Наверняка Вы много раз слышали о необъяснимых тайнах квантовой физики и квантовой механики . Её законы завораживают мистикой, и даже сами физики признаются, что до конца не понимают их. С одной стороны, любопытно понять эти законы, но с другой стороны, нет времени читать многотомные и сложные книги по физике. Я очень понимаю Вас, потому что тоже люблю познание и поиск истины, но времени на все книги катастрофически не хватает. Вы не одиноки, очень многие любознательные люди набирают в поисковой строке: «квантовая физика для чайников, квантовая механика для чайников, квантовая физика для начинающих, квантовая механика для начинающих, основы квантовой физики, основы квантовой механики, квантовая физика для детей, что такое квантовая механика». Именно для Вас эта публикация .

Вам станут понятны основные понятия и парадоксы квантовой физики. Из статьи Вы узнаете:

• Что такое квантовая физика и квантовая механика?
• Что такое интерференция?
• Что такое квантовая запутанность (или Квантовая телепортация для чайников)? (см. статью )
• Что такое мысленный эксперимент «Кот Шредингера»? (см. статью )

Квантовая механика — это часть квантовой физики.

Почему же так сложно понять эти науки? Ответ прост: квантовая физика и квантовая механика (часть квантовой физики) изучают законы микромира. И законы эти абсолютно отличаются от законов нашего макромира. Поэтому нам трудно представить то, что происходит с электронами и фотонами в микромире.

Пример отличия законов макро- и микромиров : в нашем макромире, если Вы положите шар в одну из 2-х коробок, то в одной из них будет пусто, а в другой - шар. Но в микромире (если вместо шара - атом), атом может находиться одновременно в двух коробках. Это многократно подтверждено экспериментально. Не правда ли, трудно это вместить в голове? Но с фактами не поспоришь.

Ещё один пример. Вы сфотографировали быстро мчащуюся красную спортивную машину и на фото увидели размытую горизонтальную полосу, как будто-машина в момент фото находилась с нескольких точках пространства. Несмотря на то, что Вы видите на фото, Вы всё равно уверены, что машина в ту секунду, когда Вы ёё фотографировали находилась в одном конкретном месте в пространстве . В микро же мире всё не так. Электрон, который вращается вокруг ядра атома, на самом деле не вращается, а находится одновременно во всех точках сферы вокруг ядра атома. Наподобие намотанного неплотно клубка пушистой шерсти. Это понятие в физике называется «электронным облаком» .

Небольшой экскурс в историю. Впервые о квантовом мире учёные задумались, когда в 1900 году немецкий физик Макс Планк попытался выяснить, почему при нагревании металлы меняют цвет. Именно он ввёл понятие кванта. До этого учёные думали, что свет распространяется непрерывно. Первым, кто серьёзно воспринял открытие Планка, был никому тогда неизвестный Альберт Энштейн. Он понял, что свет – это не только волна. Иногда он ведёт себя, как частица. Энштейн получил Нобелевскую премию за своё открытие, что свет излучается порциями, квантами. Квант света называется фотоном (фотон, Википедия ) .

Для того, чтобы легче было понять законы квантовой физики и механики (Википедия) , надо в некотором смысле абстрагироваться от привычных нам законов классической физики. И представить, что Вы занырнули, как Алиса, в кроличью нору, в Страну чудес.

А вот и мультик для детей и взрослых. Рассказывает о фундаментальном эксперименте квантовой механики с 2-мя щелями и наблюдателем. Длится всего 5 минут. Посмотрите его перед тем, как мы углубимся в основные вопросы и понятия квантовой физики.

Квантовая физика для чайников видео . В мультике обратите внимание на «глаз» наблюдателя. Он стал серьёзной загадкой для учёных-физиков.

Что такое интерференция?

В начале мультика было показано на примере жидкости, как ведут себя волны – на экране за пластиной со щелями появляются чередующиеся тёмные и светлые вертикальные полосы. А в случае, когда в пластину «стреляют» дискретными частицами (например, камушками), то они пролетают сквозь 2 щели и попадают на экран прямо напротив щелей. И «рисуют» на экране только 2 вертикальные полосы.

Интерференция света – это «волновое» поведение света, когда на экране отображается много чередующихся ярких и тёмных вертикальных полос. Еще эти вертикальные полосы называются интерференционной картиной .

В нашем макромире мы часто наблюдаем, что свет ведёт себя, как волна. Если поставить руку напротив свечи, то на стене будет не чёткая тень от руки, а с расплывающимися контурами.

Итак, не так уж всё и сложно! Нам сейчас вполне понятно, что свет имеет волновую природу и если 2 щели освещать светом, то на экране за ними мы увидим интерференционную картину. Теперь рассмотрим 2-й эксперимент. Это знаменитый эксперимент Штерна-Герлаха (который провели в 20-х годах прошлого века).

В установку, описанную в мультике, не светом светили, а «стреляли» электронами (как отдельными частицами). Тогда, в начале прошлого века, физики всего мира считали, что электроны – это элементарные частицы материи и должны иметь не волновую природу, а такую же, как камушки. Ведь электроны – это элементарные частицы материи, правильно? То есть, если ими «бросать» в 2 щели, как камушками, то на экране за прорезями мы должны увидеть 2 вертикальные полоски.

Но… Результат был ошеломляющий. Учёные увидели интерференционную картину – много вертикальных полосок. То есть электроны, как и свет тоже могут иметь волновую природу, могут интерферировать. А с другой стороны стало понятно, что свет не только волна, но немного и частица — фотон (из исторической справки в начале статьи мы узнали, что за это открытие Энштейн получил Нобелевскую премию).

Может помните, в школе нам рассказывали на физике про «корпускулярно-волновой дуализм» ? Он означает, что когда речь идет об очень маленьких частицах (атомах, электронах) микромира, то они одновременно и волны, и частицы

Это сегодня мы с Вами такие умные и понимаем, что 2 выше описанных эксперимента – стрельба электронами и освещение щелей светом – суть одно и тоже. Потому что мы стреляем по прорезям квантовыми частицами. Сейчас мы знаем, что и свет, и электроны имеют квантовую природу, являются и волнами, и частицами одновременно. А в начале 20-го века результаты этого эксперимента были сенсацией.

Внимание! Теперь перейдём к более тонкому вопросу.

Мы светим на наши щели потоком фотонов (электронов) – и видим за щелями на экране интерференционную картину (вертикальные полоски). Это ясно. Но нам интересно увидеть, как пролетает каждый из электронов в прорези.

Предположительно, один электрон летит в левую прорезь, другой – в правую. Но тогда должны на экране появиться 2 вертикальные полоски прямо напротив прорезей. Почему же получается интерференционная картина? Может электроны как-то взаимодействуют между собой уже на экране после пролёта через щели. И в результате получается такая волновая картина. Как нам за этим проследить?

Будем бросать электроны не пучком, а по одному. Бросим, подождём, бросим следующий. Теперь, когда электрон летит один, он уже не сможет взаимодействовать на экране с другими электронами. Будем регистрировать на экране каждый электрон после броска. Один-два конечно не «нарисуют» нам понятной картины. Но когда по одному отправим в прорези их много, то заметим…о ужас – они опять «нарисовали» интерференционную волновую картину!

Начинаем медленно сходить с ума. Ведь мы ожидали, что будет 2 вертикальные полоски напротив щелей! Получается, что когда мы бросали фотоны по одному, каждый из них проходил, как бы через 2 щели одновременно и интерферировал сам с собой. Фантастика! Вернёмся к пояснению этого феномена в следующем разделе.

Что такое спин и суперпозиция?

Мы теперь знаем, что такое интерференция. Это волновое поведение микро частиц – фотонов, электронов, других микро частиц (давайте для простоты с этого момента называть их фотонами).

В результате эксперимента, когда мы бросали в 2 щели по 1 фотону, мы поняли, что он пролетает как будто через две щели одновременно. Иначе как объяснить интерференционную картину на экране?

Но как представить картину, что фотон пролетает сквозь две щели одновременно? Есть 2 варианта.

• 1-й вариант: фотон, как волна (как вода) «проплывает» сквозь 2 щели одновременно
• 2-й вариант: фотон, как частица, летит одновременно по 2-м траекториям (даже не по двум, а по всем сразу)

В принципе, эти утверждения равносильны. Мы пришли к «интегралу по траекториям». Это формулировка квантовой механики от Ричарда Фейнмана.

Кстати, именно Ричарду Фейнману принадлежит известное выражение, что уверенно можно утверждать, что квантовую механику не понимает никто

Но это его выражение работало в начале века. Но мы то теперь умные и знаем, что фотон может вести себя и как частица, и как волна. Что он может каким-то непонятным для нас способом пролетать одновременно через 2 щели. Поэтому нам легко будет понять следующее важное утверждение квантовой механики:

Строго говоря, квантовая механика говорит нам, что такое поведение фотона – правило, а не исключение. Любая квантовая частица находится, как правило, в нескольких состояниях или в нескольких точках пространства одновременно .

Объекты макромира могут находится только в одном определенном месте и в одном определенном состоянии. Но квантовая частица существует по своим законам. И ей и дела нет до того, что мы их не понимаем. На этом — точка.

Нам остаётся просто признать, как аксиому, что «суперпозиция» квантового объекта означает то, что он может находится на 2-х или более траекториях одновременно, в 2-х или более точках одновременно

То же относится и к другому параметру фотона – спину (его собственному угловому моменту). Спин — это вектор. Квантовый объект можно представить как микроскопический магнитик. Мы привыкли, что вектор магнита (спин) либо направлен вверх, либо вниз. Но электрон или фотон опять говорят нам: «Ребята, нам плевать, к чему Вы привыкли, мы можем быть в обоих состояниях спина сразу (вектор вверх, вектор вниз), точно так же, как мы можем находиться на 2-х траекториях одновременно или в 2-х точках одновременно!».

Что такое «измерение» или «коллапс волновой функции»?

Нам осталось немного — понять ещё, что такое «измерение» и что такое «коллапс волновой функции».

Волновая функция — это описание состояния квантового объекта (нашего фотона или электрона).

Предположим, у нас есть электрон, он летит себе в неопределённом состоянии, спин его направлен и вверх, и вниз одновременно . Нам надо измерить его состояние.

Измерим при помощи магнитного поля: электроны, у которых спин был направлен по направлению поля, отклонятся в одну сторону, а электроны, у которых спин направлен против поля — в другую. Ещё фотоны можно направлять в поляризационный фильтр. Если спин (поляризация) фотона +1 – он проходит через фильтр, а если -1, то нет.

Стоп! Вот тут у Вас неизбежно возникнет вопрос: до измерения ведь у электрона не было какого-то конкретного направления спина, так? Он ведь был во всех состояниях одновременно?

В этом-то и заключается фишка и сенсация квантовой механики . Пока Вы не измеряете состояние квантового объекта, он может вращаться в любую сторону (иметь любое направление вектора собственного углового момента – спина). Но в момент, когда Вы измерили его состояние, он как будто принимает решение, какой вектор спина ему принять.

Вот такой крутой этот квантовый объект – сам принимает решение о своём состоянии. И мы не можем заранее предсказать, какое решение он примет, когда влетит в магнитное поле, в котором мы его измеряем. Вероятность того, что он решит иметь вектор спина «вверх» или «вниз» – 50 на 50%. Но как только он решил – он находится в определённом состоянии с конкретным направлением спина. Причиной его решения является наше «измерение»!

Это и называется «коллапсом волновой функции» . Волновая функция до измерения была неопределённой, т.е. вектор спина электрона находился одновременно во всех направлениях, после измерения электрон зафиксировал определённое направление вектора своего спина.

Внимание! Отличный для понимания пример-ассоциация из нашего макромира:

Раскрутите на столе монетку, как юлу. Пока монетка крутиться, у нёё нет конкретного значения — орёл или решка. Но как только Вы решите «измерить» это значение и прихлопните монету рукой, вот тут-то и получите конкретное состояние монеты – орёл или решка. А теперь представьте, что это монета принимает решение, какое значение Вам «показать» – орёл или решка. Примерно также ведёт себя и электрон.

А теперь вспомните эксперимент, показанный в конце мультика. Когда фотоны пропускали через щели, они вели себя, как волна и показывали на экране интерференционную картину. А когда учёные захотели зафиксировать (измерить) момент пролёта фотонов через щель и поставили за экраном «наблюдателя», фотоны стали вести себя, не как волны, а как частицы. И «нарисовали» на экране 2 вертикальные полосы. Т.е. в момент измерения или наблюдения квантовые объекты сами выбирают, в каком состоянии им быть.

Фантастика! Не правда ли?

Но это ещё не всё. Наконец-то мы добрались до самого интересного.

Но… мне кажется, что получится перегруз информации, поэтому 2 эти понятия мы рассмотрим в отдельных постах:

• Что такое ?
• Что такое мысленный эксперимент .

А сейчас, хотите, чтобы информация разложилась по полочкам? Посмотрите документальный фильм, подготовленный Канадским институтом теоретической физики. В нём за 20 минут очень кратко и в хронологическом порядке Вам поведают о всех открытиях квантовой физики, начиная с открытия Планка в 1900 году. А затем расскажут, какие практические разработки выполняются сейчас на базе знаний по квантовой физике: от точнейших атомных часов до суперскоростных вычислений квантового компьютера. Очень рекомендую посмотреть этот фильм.

До встречи!

Желаю всем вдохновения для всех задуманных планов и проектов!

P.S.2 Пишите Ваши вопросы и мысли в комментариях. Пишите, какие ещё вопросы по квантовой физике Вам интересны?

P.S.3 Подписывайтесь на блог - форма для подписки под статьёй.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, раздел теоретической физики, представляющий собой систему понятий и математический аппарат, необходимые для описания физических явлений, обусловленных существованием в природе наименьшего кванта действия h (Планка постоянной). Численное значение h = 6,62607∙10ˉ 34 Дж∙с (и другое, часто используемое значение ħ = h/2π = 1,05457∙10ˉ 34 Дж∙с) чрезвычайно мало, но тот факт, что оно конечно, принципиально отличает квантовые явления от всех других и определяет их основные особенности. К квантовым явлениям относятся процессы излучения, явления атомной и ядерной физики, физики конденсированных сред, химическая связь и др.

История создания квантовой механики. Исторически первым явлением, для объяснения которого в 1900 году было введено понятие кванта действия h, был спектр излучения абсолютно чёрного тела, т. е. зависимость интенсивности теплового излучения от его частоты v и температуры Т нагретого тела. Первоначально связь этого явления с процессами, происходящими в атоме, не была ясна; в то время не была общепризнанной и сама идея атома, хотя уже тогда были известны наблюдения, которые указывали на сложную внутриатомную структуру.

В 1802 У. Волластон обнаружил в спектре излучения Солнца узкие спектральные линии, которые в 1814 году подробно описал Й. Фраунгофер. В 1859 Г. Кирхгоф и Р. Бунзен установили, что каждому химическому элементу присущ индивидуальный набор спектральных линий, а швейцарский учёный И. Я. Бальмер (1885), шведский физик Й. Ридберг (1890) и немецкий учёный В. Ритц (1908) обнаружили в их расположении определённые закономерности. В 1896 году П. Зееман наблюдал расщепление спектральных линий в магнитном поле (эффект Зеемана), которое Х. А. Лоренц в следующем году объяснил движением электрона в атоме. Существование электрона экспериментально доказал в 1897 Дж. Дж. Томсон.

Существующие физические теории оказались недостаточными для объяснения законов фотоэффекта: оказалось, что энергия электронов, вылетающих из вещества при облучении его светом, зависит только от частоты света v, а не от его интенсивности (А. Г. Столетов, 1889; Ф. фон Ленард, 1904). Этот факт полностью противоречил общепринятой в то время волновой природе света, но естественно объяснялся в предположении, что свет распространяется в виде квантов энергии Е=hv (А. Эйнштейн, 1905), названных впоследствии фотонами (Г. Льюис, 1926).

В течение 10 лет после открытия электрона было предложено несколько моделей атома, не подкреплённых, однако, экспериментами. В 1909-11 Э. Резерфорд, изучая рассеяние α-частиц на атомах, установил существование компактного положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома. Эти эксперименты стали основой планетарной модели атома: положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны. Такая модель, однако, противоречила факту стабильности атома, поскольку из классической электродинамики следовало, что через время порядка 10 -9 с вращающийся электрон упадёт на ядро, потеряв энергию на излучение.

В 1913 году Н. Бор предположил, что стабильность планетарного атома объясняется конечностью кванта действия h. Он постулировал, что в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает (первый постулат Бора), и выделил эти орбиты из всех возможных условием квантования: 2πmυr = nh, где m - масса электрона, υ - его орбитальная скорость, r - расстояние до ядра, n= 1,2,3,... - целые числа. Из этого условия Бор определил энергии E n = -me 4 /2ħ 2 n 2 (е - электрическbй заряд электрона) стационарных состояний, а также диаметр атома водорода (порядка 10 -8 см) - в полном соответствии с выводами кинетической теории материи.

Второй постулат Бора утверждал, что излучение происходит только при переходах электронов с одной стационарной орбиты на другую, причём частота излучения v nk переходов из состояния Е n в состояние E k равна v nk = (E k - Е n)/h (смотри Атомная физика). Теория Бора естественным образом объясняла закономерности в спектрах атомов, однако её постулаты находились в очевидном противоречии с классической механикой и теорией электромагнитного поля.

В 1922 году А. Комптон, изучая рассеяние рентгеновских лучей на электронах, установил, что падающий и рассеянный рентгеновские кванты энергии ведут себя как частицы. В 1923 Ч. Т. Р. Вильсон и Д. В. Скобельцын наблюдали электрон отдачи в этой реакции и тем самым подтвердили корпускулярную природу рентгеновских лучей (ядерного γ-излучения). Это, однако, противоречило опытам М. Лауэ, который ещё в 1912 году наблюдал дифракцию рентгеновских лучей и тем самым доказал их волновую природу.

В 1921 году немецкий физик К. Рамзауэр обнаружил, что при определённой энергии электроны проходят сквозь газы, практически не рассеиваясь, подобно световым волнам в прозрачной среде. Это было первое экспериментальное свидетельство о волновых свойствах электрона, реальность которых в 1927 году была подтверждена прямыми опытами К. Дж. Дэвиссона, Л. Джермера и Дж.П. Томсона.

В 1923 году Л. де Бройль ввёл понятие о волнах материи: каждой частице с массой m и скоростью υ можно сопоставить волну с длиной λ = h/mυ, точно так же как каждой волне с частотой v = с/λ можно сопоставить частицу с энергией Е = hv. Обобщение этой гипотезы, известное как корпускулярно-волновой дуализм, стало фундаментом и универсальным принципом квантовой физики. Суть его состоит в том, что одни и те же объекты исследования проявляют себя двояко: либо как частица, либо как волна - в зависимости от условий их наблюдения.

Соотношения между характеристиками волны и частицы были установлены ещё до создания квантовой механики: Е = hv (1900) и λ = h/mυ = h/р (1923), где частота v и длина волны λ - характеристики волны, а энергия Е и масса m, скорость υ и импульс р = mυ - характеристики частицы; связь между этими двумя типами характеристик осуществляется через постоянную Планка h. Наиболее отчётливо соотношения дуальности выражаются через круговую частоту ω = 2πν и волновой вектор k = 2π/λ:

Е = ħω, р = ħk.

Наглядная иллюстрация дуализма волна-частица представлена на рисунке 1: дифракционные кольца, наблюдаемые при рассеянии электронов и рентгеновских лучей, практически идентичны.

Квантовая механика - теоретический базис всей квантовой физики - была создана за неполных три года. В 1925 В. Гейзенберг, опираясь на идеи Бора, предложил матричную механику, которая к концу того же года приобрела вид законченной теории в трудах М. Борна, немецкого физика П. Йордана и П. Дирака. Основными объектами этой теории стали матрицы специального вида, которые в квантовой механике представляют физические величины классической механики.

В 1926 году Э. Шрёдингер, исходя из представлений Л. де Бройля о волнах материи, предложил волновую механику, где основную роль играет волновая функция квантового состояния, которая подчиняется дифференциальному уравнению 2-го порядка с заданными граничными условиями. Обе теории одинаково хорошо объясняли устойчивость планетарного атома и позволяли вычислить его основные характеристики. В том же году М. Борн предложил статистическую интерпретацию волновой функции, Шрёдингер (а также независимо В. Паули и др.) доказал математическую эквивалентность матричной и волновой механик, а Борн совместно с Н. Винером ввёл понятие оператора физической величины.

В 1927 году В. Гейзенберг открыл соотношение неопределённостей, а Н. Бор сформулировал принцип дополнительности. Открытие спина электрона (Дж. Уленбек и С. Гаудсмит, 1925) и вывод уравнения Паули, учитывающего спин электрона (1927), завершили логическую и расчётную схемы нерелятивистской квантовой механики, а П. Дирак и Дж. фон Нейман изложили квантовую механику как законченную концептуально независимую теорию на базе ограниченного набора понятий и постулатов, таких как оператор, вектор состояния, амплитуда вероятности, суперпозиция состояний и др.

Основные понятия и формализм квантовой механики. Основным уравнением квантовой механики является волновое уравнение Шрёдингера, роль которого подобна роли уравнений Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в электродинамике. В пространстве переменных х (координата) и t (время) оно имеет вид

где Н - оператор Гамильтона; его вид совпадает с оператором Гамильтона классической механики, в котором координата х и импульс р заменены на операторы х и р этих переменных, т. е.

где V(х) - потенциальная энергия системы.

В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория х(t) материальной точки, движущейся в поле сил потенциала V(х), из уравнения Шрёдингера находят ненаблюдаемую волновую функцию ψ(х) квантовой системы, с помощью которой, однако, можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия уравнения Шрёдингера М. Борн объяснил смысл волновой функции: |ψ(х)| 2 - это плотность вероятности, а |ψ(x)| 2 ·Δx - вероятность обнаружить квантовую систему в интервале Δх значений координаты х.

Каждой физической величине (динамической переменной классической механики) в квантовой механике сопоставляется наблюдаемая а и соответствующий ей эрмитов оператор Â, который в выбранном базисе комплексных функций |i> = f i (х) представляется матрицей

где f*(х) - функция, комплексно сопряжённая к функции f (х).

Ортогональным базисом в этом пространстве является набор собственных функций |n) = f n (х)), n = 1,2,3, для которых действие оператора Â сводится к умножению на число (собственное значение а n оператора Â):

Базис функций |n) нормирован условием при n = n’ , при n ≠ n’.

а число базисных функций (в отличие от базисных векторов трёхмерного пространства классической физики) бесконечно, причём индекс n может изменяться как дискретно, так и непрерывно. Все возможные значения наблюдаемой а содержатся в наборе {а n } собственных значений соответствующего ей оператора Â, и только эти значения могут стать результатами измерений.

Основным объектом квантовой механики является вектор состояния |ψ), который может быть разложен по собственным функциям |n) выбранного оператора Â:

где ψ n - амплитуда вероятности (волновая функция) состояния |n), а |ψ n | 2 равно весу состояния n в разложении |ψ), причем

т. е. полная вероятность найти систему в одном из квантовых состояний n равна единице.

В квантовой механике Гейзенберга операторы Â и соответствующие им матрицы подчиняются уравнениям

где |Â,Ĥ|=ÂĤ - ĤÂ - коммутатор операторов Â и Ĥ. В отличие от схемы Шрёдингера, где от времени зависит волновая функция ψ, в схеме Гейзенберга временная зависимость отнесена к оператору Â. Оба эти подхода математически эквивалентны, однако в многочисленных приложениях квантовой механики подход Шрёдингера оказался предпочтительнее.

Собственное значение оператора Гамильтона Ĥ есть полная энергия системы Е, не зависящая от времени, которая находится как решение стационарного уравнения Шрёдингера

Его решения подразделяются на два типа в зависимости от вида граничных условий.

Для локализованного состояния волновая функция удовлетворяет естественному граничному условию ψ(∞) = 0. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет решение только для дискретного набора энергий Е n , n = 1,2,3,..., которым соответствуют волновые функции ψ n (r):

Примером локализованного состояния является атом водорода. Его гамильтониан Ĥ имеет вид

где Δ = ∂ 2 /∂х 2 + ∂ 2 /∂у 2 + ∂ 2 /∂z 2 - оператор Лапласа, е 2 /r - потенциал взаимодействия электрона и ядра, r - расстояние от ядра до электрона, а собственные значения энергии Е n , вычисленные из уравнения Шрёдингера, совпадают с уровнями энергии атома Бора.

Простейший пример нелокализованного состояния - свободное одномерное движение электрона с импульсом р. Ему соответствует уравнение Шрёдингера

решением которого является плоская волна

где в общем случае С = |С|exp{iφ} - комплексная функция, |С| и φ - её модуль и фаза. В этом случае энергия электрона Е = р 2 /2m, а индекс р решения ψ р (х) принимает непрерывный ряд значений.

Операторы координаты и импульса (и любой другой пары канонически сопряжённых переменных) подчиняются перестановочному (коммутационному) соотношению:

Общего базиса собственной функций для пар таких операторов не существует, а соответствующие им физические величины не могут быть определены одновременно с произвольной точностью. Из соотношения коммутации для операторов х̂ и р̂ следует ограничение на точность Δх и Δр определения координаты х и сопряжённого ей импульса р квантовой системы (соотношение неопределённостей Гейзенберга):

Отсюда, в частности, сразу следует вывод об устойчивости атома, поскольку соотношение Δх = Δр = 0, соответствующее падению электрона на ядро, в этой схеме запрещено.

Совокупность одновременно измеримых величин, характеризующих квантовую систему, представляется набором операторов

коммутирующих между собой, т. е. удовлетворяющих соотношениям А̂В̂ - В̂А̂ = А̂С̂ - С̂А̂ = В̂С̂ - С̂В̂ =... = 0. Для нерелятивистского атома водорода такой набор составляют, например, операторы: Ĥ (оператор полной энергии), (квадрат оператора момента) и (z-компонента оператора момента). Вектор состояния атома определяется как совокупность общих собственных функций ψ i (r) всех операторов

которые нумеруются набором {i} = (nlm) квантовых чисел энергии (n = 1,2,3,...), орбитального момента (l = 0,1, . . . , n - 1) и его проекции на ось z (m = -l,...,-1,0,1,...,l). Функции |ψ i (r)| 2 можно условно рассматривать как форму атома в различных квантовых состояниях i (так называемые силуэты Уайта).

Значение физической величины (наблюдаемая квантовая механика) определяется как среднее значение Ā соответствующего ей оператора Â:

Это соотношение справедливо для чистых состояний, т. е. для изолированных квантовых систем. В общем случае смешанных состояний мы всегда имеем дело с большой совокупностью (статистическим ансамблем) идентичных систем (например, атомов), свойства которой определяются путём усреднения по этому ансамблю. В этом случае среднее значение Ā оператора Â принимает вид

где р nm - матрица плотности (Л. Д. Ландау; Дж.фон Нейман, 1929) с условием нормировки ∑ n ρ пп = 1. Формализм матрицы плотности позволяет объединить квантовомеханическое усреднение по состояниям и статистическое усреднение по ансамблю. Матрица плотности играет важную роль также в теории квантовых измерений, суть которых всегда состоит во взаимодействии квантовой и классической подсистем. Понятие матрицы плотности является основой квантовой статистики и базисом для одной из альтернативных формулировок квантовой механики. Ещё одну форму квантовой механики, основанную на понятии континуального интеграла (или интеграла по траекториям), предложил Р. Фейнман в 1948 году.

Принцип соответствия . Квантовая механика имеет глубокие корни, как в классической, так и в статистической механике. Уже в своей первой работе Н. Бор сформулировал принцип соответствия, согласно которому квантовые соотношения должны переходить в классические при больших квантовых числах n. П. Эренфест в 1927 году показал, что с учётом уравнений квантовой механики среднее значение Ā оператора Â удовлетворяет уравнению движения классической механики. Теорема Эренфеста есть частный случай общего принципа соответствия: в пределе h → 0 уравнения квантовой механики переходят в уравнения классической механики. В частности, волновое уравнение Шрёдингера в пределе h → 0 переходит в уравнение геометрической оптики для траектории светового луча (и любого излучения) без учёта его волновых свойств. Представив решение ψ(х) уравнения Шрёдингера в виде ψ(х) = exp{iS/ħ}, где S = ∫ p(x)dx - аналог классического интеграла действия, можно убедиться, что в пределе ħ → 0 функция S удовлетворяет классическому уравнению Гамильтона - Якоби. Кроме того, в пределе h → 0 операторы х̂ и р̂ коммутируют и соответствующие им значения координаты и импульса могут быть определены одновременно, как это и предполагается в классической механике.

Наиболее существенные аналогии между соотношениями классической и квантовой механик для периодических движений прослеживаются на фазовой плоскости канонически сопряжённых переменных, например координаты х и импульса р системы. Интегралы типа ∮р(х)dx, взятые по замкнутой траектории (интегральные инварианты Пуанкаре), известны в предыстории квантовой механики как адиабатические инварианты Эренфеста. А. Зоммерфельд использовал их для описания квантовых закономерностей на языке классической механики, в частности для пространственного квантования атома и введения квантовых чисел l и m (именно он ввёл этот термин в 1915).

Размерность фазового интеграла ∮pdx совпадает с размерностью постоянной Планка h, и в 1911 году А. Пуанкаре и М. Планк предложили рассматривать квант действия h как минимальный объём фазового пространства, число n ячеек которого кратно h:n = ∮pdx/h. В частности, при движении электрона по круговой траектории с постоянным импульсом р из соотношения n = ∮р(х)dx/h = р ∙ 2πr/h сразу следует условие квантования Бора: mυr=nħ (П. Дебай, 1913).

Однако в случае одномерного движения в потенциале V(x) = mω 2 0 х 2 /2 (гармонический осциллятор с собственной частотой ω 0) из условия квантования ∮р(х)dx = nh следует ряд значений энергии Е n = ħω 0 n, в то время как точное решение квантовых уравнений для осциллятора приводит к последовательности Е n = ħω 0 (n + 1/2). Этот результат квантовой механики, впервые полученный В. Гейзенбергом, принципиально отличается от приближённого наличием нулевой энергии колебаний Е 0 = ħω 0 /2, которая имеет чисто квантовую природу: состояние покоя (х = 0, р = 0) в квантовой механике запрещено, поскольку оно противоречит соотношению неопределённостей Δх∙ Δр ≥ ħ/2.

Принцип суперпозиции состояний и вероятностная интерпретация. Основное и наглядное противоречие между корпускулярной и волновой картинами квантовых явлений удалось устранить в 1926 году, после того, как М. Борн предложил интерпретировать комплексную волновую функцию ψ n (x) = |ψ n (x)|·exp(iφ n) как амплитуду вероятности состояния n, а квадрат её модуля |ψ n (х)| 2 - как плотность вероятности обнаружить состояние n в точке х. Квантовая система может находиться в различных, в том числе альтернативных, состояниях, а её амплитуда вероятности равна линейной комбинации амплитуд вероятности этих состояний: ψ = ψ 1 + ψ 2 + ...

Плотность вероятности результирующего состояния равна квадрату суммы амплитуд вероятности, а не сумме квадратов амплитуд, как это имеет место в статистической физике:

Этот постулат - принцип суперпозиции состояний - один из важнейших в системе понятий квантовой механики; он имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенные щели, обсуждается чаще других (рис. 2). Пучок электронов падает слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если поочерёдно закрывать каждую из щелей, то на экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо двух щелей мы увидим систему интерференционных полос, интенсивность которых описывается выражением:

Последний член в этой сумме представляет интерференцию двух волн вероятности, пришедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций Δφ = φ 1 - φ 2 . В случае равных амплитуд |ψ 1 | = |ψ 2 |:

т. е. интенсивность изображения щелей в разных точках экрана меняется от 0 до 4|ψ 1 | 2 - в соответствии с изменением разности фаз Δφ от 0 до π/2. В частности, при этом может оказаться, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно.

Существенно, что эта картина явления не зависит от интенсивности пучка электронов, т. е. это не результат их взаимодействия между собой. Интерференционная картина возникает даже в пределе, когда электроны проходят через щели в перегородке поодиночке, т. е. каждый электрон интерферирует сам с собой. Такое невозможно для частицы, но вполне естественно для волны, например при её отражении или дифракции на препятствии, размеры которого сравнимы с её длиной. В этом опыте дуализм волна-частица проявляется в том, что один и тот же электрон регистрируется как частица, но распространяется как волна особой природы: это волна вероятности обнаружить электрон в какой-либо точке пространства. В такой картине процесса рассеяния вопрос: «Через какую из щелей прошёл электрон-частица?» теряет смысл, поскольку соответствующая ему волна вероятности проходит через обе щели сразу.

Другой пример, иллюстрирующий вероятностный характер явлений квантовой механики, - прохождение света через полупрозрачную пластинку. По определению, коэффициент отражения света равен отношению числа фотонов, отражённых от пластинки, к числу падающих. Однако это есть не результат усреднения большого числа событий, а характеристика, изначально присущая каждому фотону.

Принцип суперпозиции и концепция вероятности позволили осуществить непротиворечивый синтез понятий «волна» и «частица»: каждое из квантовых событий и его регистрация дискретны, но их распределение диктуется законом распространения непрерывных волн вероятности.

Туннельный эффект и резонансное рассеяние. Туннельный эффект - едва ли не самое известное явление квантовой физики. Он обусловлен волновыми свойствами квантовых объектов и только в рамках квантовой механики получил адекватное объяснение. Пример туннельного эффекта - распад ядра радия на ядро радона и α-частицу: Ra → Rn + α.

На рисунке 3 приведена схема потенциала α-распада V(r): α-частица колеблется с частотой v в «потенциальной яме» ядра с зарядом Z 0 , а покинув её, движется в отталкивающем кулоновском потенциале 2Ze 2 /r, где Z=Z 0 -2. В классической механике частица не может покинуть потенциальную яму, если её энергия Е меньше, чем высота потенциального барьера V мaкc . В квантовой механике вследствие соотношения неопределённостей частица с конечной вероятностью W проникает в подбарьерную область r 0 < r < r 1 и может «просочиться» из области r < r 0 в область r > r 1 аналогично тому, как свет проникает в область геометрической тени на расстояния, сравнимые с длиной световой волны. Используя уравнение Шрёдингера, можно вычислить коэффициент D прохождения α-частицы через барьер, который в квазиклассическом приближении равен:

Со временем число ядер радия N(t) убывает по закону: N(t) = N 0 exp{-t/τ}, где τ - среднее время жизни ядра, N 0 - начальное число ядер при t = 0. Вероятность α-распада W = vD связана со временем жизни соотношением W = l/τ, откуда следует закон Гейгера - Неттола:

где υ - скорость α-частицы, Z - заряд образовавшегося ядра. Экспериментально эта зависимость была обнаружена ещё в 1909 году, но только в 1928 Г. Гамов (и независимо английский физик Р. Гёрни и американский физик Э. Кондон) впервые объяснил её на языке квантовой механики. Тем самым было показано, что квантовая механика описывает не только процессы излучения и другие явления атомной физики, но также явления ядерной физики.

В атомной физике туннельный эффект объясняет явление автоэлектронной эмиссии. В однородном электрическом поле напряжённостью Е кулоновский потенциал V(r) = -е 2 /r притяжения между ядром и электроном искажается: V(r) = - е 2 /r - eEr, уровни энергии атома E nl m при этом смещаются, что приводит к изменению частот ν nk переходов между ними (эффект Штарка). Кроме того, качественно этот потенциал становится подобным потенциалу α-распада, вследствие чего возникает конечная вероятность туннелирования электрона через потенциальный барьер (Р. Оппенгеймер, 1928). При достижении критических значений Е барьер понижается настолько, что электрон покидает атом (так называемая лавинная ионизация).

Альфа-распад есть частный случай распада квазистационарного состояния, который тесно связан с понятием квантовомеханического резонанса и позволяет понять дополнительные аспекты нестационарных процессов в квантовой механике. Из уравнения Шрёдингера следует зависимость его решений от времени:

где Е - собственное значение гамильтониана Ĥ, которое для эрмитовых операторов квантовой механики действительно, а соответствующая ему наблюдаемая (полная энергия Е) не зависит от времени. Однако энергия нестационарных систем от времени зависит, и этот факт можно формально учесть, если энергию такой системы представить в комплексном виде: Е = Е 0 - iΓ/2. В этом случае зависимость волновой функции от времени имеет вид

а вероятность обнаружить соответствующее состояние убывает по экспоненциальному закону:

который совпадает по форме с законом α-распада с постоянной распада τ = ħ/Г.

В обратном процессе, например при столкновении ядер дейтерия и трития, в результате которого образуются гелий и нейтрон (реакция термоядерного синтеза), используется понятие сечения реакции σ, которое определяется как мера вероятности реакции при единичном потоке сталкивающихся частиц.

Для классических частиц сечение рассеяния на шарике радиусом r 0 совпадает с его геометрической сечением и равно σ = πr 0 2 . В квантовой механике оно может быть представлено через фазы рассеяния δl(k):

где k = р/ħ = √2mE/ħ - волновое число, l - орбитальный момент системы. В пределе очень малых энергий столкновения сечение квантового рассеяния σ = 4πr 0 2 в 4 раза превышает геометрическое сечение шарика. (Этот эффект - одно из следствий волновой природы квантовых явлений.) В окрестности резонанса при Е ≈ Е 0 фаза рассеяния ведёт себя как

а сечение рассеяния равно

где λ = 1/k, W(Е) - функция Брейта - Вигнера:

При малых энергиях рассеяния l 0 ≈ 0, а длина волны де Бройля λ значительно больше размеров ядер, поэтому при Е = Е 0 , резонансные сечения ядер σ рез ≈ 4πλ 0 2 могут в тысячи и миллионы раз превышать их геометрические сечения πr 0 2 . В ядерной физике именно от этих сечений зависит работа ядерного и термоядерного реакторов. В атомной физике это явление впервые наблюдали Дж. Франк и Г. Герц (1913) в опытах по резонансному поглощению электронов атомами ртути. В противоположном случае (δ 0 = 0) сечение рассеяния аномально мало (эффект Рамзауэра, 1921).

Функция W(Е) известна в оптике как лоренцевский профиль линии излучения и имеет вид типичной резонансной кривой с максимумом при Е = Е 0 , а ширина резонанса Г = 2∆Е = 2 (Е - Е 0) определяется из соотношения W(Е 0 ± ΔΕ) = W(Е 0)/2. Функция W(Е) носит универсальный характер и описывает как распад квазистационарного состояния, так и резонансную зависимость сечения рассеяния от энергии столкновения Е, а в явлениях излучения определяет естественную ширину Г спектральной линии, которая связана с временем жизни τ излучателя соотношением τ = ħ/Г. Это соотношение определяет также время жизни элементарных частиц.

Из определения τ = ħ/Г с учётом равенства Г = 2∆Е следует соотношение неопределённостей для энергии и времени: ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2, где ∆t ≥ τ. По форме оно аналогично соотношению ∆х ∙ ∆р ≥ ħ/2, однако онтологический статус этого неравенства другой, поскольку в квантовой механике время t не является динамической переменной. Поэтому соотношение ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2 не следует непосредственно из основных постулатов стационарной квантовой механики и, строго говоря, имеет смысл только для систем, энергия которых меняется во времени. Его физический смысл состоит в том, что за время ∆t энергия системы не может быть измерена точнее, чем величина ∆Е, определяемая соотношением ∆Е ∙ ∆t ≥ ħ/2. Стационарное состояние (ΔЕ→0) существует бесконечно долго (∆t→∞).

Спин, тождественность частиц и обменное взаимодействие. Понятие «спин» утвердилось в физике трудами В. Паули, нидерландского физика Р. Кронига, С. Гаудсмита и Дж. Уленбека (1924-27), хотя экспериментальные свидетельства о его существовании были получены задолго до создания квантовой механики в опытах А. Эйнштейна и В. Й. де Хааза (1915), а также О. Штерна и немецкого физика В. Герлаха (1922). Спин (собственный механический момент частицы) для электрона равен S = ħ/2. Это такая же важная характеристика квантовой частицы, как и заряд и масса, которая, однако, не имеет классической аналогов.

Оператор спина Ŝ = ħσˆ/2, где σˆ= (σˆ х, σˆ у, σˆ z) - двумерные матрицы Паули, определён в пространстве двухкомпонентных собственных функций u = (u + , u -) оператора Ŝ z проекции спина на ось z: σˆ z u = σu, σ=±1/2. Собственный магнитный момент μ частицы с массой m и спином S равен μ = 2μ 0 S, где μ 0 = еħ/2mс - магнетон Бора. Операторы Ŝ 2 и Ŝ z коммутируют с набором Ĥ 0 L 2 и L z операторов атома водорода и вместе они формируют гамильтониан уравнения Паули (1927), решения которого нумеруются набором i = (nlmσ) квантовых чисел собственных значений совокуп̭ност̭и коммутирующих операторов Ĥ 0 , L 2 , L z , Ŝ 2 , Ŝ z . Эти решения описывают самые тонкие особенности наблюдаемых спектров атомов, в частности расщепление спектральных линий в магнитном поле (нормальный и аномальный эффект Зеемана), а также их мультиплетную структуру в результате взаимодействия спина электрона с орбитальным моментом атома (тонкая структура) и спином ядра (сверхтонкая структура).

В 1924, ещё до создания квантовой механики, В. Паули сформулировал принцип запрета: в атоме не может быть двух электронов с одним и тем же набором квантовых чисел i = (nlmσ). Этот принцип позволил понять структуру периодической системы химических элементов и объяснить периодичность изменения их химических свойств при монотонном увеличении заряда их ядер.

Принцип запрета есть частный случай более общего принципа, который устанавливает связь между спином частицы и симметрией её волновой функции. В зависимости от значения спина все элементарные частицы разделяются на два класса: фермионы - частицы с полуцелым спином (электрон, протон, μ-мезон и т.д.) и бозоны - частицы с нулевым или целым спином (фотон, π-мезон, К-мезон и т.д.). В 1940 Паули доказал общую теорему о связи спина со статистикой, из которой следует, что волновые функции любой системы фермионов обладают отрицательной чётностью (меняют знак при их попарной перестановке), а чётность волновой функции системы бозонов всегда положительна. В соответствии с этим существуют два типа распределений частиц по энергиям: распределение Ферми - Дирака и распределение Бозе - Эйнштейна, частным случаем которого является распределение Планка для системы фотонов.

Одно из следствий принципа Паули - существование так называемого обменного взаимодействия, которое проявляется уже в системе двух электронов. В частности, именно это взаимодействие обеспечивает ковалентную химическую связь атомов в молекулах Н 2 , N 2 , О 2 и т. п. Обменное взаимодействие - исключительно квантовый эффект, аналога такого взаимодействия в классической физике нет. Его специфика объясняется тем, что плотность вероятности волновой функции системы двух электронов |ψ(r 1 ,r 2)| 2 содержит не только члены |ψ n (r 1)| 2 |ψ m (r 2)| 2 , где n и m - квантовые состояния электронов обоих атомов, но также «обменные члены» ψ n * (r 1)ψ m * (r 1)ψ n (r 2)ψ m (r 2), возникающие как следствие принципа суперпозиции, который позволяет каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях n и m обоих атомов. Кроме того, в силу принципа Паули, спиновая часть волновой функции молекулы должна быть антисимметричной по отношению к перестановке электронов, т. е. химическая связь атомов в молекуле осуществляется парой электронов с противоположно направленными спинами. Волновая функция сложных молекул может быть представлена как суперпозиция волновых функций, соответствующих различным возможным конфигурациям молекулы (теория резонанса, Л. Полинг, 1928).

Развитые в квантовой механике методы расчёта (метод Хартри - Фока, метод молекулярных орбиталей и др.) позволяют вычислить на современных компьютерах все характеристики устойчивых конфигураций сложных молекул: порядок заполнения электронных оболочек в атоме, равновесные расстояния между атомами в молекулах, энергию и направление химических связей, расположение атомов в пространстве, а также построить потенциальные поверхности, которые определяют направление химических реакций. Такой подход позволяет также вычислить потенциалы межатомных и межмолекулярных взаимодействий, в частности силы Ван дер Ваальса, оценить прочность водородных связей и др. Тем самым проблема химической связи сводится к задаче расчёта квантовых характеристик системы частиц с кулоновским взаимодействием, и с этой точки зрения структурную химию можно рассматривать как один из разделов квантовой механики.

Обменное взаимодействие существенно зависит от вида потенциального взаимодействия между частицами. В частности, в некоторых металлах именно благодаря ему более устойчивым является состояние пар электронов с параллельными спинами, что объясняет явление ферромагнетизма.

Приложения квантовой механики. Квантовая механика - теоретический базис квантовой физики. Она позволила понять строение электронных оболочек атомов и закономерности в их спектрах излучения, структуру ядер и законы их радиоактивного распада, происхождение химических элементов и эволюцию звёзд, включая взрывы новых и сверхновых звёзд, а также источник энергии Солнца. Квантовая механика объяснила смысл периодической системы элементов, природу химической связи и строение кристаллов, теплоёмкость и магнитные свойства веществ, явления сверхпроводимости и сверхтекучести и др. Квантовая механика - физическая основа многочисленных технических приложений: спектрального анализа, лазера, транзистора и компьютера, ядерного реактора и атомной бомбы и т. д.

Свойства металлов, диэлектриков, полупроводников и других веществ в рамках квантовой механики также получают естественное объяснение. В кристаллах атомы совершают около положений равновесия малые колебания с частотой ω, которым сопоставляются кванты колебаний кристаллической решётки и соответствующие им квази-частицы - фононы с энергией Е = ħω. Теплоёмкость кристалла в значительной степени определяется теплоёмкостью газа его фононов, а его теплопроводность можно трактовать как теплопроводность фононного газа. В металлах электроны проводимости представляют собой газ фермионов, а их рассеяние на фононах является основной причиной электрического сопротивления проводников, а также объясняет подобие тепловых и электрических свойств металлов (смотри Видемана - Франца закон). В магнитоупорядоченных структурах возникают квазичастицы - магноны, которым соответствуют спиновые волны, в квантовых жидкостях возникают кванты вращательного возбуждения - ротоны, а магнитные свойства веществ определяются спинами электронов и ядер (смотри Магнетизм). Взаимодействие спинов электронов и ядер с магнитным полем - основа практических приложений явлений электронного парамагнитного и ядерного магнитного резонансов, в частности в медицинских томографах.

Упорядоченная структура кристаллов порождает дополнительную симметрию гамильтониана по отношению к сдвигу х → х + а, где а - период кристаллической решётки. Учёт периодической структуры квантовой системы приводит к расщеплению её энергетического спектра на разрешённые и запрещённые зоны. Такая структура уровней энергии лежит в основе работы транзисторов и всей базирующейся на них электроники (телевизор, компьютер, сотовый телефон и др.). В начале 21 века достигнуты существенные успехи в создании кристаллов с заданными свойствами и структурой энергетических зон (сверхрешётки, фотонные кристаллы и гетероструктуры: квантовые точки, квантовые нити, нанотрубки и др.).

При понижении температуры некоторые вещества переходят в состояние квантовой жидкости, энергия которой при температуре Т → 0 приближается к энергии нулевых колебаний системы. В некоторых металлах при низких температурах образуются куперовские пары - системы из двух электронов с противоположными спинами и импульсами. При этом электронный газ фермионов трансформируется в газ бозонов, что влечёт за собой бозе-конденсацию, которая объясняет явление сверхпроводимости.

При низких температурах длина волны де Бройля тепловых движений атомов становится сравнимой с межатомными расстояниями и возникает корреляция фаз волновых функций многих частиц, что приводит к макроскопическим квантовым эффектам (эффект Джозефсона, квантование магнитного потока, дробный квантовый эффект Холла, андреевское отражение).

На основе квантовых явлений созданы наиболее точные квантовые эталоны различных физических величин: частоты (гелий-неоновый лазер), электрического напряжения (эффект Джозефсона), сопротивления (квантовый эффект Холла) и т.д., а также приборы для различных прецизионных измерений: сквиды, квантовые часы, квантовый гироскоп и т.д.

Квантовая механика возникла как теория для объяснения специфических явлений атомной физики (её вначале так и называли: атомная динамика), но постепенно стало ясно, что квантовая механика образует также основу всей субатомной физики, и все её основные понятия применимы для описания явлений физики ядра и элементарных частиц. Первоначальная квантовая механика была нерелятивистской, то есть описывала движение систем со скоростями много меньшими скорости света. Взаимодействие частиц в этой теории по-прежнему описывалось в классических терминах. В 1928 П. Дирак нашёл релятивистское уравнение квантовой механики (уравнение Дирака), которое при сохранении всех её понятий учитывало требования теории относительности. Кроме того, был развит формализм вторичного квантования, который описывает рождение и уничтожение частиц, в частности рождение и поглощение фотонов в процессах излучения. На этой основе возникла квантовая электродинамика, которая позволила с большой точностью рассчитывать все свойства систем с электромагнитным взаимодействием. В дальнейшем она развилась в квантовую теорию поля, объединяющую в едином формализме частицы и поля, посредством которых они взаимодействуют.

Для описания элементарных частиц и их взаимодействий используются все основные понятия квантовой механики: остаётся справедливым дуализм волна-частица, сохраняется язык операторов и квантовых чисел, вероятностная трактовка наблюдаемых явлений и т.д. В частности, для объяснения взаимопревращения трёх типов нейтрино: v e , ν μ и ν τ (осцилляции нейтрино), а также нейтральных К-мезонов используется принцип суперпозиции состояний.

Интерпретация квантовой механики . Справедливость уравнений и заключений квантовой механики многократно подтверждена многочисленными опытами. Система её понятий, созданная трудами Н. Бора, его учеников и последователей, известная как «копенгагенская интерпретация», является ныне общепринятой, хотя ряд создателей квантовой механики (М. Планк, А. Эйнштейн и Э. Шрёдингер и др.) до конца жизни остались в убеждении, что квантовая механика - незавершённая теория. Специфическая трудность восприятия квантовой механики обусловлена, в частности, тем обстоятельством, что большая часть её основных понятий (волна, частица, наблюдение и т.д.) взяты из классической физики. В квантовой механике их смысл и область применимости ограничены в силу конечности кванта действия h, а это, в свою очередь, потребовало ревизии устоявшихся положений философии познания.

Прежде всего в квантовой механике изменился смысл понятия «наблюдение». В классической физике предполагали, что возмущения изучаемой системы, вызванные процессом измерения, могут быть корректно учтены, после чего можно восстановить исходное состояние системы, независимое от средств наблюдения. В квантовой механике соотношение неопределённостей ставит на этом пути принципиальный предел, который никак не связан с искусством экспериментатора и тонкостью используемых методов наблюдения. Квант действия h определяет границы квантовой механики, подобно скорости света в теории электромагнитных явлений или абсолютному нулю температур в термодинамике.

Причину неприятия соотношения неопределённостей и способ преодоления трудностей восприятия его логических следствий предложил Н. Бор в концепции дополнительности (смотри Дополнительности принцип). Согласно Бору, для полного и адекватного описания квантовых явлений необходима пара дополнительных понятий и соответствующая им пара наблюдаемых. Для измерения этих наблюдаемых необходимы два разных типа приборов с несовместимыми свойствами. Например, для точного измерения координаты нужен стабильный, массивный прибор, а для измерения импульса, наоборот, лёгкий и чувствительный. Оба эти прибора несовместимы, но они дополнительны в том смысле, что обе величины, измеряемые ими, равно необходимы для полной характеристики квантового объекта или явления. Бор объяснил, что «явление» и «наблюдение» - дополнительные понятия и не могут быть определены порознь: процесс наблюдения уже есть некое явление, а без наблюдения явление есть «вещь в себе». В действительности мы всегда имеем дело не с явлением самим по себе, а с результатом наблюдения явления, и результат этот зависит, в том числе от выбора типа прибора, используемого для измерения характеристик квантового объекта. Результаты таких наблюдений квантовая механика объясняет и предсказывает без всякого произвола.

Важное отличие квантовых уравнений от классических состоит также в том, что волновая функция квантовой системы сама не наблюдаема, а все величины, вычисленные с её помощью, имеют вероятностный смысл. Кроме того, понятие вероятности в квантовой механике в корне отличается от привычного понимания вероятности как меры нашего незнания деталей процессов. Вероятность в квантовой механике - это внутреннее свойство индивидуального квантового явления, присущее ему изначально и независимо от измерений, а не способ представления результатов измерений. В соответствии с этим принцип суперпозиции в квантовой механике относится не к вероятностям, а к амплитудам вероятности. Кроме того, в силу вероятностного характера событий суперпозиция квантовых состояний может включать в себя состояния, несовместимые с классической точки зрения, например состояния отражённого и прошедшего фотонов на границе полупрозрачного экрана или альтернативные состояния электрона, проходящего через любую из щелей в знаменитом интерференционном опыте.

Неприятие вероятностной трактовки квантовой механики породило массу попыток модифицировать основные положения квантовой механики. Одна из таких попыток - введение в квантовую механику скрытых параметров, которые изменяются в соответствии со строгими законами причинности, а вероятностный характер описания в квантовой механике возникает как результат усреднения по этим параметрам. Доказательство невозможности введения в квантовую механику скрытых параметров без нарушения системы её постулатов было дано Дж. фон Нейманом ещё в 1929 году. Более детальный анализ системы постулатов квантовой механики был предпринят Дж. Беллом в 1965 году. Экспериментальная проверка так называемых неравенств Белла (1972) ещё раз подтвердила общепринятую схему квантовой механики.

Ныне квантовая механика представляет собой законченную теорию, которая всегда даёт правильные предсказания в границах её применимости. Все известные попытки её модификации (их известно около десяти) не изменили её структуры, но положили начало новым отраслям наук о квантовых явлениях: квантовой электродинамике, квантовой теории поля, теории электрослабого взаимодействия, квантовой хромодинамике, квантовой теории гравитации, теории струн и суперструн и др.

Квантовая механика стоит в ряду таких достижений науки, как классическая механика, учение об электричестве, теория относительности и кинетическая теория. Ни одна физическая теория не объяснила такого широкого круга физических явлений природы: из 94 Нобелевских премий по физике, присуждённых в 20 веке, только 12 не связаны напрямую с квантовой физикой. Значение квантовой механики во всей системе знаний об окружающей природе выходит далеко за рамки учения о квантовых явлениях: она создала язык общения в современной физике, химии и даже биологии, привела к пересмотру философии науки и теории познания, а её технологические следствия до сих пор определяют направление развития современной цивилизации.

Лит.: Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., 1964; Давыдов А. С. Квантовая механика. 2-е изд. М., 1973; Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М., 1979; Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 7-е изд. СПб., 2004; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 5-е изд. М., 2004; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика. 3-е изд. М., 2004; Пономарев Л. И. Под знаком кванта. 2-е изд. М., 2007; Фок В. А. Начала квантовой механики. 5-е изд. М., 2008.

“Если бы мы должны были характеризовать основные идеи квантовой теории в одном предложении, мы могли бы сказать: следует предположить, что некоторые физические величины до тех пор считавшиеся непрерывными , состоят из элементарных квантов ”. (А.Эйнштейн)

В конце 19 века Дж.Томсон открыл электрон как элементарный квант (частицу) отрицательного электричества. Таким образом, и атомная, и электрическая теории ввели в науку физические величины, которые могут меняться только скачками . Томсон показал, что электрон есть также один из составных элементов атома, один из элементарных кирпичиков, из которых построено вещество. Томсон создал первую модель атома, согласно которой атом представляет собой аморфную сферу, набитую электронами, подобно “булке с изюмом”. Извлечь электроны из атома сравнительно легко. Это можно сделать нагреванием или бомбардировкой атома другими электронами.

Однако, гораздо большая часть массы атома представлена не электронами, а остающимися частицами, значительно более тяжелыми – ядром атома . Это открытие было сделано Э.Резерфордом, который бомбардировал золотую фольгу альфа частицами и обнаружил, что есть места, где частицы отскакивают как будто бы от чего-то массивного, а есть места, где частицы свободно пролетают насквозь. Резерфорд создает на основе этого открытия свою планетарную модель атома. Согласно этой модели, в центре атома расположено ядро, которое сосредотачивает в себе основную массу атома, а вокруг ядра по круговым орбитам вращаются электроны.

Фотоэлектрический эффект

В 1888-1890 годах фотоэлектрический эффект был исследован русским физиком А.П.Столетовым. Теорию фотоэффекта разрабатывал в 1905 году А.Эйнштейн. Пусть свет выбивает из металла электроны. Электроны вырываются из металла и устремляются вперед с определенной скоростью. Мы в состоянии подсчитать число этих электронов, определить их скорость и энергию. Если бы мы снова осветили металл светом той же длины волны, но более мощного источника, то следовало бы ожидать, что энергия испускаемых электронов будет больше . Однако, ни скорость, ни энергия электронов не изменяется при возрастании интенсивности света. Это оставалось проблемой до открытия кванта энергии М.Планком.

Открытие кванта энергии М. Планком

В конце ХIХ века в физике возникла трудность, которая получила название “ультрафиолетовой катастрофы”. Экспериментальное исследование спектра теплового излучения абсолютно черного тела давало определенную зависимость интенсивности излучения от его частоты. С другой стороны, расчеты произведенные в рамках классической электродинамики, давали совсем иную зависимость. Получалось так, что в ультрафиолетовом конце спектра интенсивность излучения должна неограниченно возрастать, что явно противоречит опыту.

Пытаясь решить эту проблему, Макс Планк был вынужден допустить, что противоречие возникает из-за неправильного понимания классической физикой механизма излучения.

В 1900 г. он выдвинул гипотезу о том, что излучение и поглощение энергии происходит не непрерывно, а дискретно – порциями (квантами) с величиной Е= h × n , где Е – интенсивность излучения, n – частота излучения, h – новая фундаментальная постоянная (постоянная Планка, равная 6,6×10 -34 Дж×сек). На этой основе “ультрафиолетовая катастрофа” была преодолена.

М. Планк предположил, что видимый нами белый свет состоит из небольших порций энергии, несущихся в пустом пространстве со скоростью света. Планк назвал эти порции энергии квантами, или фотонами .

Сразу стало понятно, что квантовая теория света дает объяснение фотоэлектрическому эффекту. Итак, поток фотонов, падает на металлическую пластинку. Фотон ударяется об атом и выбивает из него электрон. Вырванный электрон будет в каждом случае иметь одинаковую энергию. Тогда понятно, что увеличение интенсивности света означает увеличение числа падающих фотонов . В этом случае из металлической пластинки было бы вырвано большее число электронов, но энергия каждого отдельного электрона не изменилась бы .

Энергия световых квантов различна для лучей разных цветов, волн разной частоты . Так, энергия фотонов красного света вдвое меньше энергии фотонов фиолетового света. Рентгеновские же лучи состоят из фотонов гораздо большей энергии, чем фотоны белого света, то есть длина волны рентгеновских лучей гораздо меньше.

Испускание светового кванта связано с переходом атома от одного энергетического уровня к другому. Энергетические уровни атома, как правило дискретны, то есть в невозбужденном состоянии атом не излучает, он стабилен. На основе этого положения Н.Бор создает свою модель атома в 1913 году . Согласно этой модели, в центре атома расположено массивное ядро, вокруг которого по стационарным орбитам вращаются электроны. Атом излучает энергию не постоянно, а порциями (квантами) и только в возбужденном состоянии. В этом случае мы наблюдаем переход электронов с внешней орбиты на внутреннюю. В случае же поглощения атомом энергии имеет место переход электронов с внутренней орбиты на внешнюю.

Основы квантовой теории

Вышеперечисленные открытия, да и многие другие нельзя было понять и объяснить с точки зрения классической механики. Нужна была новая теория, которая и была создана в 1925-1927 годах название квантовой механики .

После того, как физики установили, что атом не является последним кирпичиком мироздания, а сам состоит из более простых частиц, начался поиск элементарной частицы. Элементарной частицей называют такую частицу, которая меньше атомного ядра (начиная с протона, электрона, нейтрона). На сегодняшний день известно более 400 элементарных частиц.

Как мы уже знаем, первой открытой в 1891 году элементарной частицей был электрон. В 1919 году Э.Резерфорд открывает протон, положительно заряженную тяжелую частицу, входящую в состав атомного ядра. В 1932 году английский физик Джон Чэдвик обнаруживает нейтрон , тяжелую частицу не имеющую электрического заряда и тоже входящую в состав атомного ядра. В 1932 году Полем Дираком была предсказана первая античастица – позитрон , по массе равная электрону, но обладающая противоположным (положительным) электрическим зарядом.

С 50-х годов хх века основным средством открытия и исследования элементарных частиц стали сверхмощные ускорители – синхрофазотроны. В России первый такой ускоритель был создан в 1957 году в городе Дубне. С помощью ускорителей были открыты античастицы: позитрон, а в последствии антипротон и антинейтрон (античастица, не имеющая электрического заряда, но имеющая барионный заряд, противоположный барионному заряду нейтрона). С этого времени стали выдвигаться гипотезы о возможном существовании антивещества, антиматерии, а возможно даже и антимиров. Однако экспериментального подтверждения этой гипотезы пока не получено.

Одна из существенных особенностей элементарных частиц состоит в том, что они имеют крайне незначительные массы и размеры . Масса большинства из них составляет 1,6×10 –24 грамма, а размер порядка 10 –16 см в диаметре.

Другое свойство элементарных частиц – это способность рождаться и уничтожаться, то есть испускаться и поглощаться при взаимодействии с другими частицами . Например, при взаимодействии (аннигиляции) двух противоположных частиц электрона и позитрона выделяется два фотона (кванта энергии): е - +е + =2g

Следующим важным свойством является трансмутация, то есть слияние частиц друг с другом при взаимодействии, причем с увеличением массы получившейся частицы. Новая масса частицы больше суммы двух соединившихся частиц, так как часть энергии, выделившейся при слиянии, переходит в массу.

Частицы различаются по 1.видам взаимодействия; 2. типам взаимодействия; 3. массе; 4. времени жизни; 5. спину; 6. заряду.

Виды и типы взаимодействия

Виды взаимодействия

Сильное взаимодействие обусловливает связь между протонами и нейтронами в атомных ядрах.

Электромагнитное взаимодействие – менее интенсивно, чем сильное, определяет связь между электронами и ядром в атоме, а также связь между атомами в молекуле.

Слабое взаимодействие вызывает медленно текущие процессы, в частности процесс распада частиц.

Гравитационное взаимодействие – это взаимодействие между отдельными частицами; сила этого взаимодействия в квантовой механике крайне мала вследствие малости масс, но его сила значительно возрастает при взаимодействии больших масс.

Типы взаимодействия

В квантовой механике все элементарные частицы могут взаимодействовать только по двум типам: адронному и лептонному .

Масса .

По массе частицы подразделяют на тяжелые (протон, нейтрон, гравитон и др.), промежуточные и легкие (электрон, фотон, нейтрино и др.)

Время жизни.

По времени своего существования частицы подразделяются на стабильные, с достаточно длительным сроком существования (например, протоны, нейтроны, электроны, фотоны, нейтрино и др.), квазистабильные , то есть имеющие достаточно короткое время жизни (например, античастицы) и нестабильные , имеющие предельно короткое время существования (например, мезоны, пионы, барионы и др.)

Спин

Спин (от английского - вертеться, вращаться) характеризует собственный момент количества движения элементарной частицы, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Он измеряется целым или полуцелым числом, кратным постоянной Планка (6,6×10 –34 Дж × сек). Для большинства элементарных частиц показатель спина составляет 1/2;,(для электрона, протона, нейтрино) 1 (для фотона), 0 (для П-мезонов, К-мезонов).

Концепция спина была введена в физику в 1925 году американскими учеными Дж.Уленбеком и С.Гаудсмитом, предположившими, что электрон можно рассматривать как “вращающийся волчок”.

Электрический заряд

Для элементарных частиц характерно наличие положительного или отрицательного электрического заряда, либо отсутствие электрического заряда вообще. Кроме электрического заряда у элементарных частиц группы барионов присутствует барионный заряд.

В 50–е годы ХХ века физики М.Гелл-Ман и Г.Цвейг предположили, что внутри адронов должны быть еще более элементарные частицы. Цвейг назвал их тузами, а Гелл-Ман – кварками. Слово «кварк» взято из романа Дж. Джойса «Поминки по Финнегану». В дальнейшем прижилось название кварк.

Согласно гипотезе Гелл-Мана имеются кварки трех типов (ароматов): u – d – s . Каждый из них имеет спин = 1/2; и заряд = 1/3 или 2/3 заряда электрона. Все барионы состоят из трех кварков. Например, протон – из uud, а нейтрон – из ddu. Каждый из трех ароматов кварков подразделяется на три цвета. Это не обычный цвет, а аналог заряда. Так, протон можно рассматривать как мешок, содержащий два u - и один d - кварк. Каждый из кварков в мешке окружен своим собственным облаком. Протон-протонное взаимодействие можно представить как сближение двух мешков с кварками, которые на достаточно малом расстоянии начинают обмениваться глюонами. Глюон – частица-переносчик (от английского слова glue, что означает клей). Глюоны склеивают протоны и нейтроны в ядре атома и не дают им распасться. Проведем некоторую аналогию.

Квантовая электродинамика: электрон, заряд, фотон. В квантовой хромодинамике им соответствуют: кварк, цвет, глюон. Кварки – это теоретические объекты, необходимые для объяснения ряда процессов и взаимодействий между элементарными частицами группы адронов. С точки зрения философского подхода к проблеме можно сказать, что кварки – это один из способов объяснения микромира в понятиях макромира.

Физический вакуум и виртуальные частицы

В первой половине ХХ века Поль Дирак составил уравнение, которое описывало движение электронов с учетом законов квантовой механики и теории относительности. Он получил неожиданный результат. Формула для энергии электрона давала 2 решения: одно решение соответствовало уже знакомому нам электрону – частице с положительной энергией, другое – частице, у которой энергия была отрицательной. В квантовой механике состояние частицы с отрицательной энергией интерпретируется как античастица . Дирак обратил внимание, что античастицы возникают из частиц.

Ученый пришел к выводу, что существует “физический вакуум”, который заполнен электронами с отрицательной энергией. Физический вакуум стали часто называть “морем Дирака”. Мы не наблюдаем электронов с отрицательной энергией именно потому, что они образуют сплошной невидимый фон (“море”), на котором происходят все мировые события. Однако, это “море” не наблюдаемо только до тех пор, пока на него не подействуют определенным образом. Когда же в “море Дирака” попадает, скажем, фотон, то он заставляет “море” (вакуум) выдать себя, выбивая из него один из многочисленных электронов с отрицательной энергией. И при этом, как утверждает теория, родятся сразу 2 частицы: электрон с положительной энергией и отрицательным электрическим зарядом и антиэлектрон тоже с положительной энергией, но еще и с положительным зарядом.

В 1932 году американский физик К.Д.Андерсон экспериментально обнаружил антиэлектрон в космических лучах и назвал его позитроном.

Сегодня уже точно установлено, что для каждой элементарной частицы в нашем мире существует античастица (для электрона – позитрон, для протона – антипротон, для фотона – антифотон и даже для нейтрона – антинейтрон).

Прежнее понимание вакуума как чистого “ничто” обратилось в соответствии с теорией П.Дирака во множество порождающихся пар: частица-античастица.

Одной из особенностей физического вакуума является наличие в нем полей с энергией, равной “0” и без реальных частиц. Но раз имеется поле, то оно должно колебаться. Такие колебания в вакууме называют нулевыми, так как там нет частиц. Удивительная вещь: колебания поля невозможны без движения частиц, но в данном случае колебания есть, а частиц нет! И тогда физика смогла найти такой компромисс: частицы рождаются при нулевых колебаниях поля, живут очень недолго и исчезают. Однако, получается, что частицы рождаясь из “ничего” и приобретая при этом массу и энергию, нарушают тем самым закон сохранения массы и энергии. Тут вся суть в “сроке жизни” частицы: он настолько краток, что нарушение законов можно вычислить лишь теоретически, но экспериментально это наблюдать нельзя. Родилась частица из “ничего” и тут же умерла. Например, время жизни мгновенного электрона составляет 10 –21 секунды, а мгновенного нейтрона -10 –24 секунды. Обычный же свободный нейтрон живет минуты, а в составе атомного ядра неопределенно долго. Частицы, живущие так мало назвали в отличае от обычных, реальных - виртуальными (в пер. с латыни – возможными).

Если отдельную виртуальную частицу физика обнаружить не может, то суммарное их воздействие на обычные частицы отлично фиксируется. Например, две пластины, помещенные в физический вакуум и приближенные друг к другу под ударами виртуальных частиц начинают притягиваться. Этот факт был обнаружен в 1965 году голландским физиком-экспериментатором Гендриком Казимиром.

По сути дела, все взаимодействия между элементарными частицами происходят при непременном участии вакуумного виртуального фона, на который элементарные частицы в свою очередь тоже влияют.

Позднее было показано, что виртуальные частицы возникают не только в вакууме; их могут порождать и обычные частицы. Электроны, к примеру, постоянно испускают и тут же поглащают виртуальные фотоны.

В заключении лекции отметим, что атомистическая концепция, как и прежде, опирается на представление, согласно которому свойства физического тела можно, в конечном счете, свести к свойствам составляющих его частиц , которые в данный исторический момент считаются неделимыми . Исторически такими частицами считались атомы, затем – элементарные частицы, на сегодняшний день – кварки. С философской же точки зрения наиболее перспективными представляются новые подходы , основанные не на поиске неделимых фундаментальных частиц, а на выявлении их внутренних связей для объяснения целостных свойств материальных образований . Такая точка зрения высказывалась еще В.Гейзенбергом , но пока, к сожалению, не получила развития.

Основные принципы квантовой механики

Как показывает история естествознания, свойства элементарных частиц, с которыми столкнулись физики, изучая микромир, не укладываются в рамки традиционных физических теорий. Попытки объяснить микромир с помощью понятий и принципов классической физики потерпели неудачу. Поиски новых понятий и объяснений привели к возникновению новой физической теории – квантовой механики, у истоков которой стояли такие выдающиеся физики, как В.Гейзенберг, Н.Бор, М.Планк, Э.Шредингер и др.

Изучение специфических свойств микрообъектов началось с экспериментов, в ходе которых было установлено, что микрообъекты в одних опытах обнаруживают себя как частицы (корпускулы), а в других – как волны . Однако вспомним историю изучения природы света, а точнее непримиримые разногласия между Ньютоном и Гюйгенсом. Ньютон рассматривал свет как поток корпускул, а Гюйгенс – как волнообразное движение, возникающее в особой среде – эфире.

В 1900 году М.Планк, обнаруживший дискретные порции энергии (кванты), дополнил представление о свете как о потоке квантов или фотонов . Однако наряду с квантовым представлением о свете продолжала развиваться и волновая механика света в работах Луи де Бройля и Э.Шредингера. Луи де Бройлем было открыто подобие между колебанием струны и атомом, испускающим излучение. Атом каждого элемента состоит из элементарных частиц: тяжелого ядра и легких электронов. Эта система частиц ведет себя подобно акустическому инструменту, производящему стоячие волны. Луи де Бройль сделал смелое предположение, что движущийся равномерно и прямолинейно электрон – это волна определенной длины. До этого мы уже привыкли, что свет в некоторых случаях выступает как частица, а в некоторых как волна. В отношении электрона мы признавали его частицей (были определены его масса и заряд). И, действительно, электрон ведет себя подобно частице, когда он движется в электрическом или магнитном поле. Он же ведет себя и подобно волне, когда дифрагирует, проходя сквозь кристалл или дифракционную решетку.

Опыт с дифракционной решеткой

Чтобы выявить сущность данного явления, обычно проводят мысленный эксперимент с двумя щелями. В этом эксперименте пучок электронов, излучаемых источником S , проходит через пластинку с двумя отверстиями, а затем попадает на экран.

Если бы электроны были классическими частицами, вроде дробинок, количество попаданий в экран электронов, проходящих через первую щель, изображалось бы кривой В , а через вторую щель – кривой С . Общее же число попаданий выражалось бы суммарной кривой D .

На самом же деле происходит совсем иное. Кривые В и С мы получим лишь в тех случаях, когда одно из отверстий будет закрыто. Если же одновременно открыты оба отверстия, на экране появится система максимумов и минимумов, подобная той, какая имеет место для световых волн (кривая А ).

Особенности возникшей гносеологической ситуации можно определить следующим образом. С одной стороны выяснилось, что физическая реальность едина, то есть нет пропасти между полем и веществом: поле подобно веществу, обладает корпускулярными свойствами, а частицы вещества, подобно полю, - волновыми. С другой стороны, оказалось, что единая физическая реальность двойственна. Естественно, возникла проблема: как разрешить антиномию корпускулярно-волновых свойств микрообъектов. Одному и тому же микрообъекту приписываются не просто различные, а противоположные характеристики.

В 1925 году Луи де Бройль (1875-1960) выдвинул принцип , согласно которому каждой материальной частице независимо от ее природы следует поставить в соответствие волну, длина которой обратно пропорциональна импульсу частицы: l = h / p , где l – длина волны, h – постоянная Планка, равная 6,63×10 –34 Дж × сек, р – импульс частицы, равный произведению массы частицы на ее скорость (р = m × v ). Таким образом, было установлено, что не только фотоны (частицы света), но и другие материальные частицы, такие как электрон, протон, нейтрон и др. обладают двойственными свойствами . Это явление получило название дуализма волны и частицы . Так, в одних экспериментах элементарная частица может себя вести как корпускула, а в других - как волна. Отсюда следует, что любое наблюдение микрообъектов невозможно без учета влияния приборов и измерительных средств. В нашем макромире мы не замечаем влияния прибора наблюдения и измерения на макротела, которые изучаем, так как это влияние чрезвычайно мало и им можно пренебречь. Макроприборы вносят возмущения в микромир и не могут не вносить изменения в микрообъекты.

Как следствие противоречивости корпускулярных и волновых свойств частиц датский физик Н.Бор (1885-1962) выдвинул в 1925 году принцип дополнительности . Суть этого принципа состояла в следующем: чрезвычайно характерную черту атомной физики представляет новое отношение между явлениями, наблюдаемыми в разных экспериментальных условиях. Получаемые при таких условиях опытные данные надо рассматривать как дополнительные, так как они представляют одинаково существенные сведения об атомных объектах и, взятые вместе, исчерпывают их. Взаимодействие между измерительными приборами и исследуемыми физическими объектами составляет неотъемлемую часть квантовых явлений . Мы приходим к выводу, что принцип дополнительности дает нам фундаментальную характеристику рассмотрения объектов микромира.

Следующим наиболее фундаментальным принципом квантовой механики является принцип неопределенности , сформулированный в 1927 году Вернером Гейзенбергом (1901 – 1976). Суть его состоит в следующем. Невозможно одновременно и с одинаковой точностью определить координату микрочастицы и ее импульс . Точность измерения координаты зависит от точности измерения импульса и наоборот; невозможно обе эти величины измерить с какой угодно точностью; чем больше точность измерения координаты (х ), тем неопределеннее импульс (р ), и наоборот. Произведение неопределенности в измерении координаты и неопределенности в измерении импульса должно быть “больше или равно” постоянной Планка (h ), .

Границы, определяемые этим принципом, не могут быть принципиально преодолены никаким совершенствованием средств измерения и измерительных процедур. Принцип неопределенности показал, что предсказания квантовой механики носят лишь вероятностный характер и не обеспечивают точных предсказаний, к каким мы привыкли в классической механике. Именно неопределенность предсказаний квантовой механики вызывала и вызывает споры среди ученых. Речь даже шла о полном отсутствии определенности в квантовой механике, то есть о ее индетерминизме. Представители классической физики были убеждены, что по мере совершенствования науки и измерительной техники законы квантовой механики станут точными и достоверными. Эти ученые верили, что никакого предела для точности измерений и предсказаний не существует.

Принцип детерминизма и индетерминизма

Классический детерминизм начался с заявления Лапласа (18 в.): “Дайте мне начальные данные частиц всего мира, и я предскажу вам будущее всего мира”. Эта крайняя форма определенности и предопределенности всего существующего получила название лапласовского детерминизма.

Человечество издавна верило в предопределение Божие, позднее в причинную “железную” связь. Однако не стоит игнорировать и его Величество случай, который подстраивает нам вещи неожиданные и маловероятные. В атомной физике случайность проявляется особенно ярко. Нам следовало бы свыкнуться с мыслью, что мир не устроен прямолинейным образом и не так прост, как нам хотелось бы.

Принцип детерминизма особенно наглядно проявляется в классической механике. Так, последняя учит, что по начальным данным можно определить полностью состояние механической системы в любом сколь угодно далеком будущем . На самом же деле это лишь кажущаяся простота. Так, начальные данные даже в классической механике не могут быть определены бесконечно точно . Во-первых, истинное значение начальных данных известно нам лишь с некоторой степенью вероятности . В процессе движения на механическую систему будут действовать случайные силы, которые мы не в состоянии предвидеть . Во-вторых, даже если эти силы будут достаточно малы, их эффект может оказаться очень значительным для большого промежутка времени. А также у нас нет гарантии того, что за время, в течение которого мы намерены предсказывать будущее системы, эта система будет оставаться изолированной . В-третьих, эти-то три обстоятельства обычно и игнорируются в классической механике. Влияние случайности не стоит игнорировать, так как с течением времени неопределенность начальных условий возрастает и предсказание становится совершенно бессодержательным .

Как показывает опыт, в системах, где действуют случайные факторы, при многократном повторении наблюдения можно обнаружить определенные закономерности, обычно называемые статистическими (вероятностными ) . В случае если система имеет много случайных воздействий, то сама детерминистическая (динамическая) закономерность становится слугой случая; а сам случай порождает новый тип закономерности – статистическую . Невозможно вывести статистическую закономерность из закономерности динамической. В системах, где случай начинает играть существенную роль, приходится делать предположения статистического (вероятностного) характера. Итак, нам приходится принять “де факто”, что случай способен создать закономерность не хуже детерминизма.

Квантовая механика по своему существу является теорией, основанной на статистических закономерностях . Так, судьба отдельной микрочастицы, ее история может быть прослежена только в весьма общих чертах. Частицу можно только с определенной степенью вероятности локализовать в пространстве, и эта локализация будет ухудшаться с течением времени тем скорее, чем точнее была первоначальная локализация – таково прямое следствие соотношения неопределенностей. Это, однако, нисколько не снижает ценности квантовой механики. Не следует рассматривать статистический характер законов квантовой механики как ее неполноценность или необходимость искать детерминистическую теорию – таковой, скорее всего, не существует.

Статистический характер квантовой механики не означает, что в ней отсутствует причинность . Причинность в квантовой механике определяется как определенная форма упорядочения событий в пространстве и во времени и эта упорядоченность накладывает свои ограничения даже на самые, казалось бы, хаотические события .

В статистических теориях причинность выражается двояким образом:

• сами статистические закономерности строго упорядочены;
• индивидуальные элементарные частицы (события) упорядочены таким образом, что одна из них может повлиять на другую только в том случае, если их взаимное расположение в пространстве и во времени позволяет сделать это без нарушения причинности, то есть правила, упорядочивающего частицы.

Причинность в квантовой теории выражается знаменитым уравнением Э.Шредингера . Это уравнение описывает движение атома водорода (квантового ансамбля) и причем так, что предыдущее во времени состояние определяет его последующие состояния (состояние электрона в атоме водорода – его координату и импульс).

(пси) – волновая функция; t – время; – приращение функции за время , h – постоянная Планка (h =6,63×10 -34 Дж×сек); i – произвольное действительное число.

В обыденной жизни мы называем причиной то явление, которое порождает другое явление. Последнее представляет собой результат действия причины, то есть следствие . Такие определения возникли из непосредственной практической деятельности людей по преобразованию окружающего мира и подчеркивали причинно-следственный характер их деятельности. В современной науке преобладает тенденция определения причинной зависимости через законы. Например, известный методолог и философ науки и Р.Карнап считал, что “было бы более плодотворным заменить дискуссию о значении понятия причинности исследованием различных типов законов, которые встречаются в науке”.

Что же касается детерминизма и индетерминизма, то современная наука органически сочетает необходимость и случайность. Поэтому мир и события в нем не оказываются ни предопределенными однозначно, ни чисто случайными, ничем не обусловленными. Классический детерминизм лапласовского толка чрезмерно подчеркивал роль необходимости за счет отрицания случайности в природе и потому давал искаженное представление о мире. Ряд же современных ученых, распространив принцип неопределенности в квантовой механике на другие области, провозгласил господство случайности, отрицая необходимость. Однако наиболее адекватной позицией было бы считать необходимость и случайность взаимосвязанными и дополняющими друг друга аспектами действительности.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое фундаментальные концепции описания природы?
2. Назовите физические принципы описания природы.
3. Что такое физическая картина мира? Дайте её общее понятие и назовите её основные исторические типы.
4. В чём универсальность физических законов?
5. В чём различие между квантовой и классической механикой?
6. О чём говорят главные выводы специальной и общей теории относительности?
7. Назовите основные принципы современной физики, и кратко раскройте их.

1. Андреев Э.П. Пространство микромира. М., Наука, 1969.
2. Гарднер М. Теория относительности для миллионов. М., Атомиздат, 1967.
3. Гейзенберг В. Физические принципы квантовой теории. Л.-М., 1932.
4. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., Мир, 1985.
5. Дирак П. Принципы квантовой механики. М., 1960.
6. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. Новосибирск, 1997.Название практикума Аннотация

   Презентации

   Название презентации	Аннотация

   Тьюторы

   Название тьютора	Аннотация

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Учебное пособие

Москва – 2004

Введение

Квантовая механика появилась сто лет назад и оформилась в стройную физическую теорию примерно к 1930 году. В настоящее время она считается фундаментом наших знаний об окружающем мире. Довольно долго применение квантовой механики к прикладным задачам ограничивалось ядерной энергетикой (по большей части военной). Однако после того, как в 1948 году был изобретен транзистор

Один из основных элементов полупроводниковой электроники, а в конце 1950-х годов был создан лазер - квантовый генератор света, стало ясно, что открытия в квантовой физике имеют огромный практический потенциал и серьезное знакомство с этой наукой необходимо не только для профессиональных физиков, но и для представителей других специальностей - химиков, инженеров и даже биологов.

Поскольку квантовая механика все больше стала приобретать черты не только фундаментальной, но и прикладной науки, возникла проблема обучения ее основам студентов нефизических специальностей. С некоторыми квантовыми идеями студент впервые знакомится в курсе общей физики, но, как правило, это знакомство ограничивается не более чем случайными фактами и их сильно упрощенными объяснениями. С другой стороны, полный курс квантовой механики, читаемый на физических факультетах университетов, явно избыточен для тех, кто хотел бы приложить свои знания не к раскрытию тайн природы, а к решению технических и других практических задач. Трудность “адаптации” курса квантовой механики к потребностям обучения студентов прикладных специальностей была замечена давно и до сих пор полностью не преодолена, несмотря на многочисленные попытки создания “переходных” курсов, ориентированных на практические применения квантовых законов. Связано это со спецификой самой квантовой механики. Вопервых, для понимания квантовой механики от студента требуется основательное знание классической физики: механики Ньютона, классической теории электромагнетизма, специальной теории относительности, оптики и т.д. Во-вторых, в квантовой механике для правильного описания явлений в микромире приходится жертвовать наглядностью. Классическая физика оперирует более или менее наглядными понятиями; их связь с экспериментом относительно проста. Иное положение в квантовой механике. Как отметил Л.Д. Ландау, внесший значительный вклад в создание квантовой механики, “необходимо понять то, что мы уже не можем себе вообразить”. Обычно трудности при изучении квантовой механики принято объяснять ее довольно абстрактным математическим аппаратом, применение которого неизбежно из-за потери наглядности понятий и законов. Действительно, чтобы научиться решать квантовомеханические задачи, надо знать дифференциальные уравнения, достаточно свободно обращаться с комплексными числами, а также уметь делать многое другое. Все это, впрочем, не выходит за рамки математической подготовки студента современного технического вуза. Настоящая трудность квантовой механики связана не только и даже не столько с математикой. Дело в том, что выводы квантовой механики, как и любой физической теории, должны предсказывать и объяснятьреальные эксперименты , поэтому нужно научиться связывать абстрактные математические конструкции с измеряемыми физическими величинами и наблюдаемыми явлениями. Вырабатывается это умение каждым человеком индивидуально, в основном, путем самостоятельного решения задач и осмысления результатов. Еще Ньютон заметил: “при изучении наук примеры часто важнее правил”. В отношении квантовой механики эти слова содержат большую долю истины.

Предлагаемое читателю пособие основано на многолетней практике чтения в МИРЭА курса “Физика 4”, посвященного основам квантовой механики, студентам всех специальностей факультетов электроники и РТС и студентам тех специальностей факультета кибернетики, где физика относится к основным учебным дисциплинам. Содержание пособия и изложение материала обусловлены рядом объективных и субъективных обстоятельств. Прежде всего необходимо было учесть, что курс “Физика 4” рассчитан на один семестр. Поэтому из всех разделов современной квантовой механики отобраны те, которые непосредственно связаны с электроникой и квантовой оптикой - наиболее перспективными областями применения квантовой механики. Однако, в отличие от курсов общей физики и прикладных технических дисциплин, мы стремились изложить эти разделы в рамках единого и достаточно современного подхода с учетом возможностей студентов для его усвоения. Объем пособия превышает содержание лекций и практических занятий, так как в курсе “Физика 4” предусмотрено выполнение студентами курсовых работ или индивидуальных заданий, которые требуют самостоятельного изучения вопросов, не включенных в план лекций. Изложение этих вопросов в учебниках по квантовой механике, ориентированных на студентов физических факультетов университетов, часто превышает уровень подготовки студента технического вуза. Таким образом, настоящее пособие может быть использовано как источник материала для курсовых работ и индивидуальных заданий.

Важной частью пособия являются упражнения. Некоторые из них приводятся непосредственно в тексте, остальные помещены в конце каждого параграфа. Многие упражнения снабжены указаниями для читателя. В связи с отмеченной выше “необычностью” понятий и методов квантовой механики выполнение упражнений следует рассматривать как совершенно необходимый элемент изучения курса.

1. Физические истоки квантовой теории

1.1. Явления, противоречащие классической физике

Начнем с краткого обзора явлений, которые не смогла объяснить классическая физика и которые привели, в конце концов, к возникновению квантовой теории.

Спектр равновесного излучения черного тела. Напомним, что в физике

черным телом (часто говорят - “абсолютно черным телом”) называется тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное излучение любой частоты.

Абсолютно черное тело является, конечно, идеализированной моделью, однако ее можно реализовать с высокой точностью с помощью простого устройства

Замкнутой полости с малым отверстием, внутренние стенки которой покрыты веществом, хорошо поглощающим электромагнитное излучение, например, сажей (см. Рис. 1.1.). Если температура стенок T поддерживается постоянной, то в конце концов установится тепловое равновесие между веществом стенок

Рис. 1.1. и электромагнитным излучением в полости. Одной из проблем, которую активно обсуждали физики в конце XIX века, была такая: как распределена энергия равновесного излучения по

Рис. 1.2.

частотам? Количественно это распределение описывается спектральной плотностью энергии излучения u ω . Произведениеu ω dω есть энергия электромагнитных волн в единице объема с частотами в интервале отω доω +dω . Спектральную плотность энергии можно измерить, анализируя спектр излучения из отверстия полости, изображенной на Рис. 1.1. Экспериментальная зависимостьu ω для двух значений температуры приведена на Рис. 1.2. С ростом температуры максимум кривой смещается в сторону высоких частот и при достаточно высокой температуре частотаω m может достигнуть области видимого глазом излучения. Тело начнет светиться, причем с дальнейшим ростом температуры цвет тела будет меняться от красного к фиолетовому.

Пока мы говорили об экспериментальных данных. Интерес к спектру излучения черного тела был вызван тем, что функция u ω может бытьточно вычислена методами классической статистической физики и электромагнитной теории Максвелла. Согласно классической статистической физике, в тепловом равновесии энергия любой системы распределяется равномерно по всем степеням свободы (теорема Больцмана). Каждая независимая степень свободы поля излучения - электромагнитная волна с определенной поляризацией и частотой. По теореме Больцмана средняя энергия такой волны в тепловом равновесии при температуреT равнаk B T , гдеk B = 1, 38· 10− 23 Дж/ K - постоянная Больцмана. Поэтому

где c - скорость света. Итак, классическое выражение для равновесной спектральной плотности излучения имеет вид

Эта формула есть знаменитая формула Рэлея-Джинса. В классической физике она являетсяточной и, в то же время, абсурдной. В самом деле, согласно ей, в тепловом равновесии при любой температуре имеются электромагнитные волны сколь угодно высоких частот (т. е. ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и даже смертельное для человека гамма-излучение), причем, чем выше частота излучения, тем больше энергии на него приходится. Очевидное противоречие между классической теорией равновесного излучения и экспериментом получило в физической литературе эмоциональное название -ультрафиолетовая

катастрофа . Отметим, что известный английский физик лорд Кельвин, подводя итоги развития физики в XIX веке, назвал задачу о равновесном тепловом излучении одной из главных нерешенных проблем.

Фотоэффект . Другим “слабым местом” классической физики оказался фотоэффект - выбивание электронов из вещества под действием света. Совершенно непонятным было то, что кинетическая энергия электронов не зависит от интенсивности света, которая пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля

в световой волне и равна среднему потоку энергии, падающему на вещество. С другой стороны, энергия вылетающих электронов существенно зависит от частоты света и линейно растет с ростом частоты. Это также невозможно объяснить

в рамках классической электродинамики, поскольку поток энергии электромагнитной волны, согласно теории Максвелла, не зависит от ее частоты и полностью определяется амплитудой. Наконец, эксперимент показывал, что для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т. е. минималь-

ная частота ω min , при которой начинается выбивание электронов. Еслиω < ω min , то свет с частотойω не выбьет ни одного электрона, независимо от интенсивности.

Эффект Комптона . Еще одно явление, которое не могла объяснить классическая физика, было открыто в 1923 году американским физиком А. Комптоном. Он обнаружил, что при рассеянии электромагнитного излучения (в рентгеновском диапазоне частот) на свободных электронах частота рассеянного излучения оказывается меньше, чем частота падающего излучения. Этот экспериментальный факт противоречит классической электродинамике, согласно которой частоты падающего и рассеянного излучения должны быть в точности равны. Чтобы убедиться в сказанном, не нужна сложная математика. Достаточно вспомнить классический механизм рассеяния электромагнитной волны заряженными частицами. Схема

электрона), которое изменяется со временем с той же частотой ω , что и поле в падающей волне. Согласно классической электродинамике, заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Это и есть рассеянное излучение. Если ускорение изменяется со временем по гармоническому закону с частотойω , то излучаются волны с той же частотой. Появление рассеянных волн с частотами меньшими, чем частота падающего излучения, явно противоречит классической электродинамике.

Устойчивость атомов . В 1912 году произошло очень важное для всего дальнейшего развития естественных наук событие - была выяснена структура атома. Английский физик Э. Резерфорд, проводя эксперименты по рассеянию α -частиц в веществе, установил, что положительный заряд и практически вся масса атома сосредоточены в ядре с размерами порядка 10− 12 - 10− 13 см. Размеры ядра оказались ничтожно малы по сравнению с размерами самого атома (примерно 10− 8 см.). Для объяснения результатов своих экспериментов Резерфорд выдвинул гипотезу, что атом устроен аналогично солнечной системе: легкие электроны движутся по орбитам вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты движутся вокруг Солнца. Силой, удерживающей электроны на орбитах, является сила кулоновского притяжения ядра. На первый взгляд такая “планетарная модель” кажется весьма

1 Символомe везде обозначаетсяположительный элементарный зарядe = 1, 602· 10− 19 Кл.

привлекательной: она наглядна, проста и вполне согласуется с экспериментальными результатами Резерфорда. Более того, на основе этой модели легко оценить энергию ионизации атома водорода, содержащего всего один электрон. Оценка дает неплохое согласие с экспериментальным значением энергии ионизации. К сожалению, понимаемая буквально, планетарная модель атома имеет неприятный недостаток. Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики такой атом просто не может существовать; он нестабилен . Причина этого довольно проста: электрон движется по орбите с ускорением. Даже если величина скорости электрона не меняется, все равно есть ускорение, направленное к ядру (нормальное или “центростремительное” ускорение). Но, как уже отмечалось выше, заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Эти волны уносят энергию, поэтому энергия электрона убывает. Радиус его орбиты уменьшается и в конце концов электрон должен упасть на ядро. Простые вычисления, которые мы не будем приводить, показывают, что характерное “время жизни” электрона на орбите составляет примерно 10− 8 секунд. Таким образом, классическая физика не способна объяснить устойчивость атомов.

Приведенные примеры не исчерпывают всех трудностей, с которыми встретилась классическая физика на рубеже XIX и XX веков. Другие явления, где ее выводы противоречит эксперименту, мы рассмотрим позже, когда будет развит аппарат квантовой механики и мы сможем сразу же дать правильное объяснение. Постепенно накапливаясь, противоречия между теорией и экспериментальными данными привели к осознанию того, что с классической физикой “не все в порядке” и необходимы совершенно новые идеи.

1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора

В декабре 2000 года исполнилось сто лет квантовой теории. Эту дату связывают с работой Макса Планка, в которой он предложил решение проблемы равновесного теплового излучения. Для простоты Планк выбрал в качестве модели вещества стенок полости (см. Рис. 1.1.) систему заряженных осцилляторов, т. е. частиц, способных совершать гармонические колебания около положения равновесия. Если ω - собственная частота колебаний осциллятора, то он способен излучать и поглощать электромагнитные волны той же частоты. Пусть стенки полости на Рис. 1.1. содержат осцилляторы со всевозможными собственными частотами. Тогда, после установления теплового равновесия, средняя энергия, приходящаяся на электромагнитную волну с частотойω , должна быть равна средней энергии осциллятораE ω с той же собственной частотой колебаний. Вспоминая рассуждения, приведенные на стр. 5, запишем равновесную спектральная плотность излучения в таком виде:

1 На латыни слово “quantum” буквально означает “порция” или “кусок”.

В свою очередь, квант энергии пропорционален частоте осциллятора:

Некоторые люди предпочитают использовать вместо циклической частоты ω так называемую линейную частотуν =ω/ 2π , которая равна числу колебаний за секунду. Тогда выражение (1.6) для кванта энергии можно записать в виде

Величина h = 2π 6, 626176· 10− 34 Дж· с также называется постоянной Планка1 .

Исходя из предположения о квантовании энергии осциллятора, Планк получил для спектральной плотности равновесного излучения следующее выражение2 :

В области низких частот (ω k B T ) формула Планка практически совпадает с формулой Релея-Джинса (1.3), а на высоких частотах (ω k B T ) спектральная плотность излучения, в соответствии с экспериментом, быстро стремится к нулю.

1.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля

Хотя гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора “не вписывается” в классическую механику, ее можно было трактовать в том смысле, что, по-видимому, механизм взаимодействия света с веществом таков, что энергия излучения поглощается и испускается только порциями, величина которых дается формулой (1.5). В 1900 году о строении атомов практически ничего не было известно, поэтому сама по себе гипотеза Планка еще не означала полный отказ от классических законов. Более радикальную гипотезу высказал в 1905 году Альберт Эйнштейн. Анализируя закономерности фотоэффекта, он показал, что все они естественным образом объясняются, если принять, что свет определенной частотыω состоит из отдельных частиц (фотонов), обладающих энергией

1 Иногда, чтобы подчеркнуть, какая именно постоянная Планка имеется в виду, называют “перечеркнутой постоянной Планка”.

2 Теперь это выражение называется формулой Планка.

где A вых - работа выхода, т. е. энергия, необходимая для преодоления сил, удерживающих электрон в веществе1 . Зависимость энергии фотоэлектронов от частоты света, описываемая формулой (1.11), прекрасно согласовывалась с экспериментальной зависимостью, причем величина в этой формуле оказалась очень близка к значению (1.7). Отметим, что, приняв гипотезу фотонов, можно было объяснить и закономерности равновесного теплового излучения. Действительно, поглощение и излучение веществом энергии электромагнитного поля происходит квантамиω потому, что поглощаются и испускаются отдельные фотоны, имеющие именно такую энергию.

1.4. Импульс фотона

Введение представления о фотонах в какой-то степени возрождало корпускулярную теорию света. То, что фотон - “настоящая” частица, подтверждает анализ эффекта Комптона. С точки зрения фотонной теории рассеяние рентгеновских лучей можно представить как индивидуальные акты столкновений фотонов с электронами (см. Рис. 1.3.), в которых должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.

Закон сохранения энергии в этом процессе имеет вид

Между прочим, отсюда сразу видно, что ω < ω ; это наблюдается и в эксперименте. Чтобы записать закон сохранения импульса в эффекте Комптона, необходимо найти выражение для импульса фотона. Это можно сделать на основе следующих простых рассуждений. Фотон всегда движется со скоростью светаc , но, как известно из теории относительности, частица, движущаяся со скоростью света, должна

иметь нулевую массу. Так им образом, из общего выражения для релятивистской

энергии E =m 2 c 4 +p 2 c 2 следует, что энергия и импульс фотона связаны соотношениемE =pc . Вспоминая формулу (1.10), получаем

Теперь закон сохранения импульса в эффекте Комптона можно записать в виде

Решение системы уравнений (1.12) и (1.18), которое мы оставляем читателю (см. упражнение 1.2.), приводит к следующей формуле для изменения длины волны рассеянного излучения ∆λ =λ − λ :

называется комптоновской длиной волны частицы (массы m ), на которой происходит рассеяние излучения. Еслиm =m e = 0, 911· 10− 30 кг - масса электрона, тоλ C = 0, 0243· 10− 10 м. Результаты измерений ∆λ , проведенных Комптоном, а затем многими другими экспериментаторами, полностью согласуются с предсказаниями формулы (1.19), причем значение постоянной Планка, которая входит в выражение (1.20), совпадает со значениями, полученными из экспериментов по равновесному тепловому излучению и фотоэффекту.

После появления фотонной теории света и ее успехов в объяснении ряда явлений возникла странная ситуация. В самом деле, попробуем ответить на вопрос: что же такое свет? С одной стороны, в фотоэффекте и эффекте Комптона он ведет себя как поток частиц - фотонов, но, с другой стороны, явления интерференции и дифракции столь же упорно показывают, что свет - электромагнитныеволны . На основе “макроскопического” опыта мы знаем, что частица - это объект, имеющий конечные размеры и движущийся по определенной траектории, а волна заполняет область пространства, т. е. является непрерывным объектом. Как совместить эти две взаимно исключающие точки зрения на одну и ту же физическую реальность - электромагнитное излучение? Парадокс “волна–частица” (или, как предпочитают говорить философы, корпускулярно-волновой дуализм) для света был объяснен лишь в квантовой механике. Мы вернемся к нему после того, как познакомимся с основами этой науки.

1 Напомним, что модуль волнового вектора называется волновым числом.

Упражнения

1.1. Используя формулу Эйнштейна (1.11), объяснить существование красной границы вещества. ω min для фотоэффекта. Выразить ω min через работу выхода электрона из

1.2. Вывести выражение (1.19) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.

Указание: Разделив равенство (1.14) наc и используя соотношение между волновым числом и частотой (k =ω/c ), запишем

p2 + m2 e c2 = (k − k) + me c.

После возведения в квадрат обеих частей, получим

где ϑ - угол рассеяния, показанный на Рис. 1.3. Приравняв правые части (1.21) и (1.22), приходим к равенству

me c(k − k) = kk(1 −cos ϑ) .

Остается умножить это равенство на 2π , разделить наm e ckk и перейти от волновых чисел к длинам волн (2π/k =λ ).

2. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц

2.1. Теория атома Бора

Прежде чем перейти непосредственно к изучению квантовой механики в ее современном виде, мы кратко обсудим первую попытку применить идею Планка о квантовании к проблеме строения атома. Речь пойдет о теории атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Основная цель, которую ставил перед собой Бор, состояла в том, чтобы объяснить удивительно простую закономерность в спектре излучения атома водорода, которую сформулировал Ритц в 1908 году в виде так называемого комбинационного принципа. Согласно этому принципу, частоты всех линий в спектре водорода можно представить как разности некоторых величинT (n ) (“термов”), последовательность которых выражается через целые числа.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
фундаментальная физическая теория динамического поведения всех элементарных форм вещества и излучения, а также их взаимодействий. Квантовая механика представляет собой теоретическую основу, на которой строится современная теория атомов, атомных ядер, молекул и физических тел, а также элементарных частиц, из которых все это состоит. Квантовая механика была создана учеными, стремившимися понять, как устроен атом. Атомные процессы в течение многих лет изучали физики и особенно химики; при изложении данного вопроса мы будем, не вдаваясь в подробности теории, следовать историческому ходу развития предмета. См. также АТОМ .
Зарождение теории. Когда Э.Резерфорд и Н.Бор предложили в 1911 ядерную модель атома, это было подобно чуду. В самом деле, она была построена из того, что было известно уже более 200 лет. Это была, в сущности, коперниковская модель Солнечной системы, воспроизведенная в микроскопическом масштабе: в центре находится тяжелая масса, вскоре получившая название ядра, вокруг которой вращаются электроны, числом которых определяются химические свойства атома. Но мало того, за этой наглядной моделью стояла теория, которая позволила начать расчеты некоторых химических и физических свойств веществ, по крайней мере построенных из наименьших и наиболее простых атомов. Теория Бора - Резерфорда содержала ряд положений, которые здесь полезно напомнить, поскольку все они в том или ином виде сохранились и в современной теории. Во-первых, важен вопрос о природе сил, связывающих атом. С 18 в. было известно, что электрически заряженные тела притягивают или отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Используя в качестве пробных тел альфа-частицы, возникающие в результате радиоактивных превращений, Резерфорд показал, что тот же самый закон электрического взаимодействия (закон Кулона) справедлив в масштабах, в миллион миллионов раз меньших тех, для которых он был первоначально экспериментально установлен. Во-вторых, нужно было ответить на вопрос о том, как электроны движутся по орбитам под действием этих сил. Здесь вновь опыты Резерфорда, казалось бы, показывали (и Бор принял это в своей теории), что законы движения Ньютона, сформулированные в его Началах (Principia Mathematica, 1687), можно использовать для описания движения частиц в этих новых масштабах микромира. В-третьих, вставал вопрос о стабильности. В ньютоновско-кулоновском атоме, как и в Солнечной системе, размеры орбит произвольны и зависят лишь от того, каким образом система была первоначально приведена в движение. Однако все атомы одного вещества одинаковы и к тому же стабильны, что совсем необъяснимо с точки зрения старых представлений. Бор высказал предположение, что атомные электроны следует рассматривать как движущиеся вокруг ядра лишь по определенным орбитам, которым отвечают определенные энергетические уровни, причем они должны испускать квант энергии в виде света, переходя с орбиты с более высокой энергией на орбиту с меньшей энергией. Такие "условия квантования" не вытекали ни из каких экспериментальных данных или теорий; они были приняты как постулаты. На основе этих концептуальных элементов, дополненных только что развитыми в то время представлениями М.Планка и А.Эйнштейна о природе света, Бору удалось количественно объяснить весь спектр излучения атомов водорода в газоразрядной трубке и дать качественное объяснение всех основных закономерностей периодической системы элементов. К 1920 пришло время взяться за проблему спектра излучения более тяжелых атомов и вычислить интенсивность химических сил, связывающих атомы в соединениях. Но здесь иллюзия успеха померкла. На протяжении ряда лет Бор и другие исследователи безуспешно пытались рассчитать спектр гелия - следующего за водородом простейшего атома с двумя электронами. Сначала вообще ничего не получалось; в конце концов несколько исследователей различными способами решили эту задачу, но ответ оказался неверным - он противоречил эксперименту. Затем выяснилось, что вообще невозможно построить сколько-нибудь приемлемую теорию химического взаимодействия. К началу 1920-х годов теория Бора исчерпала себя. Пришло время признать справедливость пророческого замечания, которое Бор еще в 1914 сделал в письме другу в присущем ему замысловатом стиле: "Я склонен полагать, что проблема связана с исключительно большими трудностями, которые можно будет преодолеть, лишь гораздо дальше отойдя от обычных соображений, чем требовалось до сих пор, и что достигнутый ранее успех был обусловлен исключительно простотой рассматривавшихся систем".
См. также
БОР Нильс Хенрик Давид ;
СВЕТ ;
РЕЗЕРФОРД Эрнест ;
СПЕКТРОСКОПИЯ .
Первые шаги. Поскольку использованная Бором комбинация существовавших ранее представлений из области электричества и механики с условиями квантования привела к неверным результатам, все это нужно было полностью или частично изменить. Основные положения теории Бора были приведены выше, а для соответствующих расчетов было достаточно не очень сложных выкладок с использованием обычной алгебры и математического анализа. В 1925 молодой немецкий физик В.Гейзенберг посетил Бора в Копенгагене, где провел с ним долгие часы в беседах, выясняя, что из теории Бора обязательно должно войти в будущую теорию, а от чего в принципе можно и отказаться. Бор и Гейзенберг сразу же согласились, что в будущей теории обязательно должно быть представлено все непосредственно наблюдаемое, а все не поддающееся наблюдению может быть изменено или исключено из рассмотрения. С самого начала Гейзенберг считал, что следует сохранить атомы, но орбиту электрона в атоме считать абстрактной идеей, поскольку ни один эксперимент не позволяет определить электронную орбиту по результатам измерений наподобие того, как это можно сделать для орбит планет. Читатель может заметить, что тут есть определенная нелогичность: строго говоря, атом столь же ненаблюдаем непосредственно, как и электронные орбиты, и вообще в нашем восприятии окружающего мира нет ни одного ощущения, которое не требовало бы разъяснения. В наши дни физики все чаще цитируют известный афоризм, который был впервые произнесен Эйнштейном в беседе с Гейзенбергом: "Что именно мы наблюдаем, нам говорит теория". Таким образом, различие между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми величинами носит чисто практический характер, не имея никакого обоснования ни в строгой логике, ни в психологии, причем это различие, как бы оно ни проводилось, должно рассматриваться как часть самой теории. Поэтому гейзенберговский идеал теории, очищенной от всего ненаблюдаемого, есть некое направление мысли, но отнюдь не последовательный научный подход. Тем не менее он доминировал в атомной теории почти полвека после того, как был впервые сформулирован. Мы уже напоминали о составных элементах ранней модели Бора, таких, как закон Кулона для электрических сил, законы динамики Ньютона и обычные правила алгебры. Путем тонкого анализа Гейзенберг показал, что можно сохранить известные законы электричества и динамики, если найти надлежащее выражение для динамики Ньютона, а затем изменить правила алгебры. В частности, Гейзенберг высказал мысль, что, поскольку ни положение q, ни импульс p электрона не являются измеримыми величинами в том смысле, в каком ими являются, например, положение и импульс автомобиля, мы можем при желании сохранить их в теории, лишь рассматривая как математические символы, обозначаемые буквами, но не как числа. Он принял для p и q алгебраические правила, согласно которым произведение pq не совпадает с произведением qp. Гейзенберг показал, что простые расчеты атомных систем дают приемлемые результаты, если принять, что для положения q и импульса p выполняется соотношение

Где h - постоянная Планка, уже известная из квантовой теории излучения и фигурировавшая в теории Бора, а. Постоянная Планка h представляет собой обычное число, но очень малое, приблизительно 6,6Ч10-34 Дж*с. Таким образом, если p и q - величины обычного масштаба, то разность произведений pq и qp будет крайне мала по сравнению с самими этими произведениями, так что p и q можно считать обычными числами. Построенная для описания явлений микромира, теория Гейзенберга почти полностью согласуется с механикой Ньютона, когда ее применяют к макроскопическим объектам. Уже в самых ранних работах Гейзенберга было показано, что при всей неясности физического содержания новой теории она предсказывает существование дискретных энергетических состояний, характерных для квантовых явлений (например, для испускания света атомом). В более поздней работе, выполненной совместно с М. Борном и П. Йорданом в Геттингене, Гейзенберг развил формальный математический аппарат теории. Практические вычисления остались, однако, крайне сложными. После нескольких недель напряженной работы В.Паули вывел формулу для энергетических уровней атома водорода, совпадающую с формулой Бора. Но прежде чем удалось упростить вычисления, появились новые и совершенно неожиданные идеи. См. также
АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ ;
ПЛАНКА ПОСТОЯННАЯ .
Частицы и волны. К 1920 физики были уже довольно хорошо знакомы с двойственной природой света: результаты одних экспериментов со светом можно было объяснить, предполагая, что свет представляет собой волны, а в других он вел себя подобно потоку частиц. Поскольку казалось очевидным, что ничто не может быть в одно и тоже время и волной, и частицей, ситуация оставалась непонятной, вызывая горячие споры в среде специалистов. В 1923 французский физик Л.де Бройль в опубликованных им заметках высказал предположение, что столь парадоксальное поведение, может быть, не является спецификой света, но и вещество тоже может в одних случаях вести себя подобно частицам, а в других подобно волнам. Исходя из теории относительности, де Бройль показал, что если импульс частицы равен p, то "ассоциированная" с этой частицей волна должна иметь длину волны l = h/p. Это соотношение аналогично впервые полученному Планком и Эйнштейном соотношению E = hn между энергией светового кванта Е и частотой n соответствующей волны. Де Бройль показал также, что эту гипотезу можно легко проверить в экспериментах, аналогичных опыту, демонстрирующему волновую природу света, и настойчиво призывал к проведению таких опытов. Заметки де Бройля привлекли внимание Эйнштейна, и к 1927 К.Дэвиссон и Л.Джермер в Соединенных Штатах, а также Дж. Томсон в Англии подтвердили для электронов не только основную идею де Бройля, но и его формулу для длины волны. В 1926 работавший тогда в Цюрихе австрийский физик Э. Шредингер, прослышав о работе де Бройля и предварительных результатах экспериментов, подтверждавших ее, опубликовал четыре статьи, в которых представил новую теорию, явившуюся прочным математическим обоснованием этих идей. Такая ситуация имеет свой аналог в истории оптики. Одной уверенности в том, что свет есть волна определенной длины, недостаточно для детального описания поведения света. Необходимо еще написать и решить выведенные Дж.Максвеллом дифференциальные уравнения, подробно описывающие процессы взаимодействия света с веществом и распространение света в пространстве в виде электромагнитного поля. Шредингер написал дифференциальное уравнение для материальных волн де Бройля, аналогичное уравнениям Максвелла для света. Уравнение Шредингера для одной частицы имеет вид

где m - масса частицы, Е - ее полная энергия, V(x) - потенциальная энергия, а y - величина, описывающая электронную волну. В ряде работ Шредингер показал, как можно использовать его уравнение для вычисления энергетических уровней атома водорода. Он установил также, что существуют простые и эффективные способы приближенного решения задач, не поддающихся точному решению, и что его теория волн материи в математическом отношении полностью эквивалентна алгебраической теории наблюдаемых величин Гейзенберга и во всех случаях приводит к тем же результатам. П.Дирак из Кембриджского университета показал, что теории Гейзенберга и Шредингера представляют собой лишь две из множества возможных форм теории. Теория преобразований Дирака, в которой важнейшую роль играет соотношение (1), обеспечила ясную общую формулировку квантовой механики, охватывающую все остальные ее формулировки в качестве частных случаев. Вскоре Дирак добился неожиданно крупного успеха, продемонстрировав, каким образом квантовая механика обобщается на область очень больших скоростей, т.е. приобретает вид, удовлетворяющий требованиям теории относительности. Постепенно стало ясно, что существует несколько релятивистских волновых уравнений, каждое из которых в случае малых скоростей можно аппрокcимировать уравнением Шредингера, и что эти уравнения описывают частицы совершенно разных типов. Например, частицы могут иметь разный "спин"; это предусматривается теорией Дирака. Кроме того, согласно релятивистской теории, каждой из частиц должна соответствовать античастица с противоположным знаком электрического заряда. В то время, когда вышла работа Дирака, были известны только три элементарные частицы: фотон, электрон и протон. В 1932 была открыта античастица электрона - позитрон. На протяжении нескольких последующих десятилетий было обнаружено много других античастиц, большинство из которых, как оказалось, удовлетворяли уравнению Дирака или его обобщениям. Созданная в 1925-1928 усилиями выдающихся физиков квантовая механика не претерпела с тех пор в своих основах каких-либо существенных изменений.
См. также АНТИВЕЩЕСТВО .
Приложения. Во всех разделах физики, биологии, химии и техники, в которых существенны свойства вещества в малых масштабах, теперь систематически обращаются к квантовой механике. Приведем несколько примеров. Всесторонне исследована структура электронных орбит, наиболее удаленных от ядра атомов. Методы квантовой механики были применены к проблемам строения молекул, что привело к революции в химии. Структура молекул обусловлена химическими связями атомов, и сегодня сложные задачи, возникающие при последовательном применении квантовой механики в этой области, решаются с помощью компьютеров. Большое внимание привлекли к себе теория кристаллической структуры твердых тел и особенно теория электрических свойств кристаллов. Практические результаты впечатляют: примерами их могут служить изобретение лазеров и транзисторов, а также значительные успехи в объяснении явления сверхпроводимости.
См. также
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ;
ЛАЗЕР ;
ТРАНЗИСТОР ;
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ . Многие проблемы еще не решены. Это касается структуры атомного ядра и физики элементарных частиц. Время от времени обсуждается вопрос о том, не лежат ли проблемы физики элементарных частиц за пределами квантовой механики, подобно тому как структура атомов оказалась вне области применимости динамики Ньютона. Однако до сих пор нет никаких указаний на то, что принципы квантовой механики или ее обобщения в области динамики полей где-то оказались неприменимыми. Более полувека квантовая механика остается научным инструментом с уникальной "объясняющей способностью" и не требует существенных изменений своей математической структуры. Поэтому может показаться удивительным, что до сих пор ведутся острые дебаты (см. ниже) по поводу физического смысла квантовой механики и ее истолкования.
См. также
АТОМА СТРОЕНИЕ ;
АТОМНОГО ЯДРА СТРОЕНИЕ ;
МОЛЕКУЛ СТРОЕНИЕ ;
ЧАСТИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ .
Вопрос о физическом смысле. Корпускулярно-волновой дуализм, столь очевидный в эксперименте, создает одну из самых трудных проблем физической интерпретации математического формализма квантовой механики. Рассмотрим, например, волновую функцию, которая описывает частицу, свободно движущуюся в пространстве. Традиционное представление о частице, помимо прочего, предполагает, что она движется по определенной траектории с определенным импульсом p. Волновой функции приписывается длина волны де Бройля l = h/p, но это характеристика такой волны, которая бесконечна в пространстве, а потому не несет информации о местонахождении частицы. Волновую функцию, локализующую частицу в определенной области пространства протяженностью Dx, можно построить в виде суперпозиции (пакета) волн с соответствующим набором импульсов, и если искомый диапазон импульсов равен Dp, то довольно просто показать, что для величин Dx и Dp должно выполняться соотношение DxDp і h/4p. Этим соотношением, впервые полученным в 1927 Гейзенбергом, выражается известный принцип неопределенности: чем точнее задана одна из двух переменных x и p, тем меньше точность, с которой теория позволяет определить другую.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .