§ 7. Kombinatoriklerin olasılık hesaplamasına uygulanması

Toplam hacimden ise Nörnekleme yapılır köğelerin geri dönüşü varsa, her bir spesifik numuneyi elde etme olasılığı eşit kabul edilir.

Numune geri dönmeden yapılmışsa bu olasılık eşittir.

A olayının ortaya çıkmasının bazı ek kısıtlamalarla birlikte bir numunenin ortaya çıkmasından ibaret olduğunu ve bu numunelerin sayısının m'ye eşit olduğunu varsayalım. Daha sonra geri dönüşlü örnekleme durumunda elimizde:

İadesiz numune alınması durumunda:

Örnek 1. Ondalık gösteriminde sıfır bulunmayan üç basamaklı bir sayı rastgele seçiliyor. Seçilen sayının tam olarak iki rakamının aynı olma olasılığı nedir?

Çözüm. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sayılarının birbirinin aynısı olan 9 kartın üzerine yazıldığını ve bu kartların bir torbaya yerleştirildiğini düşünelim. Üç basamaklı bir sayıyı rastgele seçmek, sırayla çekmeye, torbadan 3 kart çıkarmaya ve sayıları göründükleri sıraya göre yazmaya eşdeğerdir. Sonuç olarak deneyin tüm temel sonuçlarının sayısı 93 = 729'dur. İlgimizi çeken A olayının olumlu durum sayısı şu şekilde hesaplanır: 2 farklı x ve y sayısı farklı şekillerde seçilebilir; x ve y seçilirse, https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41"> bunlardan yapılabilir.

Örnek 2. Bölünmüş alfabe kullanılarak oluşturulan “rotor” kelimesinin harflerinden 3 harf rastgele sırayla çıkarılıp sıraya konur. "Tor" kelimesinin çıkma ihtimali nedir?

Çözüm. Aynı harfleri birbirinden ayırt etmek için onlara sayılar sağlarız: p1, p2, o1, o2. O halde temel sonuçların toplam sayısı şuna eşittir: . “Torus” kelimesi 1 × 2 ×2 = 4 durumda görünecektir (to1р1, Then1р2, Then2р1, Then2р2)..gif" width="24" height=25 src=> ve hepsinin eşit olduğunu varsayalım. olasılıklar.

Örnek 3. N parçadan oluşan bir partide n adet kusurlu parça vardır. Rastgele seçilen k parçadan s tanesinin kusurlu olma olasılığı nedir?

Çözüm. Tüm temel sonuçların sayısı eşittir. Olumlu durumların sayısını hesaplamak için şu şekilde mantık yürütüyoruz: n adet kusurlu parçadan s adet parça s şekilde seçilebilir ve N - n adet kusurlu olmayan parça arasından k adet kusurlu olmayan parça seçilebilir; Çarpım kuralına göre olumlu durum sayısı ×'e eşittir. Gerekli olasılık:

Örnek 4. Takımda 4 kadın ve 3 erkek bulunmaktadır. Tugay üyeleri arasında tiyatroya 4 bilet çekilişle yapılıyor. Bilet sahipleri arasında 2 kadın 2 erkek olma olasılığı nedir?

Çözüm. İstatistiksel bir seçim şeması uygulayalım. 7 takım üyesinden 4 kişi seçilebilir = 35 yol, dolayısıyla testin tüm temel sonuçlarının sayısı 35..gif" width="28" height="34">= 3 yoldur. Sonra sayı uygun durumların sayısı 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> değerine eşit olacaktır. Torbada kaç tane beyaz top var?

150. Bir torbada n adet beyaz ve m adet siyah top vardır. K adet top (k>m) rastgele çekiliyor. Torbada yalnızca beyaz topların kalma olasılığı nedir?

151. İçinde N top bulunan bir torbadan, her seferinde bir top geri getirilerek N defa bir top alınıyor. Tüm topların bir kez çekilmesi olasılığı nedir?

152. Tam bir kart destesi (52 sayfa) rastgele 2 eşit parçaya (her biri 26 kart) bölünür. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:

A – her bölümde 2 as olacak;

B – parçalardan birinde tek bir as olmayacak;

C – parçalardan birinde tam olarak bir as bulunur.

153. Bir kavanozda beyaz, b siyah ve c kırmızı toplar bulunmaktadır. Bütün toplar geri dönmeden bu torbadan teker teker çıkarılır ve renkleri kaydedilir. Bu listede beyazın siyahtan önce gelme olasılığını bulun.

154. 2 kutu var: ilkinde bir beyaz ve bir siyah top var; ikincisi beyaz ve d siyahla. Her torbadan bir top çekiliyor. Her iki topun da beyaz olma olasılığını (A olayı) ve topların farklı renkte olma olasılığını (B olayı) bulun.

155. 2n takım, n takımdan oluşan 2 alt gruba ayrılıyor. En güçlü 2 takımın şu şekilde sonuçlanma olasılığını bulun: a) farklı alt gruplara (A olayı); b) bir alt gruba (olay B).

156. 36 kartlık bir desteden rastgele 3 kart çekiliyor. Vale 2 puan, kız 3 puan, papaz 4 puan, as 11 puan ve kalan kartlar 6, 7, 8, 9, 10 puan ise bu kartlardaki puanların toplamının 21 olma olasılığını belirleyin. , sırasıyla.

157. Bir Sportloto piyango kartının sahibi (49 üzerinden 6) 6 sayının üzerini çizer. Aşağıdakileri tahmin etme olasılıkları nedir:

a) bir sonraki tirajdaki 6 sayının tamamı;

b) 5 veya 6 sayı;

c) en az 3 sayı?

158. 15 yolculu bir otobüsün 20 durak yapması gerekmektedir. Yolcuları duraklara dağıtmanın tüm olası yollarının eşit şekilde mümkün olduğunu varsayarak, aynı durakta 2 yolcunun inmeme olasılığını bulun.

159. 1, 2, …, N, r sayılarından farklı sayılar (r £ N) rastgele seçiliyor. Ardışık r sayıda sayının seçilme olasılığını bulun.

160. Tam bir kart destesinden (52 sayfa) birkaç kart çekilir. Aralarında aynı türden kartların olacağını 0,5'ten büyük bir olasılıkla iddia etmek için kaç kart çekilmelidir?

161. m adet deliğe rastgele dağılmış n adet top vardır. k1+k2+…+km=n ise, tam olarak k1 topunun ilk deliğe, k2 topunun ikinci deliğe vb. düşme olasılığını ve m. deliğe topların km'sinin düşme olasılığını bulun.

162. Önceki problemin koşulları altında, deliklerden birinde (hangisi olduğu önemli değil) m-th'de k1 topları ve diğerinde - k2 topları vb. olma olasılığını bulun. - km topları (k1,k2,...,km sayıları farklı kabul edilir).

163. (1, 2,…, N) kümesinden x1 ve x2 sayıları geri dönmeden sırayla seçiliyor. p(x2 > x1)'i bulun.

1 el yazması 30 klasöre bölünmüştür (bir el yazması 3 klasörü kaplar). Rastgele atılan 6 klasörün bütünüyle tek bir taslağı içermeme olasılığını bulun.

165. r kişiden oluşan bir şirkette en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı nedir? (Basitlik açısından 29 Şubat'ın doğum günü olmadığı varsayılmaktadır).

166. lg n değerleri tablosunu kullanma! ve önceki problemin koşulu, r = 22, 23, 60 için olasılıkları hesaplayın.

167. Doğum günü sizinkine denk gelen birini bulmak için yola çıktınız. Böyle bir kişiyle tanışma olasılığının 0,5'ten az olmaması için kaç yabancıyla görüşmeniz gerekir?

168. Devlet Kredisi için her yıl 6 ana kura ve bir ek kura çekiliyor ve bu çekiliş beşinci ana çekilişten sonra yapılıyor. 100.000 bölümden her ana yayında 170 bölüm ve her ek yayında 230 bölüm kazanıyor. İlk 10 yılda bir tahvil kazanma olasılığını bulun: a) ana dolaşımda; b) ek bir baskıda; c) herhangi bir baskıda.

Sert öğretmen, olasılık teorisi ile ilgili problemleri acilen 1 günde çözmeniz gerekiyor, konu "Olasılık Teorisi (Matematik)"

1. Telefon numarası altı haneden oluşur. Tüm sayıların farklı olma olasılığını bulun. 2. Partide dördü standart olmayan 10 ürün bulunmaktadır. Dört öğe rastgele alınır. Alınan ürünler arasında standart olanların standart olmayanlardan daha fazla olması olasılığını bulun. 3. On kişilik bir bankta on kişi rastgele oturuyor. Yakınlarda 2 belirli kişinin bulunma olasılığını bulun. 4. Köşeleri olan bir karenin içinde rastgele bir nokta seçiliyor. Aşağıdaki olayın olasılığını bulun: 5. İki atıcı bağımsız olarak hedefe bir atış yaptı. Atıcılardan birinin hedefi vurma ihtimalinin 0,6 olduğu biliniyor; ve diğeri için - 0,7. Atıcılardan en az birinin hedefi ıskalama olasılığını bulun. 6. Yarışmanın ilk turunu geçmeden önce, her başvuru sahibine üç görev verilir: sanatsal okuma için bir metin, pantomimde sunum için bir tema, kendi melodisine göre vokal performansı için bir şiir. Yarışmayı geçerken üçte iki sayının yapılması öneriliyor. Sayıların seçimi rastgeledir. Yarışmacı, edebi okumada ilk turu 0,9 olasılıkla geçeceğini tahmin ederken; pandomim yaparken – 0,3; Bir vokal görevini yerine getirirken – 0,5. Böyle bir hazırlıkla bir yarışmacının ilk turu geçme olasılığı nedir? 7. İlk torbada 8'i beyaz olan 10 top bulunur; İkinci torbada 4'ü beyaz olmak üzere 15 top bulunmaktadır. İlk torbadan rastgele iki top çekildi ve daha sonra ikinci torbadan bir top buraya aktarıldı. Daha sonra ilk torbadan bir top çekildi. Bu topun beyaz olma olasılığını bulunuz. 8. 18 atıcıdan 5'i hedefi 0,6 olasılıkla vurdu; 7 – 0,7 olasılıkla; 4 – 0,8 olasılıkla; 2 – 0,5 olasılıkla. Rastgele seçilen atıcı hedefi ıskalamıştır. Bu tetikçi büyük olasılıkla hangi gruba ait? 9. Tek atışta hedefi vurma olasılığı 0,7'dir. 20 bağımsız atışla hedefin en fazla 14 kez vurulma olasılığını bulun. 10. Cebinizde, dokunuşu yaklaşık olarak aynı olan 5 madeni para vardır: her biri üç - 2 ruble ve her biri iki - 10 ruble. Bakmadan 2 jeton çıkarırlar. Rastgele bir değişken, çıkarılan toplam ruble sayısıdır. Rastgele bir değişken için: a) bir dağılım serisi oluşturun, b) matematiksel beklentiyi ve varyansı bulun, c) olayın olasılığını bulun (en az 4, ancak en fazla 12 ruble çıkarıldı). 11. Evinize çağrılan bir teknisyen sabah 10'dan akşam 6'ya kadar her an gelebilir. 14 saate kadar bekleyen müşteri 1 saatliğine yola çıktı. Efendinin varış zamanının düzgün dağılmış bir rastgele değişken olduğunu dikkate alarak olasılık yoğunluğunu, dağılım fonksiyonunu bulunuz. Ustanın (varışı zorunludur) müşteriyi evde bulamama olasılığını belirleyin? Olasılık yoğunluk grafikleri ve dağılım fonksiyonlarını oluşturun.

Daha fazla ayrıntı
Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin problemler.

Çözüm örnekleri Üçüncü derste klasik olasılık tanımının doğrudan uygulanmasıyla ilgili çeşitli sorunlara bakacağız. Bu makaledeki materyalleri etkili bir şekilde incelemek için temel kavramlara aşina olmanızı öneririm. olasılık teorisi Ve kombinatoriğin temelleri . Klasik olarak bire eğilimli bir olasılık ile olasılığı belirleme görevi, terver üzerindeki bağımsız/kontrol çalışmanızda mevcut olacaktır, o halde ciddi çalışmalara hazırlanalım. Bunda bu kadar ciddi olan ne diye sorabilirsiniz. ...sadece bir ilkel formül. Sizi anlamsızlığa karşı uyarıyorum - tematik görevler oldukça çeşitlidir ve birçoğu kolayca kafanızı karıştırabilir. Bu bağlamda, ana ders üzerinde çalışmanın yanı sıra, kumbaradaki konuyla ilgili ek görevleri de incelemeye çalışın. yüksek matematik için hazır çözümler

. Çözüm teknikleri çözüm teknikleridir, ancak "arkadaşların" yine de "görerek bilinmesi gerekir" çünkü zengin bir hayal gücü bile sınırlıdır ve yeterince standart görev de vardır. Mümkün olduğu kadar çoğunu kaliteli bir şekilde sıralamaya çalışacağım.

Türün klasiklerini hatırlayalım:

Belirli bir testte bir olayın meydana gelme olasılığı şu orana eşittir: – hepsinin toplam sayısı, eşit derecede mümkün temel bu testin sonuçları,;

tam bir etkinlik grubu eşit derecede mümkün- miktar

olayın olumlu sonuçları. Üçüncü derste klasik olasılık tanımının doğrudan uygulanmasıyla ilgili çeşitli sorunlara bakacağız. Bu makaledeki materyalleri etkili bir şekilde incelemek için temel kavramlara aşina olmanızı öneririm. Ve hemen bir pit stop. Altı çizili terimleri anladınız mı? Bu, sezgisel değil açık bir anlayış anlamına gelir. Değilse, o zaman 1. makaleye dönmek yine de daha iyidir.

ve ancak bundan sonra devam edin.

Lütfen ilk örnekleri atlamayın - bunlarda temelde önemli bir noktayı tekrarlayacağım ve ayrıca çözümü nasıl doğru şekilde biçimlendireceğinizi ve bunun hangi yollarla yapılabileceğini anlatacağım:

Sorun 1

Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.Çözüm : Olasılığın klasik tanımını kullanmanın en önemli ön koşulu.

Torbada toplam 15 + 5 + 10 = 30 top var ve aşağıdaki gerçekler açıkça doğru:

– herhangi bir topu geri almak aynı derecede mümkündür (fırsat eşitliği sonuçlar), sonuçlar ise temel ve biçim bu testin sonuçları, (yani test sonucunda 30 toptan biri mutlaka çıkarılacaktır).

Böylece toplam sonuç sayısı:

Olayı düşünün: – torbadan beyaz bir top çekilecek. Bu etkinlik beğenildi eşit derecede mümkün dolayısıyla klasik tanıma göre sonuçlar:
– torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı.

Garip bir şekilde, bu kadar basit bir görevde bile ciddi bir yanlışlık yapılabilir, buna daha önce ilk makalede odaklanmıştım. Üçüncü derste klasik olasılık tanımının doğrudan uygulanmasıyla ilgili çeşitli sorunlara bakacağız. Bu makaledeki materyalleri etkili bir şekilde incelemek için temel kavramlara aşina olmanızı öneririm.. Buradaki tuzak nerede? Burada bunu iddia etmek yanlıştır. “Topların yarısı beyaz olduğuna göre beyaz bir top çekme olasılığı» . Olasılığın klasik tanımı şu anlama gelir: İLKÖĞRETİM sonuçlar ve kesir yazılmalıdır!

Diğer noktalarla birlikte benzer şekilde aşağıdaki olayları da göz önünde bulundurun:

– torbadan kırmızı bir top çekilecek;
- torbadan siyah bir top çekilecek.

Bir olay 5 temel sonuç tarafından tercih edilir ve bir olay 10 temel sonuç tarafından tercih edilir. Buna karşılık gelen olasılıklar şöyledir:

Birçok sunucu görevinin tipik kontrolü aşağıdakiler kullanılarak gerçekleştirilir: Tam bir grup oluşturan olayların olasılıklarının toplamına ilişkin teoremler. Bizim durumumuzda olaylar tam bir grup oluşturur; bu da karşılık gelen olasılıkların toplamının mutlaka bire eşit olması gerektiği anlamına gelir: .

Bunun doğru olup olmadığını kontrol edelim: Emin olmak istediğim şey buydu.

Cevap:

Prensipte, cevap daha ayrıntılı olarak yazılabilir, ancak şahsen ben oraya yalnızca sayıları koymaya alışkınım - çünkü yüzlerce ve binlerce sorunları "damgalamaya" başladığınızda, yazılanları azaltmaya çalışırsınız. Çözüm mümkün olduğu kadar. Bu arada, kısalık hakkında: pratikte "yüksek hızlı" tasarım seçeneği yaygındır çözümler:

Toplam: 15 + 5 + 10 = torbada 30 top. Klasik tanıma göre:
- torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan kırmızı bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan siyah bir topun çekilme olasılığı.

Cevap:

Bununla birlikte, durumda birkaç nokta varsa, çözümü ilk şekilde formüle etmek genellikle daha uygundur, bu biraz daha zaman alır, ancak aynı zamanda "her şeyi raflara koyar" ve işi kolaylaştırır. Sorunu yönlendirmek için.

Hadi ısınalım:

Sorun 2

Mağazaya beşi üretim hatası olan 30 buzdolabı teslim edildi. Rastgele bir buzdolabı seçiliyor. Kusursuz olma ihtimali nedir?

Uygun tasarım seçeneğini seçin ve sayfanın altındaki örneği kontrol edin.

En basit örneklerde, ortak ve olumlu sonuçların sayısı yüzeydedir, ancak çoğu durumda patatesleri kendiniz kazmanız gerekir. Unutkan bir aboneyle ilgili kanonik bir dizi sorun:

Sorun 3

Abone, bir telefon numarasını çevirirken son iki rakamı unutur ancak birinin sıfır, diğerinin tek olduğunu hatırlar. Doğru numarayı çevirme olasılığını bulun.

Not : sıfır çift sayıdır (2'ye kalansız bölünebilir)

Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: Öncelikle toplam sonuç sayısını buluyoruz. Abone, şarta göre rakamlardan birinin sıfır, diğer rakamın tek olduğunu hatırlar. Burada kombinatorik konusunda yanıltıcı olmamak ve kullanmak daha mantıklıdır. sonuçların doğrudan listelenmesi yöntemi . Yani, bir çözüm üretirken tüm kombinasyonları yazmanız yeterlidir:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Ve bunları toplamda 10 sonuç olarak sayıyoruz.

Olumlu tek bir sonuç vardır: doğru sayı.

Klasik tanıma göre:
– abonenin doğru numarayı çevirme olasılığı

Cevap: 0,1

Ondalık kesirler olasılık teorisinde oldukça uygun görünmektedir, ancak yalnızca sıradan kesirlerle çalışan geleneksel Vyshmatov stiline de bağlı kalabilirsiniz.

Bağımsız çözüm için gelişmiş görev:

Sorun 4

Abone, SIM kartının PIN kodunu unuttu ancak içinde üç "beş" bulunduğunu ve rakamlardan birinin "yedi" veya "sekiz" olduğunu hatırlıyor. İlk denemede başarılı yetkilendirme olasılığı nedir?

Burada ayrıca abonenin puk kodu şeklinde bir cezayla karşı karşıya kalma olasılığı fikrini de geliştirebilirsiniz, ancak maalesef gerekçe bu dersin kapsamını aşacaktır.

Çözüm ve cevap aşağıdadır.

Bazen kombinasyonları listelemek çok zahmetli bir iş haline gelir. Özellikle, 2 zarın atıldığı, daha az popüler olmayan bir sonraki problem grubunda durum böyledir. (daha az sıklıkla - daha büyük miktarlar):

Sorun 5

İki zar atıldığında toplam sayının şu şekilde olma olasılığını bulun:

a) beş puan;
b) en fazla dört puan;
c) 3'ten 9'a kadar puanlar dahil.

Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: toplam sonuç sayısını bulun:

1. zarın tarafının düşme yolları Ve 2. küpün kenarı farklı şekillerde düşebilir; İle kombinasyonları çarpma kuralı, toplam: olası kombinasyonlar. Başka bir deyişle, her biri 1. küpün yüzü olabilir sipariş edildi bir çift her biriyle 2. küpün kenarı. Böyle bir ikiliyi 1. zarda görünen sayı ve 2. zarda görünen sayı şeklinde yazmaya karar verelim. Örneğin:

– ilk zar 3 puan, ikinci zar 5 puan aldı, toplam puan: 3 + 5 = 8;
– ilk zar 6 puan, ikinci zar 1 puan attı, toplam puan: 6 + 1 = 7;
– Her iki zarda atılan 2 puan, toplam: 2 + 2 = 4.

Açıkçası, en küçük miktar bir çift tarafından, en büyüğü ise iki "altı" ile verilir.

a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında 5 puan görünecektir. Bu olayı destekleyen sonuçların sayısını yazalım ve sayalım:

Toplam: 4 olumlu sonuç. Klasik tanıma göre:
– istenilen olasılık.

b) Olayı düşünün: – en fazla 4 puan atılacaktır. Yani ya 2 ya da 3 ya da 4 puan. Yine uygun kombinasyonları listeleyip sayıyoruz, solda toplam puan sayısını ve iki nokta üst üsteden sonra uygun çiftleri yazacağım:

Toplam: 6 uygun kombinasyon. Böylece:
– 4 puandan fazlasının atılmama olasılığı.

c) Olayı düşünün: – 3 ila 9 puan dahil olacak. Burada düz yolu tutabilirsin ama... bazı nedenlerden dolayı bunu yapmak istemiyorsun. Evet, önceki paragraflarda bazı çiftler zaten listelenmişti, ancak hâlâ yapılması gereken çok iş var.

Devam etmenin en iyi yolu nedir? Bu gibi durumlarda dolambaçlı bir yol rasyonel olarak ortaya çıkar. düşünelim zıt olay: – 2 veya 10 veya 11 veya 12 puan atılacaktır.

Ne anlamı var? Bunun tersi olay ise çok daha az sayıda çift tarafından tercih ediliyor:

Toplam: 7 olumlu sonuç.

Klasik tanıma göre:
– üçten az veya 9'dan fazla puan atma olasılığınız.

Sonuçların doğrudan listelenmesi ve sayılmasına ek olarak, çeşitli kombinatoryal formüller. Ve yine asansörle ilgili destansı bir sorun:

Sorun 7

20 katlı binanın birinci katındaki asansöre 3 kişi girdi. Hadi gidelim. Şu olasılığı bulun:

a) farklı katlardan çıkacaklar
b) ikisi aynı kattan çıkacak;
c) Herkes aynı katta inecektir.

Heyecan verici dersimiz sona erdi ve son olarak, çözemezseniz en azından çözmenizi bir kez daha şiddetle tavsiye ediyorum. Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin ek problemler. Daha önce de belirttiğim gibi, "el dolgusu" da önemlidir!

Rotanın ilerleyen kısımlarında - Olasılığın geometrik tanımı olasılık teorisi Olasılık toplama ve çarpma teoremleri ve... asıl meselede şans!

Çözümler ve Yanıtlar:

Görev 2: Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: 30 – 5 = 25 buzdolabında arıza yok.

– Rastgele seçilen bir buzdolabının kusurlu olmaması olasılığı.
Cevap :

Görev 4: Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: toplam sonuç sayısını bulun:
şüpheli numaranın bulunduğu yeri seçmenin yolları ve her Bu 4 haneden 2 hanesi (yedi veya sekiz) yer alabilir. Kombinasyonların çarpımı kuralına göre toplam sonuç sayısı: .
Alternatif olarak çözüm, tüm sonuçları basitçe listeleyebilir (neyse ki bunlardan çok azı var):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Tek bir olumlu sonuç vardır (doğru pin kodu).
Böylece, klasik tanıma göre:
– abonenin 1. denemede oturum açma olasılığı
Cevap :

Görev 6: Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: toplam sonuç sayısını bulun:
2 zardaki sayılar farklı şekillerde görünebilir.

a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı yediye eşit olacaktır. Olasılığın klasik tanımına göre, belirli bir olay için olumlu sonuçlar yoktur:
yani bu olay imkansızdır.

b) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı en az 20 olacaktır. Bu olay için aşağıdaki sonuçlar olumludur:

Toplam: 8
Klasik tanıma göre:
– istenilen olasılık.

c) Zıt olayları düşünün:
– puanların çarpımı eşit olacaktır;
– puanların çarpımı tek olacaktır.
Etkinliğin olumlu tüm sonuçlarını sıralayalım:

Toplam: 9 olumlu sonuç.
Olasılığın klasik tanımına göre:
Zıt olaylar tam bir grup oluşturur, bu nedenle:
– istenilen olasılık.

Cevap :

Sorun 8: Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top vardır. Rastgele 1 top çekiliyor ve bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.: toplam sonuç sayısını hesaplayalım: 10 jeton farklı şekillerde düşebilir.
Başka bir yol: 1. madalyonun düşebileceği yollar Ve 2. madalyonun düşme yolları Ve … Ve 10. madalyonun düşebileceği yollar. Kombinasyonları çarpma kuralına göre 10 jeton düşebilir yollar.
a) Olayı düşünün: – tüm madeni paraların üzerinde tura görünecek. Bu olay, klasik olasılık tanımına göre tek bir sonuç tarafından tercih edilir: .
b) Olayı düşünün: – 9 madeni para tura, bir madeni para yazı gelecek.
Yazılara düşebilen paralar var. Olasılığın klasik tanımına göre: .
c) Olayı düşünün: – madeni paraların yarısında tura görünecek.
Var tura gelebilecek beş jetonun benzersiz kombinasyonları. Olasılığın klasik tanımına göre:
Cevap :

Kombinatorik Sonlu kümelerdeki elemanların sayısını saymanın yollarını araştırır. Olasılıkları doğrudan hesaplamak için kombinatorik formüller kullanılır.
Farklı aynı elemanlardan oluşan ve birbirlerinden yalnızca sıraları farklı olan elemanlar kümesine denir. permütasyonlar bu unsurlar. Olası permütasyonların sayısı N elementler ile gösterilir ve bu sayı eşittir N! ("en-faktoriyel" okuyun):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Nerede
. (1.3.2)

Açıklama 1. Boş set için kural kabul edilir: boş set yalnızca tek bir şekilde sipariş edilebilir; tanımı gereği inanıyorum.

Yerleşimler oluşan kümelere denir N göre çeşitli unsurlar M Elementlerin bileşimi veya sıraları bakımından farklılık gösteren elementler. Olası tüm yerleşimlerin sayısı formülle belirlenir
. (1.3.3)

Kombinasyonlar itibaren N göre çeşitli unsurlar M içeren kümelere denir M arasından çıkan unsurlar N verilen ve en az bir öğede farklılık gösteren. Kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar M anlamına gelir: veya . Bu sayı formülle ifade edilir

. (1.3.4)

Açıklama 2. Tanım gereği, varsayın.

Kombinasyon sayısı için eşitlikler geçerlidir:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)

Son eşitlik bazen aşağıdaki teorem olarak formüle edilir: sonlu kümeler:
Bunlardan oluşan bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı N elemanları eşittir.
Permütasyon, yerleşim ve kombinasyon sayılarının eşitlikle ilişkili olduğunu unutmayın.

Açıklama 3. Yukarıda her şeyin olduğu varsayılmıştır. N unsurlar farklıdır. Bazı öğeler tekrarlanıyorsa, bu durumda tekrarlı kümeler diğer formüller kullanılarak hesaplanır.

Örneğin, eğer aralarında N elemanlar bir tipin elemanları, başka bir tipin elemanları vb. ise, tekrarlı permütasyonların sayısı formülle belirlenir.
(1.3.7)
Nerede .

Yerleşim sayısı: M tekrarlanan öğeler N elemanlar eşittir
yani
tekrarlı (1.3.8)
Tekrarlı kombinasyon sayısı N tarafından elemanlar M elemanların tekrarı olmayan kombinasyon sayısına eşittir N + M- her biri 1 öğe M unsurlar yani
tekrardan (1.3.9)

Kombinatorik problemleri çözerken aşağıdaki kurallar kullanılır.

Toplama kuralı. Eğer bir A nesnesi bir dizi nesneden m yoldan seçilebiliyorsa ve başka bir B nesnesi n yoldan seçilebiliyorsa, o zaman A veya B'den biri m + n yolla seçilebilir.

Ürün kuralı. A nesnesi çeşitli nesneler arasından seçilebiliyorsa M yöntemler ve bu tür her seçimden sonra B nesnesi seçilebilir N yollar, daha sonra belirtilen sırayla bir çift nesne (A, B) şekillerde seçilebilir.

Olasılıkları hesaplamaya yönelik klasik şema, bir dizi tamamen pratik problemin çözümü için uygundur. Örneğin, N hacmindeki belirli bir dizi elementi ele alalım. Bunlar, her biri uygun veya kusurlu ürünler veya her biri yaşayabilir veya olmayabilir tohumlar olabilir. Bu tür durumlar bir torba şemasıyla tanımlanmaktadır: torbada N adet top vardır ve bunlardan M mavi ve (N - M) kırmızıdır.

İçinde M mavi top bulunan N top içeren bir torbadan n top çekiliyor. N büyüklüğündeki bir örnekte m adet mavi topun tespit edilme olasılığını belirlemeniz gerekir. “n büyüklüğündeki bir örnekte m adet mavi top vardır” olayını A ile gösterelim, o halde
(1.3.10)

Örnek 1. On aday arasından üç farklı pozisyona üç kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm. Formül (1.3.3)'ü kullanalım. n = 10 için m = 3'ü elde ederiz
.

Örnek 2. 5 kişi bir bankta kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm. Formül (1.3.1)'e göre n=5 ile şunu buluruz:
P 5 =5!=1·2·3·4·5=120.

Örnek 3. On aday arasından üç aynı pozisyona üç kişi kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm. Formül (1.3.4)'e uygun olarak şunu buluruz:

Örnek 4. 1 rakamlarını kullanarak altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir; 1; 1; 2; 2; 2?

Çözüm. Burada formül (1.3.7) ile belirlenen tekrarlı permütasyon sayısını bulmanız gerekir. k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6 ile bu formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 5. Kelimelerde kaç farklı harf permütasyonu yapılabilir: kale, rotor, balta, çan?

Çözüm. Kale kelimesinde tüm harfler farklı olup toplamda beş adet bulunmaktadır. Formül (1.3.1)'e göre P 5 = 5 elde ederiz! = 1·2·3·4·5 = 120. Tek kelimeyle rotor, beş harften oluşan harfler P olasılık teorisi O iki kez tekrarlanır. Çeşitli permütasyonları hesaplamak için formül (1.3.7) kullanıyoruz. n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2 için bu formülü kullanarak şunu buluruz:

Balta sözcüğündeki harf O iki kere tekrarlanıyor yani

Yedi harfli kelime çanında, harf İle iki kez görünür, mektup O- üç kez, mektup ben- iki kere. Formül (13.7)'ye göre n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2'yi elde ederiz

Örnek 6. I, K, M, N, S harfleri beş özdeş kartın üzerine yazılır. Kartlar karıştırılır ve rastgele bir sıraya yerleştirilir. MINSK kelimesinin ortaya çıkma olasılığı nedir?

Çözüm. Beş farklı öğeden P5 permütasyonları oluşturabilirsiniz:
. Bu, toplam 120 olası sonucun olacağı, ancak belirli bir olay için yalnızca bir tanesinin olumlu olacağı anlamına gelir. Buradan,

Örnek 7. Kelimenin harflerinden rotor Bölünmüş bir alfabe kullanılarak oluşturulan 3 harf rastgele sırayla seçilir ve bir sıraya yerleştirilir. Kelimenin çıkma ihtimali nedir? simit?

Çözüm. Aynı harfleri birbirinden ayırt etmek için onlara sayılar sağlıyoruz: P 1 , P 2 , 0 1 , 0 2. Temel sonuçların toplam sayısı şuna eşittir: . Kelime rotor durumlarda işe yarayacaktır ( sonra 1 r 1, sonra 1 r 2, sonra 2 r 1, sonra 2 r 2). Gerekli olasılık eşittir

Olumlu durumların sayısını hesaplarken çarpım kuralını kullandık: harf M tek yön seçebilirsiniz, mektup O- iki, bir mektup R- iki şekilde.

Örnek 8. Kelimenin harfleri aynı şekil ve büyüklükteki altı kart üzerine yazılmıştır. yetenek- her kartta bir harf. Kartlar iyice karıştırılır. rastgele alınır ve masaya birbiri ardına yerleştirilir. Kelimenin tekrar gelme olasılığı nedir? yetenek?

Çözüm. Kartları harflerle numaralandıralım:

Yetenek kelimesi (513246) harflerle değiştirilmediği takdirde değişmeyecektir. A yeniden düzenleyin, ancak kartların düzenine göre farklı bir kombinasyon elde edeceksiniz: yetenek (523146). Bu iki kombinasyonun her birinde t harfi ile aynı işlemi yaparsak, üzerinde yetenek yazan 2 farklı kart kombinasyonu daha elde ederiz. Bu, kelimenin görünüşünün yetenek 4 temel sonuç olumludur. Olası temel sonuçların toplam sayısı 6 elementin permütasyon sayısına eşittir: n = 6! = 720. Dolayısıyla gerekli olasılık

Açıklama: Bu olasılık aynı zamanda n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 için aşağıdaki görünümü alan formül (1.3.7) kullanılarak da bulunabilir:

. Böylece P = 1/180.

Örnek 9. Harfler beş aynı karta yazılmıştır: iki karta ben, diğer üçünde Ve. Bu kartlar rastgele yerleştirilir.
sıra. Bunun kelimeyi üretme olasılığı nedir? zambaklar?

Çözüm. Bu beş harfin tekrarlı permütasyon sayısını bulalım.
n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 için formül (1.3.7)'yi kullanarak şunu elde ederiz:

Bu, deneyin eşit olası sonuçlarının toplam sayısıdır; bu olay A - "zambak kelimesinin ortaya çıkışı" biri tarafından tercih edilir. Formül (1.2.1)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

Örnek 10. 10 parçadan oluşan bir partide 7 adet standarttır. Olasılığı bul
Rastgele alınan 6 parçadan 4'ünün standart olduğu.

Çözüm. Olası Ix temel test sonuçlarının toplam sayısı, 10 parçadan 6 parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına, yani her biri 6 elementten oluşan 10 elementin kombinasyon sayısına eşittir ().

A olayı için uygun sonuçların sayısını belirliyoruz - "alınan 6 parçadan 4'ü standarttır." Yedi standart parçadan dördü farklı şekillerde alınabilirken geri kalan 6 - 4 = 2 parçanın standart dışı olması gerekir; 10 - 7 = 3 standart dışı parçadan 2 standart dışı parça çıkarmanın yolları vardır. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısı eşittir.

Gerekli olasılık, olaya uygun sonuçların sayısının tüm temel sonuçların sayısına oranına eşittir:

Açıklama. Son formül (1.3.10) formülünün özel bir halidir: N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.

Örnek 11. 10 kızdan oluşan bir grupta 25 öğrenci arasından 5 bilet çekiliyor. Bilet sahipleri arasında 2 kız olma olasılığını bulunuz.

Çözüm. 5 biletin 25 öğrenci arasında eşit olarak dağıtılmasıyla ilgili tüm durumların sayısı, 5'in 25 öğesinin kombinasyon sayısına eşittir. Bilet alabilecek 15 erkek çocuktan üç kişilik grup sayısı 0'dır. Bu üçünün her biri on kızdan oluşan herhangi bir çiftle birleştirilebilir ve bu çiftlerin sayısı eşittir. Sonuç olarak, her biri üç erkek ve iki kızdan oluşan 25 kişilik bir gruptan oluşan 5 öğrencilik grup sayısı. , çarpıma eşittir. Bu çarpım, gruptaki öğrenciler arasında üç biletin erkeklere, iki biletin kızlara gitmesi için beş bilet dağıtmanın olumlu durumlarının sayısına eşittir. Formül (1.2.1)'e uygun olarak gerekli olasılığı buluyoruz

Açıklama. Son formül (1.3.10) formülünün özel bir halidir: N= 25, M= 15, n = 5, m = 3.

Örnek 12. Bir kutuda 15 kırmızı, 9 mavi ve 6 yeşil top vardır. Rastgele 6 top çekiliyor. 1 yeşil, 2 mavi ve 3 kırmızı topun çekilmesi olasılığı nedir (A olayı)?

Çözüm. Kutuda sadece 30 top var. Bu deney için eşit derecede mümkün olan tüm temel sonuçların sayısı olacaktır. A olayı için uygun olan temel sonuçların sayısını sayalım. 15 kırmızı toptan üçü farklı şekillerde seçilebilir, 9 toptan iki mavi top farklı şekillerde seçilebilir, 6 toptan bir yeşil top farklı şekillerde seçilebilir
Olumlu sonuçların sayısı ürüne eşittir

Gerekli olasılık formül (1.3.10) ile belirlenir:

Örnek 14. Zarlar 10 kez atılıyor. 1, 2, 3, 4, 5, 6. tarafların sırasıyla 2, 3, 1, 1, 1, 2 kez ortaya çıkma olasılığı nedir (A olayı)?

Çözüm. A olayı için olumlu sonuçların sayısını (1.3.7) formülünü kullanarak hesaplıyoruz:
Bu deneydeki tüm temel sonuçların sayısı n = 6 · 10'dur, dolayısıyla

Görevler
1. 5 adet özdeş kartın üzerine B, E, R, S, T harfleri yazılmıştır. Bu kartlar rastgele bir sıraya dizilir. BREST kelimesinin ortaya çıkma olasılığı nedir?
2. Bir kutuda 4 mavi ve 5 kırmızı top vardır. Kutudan rastgele 2 top çekiliyor. Bu topların farklı renkte olma olasılığını bulun.
3. Takımda 4 kadın ve 3 erkek bulunmaktadır. Tugay üyeleri arasında tiyatroya 4 bilet çekilişle yapılıyor. Bilet sahipleri arasında 2 kadın 2 erkek olma olasılığı nedir?
4. Bir kutuda 2'si beyaz, 3'ü kırmızı ve 5'i mavi olmak üzere 10 top rastgele çekiliyor. 3 topun da farklı renkte olma olasılığını bulun.
5. Beş özdeş kartta l, m, o, o, t harfleri yazılıdır. Kartları teker teker kaldırarak, çekiç kelimesini göründükleri sıraya göre elde etme olasılığı nedir?
6. 3'ü kusurlu olan 10 ürün içeren bir partiden 3 ürün rastgele seçilir. Ortaya çıkan numunedeki bir ürünün kusurlu olma olasılığını bulun.
7. On biletten ikisi kazanıyor. Rastgele seçilen beş biletten birinin kazanma olasılığı nedir?

Cevaplar
1. 1/120. 2. 5/9. 3. 18/35. 4 . 0,25. 5 . 1/60. 6 . 21/40. 7 . 5/9.

Sorular
1. Permütasyonlara ne denir?
2. N farklı elementin permütasyon sayısını hesaplamak için hangi form kullanılır?
3. Yerleşimlere ne denir?
4. n farklı elemanın m elemana göre yerleşim sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır?
5. Kombinasyonlara ne denir?
6. m elementin n elementinin kombinasyon sayısını hesaplamak için hangi formülü kullanırsınız?
7. Permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon sayıları arasında hangi eşitlik vardır?
8. Bazı elemanlar tekrarlanıyorsa n elemanın permütasyon sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır?
9. m elemanın n elemanın tekrarı ile yerleşim sayısını hangi formül belirler?
10. m elemanın n elemanının tekrarı ile kombinasyon sayısını hangi formül belirler?

Cevaplar

Görevler

Egzersizler.

1. Aşağıdaki rastgele olaylar arasından güvenilir ve imkansız olayları bulun:

A 1 – Zar atıldığında 10 puanın ortaya çıkması,

A 2 – Üç zar atıldığında 10 puanın ortaya çıkması,

A 3 – Üç zar atıldığında 20 sayının ortaya çıkması,

A 4 – 100’den fazla olmayan rastgele seçilmiş iki basamaklı bir sayı,

A 5 – iki madeni para atıldığında iki armanın ortaya çıkması.

2. A 1 ve A 2 olayları uyumsuz mu:

b) test - zar atmak; olaylar: A 1 – üç noktanın ortaya çıkması, A 2 – tek sayıda noktanın ortaya çıkması,

c) test - iki bozuk paranın atılması; olaylar: A 1 – bir madeni paranın üzerindeki armanın görünümü, A 2 – başka bir madeni paranın üzerindeki armanın görünümü?

3. A 1 ve A 2 olayları eşit derecede mümkün müdür:

a) test - zar atmak; olaylar: A 1 – iki noktanın ortaya çıkması, A 2 – beş noktanın ortaya çıkması;

b) test - zar atmak; olaylar: A 1 – iki noktanın ortaya çıkması, A 2 – çift sayıda noktanın ortaya çıkması;

c) test – bir hedefe iki atış; olaylar: A 1 – ilk atışta ıskalama, A 2 – ikinci atışta ıskalama?

4. Etkinlikler tam bir grup oluşturuyor mu:

a) test - yazı tura atma; olaylar: A 1 - armanın görünümü, A 2 - numaranın görünümü;

b) test – bir hedefe iki atış; olaylar: A 1 - isabet yok, A 2 - bir vuruş, A 3 - iki vuruş?

5. Olayların toplamını bulun:

b) test - zar atmak; olaylar: A – bir noktanın ortaya çıkması, B – iki noktanın ortaya çıkması, C – üç noktanın ortaya çıkması;

c) test - piyango bileti satın alma; etkinlikler: A – 10 ruble kazanmak; B – 20 ruble kazanın; C – 25 ruble kazanın.

6. Olayların ürününü bulun:

a) test – hedefe iki atış; olaylar: A – ilk atışta vuruldu, B – ikinci atışta vuruldu;

b) test - zar atmak; olaylar: A – üç noktanın görünmemesi, B – beş noktanın görünmemesi, C – tek sayıda noktanın ortaya çıkması.

1. NAUGAD kelimesinden rastgele bir harf seçilir. A harfi olma olasılığı nedir? Bunun sesli harf olma olasılığı nedir?

2. Bir zar atın. 4 numarayı alma olasılığı nedir? 4'ten büyük bir sayı gelme olasılığı nedir?

3. 5'i standart dışı olmak üzere 250 parça kontrole tabidir. Rastgele alınan bir parçanın şu şekilde olma olasılığı nedir:

a) standart dışı;

b) standart?

4. Kartların üzerine O, K, T harfleri yazılır. Kartlar rastgele bir sıraya dizilir. CAT kelimesini okuma olasılığı nedir?

5. Altı özdeş kartın her birinin üzerine T, P, C, O, A, M harfleri yazılır. Kartlar karıştırılır ve dördü rastgele bir sıraya konur. TROS kelimesinin ortaya çıkma olasılığı nedir?

6. A, B, C, D, D harflerini taşıyan beş karttan üçü arka arkaya rastgele seçilir ve görünüş sırasına göre bir sıraya yerleştirilir. İKİ kelimesinin çıkma olasılığı nedir?

7. Abone telefonun son iki rakamını unuttu ve numarayı rastgele çevirerek yalnızca farklı olduklarını hatırladı. Doğru sayıların seçilme olasılığını bulun.

Son üç hane unutulursa sorunu çözün.

8. Torbada 3 beyaz ve 7 siyah top vardır. Rasgele çekilen iki topun siyah olma olasılığı nedir?

9. Bakır ve gümüş paralar atılıyor. Her iki madalyonun da ARMA olma olasılığı nedir?

10. Kutu içerisinde 10 adet boyalı olmak üzere 15 adet parça bulunmaktadır. Montajcı rastgele üç parçayı çıkarır. Çıkarılan parçaların boyanma olasılığını bulun.

11. Depoda 4'ü plastik şamandıralı olmak üzere 10 adet gömme rezervuar bulunmaktadır. Şans için 2 tank alındı. Her iki tankın da plastik şamandıralara sahip olma olasılığını bulun.

12. Cihaz, ikisi aşınmış beş elemandan oluşmaktadır. Cihazı açtığınızda iki öğe rastgele açılır. Aşınmamış elemanların dahil edilme olasılığını bulun.

13. Bir konut binasının kaplanması için kaplama fayansları teslim edildi. Kutu içerisinde 300 adet fayans bulunmaktadır. Ürün kusurları %2'dir. Alınan ilk üç taşın kusurlu olmama olasılığını bulun.

14. Atölyede altı erkek ve dört kadın çalışıyor. Yedi kişi personel numaraları kullanılarak rastgele seçildi. Seçilen kişiler arasında üç kadının olma olasılığını bulun.

15. Depoda 15 adet resim tüpü bulunmaktadır ve bunların 10 adedi Lvov fabrikasında üretilmiştir. Rastgele alınan beş resim tüpünden üçünün Lvov fabrikasından gelme olasılığını bulun.

16. Grupta 8'i mükemmel öğrenci olmak üzere 12 öğrenci bulunmaktadır. Listeden rastgele 9 öğrenci seçildi. Seçilen öğrenciler arasında beş mükemmel öğrencinin olma olasılığını bulun.

17. On kitap rastgele bir rafa yerleştiriliyor. Yakınlarda üç belirli kitabın bulunma olasılığını bulun.

18. Olya ve Kolya, Yeni Yılı 10 kişilik bir şirkette kutlamaya karar verdiler. İkisi de şenlik masasında yan yana oturmak istediler. Arkadaşlar arasında yerlerin kurayla dağıtılması adettense, dileklerinin gerçekleşme olasılığını bulun.

19. 20 biletten 5'i kazanıyor. Satın alınan biletler arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:

a) üçü de kazanıyor;

b) tek bir kazanan yok;

c) 2 kazanan;

d) 1 galibiyet.

20. Beş kişilik bir bankta 5 kişi rastgele oturuyor. Yakınlarda 3 belirli kişinin olma olasılığı nedir?

21. 12 sporcudan oluşan bir takımda 5 spor ustası bulunmaktadır. Kura ile takımdan 3 sporcu seçilir. Seçilenlerin hepsinin spor ustası olma olasılığı nedir?

22. 8'i kız olmak üzere gruptaki 17 öğrenciden 7'sine bilet çekiliyor. Bilet sahipleri arasında 4 kız olma olasılığı nedir?

23. Bir torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. Bu torbadan rastgele 5 top çekiliyor. Bunlardan 2'sinin beyaz, 3'ünün siyah olma olasılığı nedir?

24. 60 üründen oluşan bir partiden 5 tanesi kusurludur. Partiden rastgele 6 ürün seçiliyor. Bu 6 üründen 2 tanesinin kusurlu olma olasılığını belirleyin.

25. Piyangoda n tane bilet var ve bunlardan m kazanıyor. Bir piyango katılımcısı k bilet alıyor. En az bir biletin kazanma olasılığını belirleyin.

26. N kutuya rastgele dağılmış r tane top var. Aynı kutuda birden fazla top, hatta tüm toplar bulunabilir. Tam olarak r 1 topun birinci kutuya, r 2 topun ikinciye vb., r n topların n'inci kutuya düşme olasılığını bulun.

27. Yedi katlı bir binanın birinci katındaki asansöre üç kişi bindi. Her birinin ikinci kattan başlayarak herhangi bir kattan çıkma olasılığı aynıdır. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun:

A=(tüm yolcular dördüncü katta inecek);

İÇİNDE = (tüm yolcular aynı katta aynı anda inecektir);

C=(tüm yolcular farklı katlarda inecektir).

28. 12 kişinin doğum günlerinin yılın farklı aylarına denk gelme olasılığını bulun.

29. Konumu AB uzunluğundaki telefon hattı üzerindeki C noktasında Bir kırılmanın meydana gelmiş olması da aynı derecede mümkündür. C noktasının A noktasından l'den az olmayan bir mesafede uzaklaşma olasılığını belirleyin.

30. R yarıçaplı bir daireye bir nokta atılıyor. Bu noktanın bu dairenin içine yazılan karenin içine düşme olasılığını bulun.

31. Kelime, her birinin üzerinde bir harf yazılı olan kartlardan oluşur. Kartlar karıştırılır ve geri dönmeden birer birer çıkarılır. Belirli bir kelimenin harflerinin sırasına göre harf içeren kartların çıkarılması olasılığını bulun: a) “olay”; b) “istatistikler”.

32. Beş ciltlik toplu eserler bir rafta rastgele sıralanmıştır. Kitapların cilt numaralandırma sırasına göre (1'den 5'e) soldan sağa doğru sıralanma olasılığı nedir?

33. 15'i kız olmak üzere 25 öğrenciden 4 bilet çekiliyor ve her biri yalnızca bir bilet kazanabiliyor. Bilet sahipleri arasında aşağıdakilerin olma olasılığı nedir: a) dört kız; b) dört genç adam; c) üç erkek ve bir kız?

34. 20 tasarruf bankasından 10'u şehir dışında bulunmaktadır. Anket için 5 tasarruf bankası rastgele seçildi. Seçilen bankalar arasında şehir içinde aşağıdakilerin bulunma olasılığı nedir: a) 3 tasarruf bankası; b) en az bir tane?

35. Üç çifti erkek, iki çifti kadın olmak üzere 5 çift ayakkabı içeren bir kutudan, 2 çift ayakkabıyı, aynı sayıda kadın ve erkek ayakkabısı içeren başka bir kutuya rastgele aktarın. Bundan sonraki ikinci kutuda aynı sayıda erkek ve kadın ayakkabısı bulunma olasılığı nedir?

36. Mağazada 20'si ithal olmak üzere 30 televizyon bulunmaktadır. Farklı marka televizyonların satın alınma olasılıklarının aynı olduğunu varsayarsak, gün içerisinde satılan 5 televizyondan 3'ten fazla ithal televizyonun olma olasılığını bulunuz.

37. Rastgele seçilen bir telefon numarası 5 rakamdan oluşmaktadır. İçindeki tüm sayıların: a) farklı; b) aynı; c) tuhaf mı? Bir telefon numarasının sıfır rakamıyla başlamadığı bilinmektedir.

38. Yarışma için 16 voleybol takımı kurayla iki alt gruba bölünür (her birinde sekiz takım). En güçlü iki takımın şu şekilde sonuçlanma olasılığını bulun: a) farklı alt gruplarda yer alma; b) bir alt grupta.

39. Öğrenci programdaki 25 sorudan 20'sini bilir. Öğrencinin bilette yer alan 4 sorudan en az üçünü yanıtlaması halinde sınav başarılı sayılacaktır. Biletin üzerindeki ilk soruya bakan öğrenci bunu bildiğini fark etti. Öğrencinin: a) testi geçme olasılığı nedir; b) testi geçemeyecek mi?

40. Bir montajcının birbirinden pek az farklı olan 10 parçası vardır; bunlardan dördü birinci türden, ikisi ikinci, üçüncü ve dördüncü türdendir. Aynı anda alınan altı parçadan üçünün birinci türden, ikisinin ikinci türden ve birinin üçüncü türden olma olasılığı nedir?

41. Rastgele sıralanmış on kitaptan 3 tanesinin yakınınızda olması olasılığını bulun.

42. Eski bir zar oyununda kazanmak için üç zar atıldığında toplam puanın 10'u geçmesi gerekiyordu: a) 11 puan alma olasılıklarını bulun; b) kazanmak.

43. Şirkette 3'ü yüksek nitelikli 8 denetçi ve 2'si yüksek nitelikli 5 programcı çalışmaktadır. 3 denetçi ve 2 programcıdan oluşan bir grubun bir iş gezisine gönderilmesi gerekmektedir. Her uzmanın iş gezisine çıkma konusunda eşit fırsatları varsa, bu grupta en az 1 yüksek nitelikli denetçi ve en az 1 yüksek nitelikli programcının bulunması olasılığı nedir?

44. İki kişi saat 18 ile 19 arasında belirli bir yerde buluşmak üzere anlaşarak ilk gelenin diğerini 15 dakika bekleyip daha sonra ayrılması konusunda anlaşmışlardır. Her birinin belirtilen saatte gelişi herhangi bir zamanda gerçekleşebiliyorsa ve varış anları bağımsızsa, karşılaşma olasılığını bulun.

45. Bir daireye rastgele atılan bir noktanın, içinde yazılı olan karenin içine girme olasılığı nedir?

46. Toplu ürün teslim alınırken ürünlerin yarısı kontrol edilir. Kabul koşulu, numunede %2'den az kusur bulunmasıdır. %5 kusurlu olan 100 üründen oluşan bir partinin kabul edilme olasılığını hesaplayın.

	1/3, 1/2	19 b	91/228	33 bir
	1/6, 1/3	19 inç	5/38	33b
	1/50, 49/50	19 gram	35/76	33 inç
	1/6		3/10	34 bir
	1/360		1/22	34b
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 bir
	1/6			37b
	24/91			37 inç
	2/15	27 a	1/216	38 bir
	0,3	27b	1/36	38b
		27 inç	5/54	39 bir
	½			39 b	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 a	1/R7=1/7!= =0,000198		a) 0,125; b) 0,5
	1/5	31b	R 2 R 3 R 2 R 2/R10=2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 a	1/114		1/R5=1/5!= =,00833		0,4375