaltmak ve dolayısıyla Teorem 3'ün uygulanmasını mümkün kılmak için pay ve paydayı çarpanlara ayıralım.
Paydaki üç terimli kareyi aşağıdaki formülü kullanarak genişletelim; burada x 1 ve x 2, üç terimlinin kökleridir. Çarpanlara ayırdıktan ve paydayı aldıktan sonra kesri (x-2) azaltın, ardından Teorem 3'ü uygulayın.
Cevap:
Örnek 8. Hesaplamak
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde, Teorem 3'ü doğrudan uyguladığımızda, belirsizliği temsil eden ifadeyi elde ederiz. Bu tür belirsizlikten kurtulmak için pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölmelisiniz. Bu örnekte, şuna göre bölmeniz gerekir: X:
Cevap:
Örnek 9. Hesaplamak 
Çözüm: x 3:
Cevap: 2
Örnek 10. Hesaplamak 
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde. Pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölelim, yani. x 5:
= 
Kesirin payı 1'e, paydası 0'a yönelir, dolayısıyla kesir sonsuza gider.
Cevap:
Örnek 11. Hesaplamak
Çözüm: Pay ve payda sonsuza doğru gittiğinde. Pay ve paydayı argümanın en yüksek gücüne bölelim, yani. x 7:
Cevap: 0
Türev.
y = f(x) fonksiyonunun x argümanına göre türevi argümanın artışı sıfıra yaklaştığında, y artışının x argümanının x artışına oranının limiti denir: . Bu limit sonlu ise fonksiyon y = f(x) x noktasında türevlenebilir olduğu söylenir. Eğer bu sınır mevcutsa, o zaman fonksiyonun şöyle olduğunu söylerler: y = f(x) x noktasında sonsuz türevi vardır.
Temel temel fonksiyonların türevleri:
1. (sabit)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Farklılaşma kuralları:
A) 
V) 
Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun 
Çözüm:İkinci terimin türevi, kesirlerin farklılaşması kuralı kullanılarak bulunursa, o zaman ilk terim, türevi aşağıdaki formülle bulunan karmaşık bir fonksiyondur:
, Nerede 
, Daha sonra
Çözerken aşağıdaki formüller kullanıldı: 1,2,10,a,c,d.
Cevap:
Örnek 21. Bir fonksiyonun türevini bulun 
Çözüm: her iki terim de karmaşık fonksiyonlardır; birincisi için , ve ikincisi için , o zaman
Cevap: 
Türev uygulamalar.
1. Hız ve ivme
s(t) fonksiyonunun tanımlamasına izin verin konum t zamanında bir koordinat sistemindeki nesne. O halde s(t) fonksiyonunun birinci türevi anlıktır hız nesne:
v=s′=f′(t)
s(t) fonksiyonunun ikinci türevi anlık değeri temsil eder hızlanma nesne:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Teğet denklem
y−y0=f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) teğet noktasının koordinatlarıdır, f′(x0) f(x) fonksiyonunun teğet noktasındaki türevinin değeridir.
3. Normal denklem
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) normalin çizildiği noktanın koordinatlarıdır, f′(x0) f(x) fonksiyonunun bu noktadaki türevinin değeridir.
4. Arttırma ve azaltma fonksiyonu
Eğer f′(x0)>0 ise fonksiyon x0 noktasında artar. Aşağıdaki şekilde fonksiyon x kadar artmaktadır
Eğer f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Bir fonksiyonun yerel ekstremumu
f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: yerel maksimum x1 noktasında, x1 noktasının, bu komşuluktan gelen tüm x'ler için f(x1)≥f(x) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir komşuluğu varsa.
Benzer şekilde f(x) fonksiyonu da yerel minimum x2 noktasında, eğer x2 noktasının, bu komşuluktan gelen tüm x'ler için f(x2)≤f(x) eşitsizliğinin geçerli olduğu bir komşuluğu varsa.
6. Kritik noktalar
x0 noktası kritik nokta f(x) fonksiyonu, içindeki f′(x0) türevi sıfıra eşitse veya mevcut değilse.
7. Bir ekstremun varlığının ilk yeterli işareti
Eğer f(x) fonksiyonu tüm x için (a,x1] aralığında artar (f′(x)>0) ve azalırsa (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) aralığındaki tüm x'ler için)
