Sayısal bir argümanın trigon ifadesini değerlendirin. "Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları" dersi

“Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları” video dersi, konuyu sınıfta açıklarken netlik sağlayacak görsel materyal sağlar. Gösterim sırasında trigonometrik fonksiyonların değerini bir sayıdan oluşturma ilkesi dikkate alınır, trigonometrik fonksiyonların değerlerinin bir sayıdan nasıl hesaplanacağını öğreten birkaç örnek açıklanır. Bu kılavuzun yardımıyla ilgili problemleri çözme becerilerini geliştirmek ve materyali ezberlemek daha kolaydır. Kılavuzun kullanılması dersin etkililiğini artırır ve öğrenme hedeflerine hızla ulaşılmasına yardımcı olur.

Dersin başında konunun başlığı gösterilir. Daha sonra görev, bazı sayısal argümanlara karşılık gelen kosinüsü bulmaktır. Bu sorunun basit bir şekilde çözülebileceği ve bunun açıkça ortaya konabileceği belirtilmektedir. Ekranda merkezi orijinde olan bir birim çember görüntülenir. Çemberin apsis ekseninin pozitif yarı ekseni ile kesişme noktasının A(1;0) noktasında bulunduğuna dikkat edilmelidir. t=π/3 argümanını temsil eden M noktasının bir örneği verilmiştir. Bu nokta birim çember üzerinde işaretlenir ve buradan apsis eksenine dik bir nokta iner. Noktanın bulunan apsisi maliyetin kosinüsüdür. Bu durumda noktanın apsisi x=1/2 olacaktır. Bu nedenle cos t=1/2.

Ele alınan gerçekleri özetlersek, s=cos t fonksiyonu hakkında konuşmanın anlamlı olduğu belirtilmektedir. Öğrencilerin bu fonksiyona ilişkin zaten bir miktar bilgiye sahip oldukları belirtilmektedir. Bazı kosinüs değerleri hesaplanır: cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Ayrıca s=sin t, s=tg t, s=ctg t fonksiyonları da bu fonksiyonla ilgilidir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar için ortak bir isme sahip oldukları belirtilmektedir.

Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili problemlerin çözümünde kullanılan önemli ilişkiler gösterilmiştir: ana özdeşlik sin 2 t+ cos 2 t=1, teğet ve kotanjantın sinüs ve kosinüs yoluyla ifadesi t=sin t/cos t, burada t≠π/ kϵZ için 2+πk, ctg t= cos t/sin t, burada kϵZ için t≠πk ve ayrıca teğetin kotanjanta oranı tg t·ctg t=1 burada kϵZ için t≠πk/2.

Daha sonra, kϵZ için t≠π/2+πk ile 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t ilişkisinin kanıtını düşünmeyi öneriyoruz. Özdeşliği kanıtlamak için, tg 2 t'yi sinüs ve kosinüs oranı şeklinde temsil etmek ve ardından sol taraftaki terimleri ortak bir paydaya getirmek gerekir: 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak payda 1'i, yani son ifade olan 1/cos 2 t'yi elde ederiz. Q.E.D.

1+ cot 2 t=1/sin 2 t özdeşliği benzer şekilde kanıtlanır, kϵZ için t≠πk için. Önceki ispatta olduğu gibi, kotanjantın yerine kosinüs ve sinüsün karşılık gelen oranı konulur ve sol taraftaki her iki terim de ortak paydaya indirgenir 1+ cot 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. Pay'a temel trigonometrik özdeşliği uyguladıktan sonra 1/sin 2 t elde ederiz. Bu istenen ifadedir.

Edinilen bilginin uygulandığı örneklerin çözümü dikkate alınır. İlk görevde sint=4/5 sayısının sinüsü biliniyorsa ve t π/2 aralığına aitse maliyet, tgt, ctgt değerlerini bulmanız gerekir.< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Daha sonra, tgt = -8/15 tanjantının bilindiği ve argümanın 3π/2 değerleriyle sınırlı olduğu benzer bir problemin çözümünü ele alıyoruz.

Sinüs değerini bulmak için tanjant tgt=sint/maliyet tanımını kullanırız. Buradan sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17'yi buluruz. Kotanjantın tanjantın ters fonksiyonu olduğunu bilerek ctgt=1/(-8/15)=-15/8'i buluruz.

Okuldaki matematik dersinin etkinliğini artırmak için “Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları” video dersi kullanılır. Uzaktan eğitim sırasında bu materyal, bir sayının trigonometrik fonksiyonlarını içeren problemlerin çözümünde becerilerin geliştirilmesi için görsel bir yardım olarak kullanılabilir. Bu becerilerin kazanılması için öğrenciye görsel materyali bağımsız olarak incelemesi önerilebilir.

METİN KOD ÇÖZME:

Dersin konusu “Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları.”

Herhangi bir t gerçek sayısı, benzersiz bir şekilde tanımlanmış bir maliyet t sayısıyla ilişkilendirilebilir. Bunu yapmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1) sayı dairesini, dairenin merkezi koordinatların orijini ile çakışacak ve dairenin başlangıç ​​noktası A (1;0) noktasına düşecek şekilde koordinat düzlemine konumlandırın;

2) daire üzerinde t sayısına karşılık gelen bir nokta bulun;

3) Bu noktanın apsisini bulun. Bu maliyet.

Bu nedenle, t'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu s = cos t (es eşittir kosinüs te) fonksiyonundan bahsedeceğiz. Bu işlev hakkında zaten bir fikrimiz var:

• bazı değerleri hesaplamayı öğrendim, örneğin cos 0=1, cos = 0, cos =, vb. (sıfırın kosinüsü bire eşittir, pi'nin kosinüsü ikidir sıfıra eşittir, pi'nin kosinüsü üçtür) yarısına eşit vb.).
• ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri birbiriyle ilişkili olduğundan üç fonksiyon hakkında daha fikir sahibi olduk: s = sint; s=tgt; s=ctgt. (es eşittir sinüs te, es eşittir teğet te, es eşittir kotanjant te)

Tüm bu fonksiyonlara sayısal argüman t'nin trigonometrik fonksiyonları denir.

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarından bazı ilişkiler şöyledir:

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinüs kare te artı kosinüs kare te eşittir bir)

2)tgt = t ≠ + πk için, kϵZ (teğet te, sinüs te'nin kosinüs te'ye oranına eşittir; te, pi'ye iki artı pi ka eşit değildir, ka, zet'e aittir)

3)ctgt = t ≠ πk için, kϵZ (te pi ka'ya eşit olmadığında kotanjant te kosinüs te'nin sinüs te'ye oranına eşittir, ka zet'e aittir).

4) tgt ∙ ctgt = 1 için t ≠ , kϵZ (te, ka tepe noktasına eşit olmadığında teğet te'nin kotanjant te ile çarpımı bire eşittir, ikiye bölünür, ka zet'e aittir)

İki önemli formülü daha kanıtlayalım:

Örneklere bakalım.

ÖRNEK 1. Sint = ise maliyeti, tgt, ctgt'yi bulun ve< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Çözüm. İlk ilişkiden kosinüs kare te'nin bir eksi sinüs kare te'ye eşit olduğunu buluyoruz: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Bu şu anlama gelir: cos 2 t = 1 -() 2 = (kosinüs kare te eşittir dokuz yirmi beşte), yani maliyet = (kosinüs te beşte üçe eşittir) veya maliyet = - (kosinüs te eşittir eksi beşte üç). Koşullu olarak, t argümanı ikinci çeyreğe aittir ve bunun maliyeti t'dir.< 0 (косинус тэ отрицательный).

Bu, kosinüs te'nin eksi beşte üçe eşit olduğu anlamına gelir, maliyet = -.

Teğet te'yi hesaplayalım:

tgt = = ׃ (-)= - ;(teğet te sinüs te'nin kosinüs te'ye oranına eşittir ve bu nedenle beşte dördü eksi beşte üçe ve eksi üçte dörde eşittir)

Buna göre, (te sayısının kotanjantını, te kotanjantı te kosinüsünün te sinüsüne oranına eşit olduğundan) ctgt = = - olarak hesaplıyoruz.

(kotanjant te eksi dörtte üçe eşittir).

Cevap: maliyet = - , tgt= - ; ctgt = - . (çözdükçe cevabı dolduruyoruz)

ÖRNEK 2. tgt = - ve olduğu bilinmektedir.< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Çözüm. Bu ilişkiyi kullanalım, değeri bu formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

1 + (-) 2 = (kosinüs kare te başına bir, bir ile kare eksi sekiz on beşin toplamına eşittir). Buradan cos 2 t ='yi buluyoruz

(kosinüs kare te eşittir iki yüz yirmi beş iki yüz seksen dokuzda). Bu, maliyet = (kosinüs te on beş on yedidedir) veya

maliyet = . Koşul gereği, t argümanı dördüncü çeyreğe aittir ve maliyet>0'dır. Bu nedenle maliyet = .(cosenus te on beş on yediye eşittir)

Sinüs te argümanının değerini bulalım. İlişkiden (t ≠ + πk, kϵZ için tgt = ilişkisini gösterin) sinüs te, teğet te ve kosinüs te'nin çarpımına eşit olduğundan, bu durumda te..tanjant te argümanının değerini değiştirmek eksi on beşte sekize eşittir .. koşula göre ve kosinüs te eşittir daha önce çözülmüşse, şunu elde ederiz:

sint = tgt ∙ maliyet = (-) ∙ = - , (sinüs te eksi on yedinciye eşittir)

ctgt = = - . (kotanjant te, tanjantın tersi olduğundan, bu da kotanjant te'nin eksi on beşe eşit olduğu anlamına gelir)

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonu, tanımı, kimlikleri"

Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:
1. Sayısal bir argümanın tanımı.
2. Temel formüller.
3. Trigonometrik özdeşlikler.
4. Bağımsız çözüm için örnekler ve görevler.

Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonunun tanımı

Temel formülleri hatırlayalım:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Bu arada bu formülün adı nedir?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ ile.
$t≠πk$ için $ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$.

Yeni formüller türetelim.

Trigonometrik kimlikler

Şimdi kimliğin her iki tarafını da $sin^2(t)$'a bölelim.
Şunu elde ederiz: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2(t))$.
Haydi şunu dönüştürelim: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t))).$
Hatırlamaya değer yeni bir kimliğe kavuşuyoruz:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$ için.

İki yeni formül elde etmeyi başardık. Onları hatırla.
Bu formüller, bir trigonometrik fonksiyonun bilinen bir değerinden başka bir fonksiyonun değerinin hesaplanması gerekiyorsa kullanılır.

Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarına ilişkin örnekleri çözme

$cos(t) =\frac(5)(7)$, $sin(t)$'ı bulun; $tg(t)$; $ctg(t)$ tüm t'ler için.

Çözüm:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
O halde $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Örnek 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, $sin(t)$'ı bulun; $cos(t)$; $ctg(t)$, tümü için 0$

Çözüm:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Sonra $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Bunu elde ederiz: $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
O halde $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, ancak $0 İlk çeyrekteki kosinüs pozitiftir. Sonra $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Şunu elde ederiz: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar