Koşullu dağıtım yasaları. Regresyon.

Tanım. İki boyutlu bir rastgele değişkenin (X, Y) tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu dağılım yasası, diğer bileşenin belirli bir değer alması (veya belirli bir aralığa düşmesi) koşuluyla hesaplanan dağıtım yasasıdır. Önceki derste ayrık rastgele değişkenler için koşullu dağılımları bulmaya baktık. Koşullu olasılıklara ilişkin formüller de burada verilmiştir:

Sürekli rastgele değişkenler durumunda j y (x) ve j X (y) koşullu dağılımlarının olasılık yoğunluklarının belirlenmesi gerekir. Bu amaçla verilen formüllerde olayların olasılıklarını “olasılık unsurları” ile değiştiriyoruz!

dx ve dy ile indirgedikten sonra şunu elde ederiz:

onlar. iki boyutlu bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu olasılık yoğunluğu, eklem yoğunluğunun diğer bileşenin olasılık yoğunluğuna oranına eşittir. Bu ilişkiler şu şekilde yazılmıştır:

dağılım yoğunluklarının çarpımı için teorem (kural) denir.

Koşullu yoğunluklar j y (x) ve j X (y). “koşulsuz” yoğunluğun tüm özelliklerine sahiptir.

İki boyutlu rastgele değişkenler incelenirken, tek boyutlu X ve Y bileşenlerinin sayısal özellikleri (matematiksel beklentiler ve varyanslar) dikkate alınır. Sürekli bir rastgele değişken (X, Y) için aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Bunların yanı sıra koşullu dağılımların sayısal özellikleri de dikkate alınır: koşullu matematiksel beklentiler M x (Y) ve M y (X) ve koşullu varyanslar D x (Y) ve D Y (X). Bu özellikler, olay olasılıkları veya olasılık yoğunlukları yerine koşullu olasılıkların veya koşullu olasılık yoğunluklarının kullanıldığı olağan matematiksel beklenti ve varyans formülleri kullanılarak bulunur.

X = x'te Y rastgele değişkeninin koşullu matematiksel beklentisi, yani. M x (Y), x'in bir fonksiyonudur ve regresyon fonksiyonu veya basitçe Y'nin X üzerinde regresyonu olarak adlandırılır. Benzer şekilde, M Y (X)'e regresyon fonksiyonu veya basitçe X'in Y üzerinde regresyonu denir. Bu fonksiyonların grafikleri şöyledir: regresyon çizgileri (veya regresyon eğrileri) olarak sırasıyla Y X veya X Y Y olarak adlandırılır.

Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler.

Tanım. Rastgele değişkenler X ve Y, ortak dağılım fonksiyonları F(x,y), bu rastgele değişkenlerin F 1 (x) ve F 2 (y) dağılım fonksiyonlarının bir ürünü olarak temsil edilirse bağımsız olarak adlandırılır;

Aksi takdirde, X ve Y rastgele değişkenlerine bağımlı denir.

Eşitliği x ve y argümanlarına göre iki kez farklılaştırarak şunu elde ederiz:

onlar. bağımsız sürekli rastgele değişkenler X ve Y için, bunların ortak yoğunluğu j(x,y), bu rastgele değişkenlerin j1(x) ve j2(y) olasılık yoğunluklarının çarpımına eşittir.

Şimdiye kadar, bir değişkenin her bir x değerinin diğerinin kesin olarak tanımlanmış bir değerine karşılık geldiği X ve Y değişkenleri arasında fonksiyonel bir ilişki kavramıyla karşılaştık. Örneğin, iki rastgele değişken (belirli bir süre boyunca arızalanan ekipman parçalarının sayısı ve bunların maliyeti) arasındaki ilişki işlevseldir.

Genel olarak, işlevsel olandan daha az şiddetli olan farklı bir bağımlılık türüyle karşı karşıyadırlar.

Tanım.İki rastgele değişken arasındaki ilişki, eğer birinin değeri diğerinin belirli (koşullu) bir dağılımına karşılık geliyorsa, olasılıksal (stokastik veya istatistiksel) olarak adlandırılır.

Olasılıksal (stokastik) bağımlılık durumunda, birinin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirlemek imkansızdır, ancak yalnızca diğer miktarın dağılımını belirtebilirsiniz. Örneğin, ekipman arızalarının sayısı ile önleyici onarımların maliyeti, bir kişinin kilosu ve boyu, bir okul çocuğunun televizyon programlarını izlemek ve kitap okumak için harcadığı zaman vb. arasındaki ilişki. olasılıksaldır (stokastik).

Şek. Şekil 5.10'da bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler X ve Y'nin örnekleri gösterilmektedir.

buradan m1, m2'nin iki boyutlu normal rastgele değişkenin (X, Y) X, Y bileşenlerinin matematiksel beklentileri olduğu, σ1, σ2'nin bileşenlerinin standart sapmaları olduğu sonucuna varıyoruz.

Uzaydaki iki boyutlu normal yoğunluğun grafiği, tüm xOy düzleminin üzerinde yer alan, sonsuza kaldırıldığında ona asimptotik olarak yaklaşan, merkezden geçen dikey eksene (m1, m2) göre simetrik olan ve tepe şeklinde bir yüzeydir. bu noktada tepe noktası. Normal yoğunluk grafiğinin yüzeyinin xOy'ye dik bir düzlemle herhangi bir bölümü bir Gauss eğrisidir.

6.5 İki rastgele değişkenin bağımlılığı ve bağımsızlığı

Tanım. X olayları bağımsızsa X, Y rastgele değişkenlerine bağımsız denir< x и Y < y для любых вещественных x, y. В противном случае случайные величины (X, Y) называются зависимыми.

Teorem. İki rastgele değişkenin bağımsızlığı için genel gerekli ve yeterli koşul:

FXY (x, y) = FX (x) FY (y)

herhangi bir gerçek x ve y için.

Bu koşul, iki olayın bağımsızlığı için farklı yazılmış bir gerekli ve yeterli koşuldur: A = (X) olayları için P (AB) = P (A)P (B)< x), B = (Y < y).

Teorem. İki sürekli rastgele değişkenin bağımsızlığı için gerekli ve yeterli koşul:

fXY (x, y) = fX (x) fY (y), x, y.

Teorem. İki ayrık rastgele değişkenin bağımsızlığı için gerekli ve yeterli koşul:

p ik= pi · p k

herhangi bir i = 1, 2, . . . , M; k = 1, 2, . . . , N.

Yorum. Korelasyon katsayısı ρ'nin sıfıra eşitliği, iki boyutlu bir normal rastgele değişkenin (X, Y) X, Y bileşenlerinin bağımsızlığı için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

6.6 Koşullu dağıtım yasaları. İki boyutlu bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri. Rastgele değişkenler arasındaki ilişki

6.6.1 Koşullu dağıtım yasaları

Tanım. Koşullu dağıtım kanunu İki boyutlu bir rastgele değişkenin (X, Y) tek boyutlu bileşenlerinden birine, diğer bileşenin belirli bir değer alması (veya içine düşmesi) koşuluyla hesaplanan dağılım yasası denir. biraz aralık).

Ayrık rastgele değişkenler durumunda, koşullu olasılıkları bulmaya yönelik formüller şu şekildedir:

Sürekli rastgele değişkenler durumunda bu formüller şu şekli alır:

onlar. iki boyutlu bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinden birinin koşullu olasılık yoğunluğu, eklem yoğunluğunun diğer bileşeninin olasılık yoğunluğuna oranına eşittir.

şeklinde yazılan bu oranlar

fXY (x, y) = fX (x)fX (y) = fX (y)fY (x),

dağılım yoğunluklarının çarpımı için teorem (kural) denir.

Sürekli bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerini elde etmek için formüller kullanarak koşullu bileşenler için formüller yazıyoruz:

6.6.2 Sayısal özellikler

İki boyutlu rastgele değişkenin (X, Y) X, Y bileşenlerinin bir fonksiyonu olan ϕ(X, Y) rastgele değişkenini düşünün. Genel formüller geçerlidir:

ayrı bir durum için.

Burada fXY (x, y), rastgele değişkenin (X, Y) olasılık yoğunluğudur ve pik = P (X = xi, Y = yk) (i = 1, . . . , m; k = 1, . , n) - ayrık iki boyutlu rastgele değişkenin dağılım yasası.

Bu formülleri kullanarak, ayrı bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinin matematiksel beklentisi ve dağılımı için formüller yazabilirsiniz.

Matematiksel beklentiyi bulma formülleri şunlardır:

M(Y) = yfXY (x, y)dxdy

sürekli rastgele değişkenler için;

M(X) = xi pik;

M(Y) = yk pik

ayrı bir durum için.

İki boyutlu bir rastgele değişkenin tek boyutlu bileşenlerinin varyansını hesaplamaya yönelik formüller şu şekildedir:

D(Y) = M[(Y − M(Y))2 ] = (yk − M(Y))pik

ayrı bir durum için.

6.6.3 Korelasyon momenti ve korelasyon katsayısı

İki rastgele değişkenin bağımlılığının fonksiyonel özellikleri yukarıda formüle edilmiştir. Şimdi rastgele değişkenler arasındaki ilişkinin sayısal özelliklerini ele alalım.

Tanım. Korelasyon momenti K XY, aksi takdirde - kovaryans , iki rastgele değişken X, Y, bu rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinden sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisi olarak adlandırılır:

KXY = M[(X − mX )(Y − mY )].

Açıkçası, KXY = KY X.

KXY'yi hesaplamak için formüller şunlardır:

Rastgele değişkenlerden birinin dağılım yasası diğer rastgele değişkenin değerine bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Rastgele değişkenlerin bağımlılığı kavramı olasılık teorisinde çok önemlidir. Bağımsız rastgele değişkenlerin koşullu dağılımları, koşulsuz dağılımlarına eşittir. Rasgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli ve yeterli koşulları belirleyelim.

Teorem. Rastgele değişkenler X ve Y'nin bağımsız olabilmesi için (X, Y) sisteminin dağılım fonksiyonunun bileşenlerin dağılım fonksiyonları çarpımına eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Dağılım yoğunluğu için benzer bir teorem formüle edilebilir:

Teorem. X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsız olabilmesi için sistemin (X, Y) ortak dağılım yoğunluğunun bileşenlerin dağılım yoğunluklarının çarpımına eşit olması gerekli ve yeterlidir.

X ve Y rastgele değişkenlerinin korelasyon momenti mxy, bu değerlerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisidir.

Aşağıdaki formüller pratik olarak kullanılır:

Ayrık rastgele değişkenler için:

Sürekli rastgele değişkenler için:

Korelasyon momenti rastgele değişkenler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyon momentleri sıfıra eşittir.

Korelasyon momenti, X ve Y rastgele değişkenlerinin boyutlarının çarpımına eşit bir boyuta sahiptir. Bu gerçek, bu sayısal özelliğin bir dezavantajıdır, çünkü Farklı ölçüm birimleriyle farklı korelasyon momentleri elde edilir, bu da farklı rastgele değişkenlerin korelasyon momentlerinin karşılaştırılmasını zorlaştırır.

Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için başka bir özellik kullanılır - korelasyon katsayısı.

X ve Y rastgele değişkenlerinin korelasyon katsayısı rxy, korelasyon momentinin bu değerlerin standart sapmalarının çarpımına oranıdır.

Korelasyon katsayısı boyutsuz bir niceliktir. Bağımsız rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı sıfırdır.

Özellik: İki rastgele değişken X ve Y'nin korelasyon momentinin mutlak değeri, varyanslarının geometrik ortalamasını aşmaz.

Özellik: Korelasyon katsayısının mutlak değeri biri geçmez.

Rastgele değişkenler, korelasyon momentleri sıfırdan farklıysa ilişkili, korelasyon momentleri sıfıra eşitse ilişkisiz olarak adlandırılır.

Rastgele değişkenler bağımsızsa korelasyonsuzdurlar ancak korelasyonsuzluktan bağımsız oldukları sonucuna varılamaz.

Eğer iki miktar bağımlıysa, bunlar ilişkili veya ilişkisiz olabilir.

Çoğunlukla, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin belirli bir dağılım yoğunluğundan, bu değişkenlerin bağımlılığı veya bağımsızlığı belirlenebilir.

Korelasyon katsayısının yanı sıra, rastgele değişkenlerin bağımlılık derecesi, kovaryans katsayısı adı verilen başka bir nicelik ile karakterize edilebilir. Kovaryans katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

Örnek. Rastgele değişkenler X ve Y sisteminin dağılım yoğunluğu verilmiştir.

X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsız olup olmadığını bulun.

Bu sorunu çözmek için dağıtım yoğunluğunu dönüştürüyoruz:

Böylece dağılım yoğunluğu, biri yalnızca x'e, diğeri yalnızca y'ye bağlı olan iki fonksiyonun çarpımı olarak temsil edilebilir. Onlar. rastgele değişkenler X ve Y bağımsızdır. Tabii ki, aynı zamanda korelasyonsuz olacaklar.

Bir rastgele değişkenin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenin hangi olası değerleri alacağına bağlı olarak değişmiyorsa, iki rastgele değişken $X$ ve $Y$ bağımsız olarak adlandırılır. Yani, herhangi bir $x$ ve $y$ için $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsızdır. $X=x$ ve $Y=y$ olayları bağımsız olduğundan, bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ sağ)\sağ)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\right)$.

Örnek 1 . Rastgele değişken $X$, bir "Rus Lotosu" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançları ifade etsin ve $Y$ rastgele değişkeni, başka bir "Altın Anahtar" piyangosunun biletlerinden elde edilen nakit kazançlarını ifade etsin. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin bağımsız olacağı açıktır, çünkü bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançlar, başka bir piyangonun biletlerinden elde edilen kazançların dağıtım yasasına bağlı değildir. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin aynı piyangonun kazancını ifade etmesi durumunda, bu durumda, bu rastgele değişkenlerin bağımlı olacağı açıktır.

Örnek 2 . İki işçi farklı atölyelerde çalışarak, üretim teknolojileri ve kullanılan hammaddeler açısından birbiriyle ilgisi olmayan çeşitli ürünler üretiyorlar. Vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım yasası aşağıdaki biçimdedir:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ x & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(dizi)$

İkinci işçinin vardiya başına ürettiği kusurlu ürünlerin sayısı aşağıdaki dağıtım yasasına uygundur.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı \ y & 0 & 1 \\
\hline
Olasılık & 0,7 & 0,3 \\
\hline
\end(dizi)$

Vardiya başına iki işçinin ürettiği kusurlu ürün sayısına ilişkin dağıtım yasasını bulalım.

Rastgele değişken $X$ vardiya başına ilk işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı ve $Y$ vardiya başına ikinci işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısı olsun. Koşula göre, $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsızdır.

Vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürünlerin sayısı $X+Y$ rastgele bir değişkendir. Olası değerleri $0,\1$ ve $2$'dır. $X+Y$ rastgele değişkeninin değerlerini alma olasılıklarını bulalım.

$P\left(X+Y=0\right)=P\left(X=0,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right)P\left(Y=0\right) =0,8\cdot 0,7=0,56,$

$P\left(X+Y=1\right)=P\left(X=0,\ Y=1\ veya\ X=1,\ Y=0\right)=P\left(X=0\right )P\left(Y=1\right)+P\left(X=1\right)P\left(Y=0\right)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38.$

$P\left(X+Y=2\right)=P\left(X=1,\ Y=1\right)=P\left(X=1\right)P\left(Y=1\right) =0,2\cdot 0,3=0,06.$

Daha sonra vardiya başına iki işçi tarafından üretilen kusurlu ürün sayısının dağıtım yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\ kusurlu \ ürün sayısı & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Olasılık & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(dizi)$

Önceki örnekte $X,\Y$ rastgele değişkenleri üzerinde bir işlem gerçekleştirdik, yani bunların $X+Y$ toplamını bulduk. Şimdi rastgele değişkenler üzerindeki işlemlerin (toplama, fark, çarpma) daha net bir tanımını verelim ve çözüm örnekleri verelim.

Tanım 1. Bir rastgele değişken olan $X$'ın bir sabit değişken olan $k$ ile çarpımı $kX$, aynı olasılıklarla $kx_i$ değerlerini alan bir rastgele değişkendir $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\ right)$.

Tanım 2. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı (farkı veya çarpımı), $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ veya $x_i\cdot y_i$) biçimindeki tüm olası değerleri alan rastgele bir değişkendir. , burada $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $p_(ij)$ olasılıkları ile $X$ rastgele değişkeninin $x_i$ değerini ve $Y$ $y_j$ değerini alması muhtemeldir:

$$p_(ij)=P\left[\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right].$$

$X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.

Örnek 3 . Bağımsız rastgele değişkenler $X,\ Y$ olasılık dağılım yasalarıyla belirtilir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını formüle edelim. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin toplamı, yani $X+Y$, $x_i+y_j$ biçimindeki tüm olası değerleri alan bir rastgele değişkendir; burada $i=1,\ 2 ,\dots ,\ n$ , olasılıklarla $p_(ij)$ rastgele değişken $X$ $x_i$ değerini alır ve $Y$ $y_j$ değerini alır: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ rastgele değişkenleri bağımsız olduğundan, bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremine göre: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ sağ)= p_i\cdot p_j$.

Yani sırasıyla $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri için dağıtım yasalarına sahiptir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(dizi)$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(dizi)$

$Z=2X+Y$ toplamının tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulma kolaylığı için, her hücrede $Z=2X+Y$ toplamının değerlerini sol köşeye yerleştireceğimiz bir yardımcı tablo oluşturacağız. Z=2X+Y$ ve sağ köşede - bu değerlerin olasılıkları, $2X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin karşılık gelen değerlerinin olasılıklarının çarpılması sonucu elde edilir.

Sonuç olarak $Z=2X+Y$ dağılımını elde ederiz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(dizi)$

Rastgele olayların bağımlılığı ve bağımsızlığı kavramları. Koşullu olasılık. Bağımlı ve bağımsız rastgele olaylar için olasılıkları toplama ve çarpma formülleri. Toplam olasılık formülü ve Bayes formülü.

Olasılık toplama teoremleri

A ve B olaylarının toplamının olasılığını bulalım (uyumlu veya uyumsuz olduklarını varsayarak).

Teorem 2.1.

Sonlu sayıda uyumsuz olayın toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P\(A+B+\ldots+N\)=P\(A\)+P\(B\)+\ldots+P\(N\).Örnek 1.

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun.Çözüm.

Gerekli D olayı, 44 numara (A olayı) veya 45 numara (B olayı) veya en az 46 numara (C olayı) bir çift ayakkabı satılırsa meydana gelecektir; yani D olayı, A, B, C olaylarının toplamıdır. A, B ve C olayları uyumsuzdur. Bu nedenle olasılıkların toplamı teoremine göre şunu elde ederiz: =0,\!17.

P\(D\)=P\(A+B+C\)=P\(A\)+P\(B\)+P\(C\)=0,\!12+0,\!04 +0,\!01Örnek 2.

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun.“Bir sonraki 44 numaradan küçük ayakkabı satılacak” ile “44 numaradan küçük olmayan bir çift ayakkabı satılacak” olayları birbirine zıttır. Bu nedenle formül (1.2)'ye göre istenen olayın gerçekleşme olasılığı

P\(\overline(D)\)=1-P\(D\)=1-0,\!17=0,\!83.

örnek 1'de bulunduğu gibi P\(D\)=0,\!17 olduğundan.

Olasılıkların toplanmasıyla ilgili Teorem 2.1 yalnızca uyumsuz olaylar için geçerlidir. Ortak olayların olasılığını bulmak için bunu kullanmak, aşağıdaki örnekte açıkça görüldüğü gibi, yanlış ve bazen saçma sonuçlara yol açabilir. Electra Ltd tarafından bir emrin zamanında yerine getirilmesinin 0,7 olasılıkla tahmin edilmesine izin verin. Şirketin üç siparişten en az birini zamanında tamamlama olasılığı nedir? Şirketin birinci, ikinci ve üçüncü siparişleri zamanında tamamlayacağı olayları sırasıyla A, B, C olarak belirtiyoruz. İstenilen olasılığı bulmak için olasılıkların toplanmasıyla ilgili Teorem 2.1'i uygularsak, şunu elde ederiz: P\(A+B+C\)=0,\!7+0,\!7+0,\!7=2,\!1. Olayın olasılığının birden büyük olduğu ortaya çıktı ki bu imkânsız. Bu durum A, B, C olaylarının ortak olmasıyla açıklanmaktadır. Nitekim ilk emrin zamanında yerine getirilmesi, diğer ikisinin de zamanında yerine getirilmesini engellemez.

İki ortak olay durumunda olasılıkları toplamak için bir teorem formüle edelim (bunların ortak gerçekleşme olasılığı dikkate alınacaktır).

Teorem 2.2.

İki ortak olayın toplamının olasılığı, bu iki olayın ortak gerçekleşme olasılığı olmaksızın olasılıklarının toplamına eşittir:

P\(A+B\)=P\(A\)+P\(B\)-P\(AB\).

Bağımlı ve bağımsız olaylar. Koşullu olasılık

Bağımlı ve bağımsız olaylar vardır. İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız denir. Örneğin bir atölyede üretim koşulları nedeniyle birbirine bağlı olmayan iki otomatik hat çalışıyorsa bu hatların durması bağımsız bir olaydır.Örnek 3.

Para iki kez atılıyor. İlk denemede (A olayı) "armanın" ortaya çıkma olasılığı, ikinci denemede (B olayı) "armanın" görünüp görünmemesine bağlı değildir. Buna karşılık, ikinci testte “armanın” ortaya çıkma olasılığı, ilk testin sonucuna bağlı değildir. Yani A ve B olayları bağımsızdır. Çeşitli olaylar denir kolektif olarak bağımsız

, eğer bunlardan herhangi biri başka bir olaya ve diğerlerinin herhangi bir kombinasyonuna bağlı değilse. Olaylar denir Eğer bunlardan biri diğerinin olasılığını etkiliyorsa. Örneğin iki üretim tesisi tek bir teknolojik döngüyle birbirine bağlıdır. O zaman bunlardan birinin arızalanma olasılığı diğerinin durumuna bağlıdır. Başka bir A olayının meydana geldiği varsayımına göre hesaplanan bir B olayının olasılığına denir. koşullu olasılık olayı B ve P\(B|A\) ile gösterilir.

B olayının A olayından bağımsızlığının koşulu P\(B|A\)=P\(B\) biçiminde yazılır ve bağımlılığının koşulu da şu biçimde yazılır: P\(B|A\)\ne(P\(B\)). Bir olayın koşullu olasılığını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Örnek 4. Kutuda 5 adet kesici bulunur: ikisi aşınmış, üçü yeni. Kesici dişlerin ardışık olarak iki çekimi gerçekleştirilir. İlk seferde çıkarılan kesicinin kutuya iade edilmemesi koşuluyla, ikinci çıkarma sırasında aşınmış bir kesicinin ortaya çıkma koşullu olasılığını belirleyin.

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun.İlk durumda aşınmış bir kesicinin çıkarılmasını A ile ve yenisinin çıkarılmasını \overline(A) ile gösterelim. Daha sonra P\(A\)=\frac(2)(5),~P\(\overline(A)\)=1-\frac(2)(5)=\frac(3)(5). Çıkarılan kesici kutuya geri gönderilmediğinden aşınan ve yeni kesici miktarları arasındaki oran değişmektedir. Sonuç olarak, ikinci durumda aşınmış bir kesicinin çıkarılması olasılığı, daha önce hangi olayın meydana geldiğine bağlıdır.

İkinci durumda aşınmış kesicinin çıkarılması anlamına gelen olayı B ile gösterelim. Bu olayın olasılıkları şunlar olabilir:

P\(B|A\)=\frac(1)(4),~~~P\(B|\overline(A)\)=\frac(2)(4)=\frac(1)(2 ).

Dolayısıyla B olayının olasılığı A olayının gerçekleşip gerçekleşmemesine bağlıdır.

Olasılık çarpma formülleri

A ve B olayları bağımsız olsun ve bu olayların olasılıkları bilinsin. A ve B olaylarının birleşme olasılığını bulalım.

Teorem 2.3.

İki bağımsız olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B\).

Sonuç 2.1.

Birbirinden bağımsız birçok olayın bir arada meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir: P\(A_1A_2\ldots(A_n)\)=P\(A_1\)P\(A_2\)\ldots(P\(A_n\)).

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun.Örnek 5. Üç kutuda 10 parça bulunur. İlk kutuda 8 standart parça, ikincisinde 7 ve üçüncüsünde 9 standart parça bulunur. Her kutudan rastgele bir parça alınır. Çıkarılan üç parçanın da standart olma olasılığını bulun.. İkinci kutudan standart bir parçanın alınma olasılığı (B olayı), P\(B\)=\frac(7)(10). Üçüncü kutudan standart bir parçanın alınma olasılığı (C olayı), P\(C\)=\frac(9)(10). A, B ve C olayları toplamda bağımsız olduğundan, istenen olasılık (çarpma teoremine göre)

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B\)P\(C\)=\frac(4)(5)\frac(7)(10)\frac(9)(10) =0,\!504.

A ve B olaylarının bağımlı olduğunu ve P\(A\) ve P\(B|A\) olasılıklarının bilindiğini varsayalım. Bu olayların çarpımının olasılığını yani hem A olayının hem de B olayının ortaya çıkma olasılığını bulalım.

Teorem 2.4.

İki bağımlı olayın ortak meydana gelme olasılığı, birinci olayın zaten meydana geldiği varsayımıyla hesaplanan, bunlardan birinin olasılığının diğerinin koşullu olasılığı ile çarpımına eşittir:

P\(AB\)=P\(A\)\cdot P\(B|A\);\qquad P\(AB\)=P\(B\)\cdot P\(A|B\)

Sonuç 2.2. Birkaç bağımlı olayın ortak ortaya çıkma olasılığı, bunlardan birinin olasılığı ile diğerlerinin koşullu olasılıklarının çarpımına eşittir ve sonraki her olayın olasılığı, önceki tüm olayların zaten meydana geldiği varsayımıyla hesaplanır. .

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun.Örnek 6. Torbanın içinde 4'ü siyah, 3'ü mavi olmak üzere 5 beyaz top bulunmaktadır. Her test, bir topun torbaya geri gönderilmeden rastgele çekilmesinden oluşur. İlk denemede (A olayı) beyaz bir topun, ikinci denemede (B olayı) siyah bir topun ve üçüncü denemede (C olayı) mavi bir topun ortaya çıkma olasılığını bulun.İlk denemede beyaz top çıkma olasılığı P\(A\)=\frac(5)(12). İlk denemede beyaz bir topun ortaya çıktığı varsayımına göre hesaplanan, ikinci denemede siyah bir topun çıkma olasılığı, yani koşullu olasılık P\(B|A\)=\frac(4)(11). İlk denemede beyaz bir topun, ikinci denemede ise siyah bir topun belirdiği varsayımıyla hesaplanan, üçüncü denemede mavi bir topun çıkma olasılığı,

P\(C|AB\)=\frac(3)(10)

. Gerekli olasılık

P\(ABC\)=P\(A\)P\(B|A\)P\(C|AB\)=\frac(5)(12)\frac(4)(11)\frac(3 )(10). Toplam Olasılık Formülü Teorem 2.5. Toplam Olasılık Formülü:

A olayı yalnızca tam bir uyumsuz olaylar grubunu oluşturan olaylardan birinin meydana gelmesi koşuluyla meydana gelirse, o zaman A olayının olasılığı her bir olayın olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir.

B_1,B_2,\ldots(B_n)

olayın karşılık gelen koşullu olasılığına Montaj hattı üç makineden parça alıyor. Makinelerin üretkenliği aynı değildir. İlk makine tüm parçaların %50'sini, ikinci makine %30'unu ve üçüncü makine ise %20'sini üretir. Birinci, ikinci ve üçüncü makinede üretilen bir parça kullanıldığında montajın kaliteli olma olasılığı sırasıyla 0,98, 0,95 ve 0,8'dir. Montaj hattından çıkan montajın kaliteli olma olasılığını belirleyin.

Bir mağazanın bir çift 44 numara erkek ayakkabısı satma olasılığı 0,12; 45. - 0.04; 46. ​​ve üzeri - 0,01. En az 44 numara bir çift erkek ayakkabısının satılma olasılığını bulun. Birleştirilmiş düğümün geçerliliğini gösteren olayı A ile gösterelim;

B_1, B_2 ve B_3 - parçaların sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü makinede yapıldığı anlamına gelen olaylar. Daha sonra
P\(B_1\)=0,\!5;~~~~~P\(B_2\)=0,\!3;~~~~~P\(B_3\)=0,\!2;

P\(A|B_1\)=0,\!98;~~~P\(A|B_2\)=0,\!95;~~~P\(A|B_3\)=0,\!8 .

Gerekli olasılık

Bayes formülü Toplam Olasılık Formülü Bu formül, A olayı herhangi bir olayla birlikte ortaya çıktığında pratik problemleri çözerken kullanılır. Toplam Olasılık Formülü Tam bir olaylar grubu oluşturan olaylar meydana geldi ve hipotezlerin olasılıklarının niceliksel olarak yeniden değerlendirilmesi gerekiyor . Priori (deneyim öncesi) olasılıkları P\(B_1\),P\(B_2\),\ldots(P\(B_n\)) bilinen. Son (deney sonrası) olasılıkları hesaplamak gerekir, yani esasen koşullu olasılıkları bulmanız gerekir P\(B_1|A\),P\(B_2|A\),\ldots(P\(B_n|A\))

. B_j hipotezi için Bayes'in formülü şöyle görünür:

P\(B_j|A\)=\frac(P\(B_j\) P\(A|B_j\))(P\(A\)).

Toplam olasılık formülünü (2.1) kullanarak bu eşitlikte P\(A\)'yı genişleterek şunu elde ederiz:

P\(B_j|A\)=\dfrac(P\(B_j\)P\(A|B_j\))(\sum\limits_(i=1)^(n)P\(B_i\)P\( A|B_i\)).Örnek 8.