При решении системы уравнений
простейшим вариантом метода Гаусса имеют место большие погрешности. Причина заключается в появлении больших коэффициентов, при округлении которых получается большая абсолютная погрешность D ~ 0.5. В свою очередь, большие коэффициенты получаются после деления на маленький ведущий коэффициент 
.
Вывод: для уменьшения влияния ошибок округления надо выбирать ведущий элемент не просто отличный от 0, но и достаточно большой.
Первая модификация метода Гаусса – поиск по строкам. В алгоритме ведущий элемент надо выбирать из условия .
Недостаток модификации. Предположим х i найден с погрешностью D. Тогда при поиске какого-либо х s надо, согласно формуле обратного хода, умножать . При этом погрешность D также умножится на . Если значение велико, то погрешность возрастет.
Вывод: надо обеспечить, чтобы ведущий элемент был не просто большим, а самым большим по модулю в своей строке. Тогда при нормировке ведущей строки все прочие коэффициенты, согласно формуле (5), будут по модулю меньше 1, и ошибки будут уменьшаться .
Вторая модификация метода Гаусса – поиск по столбцам. Указанное требование можно обеспечить, если неизвестные х i исключаются в произвольном порядке, а в ведущей строке ищется , доставляющий . Это и будет очередной ведущий элемент. После определения ведущего элемента меняем местами k-й и r-й столбцы .
Внимание. При такой замене меняется нумерация неизвестных x i . Чтобы обеспечить такую замену, надо при программировании ввести массив p 1 ,…p n с настоящими номерами неизвестных. В начале прямого хода все p i = i – обычная нумерация. После нахождения ведущего элемента меняем местами p k и p r . При обратном ходе по формуле (7) вычисляются перенумерованные x i . После вычисления всех неизвестных надо положить y]:=x[i] , и массив y[i] будет окончательным решением задачи.
Третья модификация метода Гаусса – полный поиск. В качестве ведущего выбирается элемент , доставляющий . При этом меняются местами k-й и r-й столбцы, p k и p r , а также m-я и k-я строки. Эта модификация обеспечивает максимальную точность, но и наиболее сложна.
Применение метода Гаусса для решения различных задач линейной алгебры
1. Обращение матриц. Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А –1 . Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен
(1 стоит на i-м месте). Пусть х (i) – i-й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умножения матриц (строка умножается на столбец) имеем А х (i) = e (i) . Значит, для обращения матрицы надо решить n систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:
Ах = е (1) ; Ах = е (2) ; …; Ах = е ( n ) . (2.1)
Решив эти системы, получим, что найденные решения х (1) , х (2) , …, х (n) являются столбцами матрицы А –1 .
2. Вычисление определителей. В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:
1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;
2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;
3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.
Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:
1) изменяет знак;
2) делится на тот же элемент;
3) не меняется.
После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,
где a j j – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Вручную реализовать метод Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) для данной системы уравнений
и выполнить следующие задания
1) Решить эту систему уравнений
2) Вычислить определитель матрицы данной системы (методом Гаусса – см. п 2 ).
3) Обратить матрицу этой системы (методом Гаусса – см. п 1 ).
В дальнейшем используйте результат решения данной задачи в качестве тестового примера.
2. Составить программу решения линейной системы методом Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) и выполнить обращение матриц с использованием этой программы.
Пусть требуется решить линейную систему уравнений вида:
или в другой форме
В курсе линейной алгебры решения системы уравнений (5.2) представляются по правилу Крамера в виде отношений соответствующих определителей. Если использовать наиболее оптимальный способ расчета определителя, то по правилу Крамера требуется примерно -|п! арифметических операций. Однако существует более оптимальный способ решения системы уравнений (5.2) - метод исключения Гаусса, в рамках которого требуется -|п 3 арифметических действий.
Начнем исследование системы уравнений (5.2) с частного случая, когда матрица системы является верхней треугольной, т. е. все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю. Выполняя в командном окне MATLAB oneрацию spy(triu(randn(25))) сгенерируем верхнюю треугольную матрицу и ее графический образ. На рис. 5.1 приведен соответствующий пример верхней треугольной матрицы.
Из последнего уравнения системы с верхней треугольной матрицей находим Х л, подставляя его в предпоследнее уравнение, находим Х„ _i и т. д. - находим все решение. Общая формула для определения Xj-ro имеет вид:
Метод Гаусса выражается в процедуре приведения матрицы системы уравнений к треугольному виду (например, к верхнему треугольному виду на рис. 5.1). Это можно сделать следующим образом. Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на такое число, чтобы коэффициент при X] обратился в нуль, аналогично вычтем первое уравнение из второго, третьего и т. д. вплоть до П-го. В результате должна получиться новая система уравнений, в которой в первом столбце везде нули, кроме диагонального элемента а ц. Затем с помощью второго уравнения путем такой же процедуры обнуляем элементы второго столбца, лежащие ниже главной диагонали. Продолжая эту процедуру для третьего и всех последующих уравнений, преобразуем матрицу системы к верхнему треугольному виду.
Рис. 5.1.
Пусть проведено исключение элементов из k- 1 столбца. Остальные уравнения с не обнуленными столбцами можно записать в виде:
Умножим к-к) строку на число С тк = / оIf 1 , т > к, и вычтем из ш-й
строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратиться в нуль, а другие элементы можно пересчитать по формулам:
Проведение алгоритма (5.4), (5.5) обнуления каждого столбца матрицы ниже главной диагонали заканчивается (п - 1)-м столбцом, при этом вся процедура называется прямым ходом исключения.
Собрав (5.4), (5.5) вместе, будем иметь
или в развернутой форме
Система уравнений (5.6) легко решается обратным ходом по формулам (5.3).
Возможное нарушение в работе алгоритма (5.4), (5.5) может быть связано с тем, что на главной диагонали оказался нулевой элемент а кк " = 0. В этом случае необходимо среди строк матрицы ниже к -й найти такую, у которой на к- м месте находится отличный от нуля элемент. Такая строка обязательно должна найтись, если она не находится, то это значит, что в к- м столбце, начиная с к-го номера все элементы нулевые, а значит, и детерминант матрицы А равен нулю. Перестановкой строк можно переместить подходящую строку в нужное положение.
Если оказывается, что элемент на главной диагонали мал, то коэффициенты С т к становятся большими числами, и при пересчете элементов матрицы согласно (5.5) может быть значительная потеря точности на ошибках округления при вычитании больших чисел. Чтобы этого не происходило, среди элементов столбца а^ к, т>к, находят главный или максимальный и перестановкой строк переводят его на главную диагональ. Этот метод называется методом Гаусса с выбором главного элемента. С выбором главного элемента ошибки округления в методе Гаусса обычно невелики.
Метод Гаусса с выбором главного элемента наиболее прост, надежен и выгоден и по этой причине наиболее востребован при решении линейных систем уравнений с плотно заполненной матрицей порядка п
Рассмотрим процедуру решения линейной системы уравнений в среде MATLAB. Покажем экспериментально, что в среднем количество операций, осуществляемое центральным процессором при решении линейной системы уравнений, пропорционально кубу порядка матрицы. Покажем, что асимптотически отношение time(n)/n 3 стремится к некоторой предстепенной константе при п -> оо, где time(n) - время работы центрального процессора при данном порядке матрицы п.
В листинге 5.1 приведен код соответствующей программы.
Листинг 5.1
“/«Программа изучения затрат времени “/«центрального процессора при решении %систем линейных уравнений %очищаем рабочее пространство clear all
“/«определяем максимальный порядок “/«обращаемых матриц
птах =1 0 0 0; к =0;
“/«организуем цикл решений систем “/«уравнений вида А X = Ь for п = 1: 10: птах k =к +1; order) к) =п;
“/оформируем случайну матрицу А %и правую часть Ь A=r andn(n); b=randn(n, 1) ;
“/«запоминаем начальный момент времени “/оработы центрального процессора 10 =с рut i me;
“/орешаем линейную систему уравнений %А X = Ь по формуле: X =А Ь А Ь;
“/онаходим последующий момент времени,
“/овычитаем из него предыдущий и “/оделим на куб порядка матрицы
t (к) =(с put i me-10) / n л3; end
“/«строим график зависимости предстепенной “/оконстанты от порядка матрицы А semilogy(order,t);
Рис. 5.2.
На рис. 5.2 приведен график зависимости предстепенной константы отношения времени работы центрального процессора к кубу порядка матрицы от порядка матрицы. Видно, что при П -> оо действительно отношение time(n)/n 3 стремится к некоторой константе, что и подтверждает кубическую зависимость числа операций в методе Гаусса от порядка матрицы.
Определитель и обратная матрица также могут быть найдены методом исключения Гаусса. В процессе исключения вычитание строк не меняет определитель, но может измениться сто знак при перестановке строк. После приведения матрицы к треугольному виду, можем найти детерминант матрицы в виде произведения ее диагональных элементов:
где выбор "+" или зависит от того, четной или нечетной была суммарная перестановка строк.
Процедуру поиска детерминанта матрицы (5.7) изучим на примере стандартной функции MATLAB - det(A), где А - произвольная матрица пхп. Изучим зависимость величины детерминанта матрицы со случайными элементами, распределенными по нормальному закону со средним 0 и стандартным отклонением 1, в зависимости от порядка матрицы.
В листинге 5.2 приведен код соответствующей программы.
Листинг 52
%Программа изучения процедуры поиска детерминанта %матрицы, элементы которой случайные величины,
“/«распределенные по нормальному закону со средним О %и стандартным отклонением 1 %очищаем рабочее пространство clear all
“/«определяем максимальный порядок %анализируемых матриц
птах =3 0 0;
%организуем цикл поиска детерминанта %матрицы А - det(A) for n=l: 5: nmax k =k +1; order) k) =n;
%формируем случайную матрицу A A=r a n d n (n) ;
%вычисляем детерминант матрицы A
%переходим в логарифмическую шкалу %при фиксации значений детерминанта d(k) =si gn(d(к)) *1 оg 10(d(к)); end
%строим график зависимости значений %детерминанта матрицы от порядка матрицы
plot (order, d);
На рис. 5.3 приведен график зависимости логарифма детерминанта случайной матрицы от порядка матрицы. Видно, что детерминант случайной матрицы экспоненциально растет с ростом порядка матрицы.
Рис. 5.3.
Для вычисления обратной матрицы обозначим ее элементы через а 1т, 1,т = 1 , и будем исходить из соотношения АА 1 = Е, тогда верна следующая запись:
Согласно (5.8) /-й столбец обратной матрицы можно рассматривать в качестве неизвестного вектора линейной системы уравнений с матрицей А со специальной правой частью. Таким образом, обращение матрицы сводится к решению линейной системы уравнений п раз с одной и той же матрицей, но с разными правыми частями. Приведение системы к треугольному виду осуществляется только 1 раз, поэтому количество арифметических операций при обращении матрицы лишь в три раза больше, чем при решении системы линейных уравнений, т. е. порядка * 2П 3 .
Рассмотрим теперь функцию inv(A) в среде MATLAB, которая возвращает обратную к А матрицу. В листинге 5.3 приведен код соответствующей программы.
Листинг 53
%Программа изучения процедуры поиска обратной матрицы, Роэлементы которой - случайные величины, распределенные %по нормальному закону со средним 0 и стандартным %отклонением 1
Роочищаем рабочее пространство
%определяем максимальный порядок %анализируемых матриц
пшах=1 0 00; к =0;
Реорганизуем цикл поиска обратной Роматрицы к А - i ПV(А) for п=1: 5: птах k =к +1; о г d е г (к) =п;
Реформируем случайну матрицу А
Ровычисляем обратную к А матрицу Ai nv=i nv(А);
Ренаходим ошибку обращения Е =еуе(п);
е г (к) =п о г ш(A* Ai nv- Е) ; end
Состроим график зависимости значений ошибок
%обращения матриц от порядка матриц
semilogy(order.er);
На рис. 5.4 приведена зависимость ошибки обращения матрицы от ее порядка. Видно, что по мере роста порядка матрицы от 1 до 800 ошибка обращения, выраженная в определенной норме, выросла на пять порядков.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .
Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.
Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.
Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:
1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.
Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.
На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы : . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.
Справка : рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.
После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .
Существуют следующие элементарные преобразования:
1) Строки
матрицы можно
переставлять
местами.
Например, в рассматриваемой матрице
можно безболезненно переставить первую
и вторую строки: 
2)
Если в матрице есть (или появились)
пропорциональные (как частный случай
– одинаковые) строки, то следует удалить
из
матрицы все эти строки кроме одной.
Рассмотрим, например матрицу 
.
В данной матрице последние три строки
пропорциональны, поэтому достаточно
оставить только одну из них: 
.
3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .
4)
Строку матрицы можно умножить
(разделить)
на
любое число, отличное
от нуля
.
Рассмотрим, например, матрицу .
Здесь целесообразно первую строку
разделить на –3, а вторую строку –
умножить на 2: 
.
Данное действие очень полезно, поскольку
упрощает дальнейшие преобразования
матрицы.
5)
Это преобразование вызывает наибольшие
затруднения, но на самом деле ничего
сложного тоже нет. К строке матрицы
можно прибавить
другую строку, умноженную на число
,
отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу
из практического примера: .
Сначала я распишу преобразование очень
подробно. Умножаем первую строку на
–2: 
,
и ко
второй строке прибавляем первую строку
умноженную на –2
: 
.
Теперь первую строку можно разделить
«обратно» на –2: .
Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ
– не
изменилась
. Всегда
меняется
строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ
.
На
практике так подробно, конечно, не
расписывают, а пишут короче:
Еще
раз: ко второй строке прибавили
первую строку, умноженную на –2
.
Умножают строку обычно устно или на
черновике, при этом мысленный ход
расчётов примерно такой:
«Переписываю
матрицу и переписываю первую строку: 
»
«Сначала
первый столбец. Внизу мне нужно получить
ноль. Поэтому единицу вверху умножаю
на –2: ,
и ко второй строке прибавляю первую: 2
+ (–2) = 0. Записываю результат во вторую
строку: 
»
«Теперь
второй столбец. Вверху –1 умножаю на
–2: .
Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2
= 3. Записываю результат во вторую
строку: 
»
«И
третий столбец. Вверху –5 умножаю на
–2: .
Ко второй строке прибавляю первую: –7
+ 10 = 3. Записываю результат во вторую
строку: 
»
Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.
Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений
! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.
Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.
(2) Делим вторую строку на 3.
Цель
элементарных преобразований
–
привести
матрицу к ступенчатому виду: 
.
В оформлении задания прямо так и
отчеркивают простым карандашом
«лестницу», а также обводят кружочками
числа, которые располагаются на
«ступеньках». Сам термин «ступенчатый
вид» не вполне теоретический, в научной
и учебной литературе он часто
называется трапециевидный
вид
или треугольный
вид
.
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:
Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .
В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .
Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:
Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.
Пример 1
Решить
методом Гаусса систему уравнений:
Запишем
расширенную матрицу системы:
Сейчас
я сразу нарисую результат, к которому
мы придём в ходе решения:
И
повторюсь, наша цель – с помощью
элементарных преобразований привести
матрицу к ступенчатому виду. С чего
начать действия?
Сначала
смотрим на левое верхнее число:
Почти
всегда здесь должна находиться единица
.
Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и
другие числа), но как-то так традиционно
сложилось, что туда обычно помещают
единицу. Как организовать единицу?
Смотрим на первый столбец – готовая
единица у нас есть! Преобразование
первое: меняем местами первую и третью
строки:
Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.
Единица
в левом верхнем углу организована.
Теперь нужно получить нули вот на этих
местах:
Нули
получаем как раз с помощью «трудного»
преобразования. Сначала разбираемся
со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно
сделать, чтобы на первой позиции получить
ноль? Нужно ко
второй строке прибавить первую строку,
умноженную на –2
.
Мысленно или на черновике умножаем
первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И
последовательно проводим (опять же
мысленно или на черновике) сложение, ко
второй строке прибавляем первую строку,
уже умноженную на –2
:
Результат
записываем во вторую строку:
Аналогично
разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5,
–1). Чтобы получить на первой позиции
ноль, нужно к
третьей строке прибавить первую строку,
умноженную на –3
.
Мысленно или на черновике умножаем
первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к
третьей строке прибавляем первую строку,
умноженную на –3
:
Результат записываем в третью строку:
На
практике эти действия обычно выполняются
устно и записываются в один шаг:
Не
нужно считать всё сразу и одновременно
.
Порядок вычислений и «вписывания»
результатов последователен
и
обычно такой: сначала переписываем
первую строку, и пыхтим себе потихонечку
– ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО
:
А
мысленный ход самих расчётов я уже
рассмотрел выше.
В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:
На
заключительном этапе элементарных
преобразований нужно получить еще один
ноль здесь:
Для
этого к
третьей строке прибавляем вторую строку,
умноженную на –2
:
Попробуйте
разобрать это действие самостоятельно
– мысленно умножьте вторую строку на
–2 и проведите сложение.
Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.
В
результате элементарных преобразований
получена эквивалентная исходной система
линейных уравнений:
Круто.
Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.
В третьем уравнении у нас уже готовый результат:
Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:
И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:
Ответ
: 
Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.
Пример 2
Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.
Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!
Пример 3
Решить
систему линейных уравнений методом
Гаусса
Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.
Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 3.
Скверным
признаком, который свидетельствует об
ошибке в вычислениях (реже – об опечатке),
является «плохая» нижняя строка. То
есть, если бы у нас внизу получилось
что-нибудь вроде ,
и, соответственно, 
,
то с большой долей вероятности можно
утверждать, что допущена ошибка в ходе
элементарных преобразований.
Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:
Ответ
: 
.
Пример 4
Решить
систему линейных уравнений методом
Гаусса
Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.
В
последней части рассмотрим некоторые
особенности алгоритма Гаусса.
Первая
особенность состоит в том, что иногда
в уравнениях системы отсутствуют
некоторые переменные, например:
Как
правильно записать расширенную матрицу
системы? Об этом моменте я уже рассказывал
на уроке Правило
Крамера. Матричный метод
.
В расширенной матрице системы на месте
отсутствующих переменных ставим
нули:
Кстати,
это довольно легкий пример, поскольку
в первом столбце уже есть один ноль, и
предстоит выполнить меньше элементарных
преобразований.
Вторая
особенность состоит вот в чём. Во всех
рассмотренных примерах на «ступеньки»
мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там
быть другие числа? В ряде случаев могут.
Рассмотрим систему: 
.
Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.
Или
еще такой условный пример: 
.
Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже
нас устраивает, поскольку 12 (место, где
нам нужно получить ноль) делится на 3
без остатка. Необходимо провести
следующее преобразование: к третьей
строке прибавить вторую строку, умноженную
на –4, в результате чего и будет получен
нужный нам ноль.
Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.
Дождливая осенняя погода за окном.... Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:
Пример 5
Решить
методом Гаусса систему 4-х линейных
уравнений с четырьмя неизвестными.
Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.
Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример
2:
Решение
:
Запишем
расширенную матрицу системы и с помощью
элементарных преобразований приведем
ее к ступенчатому виду.
Выполненные
элементарные преобразования:
(1)
Ко второй строке прибавили первую
строку, умноженную на –2. К третьей
строке прибавили первую строку, умноженную
на –1.
Внимание!
Здесь
может возникнуть соблазн из третьей
строки вычесть первую, крайне не
рекомендую вычитать – сильно повышается
риск ошибки. Только складываем!
(2)
У второй строки сменили знак (умножили
на –1). Вторую и третью строки поменяли
местами.
Обратите
внимание
,
что на «ступеньках» нас устраивает не
только единица, но еще и –1, что даже
удобнее.
(3)
К третьей строке прибавили вторую
строку, умноженную на 5.
(4)
У второй строки сменили знак (умножили
на –1). Третью строку разделили на 14.
Обратный ход:
Ответ
:
.
Пример
4:
Решение
:
Запишем
расширенную матрицу системы и с помощью
элементарных преобразований приведем
ее к ступенчатому виду:
Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.
Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена . (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.
Обратный ход:
Ответ :
Пример
5:
Решение
:
Запишем
матрицу системы и с помощью элементарных
преобразований приведем ее к ступенчатому
виду:
Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.
Обратный
ход:
Ответ :
Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!
Метод Гаусса
Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее , он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.
- Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
- Система имеет бесконечное множество решений;
- Решений нет, система несовместна.
Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?
Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.
Прямой ход метода Гаусса
Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.
Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.
Что можно делать:
- Можно переставлять строки матрицы местами;
- Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
- Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
- Нулевые строки удаляются;
- Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.
Обратный ход метода Гаусса
После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.
Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн . Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.
Пример решения системы уравнений методом Гаусс
А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:
Сначала запишем расширенную матрицу:
Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:
Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:
Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набъете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!
