Dünyamız neden güzel? Çünkü yaşayan doğanın formları ve renkleri, sıkı matematiksel analizlerle ortaya çıkan genel uyum yasalarına büyük ölçüde uyuyor. Doğayı incelerken, kural olarak hemen değil, ayrıntılı bir matematiksel analizden sonra ortaya çıkan, giderek daha fazla estetik özellik buluyoruz.
İnsan etrafındaki nesneleri şekillerine göre ayırt eder. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Yapımı simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur.
Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.
Doğal geometri yasalarını yeni bir durumda kullanırken, geometrik yapılarla ilgili konulardaki dersleri incelemek için çalışılan geometrik yasaları yeniden düşünür ve geometrik sezgiyi geliştiririz.
Çeşitli içeriklerde yaratıcı görevlerin yerine getirilmesi sürecinde geometrik bilginin olası uygulama alanları (sanatçılar, mimarlar, tasarımcılar vb.) ile tanıştık.
Bilgiyi gösteren grafik araçlar toplumun her alanında kullanılmaktadır. Tam bir imaja sahipler, sembolizm, kompaktlık ve göreceli okuma kolaylığı ile karakterize ediliyorlar. Genişletilmiş kullanımlarını belirleyen grafik görüntülerin bu nitelikleridir. Yakın gelecekte sunulan bilgilerin yarısından fazlası grafiksel olarak sunulacaktır. Tanımlayıcı geometri, mühendislik grafikleri ve diğer ilgili bilimlerin teorik temellerinin geliştirilmesi, grafik görüntüleri elde etme yöntemlerini genişletti. Grafik görüntülerin oluşturulması ve tasarım belgelerinin hazırlanmasına ilişkin manuel yöntemlerin yanı sıra, bilgisayar yöntemleri de giderek daha fazla kullanılmaktadır. Yeni bilgi teknolojilerinin kullanılması, çeşitli yazılım araçları kullanılarak grafik görüntülerin oluşturulmasını, düzenlenmesini, saklanmasını ve çoğaltılmasını sağlar.
I. Cebirsel eğriler hakkında temel bilgiler
1. Astroid
Bir astroid (Yunanca >-yıldızından), yarıçapının dört katı olan sabit bir daireye iç taraftan dokunan ve kaymadan onun boyunca yuvarlanan, hareketli bir daire üzerindeki bir nokta tarafından tanımlanan bir eğridir. Asteroitin sınırladığı alan, sabit dairenin alanının sekizde biri kadardır ve astroidin toplam uzunluğu, bu dairenin yarıçapının altı katına eşittir.
Astroidin Kartezyen dikdörtgen koordinatlardaki denklemi:
x + y = R.
Astroid grafiği şu şekilde oluşturulmuştur:
:: y > 0 (yarıçap R = 5) için fonksiyonun grafiğini oluşturduk;
:: Fonksiyonun grafiğini oluşturduk.
2. Kardioid
Kardioid (Yunanca >-kalp ve eidos-görünümünden), dışarıdan aynı yarıçaptaki sabit bir daireye dokunan ve kaymadan onun boyunca yuvarlanan bir daire üzerindeki sabit bir nokta ile tanımlanan düz bir eğridir. Eğri, kalbe benzerliği nedeniyle adını almıştır.
Kardioid grafiklerin yapımı da >'da gerçekleştirildi.
3. Nefroit
Nefroid (Yunanca hephros-böbrek, eidos-türünden), iki kat daha büyük bir daire boyunca dışarı doğru yuvarlanan bir dairenin sabit bir noktasıyla tanımlanan bir eğridir. Nefroitin özellikleri ilk olarak 17. yüzyılda Sakson soylu E. V. Tschirnhaus tarafından incelenmiştir. Nefroit iki kardioidden oluşur.
4. Pascal'ın salyangozu.
Pascal salyangozu düzlemsel bir cebirsel eğridir. Adını onu ilk inceleyen Etienne Pascal'dan (Blaise Pascal'ın babası) almıştır. Kutupsal koordinatlarda denklem. l = 2a olduğunda bir kardioid elde edilir.
II. Matematiksel modellemenin uygulanması.
1. Dize grafiklerinin yaratılışının tarihi
İplik grafikleri (veya izothread), karton veya başka bir katı taban üzerindeki ipliklerle özel bir şekilde yapılmış bir grafik görüntüsüdür. İplik grafiklerine bazen izografik veya karton üzerine nakış da denir.
> (iplik grafikleri veya izothread) terimi Rusya'da, İngilizce konuşulan ülkelerde bu ifade kullanılır - kağıt üzerinde nakış, Almanca konuşulan ülkelerde - terim.
Bir dekoratif ve uygulamalı sanat türü olarak iplik grafikleri ilk olarak 17. yüzyılda İngiltere'de ortaya çıktı. İngiliz dokumacılar iplik dokumanın özel bir yolunu buldular. Tahtalara çivi çaktılar ve üzerlerine belirli bir sırayla iplik çektiler. Sonuç, evi dekore etmek için kullanılan ajur dantel ürünleriydi. (Bu eserlerin kumaş üzerine desenler için bir tür eskiz olduğu yönünde bir versiyon ortaya çıktı). Modern sarf malzemeleri çok etkileyici ürünler elde etmeyi mümkün kılmaktadır.
Orijinal iplik grafiği tekniğinin yanı sıra, iplik tasarımının başka bir yönü daha vardır - aynı teknikleri (köşeleri ve daireleri doldurma tekniği) kullanarak karton üzerine nakış (izotread).
Filament grafiklere ilgi ortaya çıktı ve sonra ortadan kayboldu. Popülerliğin zirvelerinden biri 19. yüzyılın sonundaydı. Çocuklar için erişilebilir, basit ve kolay, kağıt üzerinde alışılmadık bir nakış yöntemini anlatan iğne işi üzerine kitaplar yayınlandı. Çalışmada delikli kartlar (hazır şablonlar) ve köşeyi doldurma tekniği, dikişler >, > (eğrileri işlemek için) kullanıldı. Minimum fon kullanarak herkes (ve en önemlisi çocuklar) tatil için süslü hediyelik eşyalar yapabilir.
Artık bu sanat dünyanın birçok ülkesinde uygulanmaktadır.
Ülkemizde izothread hakkında az miktarda bilgi vardır, çoğunlukla bilgilendirme amaçlıdır: dergilerde bireysel yayınlar > 1995 yılında Minsk profesörü G. A. Branitsky'nin bir kitabı yayınlandı > ve M. I. Nagibina'nın bir kitabı > isothread hakkında küçük bir bölüm içeren .
Mevcut bilgileri analiz ettikten sonra, bu tür iğne işi üzerine, her yerde yalnızca üreme çalışma yönteminin kullanıldığı, adım adım talimatlar ve fikir albümleri şeklinde birçok kitabın yayınlandığını bulmayı başardık.
İzothread'in avantajı, hızlı bir şekilde yapılması ve birçok ilginç desen ortaya çıkarabilmenizdir. Bu tür yaratıcılık hayal gücünü, gözü, parmakların ince motor becerilerini, sanatsal yetenekleri ve estetik zevki geliştirir. İplik grafiği tekniğini kullanarak sadece dekoratif paneller değil, aynı zamanda tebrik kartları, hediyelik eşya kapakları ve kitap ayraçları da yapabilirsiniz.
Isothread (iş parçacığı grafikleri veya iş parçacığı tasarımı) birkaç yöne sahip olabilir:
1) üreme yöntemi: bir şablona göre çalışın, adım adım talimatlar, hazır desenlerin ve nakış kitlerinin dağıtımı
2) kısmen arama (proje): karton üzerinde hesaplamayı öğrenmek (yani kendi şaheserlerinizi yaratmak), kendi tekniklerinizi ve kombinasyonlarınızı aramak, arka planla, ipliklerle - uygulama malzemesiyle "oynamak"
3) kombine - her şey “ABC” ile başladığında hazır diyagramlarla çalışıyoruz, ancak malzemenin türünü (renk) değiştirip “şaheser”e ulaşıyoruz.
2. Dizi grafiğinin temel teknikleri
İplik grafikleri başka isimler altında da bilinir: izothread (yani iplikli görüntü), grafik nakış. Tekniğe hakim olmak için bir açının, dairenin ve yayın nasıl doldurulduğunu bilmek yeterlidir.
Teknik 1. Köşenin doldurulması.
Kartonun arkasına bir açı çizin ve her tarafı eşit sayıda parçaya bölün. Noktaları bir iğne veya ince bir bızla delip, iğneye geçirip şemaya göre dolduruyoruz.
Teknik 2. Dairenin doldurulması.
Pusulayla bir daire çizelim. 12 eşit parçaya bölüp şemaya göre dolduralım.
Teknik 3. Arkın doldurulması.
Bir yay çizip eşit parçalara bölelim ve bölme noktalarında delikler açalım. İğneyi geçirin ve şemaya göre doldurun
III. Araştırma çalışması.
Programdaki yapılar >.
Problem 1. Bir doğru parçasını n eşit parçaya bölmek.
Çözüm 1. Parçanın orta noktaları oluşturularak 2, 4, 8, 16 vb. parçaya bölme işlemi gerçekleştirildi.
Çözüm 2. Ayrıca Thales teoremini kullanarak bir parçayı keyfi sayıda parçaya bölme işlemini de gerçekleştirdik.
Görev 2. Bir daireyi 6, 12, 24 parçaya bölmek.
Çözüm 1. Bir daireyi parçalara ayırmanın farklı yollarını arıyorduk. Programda > bir daire çizdik, noktaları rastgele sırayla yerleştirdik, ortaya çıkan açıları ölçtük ve ardından > istenen değer elde edilene kadar noktaları daire boyunca hareket ettirdik. Monoton ve ilgi çekici olmayan bir işti. İlk bölümün 12 parçaya bölünmesindeki hata akorların uzunluğunda + 0,15 cm idi. Durumu analiz etmeye ve sorunları çözmenin en uygun yollarını aramaya başladık. Sonuç olarak bir daireyi 6, 12, 24 parçaya bölmek için çeşitli çözümler bulduk.
Çözüm 2. Daire üzerinde 6 nokta işaretleyin, tüm açıları ölçün, noktaları her açı 60 [o] olacak şekilde hizalayın. Daha sonra programı kullanarak her açının açıortaylarını çizdik. Sonuç 12 parçaya bölünmeydi. Ve 24 parçaya bölmek için ortaya çıkan açıların açıortaylarını tekrar çizdik. Bu yapının hatasının +0,01 derece olduğu ortaya çıktı.
Çözüm 3. Programı kullanarak aynı yarıçapta 3 daire oluşturduk (kopyalama kullanarak), bunları şekilde gösterildiği gibi birleştirdik. Dairelerin kesişme noktalarını işaretleyin. Ortaya çıkan açıları ölçtük, 60 [o]'ya eşit çıktılar. Daha sonra 12 ve 24 parçaya bölmek için açıortaylar oluşturduk. Böyle bir çözümün hatası sıfırdır.
Problem 3. Bir daireyi 9, 18, 36 parçaya bölmek.
Önceki sorunu çözmenin en uygun yolunu bulduktan sonra, benzer şekilde bir daireyi 9, 18 ve 36 parçaya bölmenin yollarını aramaya başladık. 18 ve 36 parçaya bölme ancak açıortay yapısı kullanılarak 9 nokta oluşturulduktan sonra gerçekleştirilebilir.
Çözüm. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Yarım daireyi yaklaşık 40 [o]'luk 4 yaya ve 20 [o]'luk bir yaya böldük. Programı kullanarak noktaları hareket ettirerek gerekli tüm açı ölçümlerini gerçekleştirdik. Daha sonra oluşturulan noktaları seçtik ve > komutunu kullanarak dairenin merkezine göre 180 derecelik açıdaki noktaları ikinci yarım daireye yansıttık. Bu yapının hatası +0,04 dereceydi.
Problem 4. Cebirsel eğrilerin oluşturulması
Astroid
Çözüm 1. Asteroit, aşağıdaki algoritma kullanılarak koordinat düzlemi üzerinde inşa edilir:
:: Ordinat ekseninin noktalarını apsis ekseninin noktalarına bölme sayılarının toplamı 10 verecek şekilde bağlamak gerekir (örneğin: 1 ve 9, 2 ve 8, 3 ve 7, vb.).
:: Koordinat düzleminin geri kalan çeyreğindeki noktaları aynı sırayla bağlayın.
Çözüm 2. Bir daire çizin, dik çaplar oluşturun ve her yarıçapı çift sayıda parçaya bölün. Önceki algoritmaya göre noktaları segmentlere bağladık.
Çözüm 3. Bir daireyi 6 parçaya bölmenin en uygun tekniğini öğrendikten sonra 6 yıldızlı bir asteroit inşa ettik.
Çözüm 4. 8 yıldızlı bir asteroitin inşası, dik açılı açıortayların inşa edilmesiyle gerçekleştirildi.
Kardioid
Çözüm. Kardioid oluşturmak için taban bir daire olacaktır. Kardioid aşağıdaki plana göre inşa edildi:
:: bir daire çizdi ve onu 36 parçaya böldü (her biri 10 derece);
:: dış noktaları saat yönünün tersine 1'den 36'ya kadar numaralandırdı;
:: iç noktalar diyagram 1'e göre numaralandırılmıştır;
:: aynı dahili ve harici numaralara sahip bağlantılı noktalar;
:: zarf kardioid olacaktır.
Şema 1 Şema 2
IV. Yaratıcılığımız.
>'da tasarım ve modellemenin temel tekniklerine hakim olarak kendimizi tasarımcı ve sanatçı olarak gerçekleştirmeye çalıştık. Aşağıdaki çalışmaları geliştirdik ve uygulamaya koyduk:
Sonuç, sonuçlar
>,” diye belirtmişti Aristoteles 2500 yıl önce. Çağdaş Sukhomlinsky'miz buna inanıyordu >. Ve matematik sürpriz için harika bir konudur.
Mevcut materyali derinlemesine inceledikten sonra, eğri oluşturmanın yeni bir yöntemiyle tanıştık - matematiksel nakış, geometrik şekiller oluşturmak için tanıdık teknikler kullanmak (bir açı oluşturmak, bir parçayı eşit parçalara bölmek, noktaları belirli bir sırayla birleştirmek, bir parçayı bölmek) programda eşit parçalara bölün >). Matematiksel nakış ile uzun zamandır bilinen bir dekoratif ve uygulamalı sanat türü olan isothread arasında inanılmaz bir benzerlik bulduk.
İnternette izothread işlemeli ve özel literatürde çok sayıda fotoğraf var, ancak bunlara eklenmiş diyagramlar yok. Matematiksel nakışın yaratıcı bir süreç olduğu sonucuna vardık. Çalışmamızda ortaya koyduğumuz matematiksel modellemenin temellerini bilerek, yaratıcı düşünme, mantık ve sabır kullanarak bireysel > uygulamalı sanat yapabilirsiniz.
Matematiksel nakışlar sadece bizim değil, birçok okul öğrencisinin (hem kız hem de erkek) ilgisini çekti. Modern bilgi teknolojilerinin matematik ile sanatı birleştirmeyi mümkün kılacağına inanıyoruz.
Astroid(Yunan astronu - yıldız) - bir yıldızın stilize edilmiş görüntüsüne benzeyen bir eğri.
x = a* cos(t)^3, y = a* sin(t)^3 formülü bir asteroit çizer; burada katsayı Aşeklin uzamasını etkiler.
Episikloidler
Başka bir durumu ele alalım. Daireyi başka bir (referans) dairenin içinde değil, dış tarafı boyunca döndüreceğiz. Artık ortaya çıkan tüm eğriler aileye ait olacak episikloidler(Yunanca epi - açık, yukarıda). Bu tür rakamlar şunları içerir: kardiyodida ve Pascal'ın kokleası
Kardioid ve Pascal kokleası
Kardioid
Aynı yarıçapa sahip iki daire kullanırsanız ve birini diğerinin etrafında döndürürseniz, kardiyoid(Yunanca kardiya - kalp) - matematikçilere göre ortaya çıkan eğri belli belirsiz bir kalbe benziyor
r = 2a(1 + cos(teta)) formülü bir kardioid çizer 
Limacon veya Pascal Salyangozu
Yuvarlanan dairenin kendisinden değil de içinde bir nokta alıp onu merkezden uzaklaştırırsak eğriler nasıl davranacak? Sonra adı verilen bir eğri elde ederiz Pascal salyangozu veya Limakona.
Limacona Fransız matematikçi Etienne Pascal (ünlü bilim adamı Blaise Pascal'ın babası) tarafından keşfedildi.
Formül r = b + 2a cos(teta) çizer limacona (Pascal salyangozu)
b = 2a'da Limakona olur kardiyodom .
Eğrilerle efektler
Yani daire, kardioid ve Pascal salyangozunun formüllerini biliyoruz. Formüllerin çok benzer olduğu görülebilir; geriye kalan tek şey, ilk etkiyi elde etmek için bunları tek bir döngüde birleştirmek.
Dim x Tekli Olarak, y Tekli Olarak, b Tekli Olarak
Dim twoPi Tekli Olarak, I Tekli, R Tekli Olarak
ikiPi = Atn(1) * 8
Ölçek (-25, 25)-(25, -25)
b = 0 ila 8 için Adım 2
I = 0'dan TwoPi'ye Adım 0.01 için
R = b + 6 * Cos(I)
sütun = RGB(255 - 30 * b, 128 + (-1) ^ (b * 1) * b * 60, b * 110)
Satır (x, y)-Adım(0, 0), sütun, BF
Örneğimizde a sabit bir değerdir ve b bir döngüde b=0'dan b=8'e değişir. Daha küçük olan ilmeğin nasıl bir noktaya dönüştüğünü, daha büyük olanın ise yarıçapını iki katına çıkararak bir kardiyoide dönüştüğünü görüyorsunuz.
Çizimi sonlandıralım. Programı biraz değiştirelim ve güzel bir desen elde edelim
l = 0 ila 200 için Adım 13
t = 0 ila 360 Adım 0,25 için
tt = t * pi / 180
x = a * Cos(tt) * Cos(tt) + l * Cos(tt)
y = a * Cos(tt) * Sin(tt) + l * Sin(tt)
kırmızı = 255 - 250 * Sin(0,31 * l)
yeşil = 255 - 250 * Sin(0,3 * l)
mavi = 255 - 250 * Sin(0,29 * l)
Sütun = RGB(kırmızı, yeşil, mavi)
Eğer l Mod 2 = 0 O zaman
Sütun = RGB(0, 0, 0)
Sütun = RGB(255, l, 255 - l)
Doğru (x + 190, y + 250)-Adım(ss, ss), Col, BF
PSet (x + 190, y + 250), Sütun
konkoid
Pascal Salyangozunu konkoid olarak düşünelim. Eğri teorisine girmeden, aşağıdaki gevşek tanımı vereceğiz: Konkoid, orijinal eğrinin her noktasının belirli bir şekilde belirlenmiş belirli yüzeyler boyunca hareket ettirilmesiyle elde edilen noktaların geometrik yeridir. Pascal Helix'e göre başlangıç eğrisi en yaygın dairedir ve noktalar bu dairenin üzerinde bulunan bir noktadan geçen çizgiler boyunca aktarılır. Grafiksel olarak açıklayalım. Şekilde çember üzerinde sabit bir nokta seçiyoruz R ve değişken nokta M noktaları birleştiren çizgi boyunca kaydırdığımız R Ve M sabit bir mesafeye A.
Ortaya çıkan nokta aileleri, sabit bir noktaya göre bir dairenin konkoididir. Program beklenen resimleri elde etmenizi sağlar. İlk önce a=0,25R'yi atayalım. (Bu değeri kademeli olarak artırın.) Lütfen iki dönüş yapmanın gerekli olduğunu unutmayın (0'dan 720 dereceye kadar f değişkeni olarak da bilinen merkezi açı) - biri noktaları dışarı doğru hareket ettirir, ikinci devrim ise noktaları dairenin içine taşır. Ana incelik, döngüde geçtiğimiz dairenin merkez açısından (derece olarak f veya radyan olarak t değişkenleri) sabit noktayı daire üzerindeki mevcut nokta ile yatay ile birleştiren çizginin açısına geçiştir. eksen (değişken alfa) 
Form1.ScaleMode = vbPixels
"bir dairenin yarıçapı
"bir daireye işaret et
"Rus versiyonu için ayırıcı olarak virgül kullanın!
a = CSng(Metin1.Metin) * R
"bir dönüş yapıyoruz
f = 1 ila 720 için Adım 5
t = f * pi / 180
x = R * (1 + Cos(t))
Eğer x > 0 ise alfa = Atn(y / x)
eğer< 360 Then
X1 = x - a * Cos(alfa)
Y1 = y - a * Sin(alfa)
X1 = x + a * Cos(alfa)
Y1 = y + a * Sin(alfa)
Daire(X1+190, Y1+250), 2, vbBlue
Circle(x+190,y+250),2,vbKırmızı
Doğru (x + 190, y + 250)-(X1 + 190, Y1 + 250), vbGreen
B noktasının cevap yörüngesi - astroid s t)
Sikloid eğriler yalnızca sikloid, epi- ve hiposikloidi değil aynı zamanda aşağıda açıklanan trokoid, kardioid ve astroid'i de içerir.
X, y koordinatları bu durumda astroid denklemini karşılar (Şekil 91)
İstisna verir (astroid)
p = r = (m = 3) olduğunda hiposikloide astroid adı verilir (Şekil 64) ve denklemler x = R os i y = R sin "i veya x -y = R formunu alır.
p = r = - (t = 3) olduğunda hiposikloide astroid adı verilir (Şekil 64) ve denklemler şu formu alır:
Şek. 72 segmenti AB = I, AB = I bağlantısına 0 = 180° açıyla sabitlenmiştir. Bu nedenle, Bi noktasının çizdiği asteroit, B noktasının çizdiği asteroite göre t6 açısı kadar döndürülür,
Söz konusu mekanizmayı kullanarak bu eğriye teğet çizme sorusunu inceleyelim. Yukarıda formüle edilen kurala uygun olarak, astroide teğet, krank çizgisi OA üzerinde, ifadenin (160) sağ tarafındaki kesirin paydasına eşit bir parçayı kesecektir. Şekil 2'de sunulan mekanizma ile ilgili olarak. 72, kesilen parçanın boyutu formül (172) ile belirlenir
Pratikte, astroidlerin üretim koşullarında inşası için, hareket eden her düz çizgi
Şek. Şekil 72'de, 10 numaralı bağlantının S ve Si uçlarına, biri diğerine göre 45° döndürülmüş iki astroid boyunca hareket sağlayan bir mekanizma gösterdik.
Denklemler (57) ve (58) tarafından açıklanan eğri asteroit tipi bir eğri olacaktır. Bu eğrinin simetri eksenleri Ax eksenleri ile oluşur
Asteroitin dışını, 'de yapıldığı gibi, Re5>0 yarım düzleminde gösterelim.
a = p = 1 alarak asteroitin deforme olduğu konturu oluşturuyoruz (Şekil 24).
Kaydırıcılar / ve 2, eksenleri karşılıklı olarak dik olan sabit p ve q kılavuzlarında kayar. Proses a ve 6 kaydırıcı (1 ila 2), eksenleri de karşılıklı olarak dik olan çapraz şekilli kaydırıcının (3) içinde kayar. Bağlantı 4, kaydırıcı 3 ile bir dönme çifti C'ye girer ve kaydırıcılar I ve 2 ile dönme çiftleri L ve B'ye dahil olan bağlantı 6'nın ekseni boyunca kayan çapraz şekilli bir kaydırıcı 5 içinde kayar. kılavuzlar boyunca hareket edin ve K noktası, denklemi = 1 - AB olan bir yay asteroitini tanımlar. Düz çizgi etrafında kıvrılır
Hiposikloidin n - -1 doruk noktası vardır ve bunların her biri, gerilim konsantrasyonu açısından çatlağın sonuna eşdeğerdir (Şekil PZO, n = 3 olan bir astroidi göstermektedir). Bu tür kusurlar kırılganlığın gücünü belirleyebilir
Astroide teğet denklemini bulun.
Şek. Şekil 72, astroidleri yeniden üretmek için tasarlanmış on bağlantılı mekanizmayı göstermektedir. Astroid, m = modülüne sahip sıradan bir hiposikloiddir ve 6. dereceden cebirsel bir eğridir. Astroid adı
Böylece, çizimde gösterilen astroidlerden birine teğet C ve 5 noktalarından, diğerine teğet ise C ve S noktalarından geçecektir. Ancak B ve B noktaları lambdanın B B bağlantı çubuğunun uçlarıdır. Harte düz çizgisindeki grup şeklindedir. Bu nedenle, B ucu her zaman DDj bağlantısı boyunca ve B ucu - C noktasından DDj'ye döndürülen dikey boyunca kayacaktır. Bundan, B noktası tarafından çizilen astroidin, DD bağlantısının tüm konumlarının zarfı olduğu sonucu çıkar. Yukarıdakiler aynı zamanda B noktası tarafından oluşturulan astroidlere veya A'dan I yarıçapı ile çevrelenen daire üzerindeki herhangi bir noktaya da genişletilebilir.
Bilindiği gibi asteroitin çiçeği, eğer asteroitin simetri merkezi kutup olarak seçilirse, dört yapraklı bir gül olur. Bu nedenle Şekil 2'deki ABi = AB doğru parçasının uzatılması yeterlidir. 72'den (veya Şekil 73'ten) AB = ABi = L boyutuna kadar elde etmek için
KUL ISIO-RY ASTROID ÜREME İÇİN ÖNEMLİ VYATKİN MEKANİZMASI
Kanat teorisiyle doğrudan ilgili çalışmayı bitirmek için G.N. Babaeva Flettner rotorları üzerinde (Bilimsel not. Saratov Devlet Üniversitesi, Pedagoji Fakültesi. T. VH. Sayı 11, 1929), burada yazar, kanatları incelemenin olağan yöntemini iki Flettner rotoru durumuna uygular. Bu arada yazar, bu durumda anlar çizgisinin bir asteroit olduğunu gösterdi. İlişkin
- (Yunan astron yıldızı ve eidos görünümünden) yarıçapının dört katı olan sabit bir daireye içten dokunan ve onun boyunca kaymadan yuvarlanan bir daire üzerindeki bir noktayla tanımlanan düz bir eğri. Hiposikloidlere aittir. Cebirsel asteroit... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük
İsim, eş anlamlıların sayısı: 1 eğri (56) Eşanlamlılar sözlüğü ASIS. V.N. Trishin. 2013… Eşanlamlılar sözlüğü
- (Yunan ástron yıldızı ve éidos görünümünden), yarıçapın dört katı olan sabit bir daireye içten dokunan ve onun boyunca kaymadan yuvarlanan bir daire üzerindeki bir noktayla tanımlanan düz bir eğri. Hiposikloidlere aittir. Astroid...... Ansiklopedik Sözlük
- (astro... gr. eidos görünümü) paspas. yarıçapı birincininkinden dört kat daha büyük olan başka bir sabit dairenin içi boyunca kaymadan yuvarlanan bir daire üzerindeki bir noktayla tanımlanan bir düzlem eğri; dört köşeli bir yıldıza benziyor. Yeni sözlük... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü
Düz cebirsel kenara doğru sıralı bir eğri, R = 4r yarıçaplı bir dairenin iç tarafı boyunca yuvarlanan r yarıçaplı bir dairenin bir noktasıyla tanımlanır; r=4 modüllü hiposikloid. Kartezyen dikdörtgen koordinatlarda denklem: parametrik. denklemler... Matematik Ansiklopedisi
Eğri veya çizgi, farklı bölümlerde farklı şekilde tanımlanan geometrik bir kavramdır.
EĞRİ (çizgi), hareketli bir noktanın veya cismin bıraktığı iz. Genellikle bir eğri, bir parabol veya daire gibi yalnızca düzgün bir eğri çizgiyle temsil edilir. Ancak matematiksel eğri kavramı hem düz bir çizgiyi hem de üçgen veya kare gibi düz parçalardan oluşan şekilleri kapsar.
Eğriler düzlemsel ve uzaysal olarak ayrılabilir. Bir parabol veya düz bir çizgi gibi bir düzlem eğrisi, iki düzlemin veya bir düzlem ile bir cismin kesişmesiyle oluşur ve bu nedenle tamamen tek bir düzlemde yer alır. Uzaysal bir eğri, örneğin sarmal yay şeklinde bir sarmal, bir yüzeyin veya cismin bir düzlemle kesişmesiyle elde edilemez ve aynı düzlemde bulunmaz. Eğriler ayrıca kapalı ve açık olarak ikiye ayrılabilir. Kare veya daire gibi kapalı bir eğrinin sonu yoktur; böyle bir eğri oluşturan hareketli nokta, yolunu periyodik olarak tekrarlar.
Eğri, bazı matematiksel koşulları veya denklemleri karşılayan noktaların konumu veya kümesidir.
Örneğin daire, bir düzlemde belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların geometrik yeridir. Cebirsel denklemlerle tanımlanan eğrilere cebirsel eğriler denir.
Örneğin, m'nin eğim ve b'nin y ekseninde kesilen parça olduğu y = mx + b düz çizgisinin denklemi cebirseldir.
Denklemleri logaritma veya trigonometrik fonksiyonlar gibi aşkın fonksiyonlar içeren eğrilere aşkın eğriler denir.
Örneğin, y = log x ve y = tan x aşkın eğrilerin denklemleridir.
Cebirsel bir eğrinin şekli, denklem terimlerinin en yüksek derecesine denk gelen denklemin derecesi ile belirlenebilir.
Denklem birinci dereceden ise, örneğin Ax + By + C = 0 ise eğri düz bir çizgi şeklindedir.
Örneğin ikinci dereceden denklem ise,
Ax 2 + By + C = 0 veya Ax 2 + By 2 + C = 0 ise eğri ikinci derecedendir, yani. konik bölümlerden birini temsil eder; Bu eğriler parabolleri, hiperbolleri, elipsleri ve daireleri içerir.
Konik bölümlerin denklemlerinin genel formlarını sıralayalım:
x 2 + y 2 = r 2 - daire,
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - elips,
y = ax 2 - parabol,
x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hiperbol.
Üçüncü, dördüncü, beşinci, altıncı vb. denklemlere karşılık gelen eğriler. derecelere üçüncü, dördüncü, beşinci, altıncı vb. eğriler denir. emir. Genel olarak denklemin derecesi ne kadar yüksek olursa, açık eğride o kadar fazla bükülme olur.
Birçok karmaşık eğriye özel adlar verilmiştir.
Bir sikloid, sikloidin üreteci olarak adlandırılan düz bir çizgi boyunca yuvarlanan bir daire üzerindeki sabit bir nokta ile tanımlanan bir düzlem eğrisidir; bir sikloid bir dizi tekrarlanan yaydan oluşur.
Bir episikloid, bir daire üzerindeki sabit bir noktanın, onun dışındaki başka bir sabit daire üzerinde yuvarlanmasıyla tanımlanan bir düzlem eğridir.
Hiposikloid, sabit bir daire boyunca içeriden yuvarlanan bir daire üzerindeki sabit bir nokta ile tanımlanan bir düzlem eğridir.
Spiral, sabit bir noktadan başlayarak sırayla çözülen (veya etrafını saran) düz bir eğridir.
Matematikçiler eski zamanlardan beri eğrilerin özelliklerini inceliyorlar ve pek çok alışılmadık eğrinin adı, onları ilk kez inceleyenlerin adlarıyla ilişkilendiriliyor. Bunlar örneğin Arşimed spirali, Agnesi kıvrımı, Diocles sissoidi, Nicomedes kokoidi ve Bernoulli lemniskatıdır.
Temel geometri çerçevesinde eğri kavramı net bir formülasyona sahip değildir ve bazen "genişliksiz uzunluk" veya "bir şeklin sınırı" olarak tanımlanır. Temel olarak, temel geometride eğrilerin incelenmesi, örneklerin dikkate alınmasına indirgenir (, , , vesaire.). Genel yöntemlerden yoksun olan temel geometri, belirli eğrilerin özelliklerinin incelenmesine oldukça derinlemesine nüfuz etmiştir (, bazıve ayrıca), her durumda özel teknikler kullanılarak.
Çoğu zaman bir eğri, bir parçadan aşağıdakilere sürekli bir eşleme olarak tanımlanır:
Aynı zamanda eğriler farklı olsalar bile farklı olabilir.kibrit. Bu tür eğrilere denirparametreleştirilmiş eğrilerveya eğer[ A , B ] = , yollar.
Bazen bir eğri, parametrik eğriler olacak şekilde minimum eşdeğerlik ilişkisine kadar belirlenir.
sürekli (bazen azalmayan) varsa eşdeğerdir H segmentten [ A 1 ,B 1 ] segment başına [ A 2 ,B 2 ], öyle ki
Bu ilişkiyle tanımlananlara basit eğriler denir.
Analitik tanımlar
Analitik geometri derslerinde, Kartezyen dikdörtgen (veya hatta genel afin) koordinatlarda yazılan çizgiler arasında ikinci dereceden genel bir denklem ile kanıtlanmıştır.
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
(A, B, C katsayılarından en az birinin sıfırdan farklı olduğu durumda) yalnızca aşağıdaki sekiz tür çizgi bulunur:
a) elips;
b) abartı;
c) parabol (ikinci dereceden dejenere olmayan eğriler);
d) bir çift kesişen çizgi;
e) bir çift paralel çizgi;
f) bir çift çakışan çizgi (bir düz çizgi);
g) bir nokta (ikinci dereceden dejenere çizgiler);
h) hiçbir nokta içermeyen bir “doğru”.
Tersine, bu sekiz tipin her birindeki herhangi bir çizgi, ikinci dereceden bir denklemle Kartezyen dikdörtgen koordinatlarda yazılır. (Analitik geometri derslerinde genellikle dokuz (sekiz değil) tür konik kesitten bahsederler, çünkü "hayali bir elips" ile bir "hayali paralel çizgi çifti" arasında ayrım yaparlar - geometrik olarak bu "doğrular" aynıdır, çünkü her ikisi de tek bir nokta içermezler ancak analitik olarak farklı denklemlerle yazılırlar.) Bu nedenle (dejenere ve dejenere olmayan) konik kesitler ikinci dereceden çizgiler olarak da tanımlanabilir.
İÇİNDEdüzlem üzerindeki bir eğri, koordinatları denklemi karşılayan bir dizi nokta olarak tanımlanırF ( X , sen ) = 0 . Aynı zamanda fonksiyon içinF Bu denklemin sonsuz sayıda ıraksak çözüme sahip olmasını garantileyen kısıtlamalar uygulanır ve
bu çözüm kümesi “düzlemin parçasını” doldurmaz.
Cebirsel eğriler
Önemli bir eğri sınıfı, fonksiyonun kendisi için olduğu eğrilerdir.F ( X , sen ) Oradaiki değişkenden. Bu durumda denklemle tanımlanan eğriF ( X , sen ) = 0 , isminde.
1. dereceden bir denklemle tanımlanan cebirsel eğriler .
Sonsuz sayıda çözümü olan 2. dereceden bir denklem, dejenere ve dejenere olmayanı belirler.
3. derece denklemlerle tanımlanan eğri örnekleri: , .
4. derece eğri örnekleri: ve.
6. derece eğri örneği: .
Çift dereceli bir denklemle tanımlanan bir eğri örneği: (çok odaklı).
Daha yüksek dereceli denklemlerle tanımlanan cebirsel eğriler dikkate alınır. Aynı zamanda, eğer değerlendirme devam ederse teorileri daha uyumlu hale gelir. Bu durumda cebirsel eğri şu formdaki bir denklemle belirlenir:
F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,
Nerede F- nokta olan üç değişkenden oluşan bir polinom.
Eğri türleri
Düzlem eğrisi, tüm noktaların aynı düzlemde olduğu bir eğridir.
(basit çizgi veya Ürdün yayı, aynı zamanda kontur) - bir düzlemin veya uzayın, çizgi parçalarıyla birebir ve karşılıklı olarak sürekli yazışmalarda bulunan bir dizi noktası.
Yol, içinde bir bölümdür.
cebirsel olmayan analitik eğriler. Daha doğrusu, analitik bir fonksiyonun (veya çok boyutlu durumda bir fonksiyonlar sisteminin) seviye çizgisi aracılığıyla tanımlanabilen eğriler.
sinüs dalgası,
sikloid,
Arşimet sarmalı,
Traktör,
zincir hattı,
Hiperbolik spiral vb.
Eğrileri tanımlama yöntemleri:
analitik – eğri matematiksel bir denklemle verilir;
grafik – eğri, bir grafiksel bilgi taşıyıcısında görsel olarak belirtilir;
tablo şeklinde – eğri, sıralı bir nokta serisinin koordinatlarıyla belirtilir.
parametrik (bir eğrinin denklemini belirtmenin en yaygın yolu):
Nerede - düzgün parametre fonksiyonlarıT, Ve
(X") 2 + (sen") 2 + (z") 2 > 0 (düzenlilik koşulu).
Aşağıdakileri kullanarak bir eğri denkleminin değişmez ve kompakt bir temsilini kullanmak genellikle uygundur:
sol tarafta eğrinin noktaları vardır ve sağ taraf bazı parametrelere bağımlılığını belirler T. Bu girişi koordinatlarda genişleterek formül (1) elde ederiz.
Sikloid.
Sikloid çalışmasının tarihi, Aristoteles, Ptolemy, Galileo, Huygens, Torricelli ve diğerleri gibi büyük bilim adamlarının, filozofların, matematikçilerin ve fizikçilerin isimleriyle ilişkilidir.
Sikloid(itibarenκυκλοειδής - yuvarlak) - düz bir çizgide kaymadan yuvarlanan bir dairenin sınırında bulunan bir noktanın yörüngesi olarak tanımlanabilir. Bu çembere üretme denir.
Eğri oluşturmanın en eski yöntemlerinden biri, eğrinin bir noktanın yörüngesi olarak elde edildiği kinematik yöntemdir. Bir daire üzerinde sabitlenmiş bir noktanın yörüngesi olarak elde edilen, düz bir çizgi boyunca, bir daire veya başka bir eğri boyunca kaymadan yuvarlanan bir eğriye sikloidal denir; bu, Yunanca'dan çevrilmiş, bir daireyi anımsatan dairesel anlamına gelir.
İlk önce dairenin düz bir çizgi boyunca yuvarlandığı durumu ele alalım. Düz bir çizgide kaymadan yuvarlanan bir daire üzerinde sabit bir nokta ile tanımlanan eğriye sikloid denir.
R yarıçaplı bir çemberin a düz çizgisi boyunca yuvarlanmasına izin verin. C, zamanın ilk anında A konumunda bulunan, bir daire üzerinde sabitlenmiş bir noktadır (Şekil 1). Dairenin uzunluğuna eşit bir AB parçasını a doğrusu üzerine çizelim; AB = 2 π R. Bu parçayı A1, A2, ..., A8 = B noktalarına göre 8 eşit parçaya bölün.
A düz çizgisi boyunca yuvarlanan dairenin bir devrim yaptığı açıktır; 360° döndüğünde (8) konumunu alacak ve C noktası A konumundan B konumuna hareket edecektir.
Çember yarım tam devrim yaparsa; 180'e döndüğünde (4) konumunu alacak ve C noktası en yüksek konum olan C4'e hareket edecektir.
Daire 45 derecelik bir açıyla dönerse daire (1) konumuna, C noktası da C1 konumuna hareket edecektir.
Şekil 1 aynı zamanda dairenin geri kalan dönme açılarına (45'in katları) karşılık gelen sikloidin diğer noktalarını da göstermektedir.
Oluşturulan noktaları düzgün bir eğri ile birleştirerek, dairenin bir tam dönüşüne karşılık gelen sikloidin bir bölümünü elde ederiz. Sonraki devirlerde aynı kesitler elde edilecektir, yani. Sikloid, sikloidin kemeri adı verilen periyodik olarak tekrarlanan bir bölümden oluşacaktır.
Teğetin sikloide olan konumuna dikkat edelim (Şekil 2). Bir bisikletçi ıslak bir yolda sürüyorsa, tekerlekten gelen damlalar sikloide teğetsel olarak uçacak ve kalkanların yokluğunda bisikletçinin sırtına sıçrayabilir.
Sikloidi inceleyen ilk kişi Galileo Galilei'dir (1564 – 1642). Ayrıca ismini de buldu.
Sikloidin özellikleri:
Sikloidin bir dizi dikkat çekici özelliği vardır. Bunlardan bazılarına değinelim.
Mülk 1. (Buz dağı.) 1696'da I. Bernoulli, en dik inişin eğrisini bulma problemini, başka bir deyişle, yolculuğu yapabilmek için bir buz kaydırağının şeklinin ne olması gerektiği problemini ortaya attı. A başlangıç noktasından B bitiş noktasına en kısa sürede (Şekil 3, a). İstenilen eğriye “brakistokron” adı verildi, yani. en kısa zaman eğrisi.
A noktasından B noktasına en kısa yolun AB doğru parçası olduğu açıktır. Ancak böyle doğrusal bir hareketle hız yavaş yavaş artar ve iniş için harcanan sürenin büyük olduğu ortaya çıkar (Şekil 3, b).
İniş ne kadar dik olursa hız da o kadar hızlı artar. Ancak dik bir inişle viraj boyunca uzanan yol uzar ve dolayısıyla yolun tamamlanması için gereken süre artar.
Bu problemi çözen matematikçiler arasında G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital ve J. Bernoulli vardı. İstenilen eğrinin ters çevrilmiş bir sikloid olduğunu kanıtladılar (Şekil 3, a). Bu bilim adamlarının brakistokron problemini çözmek için geliştirdiği yöntemler, matematikte yeni bir yönün, varyasyonlar hesabının temelini attı.
Mülk 2. (Sarkaçlı saat.) Sıradan bir sarkaçlı bir saat, sarkacın salınım periyodu onun genliğine bağlı olduğundan doğru bir şekilde çalışamaz: genlik ne kadar büyük olursa, periyot da o kadar büyük olur. Hollandalı bilim adamı Christiaan Huygens (1629 – 1695), bir sarkacın ipi üzerindeki topun salınım periyodunun genliğe bağlı olmaması için hangi eğriyi izlemesi gerektiğini merak etti. Sıradan bir sarkaçta topun hareket ettiği eğrinin bir daire olduğuna dikkat edin (Şekil 4).
Aradığımız eğrinin ters çevrilmiş bir sikloid olduğu ortaya çıktı. Örneğin, ters çevrilmiş bir sikloid şeklinde bir hendek açılırsa ve bunun boyunca bir top fırlatılırsa, o zaman topun yerçekimi etkisi altındaki hareket süresi, başlangıç \u200b\u200bkonumuna ve genliğine bağlı olmayacaktır (Şekil 5). ). Bu özelliği nedeniyle sikloide aynı zamanda "tautochrone" (eşit zamanlı bir eğri) adı da verilir.
Huygens, ipliğin sol ve sağdaki hareketini sınırlayan, kenarları sikloid şeklinde iki ahşap kalas yaptı (Şek. 6). Bu durumda topun kendisi ters çevrilmiş bir sikloid boyunca hareket edecek ve dolayısıyla salınımlarının periyodu genliğe bağlı olmayacaktır.
Özellikle sikloidin bu özelliğinden, ters sikloid şeklindeki buz kaydırağının neresinden inişe başlarsak başlayalım, bitiş noktasına kadar aynı zamanı harcayacağımız sonucu çıkar.
Sikloid denklemi
1. Sikloid denklemini α - dairenin radyan cinsinden dönme açısı cinsinden yazmak uygundur; α'nın aynı zamanda üreten dairenin düz bir çizgide kat ettiği yola eşit olduğuna dikkat edin.
x=ra– R günah α
y=r – rçünkü α
2. Yatay koordinat eksenini, yarıçapı oluşturan dairenin yuvarlandığı düz çizgi olarak alalım. R.
Sikloid parametrik denklemlerle tanımlanır
X = rt – R günah T,
sen = R – Rçünkü T.
Denklem:
Sikloid diferansiyel denklem çözülerek elde edilebilir:
Sikloidin hikayesinden
Sikloide dikkat eden ilk bilim adamıVancak bu eğriyle ilgili ciddi araştırmalar ancak 2000'lerde başladı..
Sikloidi inceleyen ilk kişi ünlü İtalyan gökbilimci, fizikçi ve eğitimci Galileo Galilei (1564-1642) idi. Ayrıca "daireyi andıran" anlamına gelen "sikloid" adını da buldu. Galileo'nun kendisi sikloid hakkında hiçbir şey yazmadı, ancak Galileo'nun öğrencileri ve takipçileri Viviani, Toricelli ve diğerleri onun bu yöndeki çalışmalarından bahsediyor. Ünlü fizikçi ve barometrenin mucidi Toricelli, matematiğe çok zaman ayırdı. Rönesans döneminde dar kapsamlı uzman bilim adamları yoktu. Yetenekli bir adam felsefe, fizik ve matematik okudu ve her yerde ilginç sonuçlar aldı ve büyük keşifler yaptı. İtalyanlardan biraz sonra Fransızlar sikloidi ele aldılar ve ona "rulet" veya "trokoid" adını verdiler. 1634 yılında, ünlü ölçek sisteminin mucidi Roberval, bir sikloidin kemerinin ve tabanının sınırladığı alanı hesapladı. Sikloid üzerine önemli bir çalışma Galileo'nun çağdaşı tarafından yürütüldü. Yani denklemi şu şekilde yazılamayan eğriler arasında X , sen Sikloid incelenenlerin ilkidir.
Sikloid hakkında şunları yazdı:
Rulet o kadar yaygın bir çizgidir ki, düz çizgi ve daireden sonra daha sık karşılaşılan bir çizgi yoktur; herkesin gözünün önünde o kadar sık çizilmiştir ki, eskilerin bunu dikkate almamış olmasına şaşırmak gerekir... çünkü bu, havada bir tekerleğin çivisiyle tanımlanan bir yoldan başka bir şey değildir.
Yeni eğri hızla popülerlik kazandı ve aşağıdakileri içeren derinlemesine analize tabi tutuldu:, , Newton,Bernoulli kardeşler ve 17.-18. yüzyıl biliminin diğer aydınları. Sikloid üzerinde o yıllarda ortaya çıkan yöntemler aktif olarak geliştirildi. Sikloidin analitik çalışmasının cebirsel eğrilerin analizi kadar başarılı olması büyük bir etki yarattı ve cebirsel ve aşkın eğrilerin "eşit hakları" lehine önemli bir argüman haline geldi. Episikloid
Bazı sikloid türleri
Episikloid - R yarıçaplı bir kılavuz daire (dış temas) boyunca kaymadan yuvarlanan, D çapında bir daire üzerinde uzanan A noktasının yörüngesi.
Episikloidin yapımı aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:
0 merkezinden yarıçapı 000=R+r olan bir yardımcı yay çizin;
01, 02, ...012 noktalarından, merkezlerden, episikloide ait A1, A2, ... A12 noktalarındaki yardımcı yaylarla kesişene kadar r yarıçaplı daireler çizin.
Hiposikloid
Hiposikloid, R yarıçaplı bir kılavuz daire (iç teğetlik) boyunca kaymadan yuvarlanan, D çapındaki bir daire üzerinde uzanan A noktasının yörüngesidir.
Bir hiposikloidin inşası aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:
Yarıçapı r olan üretici daire ve R yarıçaplı yönlendirici daire A noktasına değecek şekilde çizilir;
Üreten daire 12 eşit parçaya bölünür, 1, 2, ... 12 noktaları elde edilir;
0 merkezinden yarıçapı 000=R-r olan bir yardımcı yay çizin;
Merkezi açı a, a =360r/R formülüyle belirlenir.
11, 21, ...121 noktalarını elde ederek, a açısıyla sınırlanan kılavuz daire yayını 12 eşit parçaya bölün;
0 merkezinden, 11, 21, ...121 noktalarından, yardımcı yay ile 01, 02, ...012 noktalarında kesişene kadar düz çizgiler çizilir;
0 merkezinden itibaren, oluşturma çemberinin 1, 2, ... 12 numaralı bölme noktalarından yardımcı yaylar çizilir;
01, 02, ...012 noktalarından, merkezlerden itibaren, hiposikloide ait A1, A2, ... A12 noktalarında yardımcı yaylarla kesişene kadar r yarıçaplı daireler çizin.
Kardioid.
Kardioid ( καρδία - kalp, Kardioid özel bir durumdur. "Kardioid" terimi 1741'de Castillon tarafından tanıtıldı.
Bir daireyi ve üzerindeki bir noktayı kutup olarak alırsak, ancak dairenin çapına eşit parçalar çizersek bir kardioid elde ederiz. Biriktirilen segmentlerin diğer boyutları için, konkoidler uzatılmış veya kısaltılmış kardioidler olacaktır. Bu uzatılmış ve kısaltılmış kardioidlere Pascal kokleası da denir.
Kardioidin teknolojide çeşitli uygulamaları vardır. Arabalar için eksantrik ve kam yapımında kardioid şekiller kullanılır. Bazen dişli çizerken kullanılır. Ayrıca optik teknolojisinde de kullanılmaktadır.
Bir kardiyoidin özellikleri
Kardioid -Hareketli bir daire üzerindeki BM kapalı bir yörüngeyi tanımlayacaktır. Bu düz eğriye kardioid denir.
2) Kardioid başka bir şekilde elde edilebilir. Çember üzerinde bir nokta işaretleyin HAKKINDA ve ondan bir ışın çizelim. Eğer noktadan A bu ışının bir daire ile kesişimi, bir doğru parçası çizin AM, uzunluğu dairenin çapına eşittir ve ışın noktanın etrafında döner HAKKINDA, sonra işaret et M kardiyoit boyunca hareket edecek.
3) Kardiyoit, merkezleri belirli bir daire üzerinde bulunan ve bu dairenin sabit noktasından geçen tüm dairelere teğet olan bir eğri olarak da temsil edilebilir. Birkaç daire oluşturulduğunda, kardiyoit sanki kendi başına oluşturulmuş gibi görünür.
4) Kardioidi görmenin aynı derecede zarif ve beklenmedik bir yolu da var. Şekilde daire üzerinde noktasal bir ışık kaynağı görülmektedir. Işık ışınları çemberden ilk kez yansıdıktan sonra kardiyoide teğet olarak hareket ederler. Şimdi dairenin bir bardağın kenarları olduğunu hayal edin; bir noktada parlak bir ampul yansıyor. Siyah kahve bardağa dökülerek parlak yansıyan ışınları görmenizi sağlar. Sonuç olarak, kardiyoid ışık ışınlarıyla vurgulanır. 
Astroid.
Astroid (Yunanca astron - yıldız ve eidos - görünümünden), yarıçapın dört katı olan sabit bir daireye içten dokunan ve onun boyunca kaymadan yuvarlanan bir daire üzerindeki bir noktayla tanımlanan düz bir eğri. Hiposikloidlere aittir. Astroid 6. dereceden cebirsel bir eğridir.
Astroid. Asteroitin tamamının uzunluğu, sabit dairenin altı yarıçapına eşittir ve bununla sınırlı olan alan, sabit dairenin sekizde üçüdür.
Asteroitin uçlarında çizilen sabit dairenin karşılıklı olarak dik iki yarıçapı arasında kalan astroide teğet parçası, noktanın nasıl seçildiğine bakılmaksızın sabit dairenin yarıçapına eşittir.
Asteroitin özellikleri
Dört tane varkaspa .
0 noktasından zarfa kadar yay uzunluğu
uçları karşılıklı iki dik çizgi üzerinde bulunan sabit uzunluktaki segment aileleri.Astroid 6. derecedendir.
Astroid denklemleri
Kartezyen dikdörtgen koordinatlarda denklem:| x | 2 / 3 + | y | 2/3 = R2/3parametrik denklem:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 tAstroid inşa etme yöntemi
Karşılıklı olarak dik iki düz çizgi çiziyoruz ve bir dizi uzunluk parçası çiziyoruzR uçları bu çizgiler üzerinde bulunan. Şekilde bu tür 12 bölüm gösterilmektedir (karşılıklı olarak dik olan düz çizgilerin bölümleri dahil). Ne kadar çok parça çizersek eğriyi o kadar doğru elde ederiz. Şimdi tüm bu parçaların zarfını oluşturalım. Bu zarf asteroit olacak.
Çözüm
Çalışma, farklı denklemlerle tanımlanan veya bazı matematiksel koşulları karşılayan farklı türdeki eğrilere sahip problemlerin örneklerini sağlar. Özellikle sikloidal eğriler, bunları tanımlama yöntemleri, çeşitli yapım yöntemleri, bu eğrilerin özellikleri.
Sikloidal eğrilerin özellikleri, dişlilerdeki mekanikte çok sık kullanılır ve bu, mekanizmalardaki parçaların mukavemetini önemli ölçüde artırır.
