Урновые схемы

Есть урна, (то есть ящик), содержащая n занумерованных объектов, которые мы будем называть шариками. Мы выбираем из этой урны k шариков. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шариков из n , или сколько различных результатов (то есть наборов, состоящих из k шариков) получится.

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся

– с тем, как организован выбор (скажем, можно ли шарики возвращать в урну), и

– с тем, что понимается под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные схемы выбора :

1. Выбор с возвращением : каждый выбранный шарик возвращается в урну, то есть каждый из k шариков выбирается из полной урны. В полученном наборе, состоящем из k номеров шариков, могут встречаться одни и те же номера (выборка с повторениями ).

2. Выбор без возвращения: выбранные шарики в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера (выборка без повторений ).

И в том, и в другом случае результатом выбора является набор из k номеров шариков. Удобно считать, что шарики всегда выбираются последовательно, по одному (с возвращением или без).

Есть две возможности:

1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трех шариков из урны, содержащей 5 шариков, наборы (1,2,5), (2,5,1) (4,4,5) различны, если производится выбор с учетом порядка.

2. Выбор без учета порядка: два набора номеров шариков считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, в примере выше первые два набора (1,2,5), (2,5,1) есть один и тот же результат выбора, а набор (4,4,5) - другой результат выбора.

Подсчитаем теперь, сколько возможно различных результатов при каждой из четырех схем (выбор с возвращением и без, и в каждом из этих случаев учитываем ли мы порядок или нет).

Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка

Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и с учетом порядка определяется числом перестановок из элементов:

Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка

Рассмотрим урну с двумя шариками и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением:

В схеме «без учета порядка» получилось 3 различных результата в отличие от четырех в схеме «с учетом порядка». Тогда общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n с возвращением и без учета порядка определяется числом сочетаний с повторениями

Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком , в k ! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом .

11. Урна содержит занумерованных шаров с номерами от 1 до 9. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
А – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1,2,…,М.
В
С – нет ни одного совпадения номера шара и порядка извлечения.
Определить вероятность событий А,В,С . Найти предельные значения вероятностей при .
Решение:
1) Найдем вероятность события А .
Вероятность того, что первым извлечется шар с номером 1 равна (т.к. подходит только один шар с №1, а всего шаров 9 шт.) .
Вероятность того, что извлекут вторым шар с №2 равна , т.к. шаров всего осталось 8 шт, а походит только 1.
И т.д.
По теореме умножения вероятностей получаем:

2) Найдем вероятность события В .
В – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения.
— обратное событие, т.е. ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения.
— вероятность того, что первым шаром извлекут не шар с №1, т.е. всего шаров 9 шт, а подходят 8 шт.

Вычислим вероятность того, что вторым извлекут шар с номером 2.
Т.е. его не должны извлечь первым и извлечь на втором.
.
Тогда, по теореме о вероятность обратного события, вероятность того, что вторым извлечется не шар №2:
.
Найдем вероятность того, что третьим шаром извлечется шар с №3 (т.е. его не должны извлечь при первом и втором извлечении и извлечь на третьем):

И вероятность того, что не извлекут на третьем шар с №3:

Аналогично и с другими шарами. Получили, что вероятность того, что отдельный шар будет извлечен в порядке, не соответствующим его номеру: .
Тогда вероятность того, что ни разу номер шара не совпадет с порядковым номером извлечения:

Значите:
3)
Найдем вероятность события С – нет ни одного совпадения номера шара и порядка извлечения.
События С и совпадают, т.е.
4) Найдем значения предельных вероятностей при .

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P 1 – выпал герб, P 2 - иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B 1 – из первой урны, B 2 – из второй урны
,

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные



в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

- хотя бы один из них белый

P а +P б +P в =

Пример 3 . В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A 1) – вынули белый шар

P(A 2) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а . В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C 1 – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С 2 – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – первый цилиндр, Ц 2 – второй цилиндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хотя бы один цилиндр
K 1 – первый конусообр.
K 2 - второй конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали


б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7 . В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P БЧ =
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P ЧБ =
Итого: P БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

P БЧ 2 P ББ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).

Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а . Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б . В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8 . В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом - по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Пример 9 . В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P б (2) = P 2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:


P 2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P ч (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:


Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P к (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P б (2) + P ч (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10 . В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А - из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

1. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Пример 11 . В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))

Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение .
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13 . В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 / 3
Тогда P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 / 3
Тогда P(A|H=Ч)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Пример 14 . Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15 . Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A 1 - первая вынутая карта красной масти. Событие A 2 - вторая вынутая карта красной масти. B - обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A 1 , и событие A 2 , то B = A 1 · A 2 . События A 1 и A 2 зависимые, следовательно, P(B) :
,
Отсюда

Пример 16 . В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 - черный цвет; 3 - красный цвет. Пусть событие A i - из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B j - из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A - оба шара одного цвета.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . События A i и B j независимые, а A i · B i и A j · B j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Пример 17 . Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение .
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два - белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0

Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.

Ответы:

Решение.1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/322) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Теорема умножения

носит название теоремы умножения .

Эта теорема обобщается на случай n событий:

Задача 1. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится без возвращения.

Решение. Введем следующие события: A 1 = {первым вытащили белый шар}, A 2 ={вторым вытащили белый шар}, A 3 = {третьим вытащили белый шар}. Тогда интересующее нас событие A = {придется производить четвертое извлечение} = {первые три шара белые} =
. По теореме умножения вероятностей

P (A 1) = 5/8;
, так как один белый шар уже вынут, и перед вторым извлечением в урне осталось 7 шаров, 4 из которых белые; , так как два белых шара уже вынуты и перед третьим извлечением в урне осталось 6 шаров, 3 из которых белые. Следовательно,

Ответ. 5/28.
Из аксиом вероятности следует, как мы упоминали, что для произвольных двух событий А и В вероятность

Это равенство носит название теоремы сложения .

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов, взятых по 1, 2, 3 и т.д. соответственно.

Формула полной вероятности

По определению гипотез
и , а по второй аксиоме вероятности
, поэтому:

то есть для полной группы событий верно равенство:

Для любого события A и полной группы событий H 1 , H 2 ,..., H n справедлива формула полной вероятности :

Формулу полной вероятности разумно применять в том случае, когда присутствуют как бы два элемента случайности, и исход второго случайного события зависит от реализации первого случайного события.

Решение. Рассмотрим события:

A = {наугад взятое изделие прошло контроль};

Н 1 = {взятое изделие стандартное}, Р (Н 1)=0,99;

Н 2 = {взятое изделие нестандартное}, Р (Н 2)=0,01;

A |Н 1 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно стандартное}, Р (A |Н 1) = 0,995;

A |Н 2 = {наугад взятое изделие прошло контроль при условии, что оно нестандартное}, Р (A |Н 2) = 0,001;

Задача. 3. В двух урнах имеются белые и черные шары: в первой урне 8 белых и 2 черных, во второй – 6 белых и 2 черных. Шар, взятый наудачу из первой урны, переложен во вторую, после чего выбирается наудачу шар из второй урны. Найти вероятность извлечения черного шара из второй урны.

Решение. Обозначим: А = {из второй урны извлечен черный шар}. Требуется найти P (A )

Возможны следующие пути развития событий:

либо из первой урны с вероятностью 2/10 извлекается и перекладывается во вторую урну черный шар, после чего во второй урне становится 9 шаров (из которых 3 черные), и вероятность достать из нее черный шар равна 3/9;

либо из первой урны с вероятностью 8/10 извлекается и перекладывается во вторую урну белый шар, после чего во второй партии – 9 шаров (из которых 2 черных), и вероятность достать из нее черный шар равна 2/9.

Введем гипотезы:

H 1 = {из первой урны извлечен черный шар}, P (H 1) = 2/10 = 0,2;

H 2 = {из первой урны извлечен белый шар}, P (H 2) = 8/10 = 0,8;

P (H 1) + P (H 2) = 1.

Тогда Р (A |Н 1) = {из второй урны извлечен черный шар при условии, что из первой урны был извлечен черный шар }, P (A |H 1) = 3/9 = 1/3. Аналогично, P (A |H 2) = 2/9.

По формуле полной вероятности:

Ответ. 11/45.

Формула Байеса

.

Последняя формула носит название формулы Байеса .

.
Задача 4. В условиях задачи 3 найти вероятность того, что из первой урны был вынут черный шар, если из второй урны был вынут тоже черный шар.

Решение. В обозначениях введенных при решении задачи 3. требуется найти P (H 1 |A ). По формуле Байеса

Ответ. 3/11.
Задача 5. Сообщение состоит из сигналов «1» и «0». Свойства помех таковы, что искажаются в среднем 5% сигналов «0» и 3% сигналов «1». При искажении вместо сигнала «0» принимается сигнал «1» и наоборот. Известно, что среди передаваемых сигналов «0» и «1» встречаются в соотношении 3:2. Найти вероятность того, что отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1».

Решение. Эксперимент проведен, и наступило событие A ={принят сигнал «1»}.

Гипотезы: H 1 = {отправлен сигнал «0»}, H 2 = {отправлен сигнал «1»}.

По условию: P (H 1) = 3/5 = 0,6, P (H 2) = 2/5 = 0,4, то есть P (H 1) + P (H 2) = 1.

Рассмотрим события:

A |H 1 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «0»} = {сигнал «0» искажен}, следовательно, по условию P (A |H 1)=0,05;

A |H 2 = {принят сигнал «1» при условии, что отправлен сигнал «1»} = {сигнал «1» неискажен}, следовательно, по условию P (A |H 2)=1–0,03=0,97;

H 1 | A = {отправлен сигнал «0», если принят сигнал «1»}.

По формуле Байеса