Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplamalar

Bu derste yaygın bir soruna bakacağız diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık olarak hesaplanması. Burada ve daha sonra birinci dereceden diferansiyellerden bahsedeceğiz; kısaca söylemek gerekirse, genellikle basitçe "diferansiyel" diyeceğim. Diferansiyelleri kullanarak yaklaşık hesaplamalar probleminin katı bir çözüm algoritması vardır ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk ortaya çıkmamalıdır. Tek şey, temizlenecek küçük tuzakların da olmasıdır. Bu yüzden balıklama dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca sayfa, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını bulmaya yönelik formüller içerir. Diğer problemlerde hataların hesaplanması gerektiğinden materyal çok faydalıdır. Fizikçiler, alkışlarınız nerede? =)

Örneklere başarılı bir şekilde hakim olmak için, fonksiyonların türevlerini en azından orta düzeyde bulabilmelisiniz, bu nedenle türev alma konusunda tam bir bilginiz yoksa lütfen dersle başlayın. Türevi nasıl bulunur? Ayrıca makaleyi okumanızı tavsiye ederim Türevlerle ilgili en basit problemler yani paragraflar bir noktadaki türevi bulma hakkında Ve noktadaki farkı bulma. Teknik açıdan, çeşitli matematiksel işlevlere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak. Excel'i kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az kullanışlıdır.

Çalıştay iki bölümden oluşuyor:

– Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanarak yaklaşık hesaplamalar.

– İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

Kimin neye ihtiyacı var? Aslında ikinci noktanın çok değişkenli fonksiyonların uygulamalarıyla ilgili olması nedeniyle serveti iki yığına bölmek mümkündü. Ama ne yapayım, uzun yazıları seviyorum.

Yaklaşık hesaplamalar
tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanma

Söz konusu görev ve geometrik anlamı, Türev nedir? dersinde zaten ele alınmıştır. ve şimdi kendimizi örneklerin resmi olarak değerlendirilmesiyle sınırlayacağız, bu da onları nasıl çözeceğimizi öğrenmek için oldukça yeterli.

İlk paragrafta tek değişkenli fonksiyon kuralları yer alıyor. Herkesin bildiği gibi veya ile gösterilir. Bu görev için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Hemen pratikte sıklıkla karşılaşılan popüler bir örneğe geçelim:

Örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama için çalışma formülünü not defterinize kopyalayın:

Hadi anlamaya başlayalım, burada her şey basit!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşula göre, sayının küp kökünün hesaplanması önerilmektedir: , böylece karşılık gelen fonksiyon şu şekilde olur: . Yaklaşık değeri bulmak için formülü kullanmamız gerekir.

Hadi bakalım sol taraf formüller ve 67 sayısının formda temsil edilmesi gerektiği düşüncesi akla geliyor. Bunu yapmanın en kolay yolu nedir? Aşağıdaki algoritmayı öneriyorum: bu değeri bir hesap makinesinde hesaplayın:
– kuyruklu 4 olduğu ortaya çıktı, bu çözüm için önemli bir kılavuzdur.

Kalite olarak “iyi” bir değer seçiyoruz, böylece kök tamamen kaldırılır. Doğal olarak bu değer şu şekilde olmalıdır: mümkün olduğu kadar yakın 67'ye kadar. Bu durumda: . Gerçekten mi: .

Not: Seçimde hala zorluk yaşanıyorsa hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmını (bu durumda 4) alın ve onu gerekli güce (bu durumda) yükseltin. Sonuç olarak gerekli seçim yapılacaktır: .

Eğer ise, argümanın artışı: .

Yani 67 sayısı toplam olarak temsil edilir

Öncelikle fonksiyonun noktadaki değerini hesaplayalım. Aslında bu daha önce de yapılmıştı:

Bir noktadaki diferansiyel aşağıdaki formülle bulunur:
- Ayrıca not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden birinci türevi almanız gerektiği anlaşılmaktadır:

Ve değerini şu noktada bulun:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, değere oldukça yakındır. , bir mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeli ile değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir cevap. Yeni başlayanlar için öncelikle mikro hesap makinesinde tam değeri hesaplayarak hangi sayının hangi sayı olarak alındığını bulmanızı öneririm. Bu örnekte negatif olacağına dikkat edilmelidir.

Bazıları, her şey bir hesap makinesinde daha sakin ve daha doğru bir şekilde hesaplanabiliyorsa, bu göreve neden ihtiyaç duyulduğunu merak etmiş olabilir? Katılıyorum, görev aptalca ve safça. Ama bunu biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak görev diferansiyel fonksiyonun anlamını göstermektedir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi, modern zamanlarda kişisel helikoptere benzer bir şeydi. 1985-86'da yerel bir politeknik enstitüsünden oda büyüklüğünde bir bilgisayarın nasıl atıldığını kendim gördüm (şehrin her yerinden radyo amatörleri tornavidalarla koşarak geldiler ve birkaç saat sonra geriye sadece kasa kaldı) birim). Fizik ve matematik bölümümüzde de, boyutları daha küçük olmasına rağmen masa büyüklüğünde antikalar vardı. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle bu şekilde mücadele etti. At arabası da ulaşımdır.

Öyle ya da böyle, sorun yüksek matematiğin standart dersinde kalıyor ve çözülmesi gerekecek. Sorunun asıl cevabı bu =)

Örnek 3

noktada. Mikro hesap makinesi kullanarak bir noktadaki fonksiyonun daha doğru değerini hesaplayın, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını değerlendirin.

Aslında aynı görev kolaylıkla şu şekilde yeniden formüle edilebilir: “Yaklaşık değeri hesapla bir diferansiyel kullanarak"

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:
Bu durumda hazır bir fonksiyon zaten verilmiştir: . Kullanımının daha rahat olduğu gerçeğine bir kez daha dikkatinizi çekmek isterim.

Değer formda sunulmalıdır. Eh, burada daha kolay, 1,97 sayısının “iki”ye çok yakın olduğunu görüyoruz, yani kendini belli ediyor. Ve bu nedenle: .

Formül kullanma , aynı noktadaki farkı hesaplayalım.

İlk türevi buluyoruz:

Ve bu noktada değeri:

Böylece, noktadaki diferansiyel:

Sonuç olarak formüle göre:

Görevin ikinci kısmı hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını bulmaktır.

Hesaplamaların mutlak ve bağıl hatası

Mutlak hesaplama hatası aşağıdaki formülle bulunur:

Modül işareti, hangi değerin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu umursamadığımızı gösterir. Önemli, ne kadar uzakta yaklaşık sonuç, kesin değerden şu veya bu yönde saptı.

Bağıl hesaplama hatası aşağıdaki formülle bulunur:
, veya aynı şey:

Göreceli hata gösterir yüzde kaç yaklaşık sonuç kesin değerden saptı. Formülün %100 ile çarpmayan bir versiyonu da var ama pratikte neredeyse her zaman yukarıdaki versiyonu yüzdelerle görüyorum.

Kısa bir referanstan sonra fonksiyonun yaklaşık değerini hesapladığımız problemimize dönelim. bir diferansiyel kullanarak.

Bir mikro hesap makinesi kullanarak fonksiyonun tam değerini hesaplayalım:
Kesin olarak konuşursak, değer hala yaklaşıktır, ancak bunun doğru olduğunu kabul edeceğiz. Bu tür sorunlar yaşanıyor.

Mutlak hatayı hesaplayalım:

Göreceli hatayı hesaplayalım:
yüzde binde biri elde edildi, dolayısıyla diferansiyel mükemmel bir yaklaşım sağladı.

Cevap: , mutlak hesaplama hatası, bağıl hesaplama hatası

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki örnek:

Örnek 4

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın noktada. Belirli bir noktada fonksiyonun daha doğru bir değerini hesaplayın, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını tahmin edin.

Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir cevap.

Pek çok kişi, ele alınan tüm örneklerde köklerin bulunduğunu fark etmiştir. Bu tesadüf değildir; çoğu durumda, söz konusu problem aslında kökleri olan işlevler sunmaktadır.

Ancak sıkıntı çeken okuyucular için arcsine ile küçük bir örnek buldum:

Örnek 5

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın bu noktada

Bu kısa ama bilgilendirici örnek aynı zamanda kendi başınıza çözmeniz içindir. Ve yenilenmiş bir güçle özel görevi düşünebilmem için biraz dinlendim:

Örnek 6

Sonucu iki ondalık basamağa yuvarlayan bir diferansiyel kullanarak yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm: Görevdeki yenilikler neler? Bu koşul, sonucun iki ondalık basamağa yuvarlanmasını gerektirir. Ama mesele bu değil; bence okuldan dönme sorunu senin için zor değil. Gerçek şu ki bize bir teğet veriliyor derece cinsinden ifade edilen bir argümanla. Dereceli bir trigonometrik fonksiyonu çözmeniz istendiğinde ne yapmalısınız? Örneğin, vb.

Çözüm algoritması temelde aynıdır, yani önceki örneklerde olduğu gibi formülün uygulanması gerekir.

Açık bir fonksiyon yazalım

Değer formda sunulmalıdır. Ciddi yardım sağlayacak trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosu. Bu arada, çıktısını almamış olanlar için bunu yapmanızı tavsiye ederim, çünkü yüksek matematik eğitiminin tamamı boyunca oraya bakmak zorunda kalacaksınız.

Tabloyu analiz ettiğimizde 47 dereceye yakın “iyi” bir teğet değeri görüyoruz:

Böylece:

Ön analiz sonrasında dereceler radyana dönüştürülmelidir. Evet ve yalnızca bu şekilde!

Bu örnekte doğrudan trigonometrik tablodan öğrenebilirsiniz. Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanma: (formüller aynı tabloda bulunabilir).

Aşağıdakiler formülseldir:

Böylece: (değeri hesaplamalar için kullanırız). Sonuç, koşulun gerektirdiği şekilde iki ondalık basamağa yuvarlanır.

Cevap:

Örnek 7

Yaklaşık olarak bir diferansiyel kullanarak hesaplayın, sonucu üç ondalık basamağa yuvarlayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok, dereceleri radyana dönüştürüyoruz ve olağan çözüm algoritmasına bağlı kalıyoruz.

Yaklaşık hesaplamalar
iki değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyelini kullanma

Her şey çok ama çok benzer olacak, bu nedenle bu sayfaya özellikle bu görev için geldiyseniz, önce önceki paragrafın en az birkaç örneğine bakmanızı öneririm.

Bir paragrafı incelemek için bulmanız gerekir ikinci dereceden kısmi türevler, onlar olmasaydı biz nerede olurduk? Yukarıdaki derste iki değişkenli bir fonksiyonu harfini kullanarak gösterdim. Göz önünde bulundurulan görevle ilgili olarak eşdeğer gösterimin kullanılması daha uygundur.

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, problemin durumu da farklı şekillerde formüle edilebilir ve karşılaşılan tüm formülasyonları dikkate almaya çalışacağım.

Örnek 8

Çözüm: Koşul nasıl yazılırsa yazılsın, çözümün kendisinde işlevi belirtmek için tekrar ediyorum, "z" harfini değil, harfini kullanmak daha iyidir.

Ve işte çalışma formülü:

Karşımızda olan aslında bir önceki paragraftaki formülün ablasıdır. Değişken yalnızca arttı. Kendi adıma ne diyebilirim çözüm algoritması temelde aynı olacaktır!

Koşula göre fonksiyonun noktadaki yaklaşık değerinin bulunması gerekmektedir.

3,04 sayısını şu şekilde temsil edelim. Çöreğin kendisi yenmeyi ister:
,

3,95 sayısını olarak temsil edelim. Sıra Kolobok'un ikinci yarısına geldi:
,

Ve tilkinin tüm numaralarına bakmayın, bir Kolobok var - onu yemeniz gerekiyor.

Fonksiyonun değerini şu noktada hesaplayalım:

Bir fonksiyonun bir noktadaki diferansiyelini aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Formülden bulmamız gerektiği anlaşılıyor kısmi türevler birinci dereceden ve noktadaki değerlerini hesaplayın.

Bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri hesaplayalım:

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla formüle göre fonksiyonun şu noktadaki yaklaşık değeri:

Fonksiyonun tam değerini şu noktada hesaplayalım:

Bu değer kesinlikle doğrudur.

Hatalar, bu makalede daha önce tartışılan standart formüller kullanılarak hesaplanır.

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Cevap:, mutlak hata: , bağıl hata:

Örnek 9

Bir fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplayın Toplam diferansiyel kullanarak bir noktada mutlak ve bağıl hatayı tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu örnek üzerinde daha ayrıntılı olarak duran kişi, hesaplama hatalarının çok ama çok belirgin olduğunu fark edecektir. Bunun nedeni şuydu: önerilen problemde argümanların artışları oldukça büyük: . Genel kalıp şudur: Mutlak değerdeki bu artışlar ne kadar büyük olursa, hesaplamaların doğruluğu da o kadar düşük olur. Yani örneğin benzer bir nokta için artışlar küçük olacak ve yaklaşık hesaplamaların doğruluğu çok yüksek olacaktır.

Bu özellik aynı zamanda tek değişkenli bir fonksiyon için de geçerlidir (dersin ilk kısmı).

Örnek 10

Çözüm: İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak bu ifadeyi yaklaşık olarak hesaplayalım:

Örnek 8-9'dan farkı, öncelikle iki değişkenli bir fonksiyon oluşturmamız gerekmesidir: . Sanırım herkes fonksiyonun nasıl oluşturulduğunu sezgisel olarak anlıyor.

4,9973 değeri “beş”e yakındır, dolayısıyla: , .
0,9919 değeri “bir”e yakındır, dolayısıyla şunu varsayıyoruz: , .

Fonksiyonun değerini şu noktada hesaplayalım:

Aşağıdaki formülü kullanarak bir noktadaki farkı buluruz:

Bunu yapmak için noktadaki birinci dereceden kısmi türevleri hesaplıyoruz.

Buradaki türevler en basitleri değildir ve dikkatli olmalısınız:

;

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla bu ifadenin yaklaşık değeri şöyledir:

Mikro hesap makinesi kullanarak daha doğru bir değer hesaplayalım: 2,998899527

Göreceli hesaplama hatasını bulalım:

Cevap: ,

Yukarıdakilerin sadece bir örneği, ele alınan problemde argümanların artışları çok küçük ve hatanın inanılmaz derecede küçük olduğu ortaya çıktı.

Örnek 11

İki değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyelini kullanarak bu ifadenin değerini yaklaşık olarak hesaplayın. Aynı ifadeyi bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplayın. Göreceli hesaplama hatasını yüzde olarak tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu tür görevlerde en yaygın konuk bir tür köklerdir. Ancak zaman zaman başka işlevler de vardır. Ve rahatlamak için son ve basit bir örnek:

Örnek 12

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak, fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm sayfanın alt kısmına daha yakındır. Bir kez daha ders görevlerinin ifadelerine dikkat edin; pratikteki farklı örneklerde ifadeler farklı olabilir ancak bu, çözümün özünü ve algoritmasını temelden değiştirmez.

Doğrusunu söylemek gerekirse materyal biraz sıkıcı olduğundan biraz yoruldum. Bunu makalenin başında söylemek pedagojik değildi ama artık mümkün =) Aslında hesaplamalı matematikteki problemler genellikle çok karmaşık değil, çok ilginç de değil, belki de en önemli şey hata yapmamaktır. sıradan hesaplamalarda.

Hesap makinenizin tuşları silinmesin!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Böylece:
Cevap:

Örnek 4: Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Fonksiyon artışının yaklaşık değeri

Yeterince küçük değerler için fonksiyonun artışı yaklaşık olarak diferansiyeline eşittir; Dy » dy ve dolayısıyla

Örnek 2. X argümanı x 0 =3 değerinden x 1 =3,01 değerine değiştiğinde y= fonksiyonunun artışının yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Formül (2.3)'ü kullanalım. Bunu yapmak için hesaplayalım

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, o zaman

Du » .

Bir fonksiyonun bir noktadaki yaklaşık değeri

y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki artış tanımına uygun olarak, Dx (Dx®0) argümanı artırıldığında Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) ve formül (3.3) yazılabilir

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Formül (3.4)'ün özel durumları şu ifadelerdir:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3,4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4v)

tgDx » Dx (3,4g)

Burada daha önce olduğu gibi Dx®0 olduğu varsayılmaktadır.

Örnek 3. x 1 =2,02 noktasında f(x) = (3x -5) 5 fonksiyonunun yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Hesaplamalar için formül (3.4) kullanıyoruz. x 1'i x 1 = x 0 + Dx olarak temsil edelim. O halde x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Örnek 4.(1.01) 5 , , ln(1.02), ln'yi hesaplayın.

Çözüm

1. (3.4a) formülünü kullanalım. Bunu yapmak için (1.01) 5'i (1+0.01) 5 biçiminde hayal edelim.

Daha sonra Dx = 0,01, n = 5 varsayarsak, şunu elde ederiz:

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. (3.4a)'ya göre 1/6'yı (1 - 0.006) formunda sunarak şunu elde ederiz:

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02) dikkate alınarak ve Dx=0.02 varsayılarak (3.4b) formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Aynı şekilde

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Fonksiyon artışlarının yaklaşık değerlerini bulun

155. x argümanı x 0 = 2'den x 1 = 2,001'e değiştiğinde y = 2x 3 + 5

156. y = 3x 2 + 5x + 1, x 0 = 3 ve Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 ile x 0 = 2 ve Dx = 0,01

158. x 0 = 10 ve Dx = 0,01'de y = ln x

159. x 0 = 3 ve Dx = 0,01'de y = x 2 - 2x

Fonksiyonların yaklaşık değerlerini bulun

160. y = 2x 2 - x + 1, x 1 = 2,01 noktasında

161. y = x 2 + 3x + 1, x 1 = 3,02'de

162.y= x 1 = 1,1 noktasında

163. y= x 1 noktasında = 3,032

164. y = x 1 noktasında = 3,97

165. x 1 = 0,015 noktasında y = sin 2x

Yaklaşık olarak hesapla

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0,98 182.ln 183.ln(e 2 ×0,97)

Fonksiyon araştırması ve grafik oluşturma

Bir fonksiyonun monotonluğunun işaretleri

Teorem 1 (bir fonksiyonun artması (azalması) için gerekli koşul) . Türevlenebilir fonksiyon y = f(x), xО(a; b) (a; b) aralığında artar (azalır), o zaman herhangi bir x 0 О(a; b) için.

Teorem 2 (bir fonksiyonun artması (azalması) için yeterli koşul) . Eğer y = f(x), xО(a; b) fonksiyonunun (a; b) aralığının her noktasında pozitif (negatif) bir türevi varsa, o zaman bu fonksiyon bu aralıkta artar (azalır).

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Tanım 1. Bir x 0 noktasına, x 0 noktasının herhangi bir d-komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) eşitsizliği sağlanıyorsa, y = f(x) fonksiyonunun maksimum (minimum) noktası denir.< f(x 0) (f(x) >x ¹ x 0 için f(x 0)) .

Teorem 3 (Fermat) (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul) . Eğer x 0 noktası y = f(x) fonksiyonunun ekstrem noktası ise ve bu noktada bir türev varsa, o zaman

Teorem 4 (bir ekstremumun varlığı için ilk yeterli koşul) . y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasının bazı d-komşuluklarında türevlenebilir olmasına izin verin. Daha sonra:

1) eğer türev, x 0 noktasından geçerken işaretini (+)'dan (-)'ye değiştirirse, o zaman x 0 maksimum noktadır;

2) eğer türev, x 0 noktasından geçerken işaretini (-)'den (+)'ya değiştirirse, o zaman x 0 minimum noktadır;

3) Eğer türev x 0 noktasından geçerken işaret değiştirmiyorsa, o zaman x 0 noktasında fonksiyonun bir ekstremumu yoktur.

Tanım 2. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. Birinci türden kritik noktalar.

birinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanımının tanım kümesini bulun.

3. Birinci türden kritik noktaları bulun.

4. Kritik noktaları y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanım kümesine yerleştirin ve kritik noktaların fonksiyonun tanım tanım kümesini böldüğü aralıklardaki türevin işaretini belirleyin.

5. Fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını seçin ve bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.

Örnek 1. Bir ekstremum için y = x 3 - 3x 2 fonksiyonunu inceleyin.

Çözüm. Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonun ekstremumunu bulma algoritmasına uygun olarak elimizde:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - birinci türden kritik noktalar.

x = 0 noktasından geçerken türev

işareti (+)'dan (-)'ye değiştirir, dolayısıyla bu bir noktadır

Maksimum. x = 2 noktasından geçerken işaret (-)'den (+)'ya değişir, dolayısıyla burası minimum noktadır.

5. ymaks = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimum koordinatlar (0; 0).

y dk = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Minimum koordinatlar (2; -4).

Teorem 5 (bir ekstremun varlığı için ikinci yeterli koşul) . Eğer y = f(x) fonksiyonu tanımlıysa ve x 0 ve noktasının bazı komşuluklarında iki kez türevlenebilirse, o zaman x 0 noktasında f(x) fonksiyonunun bir maksimum if'i ve bir minimum if'i vardır.

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma

ikinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanımının tanım kümesini bulun.

2. Birinci türevi hesaplayın

Yaygın sorunu düşünün diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık olarak hesaplanması.

Burada ve daha sonra birinci dereceden diferansiyellerden bahsedeceğiz; kısaca söylemek gerekirse, genellikle basitçe "diferansiyel" diyeceğiz. Diferansiyelleri kullanarak yaklaşık hesaplamalar probleminin katı bir çözüm algoritması vardır ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk ortaya çıkmamalıdır. Tek şey, temizlenecek küçük tuzakların da olmasıdır. Bu yüzden balıklama dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca bu bölümde hesaplamaların mutlak ve bağıl hatalarını bulmaya yönelik formüller de yer almaktadır. Diğer problemlerde hataların hesaplanması gerektiğinden materyal çok faydalıdır.

Örneklerde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için, fonksiyonların türevlerini en azından orta düzeyde bulmanız gerekir; bu nedenle, türev alma konusunda tam bir bilginiz yoksa, lütfen şununla başlayın: bir noktanın türevini bulma ve ile noktadaki farkı bulma. Teknik açıdan, çeşitli matematiksel işlevlere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak. MS Excel'in yeteneklerini kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az kullanışlıdır.

Ders iki bölümden oluşuyor:

– Bir değişkenin bir fonksiyonunun bir noktadaki diferansiyel değerini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

– Bir noktadaki iki değişkenli bir fonksiyonun değerinin toplam diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

Söz konusu görev diferansiyel kavramı ile yakından ilgilidir, ancak türevlerin ve diferansiyellerin anlamı hakkında henüz bir dersimiz olmadığı için kendimizi örneklerin resmi olarak ele alınmasıyla sınırlayacağız; bu, nasıl çözüleceğini öğrenmek için oldukça yeterlidir. onlara.

Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar

İlk paragrafta tek değişkenli fonksiyon kuralları yer alıyor. Herkesin bildiği gibi, şu şekilde gösterilir: sen veya aracılığıyla F(X). Bu görev için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Hemen pratikte sıklıkla karşılaşılan popüler bir örneğe geçelim:

Örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık bir hesaplama yapmak için çalışma formülünü not defterinize kopyalayın:

Hadi anlamaya başlayalım, burada her şey basit!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşula göre, sayının küp kökünün hesaplanması önerilmektedir: , böylece karşılık gelen fonksiyon şu şekilde olur: .

Yaklaşık değeri bulmak için formülü kullanmamız gerekir.

– kuyruklu 4 olduğu ortaya çıktı, bu çözüm için önemli bir kılavuzdur.

Gibi X 0 “iyi” bir değer seçin, böylece kök tamamen kaldırılır. Doğal olarak bu anlam X 0 olmalı mümkün olduğu kadar yakın 67'ye.

Bu durumda X 0 = 64. Aslında .

Not: Seçim yapıldığındaX 0 hala bir zorluk var, sadece hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmını (bu durumda 4) alın ve gerekli güce yükseltin (bu durumda ). Sonuç olarak istenilen seçim yapılacaktır. X 0 = 64.

Eğer X 0 = 64, ardından bağımsız değişkenin artışı: .

Yani 67 sayısı toplam olarak temsil edilir

İlk önce fonksiyonun o noktadaki değerini hesaplıyoruz. X 0 = 64. Aslında bu daha önce zaten yapılmıştı:

Bir noktadaki diferansiyel aşağıdaki formülle bulunur:

– Bu formülü not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden birinci türevi almanız gerektiği anlaşılmaktadır:

Ve değerini o noktada bulun X 0:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanan 4,06154810045 değerine oldukça yakındır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeli ile değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir cevap. Yeni başlayanlar için, hangi sayının alınacağını bulmak için önce bir mikro hesap makinesinde tam değeri hesaplamanızı öneririm. X 0 ve hangisi – Δ için X. Şunu belirtmek gerekir ki Δ X bu örnekte negatif olacaktır.

Bazıları, her şey bir hesap makinesinde daha sakin ve daha doğru bir şekilde hesaplanabiliyorsa, bu göreve neden ihtiyaç duyulduğunu merak etmiş olabilir? Katılıyorum, görev aptalca ve safça. Ama bunu biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak görev diferansiyel fonksiyonun anlamını göstermektedir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi, modern zamanlarda kişisel helikoptere benzer bir şeydi. 1985-86'da enstitülerden birinden oda büyüklüğünde bir bilgisayarın nasıl atıldığını kendim gördüm (radyo amatörleri şehrin her yerinden tornavidalarla koşarak geldiler ve birkaç saat sonra üniteden sadece kasa kaldı) ). Fizik bölümümüzde de antikalar vardı ama boyutları daha küçüktü, masa büyüklüğündeydi. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle bu şekilde mücadele etti. At arabası da ulaşımdır.

Öyle ya da böyle, sorun yüksek matematiğin standart dersinde kalıyor ve çözülmesi gerekecek. Bu sorunuzun ana cevabı =).

Örnek 3

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın bu noktada X= 1,97. Bir noktada daha doğru bir fonksiyon değeri hesaplayın X= 1,97 Bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını tahmin edin.

Aslında bu görev kolaylıkla şu şekilde yeniden formüle edilebilir: "Yaklaşık değeri hesapla bir diferansiyel kullanarak"

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:

Bu durumda hazır bir fonksiyon zaten verilmiştir: . Bir kez daha dikkatinizi, bir işlevi belirtmek için "oyun" yerine kullanmanın daha uygun olduğuna çekmek isterim. F(X).

Anlam X= 1,97 şeklinde temsil edilmelidir X 0 = Δ X. Eh, burada daha kolay, 1,97 sayısının “iki”ye çok yakın olduğunu görüyoruz, yani kendini gösteriyor X 0 = 2. Ve dolayısıyla: .

Fonksiyonun değerini bu noktada hesaplayalım. X 0 = 2:

Formül kullanma , aynı noktadaki farkı hesaplayalım.

İlk türevi buluyoruz:

Ve bu noktada anlamı X 0 = 2:

Böylece, noktadaki diferansiyel:

Sonuç olarak formüle göre:

Görevin ikinci kısmı hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını bulmaktır.

1. Fonksiyon artışının yaklaşık değerinin hesaplanması

Örnek. Bir fonksiyonun diferansiyel kavramını kullanarak fonksiyondaki değişimi yaklaşık olarak hesaplayın argüman 5'ten 5.01'e değiştiğinde.

Fonksiyonun diferansiyelini bulalım . Değerleri yerine koyalım X 0 = 5,D X= 0,01. Aldık

2. Fonksiyonun yaklaşık değerinin hesaplanması

Örnek. 1,998 5 diferansiyelini kullanarak yaklaşık bir değer hesaplayın.

Buradaki işlevi düşünün X= 1,998. Hadi parçalayalım X Açık X 0 ve D X (X = X 0+Gün X), izin vermek X 0 = 2, sonra D X = - 0,002.

Değeri bulalım , ,

Sonra 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

Yüksek mertebeden türevler ve diferansiyeller

f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıkta türevi olsun. Daha sonra bunun türevini alarak birinci türevi elde ederiz.

f¢(x) fonksiyonunun türevini bulursak, şunu elde ederiz: ikinci türev f(x) fonksiyonları.

onlar. y¢¢ = (y¢)¢ veya .

Diferansiyel hesabın temel teoremleri

1. Rolle teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekliyse, (a, b) aralığında türevlenebilirse ve fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerleri f(a) = f(b)'ye eşitse, o zaman (a, b) aralığında en az bir c noktası vardır ( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Rol teoreminin geometrik anlamı. Rolle teoreminin geometrik anlamı şudur: Eğer teoremin koşulları (a, b) aralığında karşılanırsa, y = f(x) eğrisinin karşılık gelen noktasında teğet şuna paralel olacak şekilde bir c noktası vardır: Öküz ekseni. Bir aralıkta böyle birkaç nokta olabilir, ancak teorem böyle en az bir noktanın varlığını belirtir.

Aralığın en az bir noktasında [ A; B] fonksiyonu türevlenebilir değilse fonksiyonun türevi f(x) sıfıra inmeyebilir. Örneğin, fonksiyon sen=1-½ X½ [-1; +1], nokta hariç (-1;+1)'de türevlenebilir X 0 = 0 ve F(-1) = F(1) = 0, yani Rolle teoreminin koşulu tek bir noktada ihlal ediliyor X 0 = 0 (fonksiyon içinde farklılaşmamıştır). Fonksiyonun grafiğinin hiçbir noktasında [-1; 1] grafiğe teğet 0 eksenine paralel değil X.

Rolle teoreminin birkaç tane var sonuçlar :

1) Eğer fonksiyon f(x) segmentte [ a, b] Rolle teoremini karşılar ve f(a) = f(b) = 0, o zaman en az bir nokta var s, bir< с < b öyle ki f¢(c) = 0. Onlar. Bir fonksiyonun iki sıfırı arasında fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu en az bir nokta vardır.

2) Eğer dikkate alınan aralıkta ise ( a, b) işlev f(x) bir türevi vardır ( N-1)'inci sıra ve Nçarpı sıfırlanırsa, aralıkta türevin () olduğu en az bir nokta vardır. N–1)'inci derece sıfıra eşittir.

2. Lagrange teoremi. Eğer f(x) fonksiyonu bir aralıkta sürekliyse ve (a, b) aralığında türevlenebilirse, o zaman bu aralıkta en az bir c noktası (a) vardır.< c < b), такая, что .

Bu, teoremin koşulları belirli bir aralıkta karşılanırsa, fonksiyonun artışının bu aralıktaki argümanın artışına oranının bir ara noktadaki türevin değerine eşit olduğu anlamına gelir.

Yukarıda tartışılan Rolle teoremi, Lagrange teoreminin özel bir durumudur.

İfade denir Lagrange'ın sonlu artış formülü.

Lagrange teoreminin geometrik anlamı.

Lagrange teoreminin koşulları karşılansın, o zaman Lagrange'ın sonlu artış formülü geçerlidir.

Bırakın puanlar A Ve B Grafikte yer alan fonksiyonların koordinatları vardır A (A; F(A)), B (B; F(B))), o zaman kesirin değerinin akorun eğim açısının tanjantına eşit olduğu açıktır. AB O eksenine X, yani .

Diğer tarafta, F "(C) = tga. Yani bu noktada X= C bir fonksiyonun grafiğine teğet sen= f(x) eğrinin yayına uzanan kirişe paralel AB. Lagrange teoreminin geometrik anlamı budur.

3. Cauchy teoremi. Eğer işlevler f(x) Ve g(x) segmentte sürekli ve aralıkta türevlenebilir (a, b) ve g¢(x) ¹ 0 Bu aralığın hiçbir noktasında en az bir nokta vardır c(a)< c < b), eşitlik geçerli olacak şekilde:

Onlar. Belirli bir segmentteki fonksiyonların artışlarının oranı, o noktadaki türevlerin oranına eşittir. İle.

Cauchy teoreminin geometrik anlamı.

Cauchy teoreminin geometrik anlamının Lagrange teoreminin geometrik anlamı ile örtüştüğünü doğrulamak kolaydır.

Bir yandan diferansiyelin hesaplanması, artışın hesaplanmasından çok daha basittir; diğer yandan, dy≈∆y ve bu durumda izin verilen hata, ∆x azaltılarak keyfi olarak küçük yapılabilir. Bu koşullar çoğu durumda ∆y'nin dy değeriyle değiştirilmesini mümkün kılar. Yaklaşık dy≈∆y eşitliğinden, ∆y = f(x) – f(x 0) ve dy=f'(x 0)(x-x 0) dikkate alınarak f(x) ≈ f( elde edilir. x 0) + f'(x 0)(x – x 0), burada x-x 0 = ∆x.
Örnek. Hesaplamak.
Çözüm. Fonksiyonu alarak elimizde: . x 0 =16 varsayarsak (kök çıkarılacak şekilde kendimizi seçeriz), ∆x = 0,02, elde ederiz.

Örnek. f(x) = e x fonksiyonunun x=0,1 noktasındaki değerini hesaplayın.
Çözüm. x 0 için 0 sayısını alırız, yani x 0 =0, sonra ∆x=x-x 0 =0,1 ve e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Tabloya göre e 0,1 ≈1,1052. Hata küçüktü.
Diferansiyelin bir önemli özelliğine daha dikkat edelim. dy=f’(x)dx diferansiyelini bulma formülü şu durumda doğrudur: X bağımsız bir değişkendir ve bu durumda X– yeni bir değişkenin işlevi T. Bir diferansiyelin bu özelliğine, formunun değişmezlik özelliği denir. Örneğin, y=tg(x) fonksiyonu için diferansiyel şu şekilde yazılacaktır: olup olmadığına bakılmaksızın X bağımsız değişken veya fonksiyon. Durumunda X– fonksiyon özel olarak belirtilirse, örneğin x=t 2 , daha sonra dy hesaplamasına devam edilebilir, bunun için dx=2tdt'yi buluruz ve bunu daha önce elde edilen dy ifadesine koyarız:
.
Formül (2) yerine değişmez olmayan formül (1)'i kullansaydık, o zaman x'in bir fonksiyon olması durumunda, dy hesaplamasına benzer şekilde devam edemezdik, çünkü ∆x genel olarak konuşursak, denk gelmek dx.