Paralel çizgiler. Paralel projeksiyon özellikleri aşağıdakileri içerir: iki paralel çizginin izdüşümleri birbirine paraleldir. Eğer (Şekil 78) AB düz çizgisi CD düz çizgisine paralelse, o zaman çıkıntı yapan düzlemler? Ve? birbirine paraleldir ve bu düzlemler π 0 projeksiyon düzlemi ile kesiştiğinde birbirine paralel A 0 B 0 ve C 0 D 0 projeksiyonları elde edilir.
Ancak A 0 B 0 || C 0 D 0 (Şekil 78), A 0 B 0 ve C 0 D 0'un projeksiyon olduğu çizgiler birbirine paralel olmayabilir: örneğin, AB çizgisi C 1 D 1 çizgisine paralel değildir.
Paralel projeksiyonun belirtilen özelliklerinden şu sonucu çıkar: Paralel çizgilerin yatay çıkıntıları birbirine paralel, önden çıkıntıları birbirine paralel ve profil çıkıntıları birbirine paraleldir..
Bunun tersi sonuç doğru mudur, yani çizimde aynı adı taşıyan izdüşümleri çiftler halinde paralelse uzaydaki iki çizgi paralel olacak mı?
Evet, eğer üç projeksiyon düzlemi π 1, π 2 ve π 3'ün her birinde paralel projeksiyonlar verilmişse. Ancak birbirine paralel çizgilerin izdüşümleri yalnızca iki izdüşüm düzleminde veriliyorsa, uzaydaki çizgilerin paralelliği her zaman genel konumdaki düz çizgiler için doğrulanır ve izdüşüm düzlemlerinden birine paralel çizgiler için doğrulanmayabilir.
Şekil 2'de bir örnek verilmiştir. 79. AB ve CD profil çizgileri A "B", A "B" ve CD", C "D" çıkıntıları tarafından birbirine paralel olarak verilse de, düz çizgilerin kendisi paralel değildir - bu şuradan görülebilir: verilen çıkıntılara göre inşa edilen profil çıkıntılarının göreceli konumu.
Bu yüzden, soru, verilen düz çizgilerin paralel olduğu projeksiyon düzlemindeki düz çizgi projeksiyonları kullanılarak çözüldü.
Şek. Şekil 80, üçüncü bir çıkıntı oluşturmaya başvurmadan AB ve CD profil çizgilerinin birbirine paralel olmadığını belirlemenin mümkün olduğu bir durumu göstermektedir: harf işaretlerinin değişimine dikkat etmek yeterlidir.
Belirli bir A noktasından belirli bir LM düz çizgisine paralel bir çizgi çizilmesi gerekiyorsa, o zaman (Şekil 81, sol) yapı, A" noktasından L"M"ye paralel bir düz çizgi çizmeye indirgenir ve A" noktasından L"M"ye paralel düz bir çizgi.
Şekil 2'de gösterilen durumda. Sağdaki Şekil 81'de paralel çizgiler kareye dik ortak bir projeksiyon düzleminde yer almaktadır. π 1. Dolayısıyla bu çizgilerin yatay izdüşümleri aynı çizgi üzerinde yer almaktadır.
Kesişen çizgiler.Düz çizgiler kesişiyorsa, aynı adı taşıyan izdüşümleri, bu doğruların kesişme noktasının izdüşümü olan bir noktada birbiriyle kesişir..
Aslında (Şekil 82), eğer K noktası hem AB hem de CD doğrularına aitse, o zaman bu noktanın izdüşümü, bu çizgilerin izdüşümlerinin kesişme noktası olmalıdır.
Çizimdeki düz çizgilerin birbiriyle kesiştiği sonucu her zaman şuna göre yapılabilir: doğrudan genel konum projeksiyonların üç veya iki projeksiyon düzleminde verilmesine bakılmaksızın. Gerekli ve yeterli koşul yalnızca kesişme noktalarının olmasıdır. adaşı
çıkıntılar, karşılık gelen çıkıntı eksenine (Şekil 83) aynı dik konumdaydı veya çıkıntı ekseni olmayan bir çizimde (Şekil 84), bu noktalar, kendisi için belirlenen yönün bağlantı çizgisi üzerinde olacaktı.. Ancak bu çizgilerden biri izdüşüm düzlemlerinden herhangi birine paralelse ve çizim bu düzlemdeki izdüşümleri göstermiyorsa, yukarıdaki koşul karşılansa bile bu çizgilerin birbiriyle kesiştiği iddia edilemez. Örneğin, Şekil 2'de verilen durumda. 85, CD düz çizgisi π 3 karesine paralel olan AB ve CD düz çizgileri birbiriyle kesişmez; bu, profil çıkıntıları oluşturularak veya bu bağlamda bölümleri bölme kuralı uygulanarak doğrulanabilir.
Şekil 2'de gösterilmiştir. Kareye dik olan ortak bir çıkıntılı düzlemde kesişen 84 çizgi bulunmaktadır. π 2. Dolayısıyla bu çizgilerin önden izdüşümleri aynı çizgi üzerinde yer almaktadır.
Geçiş çizgileri. Düz çizgileri geçen çizgiler birbiriyle kesişmez veya paralel olmaz. Şek. Şekil 86, kesişen iki genel konum çizgisini göstermektedir: aynı adı taşıyan çıkıntılar birbiriyle kesişse de, bunların kesişme noktaları L"L" ve M"M" bağlantı hatlarına paralel bir bağlantı hattıyla bağlanamaz, yani bu çizgiler birbiriyle kesişmez. Şekil 2'de gösterilen düz çizgiler. 79, 80 ve 85, aynı zamanda melezleme.
Kesişen çizgilerin aynı izdüşümlerinin kesişme noktasını nasıl değerlendirmeliyiz? İki noktanın izdüşümlerini temsil eder; bunlardan biri
kesişen bu doğrulardan birincisine, diğeri ise ikincisine aittir. Örneğin, Şekil 2'de. Şekil 87'de, K” ve K" çıkıntılı nokta AB doğrusuna, L" ve L" çıkıntılı nokta ise CD doğrusuna aittir. Bu noktalar π 2 alanına eşit uzaklıkta fakat alana olan uzaklıkları π 1 farklıdır: L "ve L" çıkıntılarına sahip nokta π 1'den K" ve K" çıkıntılarına sahip noktadan daha uzaktadır (Şekil 88).
M", M" ve N", N" projeksiyonlarına sahip noktalar π 1 alanından eşit derecede uzaktadır, ancak bu noktaların π 2 alanından uzaklıkları farklıdır.
CD düz çizgisine ait L" ve L" çıkıntılarına sahip bir nokta, kareye göre AB düz çizgisinin K" ve K" çıkıntılarına sahip noktayı kapsar. π 1; karşılık gelen görüş yönü L" çıkıntısındaki bir okla gösterilir. π 2 karesine göre, CD düz çizgisinin N" ve N" çıkıntılarına sahip nokta, M" ve M" çıkıntılarına sahip noktayı kapsar. AB düz çizgisi; görüş yönü N" çıkıntısında aşağıdaki okla gösterilmiştir.
“Kapalı” noktaların çıkıntılarının tanımları parantez 1) içine yerleştirilmiştir.
Paralel çizgilerin tanımı. Paralel, aynı düzlemde bulunan ve tüm uzunlukları boyunca kesişmeyen iki düz çizgidir.
AB ve CD düz çizgileri (Şekil 57) paralel olacaktır. Paralel oldukları bazen yazılı olarak da ifade edilir: AB || CD.
Teorem 34. Aynı üçüncüye dik olan iki doğru paraleldir.
AB'ye dik CD ve EF düz çizgileri verilmiştir (Şekil 58)
CD ⊥ AB ve EF ⊥ AB.
CD || olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. E.F.
Kanıt. Eğer CD ve EF doğruları paralel olmasaydı, bir M noktasında kesişeceklerdi. Bu durumda, M noktasından AB çizgisine iki dik çizgi bırakılacaktı ki bu imkânsızdı (Teorem 11), dolayısıyla CD || doğrusu EF (ChTD).
Teorem 35. Biri dik, diğeri üçüncüye eğimli iki düz çizgi her zaman kesişir.
EF ⊥ AB ve CG'nin AB'ye eğimli olduğu iki düz çizgi EF ve CG verilmiştir (Şekil 59).
CG'nin EF doğrusunu karşıladığını veya CG'nin EF'ye paralel olmadığını kanıtlamak gerekir.
Kanıt. C noktasından AB doğrusuna dik bir CD oluşturuyoruz, sonra C noktasında bir DCG açısı oluşuyor, bunu o kadar çok tekrarlayacağız ki CK doğrusu AB doğrusu altına düşecek. Bu amaçla DCG açısını n kez tekrarladığımızı varsayalım.
Aynı şekilde CE doğrusunu AB doğrusu üzerine n kez çizeriz, böylece CN = nCE olur.
C, E, L, M, N noktalarından LL", MM", NN" dikmelerini oluşturuyoruz. İki paralel parça CD, NN" ile CN parçası arasındaki boşluk, içerilen alandan n kat daha büyük olacaktır. iki dikey CD, EF ve segment CE arasındadır, yani DCNN" = nDCEF.
DCK açısının içerdiği uzay DCNN" uzayını içerir, dolayısıyla,
DCK > CDNN" veya
nDCG > nDCEF, nereden
DCG > DCEF.
Son eşitsizlik ancak CG doğrusu devamı sırasında DCEF uzayını terk ettiğinde, yani CG doğrusu EF doğrusuyla buluştuğunda ortaya çıkabilir, dolayısıyla CG doğrusu CF'ye (CHT) paralel değildir.
Teorem 36. Paralellerden birine dik olan bir doğru diğerine de diktir.
Verilenler iki paralel AB ve CD çizgisi ve CD'ye dik bir EF çizgisidir (Şekil 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
EF ⊥ AB olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. AB doğrusu EF'ye eğimli olsaydı, CD ve AB doğruları kesişirdi çünkü CD ⊥ EF ve AB EF'ye eğiktir (Teorem 35) ve AB ve CD doğruları paralel olmaz, bu da bu koşulla çelişir. bu nedenle EF çizgisi CD'ye (CHT) diktir.
İki düz çizginin üçüncü bir düz çizgiyle kesişmesiyle oluşan açılar. İki düz çizgi AB ve CD üçüncü bir düz çizgi EF ile kesiştiğinde (Çizim 61), sekiz açı oluşur α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. Bu açılara özel isimler verilir.
Dört açıya α, β, ν ve ρ denir. harici.
Dört açıya γ, δ, λ, μ denir. dahili.
Dört açı β, γ, μ, ν ve dört açı α, δ, λ, ρ olarak adlandırılır. tek taraflı, çünkü EF düz çizgisinin bir tarafında yer alırlar.
Ayrıca açılar çiftler halinde alındığında aşağıdaki adları alırlar:
β ve μ açılarına denir uygun . Bu çifte ek olarak, aynı karşılık gelen açılar açı çiftleri olacaktır:γ ve ν, α ve λ, δ ve ρ.
δ ve μ açılarının yanı sıra γ ve λ açı çiftlerine denir iç çapraz yatma .
β ve ρ açılarının yanı sıra α ve ν açı çiftlerine denir dış çapraz yalan .
γ ve μ açılarının yanı sıra δ ve λ açı çiftlerine denir dahili tek taraflı .
β ve ν açılarının yanı sıra α ve ρ açı çiftlerine denir harici tek taraflı .
İki çizginin paralelliği için koşullar
Teorem 37. İki çizgi, üçüncüsüyle kesiştiklerinde eşitse paraleldir: 1) karşılık gelen açılar, 2) dahili çaprazlama, 3) harici çaprazlama ve son olarak 4) dahili tek taraflı olanların toplamı iki dik açıya eşittir, 5) tek taraflı dış açıların toplamı iki düz çizgiye eşittir.
Teoremin bu kısımlarının her birini ayrı ayrı ispatlayalım.
1. durum. Karşılık gelen açılar eşittir(Şekil 62).
Verildi. β ve μ açıları eşittir.
Kanıt. AB ve CD çizgileri Q noktasında kesişirse, dış açı β'nın iç açı μ'ya eşit olacağı GQH üçgeni elde edilir, bu da Teorem 22 ile çelişir, dolayısıyla AB ve CD çizgileri kesişmez. veya AB || CD (CHD).
2. durum. İç çapraz yatma açıları eşittir yani δ = μ.
Kanıt. δ = β dikey olarak, δ = μ koşula göre, dolayısıyla β = μ. Yani karşılık gelen açılar eşittir ve bu durumda çizgiler paraleldir (1. durum).
3. durum. Dış çapraz yatma açıları eşittir yani β = ρ.
Kanıt. Koşula göre β = ρ, dikey olarak μ = ρ, dolayısıyla karşılık gelen açılar eşit olduğundan β = μ olur. Bundan şu sonuç çıkıyor: AB || CD (1. durum).
4. vaka. Dahili tek taraflı olanların toplamı iki doğrudan olana eşittir veya γ + μ = 2d.
Kanıt. Komşu olanların toplamı olarak β + γ = 2d, koşula göre γ + μ = 2d. Bu nedenle, β + γ = γ + μ, dolayısıyla β = μ. Karşılık gelen açılar eşittir, dolayısıyla AB || CD.
5. vaka. Dış tek taraflı olanların toplamı iki doğrudan olana eşittir yani β + ν = 2d'dir.
Kanıt. μ + ν = 2d komşu olanların toplamı olarak, β + ν = 2d koşula göre. Bu nedenle μ + ν = β + ν, dolayısıyla μ = β. Karşılık gelen açılar eşittir, dolayısıyla AB || CD.
Böylece her durumda AB || CD (CHD).
Teorem 38(ters 37). İki düz çizgi paralelse, üçüncü bir düz çizgiyle kesiştiklerinde aşağıdakiler eşit olacaktır: 1) iç çapraz yatma açıları, 2) dış çapraz yatma açıları, 3) karşılık gelen açılar ve iki dik açıya eşittir, 4) iç tek taraflı açıların toplamı ve 5) dış tek taraflı açıların toplamı.
İki paralel AB ve CD doğrusu verildiğinde, yani AB || CD (Şek. 63).
Yukarıdaki koşulların tamamının yerine getirildiğinin kanıtlanması gerekmektedir.
1. durum. İki paralel AB ve CD çizgisini üçüncü bir eğik çizgi EF ile keselim. EF doğrusundaki AB ve CD doğrularının kesişme noktalarını G ve H ile gösterelim. GH doğrusunun orta noktasının O noktasından, CD doğrusuna dik bir çizgi indiriyoruz ve bunu AB doğrusunu P noktasında kesinceye kadar devam ettiriyoruz. CD'ye dik olan OQ doğrusu da AB'ye diktir (Teorem 36). OPG ve OHQ dik üçgenleri eşittir çünkü OG = OH yapı gereği, ∠ HOQ= ∠ Dikey açılar olarak POG, dolayısıyla OP = OQ.
Buradan δ = μ çıkar, yani. iç çapraz yatma açıları eşittir.
2. durum. Eğer AB || CD, o zaman δ = μ ve δ = β ve μ = ρ olduğundan, β = ρ, yani. dış çapraz yatma açıları eşittir.
3. durum. Eğer AB || CD, o zaman δ = μ ve δ = β olduğundan β = μ, dolayısıyla, karşılık gelen açılar eşittir.
4. vaka. Eğer AB || CD, o zaman δ = μ ve δ + γ = 2d olduğundan μ + γ = 2d, yani. dahili tek taraflı olanların toplamı iki doğrudan olana eşittir.
5. vaka. Eğer AB || CD ise δ = μ.
μ + ν = 2d olduğundan μ = δ = β, dolayısıyla ν + β = 2d, yani. dış tek taraflı olanların toplamı iki doğrudan olana eşittir.
Bu teoremlerden şu sonuç çıkıyor sonuçlar. Bir noktadan geçerek yalnızca başka bir düz çizgiye paralel bir düz çizgi çizebilirsiniz.
Teorem 39. Üçüncüye paralel iki doğru birbirine paraleldir.
Verilen üç çizgi (Şekil 64) AB, CD ve EF olup AB || EF, CD || E.F.
AB || olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. CD.
Kanıt. Bu çizgileri dördüncü düz çizgi olan GH ile keselim.
Eğer AB || EF, o zaman ∠ α = ∠ γ uygun olduğu şekilde. Eğer CD || EF, o zaman ∠ β = ∠ γ aynı zamanda karşılık gelir. Buradan, ∠ α = ∠ β .
Karşılık gelen açılar eşitse çizgiler paraleldir, dolayısıyla AB || CD (CHD).
Teorem 40. Kenarları paralel olan aynı isimli açılar eşittir.
Aynı adı taşıyan ABC ve DEF açıları (her ikisi de dar veya her ikisi de geniş) verilmiştir; kenarları paraleldir, yani AB || Almanya, BC || EF (Şek. 65).
Bunu kanıtlamak gerekli ∠ B= ∠ E.
Kanıt. BC doğrusunu G noktasında kesinceye kadar DE kenarını sürdürelim, sonra
∠E = ∠ G, üçüncü düz çizgi DG'nin BC ve EF'ye paralel kenarlarının kesişimine karşılık gelir.
∠B = ∠ G, BC çizgisinin AB ve DG paralel kenarlarının kesişimine karşılık gelir, bu nedenle,
∠E = ∠ B (CHD).
Teorem 41. Kenarları paralel olan karşıt açılar birbirini iki dik açıyla tamamlar.
Kenarları paralel olan iki zıt ABC ve DEF açısı verildiğinde (Şekil 66), bu nedenle AB || DE ve BC || E.F.
ABC + DEF = 2d olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. DE doğrusunu BC doğrusunu G noktasında kesinceye kadar devam ettirelim.
∠B+ ∠ DGB = 2d, üçüncü BC düz çizgisinin AB paraleli ile DG paralelinin kesişmesiyle oluşan tek taraflı iç açıların toplamı olarak.
∠ DGB = ∠ DEF buna karşılık gelir, bu nedenle,
∠B+ ∠ DEF = 2d (CHD).
Teorem 42. Kenarları birbirine dik olan aynı isimli açılar eşittir ve zıt açılar birbirini iki düz çizgiye kadar tamamlar.
İki durumu ele alalım: A) açılar aynı olduğunda ve B) zıt olduğunda.
1. durum. Aynı DEF ve ABC adlı iki açının kenarları (Şekil 67) diktir, yani DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
∠ DEF = ∠ ABC olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. B noktasından DE ve EF doğrularına paralel olan BM ve BN doğrularını çizelim;
BM || DE, BN || E.F.
Bu çizgiler aynı zamanda belirli bir ABC açısının kenarlarına da diktir;
BM ⊥ AB ve BN ⊥ BC.
Çünkü ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, o zaman
∠NBC = ∠ MBA (a)
Eşitliğin her iki tarafından (a) NBA açısına göre çıkarırsak, şunu buluruz:
∠ MBN = ∠ ABC
MBN ve DEF açıları aynı olduğundan ve kenarları paralel olduğundan eşittir (Teorem 40).
∠ MBN = ∠DEF(b)
Eşitlikler (a) ve (b) eşitliği ifade eder
∠ ABC = ∠DEF
2. durum. Kenarları dik olan GED ve ABC açıları zıttır.
∠ GED + ∠ ABC = 2d olduğunu kanıtlamak gerekmektedir (Şekil 67).
Kanıt. GED ve DEF açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC dolayısıyla
GED + ABC = 2d (CTD).
Teorem 43. Paralel doğruların diğer paralel doğrular arasındaki kısımları eşittir.
AB, BD, CD, AC olmak üzere dört düz çizgi verilmiştir (Şekil 68), bunlardan AB || CD ve BD || AC.
AB = CD ve BD = AC olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. C noktasını B noktasına BC doğru parçasıyla birleştirerek iki eşit ABC ve BCD üçgeni elde ederiz, çünkü
BC - ortak taraf,
∠ α = ∠ β (BC üçüncü çizgisinin AB ve CD paralel çizgilerinin kesişiminden iç çapraz uzananlar olarak),
∠ γ = ∠ δ (BC çizgisinin BD ve AC paralel çizgilerinin kesişiminden itibaren iç çapraz uzananlar olarak).
Böylece üçgenlerde bir eşit kenar ve üzerinde iki eşit açı bulunur.
Karşılıklı eşit açılar α ve β eşit AC ve BD kenarlarında bulunur ve karşılıklı eşit açılar γ ve δ eşit AB ve CD kenarlarında bulunur, bu nedenle,
AC = BD, AB = CD (CHD).
Teorem 44. Paralel çizgiler tüm uzunlukları boyunca birbirlerinden eşit uzaklıkta bulunur.
Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı, o noktadan o doğruya çizilen dikmenin uzunluğu ile belirlenir. AB'ye paralel herhangi iki A ve B noktasının CD'ye uzaklığını belirlemek için A ve B noktalarından AC ve BD dikmelerini bırakıyoruz.
CD'ye paralel bir AB doğrusu verildiğinde, AC ve BD doğru parçaları CD doğrusuna diktir, yani AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (Şek. 69).
AC = BD olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. Her ikisi de CD'ye dik olan AC ve BD doğruları paraleldir ve bu nedenle paraleller arasındaki paralellerin parçaları olarak AC ve BD eşittir, yani AC = BD (CHD).
Teorem 45(ters 43). Kesişen dört doğrunun zıt kısımları eşitse bu kısımlar paraleldir.
Karşıt kısımları eşit olan kesişen dört çizgi verildiğinde: AB = CD ve BD = AC (Şekil 68).
AB || olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. CD ve BD || AC.
Kanıt. B ve C noktalarını BC çizgisiyle birleştirin. ABC ve BDC üçgenleri eştir çünkü
BC - ortak taraf,
Koşullara göre AB = CD ve BD = AC.
Buradan
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
Buradan,
klima || BD, AB || CD (CHD).
Teorem 46. Bir üçgenin açılarının toplamı iki dik açıya eşittir.
Bir ABC üçgeni verilmiştir (Şekil 70).
A + B + C = 2d olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.
Kanıt. C noktasından AB kenarına paralel bir CF düz çizgisi çizelim. C noktasında BCA, α ve β olmak üzere üç açı oluşur. Toplamları iki düz çizgiye eşittir:
BCA+ α + β = 2d
α = B (BC çizgisinin AB ve CF paralel çizgilerinin kesişimindeki iç çapraz uzanma açıları olarak);
β = A (AD çizgisinin AB ve CF çizgilerinin kesişimindeki karşılık gelen açılar olarak).
α ve β açılarının değiştirilmesi değerlerini elde ederiz:
BCA + A + B = 2d (CHD).
Bu teoremden aşağıdaki sonuçlar çıkar:
Sonuç 1. Bir üçgenin dış açısı kendisine komşu olmayan iç açıların toplamına eşittir.
Kanıt. Gerçekten de, 70 numaralı çizimden itibaren,
∠BCD = ∠ α + ∠ β
∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A olduğundan, o zaman
∠BCD = ∠A + ∠B.
Sonuç 2. Bir dik üçgende dar açıların toplamı dik açıya eşittir.
Aslında bir dik üçgende (Şekil 40)
A + B + C = 2d, A = d, dolayısıyla
B + C = d.
Sonuç 3. Bir üçgenin birden fazla dik veya geniş açısı olamaz.
Sonuç 4. Eşkenar üçgende her açı 2/3 d'dir .
Aslında eşkenar üçgende
A + B + C = 2d.
A = B = C olduğundan, o zaman
3A = 2d, A = 2/3d.
Kesişen çizgiler- ortak bir noktası olan düz çizgiler. Diyagramda, bu düz çizgilerin aynı adı taşıyan çıkıntıları, aynı çıkıntı bağlantı hattı üzerinde bulunan noktalarda kesişmektedir (Şekil 200, A).
Aynı isimdeki çizgilerin çıkıntıları kesişiyorsa, ancak kesişme noktaları farklı projeksiyon bağlantısı çizgilerinde bulunuyorsa (Şekil 200, b), o zaman çizgiler kesişmez, kesişir. Aynı isimdeki çıkıntıların kesişme noktaları (Şekil 200, b, noktalar 1 " Ve 2) Aynı çıkıntılı ışın üzerinde bulunan ve farklı düz çizgilere ait olan farklı noktaların izdüşümlerini temsil eder.
Şek. Şekil 201, iki kesişen çizginin nasıl konumlandırılabileceğini göstermektedir AB Ve CD uçağa göre V böylece önden projeksiyonları bir "b" Ve CD" kesişir ve kesişme noktası aynı anda iki noktanın önden izdüşümüdür M Ve N. Bu çizgilerin yatay izdüşümlerinin kesişme noktası aynı zamanda noktanın izdüşümüdür. e, düz bir çizgide uzanarak CD, ve bir çizgi üzerinde yer alan noktalar AB
İzdüşüm düzlemlerinden birindeki izdüşümleri çakışan iki noktanın göreceli konumu, üçüncü koordinatları karşılaştırılarak belirlenebilir. Şek. 201.6 önden projeksiyonlar T" Ve P" puan M Ve Nçakıştı. Koordinatları X Ve Z aynı boyuta sahip. Koordinatları karşılaştırma e bu noktalar ( e N> e M), noktayı görüyoruz N K düzleminden noktadan daha uzaktadır M. Nokta N uçağa göre V- görünür nokta.
Noktaların görünürlüğü e Ve F projeksiyonların yatay düzlemine göre Z koordinatları karşılaştırılarak belirlenir.
İzdüşümleri çakışan noktalara, yani aynı çıkıntılı ışın üzerinde bulunan noktalara rakip noktalar denir ve bu noktaları kullanarak bir diyagram üzerindeki geometrik elemanların görünürlüğünü belirleme yöntemine rekabet noktaları yöntemi denir.
Paralel çizgiler diyagramda aynı isimli çıkıntıları birbirine paralel olacak şekilde gösterilmiştir. Çizgi parçalarını bir projeksiyon düzlemine yansıtırken, çıkıntı yapan ışınlar iki projeksiyon düzlemi oluşturur R Ve R, bu düzleme dik ve birbirine paralel (P||R). Projeksiyon düzlemiyle kesişirler (Şekil 202a, düzlem N) paralel çizgiler boyunca - ab Ve CD.
Dolayısıyla çizgiler paralelse aynı isimli izdüşümleri de paraleldir. Şek. 202, B yatay projeksiyonlar ab Ve CD ve önden projeksiyonlar bir "b" Ve CD" karşılıklı olarak paralel, dolayısıyla düz AB Ve CD paralel.
Çizgilerden birinin veya her ikisinin de herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olduğu durumlar haricinde, diyagramdaki çizgilerin göreceli konumunun iki projeksiyon düzlemi kullanılarak belirlenebileceğine dikkat edilmelidir. Bu durumlarda çizgilerin göreceli konumunu belirlemek için çizgilerden birinin veya her ikisinin de paralel olduğu projeksiyon düzleminde görüntülerinin olması gerekir.
Şek. 203 projeksiyon CD" Ve l"q", cd Ve lq doğrudan CD Ve L.Q. kesişir. Dümdüz CD profil projeksiyonuna paralel. Uçakta K düz oldukları açık CD Ve L.Q. profil projeksiyonları kesişmediği için kesişmezler.
Şek. Şekil 204 iki yatay düz çizginin diyagramını göstermektedir AB Ve CD.Önden projeksiyonları bir "b" Ve CD" ve profil projeksiyonları bir "b" Ve CD" paralel. Uçaktaki projeksiyonlara göre Nçizgilerin kesiştiği açıktır.
Şek. Şekil 205, iki profilli düz çizginin diyagramını göstermektedir. Önden projeksiyonları bir "b" Ve CD" ve yatay projeksiyonlar ab Ve CD paralel. Uçakta Kçizgilerin kesiştiği açıktır.
