Арифметических действий

Задачи изучения темы:

2) Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3) Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 4); частное (12:4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более дей­ствий, со скобками и без них.

1) При работе с простейшими выражениями в соответствии с требо­ваниями программы перед учителем стоит задача сформировать у детей умения читать и записывать такие выражения.

Первая встреча учащихся с выражениями происходит в первом клас­се в теме "Числа от 1 до 10", где дети впервые знакомятся со знаками действий "+" и "-". На этом этапе дети записывают выражения, и читают их, ориентируясь на смысл знаков действий, которые осознаются ими как краткое обозначение слов "добавить" и "отбросить". Это находит отражение в чтении выражений: 3 + 2 (3 да 2); 3 - 1 (3 без одного).

Постепенно представления детей об этих действиях расширяются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц к числу, мы увеличи­ваем его на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем. Это находит отражение при чтении выражений: 4 + 2 (4 увеличить на две единицы); 7 - 1 (7 уменьшить на одну единицу).

Затем дети узнают названия знаков действий "плюс" и "минус". (При изучении сложения и вычитания чисел первого десятка). Этиже выра­жения читаются иначе: 4 + 2 (4 "плюс" 2); 7 - 1 (7 "минус" 1).

И только при ознакомлении с названиями компонентов и результатов действия сложения вводится строгая математическая терминология, да­ется название данного математического выражения – «сумма», а несколько позже аналогично вводится термин «разность».

Названия следующих двух математических выражений «произведение» и «частное» вводятся аналогично при изучении действий умножения и де­ления во втором классе. Здесь же во втором классе вводятся термины "выражение", "значение выражения", которые как и другие математи­ческие термины должны усваиваться детьми естественно, как усваива­ются ими другие новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

2) Наряду с простейшими математическими выражениями изучаются и усложненные выражения, содержащие два и более действий, со скобками и без них. Такие выражения появляются в зависимости от рассмотрения соответствую­щих вопросов курса математики. Однако их рассмотрение в основном подчинено одной дидактической цели – сформировать умение находить значение выражения, а это непосредственно связано с правилами поряд­ка выполнения арифметических действий.

а) Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Первые такие выражения вида 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 встречаются в самом начале изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10. Уже здесь основное внимание уделяется выяснению вопроса, как вести рассужде­ния при вычислении значения выражений. В I-II классе встречаются упражнения: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; во II классе встречаются упражнения: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. При дальнейшем рассмотрении аналогичных выражений делается вывод: в выражениях без скобок действия сложения и вычитания (умножения и деления) выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

б) Затем появляются выражения, содержащие скобки и опять главное внимание уделяется правилу о порядке выполнения действий в выраже­ниях со скобками. Так мы фактически знакомим детей со вторым прави­лом о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Упражнения: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

Во втором классе при изучении действий умножения и деления про­исходит встреча с выражениями, содержащими действия сложения, вы­читания, умножения и деления. Чтобы выяснить вопрос о порядке вы­полнения действий в таких выражениях, целесообразно для первого рассмотрения взять выражение 3 · 5 + 3. Используя смысл действия умножения, приходим к выводу, что значение этого выражения равно 18. Отсюда следует порядок выполнения действий. В результате мы фактически получаем третье правило о порядке выполнения действий в выра­жениях без скобок, содержащих действия сложения, вычитания, умно­жения и деления: в выражениях без скобок вначале выполняются дей­ствия умножения или деления, а затем действия сложения или вычита­ния в том порядке, как они записаны. При этом дается и образец рассуж­дении, где обращается внимание на проговаривание промежуточного результата, что позволяет предупреждать возможные ошибки детей. Упражнения: 21 + 9: 3, 34 – 12 · 2, 90: 30 – 2, 25 · 4 + 100.

Правила о порядке выполнения арифметических действий заслуживают особого внимания. Это один из сложных и отвлеченных вопросов начального курса математики. Работа над ним требует многочисленных распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы в конце каждого года, начиная со второго класса и на конец обучения в начальных классах.

Упражнения:

1. Из заданных пар примеров выбрать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка выполнения действий: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

После объяснения ошибок дать задание: изменить порядок действия так, чтобы выражение имело заданное значение.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

На последнем году обуче­ния в начальных классах рассмотренные правила дополняются новыми для детей правилами о порядке выполнения действий в выражениях содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Например: 90 · 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 · 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.) Например: Продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся выполняют преобразования выражений вида:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Тождественные преобразования выражений выполняют также и на основе конкретного смысла действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 4, и наоборот, 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5, 7 · 6 – 7 = 7 · 5.

Если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 · 6) : 4 = 10 · 6: 4 и т.п.

В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например: записать выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65 + 30) – 20, (20 + 4) · 3, 96 – (46 + 30)

Лекция 7. Вычислительные приемы сложения и вычитания для чисел первого и второго десятка

1. Основные понятия.

2. Вычислительные приемы для чисел первого десятка.

3. Вычислительные приемы для чисел второго десятка.

Основные понятия

В начальной школе изучают четыре арифметических действия: в 1 классе дети знакомятся со сложением и вычитанием, во 2 - с умножением и делением.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени. Умножение и деление называют действиями второй ступени.

Символ сложения - знак «+» (плюс), символ вычитания - знак «-» (минус). Символ умножения - знак «х», который на письме часто заменяется точкой, стоящей в центре клетки « ». Символ деления - знак «:». В старших классах в качестве символа деления используют также горизонтальную черту (в печатных текстах часто заменяемую на наклонную черту), рассматривая запись вида 3 / 4 , У 2 как запись деления.

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. В связи с этим, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия сложения:

1. Возьми три морковки и два яблока (наглядность). Положи их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

2. На полке стоит 2 чашки и 4 стакана. Обозначь чашки кружками, стаканы квадратиками. Покажи сколько их вместе. Сосчитай.

3. Из вазы взяли 4 конфеты и 1 вафлю. Обозначь их фигурками и покажи, сколько всего сладостей взяли из вазы. Сосчитай.

Все три ниже предлагаемые ситуации моделируют объединение двух множеств.

1. У Вани 3 значка. Обозначь значки кружками. Ему дали еще и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Надо 2добавить.) Сделай это. Сосчитай результат.

2. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначь грузовики квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначь легковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? На день рождения ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками. Покажи, на сколько больше.

3. В одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначь карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки - красными палочками. Покажи, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? В какой меньше? На сколько?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия сложения: 6 + 2 = 8.

Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных действий:

а) удаление части совокупности (множества);

б) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

в) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

г) разностное сравнение двух множеств.

Приведем задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия вычитания:

1. Удав нюхал цветы на полянке. Всего цветов было 7. Обозначь цветы кружками. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на 2 цветка. Что надо сделать, чтобы это показать? Покажи, сколько цветов теперь сможет понюхать Слоненок.

2. У Мартышки было 6 бананов. Обозначь их кружками. Несколько бананов она съела и у нее стало на 4 меньше. Что надо сделать, чтобы это показать? Почему ты убрал 4 банана? (Стало на 4меньше.) Покажи оставшиеся бананы. Сколько их?

3. У жука 6 ног. Обозначь количество ног жука красными палочками. А у слона ног на 2 меньше. Обозначь количество ног слона зелеными палочками. Покажи, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

4. На одной полке стоит 5 чашек. Обозначь чашки кружками. А на другой полке - 8 стаканов. Обозначь стаканы квадратиками. Поставь их так, чтобы сразу было видно, чего больше - стаканов или чашек. Чего меньше? На сколько?

Следующие задания приведены в соответствии с видами предметных действий, указанных выше.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия вычитания: 8-5 = 3.

После того, как ребенок научится понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте то, о чем говорится в задании кружками (палочками и т. п.);

2) обозначьте указанное число кружков (палочек) цифрами;

3) поставьте между ними нужный знак действия. Например:

В вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте цифрами число белых тюльпанов и число розовых тюльпанов. Какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одной вазе!

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют «математическое выражение». Она

характеризует количественные признаки ситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей.

Число 7, получаемое в ответе, называют значением выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 называют равенством. Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения:

выражение \

значение выражения

равенство

Прежде чем переходить к равенству, полезно предлагать детям задания:

а) на соотнесение ситуации и выражения (подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением - ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе);

б) на составление выражений по ситуациям (составь выражение в соответствии с ситуацией).

После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор, можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем - вычитание.

Выражение вида 3 + 5 называют суммой.

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.

Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например:

Найдите сумму чисел 4 и 6. (Ответ: сумма чисел 4 и 6 - это 10.)

Выражение вида 8-3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 - вычитаемым.

Значение выражения - число 5 также могут называть разностью.

Например:

Найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 - это 2.)

Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи. Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

2. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых разность равна 2. Подчеркните их синим цветом.

4. Как называют число 4 в выражении 5 - 4? Как называют число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.

5. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.

6. Найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания:

Сложение можно проверить вычитанием: 57 + 8 = 65. Проверка: 65-8 = 57.

Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно.

Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить сложением: 63 - 9 =54. Проверка: 54 + 9 = 63.

К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно.

Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания: ш

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства.

Например:

Решите уравнение 24 - х= 19.

В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х = 24 - 19, х = 5.

Для действительных чисел можно определить арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.

На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.

В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I – V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже – в § 2.5.

Вопросы методики изучения арифметических действий разделим на две части. В данной части рассмотрим, как формировать у учащихся представления о сложении, вычитании, умножении, делении, понятии арифметического действия, их свойствах, а в следующей части главы – как формировать вычислительные умения и навыки.

7.3.1. Цели и результаты изучения арифметических действий. Арифметические действия – ключевые понятия теории чисел и важнейшая характеристика числовых множеств. Их изучение – неотъемлемая часть формирования понятия числа и вычислительных умений и навыков. В математике обобщение арифметических действий привело к понятию операции, а затем к таким понятиям как математическая структура, группа, кольцо, поле, играющим огромную роль в современной математике и в ее применении в разных сферах жизни. Изучение арифметических действий позволяет детям на интуитивном уровне соприкоснуться со многими математическими идеями, в частности, с идеями функциональности, математической структуры, математического моделирования, принципом двойственности. Арифметические действия обладают богатым потенциалом для развития мышления, речи, становления и развития универсальных учебных действий.

Арифметические действия в современных формах записи удобны для наблюдения и открытия закономерностей, построения числовых последовательностей. Они допускают изобретение способов выполнения действий и соответствующих алгоритмов, способов преобразования числовых выражений и потому могут служить средством развития самостоятельности мышления, творческих способностей. Не потеряла своего значения и задача обучения вычислениям, хотя в настоящее время роль вычислительных умений изменилась. Изменились также цели изучения арифметических действий, требования к результатам их изучения.

Цели изучения арифметических действий младшими школьниками – личностное и интеллектуальное развитие, развитие представлений о числе и арифметических действиях, формирование вычислительных умений и навыков, пропедевтическое знакомство с ключевыми идеями математики, достижение планируемых результатов.

Личностные и метапредметные результаты обеспечиваются а) характером представления учащимся арифметических действий, включая рассмотрение не только узко предметных, но и межпредметных, гуманитарных их аспектов; б) усилением внимания к смыслам арифметических действий, к логическим связям и выводам, к применению арифметических действий для описания окружающего мира; в) включением в процесс изучения имеющийся и рождающийся субъектный числовой опыт детей, опыт познания.

Личностные результаты изучения арифметических действий –формируемое отношение к миру, людям, к себе, к учению, к числам и арифметическим действиям. Метапредметные результаты , относящиеся к арифметическим действиям – это умение использовать их в качестве моделей предметных действий и средств получения новой информации в разных областях знания и повседневной жизни, это умение использовать рисунки, схемы, таблицы, как средства познания смыслов и свойств арифметических действий; владение общими арифметическими способами решения задач; моделирование ситуаций средствами арифметических действий. К метапредметным результатам изучения арифметических действий относятся также УУД, формируемые при изучении любого учебного материала.

Предметные результаты – это то, что будет знать каждый учащийся об арифметических действиях как о математических объектах, чему научится и получит возможность узнать и научиться. Обязанность учителя – обеспечить достижение всеми учащимися на выпуске из начальной школы планируемых результатов изучения арифметических действий в соответствии с требованиями ФГОС НОО. Вариант планируемых предметных результатов представлен ниже.

В результате изучения арифметических действий выпускник начальной школы научится: использовать арифметические действия для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, их количественных и пространственных отношений, для решения текстовых задач (в 2 – 3 действия); выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трёхзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в том числе с нулём и числом 1); выполнять с помощью алгоритмов письменных вычислений арифметические действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000), использовать калькулятор для проверки правильности устных и письменных вычислений; выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение; вычислять значение числового выражения, содержащего 2-3 арифметических действия, со скобками и без скобок.

Выпускник получит возможность научиться : использовать свойства арифметических действий для упрощения и рационализации вычислений; выполнять действия с значениями величин; проводить проверку правильности вычислений, в том числе калькуляторных (с помощью обратного действия, прикидки и оценки результата действия).

Сформулировав планируемые результаты необходимо задать и средства диагностики, диагностические материалы, позволяющие выявить степень достижения выпускником начальной школы планируемых результатов. Ниже приведен один из возможных вариантов заданий для итоговой оценки предметных и метапредметных результатов.

А. Базовый уровень .

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.) С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, толщина, высота данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Сравни длины сторон бруска по вопросам «Равны или не равны?», «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?».

2. На склад привезли 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 64 мешка гречневой крупы. Сколько всего мешков с крупами привезли на склад?

3. Найди значения выражений: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450: 50; 78: 4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36: 9 – 3) ∙ 17; 32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781)

В. Повышенный уровень .

1. Часть стены модели дома выложена из 5-ти одинаковых деревянных брусков, имеющих форму параллелепипеда. (Размеры бруска 10 см × 2 см × 2 см. Бруски сложены в стопку на парте.)

С помощью измерения длин сторон и действий сложения, вычитания, умножения и деления, дайте характеристику этой части стены, ответив на вопросы: 1.1. Какова длина, ширина и толщина данной части стены? 1.2. Какова площадь поверхности внутренней стороны стены? 1.3. Каков объем бруска? объем стены? 1.4. Сравни длины сторон бруска по вопросам «На сколько сантиметров больше (меньше)?», «Во сколько раз больше (меньше)?». 1.5. Сравни объем части стены и объем бруска.

2. На складе 4560 кг рисовой крупы в мешках по 80 кг в каждом и 3840 кг гречневой крупы в 64 мешках. Мешок с какой крупой тяжелее и на сколько? С какой крупой мешков больше и на сколько?

3. Найдите значения числовых выражений используя устные вычислительные и свойства арифметических действий: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354 + 188; 162: 4; 18 ∙ 4 – 1345∙0; 317: 50; 45: 45; (27 - 108: 9) ∙ 17.

4. Найдите значения числовых выражений, используя алгоритмы письменных вычислений: 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773)

«Проверяемое умение: умениевыполнять арифметические действия с использованием изученных алгоритмов (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000). Задание базового уровня. Вычисли: 2072: 37. Задание повышенного уровня. Петя выполнил умножение и увидел, что в записи четыре раза повторяется одна и та же цифра. Он закрыл эту цифру карточками и предложил Мише угадать эту цифру. Какая это цифра?

Отметь правильный ответ ✔. □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.»

« Умение : понимать смысл деления с остатком, выделять неполное частное и остаток. Задание базового уровня. Для подарков купили конфеты. Всего 199 конфет. В каждый подарок нужно положить по 5 конфет. Сколько конфет останется? Для футбольной команды купили18 билетов в один купейный вагон. Номера билетов с 1-го по 18-й. В скольких купе разместятся футболисты, если в каждом купе могут ехать 4 человека?»

«Умение: осуществлять прикидку и проверку результата выполнения арифметического действия. Задание 31 базового уровня. Каким числом является результат действия 12064: 4? Обведи номер ответа. 1) двузначным; 2) трехзначным; 3) четырехзначным; 4) пятизначным.

Задание 32 повышенного уровня. Хватит ли 1 000 р для покупки четырех книг по цене 199 р за одну книгу и календаря за 250 р? Запиши и объясни ответ. Ответ: …

Объяснение. Ответ: не хватит. Пример объяснения: после покупки четырех книг останется чуть больше двухсот рублей. Этих денег не хватит на покупку календаря за 250 рублей. …» 18 Возможно объяснение: «Не хватит. В 1000 р. содержится 5 раз по 200 р. Платят 4 раза на 1 р. меньше 200, т.е. на 4 р. меньше чем 4 раза по 200 р. После оплаты четырех книг останется всего на 4 р. больше 200, что меньше 250.» Если дано пояснение «Не хватит, так как: 199 ∙ 4 = 796 (р.); 1000 – 796 = 204 (р.); 204 < 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Последовательность изучения арифметических действий в начальной школе. Традиционно арифметические действия изучаются в последовательности: сложение и вычитание, умножение, деление (нацело) и деление с остатком. Этот порядок прослеживается во многих учебниках математики для начальной школы. Однако существуют другие подходы к последовательности изучения действий.

В истории российского начального образования действия сложения и вычитания долгое время вводились и изучались последовательно, со значительным разрывом во времени. Затем стало признанным мнение, что длительная работа с одним арифметическим действием затрудняет усвоение обоих действий, так как у учащихся успевает выработаться определенный стереотип, который затем нужно разрушать. Одновременное или последовательное на следующих друг за другом уроках введение сложения и вычитания создает условия для сопоставления действий, что способствует лучшему усвоению смыслов. Поэтому с середины прошлого века действия сложения и вычитания в нашей школе рекомендовалось изучать одновременно и вводить на одном или на последовательно следующих друг за другом уроках.

Относительно последовательности введения умножения и деления разногласий нет. Умножение обычно вводится несколько раньше деления. Деление начинают изучать после того, как учащиеся усвоят смыслы умножения. Иногда после введения умножения изучают табличное умножение, и лишь потом деление. Но чаще табличное деление рассматривают одновременно с табличным умножением на одних и тех же или последовательных уроках после введения деления.

Разные точки зрения существуют относительно последовательности изучения деления нацело и деления с остатком . Согласно одной из них вначале вводится деление нацело, его смыслы, табличные случаи деления. После их усвоения вводится деление с остатком как особое действие, со своими смыслами, свойствами, алгоритмами на основе табличного деления нацело. Затем рассматриваются основные внетабличные приемы деления нацело и деления с остатком, и письменное деление как деление с остатком, частным случаем которого является деление нацело – с остатком 0.

Согласно другой точке зрения деление нацело и деление с остатком могут вводиться как обозначение деления группы предметов, предметов на равные по заданному основанию части (в соответствии с теоретико-множественными и величинными смыслами действия деления) одновременно или на серии последовательных уроков. Результатом такого введения будет способность учащихся обозначать предметные действия деления по содержанию и на равные части записями вида 12: 3, 13: 3, 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ост. 1), и наоборот, по записи выполнять предметные действия или делать рисунки.

После освоения предметных смыслов деления, которые одинаковы для деления нацело и деления с остатком, переходят к обсуждению вопроса, как находить результаты деления без предметных действий. Ответ ищут, установив связь деления с умножением вначале для деления нацело и сосредоточив внимание на табличных случаях, свойствах деления нацело, свойствах таблицы умножения/деления. К случаям деления с остатком обращаются в этот период попутно, закрепляя его понимание, предоставляя учащимся возможность находить частное и остаток на основе интуитивного понимания связи деления нацело и деления с остатком. После освоения табличного умножения и деления рассматривают особенности, свойства, способы и алгоритмы деления с остатком.

Обоснованием последней точки зрения служит то, что наличие или отсутствие остатка не меняет ход практического деления. Например, разделим 12 и 13 кубиков на равные части по 3 кубика в каждой. Действуем в обоих случаях одинаково: берем 3 кубика и откладываем в сторону. Это действие повторяем, пока можно взять 3 кубика. Обозначается: 12: 3 и 13: 3. Как только кубиков не останется или останется меньше трех, считаем получившиеся части. Их число и будет частным. В обоих случаях образовалось 4 равных части по 3 кубика в каждой – частным будет число 4. В случае с 12 кубиками «неподеленных» кубиков не останется, а при делении 13 кубиков по 3 неподеленным останется 1 кубик. Получаем: 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (ост. 1).

Будем делить 12 и 13 кубиков на 3 равные части . Берем столько кубиков, сколько требуется равных частей, и раскладываем по одному. Затем вновь берем столько предметов, сколько частей и раскладываем по одному к уже разложенным. Действуем так, пока не останется ни одного кубика или останется меньше, чем требуемое число частей. В обоих случаях частное 4 (в каждой из трех равных частей по 4 кубика). При делении 12: 3 остатка нет, при делении 13: 3 остаток 1. Запись: 12: 3 = 4 и 13: 3 = 4 (ост. 1).

В предметной деятельности, начиная процесс деления, чаще всего не знают, будет ли остаток. В детском опыте ситуаций практического деления много. Дети делят игрушки, конфеты, делятся на команды в играх и многое другое. Деление нацело получается далеко не всегда. Вводя только деление нацело, приходится ограждать детей от ситуаций, когда нацело разделить невозможно. И если период встреч только с делением нацело длительный, то у детей вырабатывается стереотип: при делении чисел всегда получается одно число – частное. Это затрудняет понимание деления с остатком. Отчасти поэтому деление с остатком считается трудным действием, а текстовые задачи, при решении которых оно может быть использовано, либо не рассматриваются (за исключением простых задач при введении деления с остатком), либо их относят к задачам повышенной трудности.

Исходя из проведенных рассуждений, последовательность изучения умножения и деления может выглядеть так: введение умножения освоение его смыслов; введение деления нацело и с остатком, освоение смыслов деления; табличное умножение и деление (нацело); устные вычислительные алгоритмы деления с остатком, основанные на табличном делении; алгоритмы внетабличного (устного) умножения и деления, в том числе деления с остатком; алгоритмы письменного умножения; алгоритмы письменного деления как алгоритмы деления с остатком, частным случаем которого является деление с нулевым остатком – деление нацело; умножение и деление с помощью калькулятора.

Изучение каждого арифметического действия можно представить по этапам: подготовка к введению арифметического действия или действий; введение действия (действий), мотивация к изучению, планирование работы по изучению арифметического действия (или действий), формирование смыслов изучаемого действия; изучение свойств арифметических действий; изучение алгоритмов выполнения действий и формирование вычислительных навыков.

Подготовка к введению арифметического действия или действий заключается в создании предметно-деятельностной основы арифметических действий, которая реализуется в действиях с группами предметов (теоретико-множественный подход) и с предметами по заданной величине (величинный подход), в «прошагивании» по ряду чисел, включающему число 0 и натуральный ряд (порядковый подход). Здесь необходимо уточнение, углубление представлений о числе, актуализация способов предметных действий, решение с их помощью текстовых задач, соответствующих арифметическому действию.

Основными задачами уроков введения арифметического действия (или действий) и формирования смыслов изучаемого действия являются: создание положительной мотивации к изучению действия, выделение, выполнение и обозначение новым действием предметных действий, лежащих в основе вводимого арифметического действия; овладение учащимися терминами и способами символьного обозначения и словесного описания действия; включение нового арифметического действия в систему имеющихся числовых представлений.

Положительные мотивы к изучению действия могут быть сформированы через эмоциональное проживание детьми арифметического действия как краткого и быстрого способа сохранения и передачи информации о действии с предметами, как средства обогащения письменной речи, как расширения возможностей общения, как средства моделирования задачных ситуаций, средства получения новой информации. Предметом интереса детей можно и должно сделать свойства действий, особенности поведения отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям, необычные способы вычислений, числовые последовательности, построенные на закономерностях, выражаемых на языке арифметических действий. Это возможно через раскрытие смыслов арифметических действий, через возможность порождения собственных, личностных смыслов.

Напомним: арифметические действия - это математические операции на числовом множестве (в начальной школе на множестве целых неотрицательных чисел). Операция – соответствие между множеством пар чисел из числового множества и элементами этого же множества. Соответствие может быть задано перечислением и характеристическим свойством. Такие свойства закладываются в определение действия. В записи это обозначается знаком действия. В записях 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5 операции заданы, так как указаны конкретные пары чисел, а знак указывает на способ получения соответствующего числа. В равенствах 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (ост.2), соответствующее число или числа заданы не только характеристическим свойством, но и перечислением.

Заметим, что на начальном этапе освоения арифметического действия, а также при изучении свойств, при обобщении некоторых характеристик действия полезно использование придуманных детьми условных обозначений чисел, например: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ или ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Такие записи позволяют рассматривать действие и его свойства тогда, когда дети еще не могут записать нужные числа, а также когда конкретная числовая характеристика групп предметов или предмета не может быть точно определена, когда нужно показать общий вид выражений и равенств. К тому же такие условные знаки несут в себе эмоциональную составляющую их авторов или «выборщиков».

Свойства арифметических действий могут быть открыты учащимися в процессе учебно-исследовательской деятельности, организованной учителем. Важно, чтобы каждое свойство явилось решением принятой учащимися проблемы, ответом на вопрос, который возник у них. Это может быть тогда, когда с первых дней обучения учим детей замечать и выявлять сходство и различия между любыми объектами, в том числе между действиями с предметами, между их записями.

Основные вопросы, которые приводят к открытию свойств арифметических действий, это вопросы о возможности замены одних выражений, а значит и последовательности арифметических действий, другими, содержащими те же числа и имеющими такое же числовое значение, что и исходное выражение, но другие действия или другую последовательность действий.

Перечень свойств арифметических действий (на множестве натуральных чисел и нуля), может быть таким:

Свойства связи отношений «(непосредственно) следовать за» и сложения и вычитания: a + 1 = а ′ и а ′ – 1 = a (если к числу прибавить 1, то получится следующее за ним число, если вычесть 1, то получится предыдущее число); переместительное свойство сложения, умножения 3 + 4 = 4 + 3, a + b = b + a , ab = b a ; сочетательное свойство сложения (a + b ) + c = a + (b + c ), умножения (ab )c = a (bc ) или в форме правил прибавления числа к сумме и суммы к числу, умножения числа на произведение и произведения на число; правила вычитания числа из суммы и суммы из числа: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; правила деления произведения на число и числа на произведение: (12  8) : 4 = (12: 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24: (3  4) = (24: 3) : 4; правило деления суммы на число: если ac и bc (- нацело делится), то (a + b ) : c = a :c + b :c , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; распределительное свойство умножения относительно сложения (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 или в форме правил умножения суммы на число и числа на сумму: (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; правило умножения разности на число: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; свойства, отражающие связь сложения и вычитания, умножения и деления: a + b = c ↔ c – b = a и c – a = b ; a : b = q ↔ a = bq и a : q = b , a : b = q (ост. r ), r < b ↔ a = bq + r ; зависимости между изменением компонентов и результата действия: a + b = c (a ± d ) + b = c ± d (если одно слагаемое увеличить (уменьшить) на какое-то число, то и сумма увеличится (уменьшится на это же число); a + b = c ↔ (a + d ) + (b – d ) = c (если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится); a – b = c ↔ (a ± d ) – (b ± d ) = c (если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится); ab = c ↔ (a : d )  b = c : d ; ab = c ↔ (a : d )(bd ) = (ad )(b : d ) = c ; a : b = q ↔ ad : b = cd ; свойства деления с остатком: деление с остатком выполнимо для любых чисел (кроме деления на нуль); остаток меньше делителя; делимое равно сумме произведения частного на делитель и остатка.

Если присмотреться к равенствам, выражающим свойства арифметических действий, то мы обнаружим, что есть много общего в свойствах сложения и умножения, деления и вычитания. Здесь проявляется «принцип двойственности 19 , …, заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т.н. двойственные им понятия».

Принцип двойственности одна из важных содержательных идей математики, которая значительно расширяет возможности познания. Идея двойственности обнаруживается детьми, если изучение нового действия, свойств этого действия учитель будет организовывать на основе уже изученных действий, побуждая детей к прогнозированию свойств, проверке прогнозов, например, с помощью простых вопросов и заданий о сходстве и различии: «Чем похоже вычитание на сложение? Чем отличается?», … «Чем похоже деление на другие арифметические действия, которые ты знаешь? Чем похоже деление на вычитание? Чем деление отличается от вычитания?», «Вы знаете, что сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами. Сформулируйте такие же свойства для умножения. Проверьте их справедливость на нескольких примерах», «Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства для деления. Проверьте их справедливость на нескольких примерах».

7.3.3. Изучение сложения и вычитания. Содержание изучения действий существенно зависит от подхода к понятию числа, которого придерживается учитель, от смыслов которые он вкладывает в это понятие. Будем следовать универсальному подходу, рассматривая с учащимися число во всех основных его смыслах.

Теоретико-множественный смысл действия сложения на доступном для учащихся языке может быть представлен через задачи, описывающие соответствующие предметные действия и рисунки к ним (рис. 7.7). На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3. Сколько яблок на двух тарелках? (Задача на нахождение суммы). На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока больше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, что на 3 яблока меньше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на», в которых неизвестно большее число.); На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. Сколькими способами можно выбрать один фрукт? (Комбинаторные задачи, задающие правило суммы подсчета числа комбинаций).

Задачи раскрывающие теоретико-множественный смысл действия вычитания . а) На тарелке было 4 яблока, 3 яблока съели. Сколько яблок осталось? (Нахождение остатка (разности)); б) На одной тарелке 4 яблока, а на другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, это на 3 яблока больше, чем на другой. Сколько яблок на другой тарелке? На одной тарелке 4 яблока, а на другой 3 яблока. На сколько яблок на первой тарелке больше, чем на второй? На сколько яблок на второй тарелке меньше, чем на первой? (Задачи с отношениями «больше (меньше) на») с неизвестным меньшим числом или на сколько одно число больше или меньше другого (на разностное сравнение. (Рис. 7.8 а, б).

Смыслы сложения и вычитания, основанные на понятии величины, выражают операции объединения и удаления объектов, обладающих длиной, площадью, объемом, массой и других величин, что может быть показано практическим действием или рисунком (рис. 7.9)

Порядковые смыслы сложения и вычитания проявляется в последовательном переходе от первого слагаемого к непосредственно следующему за ним числу, от него к следующему столько раз, каково второе слагаемое. Вычитание может быть задано как последовательный переход от уменьшаемого к предыдущему столько раз, каково вычитаемое. При введении сложения и вычитания этот смысл представляют правилом, которое формулируется в результате наблюдения за положением числа, к которому с помощью действий с предметами прибавляется единица (из которого вычитается единица) и результатом этих действий: «Если к числу прибавить единицу, то получится следующее число; если из числа вычесть единицу, то получится предыдущее число».

Подготовке к введению сложения и вычитания способствуют упражнения в действиях с предметами, соответствующих вводимым действиям, и сопровождающем эти действия счете предметов и мерок при измерении величин в простейших случаях. Например, счет шагов при ходьбе (измерение длины пути), счет одинаковых между собой треугольников, прямоугольников, из которых составлена фигура (измерение площади), счет стаканов воды, наливаемой в банку или выливаемой из нее, движений секундной стрелки на циферблате и т.п. Полезен счет двойками, тройками, четверками, пятерками.

Возможные виды предметных действий, соответствующих сложению и вычитанию могут быть такими.

Положите слева 3 кубика. Положите ниже карточку с нужной цифрой. Положите справа 5 кубиков. Положите карточку с цифрой. Объедините кубики, придвинув их друг к другу. Найдите полоску длиной в 3 единицы длины (3 мерки, состоящую из трех равных частей) и полоску в 5 таких же единиц длины. Составьте из этих двух полосок одну длинную. Что обозначают числа 3 и 5 для кубиков? … Для полосок? … Что сделали с кубиками? … Что сделали с полосками? …

Сосчитайте все треугольники. (8) Сосчитайте все красные треугольники. (3) Уберите их в конверт. В этой банке 8 стаканов воды. Выливаем 3 стакана воды. Обозначьте цифрами.

Ведение сложения и вычитания. Особенностью арифметических действий, в том числе сложения и вычитания, побуждающих детей к их изучению, является возможность во много крат сократить запись информации. Чтобы показать это учащимся, во время выполнения учащимися заданий, приведенных выше, на доске появляется текст: Положили слева 3 кубика. Положили справа 5 кубиков. Объединили кубики. Взяли полоску длиной в 3 единицы длины и полоску длиной в 5 таких же единиц длины. Составили из двух полосок одну длинную. (Если вычитание вводится одновременно со сложением, то в тексте будут также предложения вида: «Было 8 треугольников. 3 треугольника убрали», «Было 8 стаканов воды. Вылили 3 стакана»). Ниже записаны (или выложены карточками) цифры: 3 5 (8 3).

На доске записано, что вы делали только что с кубиками, с полосками, (с треугольниками, с водой). Легко ли вам прочитать этот текст? (Нелегко.) – Но если использовать язык математики, то можно записать это гораздо короче. Может, кто уже знает, как принято обозначать наши действия в математике? Вместе с детьми конструируем образец записи (вначале только выражение): 3 + 5 (8 – 5).

Эта запись заменяет весь этот текст. Сколько знаков в математической записи? (Всего 3. При одновременном введении и вычитания – 6.) - А в тексте сколько знаков?

Если запись сделана на интерактивной доске, то с помощью выделения текста легко определить число знаков: 163 (или с вычитанием 236!): 163! (или 236!) против 3-х (или 6-ти!) Более чем в 50 (почти в 40 раз) математическая запись короче! Это открытие может быть точкой удивления, которая придаст эмоциональную окраску изучаемому, усилит интерес к нему.

Возможно, что кто-то из вас уже знает, как принято читать эту запись и что она означает? (Вначале говорят дети, а потом учитель.) – Запись 3 + 5 принято читать «к трем прибавить пять» (и «из восьми вычесть пять»). Прочитайте еще раз вместе со мной. … Означает эта запись, что было 3 предмета и 5 предметов, и их объединили (Было 8 предметов, 5 из них взяли, убрали). Или, что из двух полосок длиной в 3 и 5 единиц длины составили одну полоску, длиной 3 да 5 единиц длины. Говорят также, что 3 + 5 – это запись действия сложения (8 – 5 – это запись действия вычитания ).

Далее организуется выполнение заданий трех видов на выработку умений переходить от предметных действий к действиям с числами и от действий с числами к предметным действиям: (1) демонстрируются предметные действия (педагогом, учащимися, на рисунках в учебнике или рабочей тетради, на интерактивной доске), а учащиеся обозначают их соответствующими числовыми выражениями, читают выражения; (2) называются или показываются числовые выражения (к четырем прибавить два, из четырех вычесть три, 4 + 2; 4 – 3), а учащиеся выполняют действия с предметами, рисуют или выбирают изображения предметных действий, которые могли бы быть обозначены сложением (вычитанием); (3) устанавливается соответствие между изображением предметных действий и числовыми выражениями (рисунки и выражения могут быть в пособиях, на отдельных листах, на доске, интерактивной или обычной; это могут быть два набора карточек – с рисунками предметных действий и с числовыми выражениями либо карточки по типу домино).

Обратим внимание на несколько важных моментов. Хотя знакомство со сложением и вычитанием происходит при изучении чисел первого десятка, полезно рассматривать ситуации, обозначаемые сложением и вычитанием, не только с числами первого десятка, но и с числами других числовых множеств. Например, учитель показывает одну шкатулку с 14 пуговицами, а другую с 26 такими же пуговицами. На каждой шкатулке крупно написано соответствующее число. Нужно выложить карточками с цифрами такие же числа у себя на партах. Затем пересыпает пуговицы из второй шкатулки в первую и просит учащихся положить карточку с соответствующим знаком между числами. Получилась запись: 14 + 26. С помощью учителя дети читают запись, говорят, что она обозначает.

На начало введения арифметического действия предметные действия обозначаем числовым выражением или числовым выражением и равенством. Равенство требует называния и записи конкретного числа, результата действия, тогда как способами его нахождения кроме предметных действий и счета, дети еще не владеют. Числовое выражение не называет число, результат действия, но задает знаком действия способ его получения. В этом случае мы получаем возможность рассматривать действие для любых чисел и действий с любыми предметными моделями действия. Это важно для формирования смыслов действия. Учащиеся получают также возможность определить границу применимости вычислений с помощью предметов, что мотивирует их на изобретение способов и алгоритмов без действий с предметами.

На первом этапе изучения действий необходимо сосредоточить внимание детей на вопросах «Что такое «сложение»?», «Что такое «вычитание?». Здесь предпочтительнее запись действия числовым выражением. Когда ответы на вопросы «Что …?» будут поняты и присвоены, можно переходить к вопросу «Как найти результат действия (значение суммы, разности)?». Теперь сложение и вычитание могут записываться и проговариваться как равенства.

Перед переходом к равенствам и нахождению результатов и записи равенствами подводим промежуточный итог , предоставляя учащимся возможность показать, как они понимают сложение (и вычитание, если действия вводятся на одном уроке).

Итак, вы теперь знаете, как обозначать действия с предметами сложения чисел. Покажите, как вы умеете это делать. Прочитайте математические записи и скажите, что может означать каждая: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼ . (На доске соответствующие рисунки, например, к записи 1000 + 5000 рисунок двух денежных купюр, к записи «волшебными» цифрами – два контейнера с грузом на железнодорожной платформе, с указанием массы в тоннах Ω и ☼.).

Вы правильно говорили: что сложением обозначают ситуации, когда что что-то к чему-то добавили, объединили. А как обозначить, что получается в результате таких действий? - Наблюдайте за движением Димы, измеряйте вместе с ним длину каждой части пути, считая шаги. (Дима делает 4 шага от парты к доске, останавливается, затем делает еще 3 шага к окну). - Запишите действие. (4 + 3). – Дима, пройди еще раз, считая все шаги. Сколько шагов всего? (7) – Как это записать? Дополните запись того, что делали, результатом действия. (После предложений детей, записываем: 4 + 3 = 7. – Прочитайте это равенство. (С помощью учителя читают: «К четырем прибавили три и получили семь».)

Далее дети выполняют задания названных выше видов (1), (2) и (3). В случае, когда число предметов в объединении или количество мерок при измерении величины можно сосчитать, учащиеся записывают равенства, в иных случаях записывают только выражения.

В этот же период вводятся термины слагаемое, слагаемое, сумма; уменьшаемое, вычитаемое, разность. Введение терминов полезно предварить беседой об именах. Каждый из нас имеет множество имен, названий. Одна группа имен – это имена собственные: Таня, Лена, Валентина Сергеевна. Имена даются также по тому, что мы в делаем – велосипедист, пешеход, пассажир, прохожий, читатель; по роду занятий и профессии – педагог, учащийся, портной, токарь, пилот и многим другим основаниям – человек, служащий, друг, сестра, дочь, внук.

Если этот подход применить к числам, то имена собственные – это «один», «два», «триста семьдесят» и т.д. Участие чисел в арифметических действиях и выполнение ими определенных функций или ролей позволяет дать им названия в соответствии с этими функциями. Пусть вначале дети предложат свои названия, обоснуют их. Можно даже конкурс объявить! Только в контексте собственного словотворчества общепринятые термины будут для детей «живыми», запоминающимися, эмоционально окрашенными.

Когда учащиеся свободно будут переходить от предметных ситуаций к обозначению сложением и вычитанием и наоборот, актуальным станет вопрос «Как найти результат сложения, вычитания без рисунков, счета на пальцах, измерения?»

В этот же период уже нужно начинать включение детей в планирование своей учебной работы , побуждать к рефлексии учения, его результатов, т.е. формировать учебную деятельность, постепенно, по мере овладения соответствующими УУД, переводить от управляемой извне учебной деятельности к самостоятельной.

Например, после введения сложения и вычитания спрашиваем:

Вы теперь знаете, что такое сложение, что такое вычитание? (Да.) – Все, все знаете о сложении? О вычитании? (Нет, не все.) – Как вы думаете, что еще надо бы знать об этих действиях? Что уметь? … - На какие вопросы о сложении и о вычитании вы хотели бы получить ответы? Чему научиться? …

На основе этого диалога, во время которого учитель записывает доске вопросы детей, их предложения, организует обмен мнениями, учащиеся с участием учителя как организатора и носителя знания о существующих договоренностях, выстраивают последовательность изучения сложения и вычитания.

Следующая педагогическая задача – формирование навыков табличных вычислений , а учебная задача учащихся – научиться находить результаты сложения и вычитания, сумму и разность (значение суммы и значение разности) , объяснять вычисления, проверять себя, планировать дальнейшие действия .

Изучение свойств сложения и вычитания. Особенность изучения свойств сложения и вычитания заключается в том, что это первые арифметические действия, с которыми знакомятся дети. Свойства действий рассматриваются в период освоения предметного смысла действий и обосновываются этими предметными, интуитивно понятными свойствами действий. Все свойства могут быть открыты детьми в процессе организованных учителем учебных действий. Важно, чтобы формулировки свойств и записи не были громоздкими.

Многие вычисления в первом классе, особенно в первом полугодии, выполняются способами, в которых известные свойства проявляются на интуитивном уровне. Эти свойства представляются с участием детей в доступной для них форме. Например, способы сложения и вычитания единицы, по единице, по частям: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Первыми свойствами, доступными учащимся, могут быть свойства, связывающие понятия «следующий», «предыдущий» («непосредственно следующий за») с действиями сложения и вычитания. Это свойства натурального ряда, которые проявляют порядковый смысл числа в арифметических действиях, которое мы формулировали выше. Предшествует этому изобретение способов быстрого счета предметов в объединении двух групп предметов, например, присчитывание к известному числу предметов одной группы предметов другой: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. Предметов 9.

Следствием этого способа является нахождение результатов сложения и вычитания «прошагиванием» по натуральному ряду вначале единичными шагами, а затем шагами и иной длины (сложение, вычитание группами).

Обнаружить переместительное свойство сложения или перестановку слагаемы учащиеся могут в нескольких ситуациях.

1. Вычисляют с помощью предметных действий значения пар вида 4 + 3 и 3 + 4. Устанавливают сходство и различия. Высказывают предположения о значении других подобных сумм, проверяют предположение, вычисляя значения доступными способами.

2. В процессе выполнения предметных действий объединения двух групп предметов, двух предметов, веществ, устанавливается, что при изменении местоположения частей или порядка, в котором происходит объединение, количественная характеристика результата объединения не меняется. Обозначив предметные действия числовыми выражениями, получаем два выражения с разным порядком слагаемых и одинаковыми значениями.

3. Двое учащихся, находящиеся по разные стороны стола, обозначали сложением (суммой двух слагаемых) количество предметов находящихся на столе (Чекин А.Л. Математика, 1 кл. 2011) и получили два разных выражения: 3 + 4 и 4 + 3. Ставя себя в позицию каждого, дети убеждаются, что обе записи правильно обозначают одну и ту же ситуацию, количество одних и тех же предметов. На этом основании 3 + 4 = 4 + 3. Так как на стол можно положить любое другое количество предметов, например, Ω и ☼, то Ω + ☼.= ☼ + Ω, где Ω и ☼ - произвольные числа.

Важной характеристикой сложения и вычитания является то, что этими действиями выражаются отношения «больше (меньше) на ». Любое из равенств вида a + b = c и m – n = k задает отношения, в которых участвуют три числа: большее, меньшее, и число, отвечающее на вопрос на сколько одно число больше (меньше) другого. Если задано равенство, например, 5 + 3 = 8, то числами, связанными отношением «больше (меньше) на» могут быть числа 5 и 8, а число 3 будет показывать, на сколько 5 меньше 8-ми, а 8 больше 5-ти, или 3 и 8, тогда 5 будет показывать, на сколько 3 меньше 8-ми, а 8 больше 3-х.

Другие свойства действий сложения и вычитания также могут быть открыты учащимися при соответствующей организации. Для обнаружения свойств большое значение имеет направленность заданий на сравнение, классификацию, наблюдение за изменениями. С введением действий умножения и деления изучаются правила порядка действий, распределительное свойство умножения относительно сложения, правило деления суммы, разности на число, произведения на число, числа на произведение и другие свойства, относящиеся к одному или нескольким свойствам.

Дальнейшее расширение и углубление знаний о сложении и вычитании связано с расширением числовых множеств и переносом на них ранее изученных приемов, алгоритмов, терминов, свойств, с изучением свойств и овладением вычислительными умениями, с обогащением терминологии названиями свойств (сочетательное свойство, распределительное свойство), названиями разрядов и классов, именами многозначных чисел, характеристиками чисел.

7.3.4. Изучение умножения и деления. Вначале напомним основные смыслы умножения и деления.

Теоретико-множественные смыслы действий умножения и деления представим текстовыми задачами и рисунками к ним. а) «На одной тарелке 4 яблока. Сколько яблок на 3-х таких тарелках?» (рис. 7.10 а); б) В шахматном турнире участвовало 3 команды, каждая из которых включала 4 шахматиста - кандидата в мастера спорта и шахматистов 1, 2 и 3 разрядов. Сколько всего шахматистов участвовало в турнире?»; в) «На одной тарелке 4 яблока, а на другой в 3 раза больше. Сколько яблок на другой тарелке?», «На одной тарелке 4 яблока, это в 3 раза меньше, чем на другой тарелке. Сколько яблок на другой тарелке?» (задачи с отношениями «больше (меньше) в … раз», в которых неизвестно большее число) (рис. 7.10, в); г) Сколькими способами можно составить пару «конверт, марка», если имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок? (задачи на подсчет числа комбинаций, правило произведения) (рис. 7.10, г).

Деление чисел в теоретико-множественном смысле возникло как обозначение двух видов практического деления группы предметов на равные по количеству предметов части , которые в методике обучения математике называют деление по содержанию и деление на равные части . Деление по содержанию : группу предметов делят на части по заданному одинаковому количеству предметов в каждой части и требуется узнать, сколько таких частей образуется. Деление на равные части : группу предметов делят на заданное число равных (по количеству предметов) частей и требуется узнать, по сколько предметов будет в каждой части.

Предметное действие деление по содержанию – это последовательное откладывание по заданному количеству предметов до тех пор, пока все предметы не окажутся разложенными или пока не останется предметов меньше, чем должно быть в одной части. Процедура откладывания соответствует предметному смыслу вычитания и может быть обозначена вычитанием. Деление выступает как более короткая запись

1 Микулина, Г. Г. Обобщение знаний по математике с помощью сказочных цифр / Г. Г. Микулина. – Начальная школа, 1986. - № 6 - С 25-29..

2 Математика. Виленкин Н.Я., Пышкало А.М. и др. М., 1977.

3 Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа. 2010. № 11. – С.

4 Федеральные государственные требования к структуре основной общеобразовательной программы дошкольного образования. Приказ Минобрнауки РФ от 23 ноября 2009 г. № 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Дата обращения 26.10.2011

5 Пиаже Ж. Избранные психологические труды, М., 1994.

6 Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. – М., 1955. Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в школе. М., 1959. Менчинская Н. А., Моро. М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. – М., 1965.

7 Костюк Г. С. Про генезис понятия числа у детей / Науковi записки, Т. 1. НИИ психологии, Киев, 1949

8 Л. С. Цветкова. Нейропсихология счета, письма и чтения: нарушение и восстановление, М., 2000;

9 Л.Ф. Магницкий. Арифметика. 1703 / http://www.math.ru/lib/176Дата обращения 29.09.2011

10 Галанин Д.Д. История методических идей по арифметике в России. Часть I. ХVIII век. М., 1915.

11 Галанин Д.Д. Введение в методику арифметики Москва, 1911.

12 Курганов С.Ю. Ребенок и взрослый в учебном диалоге. М., 1988; Берлянд И.Е. Загадки числа. М..1996

13 Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. Ч. 1. М, 2006

14 Чекин А.Л. Математика. 1 класс. Ч.1. М., 2010

15 Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.4.2.2821-10. http://www.rg.ru/2011/03/16/sanpin-dok.htmlДата обращения 4.12.2011.

16 См. Ондар Ч. Этнокультурные аспекты в формировании числовых представлений // Начальная школа, 2010. - № 11. – С. 104 – 107; Царева С.Е. Стихи, загадки, пословицы, поговорки, сказки в начальном обучении математике Новосибирск, 1998.

17 Лысенкова С.Н. Когда легко учиться. – М.: 1985.

18 Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 2 ч. Ч. 1/ [М. Ю. Демидова, С. В. Иванов и др.]; под ред. Г. С. Ковалевой, О. Б. Логиновой - М. 2011. С. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Двойственности принцип/.

При изучении данной темы учащиеся должны овладеть приемами вычисления, получить прочные вычислительные навыки, заучить результаты сложения и вычитания в пределах 10, а также состав чисел первого 10, узнавать и показывать компоненты и результаты двух арифметических действий и понимать их названия в речи учителя.

По мере овладения учащимися натуральной последовательностью чисел и свойством этого ряда нужно знакомить и с приемами сложения и вычитания, опирающимся на это свойство натурального ряда чисел. Дети учатся этим приемам прибавлять и вычитать единицу из числа, т.е. присчитывать и отсчитывать по 1.

Когда учащиеся овладели приемами присчитывания, учитель знакомит их с приемами отсчитывания.

Если приемами присчитывания ученики первого класса овладевают довольно быстро, то приемами отсчитывания - намного медленнее.

Трудность состоит в том, что прием отсчитывания основан на хорошем знании обратного счета, а обратный счет для многих учащихся первого класса труден. Кроме того, ученики плохо запоминают - сколько нужно отнять, сколько уже отняли, сколько ещё надо отнять.

При изучении каждого числа первого десятка учащиеся получают представление и о составе этих чисел.

В начале необходимо давать такие упражнения, в которых одно из слагаемых воспринимаются детьми наглядно, а второе они отыскивают по представлению.

При выполнении действий сложения и вычитания в пределах данного числа вводятся решение примеров с отсутствующим компонентом. Его обозначают точками, рамками, знаками вопросов и т.д., например:

I – 3, 4 +... = б, ? – 2 = 4. б - ? = 2.

Запишем 1-1=0 (отсутствие предметов обозначают цифры О) Решаются еще примеры, когда разность равна нулю.

Вводить число ноль в качестве вычитаемого, а потом и слагаемого следует на большом числе упражнений. Смысл действий с нулем будет лучше понять учащимся, если ноль в качестве вычитаемого и ноль в качестве слагаемого будет вводиться не одновременно. Затем проводятся упражнения на дифференциацию примеров, в которых ноль будет слагаемым и вычитаемым.
Учитель первого класса должен обращать внимание учащихся на то, что сумма всегда больше каждого из слагаемых, а остаток всегда меньше уменьшаемых.

Уменьшаемое больше или равно вычитаемому, в противном случае вычитание произвести нельзя.

Уже с первого класса ученики должны быть приучены к проверке правильности решения примеров.

Анализ учебника Моро

Обучающийся будет знать:

Конкретный смысл и название действий сложения и вычитания;

Знать и использовать при чтении и записи числовых выражений названия компонентов и результатов сложения и вычитания;

Знать переместительное свойство сложения;

Знать таблицу сложения в пределах 10 и соответствующие случаи вычитания;

Единицы длины: см и дм, соотношение между ними;

Единицу массы: кг.

Находить значение числовых выражений в 1 – 2 действия без скобок;

Применять приемы вычислений:

при сложении – прибавление по частям; перестановка чисел;

при вычитании – вычитание числа по частям и вычитание на основе знания соответствующего случая сложения;

Выполнять сложение и вычитание с числом 0;

Находить число, которое на несколько единиц больше или меньше данного;

Уметь решать задачи в одно действие на сложение и вычитание.

Обучающийся в совместной деятельности с учителем получит возможность научиться:

- группировать предметы по заданному признаку;

- решать ребусы, магические квадраты, круговые примеры, задачи на смекалку, головоломки, цепочки примеров, задачи-шутки, логические задачи;

- строить многоугольники, ломанные линии.

Познавательные УУД :

1. Ориентироваться в учебниках (система обозначений, структура текста, рубрики, словарь, содержание).

2. Осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий, используя справочные материалы учебника (под руководством учителя).

3. Понимать информацию, представленную в виде текста, рисунков, схем.

4. Сравнивать предметы, объекты: находить общее и различие.

5. Группировать, классифицировать предметы, объекты на основе существенных признаков, по заданным критериям .

Регулятивные УУД :

1. Организовывать свое рабочее место под руководством учителя.

2. Осуществлять контроль в форме сличения своей работы с заданным эталоном.

3.Вносить необходимые дополнения, исправления в свою работу, если она расходится с эталоном (образцом).

4. В сотрудничестве с учителем определять последовательность изучения материала, опираясь на иллюстративный ряд «маршрутного листа».

Коммуникативные УУД :

1. Соблюдать простейшие нормы речевого этикета: здороваться, прощаться, благодарить.

2. Вступать в диалог (отвечать на вопросы, задавать вопросы, уточнять непонятное).

3. Сотрудничать с товарищами при выполнении заданий в паре: устанавливать и соблюдать очерёдность действий, корректно сообщать товарищу об ошибках.

4.Участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный.

Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (сложения, вычитания).

Моделировать изученные арифметические зависимости.

Прогнозировать результат вычисления.

Контролировать и осуществлять пошаговый контроль правильности и полноты выполнения алгоритма арифметического действия.

Использовать различные приёмы проверки правильности нахождения числового выражения (с опорой на алгоритмы выполнения арифметических действий, прикидку результата).

Планировать решение задачи.

Объяснять выбор арифметических действий для решений.

Действовать по заданному плану решения задачи.

Использовать геометрические образы для решения задачи.

Контролировать : обнаруживать и устранять ошибки арифметического (в вычислении) характера.

Наблюдать за изменением решения задачи при изменении её условия.

Выполнять краткую запись разными способами, в том числе с помощью геометрических образов (отрезок, прямоугольник и др.).

Исследовать ситуации, требующие сравнения величин, их упорядочения.

Характеризовать явления и события с использованием величин.

11) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание на основе знания нумерации, случаи сложения и вычитания без перехода через разряд – включить обоснование приемов!!!).

Изучение нумерации и действий в пределах 20, т. е. второго и 1ентра, происходит во 2-м классе коррекционной школы.

Задачи второго концентра: дать понятие о десятке как новой единице; научить считать до 20, присчитывая и отсчитывать по единице, по десятку и равными числовыми группами (по 2, но 5, по 4); познакомить с десятичным составом числа; сформировать представление об однозначных и двузначных числах; научить обозначать числа от 1 до 20 цифрами; познакомить с принципом местного значения цифр; научить складывать и вычитать в приделах 20; дать понятие о новых действиях: умножении и делении; (ознакомить с табличным умножением и делением в пределах 20.

При подборе или изготовлении специальных пособий надо помнить, что на них необходимо показать десятичный состав чисел второго десятка, поэтому десяток и единицы должны быть ярко выделены.

К таким пособиям относятся: 20 палочек (10 палочек рассыпанных и 10, связанных в пучок, т. е. 1 десяток); 20 кубиков и 2 бруска из 10 кубиков; 20 квадратов и 2 полосы по 10 квадратов; линейка длиной 20 см, все картонные полоски длиной по 10 см каждая, разделенные на 10 равных частей; монетная касса; счеты классные и индивидуальные; разрядная таблица с разрядами единиц и десятков; цифровая касса; таблица с числами от 1 до 20, записанными в один и два ряда; таблицы для счета равными числовыми группами по 2, 3, 4, 5; таблица с числами от 1 до 20 с изображением четных и нечетных чисел разным цветом; набор табличек (10 штук) с числом 10 для составления и разложения чисел (на десятки и единицы) от 11 до 20; таблички с числом 20.

Основой в понимании нумерации чисел второго десятка является выделение десятка и ясное представление, что десяток - это десять единиц и в то же время это новая единица счета, которой можно считать так же, как единицами, добавляя к числам один, т. д. названия этой счетной единицы, например один десяток- десятка.

Над нумерацией чисел в пределах 20 складывается из нескольких этапов: 1) получение одного десятка; 2) получение второго десятка от 11 до 19 путем присчитывания к одному у нескольких единиц; 3) получение числа 20 из двух десят 1) письменная нумерация чисел от 11 до 20; 5) получение второго десятка путем присчитывания к предыдущему числу единицы и отсчитывания от последующего числа одной птицы.

Счет в пределах 20.

Вначале с учащимися нужно повторить нумерацию чисел пер1го десятка: получение чисел числового ряда путем прибавления к предшествующему числу и вычитания 1 из последующего, отношение между соседними числами, название чисел и их значение цифрами. Учитель обращает внимание учащихся на, что каждое число от 0 до 10 обозначается новым, не связан с другим, словом, а для обозначения каждого из чисел от О) 9 существует особый знак, который называется цифрой. Число м обозначается двумя цифрами 1 и 0. Учитель сообщает, что существует всего 10 цифр. Вначале повторяется счет единицами в пределах 10 и показывается получение десятка. Важно дифференцировать понятия «десять единиц» и «од > десяток». Десяток - это целое, единое.

Следующим этапом в работе над числами второго десятка яв- счет до 20. Учащиеся должны запомнить названия числительных в порядке числового ряда, считать предметы, их изобразить звуками, прыжками, удары мяча, сами отхлопывать заданное число несколько раз, отсчитывать заданное число предметов в приделах 20, счет ведется путем присчитывания и считывания по единице. При ознакомлении с нумерацией в пределах 20 целесообразно. , знакомить учащихся с единицей измерения дм.

Сложение и вычитание чисел в пределах 20 без перехода через разряд
Повторить десятичный состав чисел от 10 до 20, прямой и обратный счёт от 1 до 20

Закрепить вычислительные навыки в пределах 20 без перехода через разряд

(Числовой ряд).

Числовой ряд от 10 до 20, но в некоторых числах не хватает цифры.

каждый из вас должен из моего мешочка достать цифру, с закрытыми глазами угадать её и поставить на своё место.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Повторение десятичного состава числа

Учитель называет десятичный состав числа, а ученики показывают это число.

1дес.3ед., 1дес. 6ед., 1дес.9ед., 2дес., 1дес.2ед.,1дес.8ед.

Сколько десятков и единиц в числе 15? (В числе 15 - 1десяток и 5 единиц.)

Как можно получить число 15?

Математический диктант.

Учитель говорит пример, а ученики записывают только ответ.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Ответы: 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Проверка: один ученик читает ответы, а все остальные проверяют.

Подчеркните одной чертой однозначные числа.

Какие числа вы подчеркнули?

Решение текстовой задачи.

Задача: «Ребята на уроке труда готовили украшения на ёлку. В первый день они сделали 12 игрушек, а во второй – на 2 игрушки меньше. Сколько игрушек сделали ребята во второй день?

Работа над содержанием задачи.

О чём говорится в задаче?

Кто делал игрушки?

Сколько дней делали игрушки?

Составление краткой записи.

Сколько игрушек сделали в первый день?

Что говорится про второй день? (Сказано, что на 2 игрушки меньше)

Что спрашивается в задаче? (В задаче спрашивается, сколько игрушек сделали ребята во второй день?)

1 – 12 игр.

2 – ? игр., на 2 игр. меньше.

Поиск решения задачи.

Итак, сколько игрушек сделали в первый день? (12)

Что сказано про второй день?

Что значит «на 2 игрушки меньше?» (на 2 игрушки меньше – это столько же, сколько в первый день, но без двух).

Каким действием узнаем, сколько игрушек во второй день? (Вычитанием)

Как запишем решение задачи?

Ответили на вопрос задачи?

Запись решения задачи.

12 игр. – 2 игр. = 10 игр.

Запись ответа.

Ответ: 10 игрушек.

последовательность и приемы изучения сложения и вычитания в пределах 20.

I. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава числа (10+3, 13-3, 13-10) и нумерации чисел в пределах 20 (16+1, 17-1).

При решении этих примеров закрепляются взаимосвязь сложения и вычитания, переместительное свойство сложения, названия компонентов и результатов действий. При этом учащиеся постепенно перестают пользоваться наглядными пособиями, но от них требуется пояснение действий.

II. Сложение и вычитание без перехода через десяток.

Выполнение действий основано на разложении компонентов на десятки и единицы: к двузначному числу прибавляется однозначное. Из двузначного числа вычитается однозначное. Сначала нужно рассмотреть случаи, когда количество единиц в 1слаг. числе больше, чем во втором слагаемом (13+2, 1+3), и только потом включать случаи вида 11+6, 13+5, хотя их решения одинаковы,--5

Объяснение сопровождается использованием наглядных пособий и подробной записью решения, например: 13+2. Первое слагаемое (13) состоит из 1 десятка и 3 единиц: 1 десяток палочек и 1е 3 палочки. Второе слагаемое 2. Прибавляем 2 палочки. 3 палочки и 2 палочки - 5 палочек и 1 десяток палочек. Получить 1 десяток (палочек) и 5 единиц (палочек) - это число 15. шчит, 13+2=15. Подобным образом объясняются и случаи вы.

Важно постоянно подчеркивать, что складываются и вычитают-при решении таких примеров единицы. При записи примера 1ащиеся могут подчеркивать единицы: 14+2 = 16, 16-2 = 14. иногда целесообразно единицы и десятки записывать разным цветом. На доске их можно обводить кружочком.

При решении примеров на сложение закрепляется умение учащихся пользоваться переместительным законом сложения: решение примера 2 + 14 проводится на основе решения примера 14+2. Полезно сопоставлять примеры на сложение и вычитание в пределах 20 с примерами на те же действия в пределах 10:

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20:

Решение примеров такого вида, особенно на вычитание, вызывает значительные трудности у многих умственно отсталых школьников. Учащихся смущает то, что при сложении единиц в разряде единиц получается нуль. Разложив 20 на два десятка и вычтя из одного десятка заданное количество единиц, дети забывают этот результат прибавить к десятку и получают ошибочный ответ: 20-3 = 7.

Использование наглядных пособий, актуализация имеющихся знаний и опора на них помогают преодолеть эти трудности. Необходимо повторить таблицу сложения и вычитания в пределах 10. дополнение однозначного числа до десятка, вычитание из 10.

Объяснение сложения не представляет ничего нового по сравне нию с объяснением решения примеров вида 13+2, кроме образова ния 1 десятка: 5+5=10 (или 1 дес.); 1 дес. + 1 дес.=2 дес.=20. ^"Рассмотрим пример на вычитание: 20-3. В числе 20 нуль единиц, а нужно вычесть 3 единицы. Занимаем 1 десяток, раздроб ляем его на 10 единиц и вычитаем 3 единицы, получаем 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17. Проведенное рассуж-

Ш дение записывается так: 20-3=17.

В случае затруднений при понимании и приема вычислений объяснение можно провести с помощью палочек, связанных н пучки. Например, 20 - это 2 десятка (берем 2 пучка палочек) и нуль единиц. Занимаем 1 десяток и раздробляем его на 10 единиц (развязываем пучок палочек). 10 единиц минус 3 единицы получается 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17.

Решаются примеры на перестановку слагаемых, составляются по образцу, по аналогии:

Действия сложения и вычитания сопоставляются: 15+5=20; 20-5=15;

в) вычитание из двузначного числа двузначного: 15-12; 20-15. х Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц;

2. разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

Учащимся трудно знакомиться сразу с двумя приемами и даже трудно последовательно знакомиться сначала с одним, а потом с другим приемом. Умственно отсталые школьники самостоятельно не могут выбрать, когда целесообразнее использовать тот или иной прием. Поэтому знакомство с двумя, приемами только запутывает их. Лучше отработать хорошо один прием вычислений и научить учащихся самостоятельно пользоваться им.

Начало формы

Конец формы

12) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание с переходом через разряд; методика ознакомления с сочетательным свойством сложения, правилом вычитания числа из суммы и суммы из числа).

Сложение и вычитание в пределах 20.

Овладение вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании сложения и вычитания в пределах 10, знание нумерации и состава чисел в пределах 20.

При изучении действий сложения и вычитания в пределах 20, как и при изучении соответствующих действий в пределах 10, большое значение имеет наглядность и практическая деятельность с пособиями самих учащихся. Поэтому все виды наглядных пособий, используемых при изучении нумерации, найдут применение и при изучении арифметических действий.

Действия сложения и вычитания целесообразнее изучать параллельно после знакомства с определенным случаем сложения изучать соответствующий случай вычитания сопоставления со сложением.

Во втором классе учащиеся должны знать название компонентов действий сложения и вычитания.

1. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава чисел.

2. Сложение и вычитание без перехода через десяток:

а) к двухзначному числу прибавляется однозначное число. Из двухзначного числа вычитается однозначное число;

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20;

в) вычитание из двухзначного числа двухзначного: 15-12, 20-15.

Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. Разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц.

2. Разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

3. Сложение и вычитание с переходом через ряд представляет наибольшие трудности для учащихся, с психофизическими нарушениями. вычитание с переходом через десяток тоже требует ряд операций;

Уменьшаемое разложить на десяток и единицы

Вычитаемое разложить на два числа, одно из которых равно числу уменьшаемого единицы

Вычесть единицы

Вычесть из десятка оставшееся число единиц

Подготовительная работа должна заключаться в повторении:

а) таблица сложения и вычитания в пределах 10,

б) состава чисел первого десятка (всех возможных вариантов

из двух чисел)

в) дополнение чисел до 10

г) разложение двухзначного числа на десятки и единицы

д) вычитание из десяти однозначных чисел

е) рассмотрение случаев вида 17-8, 15-5.

учащиеся работают с составом чисел 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

ученик: «9+8=. Надо дополнить 9 до 10, 8 – это 1 и 7. 9 и 1 - это 10. Осталось прибавить 7, 10+7=17, значит, 9+8=17. Выполню другим способом 8+9=. 9 – это 2 и 7, 8+2=10, 10 +7=17, значит, 8+9=17. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Значит вычисление выполнено, верно. Запишем выражение в тетрадь 9+8=17.

ложение однозначных чисел с переходом через десяток

Вы­пол­ним сло­же­ние по ча­стям:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Ответ: 7 + 9 = 16.