Основные свойства сложения и умножения чисел.

Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство

Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство

Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство

Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Для любых чисел а, b и c верно равенство

Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.

Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Пример 2 Найдём значение произведения 1,8·0,25·64·0,5.

Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:

Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.

Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.

Пример 4 Вычислим произведение 36·().

Множитель можно рассматривать как сумму чисел и -. Используя распределительное свойство умножения, получим:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Тождества

Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3·9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.

Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:

Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то

Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.

Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.

Тождествами считают и верные числовые равенства.

Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Можно привести и другие примеры тождеств:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тождественные преобразования выражений

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;

если перед скобками стоит знак "плюс", то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;

если перед скобками стоит знак "минус", то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.

Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).

Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "плюс":

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак "минус":

a-(4b-c)=a-4b+c.

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое -(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Применив указанные свойства действий, получим:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Тема № 2.

Преобразование алгебраических выражений

I . Теоретический материал

Основные понятия

Алгебраическое выражение: целое, дробное, рациональное, иррациональное.

Область определения, допустимые значения выражения.

Значение алгебраического выражения.

Одночлен, многочлен.

Формулы сокращенного умножения.

Разложение на множители, вынесение за скобки общего множителя.

Основное свойство дроби.

Степень, свойства степени.

Корtym, свойства корней.

Преобразование рационального и иррационального выражений.

Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень, извлечения корня и с помощью скобок называется алгебраическим.

Например : ;
;
;

;
;
;
.

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то оно называется целым.

Например :
;
;
.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то оно называется дробным .

Например :
;
.

Целые и дробные выражения называются рациональными выражениями.

Например : ;
;

.

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то такое алгебраическое выражение называется иррациональным.

Например :
;
.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменных .

Множество всех допустимых значений переменных называется областью определения .

Областью определения целого алгебраического выражения является множество действительных чисел.

Областью определения дробного алгебраического выражения является множество всех действительных чисел, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль.

Например : имеет смысл при
;

имеет смысл при
, то есть при
.

Областью определения иррационального алгебраического выражения является множество всех действительных чисел, кроме тех, которые обращают в отрицательное число выражение, стоящее под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень.

Например :
имеет смысл при
;

имеет смысл при
, то есть при
.

Числовое значение, полученное при подстановке в алгебраическое выражение допустимых значений переменных, называется значением алгебраического выражения .

Например : выражение
при
,
принимает значение
.

Алгебраическое выражение, содержащее только числа, натуральные степени переменных и их произведения, называется одночленом.

Например :
;
;
.

Одночлен, записанный в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных, приведен к стандартному виду .

Например :
;
.

Числовой множитель стандартной записи одночлена называется коэффициентом одночлена . Сумма показателей степеней всех переменных называется степенью одночлена .

При умножении одночлена на одночлен и при возведении одночлена в натуральную степень получаем одночлен, который нужно привести к стандартному виду.

Сумма одночленов называется многочленом .

Например :
; ;
.

Если все члены многочлена записаны в стандартном виде и выполнено приведение подобных членов, то полученный многочлен стандартного вида .

Например : .

Если в многочлене только одна переменная, то наибольший показатель степени этой переменной называется степенью многочлена .

Например : многочлен имеет пятую степень.

Значение переменной, при которой значение многочлена равно нулю, называется корнем многочлена .

Например : корнями многочлена
являются числа 1,5 и 2.

Формулы сокращенного умножения

Частные случаи использования формул сокращенного умножения

Разность квадратов:
или

Квадрат суммы:
или

Квадрат разности:
или

Сумма кубов:
или

Разность кубов:
или

Куб суммы:
или

Куб разности:
или

Преобразование многочлена в произведение нескольких сомножителей (многочленов или одночленов) называется разложением многочлена на множители.

Например: .

Способы разложения многочлена на множители

Например : .

Использование формул сокращенного умножения .

Например : .

Способ группировки . Переместительный и сочетательный законы позволяют группировать члены многочлена различными способами. Один из способов приводит к тому, что в скобках получается одинаковое выражение, которое в свою очередь выносится за скобки.

Например: .

Любое дробное алгебраическое выражение можно записать в виде частного двух рациональных выражений с переменной в знаменателе.

Например :
.

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются рациональными выражениями и в знаменателе есть переменная, называется рациональной дробью .

Например :
;
;
.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен, то значение дроби не изменится. Данное выражение называется основным свойством дроби:

.

Действие деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, называется сокращением дроби :

.

Например :
;
.

Произведение n множителей, каждый из которых равен а, где а – произвольное алгебраическое выражение или действительное число, а n – натуральное число, называется степенью а :

.

Алгебраическое выражение а называется основанием степени , число
n – показателем .

Например :
.

Полагают по определению, что для любого а , не равного нулю:

и
.

Если
, то
.

Свойства степени

1.
.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
.

Если ,
, то выражение, n -я степень которого равна а , называется корнем n -й степени из а . Его принято обозначать
. При этом а называется подкоренным выражением , n называется показателем корня .

Например :
;
;
.

Свойства корня n -й степени из а

1.
.

2.
,
.

3.
.

4.
.

5.
.

Обобщая понятие степени и корня, получают понятие степени с рациональным показателем:

.

В частности,
.

Действия, производимые с корнями

Например : .

II . Практический материал

Примеры выполнения заданий

Пример 1 . Найдите значение дроби
.

Ответ: .

Пример 2 . Упростите выражение
.

Преобразуем выражение в первых скобках:

, если
.

Преобразуем выражение во вторых скобках:

.

Разделим результат из первой скобки на результат из второй скобки:

Ответ:

Пример 3 . Упростите выражение:

.

Пример 4 . Упростите выражение .

Преобразуем первую дробь:

.

Преобразуем вторую дробь:

.

В результате получим:
.

Пример 5. Упростите выражение
.

Решение. Выполним решение по действиям:

1)
;

2)
;

3)
;

6)
;

Ответ:
.

Пример 6. Докажите тождество
.

1)
;

2)
;

Пример 7. Упростите выражение:

.

Решение. Выполняем по действиям:

;

2)
.

Пример 8. Докажите тождество
.

Решение. Выполняем по действиям:

1)
;

2)

;

3)
.

Задания для самостоятельной работы

1. Упростите выражение:

а)
;

б)
;

2. Разложите на множители:

а)
;

б)
;.Документ

Тема № 5.1. Тригонометрические уравнения I. Теоретический материал Основные понятия Тригонометрическое уравнение... с помощью различных алгебраических и тригонометрических формул и преобразований . II. Практический материал Примеры выполнения заданий...

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Тождественные преобразования выражений и методика обучения учащихся их выполнению

Исполнитель:

Студентка Стародубова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

1 Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований

Заключение

Литература

Введение

Простейшие преобразования выражений и формул, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся в начальной школе и 5 и 6 классах. Формирование умений и навыков выполнения преобразований происходит в курсе алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования.

1. Основные типы преобразований и этапы их изучения. Этапы освоения применения преобразований

1. Начала алгебры

Используется нерасчлененная система преобразований, представленная правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы. Цель – достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функции, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действий.

Типичные примеры:

Решить уравнения:

а) ; б) ; в) .

Тождественное преобразование (а); равносильное и тождественное (б).

2. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований

Выводы: формулы сокращенного умножения; преобразования, связанные с возведением в степень; преобразования, связанные с различными классами элементарных функций.

Организация целостной системы преобразований (синтез)

Цель – формирование гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий . Переход к этому этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований к ранее изученным видам добавляют преобразования тригонометрических выражений. Все эти преобразования можно назвать “алгебраическими” к “аналитическим” преобразованиям можно отнести те из них, в основе которых лежат правила дифференцирования и интегрирования и преобразования выражений, содержащих предельные переходы. Отличие этого типа – в характере множества, которое пробегают переменные в тождествах (определенные множества функций).

Изучаемые тождества подразделяются на два класса:

I – тождества сокращенного умножения, справедливые в коммутативном кольце и тождества

справедливого в поле.

II – тождества, связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.

2 Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации системы заданий – предъявление их от простого к сложному.

Цикл упражнений – соединение в последовательности упражнений нескольких аспектов изучения и приемов расположения материала. При изучении тождественных преобразований цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассматриваемого тождества . Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях. Задания в каждом цикле разбиты на две группы . К первой относятся задания, выполняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они служат учебным материалом для нескольких идущих подряд уроков, объединенных одной темой.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанные структуры цикла относятся к этапу формирования навыков применения конкретных преобразований.

На этапе синтеза циклы изменяются, происходит объединение групп заданий в сторону усложнения и слияния циклов, относящихся к различным тождествам, что способствует повышению роли действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

Пример.

Цикл заданий для тождества:

I группа заданий:

а) представить в виде произведения:

б) Проверить верность равенства:

в) Раскрыть скобки в выражении:

.

г) Вычислить:

д) Разложить на множители:

е) упростить выражение:

.

Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества, его записью в виде тождества, доказательством.

Задание а) связано с фиксированием структуры изучаемого тождества, с установлением связи с числовыми множествами (сопоставление знаковых структур тождества и преобразуемого выражения; замещение буквы числом в тождестве). В последнем примере еще предстоит выполнить приведение его к изучаемому виду. В следующих примерах (д и ж) происходит усложнение, вызванное прикладной ролью тождества и усложнением знаковой структуры.

Задания типа б) направлены на формирование навыков замены на . Аналогична роль задания в).

Примеры типа г), в которых требуется выбрать одно из направлений преобразования, завершает развитие этой идеи.

Задания I группы ориентированы на усвоение структуры тождества, операции замещения в простейших, принципиально наиболее важных случаях, и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством. Очень важное значение имеет также обогащение языковых средств, показывающих различные аспекты тождества. Представление об этих аспектах дают тексты заданий.

II группа заданий.

ж) Используя тождество при , разложить на множители многочлен .

з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби .

и) Доказать что если - нечетное число, то делится на 4.

к) Функция задана аналитическим выражением

.

Избавиться от знака модуля, рассмотрев два случая: , .

л) Решить уравнение .

Эти задания направлены на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тождества, предполагают сформированность навыков использования изучаемого тождества для разности квадратов. Цель – углубить понимание тождества за счет рассмотрения разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

или .

Особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций:

1) они изучаются на базе функционального материала;

2) появляются позже тождества первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

В первую группу заданий цикла должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.

Пример.

Вычислить:

;

.

Цель таких заданий – освоение особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.

Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и транцендетных уравнений. Последовательность шагов:

а) найти функцию φ, для которой данное уравнение f(x)=0 представимо в виде:

б) произвести подстановку y=φ(x) и решить уравнение

в) решить каждое из уравнений φ(x)=y k , где y k -множество корней уравнения F(y)=0.

При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для φ(x). Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.

Пример. Решить уравнение 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (шаг а)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (шаг б)

Пример. Решить уравнение:

а) 2 2x -3*2 x +2=0;

б) 2 2x -3*2 x -4=0;

в) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Предложить для самостоятельного решения.)

Классификация заданий в циклах, относящихся к решению транцендетных уравнений, включающих показательную функцию:

1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x =y 0 и имеющие простой, общий по форме ответ:

2) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x = а k , где k- целое число, или а x =b, где b≤0.

3) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида а x =y 0 , и требующие явного анализа формы, в которой явно записано число y 0 .

Большую пользу приносят задания, в которых тождественные преобразования используются для построения графиков при упрощении формул, задающих функции.

а) Построить график функции y=;

б) Решить уравнение lgx+lg(x-3)=1

в) на каком множестве формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) является тождеством?

Использование тождественных преобразований в вычислениях.(ж. Математика в школе, №4, 1983, стр.45)

Задача№1. Функция задана формулой y=0,3x 2 +4,64x-6. Найдите значения функции при x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Задача№2. Вычислите длину катета прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 3,6см, а другого катета- 2,16см.

Задача№3. Какова площадь участка прямоугольной формы, имеющего размеры а) 0,64м и 6,25м; б) 99,8м и 2,6м?

а)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2 ;

б)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Эти примеры позволяют выявить практическое применение тождественных преобразований. Учащегося следует ознакомить с условиями выполнимости преобразования.(см. схемы).

изображение многочлена, где в круглые контуры вписывается любой многочлен.(схема 1)

-

условие выполнимости преобразования произведения одночлена и приведено выражение, допускающее преобразование в разность квадратов. (схема 2)

-

здесь штриховки означают равные одночлены и приведено выражение допускающее преобразование в разность квадратов.(схема 3)

выражение, допускающее вынесение общего множителя.

Сформировать умения учащихся по выявлению условий можно с помощью следующих примеров:

Какие из следующих выражений могут быть преобразованы вынесением общего множителя за скобки:

2)

3) 0,7а 2 +0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Большинство вычислений на практике не удовлетворяют условиям выполнимости, поэтому учащимся необходимы навыки приведения их к виду, допускающему вычисления преобразований. В этом случае целесообразны такие задания:

при изучении вынесения общего множителя за скобки:

данное выражение, если это возможно, преобразуйте в выражение, которое изображается схемой 4:

4) 2а*а 2 *а 2 ;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

При формировании понятия «тождественное преобразование» следует помнить, что это означает не только то, что данное и полученное выражение в результате преобразования принимают равные значения при любых значениях входящих в него букв, но и то, что при тождественном преобразовании мы переходим от выражения, определяющего один способ вычисления, к выражению, определяющему другой способ вычисления того же значения.

Можно схему 5(правило преобразования произведения одночлена и многочлена) проиллюстрировать на примерах

0,5a(b+c) или 3,8(0,7+).

Упражнения для изучения вынесения общего множителя за скобки:

Вычислите значение выражения:

а) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

б) a+bc при a=0,96; b=4,8; c=9,8.

в) a(a+c)-c(a+b) при a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Проиллюстрируем на примерах формирование умений и навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях.(ж. Математика в школе, №5, 1984, стр.30)

1) умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе (дидактический принцип сознательности).

1) Можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями или предварительно на конкретных примерах рассмотреть суть сложения одинаковых долей.

2) При разложении на множители вынесением общего множителя за скобки важно увидеть этот общий множитель и затем применить распределительный закон. При выполнении первых упражнений полезно каждое слагаемое многочлене записать в виде произведения, один из множителей которого- общий для всех слагаемых:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Особенно полезно так поступать, когда за скобки выносится один из одночленов многочлена:

II. Первый этап формирования навыка – овладение умением (упражнения выполняются с подробными объяснениями и записями)

(первым решается вопрос о знаке)

Второй этап – этап автоматизации умения путем исключения некоторых промежуточных операций

III. Прочность навыков достигается решением разнообразных как по содержанию, так и по форме, примеров.

Тема: “Вынесение общего множителя за скобки”.

1. Запишите вместо многочлена недостающий множитель:

2. Разложите на множители так, чтобы перед скобками был множителем одночлен с отрицательным коэффициентом:

3. Разложите на множители так, чтобы многочлен в скобках имел целые коэффициенты:

4. Решите уравнение:

IV. Формирование навыков наиболее эффективно в случае устного выполнения некоторых промежуточных вычислений или преобразований.

(устно);

V. Формируемые навыки и умения должны входить в ранее сформированную систему знаний, умений и навыков учащихся.

Например, при обучении разложению многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения предлагаются такие упражнения:

Разложить на множители:

VI. Необходимость рационального выполнения вычислений и преобразований.

в) упростить выражение:

Рациональность заключается в раскрытии скобок, т.к.

VII. Преобразование выражений, содержащих степень.

№1011 (Алг.9) Упростить выражение:

№1012 (Алг.9) Вынести множитель из-под знака корня:

№1013 (Алг.9) Внести множитель под знак корня:

№1014 (Алг.9) Упростить выражение:

Во всех примерах предварительно выполнить либо разложение на множители, либо вынесение общего множителя, либо “увидеть” соответствующую формулу сокращения.

№1015 (Алг.9) Сократить дробь:

Многие учащиеся испытывают некоторые затруднения в преобразовании выражений, содержащих корни, в частности при исследовании равенства:

Поэтому, либо подробно расписывают выражения вида или либо перейти к степени с рациональным показателем.

№1018 (Алг.9) Найти значение выражения:

№1019 (Алг.9) Упростить выражение:

2.285 (Сканави) Упростить выражение

а затем построить график функции y для

№2.299 (Сканави) Проверить справедливость равенства:

Преобразование выражений, содержащих степень, представляет собой обобщение полученных навыков и умений, при изучении тождественных преобразований многочленов.

№2.320 (Сканави) Упростить выражение:

В курсе «Алгебра 7» даны следующие определения.

Опр. Два выражения, соответственные значения которых равны при значениях переменных, называются тождественно равными.

Опр. Равенство, верно при любых значениях переменных наз. тождеством.

№94(Алг.7) Является ли тождеством равенство:

a)

c)

d)

Описание опр-ние: Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

№ (Алг.7) Среди выражений

найдите те, которые тождественно равны .

Тема: «Тождественные преобразования выражений» (методика вопроса)

Первая тема «Алгебры-7»-«Выражения и их преобразования» помогает закрепить вычислительные навыки, приобретённые в 5-6 классах, систематизировать и обобщить сведения о преобразованиях выражений и решений уравнений.

Нахождение значений числовых и буквенных выражений даёт возможность повторить с учащимися правила действия с рациональными числами. Умения выполнять арифметические действия с рациональными числами являются опорными для всего курса алгебры.

При рассмотрении преобразований выражений формально – оперативные умения остаются на том же уровне, который был достигнут в 5-6 классах.

Однако здесь учащиеся поднимаются на новую ступень в овладении теорией. Вводятся понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования выражений», содержание которых будет постоянно раскрываться и углубляться при изучении преобразований различных алгебраических выражений. Подчёркивается, что основу тождественных преобразований составляют свойства действий над числами.

При изучении темы «Многочлены» формируются формально-оперативные умения тождественных преобразований алгебраических выражений. Формулы сокращённого умножения способствуют дальнейшему процессу формирования умений выполнять тождественные преобразования целых выражений, умение применять формулы как для сокращённого умножения, так и для разложения многочленов на множители используется не только в преобразовании целых выражений, но и в действиях с дробями, корнями, степенями с рациональным показателем.

В 8-м классе приобретённые навыки тождественных преобразований отрабатываются на действиях с алгебраическими дробями, квадратным корнем и выражениями, содержащие степени с целым показателем.

В дальнейшем приёмы тождественных преобразований отражаются на выражениях, содержащих степень с рациональным показателем.

Особую группу тождественных преобразований составляют тригонометрические выражения и логарифмические выражения.

К обязательным результатам обучения за курс алгебры в 7-9 классах относятся:

1) тождественные преобразования целых выражений

a) раскрытие скобок и заключение в скобки;

b) приведение подобных членов;

c) сложение, вычитание и умножение многочленов;

d) разложение многочленов на множители при помощи вынесения общего множителя за скобки и формул сокращённого умножения;

e) разложение квадратного трёхчлена на множители.

«Математика в школе» (Б.У.М.) стр.110

2) тождественные преобразования рациональных выражений: сложение, вычитание, умножение и деление дробей, а также применять перечисленные умения при выполнении несложных комбинированных преобразований [стр. 111]

3) учащиеся должны уметь выполнять преобразования несложных выражений, содержащих степени и корни. (стр. 111-112)

Были рассмотрены основные типы задач, умение решать которых позволяют получить ученику положительную оценку.

Одной из самой важных сторон методики изучения тождественных преобразований является развитие учащимся целей выполнения тождественных преобразований.

1) - упрощение численного значения выражения

2) какое из преобразований следует выполнить: (1) или (2) Разбор этих вариантов является мотивировкой (предпочтительнее (1), т.к. в (2) происходит сужение области определения)

3) Решить уравнение:

Разложение на множители при решении уравнений.

4) Вычислить:

Применим формулу сокращённого умножения:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Найти значение выражения:

Для нахождения значения домножим каждую дробь на сопряжённый:

6) Построить график функции:

Выделим целую часть: .

Предупреждение ошибок при выполнении тождественных преобразований может быть получено путём варьирования примеров выполнения их. В этом случае отрабатываются «мелкие» приёмы которые как составные части входят в более объёмный процесс преобразования.

Например:

В зависимости от направлений уравнения можно рассмотреть несколько задач: справа налево умножение многочленов; слева направо -разложение на множители. Левая часть кратна одному из сомножителей в правой части и т.д.

Кроме варьирования примеров, можно воспользоваться проведением апологии между тождествами и числовыми равенствами.

Следующий приём – объяснение тождеств.

Для повышения интереса учащихся можно отнести отыскание различных способов решения задач.

Уроки по изучению тождественных преобразований станут интереснее, если их посвятить поиску решения задачи .

Например: 1) сократить дробь:

3) доказать формулу «сложного радикала»

Рассмотрим:

Преобразуем правую часть равенства:

-

сумма сопряжённых выражений. Их можно было бы домножить и разделить на сопряжённый, но такая операция приведет нас к дроби, знаменатель которой есть разность радикалов.

Заметим, что первое слагаемое в первой части тождества есть число большее, чем второе, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

Практическое занятие №3.

Тема: Тождественные преобразования выражений (методика вопроса).

Литература: ”Практикум по МПМ”, стр. 87-93.

Признаком высокой культуры вычислений и тождественных преобразований у учащихся являются прочные знания свойств и алгоритмов операций над точными и приближенными величинами и умелое их применение; рациональные приемы вычислений и преобразований и их проверка; умение обосновать применение приемов и правил вычислений и преобразований, автоматизм навыков безошибочного выполнения вычислительных операций.

С какого класса необходимо начать с учащимися работу по выработке перечисленных навыков?

Линия тождественных преобразований выражений начинается с применения приемов рационального вычисления начинается с применения приемов рационального вычисления значений числовых выражений. (5 класс)

При изучении таких тем школьного курса математики надо уделять им особое внимание!

Сознательному выполнению учащимися тождественных преобразований способствует понимание того факта, что алгебраические выражения существуют не сами по себе, а в неразрывной связи с некоторым числовым множеством, являются обобщенными записями числовых выражений. Аналогии между алгебраическими и числовыми выражениями (и преобразованиями их) законны в логическом отношении, использование их в обучении способствует предупреждению ошибок у учащихся.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса алгебры и начал математического анализа.

Программа по математике 1-5 класса представляет собой пропедевтический материал для изучения тождественных преобразований выражений с переменной.

В курсе алгебры 7 кл. вводятся определение тождества и тождественных преобразований.

Опр. Два выражения соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, наз. тождественно равными.

Опр . Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Ценность тождества состоит в том, что оно позволяет данное выражение заменить другим, тождественно равным ему.

Опр. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Основой тождественных преобразований можно считать равносильные преобразования.

Опр . Два предложения, каждое из которых является логическим следствием другого, наз. равносильными.

Опр . Предложение с переменными А наз. следствием предложения с переменными В , если область истинности В есть подмножество области истинности А.

Можно дать другое определение равносильных предложений: два предложения с переменными равносильны, если их области истинности совпадают.

а) В: x-1=0 над R; А: (x-1) 2 над R => A~B, т.к. области истинности (решения) совпадают (x=1)

б) А: х=2 над R; В: х 2 =4 над R => область истинности А: х=2; область истинности В: х=-2, х=2; т.к. область истинности А содержится в В, то: х 2 =4 следствие предложения х=2.

Основой тождественных преобразований является возможность представление одного и того же числа в разных формах. Например,

-

такое представление поможет при изучении темы “основные свойства дроби”.

Навыки в выполнении тождественных преобразований начинают формироваться при решении примеров, аналогичных следующему: “Найти числовое значение выражения 2а 3 +3аb+b 2 при а=0,5, b=2/3 ”, которые предлагаются учащимся в 5 классе и позволяют осуществить пропедевтику понятия функция.

Изучая формулы сокращенного умножения следует уделять внимание их глубокому пониманию и прочному усвоению. Для этого можно воспользоваться следующей графической иллюстрацией:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Вопрос: Как объяснить учащимся суть приведенных формул по данным чертежам?

Распространенной ошибкой является смешение выражений “квадрат суммы” и “ сумма квадратов”. Указание учителя на то, что эти выражения различаются порядком действия, не кажется существенным, так как учащиеся считают, что эти действия производятся над одними и теми же числами и поэтому от перемены порядка действий результат не изменяется.

Задание: Составьте устные упражнения для выработки у учащихся навыков безошибочного использования названных формул. Как объяснить, чем похожи эти два выражения и чем они друг от друга отличаются?

Большое разнообразие тождественных преобразований затрудняет ориентацию учащихся в том, с какой целью они выполняются. Нечеткое знание цели выполнения преобразований (в каждом конкретном случае) отрицательно сказывается на их осознании, служит источником массовых ошибок учащихся. Это говорит о том, что разъяснение учащимся целей выполнении различных тождественных преобразований является важной составной частью методики их изучения.

Примеры мотивировок тождественных преобразований:

1. упрощение нахождения числового значения выражения;

2. выбор преобразования уравнения, не приводящего к потере корня;

3. при выполнении преобразования можно отметить его область вычислений;

4. использование преобразований при вычислении, например, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Для управления процессом решения учителю важно обладать умением давать точную характеристику сущности допущенной учащимся ошибки. Точная характеристика ошибки является ключом к правильному выбору последующих действий, предпринимаемых учителем.

Примеры ошибок учащихся:

1. выполняя умножение: ученик получил -54abx 6 (7 кл.);

2. выполняя возведение в степень (3х 2) 3 ученик получил 3х 6 (7 кл.);

3. преобразуя (m+n) 2 в многочлен, ученик получил m 2 +n 2 (7 кл.);

4. сокращая дробь ученик получил (8 кл.);

5. выполняя вычитание: , ученик записывает (8 кл.)

6. представляя дробь в виде дробей, ученик получил: (8 кл.);

7. извлекая арифметический корень ученик получил х-1 (9кл.);

8. решая уравнение (9кл.);

9. преобразовывая выражение , ученик получает: (9 кл.).

Заключение

Изучение тождественных преобразований проводится в тесной связи с числовыми множествами, изучаемыми в том или ином классе.

На первых порах следует просить учащегося объяснять каждый шаг преобразования, сформировать те правила и законы, которые применяются.

В тождественных преобразованиях алгебраических выражений используются два правила: подстановки и замены равным. Наиболее часто используется подстановка, т.к. на ней основан счёт по формулам, т.е. найти значение выражения a*b при a=5 и b=-3. Очень часто учащиеся пренебрегают скобками при выполнении действия умножения, считая что знак умножения подразумевается. Например, возможна такая запись: 5*-3.

Литература

1. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач»,Мн..Аверсэв, 2004

2. О.Н. Пирютко «Типичные ошибки на централизованном тестировании», Мн..Аверсэв, 2006

3. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Задачи-ловушки на централизованном тестировании»,Мн..Аверсэв, 2006

4. А.И. Азаров, С.А. Барвенов «Методы решения тригонометрических задач», Мн..Аверсэв, 2005

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.