Рассмотрим, какие вопросы теории и практического характера изучаются в теме «Арифметические действия», каков уровень их раскрытия и порядок введения.

Конкретный смысл арифметических действий , т. е. связи между операциями над множествами и соответствующими арифметическими действиями (например, связь между операцией объединения непересекающихся множеств и действием сложения). Знание конкретного смысла арифметических действий должно быть усвоено на уровне эмпирического обобщения: учащиеся должны научиться практически устанавливать связи между операциями над множествами и арифметическими действиями при нахождении в ряде случаев результатов арифметических действий, а также выбирая арифметические действия при решении текстовых арифметических задач.

Свойства арифметических действий. Это математические положения о тождественных преобразованиях математических выражений, в них отражается, при каких преобразованиях данного математического выражения его значение не изменяется. В начальный курс математики включены свойства, являющиеся теоретической основой вычислительных приемов.

В начальном курсе математики изучаются следующие свойства арифметических действий: переместительное и сочетательное свойства сложения, свойство вычитания числа из суммы, свойство вычитания суммы из числа, свойство вычитания суммы из суммы, переместительное и сочетательное свойства умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения, свойство деления суммы на число, свойство деление числа на произведение.

Свойства арифметических действий, предусмотренные программой, должны быть усвоены на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать их формулировку и практически применять их при обосновании вычислительных приемов, при решении задач, уравнений, упражнений на тождественные преобразования и др.

Другие свойства арифметических действий (существование и единственность результата, монотонность суммы и произведения и др.) раскрываются на уровне эмпирического обобщения: учащиеся практически оперируют ими, формулировка свойств не дается.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие, как выражается каждый из компонентов арифметических действий через результат и другой его компонент.

В начальном курсе математики сначала изучается связь между компонентами и результатом действия сложения, а затем - связи между компонентами и результатом действий вычитания, умножения и деления.

Знание связей должно быть усвоено на уровне понятийного обобщения: учащиеся должны знать соответствующую формулировку и практически использовать эти знания при решении уравнений и обосновании вычислительных приемов.

Изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов, т. е. математические положения, характеризующие, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения одного из его компонентов.

По отношению к этому материалу предусматривается эмпирический уровень обобщения: учащиеся, выполняя специальные упражнения, наблюдают соответствующие изменения и на конкретных примерах устанавливают либо характер изменения результатов арифметических действий в зависимости от увеличения или уменьшения одного из компонентов, либо устанавливают количественные изменения – как изменится результат, если увеличить или уменьшить один из компонентов на несколько единиц или в несколько раз. Такие наблюдения послужат в дальнейшем основой для введения понятия функции, вместе с тем они являются прекрасными упражнениями развивающего характера.

Отношения между компонентами и между компонентами и результатами арифметических действий. Это математические положения, отражающие отношения «больше», «меньше», «равно» либо между компонентами (уменьшаемое больше вычитаемого или равно ему), либо между компонентами и результатами арифметических действии (сумма может быть больше каждого из слагаемых, а может быть равна одному или каждому из слагаемых). Этот материал также усваивается на уровне эмпирического обобщения: учащиеся устанавливают соответствующие отношения, выполняя специальные упражнения. Знания названных отношений используются для проверки вычислений, они служат также целям функциональной пропедевтики.

Правила. Это, прежде всего положения, являющиеся следствиями из определения арифметических действий и их конкретного смысла: правила сложения и вычитания с числом 0, умножения и деления с числами 1 и 0, а также исторически сложившиеся положения – правила о порядке выполнения арифметических действий в математических выражениях. Учащиеся должны усвоить формулировку правил и уметь практически пользоваться ими.

Термины и символы. В связи с изучением названных вопросов, относящихся к теоретическому материалу, вводится соответствующая терминология и символика: название арифметических действий, символы их обозначающие и их название, название компонентов и результатов арифметических действий, название соответствующих математических выражений. Термины должны войти в активных словарь учащихся и использоваться ими при формулировке математических положений, учащиеся должны также научиться правильно пользоваться соответствующими символами. Термины и символы вводятся в тесной связи с изучением соответствующих арифметических действий.

Наряду с теоретическим материалом и в органической связи с ним рассматриваются вопросы практического характера: вычислительные приемы и решение арифметических задач . Вычислительные приемы – это приемы нахождения результатов арифметических действий. Вычислительные приемы раскрываются на основе явного использования соответствующих теоретических положений. Например, на основе переместительного свойства сложения вводится прием перестановки слагаемых. В каждом концентре изучаются вычислительные приемы над целыми неотрицательными числами соответствующего отрезка натурального ряда (в первом концентре – в пределах 10, во втором – в пределах 100 и т. д.). В концентре «Десяток» изучаются только приемы сложения и вычитания, а в остальных концентрах – приемы всех четырех арифметических действий.

Порядок введения всех названных вопросов подчиняется главной цели изучения арифметических действий – формированию осознанных, прочных, доведенных до автоматизма вычислительных навыков.

3. Общие положения методики формирования понятий и представлений об арифметических действиях у младших школьников.

Усвоение учащимися теоретического материала сводится к усвоению ими существенных сторон изучаемых математических положений на уровне обобщения, предусмотренном программой. Следовательно, вся деятельность учащихся по овладению знаниями должна быть направлена на выделение и осознание ими существенных сторон изучаемых теоретических положений. Это осуществляется главным образом путём выполнения учащимися соответствующей системы упражнений, которая подчиняется целям каждого из этапов формирования знаний. В методике формирования знаний выделяют следующие этапы: подготовительный этап, ознакомление с новым материалом, закрепление знаний.

На этапе подготовки к ознакомлению с новым теоретическим материалом , прежде всего, предусматриваются упражнения на воспроизведение ранее усвоенных знаний, которые являются средствами для усвоения нового знания. В большинстве случаев в этот период целесообразно создать в представлении детей «предметные модели» формируемых знаний с помощью выполнения операций над множествами. Например, до ознакомления с конкретным смыслом действия сложения следует провести достаточное количество упражнений на выполнение операции объединения непересекающихся множеств (к 4 мячам присоединить 3 мяча и узнать, сколько мячей станет), что в дальнейшем послужит основой для ознакомления со смыслом действия сложения.

На этапе ознакомления с новым материалом раскрываются существенные стороны изучаемых математических положений с помощью системы упражнений, выполняемых учащимися. При ознакомлении со свойствами арифметических действий, связями и зависимостями между их компонентами и результатами целесообразнее использовать метод эвристической беседы , подводя учащихся индуктивным путём к «открытию» соответствующей закономерности и убеждая в её справедливости с помощью средств наглядности. При ознакомлении с правилами, при введении терминологии и символики используется метод объяснения , т.е. учитель излагает материал, а учащиеся его воспринимают.

При ознакомлении индуктивным путём с конкретным смыслом арифметических действий, с их свойствами, связями и зависимостями между компонентами и результатами учащимся предлагаются такие упражнения, при выполнении которых проявляются соответствующие закономерности. Анализируя их, ученики выделяют существенные признаки формируемого знания и в зависимости от уровня его обобщения либо формулируют ряд частных выводов (при эмпирическом уровне), либо от них переходят к общему выводу (при понятийном уровне). При этом важно выделить не только существенные признаки, но и ряд несущественных признаков. Например, рассмотрим, как можно ознакомить с переместительным свойством умножения. Ученикам предлагается разложить в 4 ряда по 6 квадратов в каждом ряду и узнать общее количество квадратов, которые разложили. При этом обращается внимание учеников на то, что подсчёт общего числа квадратов можно осуществлять двумя способами: 6* 4 = 24 и 4* 6 = 24. При сравнении полученных записей, ученики устанавливают сходные признаки (даны произведения, одинаковые множители, значения произведений равны) и отличительные признаки (множители переставлены местами). Далее выполняются аналогичные упражнения, причем одно- два из них составляют дети. После выполнения достаточного количества упражнений на сравнение пар произведений ученики устанавливают, что во всех парах произведений одинаковые множители и значения произведений в каждой паре равны, при этом множители переставлены местами. Эти наблюдения позволяют ученикам прийти к обобщающему выводу, который является формулировкой переместительного свойства умножения: «Если множители поменять местами значение произведения не изменится».

При таком пути введения нового материала система упражнений должна отвечать ряду требований:

· Система упражнений должна обеспечивать наглядную основу формируемого знания. Поэтому при выполнении упражнений важно во многих случаях использовать наглядность: операции над множествами (в рассмотренном примере – объединение равночисленных непересекающихся множеств квадратов) и соответствующие математические записи (6* 4 = 24 и 4* 6 = 24). Это создаёт возможность для «открытия» самими детьми изучаемых закономерностей.

· Упражнения надо подбирать так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Так, для переместительного свойства умножения существенными признаками будут: в произведениях одинаковые множители, произведения отличаются порядком множителей, значения произведений равны; несущественными признаками являются сами числа и их отношение. Поэтому, подбирая пары произведений, надо брать их с различными числами, а числа в разном отношении (6* 4 и 4* 6; 2*5 и 5* 2; 7* 3 и 3* 7 и т.д.). Это позволит выделить ученикам не только существенные, но и несущественные признаки нового знания, что будет способствовать правильному обобщению.

· Следует предлагать учащимся самим составлять упражнения, аналогичные рассмотренным. Умение составлять такие упражнения будет свидетельствовать о том, что учащиеся выделили существенные стороны формируемого знания.

· При ознакомлении с новым материалом часто возникают ситуации, когда предшествующий опыт детей оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на овладение новым материалом. Это необходимо учитывать при введении нового материала и предусматривать специальные упражнения на сопоставление и противопоставление вопросов, имеющих какое-то сходство. Например, до изучения переместительного свойства умножения, надо повторить переместительное свойство сложения, и использовать ту же методику. В этом случае поможет аналогия при усвоении нового свойства. До изучения распределительного свойства умножения относительно сложения полезно повторить сочетательное свойство сложения, чтобы предупредить смешение этих свойств и появление ошибок при усвоении нового свойства.

Итак, в результате выполнения специальных упражнений учащиеся подводятся либо к обобщенной формулировке изучаемого математического положения, либо только к частным выводам.

На этапе закрепления знаний в результате выполнения учащимися системы упражнений на применение изученного материала, их знания обогащаются новым конкретным содержанием и включаются в систему уже имеющихся знаний. Закрепление знаний каждого математического положения совершается в результате выполнения учащимися специальной системы упражнений, подчиняющейся общим требованиям:

· Каждое упражнение системы должно иметь потенциальную возможность применения формируемого знания. Тогда ученик, выполняя их, будет всякий раз выделять существенные свойства формируемого знания и тем самым лучше усваивать его. При этом первыми надо включать такие упражнения, которые могут быть выполнены как на основе применения формируемых знаний, так и других ранее усвоенных знаний. Выполнение таких упражнений при соответствующей методике создаёт реальные возможности для обобщения формируемых знаний каждым учеником.

· Упражнения на применение знаний должны строиться на различном конкретном содержании (решение арифметических задач, сравнение математических выражений и др.). Это обеспечит формирование содержательных и гибких знаний, предупредит их формальное усвоение.

· Система упражнений должна обеспечить установление внутрипонятийных связей (связи между арифметическими действиями, между их свойствами и др.) и межпонятийных связей (связи между компонентами и результатами арифметических действий с решением уравнений). Этим и определяется включение нового знания в систему уже имеющихся знаний.

· Упражнений должно быть достаточное количество, чтобы была обеспечена прочность формируемых знаний.

· Упражнения должны быть доступны учащимся и располагаться от простого к сложному.

· В системе должны предусматриваться специальные упражнения, готовящие учеников к усвоению вопросов практического характера: выполнение вычислений, решение арифметических задач, решение уравнений и т.д.

· На этом этапе, больше, чем на предыдущем, должны быть предусмотрены упражнения на сопоставление и противопоставление нового материала и ранее усвоенного, что предупредит смешение сходных вопросов и поможет установлению внутрипонятийных и межпонятийных связей.

· При организации деятельности учащихся на этом этапе следует чаще использовать метод самостоятельных работ, всемерно способствовать умственному развитию учащихся.

· Кроме того, надо учесть, что младшие школьники лучше усваивают материал, если его включать в уроки небольшими частями, но достаточно длительное время.

Приложение №1

Арифметические действия

Приложение №2

Похожая информация.

Тип урока: ОНЗ.

Тема урока: «Прикидка результатов арифметических действий».

Основные цели:

1) сформировать представление о прикидке результатов арифметических действий, умение ее выполнять, познакомить учащихся со знаком « » » и с записью прикидки результата с помощью этого знака;

2) актуализировать алгоритм оценки частного, умение определять количество цифр в частном, смысл действий умножения и деления и взаимосвязь между ними;

3) тренировать умение решать составные уравнения с комментированием по компонентам действий, решать задачи на разностное и кратное сравнение чисел.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: обобщение, классификация.

Демонстрационный материал:

2) плакат с пословицей:

День сегодняшний – ученик вчерашнего

3) задания для актуализации знаний:

2160: 9 = 24;

567 · 3 = 1701;

1920: 2 = 960.

2160: 9 = 240;

1920: 2 = 960.

4) карточки с выражениями:

5) карточки с соотношениями:

6) карточка с двойным неравенством:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

7) карточки с шагами алгоритма прикидки результатов арифметических действий:

8) карточки с записями:

9) карточка с опорным сигналом:

Раздаточный материал:

1) листы с заданием:

2) карточки для работы в группах (по количеству групп) с шагами алгоритма:

3) конверты с вложенным «заданием от Стивенса»:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 · 540 = 12 900

4) эталон для самопроверки самостоятельной работы:

892468 – 596275 = 3993 ложно 892 468 – 596 275 » 900 000 – 600 000 = 300 000

72529 + 3456 = 97085 ложно 72 529 + 3456 » 80 000 + 4000 = 84 000

26312: 46 = 572

305 ∙ 540 = 12900 ложно 305 · 540 » 300 · 500 = 150 000

Так как первое, второе и четвертое равенства ложны, то верно третье равенство.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности

Цель :

1) включение учащихся в учебную деятельность – тренировать в понимании значения уметь учиться;

2) определить содержательные рамки урока: арифметические действия;

3) мотивация учащихся к учебной деятельности посредством анализа пословицы.

Организация учебного процесса на этапе 1 :

На доске висят смайлики прошлых уроков и плакат с пословицей Д–2.

– Прочитайте про себя записанную на доске пословицу. Как вы понимаете ее смысл. (…)

– Чему вы научились на последних уроках? (Делать оценку результатов арифметических действий.)

– Сегодня вы продолжите работу по анализу результатов арифметических действий, и полученные на предыдущих уроках знания помогут вам в этой работе.

По какому плану вы будете работать? (…)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

Цель:

1) актуализировать алгоритм оценки частного, умение определять количество цифр в частном, смысл действий умножения и деления и взаимосвязь между ними;

2) повторить действия с круглыми числами, умножение многозначного числа на однозначное;

3) тренировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение, классификация.

4) мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;

5) предъявить индивидуальное задание для пробного действия (прикидка частного);

6) организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;

7) организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения, демонстрирующего недостаточность имеющихся знаний, для осуществления прикидки частного;

8) организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1) Актуализация умения определять количество цифр в частном.

Учитель открывает записанные на доске числовые равенства (Д-3):

2160: 9 = 24

567 · 3 = 1701

1920: 2 = 960

– Посмотрите на доску и скажите, какое равенство, по вашему мнению, «лишнее»? (Второе, так как в нем действие умножения, а в остальных – действие деления.)

Один из учащихся или сам учитель стирает (закрывает) его с доски. На доске остаются равенства:

2160: 9 = 24

1920: 2 = 960

– Среди оставшихся равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. (Верным является третье равенство.)

– Как вы определили, что первые два равенства не верны? (В первом частном должно быть три цифры, а не две. Второе частное должно быть однозначным, а оно – двузначное.)

– Что помогло сделать такие выводы? (Правило определения количества цифр в частном.)

– Подумайте и исправьте допущенные ошибки. (Первое частное равно 240, а не 24; второе – равно 4, а не 40.)

– Докажите это. (240 ∙ 9 = 2160; 521 ∙ 4 = 2084.)

Учитель сам исправляет записи (вешает новый плакат) или просит сделать это кого-то из детей:

2160: 9 = 240

1920: 2 = 960

2) Повторение смысла умножения и деления, взаимосвязи между ними.

– Запишите верные равенства, которые можно составить с числами 240, 4 и 960.

Учащиеся могут работать на планшетках или в рабочих тетрадях. После обсуждения равенства открываются на доске:

240 · 4 = 960; 4 · 240 = 960; 960: 4 = 240; 960: 240 = 4

Д–5:

– Давайте вспомним, что значит: «умножить a на b »? (Найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a . )

– Что значит: «разделить a на b » ? (Найти такое число c , при умножении которого на b получается число a . )

3) Актуализация алгоритма оценки частного.

На доску вывешивается двойное неравенство (Д-6), предварительно с доски убирается все лишнее:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

– Скажите, верно выполнена оценка частного? (Нет, так как получилось, что частное больше 5, но меньше 4.)

– Как вы думаете, почему так получилось? (Неверно подобраны числа при нахождении верхней и нижней границ.)

– Исправьте ошибки, пользуясь алгоритмом оценки частного.

Один из учащихся выполняет оценку частного на доске, проговаривая шаги алгоритма оценки частного, остальные учащиеся могут работать в своих рабочих тетрадях:

900: 300 < 1040: 208 < 1200: 200

3 < 1040: 208 < 6

– Рассмотрите полученный результат. Какие точные значения частного возможны? (Получившемуся двойному неравенству удовлетворяют числа 4 и 5.)

– Как поверить, какое из них является частным от деления 1040 на 208? (Проверить с помощью умножения; по последней цифре.)

– Хорошо! Определите точное значение частного. (208 ∙ 5 = 1040, значит, 1040: 208 = 5.)

- Что вы сейчас повторили? (…)

4) Индивидуальное задание.

Листы Р–1 заданием лежат у каждого учащегося на столе:

– Как-то раз, проверяя домашнее задание, я обнаружила, что, выполняя деление 11 476 на 38, Женя получил в ответе 32, Сережа – 402, Коля – 302, а Борис – 2002. Надо за 30 секунд определить, кто из мальчиков получил отметку «5»?

Что нового в задании? (Надо быстро определить, какой из результатов верный.)

Сформулируйте свою цель и тему урока. (Цель: быстро определить, какой из результатов верный, тема урока: «Быстрый способ определения, какой ответ верный».)

Выполните задание за отведённое время.

Можно демонстративно засечь время выполнения задания при помощи песочных часов или таймера. Когда время закончится, учитель спрашивает детей:

У кого нет ответа?

Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли быстро определить, какой ответ верный.)

Кто может ответить, кто из мальчиков получил «пятерку»? (Коля, Сережа….)

Как вы можете обосновать свой ответ? Какое правило использовали для получения ответа?

Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать правильность своего результата.)

Что же делать? (Надо разобраться в сложившейся ситуации.)

3. Выявление места и причины затруднения.

Цель:

1) организовать восстановление выполненных операций и фиксацию (вербальную и знаковую) места – шага, операции, где возникло затруднение;

2) организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом, понятием и т.д.) и на этой основе организовать выявление и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи такого класса или типа.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание выполняли? (За короткое время пытались определить, какое из чисел является частным от деления 11 476 на 38.)

Как выполняли задание? (…)

Где возникло затруднение? (Было отведено мало времени.)

– Почему не справились с заданием? (Нет быстрого способа определения, какое число является частным.)

Что вы сейчас должны сделать? (Поставить цель, составить план действий.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель :

в коммуникативной форме о

Этап 4

Рганизовать построение учащимися проекта будущих учебных действий:

1. уточнение цели проекта (построить алгоритм прикидки результатов арифметических действий);

2. определение средств (алгоритмы, модели, учебник и т.д.);

3. построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Как в математике называют быстрый способ определения верности результатов арифметических действий (Оценкой.)

– Значит, какую цель вы поставите перед собой? (Придумать быстрый способ оценки результатов арифметических действий.)

– Быстрый способ приближенных вычислений называют «прикидкой». Это тема урока.

Учитель открывает тему урока на доске:

«ПРИКИДКА РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»

Что можно использовать при построении алгоритма? (Алгоритмы оценки результатов арифметических действий, правило определения количества цифр в частном.)

Что вы использовали при оценке результатов арифметических действий? (Круглые числа.)

Каков план действий? (На основе алгоритма оценки результатов арифметических действий построить новый способ действий для выполнения прикидки.)

5. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель :

1) организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний: алгоритм прикидки результатов арифметических действий;

2) создать условия для построения учащимися алгоритма прикидки результатов арифметических действий; зафиксировать его в речи, графической и знаковой форме (с помощью эталона), сформировать способность к его практическому использованию, познакомить учащихся со знаком «» »;

3) организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– Давайте попробуем сделать это вместе. Рассмотрите деление 11 476 на 38.

Что можно сделать с делимым и делителем? С какими числами удобно работать? (Заменить делимое и делитель близкими по значению круглыми числами: 11 476 – числом 12 000, а 38 – числом 40.)

– Что получится частное? (300.)

– Это точное значение частного? (Нет, приближенное, но близкое по значению к искомому.)

– Можем ли вы использовать этот результат, чтобы определить, кто из мальчиков получил отметку «5»? (Отметку «5» получил Коля, так как его частное от деления равно 302.)

– Сумели быстро ответить на поставленный вопрос? (Да.)

– Что вы для этого сделали? (Мы выполнили деление, заменив данные числа удобными круглыми числами.)

– Что значит: удобными ? (Во-первых, они близки по значению данным, а во-вторых, их деление свелось к табличному.)

– Как вы думаете, можно ли этим способом выполнить прикидку результатов других действий? (Можно.)

– Теперь сядьте по группам. Ваша задача: сконструировать общий алгоритм прикидки результатов арифметических действий, расположив шаги алгоритма в нужном порядке. За работу!

Учащиеся рассаживаются по группам. Каждой группе выдаются карточки Р–2 с шагами алгоритма. Группа учащихся, выполнившая задание раньше всех, приглашается к доске для фиксации своего варианта алгоритма, независимо от его правильности.

– Обратите внимание на алгоритм, предложенный вашими одноклассниками. Согласны ли вы с их мнением? Есть ли другие варианты? (…)

После обсуждения на доске фиксируется согласованный вариант искомого алгоритма, например:

– Вернитесь на свои места. Прочитайте получавшийся алгоритм хором.

Дети читают хором шаги алгоритма.

– Что вы будете понимать под «удобными числами»? (Под «удобными числами» мы будем понимать числа, которые, во-первых, близки по значению, а во-вторых, удобны для вычислений.)

– А для чего третий шаг? (Прикидка ведь делается для чего-то, с помощью нее мы отвечаем на поставленный вопрос.)

– Молодцы! Вам остается придумать и записать опорный конспект к новому алгоритму. Предложите свой вариант.

Учащиеся придумывают и фиксируют на своих планшетках или выданных листах бумаги свои варианты опорных конспектов. Можно предоставить им полную свободу творчества в плане выбора символов для обозначений, а можно договориться о них сразу.

– Так как вы составили единый алгоритм прикидки результата для всех арифметических действий, давайте знак действия обозначим «звездочкой».

На доске фиксируется символ: *.

– Осталось придумать обозначение «удобных» чисел и знак приближенного равенства.

Можно выслушать предложения детей и выйти на нужное обозначение, которое так же фиксируется на доске: *, а , » .

После окончания работы учитель просит детей поднять планшетки или листы и показать, что у них получилось, а затем организует обсуждение предложенных вариантов. После этого на доску вывесить ранее заготовленный опорный сигнал Д–9:

– Выполнили вы свою задачу? (Не до конца, нужно еще потренироваться в его использовании.)

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель :

зафиксировать в речи изученное учебное содержание: алгоритм прикидки арифметических действий, тренироваться в применении, построенного алгоритма при выполнении задания.

Организация учебного процесса на этапе 6:

1) – Вначале ответьте устно с помощью построенного алгоритма на вопрос: «Реально ли проехать на автомобиле расстояние 1543 км за 48 часов?». Как это сделать? (Надо прикинуть скорость движения автомобиля.)

– С чего начнете? (Составим выражение для нахождения скорости. Так как скорость равна пройденному пути, деленному на время движения, то получится выражение 1543: 48.)

Учитель выставляет на доске карточку с записью:

1543: 48

– Что сделаете потом? (Прикидку частного. Для этого вначале заменим числа 1543 и 48 удобными круглыми числами – 1500 и 50, затем выполним деление и получим число 30.)

По ходу ответов учитель выставляет на доске карточку с частным 1500: 50 и дописывает результат прикидки:

– В чем заключается последний шаг алгоритма? (Анализируем полученный результат и делаем вывод.)

– Какой вывод вы сделаете в данном случае? (Преодолеть 1543 км за 48 часов реально, так как скорость автомобиля может быть равна 30 км/ч. Так как скорость автомобиля, вообще говоря, может быть и большей, то можно проехать это расстояние и за меньшее время.)

2) № 1, стр. 28 (устно).

а) 248 и 702 заменяем удобными числами – 200 и 700. 200 · 700 =140 000. Значит, в ответе получается шестизначное число, а у Веры – пятизначное число.

б) Число 42 300 заменим удобным числом 42 000, а число 6 оставим без изменения. Тогда

42 000: 6 = 7000, а у Володи получился ответ почти в 10 раз меньше.

3) № 3 (1) , стр . 29.

603 · 490 ≈ 600 · 500 = 300 000 6 0 3

4 9 0

5 4 2 7

2 4 1 2

2 9 5 4 7 0

Задание выполняется одним из учащихся на доске с комментированием, остальные дети работают в тетрадях.

3) № 4 (1) , стр . 29.

Работа с данным заданием проводится в парах с комментированием в громкой речи.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель:

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися заданий на новый способ действий: проверить свое умение производить прикидку результатов арифметических действий.

2) организовать самооценку детьми правильность выполнения задания (при необходимости – коррекцию возможных ошибок).

Организация учебного процесса на этапе 7:

Что вы теперь должны сделать? (Проверить свои знания.)

Что вам поможет проверить свои знания? (Самостоятельная работа.)

– У вас на столах лежат конверты с посланием от вашего старого мудрого знакомого. Как вы думаете, от кого? (От Стивенса!)

– Еще одну свою загадку Стивенс предлагает отгадать сегодня каждому из вас. Достаньте из конвертов задание.

Учащиеся вынимают из конвертов, лежащих на столах, листы с числовыми равенствами Р–3:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 · 540 = 12 900

– Известно, что среди данных примеров только один решен верно. Сумейте отыскать его за 1 минуту. Можете работать на этих же листах. Начали!

Здесь так же можно засечь время с помощью песочных часов. Учащиеся обозначают неверные равенства знаком минус прямо на листах с заданием. После окончания времени, отведенного на выполнение самостоятельной работы, детям раздаются эталоны для самопроверки, по которым они проверяют свои результаты.

– Стоп! Ваше время закончилось. Проверьте себя по эталону для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?».

Как вы выполняли задание?

– Кто испытал затруднение при выполнении задания? (…)

– В чем причина? (Не смогли подобрать «удобные» числа; допустили вычислительные ошибки и т.п.)

– Поднимите руки, у кого все верно. (…)

– Вы молодцы! Поставьте себе «+»!

8. Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

тренировать способность к решению задач на разностное и кратное сравнение чисел, решению составных уравнений с комментированием по компонентам действий.

Организация учебного процесса на этапе 8:

1) № 6, стр. 29.

Анализ задачи:

Известно… Надо найти…

Чтобы узнать, сколько всего было деревьев в роще, надо найти сумму деревьев всех видов.

Из условия известно только количество берез – 240, а количество остальных деревьев не известно, но их можно найти. Сказано, что кленов было на 93 меньше, чем берез, то есть 240 – 93. Чтобы узнать количество сосен, надо удвоить полученное число кленов. Сложим количество берез и сосен и разделим на 3 – получим количество елей. Для ответа на вопрос задачи надо сложить полученные числа.

1) 240 – 93 = 147 (д.) – количество кленов;

2) 147 · 2 = 294 (д.) – количество сосен;

4) 534: 3 = 178 (д.) – количество елей;

Известно, что подберезовиков было в 4 раза больше, чем белых. Значит, чтобы найти их количество, надо полученное число белых грибов умножить на 4.

Чтобы найти количество подосиновиков, из 34 вычтем найденное число подберезовиков.

1) 38 – 34 = 4 (г.) – белых;

2) 4 · 4 = 16 (г.) – подберезовиков;

3) 34 – 16 = 18 (г.)

Ответ: из леса принесли 4 белых гриба, 16 подберезовиков и 18 подосиновиков.

– Прочитайте условия задач и выберите ту задачу, которую вам хочется решить.

Учащиеся читают условия задач и делают свой выбор.

– Поднимите руки те, кто будет решать первую задачу. (…)

– А теперь поднимите руки те, кто будет решать вторую задачу. (…)

Двое учащихся работают самостоятельно на скрытых досках, остальные выполняют решение в рабочих тетрадях. В завершение те, кто работал у доски, обосновывают заполнение схемы, проводят анализ задачи и объясняют решение. В завершение, учитель организует согласование представленных вариантов решения со всеми учащимися класса.

2) № 8 (а), стр. 29.

(920 – х ) : 20 Å 25 = 63 Последнее действие – сложение, не известно слагаемое.

(920 – х ) : 20 = 63 – 25 Чтобы найти слагаемое, надо из суммы вычесть известное

Слагаемое. (920 – х ) : 20 равно разности 63 и 25, или 38.

(920 – х ) : 20 = 38 Последнее действие – деление. Не известно делимое. Чтобы

920 – х = 38 · 20 найти делимое, надо частное умножить на делитель. 920 – х

Равно произведению 38 и 20, или 760.

920 – х = 760 Не известно вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, надо из

х = 920 – 760 уменьшаемого вычесть разность. х равен разности 920 и 760,

х = 160 или 160.

(920 – 160) : 20 + 25 = 63 Проверка : подставим число 160 в данное уравнение вместо х .

38 + 25 = 63 920 – 160 = 760, 760: 20 = 38, 38 + 25 = 63. Итак, значение

63 = 63 (и) выражения в левой части равенства равно числу, стоящему в

правой части. Равенство истинно, следовательно, уравнение

Решено верно.

Один учащийся работает на доске с комментированием, а остальные дети – в тетрадях.

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся;

3) оценить собственную деятельность на уроке;

4) зафиксировать неразрешенные на уроке затруднения, если они есть, как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 9:

– Что нового вы сегодня узнали? (Как выполнять «прикидку результатов арифметических действий».)

– Что означает термин «прикидка»? (Способ быстрых приближенных вычислений.)

– Как делают прикидку? (Заменяют числа удобными круглыми числами, а затем выполняют действие.)

Можно попросить детей придумать ситуации из жизни, в разрешении которых поможет прикидка результатов арифметических действий.

– С каким новым математическим знаком вы познакомились на уроке? («Приближенно равно».)

– Для чего он используется? (Для записи результата неточных вычислений.)

– У кого остались вопросы на конец урока?

– Кто считает, что он хорошо разобрался в теме? (…)

– Как вы думаете, над чем надо поработать дома? (…)

Домашнее задание:

→ Арифметические действия

Арифметические действия

Нахождение по нескольким данным числам одного нового числа называется арифметическим действием . В арифметике рассматривается шесть действий: сложение , вычитание , умножение , деление , возведение в степень , извлечение корня .

1. Сложение . Это действие состоит в том, что по нескольким числам, называемым слагаемыми , находится число, называемое их суммой .

Пример : 4+3=7, где 4 и 3 – слагаемые, а 7 – их сумма.

2. Вычитание – действие, посредством которого по данной сумме (уменьшаемое ) и данному слагаемому (вычитаемое ) находят искомое слагаемое (разность ).
Это действие обратно сложению.

Пример : 7 – 3 = 4, где 7 – уменьшаемое, 3 – вычитаемое, а 4 – разность.

3. Умножение. Умножить некоторое число (множимое ) на целое число (множитель ) – значит повторить множимое слагаемым столько раз, сколько единиц содержится в множителе. Результат умножения называется произведением .

Пример : 2 ∙ 3 = 6, где 2 – множимое, 3 – множитель, а 6 – произведение. (2 ∙ 3 = 2 + 2+ 2 = 6)

Если множитель и множимое меняются ролями, то произведение остается тем же. Поэтому множитель и множимое также называются сомножителями .

Пример : 2 ∙ 3 = 3 ∙ 2, то есть (2 + 2 + 2 = 3 + 3)

Полагают, что если множителем является 1, то a ∙ 1 = a.

Например : 2 ∙ 1 = 2, 44 ∙ 1 = 44, 13 ∙ 1 = 13.

4. Деление. Посредством деления по данному произведению (делимое ) и данному сомножителю (делитель ) находят искомый сомножитель (частное ).
Это действие обратно умножению.

Пример : 8: 2 = 4, где 8 – делимое, 2 – делитель, а 4 – частное.

Проверка деления : произведение делителя 2 и частного 4 дает делимое 8. 2 ∙ 4 = 8

Деление с остатком

Если при делении целого числа на целое число в частном получается целое число, то такое деление целых чисел называется точным , или, что первое число нацело делится (или просто – делится) на второе.

Например : 35 делится (нацело) на 5, частное есть целое число 7.

Второе число при этом называется делителем первого, первое же – кратным второго.

Во многих случаях можно, не выполняя деления, узнать, делится ли нацело одно целое число на другое (см. признаки делимости).

Точное деление возможно далеко не всегда. В таком случае выполняют так называемое деление с остатком . В этом случае находят такое наибольшее число, которое при умножении на делитель даст произведение, не превосходящее делимого. Это число называется неполным частным . Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком от деления .
Делимое равно делителю, умноженное на неполное частное, плюс остаток. Остаток всегда меньше делителя.

Пример : Неполное частное от деления числа 27 на 4 равно 6, а остаток равен 3. Очевидно, 27 = 4∙6 + 3 и 3˂4.

5. Возведение в степень. Возвести некоторое число в целую степень (во вторую, в третью и т.д.) – значит взять это число сомножителем два, три раза и т.д. Иначе говоря, возведение в степень выполняется повторным умножением.
Число, которое берётся сомножителем, называется основанием степени ; число, показывающее, сколько раз повторяется основание, называется показателем степени ; результат возведения числа в степень называется степенью этого числа.

Пример : 2∙2∙2 = 2³ = 8; где 2 – основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.

Вторую степень числа иначе называют квадратом , третью степень – кубом . Первой степенью числа называют само это число.

6. Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени (подкоренное число ) и данному показателю степени (показатель корня ) находят искомое основание (корень ).
Это действие обратно возведению в степень.

Пример : ³√64 = 4; где 64 – подкоренное число, 3 – показатель корня, 4 – корень.

Проверка извлечения корня : 4³=64. Возведение числа 4 в 3-ю степень даёт 64.

Корень второй степени иначе называют квадратным ; корень третьей степени – кубическим .
При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √36 = 6 означает ²√36 = 6.

Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике - Выгодский М.Я., "Наука", 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9-11 кл. - Шахно К. У., "Учпедгиз", 1961 г.

Лекция 7. Вычислительные приемы сложения и вычитания для чисел первого и второго десятка

1. Основные понятия.

2. Вычислительные приемы для чисел первого десятка.

3. Вычислительные приемы для чисел второго десятка.

Основные понятия

В начальной школе изучают четыре арифметических действия: в 1 классе дети знакомятся со сложением и вычитанием, во 2 - с умножением и делением.

Сложение и вычитание называют действиями первой ступени. Умножение и деление называют действиями второй ступени.

Символ сложения - знак «+» (плюс), символ вычитания - знак «-» (минус). Символ умножения - знак «х», который на письме часто заменяется точкой, стоящей в центре клетки « ». Символ деления - знак «:». В старших классах в качестве символа деления используют также горизонтальную черту (в печатных текстах часто заменяемую на наклонную черту), рассматривая запись вида 3 / 4 , У 2 как запись деления.

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. В связи с этим, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия сложения:

1. Возьми три морковки и два яблока (наглядность). Положи их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

2. На полке стоит 2 чашки и 4 стакана. Обозначь чашки кружками, стаканы квадратиками. Покажи сколько их вместе. Сосчитай.

3. Из вазы взяли 4 конфеты и 1 вафлю. Обозначь их фигурками и покажи, сколько всего сладостей взяли из вазы. Сосчитай.

Все три ниже предлагаемые ситуации моделируют объединение двух множеств.

1. У Вани 3 значка. Обозначь значки кружками. Ему дали еще и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Надо 2добавить.) Сделай это. Сосчитай результат.

2. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначь грузовики квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначь легковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? На день рождения ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками. Покажи, на сколько больше.

3. В одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначь карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки - красными палочками. Покажи, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? В какой меньше? На сколько?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия сложения: 6 + 2 = 8.

Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных действий:

а) удаление части совокупности (множества);

б) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

в) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

г) разностное сравнение двух множеств.

Приведем задания, которые ребенок должен научиться выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия вычитания:

1. Удав нюхал цветы на полянке. Всего цветов было 7. Обозначь цветы кружками. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на 2 цветка. Что надо сделать, чтобы это показать? Покажи, сколько цветов теперь сможет понюхать Слоненок.

2. У Мартышки было 6 бананов. Обозначь их кружками. Несколько бананов она съела и у нее стало на 4 меньше. Что надо сделать, чтобы это показать? Почему ты убрал 4 банана? (Стало на 4меньше.) Покажи оставшиеся бананы. Сколько их?

3. У жука 6 ног. Обозначь количество ног жука красными палочками. А у слона ног на 2 меньше. Обозначь количество ног слона зелеными палочками. Покажи, у кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

4. На одной полке стоит 5 чашек. Обозначь чашки кружками. А на другой полке - 8 стаканов. Обозначь стаканы квадратиками. Поставь их так, чтобы сразу было видно, чего больше - стаканов или чашек. Чего меньше? На сколько?

Следующие задания приведены в соответствии с видами предметных действий, указанных выше.

Символически данные ситуации описываются с помощью действия вычитания: 8-5 = 3.

После того, как ребенок научится понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте то, о чем говорится в задании кружками (палочками и т. п.);

2) обозначьте указанное число кружков (палочек) цифрами;

3) поставьте между ними нужный знак действия. Например:

В вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте цифрами число белых тюльпанов и число розовых тюльпанов. Какой знак нужно поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одной вазе!

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют «математическое выражение». Она

характеризует количественные признаки ситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей.

Число 7, получаемое в ответе, называют значением выражения.

Запись вида 3 + 4 = 7 называют равенством. Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение полного равенства с записью значения выражения:

выражение \

значение выражения

равенство

Прежде чем переходить к равенству, полезно предлагать детям задания:

а) на соотнесение ситуации и выражения (подбери выражение к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением - ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе);

б) на составление выражений по ситуациям (составь выражение в соответствии с ситуацией).

После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор, можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

В стабильном учебнике математики действия сложения и вычитания изучаются одновременно. В некоторых альтернативных учебниках (И.И. Аргинская, Н.Б. Истомина) сначала изучается сложение, а затем - вычитание.

Выражение вида 3 + 5 называют суммой.

Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.

Запись вида 3 + 5 = 8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например:

Найдите сумму чисел 4 и 6. (Ответ: сумма чисел 4 и 6 - это 10.)

Выражение вида 8-3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 - вычитаемым.

Значение выражения - число 5 также могут называть разностью.

Например:

Найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 - это 2.)

Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи. Например:

1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:

3 + 2; 7 - 3; 6 + 3; 8 + 1; 3 + 5; 3 - 2; 7 - 3; 3 + 4; 3 - 1.

2. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое, вычитаемое) равно 5. Найдите его значение.

3. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых разность равна 2. Подчеркните их синим цветом.

4. Как называют число 4 в выражении 5 - 4? Как называют число 5? Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому же числу.

5. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.

6. Найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий сложения и вычитания:

Сложение можно проверить вычитанием: 57 + 8 = 65. Проверка: 65-8 = 57.

Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит, сложение выполнено верно.

Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами).

Вычитание можно проверить сложением: 63 - 9 =54. Проверка: 54 + 9 = 63.

К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит, вычитание выполнено верно.

Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания: ш

Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое.

Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое.

Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений, которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения соответствующего неизвестного компонента равенства.

Например:

Решите уравнение 24 - х= 19.

В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: х = 24 - 19, х = 5.

Для действительных чисел можно определить арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.

На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.

В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I – V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже – в § 2.5.