Her iki makinede vardiya sırasında üretilen kusurlu parça sayısı için bir dağıtım kanunu çizin ve bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını hesaplayın.

192. Saatin ek ayar gerektirme olasılığı 0,2'dir. Rastgele seçilen üç saat arasında ilave ayarlama gerektiren saatlerin sayısının dağılımına ilişkin bir yasa hazırlayın. Ortaya çıkan dağılım yasasını kullanarak bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. Binom yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımı için uygun formülleri kullanarak sonucu kontrol edin.

193. Dördü kazanmayan mevcut altı piyango biletinden, kazanan bir biletle karşılaşılıncaya kadar rastgele bir bilet çekilir. X rastgele değişkeni için bir dağıtım yasası hazırlayın - eğer alınan her bilet geri iade edilmezse, alınan bilet sayısı. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

194. Bir öğrenci en fazla dört kez sınava girebilir. Rastgele değişken X için bir dağıtım yasası hazırlayın - geçme olasılığı 0,75 ise ve daha sonraki her denemede 0,1 artarsa, sınavı geçme girişimlerinin sayısı. Bu rastgele değişkenin varyansını bulun.

195. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin dağılım yasaları verilmiştir:

X–Y rastgele değişkeni için bir dağılım yasası çizin ve D(X–Y) = D(X) + D(Y) dağılım özelliğini kontrol edin.

196. Atölyede bulunan aynı tipteki beş saat arasında yalnızca birinde hizalanmamış sarkaç var. Usta rastgele seçilmiş bir saati kontrol eder. Sarkacın yeri değiştirilmiş bir saat tespit edildiğinde inceleme sona erer (kontrol edilen saatler tekrar görüntülenmez). Ustanın izlediği saat sayısı için bir dağılım kanunu çizin ve bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve dağılımını hesaplayın.

197. Bağımsız rastgele değişkenler X ve Y, dağıtım yasalarıyla belirtilir:

X 2 + 2Y rastgele değişkeninin dağılım yasasını çizin ve matematiksel beklentinin özelliğini kontrol edin: M(X 2 + 2Y) = M(X 2) + 2M(Y).

198. X 1 = 1 ve x 2 = 2 olmak üzere iki değer alan bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisinin 7/6'ya eşit olduğu bilinmektedir. X rastgele değişkeninin değerlerini alma olasılıklarını bulun. 2 X 2 rastgele değişkeni için bir dağılım yasası çizin ve varyansını bulun.

199. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y, dağıtım yasalarıyla belirtilir:

P(X= 3) ve P(Y= 4)'ü bulun. X – 2Y rastgele değişkeninin dağılım yasasını çizin ve matematiksel beklenti ve dağılımın özelliklerini kontrol edin: M(X – 2Y) = M(X) – 2M(Y); D(X – 2Y) = D(X) + 4D(Y).

201-210 numaralı problemlerde normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenler verilmiştir.

201. Rastgele değişken ξ normal olarak dağıtılır. P(0)'ı bul< ξ<10), если Мξ= 10 и Р(10< ξ<20)= 0,3.

202. Rastgele değişken ξ normal olarak dağıtılır. P(35)’i bulun< ξ<40), если Мξ= 25 и Р(10< ξ<15)= 0,2.

203. Rastgele değişken ξ normal olarak dağıtılır. P(1)’i bulun< ξ<3), если Мξ= 3 и Р(3< ξ<5)= 0,1915.

204. <σ).

205. Normal yasaya göre dağıtılan bir rasgele değişken ξ için Р(|ξ–а|<2σ).

206. Normal yasaya göre dağıtılan bir rasgele değişken ξ için Р(|ξ–а|<4σ).

207. Bağımsız rastgele değişkenler ξ ve η normal olarak dağıtılır,

Мξ= –1; Dξ= 2; Мη= 5; Dη= 7. Toplamlarının olasılık yoğunluğunu ve dağılım fonksiyonunu yazınız. P(ξ+η)'yi bulun<5) и Р(–1< ξ+η<3).

208. Bağımsız rastgele değişkenler ξ, η, ζ normal yasaya göre dağıtılır ve Мξ= 3; Dξ= 4; Мη= –2; Dη= 0,04; mζ= 1; Dζ= 0,09. Toplamları için olasılık yoğunluğunu ve dağılım fonksiyonunu yazın. Р(ξ+η+ζ)’yı bulun<5) и Р(–1< ξ+η+ζ<3).

209. Bağımsız rastgele değişkenler ξ, η, ζ normal dağılıma sahiptir ve Мξ= –1; Dξ= 9; Мη= 2; Dη= 4; Мζ= –3; Dζ= 0,64. Toplamları için olasılık yoğunluğunu ve dağılım fonksiyonunu yazın. Р(ξ+η+ζ)’yı bulun<0) и

P(–3< ξ+η+ζ<0).

210. Otomatik makine, çaplarını ξ kontrol ederek silindirler üretir. ξ'nin normal dağıldığını ve a = 10 mm, σ = 0,1 mm olduğunu varsayarak, üretilen silindirlerin çaplarının 0,9973 olasılıkla içerileceği aralığı bulun.

211-220. problemlerde, n = 100 hacimli bir X örneği aşağıdaki tabloda verilmektedir:

burada ölçüm sonuçları x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; n i – x i değerlerinin meydana geldiği frekanslar.

1) w i =n i /n bağıl frekanslarından oluşan bir çokgen oluşturun;

2) örnek ortalamasını, örnek varyansını DB ve standart sapmayı σ B hesaplayın;

3) teorik frekansları hesaplar. Çokgenle aynı çizim üzerinde bir grafik oluşturun;

4) χ 2 kriterini kullanarak nüfusun normal dağılımına ilişkin hipotezi α = 0,05 anlamlılık düzeyinde test edin.

211. bir = 4; b = 3; 212 . bir = 3; b = 2; 213. bir = 5; b = 1; 214. bir = 1; b = 4;

215. bir = 3; b = 5; 216. a=2; b = 3; 217. bir = 4; b = 1; 218. bir = 2; b = 5; 219. bir = 1; b = 2; 220. bir = 5; b = 4.

221-230 numaralı problemlerde, X ve Y özelliklerinin n = 100 hacimli ortak ölçümlerinin sonuçlarının iki boyutlu bir örneği bir korelasyon tablosuyla belirtilir:

burada x i = 0,2·a +(i –1)·0,3·b; y ben = 0,5·a +(j – 1)·0,2·b.

1) Bulun ve σ y. Önceki problemden ve σ x değerlerini alın.

2) Korelasyon katsayısı r B'yi hesaplayın. X ve Y özellikleri arasındaki ilişkinin doğası hakkında bir sonuç çıkarın.

3) Y'nin X üzerinde düz bir regresyon çizgisinin denklemini formda oluşturun.

4) Korelasyon alanını grafik üzerinde çizin; (xi, yi) noktalarını çizin ve düz bir çizgi oluşturun.

221. a = 4; b = 3; 222. a = 3; b = 2; 223. a = 5; b = 1;

224. a = 1; b = 4; 225. a = 3; b = 5; 226. a = 2; b = 3;

227. a = 4; b = 1; 228. a = 2; b = 5; 229. a = 1; b = 2

230. a = 5; b = 4

231-240. problemlerde fonksiyonun maksimum değerini bulun

koşullar altında . Değerleri tablodan alın

gerekli:

1) doğrusal programlama problemini grafiksel bir yöntem kullanarak çözebilir;

2) sorunu tablo simpleks yöntemini kullanarak çözün;

3) destek çözümleri ile uygulanabilir çözüm bölgesinin köşeleri arasındaki yazışmayı gösterin;

241-250 numaralı problemlerde, üç tedarikçi Ai () arasında yoğunlaşan bazı homojen kargoların beş tüketiciye Bj () teslim edilmesi gerekmektedir.

b5 Belirlemek gerekiyor

Tüm kargoların tedarikçilerden alınmasına olanak tanıyan ve tüm tüketicilerin ihtiyaçlarını bu planın minimum maliyetle karşılayacağı optimal bir taşıma planı. “Kuzeybatı” açısı yöntemini kullanarak ilk destek planını bulun. Potansiyel yöntemini kullanarak en uygun planı bulun. Her plan için nakliye masraflarını hesaplayın. 251-260 numaralı görevlerde endüstri dört nesneye sermaye yatırımı yapar. Katkı payının özellikleri ve yerel koşullar dikkate alınarak, finansman miktarına bağlı olarak sektörün karı, ödeme matrisinin unsurları ile ifade edilmektedir. Sorunu basitleştirmek için endüstri kaybının endüstri kârına eşit olduğunu varsayalım. Optimum sektör stratejilerini bulun.

Gerekli:

1) başlangıç ​​verilerini bir tabloda özetleyin ve varsa, saf stratejilerle matris oyununa bir çözüm bulun (aksi halde, bir sonraki adım 2'ye bakın);

3) verilen matris oyununa eşdeğer bir çift karşılıklı ikili problem yaratın;

4) simpleks yöntemini kullanarak doğrudan soruna (B endüstrisi için) en uygun çözümü bulun;

5) değişkenlerin yazışmalarını kullanarak ikili problemin en uygun çözümünü yazın (A endüstrisi için);

6) bu çözümün geometrik bir yorumunu verin (A endüstrisi için);

7) bir çift ikili problemin optimal çözümleri, optimal stratejiler ve oyunun maliyeti arasındaki ilişkiyi kullanarak, karma stratejilerde oyuna bir çözüm bulun;

seçenek 1 seçenek 2 seçenek 3

1. Analitik geometri ve vektör cebiri……………….. 4

2. Doğrusal denklem sistemleri ve karmaşık sayılar………….. 5

3. Fonksiyon grafiklerinin çizilmesi, limitlerin hesaplanması

ve fonksiyonların kesme noktalarının belirlenmesi.…………….……………. 6

4. Fonksiyonların türevleri, en büyük ve en küçük değerleri

segmentte..……………………………………………………….… 9

5. Fonksiyonların araştırılması ve grafiklerin oluşturulması,

çok değişkenli fonksiyonlar, en küçük kareler yöntemi..… 11

6. Belirsiz, belirli ve genel olmayan integral….. 12

7. Diferansiyel denklemlerin ve sistemlerin çözülmesi

diferansiyel denklemler…………….……….…….….…… 14

8. Çoklu ve eğrisel integraller …………………………… 15

9. Sayısal ve kuvvet serilerinin incelenmesi, yaklaşık

diferansiyel denklemlerin çözümleri………………………… 17

10. Olasılık teorisi……………….……………………………… 18

Petr Alekseeviç Burov

Anatoly Nikolayeviç Muravyov

Görevlerin toplanması

©2015-2019 sitesi
Tüm hakları yazarlarına aittir. Bu site yazarlık iddiasında bulunmaz, ancak ücretsiz kullanım sağlar.
Sayfa oluşturulma tarihi: 2017-12-07

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hizmeti kullanma matematiksel beklenti, varyans ve standart sapma hesaplanır(örneğe bakın). Ek olarak F(X) dağılım fonksiyonunun bir grafiği çizilir.

• Çevrimiçi çözüm
• Video talimatları

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi kendisine eşittir: M[C]=C, C – sabit;
2. M=C M[X]
3. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M=M[X]+M[Y]
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M=M[X] M[Y], eğer X ve Y bağımsızsa.

Dispersiyon özellikleri

1. Sabit bir değerin varyansı sıfırdır: D(c)=0.
2. Sabit faktör, dağılım işaretinin altından karesi alınarak çıkarılabilir: D(k*X)= k 2 D(X).
3. X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızsa, toplamın varyansı varyansların toplamına eşittir: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı ise: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Aşağıdaki hesaplama formülü dağılım için geçerlidir:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Örnek. İki bağımsız rastgele değişken X ve Y'nin matematiksel beklentileri ve varyansları bilinmektedir: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerine göre: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Dağılımın özelliklerine göre: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 – 64*6 = 345

Sürekli rastgele değişkenler. Rasgele değişken sistemleri. İki rastgele argümanın bir fonksiyonu. Evrişim formülü. Normal dağılımın kararlılığı, sayfa 3

Rastgele bir X argümanının bir fonksiyonu verilsin. Argümanın dağılım yasasını bilerek bu fonksiyonun matematiksel beklentisini bulmak gerekir.

1. X argümanı bir dağılım serisine sahip ayrık bir rastgele değişken olsun

.

Örnek 3. Ayrık rasgele değişken X dağılımla verilir

Bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun .

Olası Y değerleri:

; ; .

2. X argümanı, p(x) dağılım yoğunluğu tarafından belirlenen sürekli bir rastgele değişken olsun. Bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulmak için önce Y değerinin g(y) dağılım yoğunluğunu bulabilir ve ardından aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: .

Mümkünse değerler , O .

Örnek 4. Rastgele değişken X yoğunlukla verilir (0, π/2) aralığında; bu aralığın dışında p(x)=0. Bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun .

, , , ; Buradan,

§ 17. İki rastgele argümanın işlevi.

Evrişim formülü. Normal dağılımın kararlılığı.

o X ve Y rastgele değişkenlerinin olası değer çiftlerinin her biri, Z rastgele değişkeninin olası bir değerine karşılık geliyorsa, Z denir. iki rastgele argümanın işlevi X ve Y:

.

Diğer örnekler fonksiyonun dağılımının nasıl bulunacağını gösterecektir. Bilinen terim dağılımlarına göre. Bu sorun pratikte sıklıkla ortaya çıkar. Örneğin, bir ölçüm cihazının okumalarının X hatası eşit şekilde dağılmışsa, o zaman görev, hataların toplamının dağılım yasasını bulma görevi ortaya çıkar. .

Durum 1. X ve Y- olsun ayrık bağımsız rastgele değişkenler. Z=X+Y fonksiyonuna ait dağılım yasasını çizebilmek için Z'nin olası tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulmak gerekir. Başka bir deyişle Z rastgele değişkeninin bir dağılım serisi derlenir.

Örnek 1. Dağılımlarla belirtilen ayrık bağımsız rastgele değişkenler X ve Y

3. RASTGELE DEĞİŞKENLER. RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI

Rastgele değişken Aynı koşullar altında yapılan testler sonucunda, genel olarak, dikkate alınmayan rastgele faktörlere bağlı olarak farklı değerler alan bir miktara denir. Rastgele değişkenlere örnekler: bir zarda atılan puanların sayısı, bir partideki kusurlu ürünlerin sayısı, bir merminin çarpma noktasının hedeften sapması, bir cihazın çalışma süresi vb. Ayrık ve sürekli değişkenler vardır. rastgele değişkenler. ayrık Olası değerleri sonlu veya sonsuz sayılabilir bir küme (yani elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan rastgele bir değişken denir.

Sürekli Olası değerleri sayı doğrusunda sonlu veya sonsuz bir aralığı sürekli olarak dolduran rastgele bir değişken denir. Sürekli bir rastgele değişkenin değerlerinin sayısı her zaman sonsuzdur.

Rastgele değişkenleri Latin alfabesinin sonundaki büyük harflerle göstereceğiz: X, e, . ; rastgele değişken değerleri – küçük harflerle: X, y,. . Böylece, X Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin tamamını belirtir ve X -Özel anlamlarından bazıları.

Dağıtım kanunu Ayrık bir rastgele değişken, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasında herhangi bir biçimde belirtilen bir yazışmadır.

Rastgele değişkenin olası değerlerine izin verin X. Test sonucunda rastgele değişken bu değerlerden birini alacaktır yani; Çiftler halinde uyumsuz olaylardan oluşan tam bir gruptan bir olay meydana gelecektir.

Bu olayların olasılıkları da bilinsin:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası X adlı bir tablo şeklinde yazılabilir. Yakın dağıtım Ayrık rastgele değişken:

İki bağımsız rastgele değişken x ve y'nin dağılım yasası verilmiştir

Q P

Q
P

Bu geometrik bir dağılım yasasıdır.

(yakınsak bir seri elde ederiz, çünkü
).

Görev 4. Partiden itibaren 10 Standart olmayan üç parça vardır. İki parça rastgele seçildi. Standart olmayan parça sayısının seçilen iki parça arasında dağılımına ilişkin yasayı yazınız. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplayın.

Çözüm. Rastgele değişken X– seçilen iki parça arasında standart olmayan parçaların sayısı aşağıdaki olası değerlere sahiptir:


Olasılıklarını bulalım

Rastgele bir değişkenin istenen dağılım yasasını oluşturalım

Matematiksel beklentiyi bulma

.

Görev 5. X'in değerine ilişkin olası tahmin (altı ay boyunca hisselerin değerindeki cari oranlara göre yüzde değişim) bir dağıtım kanunu şeklinde verilmektedir:

Hisse satın almanın banka mevduatına yıllık %36 oranında para yatırmaktan daha karlı olma olasılığını bulun.

Çözüm. Banka mevduatındaki tutardaki aylık %3 oranındaki artış 6 ay sonra gerçekleşecek. Hisse satın almanın banka mevduatından daha karlı olma ihtimali, hisse senedinde daha yüksek bir artışa karşılık gelen olasılıkların toplamı ile belirleniyor. hisse senedi fiyatı:

Sorun 6. Belirli bir otomobil bayisinde otomobillerin bakımı ve reklamı için günlük harcamalar ortalama 100 bin ruble ve satış sayısı olsun X Gün boyunca arabalar aşağıdaki dağıtım kanununa uyar:

a) 150 bin ruble araba fiyatında günlük kârın matematiksel beklentisini bulun. b) Araba sayısının günlük satışlarındaki sapmayı bulun.

Çözüm. a)Günlük kâr aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır

P = (150 X– 100) bin ruble

Gerekli karakteristik M(P), matematiksel beklentinin yukarıdaki özellikleri kullanılarak bulunur (bin ruble cinsinden):

b) Rastgele bir değişkenin dağılım kanunu X 2 şuna benziyor:

M(X 2) = 0 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 + 9 ∙ 0,1 + 16 ∙ 0,1 + 25 ∙ 0,1 + 36 ∙ ∙0,05 + 49 ∙ 0,05 + 64 ∙ 0,025 + 81 ∙ 0,025 = 13,475.

Beklenti M(X) = 2,675. Sonuç olarak istenen dağılım değerini elde ederiz:

Sorun 7. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından tüm eksende belirtilir
. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu ve olasılığını bulun X aralığın içerdiği değeri alacaktır ( 0,1 ).

Çözüm. Tanım gereği

Şekil 4'teki problemin çözümüne eşlik etmek faydalıdır.

Z sorun 8. Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu, Şekil 5'te gösterilen forma sahiptir.

Bulgular: a) olasılık yoğunluk fonksiyonu; b) grafiğe bakmak F(X), bir rastgele değişkenin ana özelliklerini, örneğin olası değerlerin aralığını, en olası değerleri vb. belirtir; V) M(X), D(X) ; G) P(X 2 ) . O halde parçanın iyi olma olasılığı şuna eşittir:

Bir parçanın üretimini “başarı” olasılığı olan bağımsız bir deneyim olarak görüyoruz P=0,31 . Daha sonra gerekli parça sayısı ilişkiden belirlenir.

Görev 1. Piyango şunları içerir: 5.000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den'e mal olan 4 TV. üniteler, 200 den değerinde 5 video kayıt cihazı. birimler 7 gün boyunca toplam 1000 bilet satılıyor. birimler Bir bilet satın alan bir piyango katılımcısının elde ettiği net kazançlar için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X'in olası değerleri - bilet başına net kazanç - 0 - 7 = -7 paraya eşittir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200 – 7 = 193, 250 – 7 = 243, 5000 – 7 = 4993 den. birimler (bilette sırasıyla VCR, TV veya araba kazancı varsa). 1000 biletten kazanamayanların sayısının 990 olduğunu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğunu düşünürsek ve klasik olasılık tanımını kullanarak şunu elde ederiz:

onlar. dağıtım serisi

Görev 2. Bir öğrencinin disipline göre bir oturumda yarıyıl sınavını geçme olasılığı A Ve B, sırasıyla 0,7 ve 0,9'a eşittir. Bir öğrencinin gireceği yarıyıl sınavlarının sayısına ilişkin bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin olası değerleri X— geçilen sınav sayısı – 0, 1, 2.

İzin vermek A Ben– öğrencinin başarılı olacağı gerçeğinden oluşan bir etkinlik Ben sınav ( Ben=1,2). Bu durumda öğrencinin oturumdaki 0, 1, 2 numaralı sınavları geçme olasılığı sırasıyla eşit olacaktır (olayları sayıyoruz) A 1 ve A 2 bağımsız):

Yani rastgele değişkenin dağılım serisi

Görev 3. Hesaplamak M(X) rastgele bir değişken için X— görev 1'e göre net kazanç.

onlar. ortalama kazanç sıfırdır. Sonuç, bilet satışlarından elde edilen tüm gelirlerin kazanca aktarılacağı anlamına gelir.

Görev 4. Rastgele değişkenlerin dağılım yasaları biliniyor X Ve e– 1. ve 2. atıcıların attığı puanların sayısı.

İki atıcıdan hangisinin daha iyi atış yaptığını bulmak gerekir.

Rastgele değişkenlerin dağılım serileri dikkate alındığında X Ve e, sayısal değerlerin çokluğu nedeniyle bu soruyu cevaplamak hiç de kolay değil. Ayrıca, ilk atıcının attığı puan sayısının aşırı değerleri ile oldukça yüksek olasılıkları var (örneğin, 0,1'den fazla). X= 0; 1 ve X= 9; 10) ve ikinci atıcının orta değerleri vardır ( e = 4; 5; 6).

Açıkçası, iki atıcıdan daha iyi atıcı, ortalamada daha fazla puan alan atıcıdır.

yani iki atıcının attığı ortalama puan sayısı aynıdır.

Görev 5. Problem 4'te, her atıcı için atılan puan sayısının varyansını ve standart sapmasını hesaplayın.

Yani, atılan puan sayısının ortalama değerleri eşitse ( M(X)=M(e)) varyansı, yani. ortalama değere göre saçılma özelliği, ikinci atıcı için daha az ( D(X)

Bundan emin oluyoruz

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasının X iki terimli sahibiz

Görev 7. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi iki bilinmeyen değerden oluşur. Bir rastgele değişkenin bu değerlerden birini alma olasılığı 0,8'dir. Matematiksel beklentisi 3,2 ve varyansı 0,16 olan bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulun.

Çözüm. Dağıtım serisi şu şekildedir:

veya

Ortaya çıkan sistemi çözerek iki çözüm buluyoruz:

Ve

Dağıtım fonksiyonunun ifadesini yazıyoruz:

veya

Görev 8. Bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu göz önüne alındığında X:

a) Olasılık yoğunluğunu bulun F(X); b) grafikler oluşturmak F(X) Ve F(X); c) bundan emin olun X– sürekli rastgele değişken; d) olasılıkları bulun P(X=1), P(X

Sorun 10. Banka kredi verdi N tutarda farklı borçlulara S R. her biri bir kredi faiz oranında R. a) Borçlunun krediyi geri ödeme olasılığı şuna eşitse, bankanın kârının matematiksel beklentisi ve dağılımının yanı sıra faiz oranı koşulunu bulun. P; b) Kârın matematiksel beklentisi ve standart sapması N =1000, P =0,8, S= 100 bin ruble Ve R = 30%.

Çözüm. a) Borçlular birbirleriyle akraba olmadıklarından, sahip olduğumuzu varsayabiliriz. N bağımsız testler. Her denemede bankanın kredi kaybetme olasılığı q = = 1 – p'dir. İzin vermek X– krediyi faiziyle geri ödeyen borçluların sayısı, ardından bankanın karı formülle belirlenir

Nerede X binom dağılım yasasına sahip rastgele bir değişkendir.

Kredi vermek yalnızca pozitif bir matematiksel kâr beklentisiyle (pozitif ortalama kâr) anlamlı olduğundan, o zaman koşuldan M( P) > 0 ise faiz oranının koşulu aşağıdaki gibidir:

b) Kredi faiz oranı matematiksel kâr beklentisinin pozitif olması koşulunu karşılamaktadır: 30 >100(1 – 0,8)/0,8. Kârın matematiksel beklentisi:

100 ∙ 1000(30 ∙ 0,8/100 – 0,2) = 4 milyon ruble.

Kârın standart sapması:

Sorun 1. 25 deri ceketten oluşan bir partiden 5'inde gizli bir kusur var. 3 ceket satın alın. Satın alınanlar arasındaki kusurlu ceket sayısının dağılım yasasını bulun. Bir dağıtım poligonu oluşturun.

Görev 2. Bilançonun hazırlanmasında hata yapılma olasılığı 0,3'tür. Denetçiye vardığı sonuç için işletmenin 3 bilançosu sunuldu. Kontrol edilen bakiyelere ilişkin olumlu sonuçların sayısının dağıtımına ilişkin bir yasa hazırlayın.

Görev 3.İki alıcı bağımsız olarak birer satın alma işlemi gerçekleştirir. İlk alıcının satın alma olasılığı 0,8, ikinci alıcının satın alma olasılığı 0,6'dır. Rastgele değişken X– Müşteriler tarafından yapılan satın almaların sayısı. Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını açıklayın X.

Görev 4.İki konserve fabrikası mağazaya 2:3 oranında ürün tedarik ediyor. Birinci tesiste en kaliteli ürünlerin payı %90, ikinci tesiste ise %80'dir. Mağazadan 3 kutu konserve yiyecek satın alındı. En kaliteli ürünlerin bulunduğu kutu sayısının matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

Görev 5. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X fonksiyon tarafından (–π/2; π/2) aralığında belirtilir
Bu aralığın dışında
Parametre bul İLE ve rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirleyin X(0; π/4) aralığına.

Görev 6. Rastgele değişken X olasılık yoğunluğu tarafından verilen
– ∞’da

4)M(X) = 2,519, σ( X) ≈ 0,64; 5)C = 1/2; 6)
7)M X= =1sa., D X= 1/3 saat 2; 8)σx = 48,8 gr.

SMOLENSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ

OLASILIK TEORİSİNE GÖRE

Olasılık teorisinin limit teoremleri.

Matematiksel beklentisi ve varyansı olan herhangi bir rastgele değişken için Chebyshev eşitsizliği geçerlidir:

P(| X— A|> ε )≤
(1)

P(| X— A|≤ ε )≥ 1-

Chebyshev'in teoremi : Varyans ise N bağımsız rastgele değişkenler X 1 , X 2 . X N aynı sabitle sınırlıdır, daha sonra sayı sınırsız bir artışla N Rastgele bir değişkenin aritmetik ortalaması, olasılık açısından matematiksel beklentilerinin aritmetik ortalamasına yakınsar;

Sonuçlar: Bağımsız rastgele değişkenler ise X 1 , X 2 . X N aynı matematiksel beklentilere sahip, eşit A ve varyansları aynı sabitle sınırlıysa Chebyshev eşitsizliği ve Chebyshev teoremi şu şekli alır:

Bernoulli teoremi : Olayların göreceli sıklığı N her birinde aynı olasılıkla meydana gelebilecek tekrarlanan bağımsız denemeler P sayısında sınırsız bir artışla N olasılıkta olasılığa yakınlaşır P bu olayın ayrı bir testte incelenmesi:

Aynı dağıtılmış miktarlar için merkezi limit teoremi : Eğer X 1 , X 2 . X N– eşit matematiksel beklentilere sahip bağımsız rastgele değişkenler M[ X Ben ] =A, varyans D[ X Ben ]= A 2 ve üçüncü dereceden mutlak merkezi momentler M(| X Ben — A Ben | 3 )= M Ben , (
) , daha sonra miktarın dağıtım kanunu e N = X 1 + X 2 +. + X N en
sonsuza kadar normale yaklaşır. Özellikle, eğer tüm rastgele değişkenler X Ben eşit olarak dağılmışsa, toplamlarının dağılım yasası, aşağıdaki durumlarda süresiz olarak normal yasaya yaklaşır:
.

Moivre-Laplace'ın yerel teoremi : Eğer olasılık P bir olayın meydana gelmesi A her denemede sabit ve 0 ve 1'den farklı ise olasılık P M , N olay A olacak M her defasında N yeterince büyük sayıda bağımsız testler N, yaklaşık olarak eşit

,

.

Moivre-Laplace integral teoremi : Eğer olasılık P bir olayın meydana gelmesi A her denemede sabit ve 0 ve 1'den farklıysa, bu sayının olasılığı M bir olayın meydana gelmesi A V N arasında değişen bağımsız testler sonuçlandırılmıştır. A ile B(dahil), yeterince büyük sayıda N yaklaşık olarak eşit

–

Laplace fonksiyonu (veya olasılık integrali);

,
.

Dersin amacı : 1. Merkezi limit teoremini uygulama koşullarına hakim olun.

2. Normal dağılım yasasıyla ilişkili olasılıkları hesaplama becerilerini güçlendirmek.

3. Öğrencilere büyük sayılar yasasının tezahürünü tanımayı öğretin.

Bu konuyla ilgili bir ders için aşağıdaki soruların cevapları hazırlanmalıdır:

Büyük sayılar yasasının özü nedir?

Chebyshev eşitsizliğinin pratik ve teorik önemi nedir?

Chebyshev teoreminin pratik önemi nedir?

Bernoulli teoremini kullanarak bağıl frekansların kararlılık özelliğini açıklayın.

Olasılık teorisinin merkezi limit teoreminin özü nedir?

Görev 1. Bir hayvan çiftliğinde ortalama su tüketimi günde 1000 litredir ve bu rastgele değişkenin standart sapması 200 litreyi geçmez. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak seçilen herhangi bir günde çiftliğin su akışının 2000 L'yi aşmama olasılığını tahmin edin.

Çözüm. Dağılım D(X)=σ 2 ≤200 2 . 0≤X≤2000 aralığının sınırları matematiksel beklentiye göre simetrik olduğundan M(X)=1000İstenilen olayın olasılığını tahmin etmek için Chebyshev eşitsizliği uygulanabilir.

,

onlar. 0,96'dan az değil.

Görev 2.İstatistiklere göre yeni doğanların ortalama %87'si 50 yaşına kadar yaşıyor. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, 1000 yeni doğan bebekten 50 yıla kadar hayatta kalanların oranının bu olayın olasılığından (mutlak değer olarak) 0,04'ten fazla farklı olmayacağı olasılığını tahmin edin.

,

onlar. 0,929'dan az değil.

Görev 3. 200 özdeş kutudan oluşan bir gruptaki elektrik lambalarının ortalama yanma süresini belirlemek için her kutudan bir lamba örneklendi. Seçilen 200 elektrik lambasının ortalama yanma süresinin, yanmanın standart sapmasının biliniyorsa, tüm gruptaki lambaların ortalama yanma süresinden 5 saatten fazla (mutlak değer olarak) farklı olma olasılığını tahmin edin. Her kutudaki lambaların kullanım süresi 7 saatten azdır.

İstenilen olayın olasılığını bulma

,

onlar. 0,9902'den az değil.

Görev 4. En az 0,95 olasılıkla, bu ölçümlerin aritmetik ortalamasının miktarın gerçek değerinden 1'den (mutlak değer olarak) farklı olmadığını garanti etmek için belirli bir miktarda kaç ölçüm yapılması gerekir? her ölçümün standart sapması 5'i geçmiyor mu?

Bulması gerekiyor N, hangisinde

.

Chebyshev eşitsizliğini uygulayalım:

, Neresi

ve
, yani en az 500 ölçüm gerekli olacaktır.

Görev 5. Metro trenleri aralıklarla çalışıyor 2 dakika. Her yolcu diğerlerinden bağımsız olarak rastgele bir anda platforma varır. Bu trene bindim 75 yolcular. Toplam bekleme sürelerinin bir ile iki buçuk saat arasında olma olasılığı nedir?

Çözüm. Bekleme süresini belirtelim Ben geçen yolcu X Ben. Bir yolcunun trenler arasında herhangi bir zamanda varmasının eşit derecede mümkün olduğunu varsaymak doğaldır. Resmi olarak bu şu anlama gelir X Ben olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip tekdüze bir dağılım yasasına sahiptir

F(X) =

Daha sonra
Ve

Toplam bekleme süresi e=∑ X Ben sınırlı varyanslara sahip daha fazla sayıda bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerin toplamını temsil eder. Merkezi limit teoremi sayesinde şu ifade edilebilir: e normale yakın bir dağılım kanununa sahiptir. Normal dağılım yasası matematiksel beklenti ve dağılımla belirlenir. Bunları sayalım.

N(75,25) . Sorun hesaplamayı gerektiriyor

Görev 6. Atıcı büyük olasılıkla ilk ona girer 0,4 , dokuza kadar - olasılıkla 0,3 , sekize kadar - olasılıkla 0,2 , yedide - olasılıkla 0,1 . ne zaman olma ihtimali nedir? 25 saldırgandan ateş açıldı 250 puanları düşürecek 220 ile 240 gözlük?

Çözüm. izin ver Ben-th, atıcının kadranlarını vurdu X Ben puan. Miktarlar X Ben bağımsız ve aynı dağılıma sahip

Puanların toplamı e= Sınırlı varyanslı, çok sayıda bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış terimlerin toplamı olduğundan, normale yakın bir dağılım yasasına sahiptir; parametreleri

N(225,25) Ve P(220 2 ). Bir ölçümde hatanın aşılmama olasılığı nedir? 1 MK'mi? Ölçüm doğruluğunu artırmak için şunları yaptık: 25 ölçümlerde gözlenen değerlerin aritmetik ortalaması ölçülen değer olarak alınır. Bu durumda hatanın aşılmama olasılığı nedir? 1 MK'mi? (Talimat: normal dağılım yasasının kararlılık gerçeğini kullanın.) Ölçüm hatasının dağılım yasası bilinmiyorsa ve yalnızca varyansı biliniyorsa son olasılığı belirleyin; 4 mk2.

Çözüm.İzin vermek X– ölçüm hatası. Daha sonra

Ölçüm hatasının dağılım yasası bilinmiyorsa Chebyshev eşitsizliğinden:

P(|  0 | 1 , o zaman her iki Moivre-Laplace teoremi de geçerlidir.

a) Moivre-Laplace yerel teoremine göre

b) Rastgele değişken X başarıların göreceli sıklığını anlamlı kılar N deneyler ve D

Pearson deneyinde, bir deneydeki başarı olasılığından göreceli başarı sıklığının sapması şuna eşit olduğundan:
daha sonra Moivre-Laplace integral teoremine göre

Görev 1. Ortalama olarak belirli bir bölgenin çalışan nüfusunun %10'u işsizdir. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, ankete katılan 10.000 çalışma çağındaki şehir sakini arasındaki işsizlik oranının %9 ila %11 (dahil) aralığında olacağı olasılığını tahmin edin.

Görev 2. Bir sigorta şirketinin deneyimi, yaklaşık her beş sözleşmeden birinde sigortalı bir olayın meydana geldiğini göstermektedir. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak, yapılması gereken sözleşme sayısını tahmin edin, böylece 0,9 olasılıkla sigortalı olayların payının 0,1'den (mutlak değer olarak) 0,01'den fazla sapmayacağı belirtilebilir.

Görev 3. Bankaların kayıtlı sermayesi incelendiğinde, bankaların beşte birinin kayıtlı sermayesinin 100 milyon rublenin üzerinde olduğu tespit edildi. 1800 banka arasında kayıtlı sermayesinin 100 milyon rublenin üzerinde olma olasılığını bulun: a) en az 300; b) 300'den 400'e kadar.

Görev 4. Menkul kıymet satan bir satıcının bunları satma olasılığı 0,7'dir. Satılanların aralarındaki payının 0,7'den (mutlak değer olarak) 0,04'ü geçmeyecek şekilde sapacağının 0,996 olasılıkla ifade edilebilmesi için kaç adet menkul kıymet bulunmalıdır?

Görev 5. Bir sigorta şirketinin 10.000 müşterisi vardır. Kazaya karşı sigortalı olanların her biri 500 ruble katkıda bulunuyor. Kaza olasılığı 0,0055, mağdura ödenen sigorta tutarı ise 50.000 ruble. Aşağıdaki durumların olasılığı nedir: a) sigorta şirketinin zarara uğraması; b) Müşterilerden alınan tüm fonların yarısından fazlası sigorta tutarlarının ödenmesine mi harcanacak?

Bu ilginç:

• L'Hopital kuralını kullanarak bir fonksiyonun bir noktadaki limitini bulma L'Hopital kuralını kullanarak bir fonksiyonun limitini bulma, 0/0 ve ∞/∞ formundaki belirsizlikleri ortaya çıkarma. Aşağıdaki hesap makinesi L'Hopital kuralını kullanarak (türevler aracılığıyla) bir fonksiyonun limitini bulur.
• Matematik portalı Gezinti görünümü arama Gezinti Buradasınız: Ana Sayfa Matematiksel analiz L'Hopital kuralı L'Hopital kuralı. Teorem (L'Hopital'in $\frac$ veya $\frac$ biçimindeki belirsizlikleri açıklama kuralı). Fonksiyonların […]
• Promosyonun kuralları “İkinci milyonu açmak!” >> 1. Adım. Bir promosyon kodu alın Bir katılımcının promosyon kodunu kia.ru web sitesinden veya doğrudan resmi KIA bayilerinden alabilirsiniz: kia.ru web sitesinden bir promosyon kodu almak için şunları yapmanız gerekir: […]
• Deniz taşıtları talebi Deniz taşıtlarına isim tahsis prosedürü Rusya Ulaştırma Bakanlığı'nın 20 Ağustos 2009 tarih ve 141 sayılı emriyle ONAYLANMIŞTIR Deniz taşıtlarına isim tahsis usulüne ilişkin DÜZENLEMELER I. Genel hükümler 1. Prosedüre ilişkin düzenlemeler […]

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenin hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa, iki rastgele değişken $X$ ve $Y$ bağımsız olarak adlandırılır. Yani, herhangi bir $x$ ve $y$ için $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsızdır. $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsız olduğundan, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ sağ)\sağ)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Örnek 1 . Rastgele değişken $X$, bir "Rus Lotosu" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançları ifade etsin ve $Y$ rastgele değişkeni, başka bir "Altın Anahtar" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançlarını ifade etsin. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsız olacağı açıktır, çünkü bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançlar, başka bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançların dağıtım yasasına bağlı değildir. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin aynı piyangonun kazancını ifade etmesi durumunda, bu durumda, bu rastgele değişkenlerin bağımlı olacağı açıktır.

Örnek 2 . İki işçi farklı atölyelerde çalışarak, üretim teknolojileri ve kullanılan hammaddeler açısından birbiriyle ilgisi olmayan çeşitli ürünler üretiyorlar. Vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım kanunu aşağıdaki biçimdedir:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ x & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(dizi)$

İkinci işçinin vardiya başına ürettiği kusurlu ürün sayısı aşağıdaki dağıtım yasasına uygundur.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ y & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(dizi)$

Vardiya başına iki işçinin ürettiği kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım yasasını bulalım.

Rastgele değişken $X$ vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı ve $Y$ vardiya başına ikinci işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı olsun. Koşula göre, $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsızdır.

Vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürünlerin sayısı $X+Y$ rastgele bir değişkendir. Olası değerleri $0,\1$ ve $2$'dır. $X+Y$ rastgele değişkeninin değerlerini alma olasılıklarını bulalım.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0,8\cdot 0,7=0,56,$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ veya\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Daha sonra vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısının dağıtım yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ Arızalı \ ürün sayısı & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Olasılık & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(dizi)$

Önceki örnekte $X,\Y$ rastgele değişkenleri üzerinde bir işlem gerçekleştirdik, yani bunların $X+Y$ toplamını bulduk. Şimdi rastgele değişkenler üzerindeki işlemlerin (toplama, fark, çarpma) daha net bir tanımını verelim ve çözüm örnekleri verelim.

Tanım 1. Bir rastgele değişken olan $X$'ın bir sabit değişken olan $k$ ile çarpımı $kX$, aynı olasılıklarla $kx_i$ değerlerini alan bir rastgele değişkendir $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ right)$.

Tanım 2. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı (farkı veya çarpımı), $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ veya $x_i\cdot y_i$) biçimindeki tüm olası değerleri alan rastgele bir değişkendir. , burada $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $p_(ij)$ olasılıkları ile $X$ rastgele değişkeninin $x_i$ değerini ve $Y$ $y_j$ değerini alması muhtemeldir:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

$X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.

Örnek 3 . Bağımsız rastgele değişkenler $X,\ Y$ olasılık dağılım yasalarıyla belirtilir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını formüle edelim. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı, yani $X+Y$, $x_i+y_j$ biçimindeki tüm olası değerleri alan bir rastgele değişkendir; burada $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , olasılıklarla $p_(ij)$ rastgele değişken $X$ $x_i$ değerini alır ve $Y$ $y_j$ değerini alır: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.

Yani sırasıyla $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri için dağıtım yasalarına sahiptir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ toplamının tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulma kolaylığı için, her hücrede $Z=2X+Y$ toplamının değerlerini sol köşeye yerleştireceğimiz bir yardımcı tablo oluşturacağız. Z=2X+Y$ ve sağ köşede - bu değerlerin olasılıkları, $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin olasılıklarının çarpılması sonucu elde edilir.

Sonuç olarak $Z=2X+Y$ dağılımını elde ederiz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(dizi)$

İki rastgele değişkenin minimum (maksimum) dağılımı yasası. Sıra istatistiklerinin dağılım kanunu

Bu bölümde öncelikle böyle bir fonksiyonel dönüşümü ele alacağız c. c., iki değerin maksimumunun (minimumunun) seçilmesinden oluşur.

Problem 1. İki rastgele değişkenin minimumunun dağılım yasası. Sürekli bir sistem verilmiştir. V. (X ve X2) p.r./(*! ile) x 2). R.v.'nin dağıtım fonksiyonunu bulun. Y:

Çözüm. Önce P'yi bulalım ( Y> y) = P (Xi > y; X 2 > y). Bölge D(y), nerede X> y ve X 2 > yŞekil 2'de gösterilmiştir. 9.6.1. Bir noktaya ulaşma olasılığı (X[,X2) bölgeye D(y) eşittir

Nerede F(xbx2) - sistem dağıtım fonksiyonu c. V. (Хь Х 2), F x(jq), F 2 (x2) - dağıtım fonksiyonları c. V. X Ve X 2 sırasıyla. Buradan,

P.r.'yi belirlemek için. g (y) sağ tarafın türevini bulmanız gerekir (9.6.1):

Eğer s. V. X x, X 2 bağımsızdır ve p.r. ile aynı şekilde dağıtılır. Fi(X) =/ 2 (x) =f(x), O

Örnek 1. Ortak çalışması cihazın çalışması için kesinlikle gerekli olan iki blok Bi ve B2'den oluşan bir cihazın çalışmasını ele alıyoruz. B Blok çalışma süreleri! ve B2 bağımsız s'yi temsil eder. V. X Ve X2, parametrelerle üstel yasalara göre dağıtılır X Ve X 2. Dağıtım yasasını bulmak gerekir c. V. U- Teknik ünitenin çalışma süresi.

Çözüm. Açıkça görülüyor ki

Formülleri (9.6.4) kullanarak şunları buluruz:

yani. en az iki bağımsız rastgele değişken, X x ve X 2 parametreleriyle üstel yasalara göre dağıtılır, ayrıca X x parametresiyle üstel yasalara göre dağıtılır + X 2. ?

Problem 2. Minimumun dağıtım kanunu N bağımsız rastgele değişkenler. Sistem göz önüne alındığında N bağımsız köyler V. (X x, X 2, ..., Xp) pr ile .f (xx),f 2 (x2), ...,f n (xn). F'yi bul. R. ve yoğunluk c. V. Y= dk. (X X,.... X p).

Çözüm. Tanım gereği

Örnek 2. Aşağıdakilerden oluşan otomatik bir sistemin (AS) çalışmasını ele alıyoruz: N alt sistemler Konuşmacıların çalışması için herkesin çalışması gerekiyor N alt sistemler; /th alt sisteminin çalışma süresi 7} parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır (/ = 1, 2, P) ve diğer alt sistemlerin çalışma süresine bağlı değildir. AS'nin hatasız çalışmasının zaman dağılımı D i) yasasını belirleyin.

Çözüm. Açıkça görülüyor ki

Formül (9.6.6)'yı kullanarak r.v. dağıtım fonksiyonunu buluruz. D l)

Böylece dağıtım kanunu c. V. - minimum N bağımsız köyler c. üstel yasalara göre dağıtılan da üsteldir; parametresi iken i)S n)) bu üstel dağılımların parametrelerinin toplamına eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor

Dağıtım kanununun c olduğu gösterilebilir. V. D i) yeterince büyük olduğunda N s olsa bile üstel yasaya yakınlaşacaktır. V. 7) (/= 1, 2, ..., P)üstel yasalara göre dağıtılmaz. Bunu eşit olarak eşit şekilde dağılmış s örneğini kullanarak gösterelim. V.:

Bu durumda

ve bu f. R. gösterici yasa.

Böylece mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan bir sonuca varabiliriz: Herhangi bir cihaz, cihazın çalışması için çalışması kesinlikle gerekli olan, yeterince fazla sayıda n elemanından oluşuyorsa, daha sonra cihazın hatasız çalışmasının zaman dağılımı kanunu F p) parametre ile üstel değere yakındır., formülle belirlenir

nerede M[ Tj- i'inci elemanın ortalama hatasız çalışma süresi.

Böyle bir cihazın arıza akışı parametresi ile Poisson'a yakın olacaktır. )Sn ?

Problem 3. İki rastgele değişkenin maksimumunun dağılım yasası. Sürekli bir sistem verilmiştir. V. (Хь X 2) yoğunlukla/(lbs x 2). R.v dağıtım yasasını bulmak gerekir.

Çözüm. Tanım gereği,

Nerede F(xx, x 2) - sistem dağıtım işlevi (X ve X2).

Daha önce yaptığımız gibi bu ifadenin türevini alırsak şunu elde ederiz:

Rastgele değişkenler ise X ve X2 eşit olarak dağıtılırsa

Rastgele değişkenler ise Xx 2 bağımsızlar o zaman

Rastgele değişkenler ise Xx 2 bağımsız ve eşit olarak dağıtılmışsa,

Örnek 3. Bi ve B2 bloklarının montajı tamamlanmadan teknik bir cihazın çalıştırılmasına başlanamaz. Bi ve B 2 bloklarının montaj süresi bağımsız bir s sistemidir. V. Xx Ve X2, parametrelerle üstel yasalara göre dağıtılır Xx Ve X 2. Y- her iki teknik spesifikasyon bloğunun montajının tamamlanma zamanı.

Çözüm. Açıkça görülüyor ki Y= maksimum (X x X 2). Dağıtım yoğunluğu c. V. ^formül (9.6.12) ile belirlenir

Bu yasa gösterge niteliğinde değildir. ?

Problem 4. Maksimumun dağılım yasası N bağımsız rastgele değişkenler. Sürekli bir sistem verilmiştir. V. (X x, X 2 , ..., Xp) yoğunluk ile f(x x, x 2,

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını bulun

Çözüm. Tanım gereği

Nerede F(x 1, X 2 ,..., x p) - sistem dağıtım fonksiyonu (X x, X 2, ..., X p). Farklılaşma yaparak dağıtım yoğunluğunu buluruz:

Nerede Fj (Xj) - F. R. İle. V. Xjfj(xj) - yoğunluğu.

Eğer s. V. Xb ..., X p bağımsız ve eşit olarak dağıtılmış (Fi(y) = F(y);f (y) =f(y) (/"= 1,N)), O

Rastgele değişkenler ise X ve ..., X p bağımsızlar o zaman

Örnek 4. Teknik ekipmanın çalışması, tüm ekipmanların montajından önce başlayamaz. N blokları: B b Bg, ..., B. B b..., B l bloklarının montaj süreleri bir sistemi temsil eder N bağımsız köyler V. (Ha..., X p), A.1,..., A, s parametreleriyle üstel yasalara göre dağıtılır.

C yoğunluğunu bulmamız gerekiyor. V. U- tüm montajın tamamlanma süresi N TU blokları.

Çözüm. Açıkçası y = maksimum (X,..., X p). Formül (9.6.16)'ya göre elimizde

Problem 5. Sıra istatistiklerinin dağılım kanunu. Aynı şekilde dağıtılmış, bağımsız s'lerden oluşan sürekli bir sistem düşünelim. V. (X v X 2, ..., Xp) f. R. F(x) ve p.r./(x). Rastgele değişkenlerin varsaydığı değerleri düzenleyelim X v X 2, ..., X p, artan sırada ve şunu belirtir:

X (1) - en küçük değerleri alan rastgele değişken: (X (1) = min (X v X 2, ..., X p));

X(2) - rastgele değişkenlerin kabul edilen ikinci en büyük değeri X v X 2, ..., X p;

X(T) - y-ben rastgele değişkenlerden kabul edilen değerin büyüklüğüne göre X x, X 2, ..., Xp;

X(P) - kabul edilen değere göre en büyük rastgele değişken X, X 2, x™ (X (n) =Şah (X ve X 2, ..., Xp)).

Açıkça,

Rastgele değişkenler X(i), X@),..., X(") denir sıralı istatistikler.

Formüller (9.6.8) ve (9.6.17), ekstrem terimlerin dağılım yasalarını verir X(i), Ve X(") sistemler (*).

Dağıtım fonksiyonunu bulalım F^m)(x)s. V. X^t y Etkinlik (X^x) bu Tİle. V. sistemden Nİle. V. (X ( , X 2 ,..., X n) x'ten küçük olacak ve (p-t)İle. V. x'ten büyük olacaktır. S'den beri. V. Xt (/" = 1, 2,..., P) bağımsız ve aynı şekilde dağılmışsa, P (Xtx) = F(x) R (Xj > x) = 1 - F(x). olasılığını bulmamız lazım N bağımsız deneyler etkinliği (Xj x) tam olarak görünecek T bir kere. Binom dağılımını uygulayarak şunu elde ederiz: