x называ-

1.2.3. Использование тождеств сокращенного умножения

Пример. Разложить на множители x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Разложение многочлена на множители с помощью его корней

Теорема. Пусть многочлен P x имеет кореньx 1 . Тогда этот многочлен можно разложить на множители следующим образом:P x x x 1 S x , гдеS x – некоторый многочлен, степень которого на единицу меньше

значения поочередно в выражение для P x .Получим, что приx 2 вы-

ражение обратится в 0, то есть P 2 0 , что значитx 2 – корень много-

члена. Разделим многочлен P x наx 2 .

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12
	24 10 x

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x 2 x3 x4

1.3. Выделение полного квадрата

Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Выделение полного квадрата – это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде a b 2 суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Квадратным трехчленом относительно переменной величины ется выражение вида

ax 2 bx c , гдеa ,b иc – заданные числа, причемa 0 .

Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 bx c следующим образом.

x 2 :

коэффициент

Затем выражение b x представим в виде 2b x (удвоенное произведение

x ):a x

К выражению, стоящему в скобках прибавим и вычтем из него число

являющееся квадратом числа

В результате получим:

Замечая теперь, что

Получим

4a 2

Пример. Выделить полный квадрат.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Многочлены от нескольких переменных

Многочлены от нескольких переменных, как и многочлены от одной переменной можно складывать, умножать и возводить в натуральную степень.

Важным тождественным преобразованием многочлена от нескольких переменных является разложение на множители. Здесь применяются такие приемы разложения на множители, как вынесение общего множителя за скобку, группировка, использование тождеств сокращенного умножения, выделение полного квадрата, введение вспомогательных переменных.

1. Разложить на множители многочлен P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y 32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Разложить на множители P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Применим способ группировки

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Разложить на множители P x ,y x 4 4y 4 . Выделим полный квадрат:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Свойства степени с любым рациональным показателем

Степень с любым рациональным показателем обладает свойствами:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

	a r 1a r 2a r 1r 2,
3. a r 1r 2 a r 1r 2,
4. abr 1 ar 1 br 1 ,
	a r 1	ar 1


		br 1

где a 0;b 0;r 1 ;r 2 – произвольные рациональные числа.

1. Выполнить умножение 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Разложить на множители

a 2x 3

1.6. Упражнения для самостоятельного выполнения

1. Выполнить действия, используя формулы сокращенного умножения. 1) a 52 ;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3 ;

	3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Вычислить, используя тождества сокращенного умножения:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Доказать тождества:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Разложить на множители следующие многочлены:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45ax 2 45ax 15a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Вычислить наиболее простым способом:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Найти частное и остаток от деления многочлена P x на многочленQ x : 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Доказать, что многочлен x 2 2x 2 не имеет действительных корней.

8. Найти корни многочлена:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Разложить на множители:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Решить уравнения, выделяя полный квадрат:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Найти значения выражений:

		4 3 85

		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Вычислить:

16 0,25

Определение

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c - произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 , поэтому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена» .

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаем: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выде-ления полного квадрата из квадратного трёхчлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3) .

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x - 3) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена , т.е. делает преобразование вида:
$ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $ и раскладывает на множители квадратный трехчлен : $ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел $p, q $ и $n, m $

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: $3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 $

При вводе выражения можно использовать скобки . В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Пример подробного решения

Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$ $$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Решить

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .

Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.

$2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) $

Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена , и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Разложение на множители квадратного трехчлена

Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .

Покажем на примере как это преобразование делается.

Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
$2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) $

Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен , и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.