Dikkate değer limitlerin hesaplanması. Dikkate değer ilk sınır: teori ve örnekler

İkinci dikkate değer limitin formülü şöyledir: lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Başka bir yazma şekli şuna benzer: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

İkinci dikkat çekici limitten bahsederken, 1 ∞ formunun belirsizliğiyle uğraşmak zorundayız, yani. birim sonsuz derecededir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İkinci dikkate değer limiti hesaplama yeteneğinin faydalı olacağı problemleri ele alalım.

örnek 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 limitini bulun.

Çözüm

Gerekli formülü yerine koyalım ve hesaplamaları yapalım.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Cevabımız sonsuzluğun kuvvetinin bir olduğu ortaya çıktı. Çözüm yöntemini belirlemek için belirsizlik tablosunu kullanırız. Dikkate değer ikinci limiti seçip değişkenlerde değişiklik yapalım.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Eğer x → ∞ ise t → - ∞ olur.

Bakalım değişimden sonra ne elde ettik:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Cevap: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Örnek 2

Lim x → ∞ x - 1 x + 1 x limitini hesaplayın.

Çözüm

Sonsuzluğu yerine koyalım ve aşağıdakini elde edelim.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Cevapta yine önceki problemdekiyle aynı şeyi elde ettik, dolayısıyla ikinci dikkat çekici limiti tekrar kullanabiliriz. Daha sonra güç fonksiyonunun tabanındaki parçanın tamamını seçmemiz gerekiyor:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Bundan sonra limit aşağıdaki formu alır:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Değişkenleri değiştirin. Diyelim ki t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; eğer x → ∞ ise t → ∞.

Bundan sonra orijinal limitte ne elde ettiğimizi yazıyoruz:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Bu dönüşümü gerçekleştirmek için limitlerin ve kuvvetlerin temel özelliklerini kullandık.

Cevap: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Örnek 3

Lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 limitini hesaplayın.

Çözüm

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Daha sonra fonksiyonu ikinci büyük limiti uygulayacak şekilde dönüştürmemiz gerekiyor. Aşağıdakileri aldık:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Artık kesrin pay ve paydasında aynı üslere sahip olduğumuz için (altıya eşit), kesrin sonsuzdaki limiti bu katsayıların daha yüksek kuvvetlerdeki oranına eşit olacaktır.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2x2 + 2x3 + 2x2 - 1x3 + 2x2 - 1 - 2x2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2'yi değiştirerek ikinci bir dikkate değer limit elde ederiz. Ne demek:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Cevap: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

sonuçlar

Belirsizlik 1 ∞, yani. Sonsuz bir kuvvete birlik bir kuvvet yasası belirsizliğidir, bu nedenle üstel kuvvet fonksiyonlarının sınırlarını bulma kuralları kullanılarak ortaya çıkarılabilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Yukarıdaki makaleden sınırın ne olduğunu ve neyle yenildiğini öğrenebilirsiniz - bu ÇOK önemlidir. Neden? Determinantların ne olduğunu anlayamayabilir ve başarılı bir şekilde çözemeyebilirsiniz; türevin ne olduğunu hiç anlayamayabilir ve bunları “A” ile bulabilirsiniz. Ancak sınırın ne olduğunu anlamıyorsanız pratik görevleri çözmek zor olacaktır. Ayrıca örnek çözümlere ve tasarım önerilerime aşina olmanız da iyi bir fikir olacaktır. Tüm bilgiler basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır.

Ve bu dersin amaçları doğrultusunda aşağıdaki öğretim materyallerine ihtiyacımız olacak: Harika Sınırlar Ve Trigonometrik formüller. Sayfada bulunabilirler. Kılavuzların çıktısını almak en iyisidir; çok daha kullanışlıdır ve ayrıca bunlara sıklıkla çevrimdışı olarak başvurmanız gerekecektir.

Olağanüstü sınırları bu kadar özel kılan ne? Bu sınırların dikkat çekici yanı, ünlü matematikçilerin en büyük beyinleri tarafından kanıtlanmış olmaları ve minnettar torunların, bir yığın trigonometrik fonksiyon, logaritma ve kuvvetle ilgili korkunç sınırlardan muzdarip olmak zorunda olmamasıdır. Yani limitleri bulurken teorik olarak kanıtlanmış hazır sonuçları kullanacağız.

Birkaç harika sınır vardır, ancak pratikte vakaların %95'inde yarı zamanlı öğrencilerin iki harika sınırı vardır: İlk harika sınır, İkinci harika sınır. Bunların tarihsel olarak belirlenmiş isimler olduğunu ve örneğin "ilk dikkate değer sınır"dan bahsettiklerinde bununla tavandan alınan rastgele bir sınırı değil, çok spesifik bir şeyi kastettiklerini belirtmek gerekir.

İlk harika sınır

Aşağıdaki sınırı göz önünde bulundurun: (yerel harf “o” yerine Yunanca “alfa” harfini kullanacağım, bu materyalin sunumu açısından daha uygundur).

Limit bulma kuralımıza göre (bkz. makale Sınırlar. Çözüm örnekleri) fonksiyona sıfır koymaya çalışırız: payda sıfır elde ederiz (sıfırın sinüsü sıfırdır) ve paydada da açıkça sıfır vardır. Bu nedenle, neyse ki açıklanması gerekmeyen bir biçim belirsizliğiyle karşı karşıyayız. Matematiksel analiz sırasında aşağıdakiler kanıtlanmıştır:

Bu matematiksel gerçeğe denir İlk harika sınır. Limitin analitik kanıtını vermeyeceğim ama geometrik anlamına derste bakacağız. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Çoğu zaman pratik görevlerde işlevler farklı şekilde düzenlenebilir, bu hiçbir şeyi değiştirmez:

- aynı ilk harika sınır.

Ancak pay ve paydayı kendiniz yeniden düzenleyemezsiniz! Eğer formda bir limit verilmişse, hiçbir şeyi yeniden düzenlemeden aynı formda çözülmesi gerekir.

Pratikte sadece bir değişken değil, aynı zamanda bir temel fonksiyon veya karmaşık bir fonksiyon da parametre olarak hareket edebilir. Sadece sıfıra yönelmesi önemlidir.

Örnekler:
, , ,

Burada , , , ve her şey yolunda - ilk harika sınır geçerlidir.

Ancak aşağıdaki girdi sapkınlıktır:

Neden? Polinom sıfıra yönelmediği için beşe yönelir.

Bu arada kısa bir soru: Limit nedir? ? Cevabı dersin sonunda bulabilirsiniz.

Pratikte her şey o kadar düzgün değildir; neredeyse hiçbir zaman bir öğrenciye ücretsiz bir limit çözmesi ve kolay bir geçiş yapması teklif edilmez. Hmmm... Bu satırları yazıyorum ve aklıma çok önemli bir fikir geldi - sonuçta, "özgür" matematiksel tanımları ve formülleri ezbere hatırlamak daha iyidir, bu, soru ne zaman sorulacaksa testte paha biçilmez bir yardım sağlayabilir. “iki” ile “üç” arasında karar verilir ve öğretmen öğrenciye basit bir soru sormaya veya basit bir örneği çözmeyi teklif etmeye karar verir (“belki o(lar) hala neyi biliyordur?!”).

Pratik örnekleri ele almaya devam edelim:

örnek 1

Sınırı bulun

Limitte bir sinüs fark edersek, bu bizi hemen ilk dikkate değer limiti uygulama olasılığı hakkında düşünmeye sevk etmelidir.

Öncelikle limit işaretinin altındaki ifadeye 0'ı koymaya çalışıyoruz (bunu zihinsel olarak veya taslak halinde yapıyoruz):

Yani formda bir belirsizlik var mutlaka belirtin bir karar verirken. Limit işaretinin altındaki ifade ilk harika limite benzer ama bu tam olarak o değil, sinüsün altında ama paydada.

Böyle durumlarda ilk dikkat çeken limiti yapay bir teknik kullanarak kendimiz düzenlememiz gerekiyor. Akıl yürütme şu şekilde olabilir: "sahip olduğumuz sinüsün altında, bu da demek oluyor ki paydaya da girmemiz gerekiyor."
Ve bu çok basit bir şekilde yapılır:

Yani bu durumda payda yapay olarak 7 ile çarpılır ve aynı yediye bölünür. Artık kaydımız tanıdık bir şekil aldı.
Görev elle çizildiğinde, ilk dikkate değer sınırın basit bir kalemle işaretlenmesi tavsiye edilir:

Ne oldu? Aslında daire içine alınmış ifademiz eserde bir birime dönüşerek yok oldu:

Şimdi geriye kalan tek şey üç katlı kesirden kurtulmak:

Çok seviyeli kesirlerin basitleştirilmesini kim unuttu, lütfen referans kitabındaki materyali yenileyin Okul matematik dersi için sıcak formüller .

Hazır. Son cevap:

Kurşun kalemle işaret kullanmak istemiyorsanız çözüm şu şekilde yazılabilir:

“

İlk harika limiti kullanalım

“

Örnek 2

Sınırı bulun

Limitte yine bir kesir ve bir sinüs görüyoruz. Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Aslında belirsizlik var ve bu nedenle ilk harika sınırı düzenlemeye çalışmamız gerekiyor. Derste Sınırlar. Çözüm örnekleri Belirsizliğimiz olduğunda pay ve paydayı çarpanlara ayırmamız gerektiği kuralını dikkate aldık. Burada da aynısı var, dereceleri çarpım (çarpan) olarak temsil edeceğiz:

Önceki örneğe benzer şekilde, dikkat çekici sınırların çevresine bir kalem çiziyoruz (burada bunlardan iki tane var) ve birlik eğiliminde olduklarını belirtiyoruz:

Aslında cevap hazır:

Aşağıdaki örneklerde Paint'te sanat yapmayacağım, bir defterde bir çözümün nasıl doğru bir şekilde çizileceğini düşünüyorum - zaten anlıyorsunuz.

Örnek 3

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadeye sıfır koyarız:

Açıklanması gereken bir belirsizlik elde edildi. Limitte bir teğet varsa, o zaman hemen hemen her zaman iyi bilinen trigonometrik formül kullanılarak sinüs ve kosinüse dönüştürülür (bu arada, kotanjant ile yaklaşık olarak aynı şeyi yaparlar, metodolojik materyale bakın) Sıcak trigonometrik formüller Sayfada Matematiksel formüller, tablolar ve referans materyalleri).

Bu durumda:

Sıfırın kosinüsü bire eşittir ve bundan kurtulmak kolaydır (bire eğilimli olduğunu işaretlemeyi unutmayın):

Bu nedenle, eğer kosinüs limitte bir ÇARPAN ise, o zaman kabaca konuşursak, üründe kaybolan bir birime dönüştürülmesi gerekir.

Burada her şey çarpma ve bölme olmadan daha basit hale geldi. Çarpımda dikkat çeken ilk limit de bire dönüşerek yok oluyor:

Sonuç olarak sonsuzluk elde edilir ve bu olur.

Örnek 4

Sınırı bulun

Pay ve paydanın yerine sıfır koymayı deneyelim:

Belirsizlik elde edilir (hatırladığımız gibi sıfırın kosinüsü bire eşittir)

Trigonometrik formülü kullanıyoruz. Not alın! Bazı nedenlerden dolayı bu formülün kullanıldığı sınırlamalar çok yaygındır.

Sabit faktörleri sınır simgesinin ötesine taşıyalım:

İlk harika sınırı düzenleyelim:

Burada dikkat çekici tek bir limitimiz var, o da üründe bire dönüşüyor ve yok oluyor:

Üç katlı yapıdan kurtulalım:

Limit aslında çözüldü, kalan sinüsün sıfıra doğru yöneldiğini belirtiyoruz:

Örnek 5

Sınırı bulun

Bu örnek daha karmaşıktır, kendiniz çözmeye çalışın:

Bazı limitler, bir değişken değiştirilerek 1. dikkat çekici limite indirilebilir, bunu makalenin biraz ilerisinde okuyabilirsiniz. Sınırları çözme yöntemleri.

İkinci harika sınır

Matematiksel analiz teorisinde şu kanıtlanmıştır:

Bu gerçeğe denir ikinci harika sınır.

Referans: irrasyonel bir sayıdır.

Parametre sadece bir değişken değil aynı zamanda karmaşık bir fonksiyon da olabilir. Önemli olan sonsuzluk için çabalamasıdır.

Örnek 6

Sınırı bulun

Limit işaretinin altındaki ifadenin derece olması, ikinci harika limiti uygulamaya çalışmanız gerektiğinin ilk işaretidir.

Ama önce, her zaman olduğu gibi, ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışıyoruz, bunun nasıl yapıldığına dair prensip derste tartışılıyor. Sınırlar. Çözüm örnekleri.

Bunu fark etmek kolaydır derecenin tabanı ve üs ise yani formda belirsizlik var:

Bu belirsizlik ikinci dikkat çekici limitin yardımıyla tam olarak ortaya çıkıyor. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, ikinci harika sınır gümüş bir tabakta yatmıyor ve yapay olarak düzenlenmesi gerekiyor. Şu şekilde mantık yürütebilirsiniz: Bu örnekte parametre dır, bu da göstergede de düzenleme yapmamız gerektiği anlamına gelir. Bunu yapmak için tabanı kuvvete yükseltiyoruz ve ifadenin değişmemesi için kuvvete yükseltiyoruz:

Görev elle tamamlandığında kalemle işaretliyoruz:

Hemen hemen her şey hazır, korkunç derece güzel bir mektuba dönüştü:

Bu durumda limit simgesinin kendisini göstergeye taşıyoruz:

Örnek 7

Sınırı bulun

Dikkat! Bu tür limitlere çok sık rastlanır, lütfen bu örneği çok dikkatli inceleyin.

Limit işaretinin altındaki ifadeye sonsuz büyük bir sayı koymaya çalışalım:

Sonuç belirsizliktir. Ancak ikinci dikkate değer sınır, biçimin belirsizliğiyle ilgilidir. Ne yapalım? Derecenin tabanını dönüştürmemiz gerekiyor. Şöyle mantık yürütüyoruz: paydada , yani payda da düzenleme yapmamız gerekiyor.

Kanıt:

İlk önce dizinin durumu için teoremi kanıtlayalım

Newton'un binom formülüne göre:

Aldığımızı varsayarsak

Bu eşitlikten (1), n ​​arttıkça sağ taraftaki pozitif terimlerin sayısının arttığı sonucu çıkar. Ayrıca n arttıkça sayı azalacağından değerler Artıyor. Bu nedenle sıra artan ve (2)*sınırlı olduğunu gösteriyoruz. Eşitliğin sağ tarafındaki her parantezi bir ile değiştirin, sağ taraf artacak ve eşitsizliği elde edeceğiz

Ortaya çıkan eşitsizliği güçlendirelim, kesirlerin paydalarındaki 3,4,5, ... yerine 2 sayısını koyalım: Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü kullanarak parantez içindeki toplamı buluyoruz: Öyleyse (3)*

Yani dizi yukarıdan sınırlanmıştır ve (2) ve (3) eşitsizlikleri sağlanmıştır: Bu nedenle Weierstrass teoremine (bir dizinin yakınsaklık kriteri) dayanarak dizi monoton olarak artar ve sınırlıdır, yani e harfiyle gösterilen bir limiti vardır. Onlar.

İkinci dikkat çekici limitin x'in doğal değerleri için doğru olduğunu bilerek, reel x için ikinci dikkat çekici limiti kanıtlıyoruz, yani şunu kanıtlıyoruz: . İki durumu ele alalım:

1. X'in her değeri iki pozitif tamsayı arasına alınsın: burada x'in tamsayı kısmıdır. => =>

Eğer , o zaman Bu nedenle, limite göre Sahibiz

Limitlerin varlığına ilişkin kritere (bir ara fonksiyonun limiti hakkında) dayanarak

2. Let . Değiştirmeyi − x = t yapalım, o zaman

Bu iki durumdan şu sonuç çıkıyor gerçek x için.

Sonuçlar:

9 .) Sonsuz küçüklerin karşılaştırılması. Sonsuz küçüklerin limitteki eşdeğerleriyle değiştirilmesine ilişkin teorem ve sonsuz küçüklerin ana kısmına ilişkin teorem.

Fonksiyonlar a( X) ve B( X) – b.m. en X ® X 0 .

TANIMLAR.

1 A( X) isminde bundan sonsuz derecede daha yüksek dereceli B (X) Eğer

Şunu yazın: a( X) = o(b( X)) .

2)bir( X) Ve B( X)arandı aynı mertebeden sonsuz küçükler, Eğer

nerede CÎℝ ve C¹ 0 .

Şunu yazın: a( X) = Ö(B( X)) .

3 A( X) Ve B( X) arandı eş değer , Eğer

Şunu yazın: a( X) ~ b( X).

4)bir( X) k mertebesinden göreceli sonsuz küçük denir
kesinlikle sonsuz küçük B( X), eğer sonsuz küçükse A( X)Ve(B( X))k aynı sıraya sahip, yani Eğer

nerede CÎℝ ve C¹ 0 .

TEOREM 6 (sonsuz küçüklerin eşdeğer olanlarla değiştirilmesi üzerine).

İzin vermek A( X), B( X), bir 1 ( X), b1 ( X)– b.m. x'te ® X 0 . Eğer A( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X),

O

Kanıt: a( X) ~ a 1 ( X), B( X) ~ b 1 ( X), Daha sonra

TEOREM 7 (sonsuz küçüğün ana kısmı hakkında).

İzin vermek A( X)Ve B( X)– b.m. x'te ® X 0 , Ve B( X)– b.m. bundan daha yüksek sıra A( X).

= , a beri b( X) – a(’dan daha yüksek sıra) X), o zaman, yani. itibaren açıktır ki bir ( X) + b( X) ~ bir( X)

10) Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği (epsilon-delta dilinde, geometrik sınırlar) Tek taraflı süreklilik. Bir aralıkta, bir segmentte süreklilik. Sürekli fonksiyonların özellikleri.

1. Temel tanımlar

İzin vermek F(X) noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır X 0 .

TANIM 1. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 eşitlik doğruysa

Notlar.

1) Teorem 5 §3'e göre eşitlik (1) şu şekilde yazılabilir:

Durum (2) – tek taraflı limitler dilinde bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinin tanımı.

2) Eşitlik (1) şu şekilde de yazılabilir:

Şöyle diyorlar: “Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli ise X 0 ise limitin ve fonksiyonun işareti yer değiştirebilir."

TANIM 2 (e-d dilinde).

Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 Eğer"e>0 $d>0 çok, Ne

eğer xОU( X 0 , d) (yani | X – X 0 | < d),

sonra f(X)ÎU( F(X 0), e) (yani | F(X) – F(X 0) | < e).

İzin vermek X, X 0 Î D(F) (X 0 – sabit, X - keyfi)

belirtelim :D X= x – x 0 – argüman artışı

D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – x noktasında fonksiyonun arttırılması 0

TANIM 3 (geometrik).

Fonksiyon f(X) Açık isminde bir noktada sürekli X 0 eğer bu noktada argümandaki sonsuz küçük bir artış, fonksiyondaki sonsuz küçük bir artışa karşılık geliyorsa, yani

Fonksiyona izin ver F(X) aralıkta tanımlanır [ X 0 ; X 0 + d) (aralığında ( X 0 – d; X 0 ]).

TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir noktada sürekli X 0 sağda (sol ), eşitlik doğruysa

Açıkça görülüyor ki F(X) noktasında süreklidir X 0 Û F(X) noktasında süreklidir X 0 sağa ve sola.

TANIM. Fonksiyon f(X) isminde bir aralık boyunca sürekli e ( A; B) eğer bu aralığın her noktasında sürekli ise.

Fonksiyon f(X) segmentte sürekli olarak adlandırılır [A; B] aralıkta sürekli ise (A; B) ve sınır noktalarında tek yönlü sürekliliğe sahiptir(yani noktada sürekli A sağda, bu noktada B- sol).

11) Kırılma noktaları, sınıflandırılması

TANIM. Eğer fonksiyon f(X) x noktasının bazı komşuluklarında tanımlı 0 , ancak bu noktada sürekli değildir, o zaman F(X) x noktasında süreksiz denir 0 , ve konunun kendisi X 0 kırılma noktası denir işlevler f(X) .

Notlar.

1) F(X) noktanın tamamlanmamış bir komşuluğunda tanımlanabilir X 0 .

Daha sonra fonksiyonun karşılık gelen tek yönlü sürekliliğini düşünün.

2) Þ noktasının tanımından X 0 fonksiyonun kırılma noktasıdır F(X) iki durumda:

a) U( X 0 , d)О D(F) , ama için F(X) eşitlik geçerli değildir

b) U * ( X 0 , d)О D(F) .

Temel fonksiyonlar için yalnızca b) durumu mümkündür.

İzin vermek X 0 – fonksiyon kırılma noktası F(X) .

TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası BEN bir nevi eğer fonksiyon f(X)bu noktada solda ve sağda sonlu limitler var.

Bu sınırlar eşitse x noktası 0 isminde çıkarılabilir kırılma noktası , aksi takdirde - atlama noktası .

TANIM. x noktası 0 isminde kırılma noktası II bir nevi f fonksiyonunun tek taraflı limitlerinden en az biri ise(X)bu noktada eşit¥ veya mevcut değil.

12) Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri (Weierstrass teoremleri (kanıtsız) ve Cauchy

Weierstrass teoremi

f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli olsun, o zaman

1)f(x) şununla sınırlıdır

2) f(x) aralıktaki en küçük ve en büyük değerini alır

Tanım: Herhangi bir x€ D(f) için m≤f(x) ise m=f fonksiyonunun değerine en küçük değer denir.

Herhangi bir x € D(f) için m≥f(x) ise m=f fonksiyonunun değerinin en büyük olduğu söylenir.

Fonksiyon, segmentin çeşitli noktalarında en küçük/en büyük değeri alabilir.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchy'nin teoremi.

f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekli olsun ve x, f(a) ile f(b) arasında bulunan sayı olsun, o zaman f(x 0)= g olacak şekilde en az bir x 0 noktası vardır.

Şimdi sakin bir ruhla düşünmeye devam edelim. harika sınırlar.
benziyor.

X değişkeni yerine çeşitli fonksiyonlar mevcut olabilir, asıl mesele bunların 0'a yönelmesidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Gördüğünüz gibi bu sınır ilk harika sınıra çok benziyor ancak bu tamamen doğru değil. Genel olarak, sınırda bir günah olduğunu fark ederseniz, o zaman ilk dikkate değer sınırı kullanmanın mümkün olup olmadığını hemen düşünmelisiniz.

1 numaralı kuralımıza göre x yerine sıfır koyarız:

Belirsizlik yaşıyoruz.

Şimdi ilk harika sınırı kendimiz düzenlemeye çalışalım. Bunu yapmak için basit bir kombinasyon yapalım:

Bu yüzden pay ve paydayı 7x'i vurgulayacak şekilde düzenliyoruz. Artık tanıdık dikkate değer sınır zaten ortaya çıktı. Karar verirken vurgulamanız önerilir:

Çözümü ilk dikkat çekici örneğin yerine koyalım ve şunu elde edelim:

Kesirin sadeleştirilmesi:

Cevap: 7/3.

Gördüğünüz gibi her şey çok basit.

Öyle görünüyor burada e = 2,718281828... irrasyonel bir sayıdır.

X değişkeni yerine çeşitli işlevler mevcut olabilir, asıl önemli olan bunların eğilimidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Burada limit işareti altında bir derecenin varlığını görüyoruz, bu da ikinci bir dikkat çekici limitin kullanılmasının mümkün olduğu anlamına geliyor.

Her zaman olduğu gibi, 1 numaralı kuralı kullanacağız: yerine x'i kullanacağız:

X noktasında derecenin tabanının ve üssün 4x > olduğu görülebilir, yani. formun belirsizliğini elde ederiz:

Belirsizliğimizi ortaya çıkarmak için ikinci harika sınırı kullanalım ama önce onu düzenlememiz gerekiyor. Gördüğünüz gibi, ifadenin değişmemesi için tabanını 3x'in gücüne ve aynı zamanda 1/3x'in gücüne yükselttiğimiz göstergede varlık elde etmemiz gerekiyor:

Harika sınırımızı vurgulamayı unutmayın:

Gerçekten böyleler harika sınırlar!
Hala sorularınız varsa birinci ve ikinci harika sınırlar, ardından yorumlarda onlara sormaya çekinmeyin.
Herkese mümkün olduğunca cevap vereceğiz.

Bu konuda bir öğretmenle de çalışabilirsiniz.
Şehrinizde nitelikli bir öğretmen seçme hizmetlerini size sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Ortaklarımız sizin için uygun şartlarda iyi bir öğretmeni hızlı bir şekilde seçecektir.

Yeterli bilgi yok? - Yapabilirsiniz !

Matematik hesaplamalarını not defterlerine yazabilirsiniz. Logolu not defterlerine (http://www.blocnot.ru) tek tek yazmak çok daha keyifli.

Bu madde: “İkinci Dikkate Değer Sınır”, şeklin belirsizlikleri çerçevesinde açıklamaya ayrılmıştır:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ ve $ ^\infty $.

Ayrıca üstel fonksiyonun logaritması kullanılarak bu tür belirsizlikler ortaya çıkarılabilir ancak bu, başka bir makalede ele alınacak başka bir çözüm yöntemidir.

Formül ve sonuçları

Formül ikinci dikkat çekici limit şu şekilde yazılır: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( Where ) e \approx 2,718 $$

Formülden şu çıkıyor sonuçlar limitli örnekleri çözmek için kullanımı çok uygundur: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( burada ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

İkinci dikkat çekici limitin her zaman üstel bir fonksiyona uygulanamayacağını, yalnızca tabanın birliğe eğilimli olduğu durumlarda uygulanabileceğini belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için önce tabanın sınırını zihinsel olarak hesaplayın ve ardından sonuçlar çıkarın. Bütün bunlar örnek çözümlerde tartışılacaktır.

Çözüm örnekleri

Doğrudan formülü ve sonuçlarını kullanan çözüm örneklerine bakalım. Formülün gerekli olmadığı durumları da analiz edeceğiz. Sadece hazır bir cevabı yazmanız yeterlidir.

Sorunun ikinci dikkat çekici limite benzer olduğu ancak bu olmadan çözülebileceği durumlara bakalım.

“İkinci Dikkate Değer Limit: Çözüm Örnekleri” başlıklı makalede formül, sonuçları incelenmiş ve bu konudaki yaygın problem türleri verilmiştir.